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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

A Desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg

Rogério Vitório de Jesus

Maceió, Brasil
Abril de 2015

ROGÉRIO VITÓRIO DE JESUS

A DESIGUALDADE DE CAFFARELLI-KOHN-NIRENBERG

Dissertação de Mestrado, na área de concentração
de Análise, submetida em 23 de Abril de 2015 à
banca examinadora, designada pelo Programa de
Mestrado em Matemática da Universidade Federal
de Alagoas, como parte dos requisitos necessários
à obtenção do grau de mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva.

Maceió, Brasil
Março de 2015

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário: Valter dos Santos Andrade
J58d

Jesus, Rogério Vitório de.
A desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg / Rogério Vitório de Jesus. –
Maceió, 2015.
46 f.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de
Alagoas. Instituto de Matemática. Programa de Pós Graduação em Matemática.
Maceió, 2015.
Bibliografia: f. 46.
1. Desigualdades com constante ótima. 2. Desigualdade de
Caffarelli-Kohn-nirenberg. I. Título.
CDU: 517.518.28

3

Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por mais uma conquista e minha famı́lia pelo apoio
incondicional.
Gostaria de agradecer a todos os colegas que me ajudaram durante o curso. Especialmente
os companheiros Robson Santos, Anderson Lima, Hugo Nunes e Diego Chicuta, pela amizade
e apoio.
Agradeço meu orientador Marcio Henrique Batista por ter aceitado me orientar e por ter
muita paciência durante toda a construção desse trabalho.
Registro também o agradecimento a minha irmã Regane Vitório pelo icentivo e a minha
namorada Thaise Santos, que sempre foi compreensiva com as minhas decisões.

Resumo
Nosso estudo será dedicado a desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Apresentaremos
provas curtas de casos especiais usando técnicas que produzem constante ótima, faremos a
prova do geral e vamos listar alguns casos particulares conhecidos.
Palavras-chave: Desigualdades com constante ótima, Desigualdade de Caffarelli-KohnNirenberg.

Abstract
Our study will be devoted to the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality. We will present short
proofs of for some special cases using techniques that produce sharp constant. Will test the
general case and we will list some of known particular cases.
Keywords: Inequalities with sharp constant, Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality.

Sumário
Introdução

8

1 Preliminares

2

2 Classes Simples da Desigualdade de CKN

7

3 Desigualdade de CKN geral

16

Referências Bibliográficas

47

Introdução
A desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg, ou desigualdade de CKN, apareceu pela
primeira vez no artigo “Partial regularity of Suitable Weak Solutions of the Navier-Stokes
Equations”, onde um caso particular contribuiu para melhorar a estimativa superior da dimensão do conjunto dos pontos singulares das soluções fracas adequadas das equações de
Navier-Stokes. No entanto, a maioria das aplicações se encontram na teoria de equações
elı́pticas. Ver [6] e [10] que são boas aplicações da desigualdade nessa área.
Estudaremos casos especiais da desigualdade de CKN, para os quais serão apresentadas
provas interessantes e curtas, destacando as técnicas que possibilitam encontrar constante
ótima. Além disso, usaremos dois desses casos para exibir uma classe maior de desigualdades
de CKN. Essa abordagem seguirá basicamente dos estudos feitos por Costa (ver [7]) e do
trabalho de Bazan e Neves (ver [3]).
Apesar da importância dos casos especiais, quando nos restrigimos a eles podemos perder
muitas desigualdades conhecidas que também decorrem da desigualdade de CKN, como a
desigualdade de Sobolev e de Hardy. Assim, finalizaremos o trabalho com a prova do caso
geral da desigualdade que foi publicada no artigo “First order interpolation inequalities with
weights”em 1958 (ver [5]).

1

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo apresentaremos algumas definições e resultados que serão utilizados no decorrer do trabalho. Começaremos recordando as principais desigualdades nos espaços de Lebesgue e seguiremos com algumas fórmulas e desigualdades que aparecem com muita frequência.
Durante nosso estudo simbolizaremos por Cc∞ (RN ) o conjunto das funções de valor real
infinitamente diferenciáveis e com suporte compacto em RN . Além disso, para que não haja
dúvida, sempre que nos referirmos a medida, estaremos falando da medida de Lebesgue.
Vamos definir os espaços de Lebesgue, Lp (RN ).
Definição 1.1 Seja 1 ≤ p < ∞ e X ⊂ RN . Definimos por Lp (X) o conjunto das funções
f : X −→ C mensuráveis, tais que
Z

p

|f (x)| dx

kf kLp (X) =

 p1
< ∞.

X

Nos espaços Lp , vamos destacar as principais e conhecidas desigualdades que serão essenciais para o bom entendimento do que segue.
Teorema 1.1 (Desigualdade de Holder) Seja f ∈ Lp e g ∈ Lq onde p > 1 e

1 1
+ = 1.
p q

Então f g ∈ L1 e kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLq .
Prova. Ver teorema 6.9 de [1].
Teorema 1.2 (Desigualdade de Minkowski) Se f, g ∈ Lp , p ≥ 1, então f + g ∈ Lp e
kf + gkLp ≤ kf kLp + kgkLp .
Prova. Ver teorema 6.11 de [1].
A desigualdade de Holder citada anteriormente é a principal ferramente para os próximos
capı́tulos pois aparece corriqueiramente. Agora veremos um lema que será essencial para a
prova de uma versão generalizada da desigualdade de Holder.
2

Lema 1.1 Se a1 , a2 , ..., an e p1 , p2 , ..., pn são números positivos, onde p1 +p2 +...+pn = 1,
temos
ap11 ap22 ...apnn ≤ p1 a1 + p2 a2 + ... + pn an
Prova. Vamos provar por indução. No caso n = 2 basta observar que
ln(ap11 ap22 ) = p1 ln a1 + p2 ln a2
≤ ln(p1 a1 + p2 a2 ),
isto é,
ap11 + ap22 ≤ p1 a1 + p2 a2 .
Supondo que a desigualdade vale para n − 1 e pondo p1 + p2 + ... + pn−1 = r temos que
p1

p

p2

pn−1

n−1 pn
r
ap11 ap22 ...an−1
an = (a1r a2r ...an−1
)r apnn
p1
r

p2
r

pn−1
r

≤ r(a1 a2 ...an−1 ) + pn an
≤ p1 a1 + p2 a2 + ... + pn−1 an−1 + pn an ,
onde p1 + p2 + ... + pn = 1.
Teorema 1.3 (Desigualdade de Holder generalizada) Se p, q, ...,r são números positivos e p+q+...+r=1, então
Z p Z q Z r
Z
p q
r
f g ...h dx <
f
g ...
h ,
a menos que uma das funções seja nula ou todas propocionais.
Prova. Supondo que todas as funções são não-nulas e usando o lema anterior temos
R p q r
p 
q 
r
Z 
f g ...h dx
g
h
f
R
R
R
R
R
... R
dx
=
f dx
gdx
hdx
( f dx)p ( gdx)q ...( hdx)r





Z 
f
g
h
R
R
R
≤
p
+q
+ ... + r
dx
f dx
gdx
hdx
R
R
R
f dx
gdx
hdx
= pR
+ qR
+ ... + r R
f dx
gdx
hdx
= p + q + ... + r
= 1.
Assim,
Z

p q

r

f g ...h dx ≤

p Z

Z
f

3

q
g

Z
...

r
h ,

valendo a igualdade quando
R

g
h
f
≡R
≡ ... ≡ R
f dx
gdx
hdx

Além das desigualdades em Lp , a estimativa dada pala desigualdade Sobolev ótima
também será de nosso interesse, pois em parte de nossa abordagem vamos tratar de classes
da desigualdade CKN com constantes ótimas e necessitamos de tal estimativa para funções
em Cc∞ (RN ).
Teorema 1.4 (Desigualdade de Sobolev) Se f ∈ Cc∞ (RN ), 1 < p < n e p∗ =
então
Z

p∗

 p1∗

|f (x)|

Z
≤ K(n, p)

p

k∇f (x)k

RN

np
,
n−p

 p1
,

RN

onde K(n,p) é a melhor constante dada por
1
K(n, p) = 1/2 1/p
π n



p−1
n−p

1− p1 

Γ(1 + n/2)Γ(n)
Γ(n/p)Γ(1 + n − n/p)

 n1

e Γ(s) é a Função-gamma.
Prova. Ver [14].
Durante a prova do caso geral da desigualdade CKN necessitamos diversas vezes calcular
integrais de funções em RN , mas isso nem sempre é fácil. Daı́ a grande utilidade do próximo
teorema, pois este possibilita converter integrais N-dimensionais em integrais sobre esferas.
Além deste, o teorema de Stokes também vem como uma fórmula muito útil para o cálculo
de integrais durante o texto.
Teorema 1.5 (Coordenadas Polares) Seja u : RN −→ R contı́nua e integravel. Então

