PROVA_ED_21_2015_DOUTORADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Exame de selção do Doutorado IM/UFAL
Data: 11 de agosto de 2015
Duração: 04h
Candidato:

Parte 1
Assinale se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F) justificando de
forma breve sua resposta ou através de um contra-exemplo.
1. ( ) Os teorema da função implícita e inversa são equivalentes;
2. ( ) Seja f : Rn → R. Os conjuntos de níveis regulares f −1 (c) são hipersuperfícies orientáveis;
3. ( ) O produto cartesiano de duas superfícies orientáveis é orientável.
4. ( ) Seja f : Rn → Rn uma função diferenciável e g : Rn → R uma função sem pontos críticos
tal que g ◦ f é identicamente nula. Então o determinante Jacobiano de f é identicamente
nulo.

Parte 2

1. Seja φ : Rm × Rn → Rp uma aplicação bilinear.
(a) Calcule sua derivada φ0 (a, b);
(b) Prove que φ é diferenciável;
(c) Argumente que φ é uma aplicação de classe C ∞ .
2. Dentre os pontos do elipsóide
em R3 .

x2
y2
z2
+
+
= 1, determine os mais próximos da origem
a2
b2
c2

2

3. Prove que o conjunto M ⊂ Rk das matrizes k × k de posto k − 1 é uma hipersuperfície.
Seja P = (pij ) a matriz k × k definida por:

1, se i = j 6= k
pij =
0, se i 6= j ou i = j = k.
Calcule o espaço tangente TP M.
4. Encontre um atlas coerente para o toro bi-dimensional.
Boa Prova !!!!!