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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Padrão de Resposta - Mestrado

Q1- Sejam (xn )n≥1 , (yn )n≥1 e (tn )n≥1 sequência de números reais satisfazendo as seguinte condições: 0 ≤
tn ≤ 1 para todo n ∈ N e
lim xn = lim yn = L.
n→∞

n→∞

Mostre que
lim [tn xn + (1 − tn )yn ]

n→∞

existe e calcule seu valor.
Solução (Sequências): Dado  > 0, existe n0 ≥ 1 de modo que L− < xn < L + e L− < yn < L +.
Portanto, tn (L − ) < tn xn < tn (L + ) e (1 − tn )(L − ) < (1 − tn )yn < (1 − tn )(L + ).
Segue-se das últimas duas linhas que,
L −  < tn xn + (1 − tn )yn < L + .
Portanto, a sequência em questão converge para L.
Q2- Prove que toda coleção de conjuntos dois a dois disjuntos, abertos e não-vazios de R é enumerável.
Solução (Abertos e enumerabilidade): Lembre que o conjunto dos números racionais é denso em R.
Assim, em cada conjunto aberto de R é possivel obter um número racional. Portanto, existe uma função
injetora entre a coleção de conjuntos abertos dois a dois disjuntos de R e o conjunto dos números racionais.
Q3- Prove o seguinte resultado: Dada uma sequência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · de intervalos
limitados e fechados In = [an , bn ] com an ≤ bn , existe pelo menos um número real c tal que c ∈ In , para
todo n ∈ N.
Solução (Topologia da Reta): Definamos uma sequência (xn ) escolhendo, para cada n ∈ N, um ponto
xn ∈ [an , bn ]. Esta sequência está no compacto [a1 , b1 ], logo possui uma subsequência (xn1 , xn2 , · · · , xnk , · · · )
convergindo para um ponto c ∈ [a1 , b1 ]. Dado qualquer n ∈ N, temos xnk ∈ [an , bn ] sempre que nk > n.
Como [an , bn ] é compacto, seque-se que c ∈ [an , bn ]. Isto prova o problema.
Q4- Sejam X ⊂ R e f , g : X → R funções contínuas em a ∈ X com f (a) < g(a). Mostre que existe δ > 0 tal
que f (x) < g(x) para todo x ∈ X ∩ (a − δ, a + δ).
Solução (Continuidade): Defina h(x) = g(x) − f (x). Observe que h é contínua em a e h(a) > 0. Pela
definição de continuidade, existe δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ implica h(x) > h(a)/2 > 0. Daí o
resultado segue.
Q5- Sejam f , g : [−1, 1] → R funções contínuas tais que inf f = inf g. Mostre que existe a tal que f (a) = g(a).
Solução (Continuidade e TVI): Por compacidade existem c e d em [−1, 1] tal que f (c) = inf f e
g(d) = inf g. Se c = d, acabou. Caso não, defina h(x) = g(x) − f (x). Note h é contínua em um intervalo
conexo, h(c) = inf f − g(c) < 0 e h(d) = f (d) − inf g > 0. Daí segue o resultado.

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