Z
Z ∞ Z
udx =
udS dr ,
0

RN

∂Br (x0 )

para todo x0 ∈ RN .
Prova. Ver teorema 4 do apêndice C.3 em [9].
Teorema 1.6 (Teorema de Stokes) Se F é um campo C 1 definido em uma vizinhança de
um compacto V ⊂ RN , então
Z
Z
div(F ) =
F · ηdA ,
V

∂V

onde η e dA são a normal exterior e a superficie formada por ∂V positivamente orientada.
4

Prova. Ver teorema 7.3 em [8].
Seguimos com outras desigualdades importantes. A próxima refere-se a números reais
não negativos, seguida de uma generalização da conhecida desigualdade de Young.
Lema 1.2 Sejam a, b ∈ [0, ∞) e s > 0. Então existem constantes ms e Ms dependendo
apenas de s, tais que
ms (as + bs ) ≤ (a + b)s ≤ Ms (as + bs ).
s

b
Prova. Se a = 0 ou b = 0 não há o que provar. Vamos assumir a > 0. Como 1 ≤ 1 +
a
 s 
s
b
b
< 1+
temos que
e
a
a

 s
s
b
b
<2 1+
,
1+
a
a
daı́,
s

a +b

s


 s 
b
= a 1+
a

s
b
s
< 2a 1 +
a
s
= 2(a + b) .
s

Para concluir, devemos notar que se a ≥ b teremos
(a + b)s ≤ 2s as
≤ 2s (a + b)s ,
sendo conseguida a mesma desigualdade se a ≤ b.
Teorema 1.7 (Young generalizada) Para α > 0 e V, W ∈ RN , temos
V · W ≤ α−p
onde p, q ≥ 1 e

kV kp
kW kq
+ αq
,
p
q

1 1
+ = 1.
p q

Prova. Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da desigualdade Young.
A desigualdade de Young generalizada terá papel importante na descoberta de constante
ótima para classes de desigualdade CKN. Já as próximas desigualdades que serão fundamentais quando tivermos desigualdades com integrais em determinados intervalos e nosso interese
seja estender para toda reta.
5

Teorema 1.8 Se k ∈ Z e xk , yk , c, d ≥ 0 temos
X
X c X d
xck ykd ≤
xk
yk ,
X

xck ≤

X

c
xk ,

c ≥ 1.

Prova. Ver teorema 11 e teorema 22 em [11].

6

c+d≥1

(1.1)
(1.2)

Capı́tulo 2
Classes Simples da Desigualdade de
CKN
Este capı́tulo será destinado a algumas classes da desigualdade de CKN cujas provas são
curtas e foram demonstradas por meio de técnicas interessantes. Além disso, as demonstrações altenativas feitas aqui possuem abordagem simples e são extremamente importantes
pois produzem constantes ótimas para a desigualdade.
Para nosso primeiro resultado precisamos, essencialmente, de um fato algébrico conhecido
e o teorema da Divergência.
Teorema 2.1 Para s, m ∈ R e u ∈ C0∞ (Rn \{0}) tem-se a desigualdade
|u|2
dx ≤
C
s+m+1
Rn |x|
Z

|u|2
dx
2s
Rn |x|

Z

1/2 Z

|∇u|2
dx
2m
Rn |x|

1/2
,

(2.1)

onde a constante C = C(s, m) := |n−(s+m+1)|
2
Prova. Seja u ∈ C0∞ (Rn \{0}) e s, m ∈ R, temos:
2

∇u
x
+
t
u dx ≥ 0
m
|x|s+1
Rn |x|

Z

para todo t ∈ R. Assim,
Z
Z
Z
|u|2
|∇u|2
x
2
dx + t
dx + 2t
u s+m+1 · ∇udx ≥ 0
2m
2s
Rn |x|
Rn |x|
Rn |x|

(2.2)

para todo t ∈ R. Seja K ⊂ Rn − {0} um compacto e A = A(ε, R) = B(0, R) − B(0, ε) tal
que K ⊂ A(ε, R) e u ≡ 0 em ∂A(ε, R). Como ∇u2 = 2u∇u, usando uma propriedade da

7

Divergência e o Teorema da Divergência podemos escrever
Z
Z
x
x
1
u s+m+1 · ∇udx =
∇u2 · s+m+1 dx
2 A
|x|
A |x|
Z



 
Z
x
x
1
2
2
div u
dx −
u div
dx
=
2 A
|x|s+m+1
|x|s+m+1
A
Z 
 


Z
1
x
x
2
2
=
dx
u
· η dS −
u div
2 ∂A
|x|s+m+1
|x|s+m+1
A


Z
1
x
2
= −
u div
dx
(2.3)
2 A
|x|s+m+1
1

Uma vez que ∂x∂ i |x|2α = α|x|2α−2 2xi com α ∈ R, temos ∂x∂ i |x|α = ∂x∂ i (|x|2α ) 2 = α|x|α−2 xi .
Consequentemente,

div

x
|x|α





n
X
∂
xi
=
∂xi |x|α
i=1
=

n
X
|x|α − xi ∂x∂ |x|α
i

|x|2α

i=1

=

n
X
|x|α − x2 α|x|α−2
i

|x|2α

i=1
n
X

α|x|−2 2
1
−
xi
α
α
|x|
|x|
i=1
n−α
=
|x|α

=

Se (s + m + 1) = α, de (2.3) obtemos
Z
Z
n − (s + m + 1)
x
|u|2
dx.
u s+m+1 · ∇udx = −
s+m+1
2
Rn |x|
Rn |x|
Assim, fazendo
Z
Z
Z
|u|2
|u|2
|∇u|2
dx,
B
=
[n
−
(s
+
m
+
1)]
dx,
C
=
dx
A=
2s
s+m+1
2m
Rn |x|
Rn |x|
Rn |x|
e usando (2.2) vemos que
At2 − Bt + C ≥ 0
para todo t ∈ R. Mas isso equivale a B 2 − 4AC ≤ 0, isto é,
[n − (s + m + 1)]

2

|u|2
dx
s+m+1
Rn |x|

Z

2
≤4
8

 Z

|u|2
|∇u|2
dx
dx
2s
2m
Rn |x|
Rn |x|

Z

Elevando ambos os membros a 1/2 concluimos o resultado.
Como consequência deste teorema, vamos listar algumas desigualdades particulares.
Corolário 2.2 Se u ∈ Cc∞ (Rn ), temos as seguintes desigualdades com constantes ótimas:

(i)

(iii)

(iv)

2 Z

|u|2
dx ≤
2
Rn |x|

Z

|∇u|2 dx

Rn

n − 2(m + 1)
2

2 Z

Z



2 Z

Z


(ii)

n−2
2

n − 2(s + 1)
2

n Z
2

Rn

|u|2
dx ≤
2(m+1)
Rn |x|

|u|2 dx ≤

|u|2
dx ≤
2(s+1)
Rn |x|

Z

|∇u|2
dx ;
2m
Rn |x|

|x|2(m+1) |u|2 dx

Rn

|u|2
dx
2s
Rn |x|

 21 Z

 21 Z

|∇u|2
dx
2(s+1)
Rn |x|

|∇u|2
dx
2m
Rn |x|

 12
;

 12
.

