New contributions to constant mean curvature surface theory
Auxílio Financeiro: CAPES/DS
Coordenador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante
Integrantes do PPGMAT: Abraão Mendes, Feliciano Vitório e Márcio Batista.
Descrição: O estudo das superfícies de curvatura média constante é um dos tópicos mais ativos da área de Geometria Diferencial. Neste projeto propomos investigar importantes problemas neste tema através de uma cooperação Franco-Brasileira. Nos últimos anos, a teoria Min-Max conduziu a pesquisa de projetos inovadores em geometria. Por exemplo, F. Codá Marques e A. Neves resolveram a conjectura de Willmore e a conjectura de Yau sobre o número de hipersuperfícies mínimas no caso de curvatura positiva por meio desta técnica. As resoluções destas conjecturas abriram um novo capítulo da geometria diferencial. Não obstante ao progresso recente da teoria Min-Max para superfícies mínimas esta técnica ainda tem muito a ser pesquisada. Em particular a classificação de superfícies mínimas com bordo contidas numa bola do espaço Euclidiano que intersectam o bordo ortogonalmente tem sido objeto de intensas pesquisas (como o problema do catenóide crítico com bordo livre). Em uma outra direção, a resolução de equações elípticas sobre domínios que satisfazem simultaneamente as condições de bordo de Dirichlet e Neumann é, em geral, impossível. Na verdade, é bem conhecido entre os especialias que um domínio onde existe uma solução para este problema sobre-determinado tem uma geometria especial. Em 1971, Serrin mostrou para uma grande família de equações, que quando o domínio é compacto, então ele é necessariamente uma bola do espaço ambiente. Quando o domínio não é compacto, mas o seu complementar é conexo as soluções são conhecidas apenas para o caso do plano. Atualmente já compreendemos alguns exemplos em dimensões altas, como o caso de semi-espaços de dimensões 3 e 4. Por outro lado, nos últimos 15 anos, um número significativo de pesquisas tem se centrado na compreensão da teoria das curvas e superfícies em variedades homogêneas descritas por W. Thurston. Estes estudos permitiram responder grandes problemas sobre mapas harmônicos. H. Rosenberg e P. Collin construíram difeomorfismos harmônicos entre o plano complexo e o plano hiperbólico, que era um problema em aberto por muitos anos. Muitos exemplos de superfícies de curvatura média constante foram descobertas e a sua geometria global está começando a ser entendida. No entanto ainda existem muitos problemas em aberto nestas áreas e, geralmente, não é uma questão de adaptação de técnicas conhecidas a geometria Euclidiana Clássica.
Início: 2018
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