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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Mestrado 2024.2
1. Calcule o limite

√
lim n 2n + 3n .

n→∞

2. Diz-se que uma função f : X → R é limitada superiormente quando sua imagem é um
conjunto limitado superiormente. Então põe-se sup f = sup{f (x); x ∈ X}. Prove que se
f, g : X → R são limitadas superiormente o mesmo ocorre com f + g : X → R e tem-se
sup(f + g) ≤ sup f + sup g.
3. Seja X ⊂ R um conjunto compacto. Prove que o seguinte conjunto também é compacto:
S := {x + y : x, y ∈ X}
4. Seja f : I → R uma função diferenciável. Prove que, se f é convexa, então vale
f (x) ≥ f (a) + f ′ (a)(x − a),
para todo x, a ∈ I.
5. Seja f : X → R uma função contı́nua. Dados a, b ∈ X com [a, b] ⊂ X existe c ∈ [a, b] tal
que
Z
b

f (x)dx = f (c)(b − a).
a

Respostas:
Q1- O limite em questão é igual a 3. De fato, por um lado, 2n + 3n > 3n , para todo número
natural n. Por outro lado, 2n + 3n < 2 × 3n . Portanto,
√
√
n
3 < n 2n + 3n < 2 × 3.
√
O resultado segue de lembrar que n 2 → 1 quando n → ∞ e do Teorema do Sanduı́che.
Q2- De f, g : X → R limitadas superiormente, temos que f (X) e g(X) são conjuntos limitados
superiormente. Assim, existem a, b ∈ R tais que f (x) ≤ a e g(x) ≤ b para todo x ∈ X.
Donde
(f + g)(x) := f (x) + g(x) ≤ a + b := c
para todo x ∈ X. Portanto, f + g é limitada superiormente.
Como
(f + g)(x) ≤ a + b := c
para todo x ∈ X, segue que a + b é uma cota superior de (f + g)(X). Donde, sup(f + g) ≤
sup f + sup g.

1

Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Q3- Seja (sn )n∈N uma sequência em S. É suficiente provarmos que essa sequência possui uma
subsequência convergente. Pela definição de S, existem duas sequências (xn )n∈N e (yn )n∈N
em X de modo que xn + yn = sn para todo n ∈ N. Por X ser compacto, (xn )n∈N possui uma
subsequência convergente (xnk )k∈N , digamos, convergindo para a ∈ X. O mesmo é válido
para a sequência (ynk )k∈N . Para evitar criar mais um ı́ndice, vamos supor que a própria
(ynk )k∈N é convergente, converge para b ∈ X. Logo, a sequência (snk )k∈N é convergente e
converge para um ponto de S, o ponto a + b.
Q4- Fixe x, a ∈ I com x ̸= a e assuma que λ ∈ (0.1]. Como f é convexa tem-se

f (a + λ(x − a)) = f ((1 − λ)a + λx)
≤ (1 − λ)f (a) + λf (x)
= f (a) + λ(f (x) − f (a)).
Portanto,
f (a + λ(x − a)) − f (a)
(x − a) ≤ f (x) − f (a).
λ(x − a)
Fazendo λ tender a zero o resultado segue.
Q5- Como f é contı́nua em [a, b], existem x1 e x2 em [a,b] tais que
m = min f = f (x1 ) e M = max f = f (x2 ).
[x1 ,x2 ]

[x1 ,x2 ]

Usando propriedade de integrais temos que
1
f (x1 ) ≤
b−a

Z b
f dx ≤ f (x2 ).
a

1
Pelo TVI, existe algum ponto c ∈ [a, b] tal que f (c) = b−a

2

Rb
a

f (x)dx.

(1)