Prova. Basta tomar s e m especiais em (2.1):
(i) s = 1, m = 0;
(ii) s = m + 1;
(iii) m = s + 1;
(iv) s = −m − 1
Agora vamos provar dois lemas e usar um argumento de interpolação para exibirmos um
outro caso particular de (CKN). Além disso, tais lemas são casos de (CKN) e suas provas
também produzem constantes ótimas.
No primeiro lema, a argumentação vai seguir de uma função suave de valor vetorial
conveniêntemente definida, tendo destaque o uso da desigualdade de Young (Teorema 1.2)
que fornece uma maneira simples para obter melhor constante. Já no segundo lema, vamos
usar a desigualdade de Sobolev para uma função conveniênte e aplicar o resultado provado
no primeiro lema, além da desigualdade Young que novamente vai possibilitar encontrarmos
a melhor constante.
Lema 2.1 Seja u uma função em C0∞ (Rn ), n ≥ 3, −∞ < b <

9

n−2
e c = b + 1. Então
2

temos

|u(x)|2
dx ≤ Cb+1
2c
Rn k x k

Z

onde
Cb+1 =

k ∇u(x) k2
dx
k x k2b
Rn

Z

(2.4)

4
(n − 2 − 2b)2

é uma constante ótima.
Prova. Seja W : Rn \{0} → Rn uma função vetorial suave definida por


1
x
W (x) :=
.
2c − n k x k2c
n−2
n
implica em b =
, contradizendo a hipótese.
Tal função está bem definida pois c =
2
2
Dessa forma, como





1
1
k x k2c −2x2i c k x k2(c−1)
1
2cx2i
∂
Wi =
=
−
∂xi
2c − n
k x k2c
2c − n
k x k2c k x k2c+2
temos que

divW (x) =

1
2c − n



n
2c k x k2
−
k x k2c k x k2c+2




=

1
2c − n



−(2c − n)
−1
=
.
k x k2c
k x k2c

Se E = E(ε, R) = B(0, R) − B(0, ε) é o anel que contém o suporte de u temos que
Z
Z
|u(x)|2
dx = − |u(x)|2 divW (x) dx
2c
k
x
k
E
Z
Z E
2
div(|u(x)|2 W (x)) dx
W (x) · ∇|u(x)| dx −
=
E

E

Em seguida, aplicacando o Teorema da Divergência e usando a desigualdade de Young (com
p,q=2 e α > 0), teremos
Z
Z
|u(x)|2
dx =
W (x) · ∇|u(x)|2 dx
2c
E k x k
E
Z
= 2 u(x)W (x) · ∇u(x) dx
 

ZE 
u(x)W (x)
∇u(x)
= 2
·
dx
k x k−b
k x kb
E
Z 2

Z −2
α |u(x)|2 k W (x) k2
α k ∇u(x) k2
≤ 2
dx +
dx
k x k−2b
k x k2b
E 2
E 2
Z
Z
|u(x)|2 k W (x) k2
k ∇u(x) k2
2
−2
= α
dx
+
α
dx
(2.5)
k x k−2b
k x k2b
E
E
10

Por outro lado, como c = b + 1, podemos escrever
k W (x) k2
k x k2
1
=
−2b
2
4b+4
kxk
(2c − n) k x k
k x k−2b
1
=
(2b + 2 − n)2 k x k2b+2
1
=
.
(n − 2b − 2)2 k x k2c
Substituindo isso em (2.5) encontramos
Z
Z
Z
|u(x)|2
α2
|u(x)|2
k ∇|u(x)| k2
−2
dx
≤
dx
+
α
dx ⇒
2c
(n − 2b − 2)2 Rn k x k2c
k x k2b
Rn k x k
Rn

Z
Z
k ∇|u(x)| k2
α2
|u(x)|2
−2
1−
dx
≤
α
dx ⇒
2c
(n − 2b − 2)2
k x k2b
Rn
Rn k x k
Z
Z
(n − 2b − 2)2
k ∇|u(x)| k2
|u(x)|2
dx
≤
dx
2c
α2 (n − 2b − 2)2 − α4 Rn
k x k2b
Rn k x k
k
k(2αk − 4α3 )
0
Se definirmos k = (n − 2 − 2b)2 e f (α) = 2
teremos
que
f
(α)
=
−
,
α k − α4
(α2 k − α4 )2
p
consequentemente, fazendo f 0 (α) = 0 encontramos k − 2α2 = 0, isto é, α = k/2. Por outro
lado
(−2k 2 + 12kα2 )(kα2 − α4 )2 + 2k(2kα − 4α3 )(kα2 − α4 )(2kα − 4α3 )
00
f (α) =
(kα2 − α4 )4
(−2k 2 + 12kα2 )(kα2 − α4 ) + 2k(2kα − 4α3 )2
=
,
(kα2 − α4 )3
donde vemos que
p
(4k 2 )(k 2 /2)
f 00 ( k/2) =
>0
(k 2 /2)3
p
Portanto, α = k/2 é ponto de mı́nimo de f e
p
4
4
f ( k/2) = =
k
(n − 2 − 2b)2
é a constante ótima para a desigualdade.
Lema 2.2 Seja u uma função em C0∞ (RN ), n ≥ 3, −∞ < 2b < n−2, c = b e r =
Então temos
|u(x)|r
dx
br
RN k x k

Z

 r2

k ∇u(x) k2
dx
k x k2b
RN

Z
≤ Cb±

onde

2

2
n−2
n − 2 − 4b
2
Cb+ = K(n, r)
, Cb− = K(n, r)
n − 2 − 2b
n − 2 − 2b
+
−
sendo b representante de b > 0 e b representante de b < 0.
2

2n
= 2∗ .
n−2



11

(2.6)

Prova. Aplicando a desigualdade Sobolev para a função dada por f (x) =
obter
2∗

Z

 21∗



 2

u(x)
vamos
k x kb

! 12

|u(x)|
u(x)
≤ K(n, r)
⇔
∇
dx
∗ b dx
2
k x kb
RN k x k
RN
Z

 2
 r2
Z
|u(x)|r
u(x)
2
≤ K(n, r)
∇
dx.
dx
rb
k x kb
RN k x k
RN
Z

(2.7)

Uma vez que
∂
∂xi



u(x)
k x kb

=

∂
(u(x)) k x kb −u(x)bxi k x kb−2
∂xi
k x k2b

=

∂
(u(x))
u(x)bxi
∂xi
−
b
kxk
k x kb+2



temos que


∂
∂xi



u(x)
k x kb

2
=

( ∂x∂ i u(x))2
k x k2b

−2

( ∂x∂ i u(x))u(x)bxi
k x k2b+2

+

(u(x))2 b2 x2i
,
k x k2(b+2)

consequentemente,

 2
2
2bu(x)
u(x)
k∇u(x)k2
2 |u(x)|
+
b
−
∇u(x) · x
∇
=
b
2b
2(b+1)
kxk
kxk
kxk
kxk2(b+2)
que implica

 2
Z
Z
Z
Z
2
u(x)
2bu(x)
k∇u(x)k2
2 |u(x)|
∇
b
dx +
dx −
∇u(x) · x dx
dx =
b
2b
2(b+1)
2(b+2)
kxk
kxk
kxk
RN
RN
RN kxk
RN
= I1 + I2 + I3
(2.8)
Aplicando o lema 2.1 a I2 obtemos
2

I2 ≤ b Cb+1

k∇u(x)k2
dx
kxk2b
RN

Z

(2.9)

Já em I3 , vamos analisar separadamente os casos b > 0 e b < 0. Para b < 0, aplicando Young
e o lema 2.1 vemos que


Z
−2b
u(x)
I3 =
(∇u(x)) ·
x dx
2b
kxk2
RN kxk


Z 
Z 
−2b λ2 |u(x)|2 kxk2
−2b λ−2 k∇u(x)k2
≤
dx +
dx
kxk2b
2kxk4
kxk2b
2
RN
RN
Z
Z
|u(x)|2
k∇u(x)k2
2
−2
dx
−
bλ
dx
= −bλ
2(b+1)
kxk2c
RN kxk
RN
Z
k∇u(x)k2
2
−2
≤ −b(λ Cb+1 + λ )
dx
(2.10)
kxk2b
RN
12

Assim, (2.7)-(2.10) produz
Z
 r2
Z
k∇u(x)k2
|u(x)|r
2
2
2
−2
≤
K(n,
r)
(1
+
b
C
−
b(λ
C
+
λ
)
dx
dx,
b+1
b+1
rb
kxk2b
RN
RN k x k
como Cb+1 depende de n, podemos escrever K(n, r)2 (1+b2 Cb+1 −b(λ2 Cb+1 +λ−2 ) = f− (λ; n, b).
Para b > 0 procedemos de maneira análoga e encontramos
 r2
Z
Z
|u(x)|r
k∇u(x)k2
≤
f
(λ;
n,
b)
dx
dx,
+
rb
kxk2b
RN
RN k x k
onde f+ (λ; n, b) = K(n, r)2 (1 + b2 Cb+1 + b(λ2 Cb+1 + λ−2 ).
Agora resta minimizar f± com respeito a λ. Fazendo f±0 (λ) = 0 temos
+2K(n, r)2 bCb+1 λ − 2K(n, r)2 bλ−3 = 0
−2K(n, r)2 bCb+1 λ + 2K(n, r)2 bλ−3 = 0
que implica em

λ=

1

 14

Cb+1

como
f+00
f−00



 41 !

