PROVA_ED_21_2015_MESTRADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Prova de Seleção de Mestrado

Parte 1
Nas questões da primeira parte, responda afirmativamente ou negativamente dando uma justificativa plausı́vel.
(1) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo F. A aplicação identidade é o único operador
linear L : V → V , tal que L = L−1 .
(2) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre C e T : V → V um operador linear. Sob qualquer base
B de V , [T ]B é semelhante a uma matriz triangular.
(3) Existe um número real x ∈ R tal que para qualquer número natural n ∈ N tem-se
√
n
n! < x.
(4) Um limite uniforme de funções contı́nuas é uma função contı́nua.

Parte 2
(1) Sejam V o espaço vetorial real tridimensional e T : V → V um operador linear que sob uma base B de V se
escreve como


0 −1
1
2 −1  .
[T ]B =  1
1
1
0
Determine os polinômios caracterı́stico e minimal, os valores e os vetores caracterı́sticos de T .
(2) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre C e T : V → V um operador linear. Mostre que se
existe um número natural n tal que
(a) T n = IV , então T é diagonalizável;
(b) T n = 0, então IV − T é invertı́vel.
(3) Sejam f e g funções contı́nuas tais que f (x + 1) = f (x) e g(x + 1) = g(x) para todo x ∈ R. Prove que
Z 1
Z 1
Z 1
lim
f (x)g(nx)dx =
f (x)dx
g(x)dx.
n→∞

0

0

0

(4) Enuncie os teoremas da função implı́cta e inversa e prove a equivalência desses teoremas.

Boa Prova!