Centro de Desenvolvimento INCTMat

Esse é um projeto nacional que congrega, de maneira abrangente e ao mesmo tempo coerente, os mais ativos grupos de pesquisa em matemática fundamental e aplicada do país, enfatizando-se uma intensa colaboração de tais grupos entre si, bem como com parceiros estrangeiros de alto nível. O projeto é coordenado a nível nacional por Jacob Palis (Coordenador - IMPA) e Lorenzo Díaz (Vice-Coordenador - PUC-RIO). Coordenador local do projeto: Krerley Oliveira (01/01/2020-31/12/2021), Hilário Alencar (01/01/2022- ). Link: https://inctmat.impa.br.

Início: 2020

Equações Diferenciais Dispersivas Não-Lineares 

O foco principal deste projeto é o estudo de problemas de boa colocação, estabilidade e controlabilidade de Equações Diferenciais Dispersivas Não-Lineares. No momento, estamos focados em Equações Dispersivas em grafos estrelados e/ou em semirretas. De forma mais detalhada, buscamos compreender: (i) Boa colocação e controlabilidade de problemas de valor inicial e de fronteira para equações dispersivas não-lineares; (ii) Estabilidade e instabilidade de Solitons e Breathers para modelos dispersivos em grafos estrelados e em semirretas. As principais equações diferenciais parciais estudadas são: a) Equação de Korteweg-de Vries (KdV) e suas generalizações; b) Equação de Kawahara; c) Equação não-linear cúbica de quarta ordem do tipo Schrödinger; d) Equação de Benjamin-Bona-Mahony-Burgers. Tal projeto engloba o projeto de bolsa de produtividade: Equações diferenciais dispersivas não-lineares em semirretas e em grafos estrelados (Processo: 310271/2021-5).

Início: 2022

Equações diferenciais do tipo dispersivas não-lineares em semirretas e em grafos estrelados 

O foco principal deste projeto é o estudo de problemas relacionados à equações diferenciais não-lineares do tipo dispersivas, que aparecem na Física-Matemática, em grafos estrelados e em semirretas. Aqui, estamos interessados nos seguintes aspectos: (i) Boa colocação, isto é, existência, unicidade e continuidade do fluxo de problemas associados às equações dispersivas não-lineares em grafos estrelados; (ii) Estabilidade e instabilidade de problemas de valor inicial e de fronteira para equações dispersivas não-lineares em semirretas e em grafos estrelados; (iii) Propagação de regularidade de modelos dispersivos não-lineares em semirretas, semiespaços e em grafos estrelados. 

Início: 2022

Escoamento Multifásico em Meios Porosos 

Este projeto tem como objetivo estudar problemas relacionados ao fluxo multifásico em meios porosos, que são modelados por equações diferenciais parciais não lineares, em particular, equações de evolução onde a variável tempo está envolvida. O problema dos fluxos multifásicos em meios porosos desempenha um papel importante em uma ampla gama de planejamento e operação de poços de petróleo e gás, e também em outras áreas das ciências aplicadas, como filtração, o estudo de barragens, etc.

De forma mais detalhada, o fluxo de uma mistura de fluidos em um meio poroso é descrito por uma lei de conservação escalar na classe de coeficientes não regulares, e o problema matemático de provar a boa-poseição geral das soluções fracas é um desafio matemático. Na verdade, uma das dificuldades em mostrar a existência de soluções fracas está relacionada ao fato comum de que injetamos (no meio poroso) um fluido de menor viscosidade (por exemplo, água) em um fluido de maior viscosidade (petróleo denso), resultando em instabilidades.

Nesse sentido, vários desenvolvimentos também são importantes para serem estudados. Dentre eles, citamos: equações parabólicas associadas obtidas via inclusão de processos de difusão; técnicas de homogenização para obtenção de equações simplificadas; e de forma muito notável, problemas associáveis à compressibilidade através de uma equação de estado para a pressão como função da densidade da mistura.

Este projeto então estudará: existência/regularidade de soluções para os problemas hiperbólicos e parabólicos associados; homogenização de modelos com diversas porosidades; estudo de ondas viajantes em cascata que podem ser vistas como uma aproximação das instabilidades mencionadas.

Para realizar este projeto, aprofundar-nos-emos no estado da arte dos problemas propostos, e desenvolveremos questões pertinentes, desafiadoras e originais. Posteriormente, aplicaremos todo o conhecimento matemático disponível, ou a ser desenvolvido, a fim de resolver o problema proposto.