1

1

 14 !

2


podemos concluir que λ =

f

1

Cb+1

Cb+1

 14 !−4
>0



2

1

 14 !−4

Cb+1

>0

 14

1

 14 !

1
Cb+1

= −2K(n, r) bCb+1 − 6K(n, r) b

Cb+1





2

= 2K(n, r) bCb+1 + 6K(n, r) b

Cb+1


2

é ponto de mı́nimo. Uma vez que




Cb+1 p
2
= K(n, r) 1 + b Cb+1 ± b √
+ Cb+1
Cb+1
p
= K(n, r)2 (1 + b2 Cb+1 ± 2b Cb+1 )
p
= K(n, r)2 (1 ± b Cb+1 )2
2

estabelecemos
|u(x)|r
dx
br
RN k x k

Z

 r2

Portanto, substituindo Cb+1 =

2

≤ K(n, r) (1 ± b

p

2

Cb+1 )

k ∇u(x) k2
dx.
k x k2b
RN

Z

4
concluimos o desejado.
(n − 2 − 2b)2

Observe que para os lemas 2.1 e 2.2 foi usado que c = b + 1 e c = b, respectivamente. O
próximo teorema, apesar de não garantir constante ótima, abrange uma classe bem maior de
desigualdades CKN pois vamos prová-lo com b ≤ c ≤ c + 1.
13

Teorema 2.3 Seja u uma função em C0∞ (RN ), n ≥ 3, −∞ < b < n−2
, b ≤ c ≤ b+1 e
2
2n
r=
. Então, para cada θ ∈ [0, 1] temos
n − 2 + 2(c − b)
Z
 r2
Z
|u(x)|r
k ∇u(x) k2
β
α
C
dx
≤
C
dx
(2.11)
±
b
b+1
cr
k x k2b
RN k x k
RN
Onde Cb± e Cb+1 são, respectivamente, as constantes para c = b e c = b + 1, e
α=

2nθ
,
(n − 2)r

β=

2(1 − θ)
r

Prova. Para obter tal resultado faremos interpolação dos dois lemas anteriores. Primeiro
(n − 2) − (n − 2)(c − b)
devemos notar que para θ ∈ (0, 1) dado por θ =
podemos escrever
(n − 2) + 2(c − b)
r = 2(1 − θ) + 2∗ θ,
onde 2∗ =

(2.12)

2n
2n
é o Sobolev conjugado de 2. Uma vez que r =
obtemos
n−2
n − 2 + 2(c − b)
2nθ
n−2
(n − 2)(1 − θ) + nθ
n−2
2θ
1+
n−2
2θ
n−2
(2θ + n − 2)(c − b)
(2θ + n − 2)(c − b)
2(1 − θ) +

=
=
=
=
=
=

c =

2n
⇔
n − 2 + 2(c − b)
n
⇔
(n − 2) + 2(c − b)
n
⇔
n − 2 + 2(c − b)
2 − 2(c − b)
⇔
n − 2 + 2(c − b)
(n − 2)(1 − θ) ⇔
(2θ + n − 2) − nθ ⇔


nθ
b+1−
,
n − 2 + 2θ

consequentemente,


(2(1 − θ) + 2∗ θ)nθ
∗
rc = [2(1 − θ)(b + 1) + 2 θb] + 2 θ −
n − 2 + 2θ
= I1 + I2
∗

como


I2

nθ
2nθ (1 − θ) +
2nθ
n−2
=
−
n−2
n − 2 + 2θ
2nθ(n − 2 + 2θ)
2nθ
n−2
=
−
n−2
n − 2 + 2θ
= 0
14



temos que
rc = 2(1 − θ)(b + 1) + 2∗ θb.

(2.13)

Assim, por (2.12) e (2.13) podemos escrever
∗

|u(x)|2(1−θ)+2 θ
dx
2(1−θ)(b+1)+2∗ θb
RN kxk
Z
∗
|u(x)|2(1−θ) |u(x)|2 θ
=
·
, dx
2(1−θ)(b+1)
kxk2∗ θb
RN kxk
"Z 
#1−θ "Z 
#θ
1
 1−θ
1
2∗ θ θ
2(1−θ)
|u(x)|
|u(x)|
≤
dx
dx
2(1−θ)(b+1)
kxk
kxk2∗ θb
RN
RN
Z
1−θ Z
θ
∗
|u(x)|2
|u(x)|2
=
dx
dx ,
2(b+1)
2∗ b
RN kxk
RN kxk

|u(x)|r
dx =
cr
RN kxk

Z

Z

1
1
sendo que a desigualdade foi obtida aplicando Holder para r0 =
e r0 = . Para concluir
1−θ
θ
2
vamos elevar ambos os lados à e usar os lemas anteriores, recordando que no último lema
r
r = 2∗ . Portanto,
 r2
Z
 2(1−θ)
 2θr
Z
∗
r
|u(x)|2
|u(x)|2
|u(x)|r
dx
≤
dx
dx
cr
2(b+1)
2∗ b
RN kxk
RN k x k
RN kxk
 2(1−θ)
Z
θ
Z
r
2(1−θ)
k∇u(x)k2
k∇u(x)k2
θ
r
dx
Cb ±
dx
≤ Cb+1
kxk2b
kxk2b
RN
RN
∗
Z
 2(1−θ)
+ 2r θ
2
r
2(1−θ)
2∗ θ
k∇u(x)k
= Cb+1r Cb±r
dx
kxk2b
RN
Z
2(1−θ)
2∗ θ
k∇u(x)k2
r
r
dx.
= Cb+1 Cb±
kxk2b
RN

Z

15

Capı́tulo 3
Desigualdade de CKN geral
No capı́tulo anterior vimos classes da desigualdade CKN que possuem constantes explı́citas.
Agora veremos a prova do caso geral, onde não vamos explicitar a constante, entretanto, ficará
claro que ela também depende dos parâmetros. Por fim, listaremos algumas desigualdades
conhecidas que podem ser vistas como caso particular da CKN.
No que se segue, sejam p, q, r; α, β, σ; e a números reais fixos satisfazendo
p, q ≥ 1, r ≥ 0, 0 ≤ a ≤ 1

(3.1)

1 α 1 β 1 γ
+ , + , + ≥ 0,
p n q n r n

(3.2)

γ = aσ + (1 − a)β

(3.3)

onde

Teorema 3.1 Se u ∈ C0∞ (RN ), então existe uma constante positiva C tal que a seguinte
desigualdade ocorre
a
1−a
|x|γ u Lr ≤ C |x|α |Du| Lp |x|β u Lq
(3.4)
se e somente se as seguintes relações valem




1 α−1
1 β
1 γ
+ =a
+
+ (1 − a)
+
r n
p
n
q n
0≤α−σ

se a > 0

e
α−σ ≤1

se a > 0 e

1 α−1
1 γ
+
= + .
p
n
r n

(3.5)
(3.6)
(3.7)

Além disso, em qualquer subconjunto compacto no espaço dos parâmetros onde (3.1), (3.2),
(3.5) e 0 ≤ α − σ ≤ 1 ocorrem, a constante C é limitada

16

Primeiro devemos obsevar que se a = 0 não há o que provar, pois isto implica em γ = β,
tornando (3.4) e (3.5) imediatas.
Vamos começar verificando a necessidade e, posteriormente, algumas afirmações usadas
na prova da suficiência, em tais afirmações destacamos o uso da desigualdade tipo-Hardy
ponderada, ver [4]. A suficiência será dividida em três casos, o primeiro é o caso em que
n = 1 e σ = α − 1, seguimos com o caso n ≥ 1, 0 ≤ α − σ ≤ 1 e concluimos provando o caso
1 γ
1 α−1
= + . Vale ressaltar que sempre representaremos a constante por
α − σ > 1, +
p
n
r n
C, independende de variar linha pós linha.
Prova. Inicialmente note que para as normas em (3.4) serem finitas são necessárias as
desigualdades em (3.1).
(I) NECESSIDADE
Se (3.4) vale para u(x) então também vale para u(λx), com λ > 0.
v(x) = u(λx) temos
Z
r
γ
|x| v(x) Lr =
(|x|γ |u(λx)|)r dx
N
ZR
=
(|λ−1 y|γ |u(y)|)r λ−n dy
N
R
Z
−γr−n
= λ
(|y|γ |u(y)|)r dy,

