Padrão_MestradoUFAL2019.0.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Padrão de Resposta da Prova de Seleção de Mestrado

Q1- Responda os itens:
(a) Defina o que é uma função f : R → R ser periódica. Em seguida, assumindo que f é contínua
prove que f é limitada e assume seu máximo e seu mínimo;
(b) Considere a função maior inteiro bxc = max{m : m ≤ x}. Considere a função
!
n−1
X
f (x) =
bx + k/nc − bnxc.
k=0

Mostre que f é identicamente nula.
Solução:
(a) Uma função f : R → R é periódica se existe T > 0 tal que f (x + T ) = f (x) para todo x real.
Se f é períodica e contínua, podemos restringir a mesma a [0, T ] e pelo Teorema do Valor
extremo de Weierstrass f assume seu máximo e mínimo.
(b) f é periódica de período T = 1/n. Além disso, f = 0 em [0, 1/n]. Logo nula em toda reta.
Q2- Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Mostre que f é uniformemente contínua.
Solução: Dado  > 0, para cada x ∈ [a, b] existe δx > 0 tal que x ∈ [a, b] e |y − x| < 2δx
implica |f (y) − f (x)| < /2, pois f é contínua. Defina Ix = (x − δx , x + δx ) e observe que estes
formam uma cobertura de [a, b]. Daí, pela compacidade de [a, b], subtrai-se uma sub-cobertura
finita Ix1 , . . . , Ixk . Seja δ = min{δx1 , . . . , δxk }. Se x, y pertencem a [a, b] e |x − y| < δ, observe
que x ∈ Ixj para algum j e logo |x − xj | < δxj e assim |y − xj | < |y − x| + |x − xj | < 2δxj o que
implica que |f (y) − f (xj )| < /2 e |f (x) − f (xj )| < /2. Portanto, se x, y ∈ [a, b] e |x − y| < δ
então |f (x) − f (y)| < , o que conclui o argumento.
Q3- Seja f : [a, b] → R uma função crescente com a < b números reais. Mostre que f é integrável.
Solução: Seja P = {x0 , x1 , . . . , xn } uma partição arbitrária de [a, b]. Observe que f (xj−1 ) =
mj = inf xj−1 ≤x≤xj f (x) e f (xj ) = Mj = supxj−1 ≤x≤xj f (x), 1 ≤ j ≤ n, onde usamos que f é
crescente. Daí,
n
X
S(f, P) − s(f, P) =
(f (xj ) − f (xj−1 ))(xj − xj−1 ) ≤ max (xj − xj−1 )(f (b) − f (a)),
1≤j≤n

j=1

e daí segue a integrabilidade.
Q4- Determine a expansão de Taylor de ordem n para a função f (x) = arctg(x) em torno da origem.
Em seguida calcule a derivada de ordem 2019 de f na origem.
1
Solução: A derivada de f é 1+x
2 cuja expansão em séries de potência é

|x| < 1 (série do tipo geométrica). Logo f (x) =

∞
X

∞
X

(−1)n x2n , para

n=0

(−1)

n=0

n x

2n+1

2n + 1

, onde usamos que f (0) = 0. A

expansão solicitada é a série truncada na ordem solicitada e f (2019) (0) = −(2018)!.
1

Q5- Seja f : [a, b] → R uma função positiva, isto é, f (x) > 0, para todo x ∈ [a, b], a < b. Prove que
existe α > 0 tal que o conjunto X = {x ∈ [a, b] f (x) ≥ α} não tem medida nula.
Solução: Suponha por absurdo que não existe um tal α. Então, para cada n ∈ N, o conjunto
Xn = {x ∈ [a, b] f (x) ≥ n1 } tem medida nula. Como a união enumerável de conjuntos de medida
nula tem medida nula, obtemos um absurdo, pois [a, b] não tem medida nula e
∞
[
[a, b] =
Xn .
n=1