Início: 2024

Fortalecimento da Pesquisa em Análise Geométrica no Estado de Alagoas 

Este projeto visa fortalecer a pesquisa em Análise Geométrica no Estado de Alagoas por meio de uma séria de atividades científicas envolvendo o pesquisador Alcides de Carvalho Jr, como bolsista de PDJ, e professores e estudantes da UFAL em Maceió e Arapiraca. Também vamos contar com a colaboração de professores na UFMG e na UFPB. A Análise Geométrica consiste no estudo de problemas que surgem principalmente na geometria e na topologia utilizando métodos da Análise local e global. Esta sub-área da Geometria Diferencial tem se mostrado muito eficiente na resolução de importantes problemas da área e tem estimulado uma intensa produção de artigos científicos de alto nível. O grupo de Análise Geométrica da UFAL foi criado em 2014 e desde então tem colaborado de forma substancial com as atividades do Programa de Pós-Graduação em Matemática por meio da publicação de artigos em períodos de destaque, realização de eventos científicos e na formação de recursos humanos. A execução deste projeto vai trazer para o grupo técnicas novas que o bolsista desenvolveu desde a conclusão da sua tese de doutorado. O bolsista também vai realizar uma série de atividades envolvendo os pesquisadores do IM/UFAL e também dois pesquisadores do Campus UFAL/Arapiraca, egressos do PPGMAT/UFAL. De forma mais concreta, propomos atacar 7 problemas em aberto na área de Geometria Diferencial, que estão detalhados no item Justificativa desta proposta. 

Início: 2023

Grandes desvios para a medida empírica de vizinhanças em grafos esparsos 

Grafos aleatórios aparecem naturalmente quando se tenta modelar redes e conexões complexas entre indivíduos de uma comunidade. Nesse contexto, os grafos surgem, por exemplo, como a ligação entre os sites da rede mundial de internet, as ligações de amizades dentro das redes sociais ou as conexões no espalhamento de doenças. Neste trabalho estamos interessados no comportamento assintótico dos grafos em torno de cada um de seus vértices, o que se manifesta por meio das medidas empíricas de vizinhanças. Nosso foco é estudar a velocidade do decaimento exponencial em grafos cujo número de arestas tem ordem linear com respeito ao número de vértices. Mais especificamente, provar a existência de grandes desvios, explicitar a função taxa e mostrar a existência de minimizadores da função taxa. 

Início: 2022

Imersões em variedades Riemannianas e fluxos de curvatura

A área Geometria Diferencial possui grande importância na Matemática no cenário internacional de pesquisa. Ela tem se desenvolvido em várias vertentes, as quais apresentam atualmente um extraordinário volume de pesquisas. De fato, o entrelaçamento de seus métodos, como por exemplo, análise local e global aplicados aos problemas de Geometria, tem implicado em profundas e proveitosas interligações com outras áreas da Matemática, tais como Análise Geométrica, Equações Diferenciais Parciais, Análise Complexa, Análise, Topologia, Sistemas Dinâmicos e Teoria dos Grupos. Ademais, ressaltamos que a pesquisa em Geometria Diferencial tem encontrado aplicações em domínios afins, como a Relatividade e a Mecânica Celeste. Neste projeto almejamos contribuir para o desenvolvimento acadêmico-científico das áreas de Geometria Diferencial e Análise Geométrica, o qual será alcançado mediante duas direções. A primeira direção tem como objetivo pesquisar as relações entre a geometria, a curvatura e o espectro do Laplaciano de imersões f-mínimas, de imersões com curvatura média com peso constante e de self-similar solutions (self-shrinkers, self-expanders, translating solitons) de fluxos de curvatura em variedades Riemannianas. Pretendemos ainda classificar tais imersões por meio de teoremas de rigidez. A contribuição na segunda direção será alcançada mediante a formação de recursos humanos por meio de orientações dos pesquisadores aos discentes de graduação, mestrado, doutorado e pós-doutorado. 

Início: 2022

Imersões em variedades Riemannianas e fluxos de curvatura. 

Neste projeto tem como objetivo pesquisar as relações entre a geometria, a curvatura e o espectro do Laplaciano de imersões f-mínimas, de curvatura média com peso constante e de self-similar solutions (self-shrinkers, self-expanders, translating solitons) de fluxos de curvatura em variedades Riemannianas; bem como classificar tais imersões por meio de teoremas de rigidez. Os resultados obtidos irão contribuir para um avanço significativo no entendimento dessas relações, tendo como consequência a classificação das imersões, que atualmente constitui um dos problemas mais importantes na área. Assim, com relação ao foco deste projeto, pretendo publicar os resultados obtidos em revistas internacionais indexadas com padrão internacional de excelência, expor os resultados obtidos à comunidade por meio de congressos científicos e, além disso, continuar contribuindo na formação de recursos humanos. 

Início: 2023