Dessa forma, se

RN

isto é,

n

|x|γ v(x) Lr = λ−γ− r |y|γ u(y) Lr .
Procedendo de maneira analoga vemos que
n

n

|x|α |Dv(x)| Lp = λ−α− p +1 |y|α |Du(y)| Lp e |x|β v(x) Lq = λ−β− q |y|β u(y) Lq
Assim, de (3.4) obtemos
a

1−a

|y|γ u(y) Lr ≤ Cλk |y|α |Du(y)| Lp |y|β u(y) Lq ,
na
n
n
+ a − β(1 − a) − (1 − a) + γ + . Se ocoresse k 6= 0, fazendo λ ir para
p
q
r
0 (k > 0) ou λ ir para ∞ (k < 0) teriamos u ≡ 0. Portanto, deve ocorrer k = 0, isto é,
onde k = −αa −

n
na
n
= a(α − 1) +
+ β(1 − a) + (1 − a)
r
p
q




γ 1
1 α−1
1 β
+
= a
+
+ (1 − a)
+
n r
p
n
q n
γ+

17

⇔

Para a prova de (3.6) fixe v ∈ C0∞ (|x| < 1), v 6= 0, e seja u(x) = v(x − x0 ), com |x0 | = R
grande. Dessa forma, o suporte de u será em Bx0 (1) e (3.4) equivale a
! r1

Z

|x|γr |u|r dx

Z
≤

Bx0 (1)

! ap

! 1−a
q

Z

|x|αp |Du|p dx

|x|βq |u|q dx

,

Bx0 (1)

Bx0 (1)

nesse caso, como |x − x0 | < 1 e ||x| − |x0 || < |x − x0 | temos que (R − 1) < |x| < (R + 1). Por
R
3R
R
3R
outro lado, como R é grande podemos ter R − 1 >
e R+1<
, isto é,
< |x| <
.
2
2
2
2
Assim, independente do sinal de γ, α, e β obtemos
a

1−a

Rγ u Lr ≤ CRaα+(1−a)β Du Lp u Lq .
Sendo u(x) = v(x − x0 ),
a

1−a

Rγ v Lr ≤ CRaα+(1−a)β Dv Lp v Lq
⇔

a

1−a

Rγ−(aα+(1−a)β) v Lr ≤ C Dv Lp v Lq

Note que Dv 6= 0, pois caso contrário v seria constante (|x| < 1 é conexo) e, como v ≡ 0 fora
de um compacto, teriamos a função nula. Portanto, podemos fazer R → ∞ e concluı́mos que
γ ≤ aα + (1 − a)β
aσ + (1 − a)β ≤ aα + (1 − a)β
σ ≤ α.

⇔
⇔

Seguimos com a prova de (3.7). Sabemos
1 γ
1 α−1
+
=
+
p
n
r n
1 β
=
+ ,
q n
sendo a última igualdade obtida de (3.5) quando a < 1. Agora considere a função


se |x| ≥ 1
0
1
−γ− n
r log
u(x) = |x|
se  ≤ |x| ≤ 1
|x|

 −γ− nr
1

log 
se |x| ≤ .
Note que


−γ− n
r

D |x|

1
log
|x|






n
n  −γ− n −1 x
1
−x
r
=
− γ − |x|
log
+ |x|−γ− r |x| 3
r
|x|
|x|
|x|



n
1
x
=
−γ−
log
−1
n
γ+
r
|x|
|x| r +2
18

(3.8)

np
e que multiplicando np na primeira igualdade de (3.8) encontramos n + αp − p =
+ γp.
r
Utilizando as propriedades do logaritmo temos

p
Z
Z
n
n
1
αp
p
αp
(−γ − ) log
−1
|x|(−γ− r −1)p dx
|x| |Du| dx =
|x|
r
|x|
RN
<|x|<1
Z
p
1
=
|x|−n log (γ+ n ) + log e dx
|x| r
<|x|<1
!(γ+ nr ) p
1
Z
(γ+ n
)
e r
|x|−n log
=
dx
|x|
<|x|<1
Z
p
c
−n
= C
|x|
log
dx.
|x|
<|x|<1
Pondo em coordenadas polares,

Z 1
Z
p
1
c
p c
−n
log
dρ = C
ρn−1 dρ
|x|
log
|x|
ρn
ρ

<|x|<1
Z 1
 −1
1
p ρ
log
= C
dρ
c
 ρ
Z 1
 
1
p ρ
p
= C(−1)
log
dρ
c
 ρ

ρ 1
= C(−1)p logp+1
c 



c p+1
p
p+1
= C(−1) (− log c)
− − log




c p+1
p+1
p+1
= C(−1)
− log
− (− log c)



c p+1
p+1
= C log
− (log c)
,


19

(3.9)

além disso,
Z

γr

Z

Z
1
r 1
−γr−n
|x|
log
dx + 
log
|x|γr dx
|x|
 |x|<
<|x|<1
Z
Z
1
1
|x|−n logr
dx + −γr−n logr
|x|γr dx
|x|

<|x|<1
|x|<
Z 1
Z 
1
1
1
C
logr dρ + C−γr−n logr
ργr+n−1 dρ
ρ
 0
 ρ
Z 1
1
1

logr ρ dρ + C−γr−n logr (ργr+n 0 )
C(−1)r

 ρ

1
C(−1)r − logr+1  + C logr

 −1 !
1
1
+ C logr
C(−1)r+1 logr+1



r

|x| |u| dx =
RN

=
=
=
=
=

r

γr−γr−n

= C logr+1

1
1
+ C logr



(3.10)

e, analogamente,
Z

|x|βq |u|q dx = C logq+1

RN

1
1
+ C logq .



(3.11)

Assim, (3.9), (3.10) e (3.11) garantem que existe C tal que a função u(x) previamente definida
satisfaz (3.4) e, por outro lado, possibilita vermos que
Z
1
|x|γr |u|r dx ≥ C logr+1

RN
Z

c

1
≤ C logp+1


|x|αp |Du|p dx ≤ C logp+1

RN

Z

1
|x|βq |u|q dx ≤ C logq+1 ,

RN

consequentemente, de (3.4) obtemos
1

log r +1

1
1
1
1
≤ C loga( p +1)+(1−a)( q +1) ,



isto é,
1

1

1

log r +1−[a( p +1)+(1−a)( q +1)]
20

1
≤ C.


Dessa forma, deve ocorrer




1
1
1
+1 ≤ a
+ 1 + (1 − a)
+1
r
p
q
1
a 1−a
≤
+
.
r
p
q

⇔

Mas, de (3.3) e (3.5) sabemos que
a 1 − a a(α − 1) (1 − a)β aσ (1 − a)β
1
=
+
+
+
−
−
r
p
q
n
n
n
n
a 1−a a
=
+
+ (α − 1 − σ),
p
q
n
a
portanto, (α − 1 − σ) ≤ 0 ⇒ α − σ ≤ 1, donde concluimos a necessidade.
n
Agora vamos provar uma sequencia de afirmações que serão extremamente úteis para a
demonstração da suficiência.
(II) Suficiência
(A) Se 1 ≤ p ≤ r, δ ∈ R e α = δ +

1 p−1
+
então para u ∈ C0∞ (R)
r
p

|x|δ u Lr ≤ C |x|α |Du| Lp

(3.12)

nos seguintes casos
1
(i) δ + > 0
r
1
(ii) δ + < 0 e u(0) = 0
r
Além disso, a constante C em (1.19) fica limitada por p, r, e δ que variam sobre qualquer
subconjunto compacto de {1 ≤ p ≤ r, γr 6= −1}.
No caso que (i) ocorrer, vamos usar teorema 2 de [4]. De fato,
Z s
sup
s>0

0

|x|δr dx

 r1 Z ∞

−αp0

|x|

 10



p

dx

= sup
s>0

r

= sup
s>0

= sup
s>0

1 
 −αp0 +1  p10
xδr+1 s r
x
c
lim
0
0
c→∞
δr + 1
−αp + 1 s
!
! 10
1
1
1
0
0
p
sδ+ r
c−p (δ+ r ) − s−p (δ+ r )
lim
c→∞
δ + 1r
−p0 (δ + 1r )
!
!
1
1
sδ+ r
s−(δ+ r )
δ + 1r
δ + 1r

1
(δ + 1r )2
< ∞,

=

21

sendo que a segunda igualdade ocorre devido
1 p−1
+
⇔
r
p
1
1
α− 0 = δ+
⇔
p
r
1
−αp0 + 1 = −p0 (δ + ).
r
α = δ+

Verificamos que estamos nas condições do teorema 2 de [4], logo
Z ∞

δr

|Du(t)|dt

|x|

 r1

r

Z ∞

Z ∞
≤C

dx

 p1

p

|x| |Du(x)| dx

x

0

αp

.

0

Como
Z ∞

δr

|Du(t)|dt

|x|

 r1

r

Z ∞

Z ∞

Du(t)dt

δr

 r1

r

|x| |u(x)| dx

=

dx

x

0

Z ∞

 r1

r

Z ∞

|x|

≥

dx

x

0

δr

,

0

concluimos
Z ∞

δr

r

 r1

|x| |u(x)| dx

Z ∞

αp

p

|x| |Du(x)| dx

≤C

0

 p1
.

0

Para o caso (ii), procedemos de maneira analoga utilizando o teorema 1 de [4] e verificando
que
Z ∞

 r1 Z s

s

−αp0

|x|

|x| dx

sup
s>0

δr

0

 10
p

dx

 1  −αp0 +1  p10
s
cδr+1 − sδr+1 r
= sup lim
c→∞
δr + 1
−αp0 + 1
s>0
 δr+1  r1  −αp0 +1  p10
−s
s
= sup
δr + 1
−αp0 + 1
s>0
!
!
1
1
−sδ+ r
s−(δ+ r )
= sup
δ + 1r
−(δ + 1r )
s>0


1
(δ + 1r )2
< ∞
=

22

para obter
Z ∞

δr

 r1

r

|x| |u(x)| dx

Z ∞
≤

|x|

0

 r1

r

Z x

δr

dx

Du(t)dt
0

0

Z ∞
≤

δr

|x|

|Du(t)|dt

0

 r1

r

Z x

dx

0

Z ∞
≤ C

αp

 p1

p

|x| |Du(x)| dx

.

0
1

1

1
(p) r (p0 ) p0
Ainda dos teoremas 1 e 2 de [4] temos que
≤
C
≤
, o que explica a
(δ + 1r )2
(δ + 1r )2
afirmação da limitação da constante C. Por outro lado, fazendo mudança de variável e
usando o que provamos acima temos
Z 0

δr

r

 r1

|x| |u(x)| dx

Z 0

δr

 r1

r

|y| |u(−y)| − dy

=
∞

−∞

Z ∞

δr

 r1

r

|y| |u(y)| dy

=
0

Z ∞
≤ C

αp

p

 p1

|y| |Du| dy
0

Z −∞
= C

|x|αp |Du|p − dx

 p1

0

Z 0

αp

p

 p1

|x| |Du| dx

= C

,

−∞

para ambos casos. Portanto, usando o lema 1.2
|x|δ u Lr =

Z 0

|x|δr |u(x)|r dx +

Z ∞

−∞

|x|δr |u(x)|r dx

 r1

0

"Z

0

|x|δr |u(x)|r dx

≤ C

 r1

Z ∞
+

−∞

"Z

0

0

≤ C

|x|δr |u(x)|r dx

 r1 #

|x|αp |Du|p dx

−∞

 p1

Z ∞
+
0

≤ C |x|α |Du| Lp ,
em ambos casos.

23

|x|αp |Du|p dx

 p1 #

(B) Assuma (3.1)-(3.3),(3.5) e seja Rρ = {ρ < |x| ≤ 2ρ}, para todo ρ > 0. Se u ∈ C0∞ (RN )
e
δ=γ+

n
− n,
r

(3.13)

então
Z

γr

! arp

Z

r

|x| |u| ≤ C
Rρ

αp

! (1−a)r
q

Z

p

βq

|x| |Du|

q

|x| |u|

Rρ

!r

Z

δ

|x| |u|

+C

Rρ

(3.14)

Rρ

R
com C independente de ρ. Se Rρ u = 0 então o último termo de (3.14) pode ser omitido.
Vamos provar o caso ρ = 1 e justificar o caso geral reescalando. Começamos escrevendo
R1 = R e considerando o caso que
a 1−a a
1
= +
− > 0.
m
p
q
n

(a > 0)

(3.15)

R
Quando isso ocorre, utilizamos teorema 2.1, pg-125 de [12], e u∗ = (med(R))−1 R u obtemos
Z

∗ m

|u − u |

Z

p

 am
Z
p

∗ q

|Du|

≤C

|u − u |

R

R

 (1−a)m
q
.

(3.16)

R

Uma vez que α − σ ≥ 0, de (1.18) temos




1 α−1
1 aα (1 − a)β
1 β
+
+
≥ a
+
+
+ (1 − a)
⇒
r
n
n
p
n
q n
a (1 − a) a
1
≥
+
−
⇒
r
p
q
n
r ≤ m,
sendo a última implicação obtida de (3.15). Assim, usando a desigualdade de Holder e (3.16),
Z

|u − u∗ |r

Z
≤

R

1

m
m−r

 m−r
Z
m

 mr

|u − u |

R

R

Z

p

≤ C

 arp Z

∗ q

|u − u |

|Du|
R

Por outro lado, se (3.15) não vale, isto é,

∗ rm
r

 (1−a)r
q
(3.17)

R

a 1−a
a
+
≤ teremos
p
q
n

1
1
1 1
−
≤
−
p n
q qa
1 1
1
−
<
.
p n
q
24

⇒
(3.18)

Como
1
≥a
r



1 1 1
− −
p n q



1
+ ,
q

existe b ≤ a tal que


1
1 1 1
1
= b
− −
+
r
p n q
q
b 1−b
b
=
+
−
quando r ≥ q
p
q
n
b = 0 quando r ≤ q,
Dessa forma, procedendo de maneira análoga ao anteriormente exposto encontramos
Z

Z

∗ r

p

 brp Z

∗ q

|Du|

|u − u | ≤ C

|u − u |

R

R

 (1−b)r
q
(3.19)

R

Agora, usando desigualdade de Holder, de Sobolev e observando que (3.18) é equivalente a
n−p
1
>
⇔ q < p∗ temos:
q
pn
Z

Z

∗ q

|u − u |

≤

1

 p∗p−q
Z
∗

∗ q

 1q

 pq∗

R

Z

∗ p∗

 p1∗

|u − u |

≤ C

|u − u |

p∗

∗ q q

|u − u |

R

R

Z

p∗
p−q

R

R

Z

∗ q

 1q

Z

|u − u |

p

 p1

|Du|

≤ C

.

(3.20)

R

R

Combinando (3.19) e (3.20) chegamos em (3.17) novamente, isto é,
Z

Z

∗ r

|u − u |

≤ C

p

 arp Z

|Du|
Z

≤ C

|Du|p

 arp Z

|Du|p

 arp Z

 (b−a)r
Z
p

|u − u∗ |q

 (1−a)r
Z
q
R

.

R

Reescalonando (3.17) e multiplicando por ργr temos:
Z
Rρ

ργr |u − u∗ |r ≤ C

Z

! arp
ρpσ |Du|p

Rρ

Z
Rρ

25

 (a−b)r
q

|u − u |

 (1−a)r
q

|u − u |

R

∗ q

R

R
∗ q

|Du|

= C

 (1−a)r
Z
q

R

R
p

∗ q

|u − u |

R

R

Z

 (b−a)r
Z
p

|Du|

R

R

p

! (1−a)r
q
ρqβ |u − u∗ |q

.

|Du|p

 (a−b)r
p

Como ρ < |x| ≤ 2ρ podemos escrever
Z

|x|γr |u − u∗ |r ≤ C

Rρ

Se

R
Rρ

! arp

Z

! (1−a)r
q

Z

|x|pα |Du|p

Rρ

|x|qβ |u − u∗ |q

(3.21)

Rρ

u = 0 em (3.21) temos (3.14) omitindo o último termo. Se u∗ 6= 0 notamos que
Z

|u − u∗ |q

 1q

Z

(|u| + |u∗ |)q

≤

R

 1q

R

Z

q

≤

 1q

|u|

Z

∗ q

 1q

|u |

+
R

R

Z

q

≤ C

 1q

|u|

,

(3.22)

R

donde, usando (3.17)
Z

|u|r

 r1

Z
≤

R

 r1

(|u − u∗ | + |u∗ |)r

R

Z

 r1

∗ r

|u − u |

≤

Z

∗ r

 r1

|u |

+
R

R

Z

p

 ap Z

∗ q

|Du|

≤ C

 ap Z

|u|

+ (med(R))

R

R

R

|u|q

 1−a
q

 r1
1

Z

Z

R

|Du|p

≤ C

−1

|u − u |

R

Z

 1−a
q
Z
|u|

+C

R

(3.23)

R

Portanto, usando a afirmação 1 concluı́mos o caso ρ = 1. Para o caso geral, primeiro vamos
reescalonar (3.23) para obter
! r1

Z

! ap

Z

|u|r

|Du|p

≤ C

Rρ

! 1−a
q

Z

Rρ

! ap

! 1−a
q

Z

p

q

|Du|

|u|

Rρ

+ Cρ

n
−n
r

Rρ

|u|

1
Rρ

Rρ

Z
= C

+ (med(Rρ ))−1

|u|q

! r1 Z

Z

Rρ

Z
|u| ,
Rρ

multiplicando por ργ temos
Z

! r1
rγ

r

ρ |u|
Rρ

Z
≤C

! ap
σp

p

Z

ρ |Du|

! 1−a
q
βq

q

ρ |u|

Rρ

Rρ

26

Z
+C
Rρ

n

ργ+ r −n |u| .

Novamente, lembrando que ρ < |x| ≤ 2ρ concluimos
Z

! r1
rγ

r

|x| |u|

! ap

Z

αp

≤C

p

Z

βq

q

|x| |u|

|x| |Du|

Rρ

! 1−a
q

Rρ

Rρ

Z
+C

n

|x|γ+ r −n |u| .

Rρ

(C) Assuma (3.1)-(3.3),(3.5), σ = α − 1 e suponha que
q
a > (1 + q − )−1 .
p

(3.24)

Então (3.4) vale com a constante C uniforme, enquanto γr + n fica limitada longe de zero.
1
a (1 − a)
Tendo em vista γ = a(α − 1) + (1 − a)β e (3.5) vemos que = +
, dessa forma,
r
p
q
q
a > (1 + q − )−1 ⇔
p
a
a
1
+a−
>
⇔
q
p
q
1
.
a >
r

(3.25)

Nesse contexto, vamos provar (3.4) usando integração por partes radial. Seja BA (0) uma
bola que contém o suporte de u, temos
Z
Z
Z A
γr
r
|x| |u| =
ργr |u(ρθ)|r ρn−1 dρ dθ,
S n−1

BA

entretanto,
Z A
r
ργr+n−1 [u(ρθ)2 ] 2 dρ

=

0

=
≤
≤

0

Z A
r
1
r
1
γr+n
r A
ρ
|u(ρθ)| 0 −
ργr+n [u(ρθ)2 ] 2 −1 D[u(ρθ)2 ]dρ
γr + n
γr + n 0
2
Z A
r
−
ργr+n |u(ρθ)|r−2 u(ρθ)D[u(ρθ)]dρ
γr + n 0
Z A
r
−
ργr+n |u(ρθ)|r−2 |u(ρθ)||hDu(ρθ), vi|dρ
γr + n 0
Z A
C
ργr+1 |u(ρθ)|r−1 |Du(ρθ)|ρn−1 dρ.
0

27

Assim,
Z
|x|γr |u|r

Z A

Z
≤ C
S n−1

BA

Z
= C
ZBA
= C
ZBA
= C

ργr+1 |u(ρθ)|r−1 |Du(ρθ)|ρn−1 dρdθ

0

|x|γr+1 |u(x)|r−1 |Du(x)|dx

1 
a−1
1
(|x|α |Du(x)|) |x|(1−a)β |u(x)|1−a a |x|γr+1−α+( a )β |u(x)|r− a dx

 a1 −1  
r− a1
(|x| |Du(x)|) |x| |u(x)|
|x| |u(x)|
dx,
α

β

BA

onde
 = γr + 1 − α + β −

β
a

= γr − [a(α − 1) + (1 − a)β]
= γ r−

1
a

1
.
a

1
q
1
< 1 + q − e daı́ vemos que − 1 < q. Dessa forma, usando Holder e
a
p
a
lembrando do suporte de u obtemos
Z
1
1
−1
(3.26)
|x|γr |u|r ≤ C |x|α |Du| Lp |x|β u La q |x| |u|r− a L ,
Por (3.24) temos

k

com k escolhido de modo que
1 1 −1
1
+ (a − 1) + = 1,
p q
k
isto é,
1
k
a
k
a
k
1
k r−
a

1
1
1
= − −
+ +1 ⇔
p qa q
a 1 a
= − − + +a ⇔
p q q
1
= − +a
⇔
r
= r,

28

e (multiplicando a última igualdade por γ) k = γr. Portanto de (3.26) vemos que
Z

γr

r

|x| |u|
Z

|x|γr |u|r

 a−1
r

α

1
−1
a

β

Z

γr

≤ C |x| |Du| Lp |x| u Lq
1

r

1− a−1
r

|x| |u|

−1

≤ C |x|α |Du| Lp |x|β u La q
a

1−a

|x|γ u Lr ≤ C |x|α |Du| Lp |x|β u Lq

(D) Se t, q ≥ 1; γ +

n
n
n
,  + , β + > 0 e 0 ≤ b ≤ 1 então
r
t
q
b

1−b

|x|γ u Lr ≤ |x| u Lt |x|β u Lq

(3.27)

1
b 1−b
= +
r
t
q

(3.28)

γ = b + (1 − b)β

(3.29)

para u ∈ C0∞ (RN ) e

br (1 − b)r
+
, a desigualdade acima segue da desigualdade de Holder:
t
q
Z
Z
γr
r
|x| |u| =
(|x|br |u|br )(|x|(1−b)rβ |u|(1−b)r )

Uma vez que 1 =

Z

br

br

t
br

≤

(|x| |u| )

=

|x| u Lt |x|β u Lq

br

 brt Z

(1−b)rβ

(|x|

(1−b)r

|u|

)

q
(1−b)r

 (1−b)r
q

(1−b)r

Por conveniência de notação vamos escrever
|x|α Du Lp = A,

|x|β u Lq = B

(3.30)

Daqui por diante ζ(x) representara uma função em C0∞ (RN ) fixa, com as seguintes propriedades:
1
(3.31)
0 ≤ ζ ≤ 1; ζ ≡ 1 se |x| < , ζ ≡ 0 se |x| > 1
2

(III) Suficiência quando n = 1 e σ = α − 1

29

Quando possı́vel, vamos usar o (IIA) para o caso a = 1 e (IID) para interpolar entre a = 0
1
1
e a = 1. Observe que (IIA) não se aplica quando + α − 1 = 0, isto é, quando δ + = 0 em
p
r
(3.12). Note ainda que σ = α − 1 em (3.3) e (3.5) produz
1
a 1−a
= +
,
r
p
q

γ = a(α − 1) + (1 − a)β

A técnica usada aqui se resume a esgotar as possibilidades para

(3.32)
1
+ α − 1 e conseguir
p

(3.4) para cada uma delas.
1
1
= + α − 1, 0 ≤ a ≤ 1
r
p
Por (IID) temos
a
1−a
|x|γ u Lr ≤ |x|α−1 u Lp |x|β u Lq ,

(A) o caso γ +

como α = α − 1 +

(3.33)

1 p−1 1
+
e + α − 1 > 0, usando (IIA) encontramos
p
p
p
|x|α−1 u Lp ≤ C |x|α Du Lp

(3.34)

Combinando (3.33) e (3.34) concluimos (3.4).
O restante da seção será dedicado ao caso γ +

1
1
6= + α − 1. Em tal evento, podemos
r
p

1
renormalizar u, isto é, definir ũ(x) = u(Rx), de forma que A = B = 1. Vejamos como
S
exibir R e S que garantem tal renormalização.
1 =
=
=
=
=
=

p

|x|α Dũ(x) Lp
Z
|x|αp |Dũ(x)|p dx
Z
p
αp R
Du(Rx) dx
|x|
S
Z
p
R
y αp
|Du(y)|p R−1 dy
S
R
Z
Rp−αp−1
|y|αp |Du(y)|p dy
Sp
Rp−αp−1
A
Sp

30

e
q

|x|β ũ(x) Lq
Z
q
βq 1
=
|x|
u(Rx) dx
S
Z
1 y βq
=
|u(y)|q R−1 dy
Sq R
= R−βq−1 S −q B,

1 =

(
p−αp−1
1
S = R p Ap
resolvendo
B = Rβq+1 S q

temos
p−αp−1

⇔
⇔
⇔

p

B = Rβq+1 Rq p A q
−p
βqp+p+pq−αpq−q
p
BA q = R
(β−α+1)pq+(p−q)
−p
p
BA q = R
p


−p
(β−α+1)pq+(p−q)
q
R = BA

e
S =
R e S fazem sentido pois γ +

⇒
⇒
⇒



BA

−p
q

 p−αp−1
p
 (β−α+1)pq+(p−q)
p

1
1
6= + α − 1 equivale a
r
p
 


1
1
+γ −
+β
r
q




1
1
−a β +
+a α−1+
q
p
q
q (β − (α − 1)) + 1 −
p
(β − α + 1)pq + (p − q)

1

Ap .

6= 0
6= 0
6= 0
6= 0

Assumindo tal normalização, nosso objetivo é mostrar que |x|γ u Lr ≤ C.
1
+ α − 1 > 0 e limitada longe de zero
p
A prova desse caso segue usando os mesmos argumentos da parte A. No entanto, note
1
que se + α − 1 −→ 0 a constante C de (3.34) tende para ∞ (ver a constante C na prova
p
de (IIA)).
1
Os próximos casos, (C)-(E), são para a prova de + α − 1 ≈ 0 e o caso (F) para
p
1
+ α − 1 < 0 e limitada longe de zero.
p
(B) O caso

31

Escolhemos um número real v, dependendo dos parâmetros, tal que 0 < v <
1
1
2v < γ + , 2v ≤ β + ≤ (2v)−1
r
q
1
1
+α−1≤v e <1−v
p
p
Primeiro note que a e (1 + q − pq )−1 são limitadas longe de 1, isto é,




1
1
1
γ+
= a
+ α − 1 + (1 − a)
+β
⇒
r
p
q
1
2v ≤ av + (1 − a)
⇒
2v
a ≤ 1 + 2av 2 − 4v 2
⇒
2
a ≤ 1 − 2v

1
e
2
(3.35)

(C) o caso −v 3 ≤

(3.36)

e
1
1

 <
1 + qv
1 + q 1 − p1
≤

1
.
1+v

(3.37)

a
, daı́ vemos que a0 = a(1 + 2v 2 ) ≤ (1 − 2v 2 )(1 + 2v 2 ) =
µ
1 − 4v 4 , ou seja, a < a0 ≤ 1 − 4v 4 . Por (IID),
Seja µ = (1 + 2v 2 )−1 e defina a0 =

a

1−a

|x|γ u Lr ≤ |x| u L0t |x|β u Lq 0 ,
onde  e t são determinados por
a0 1 − a0
1
=
+
r
t
q
a 1−a
a0 1 − a0
+
=
+
p
q
t
q
1

⇔
⇔

1

1 1
µ
µ
−
=
−
⇔
p q
t
q
1
µ 1−µ
=
+
t
p
q
γ = a0  + (1 − a0 )β ⇔
a(α − 1) + (1 − a)β = a0  + (1 − a0 )β ⇔

β
(α − 1) − β =
−
⇔
µ µ
 = µ(α − 1) + (1 − µ)β.
32

(3.38)

Além disso, vemos que




1
1
1
+ = µ
+ α − 1 + (1 − µ) β +
t
p
q
3
≥ −µv + (1 − µ)2v
v3
2v
= −
−
+ 2v
2
1 − 2v
1 − 2v 2
3v 3
=
1 + 2v 2
= 3µv 3
1
1
1
é limitada longe de zero. Uma vez que v <
⇔
>
, (3.37) implica que
2
2
2v + 1
1+v

−1
q
1
= µ. Assim, por (IIC)
1+q−
<
p
1 + 2v 2
|x| u Lt ≤ CAµ B 1−µ

(3.39)

e substituindo (3.39) em (3.38) obtemos
|x|γ u Lr ≤ CAµa0 B (1−µ)a0 B 1−a0 = CAa B 1−a = C
(D) O caso −v 3 ≤

1
1
+ α − 1 ≤ v, 1 − v ≤ ≤ 1, a ≥ v
p
p

Seja δ = γ + 1r − 1. Pelas hipóteses acima vemos que α ≤ v + 1 −
2v ≤ γ +

1
≤ 2v e como
p

1
− 1 + 1 = δ + 1 temos
r

α ≤ 2v ≤ δ + 1,
(3.40)






1
1
1
por outro lado, de a
+ α − 1 ≤ av e −a
+ β ≤ −2av temos que a
+α−1 −
p
q
p


1
+ β ≤ −av ≤ −v 2 , daı́
a
q
1
1
≤
+ β − v2
r
q
1
1
γ+ −1−β ≤
− 1 − v2
r
q
1
δ−β ≤
− 1 − v2.
q
γ+

⇒
⇒

(3.41)

Afirmamos que
Z

γr

r

|x| |u|

 r1

a

≤ CA B
33

1−a

Z
+C

|x|δ |u| .

(3.42)

De fato, se Rk = {2k < |x| ≤ 2k−1 }, para todo k inteiro, então (IIB) implica que
 arp Z
 (1−a)r
Z
r
Z
Z
q
γr
r
αp
p
βq
q
δ
|x| |u| ≤ C
|x| |Du|
|x| |u|
+C
|x| |u|
Rk

⇒

XZ
k∈Z

Rk
γr

r

|x| |u|

≤ C

Rk

X

Rk

"Z

αp

p

Rk

 arp Z

q

|x| |u|

|x| |Du|

Z

δ

r #

|x| |u|

+

Rk

Rk

k∈Z

βq

 (1−a)r
q

.

Rk

(1 − a)r
ar
+
= 1 e r ≥ 1, consequentemente, podemos usar as
p
q
desigualdades (1.1) e (1.2) para conseguirmos

! arp
! (1−a)r
!r 
q
XZ
XZ
XZ
XZ
|x|γr |u|r ≤ C 
|x|αp |Du|p
|x|βq |u|q
+
|x|δ |u|  ,
De (3.32) sabemos que

k∈Z

Rk

Rk

k∈Z

k∈Z

Rk

k∈Z

Rk

Portanto,
r
|x| |u| Lr
γ

Z
⇒
Resta mostrar que

γr

r

≤ C

 r1

|x| |u|
R



α

|x|
a

≤ CA B

ar
(1−a)r
|Du| Lp |x|β |u| Lq
+

1−a

Z
+C

Z

δ

r 

|x| |u|

|x|δ |u| .

|x|δ |u| ≤ C. Para isso consideremos ζ definda anteriormente, escrevamos
Z
Z
Z
δ
δ
|x| |u| = |x| ζ|u| + |x|δ (1 − ζ)|u|
(3.43)

e estimemos os dois termos separadamente. Considere [M,N] o intervalo que contém o suporte
de u. Uma vez que δ é limitada longe de -1, usaremos integração por partes no primeiro termo
da soma. Fazendo |x| = ρ, observemos que se x = ρ
Z
Z M
δ
ρδ+1 ζ(ρ)|u(ρ)|dρ
ρ ζ(ρ)|u(ρ)|dρ =
N

=
=
=
≤
=
≤

Z M
M
1 δ+1
1
ρ ζ(ρ)|u(ρ)| −
ρδ+1 D[ζ(ρ)|u(ρ)|]dρ
δ+1
δ
+
1
N
N

Z M
1
δ+1
δ+1
−
ρ (Dζ(ρ))|u(ρ)| + ρ ζ(ρ)D|u(ρ)| dρ
δ+1 N

Z M
1
δ+1
δ+1
−1
−
ρ (Dζ(ρ))|u(ρ)| + ρ ζ(ρ)|u(ρ)| u(ρ)Du(ρ) dρ
δ+1 N
Z M
Z M
δ+1
C
ρ |Dζ(ρ)||u(ρ)|dρ + C
ρδ+1 ζ(ρ)|Du(ρ)|dρ
N
ZN
Z
δ+1
δ+1
C |x| ζ|Du| + C |x| |Dζ||u|
Z
Z
δ+1
C
|x| |Du| + C
|x|δ+1 |u| ,
1
<|x|<1
2

|x|<1

34

sendo obtida a mesma desigualdade quando usamos x = −ρ.
Se q > 1, usando a desigualdade de Holder
Z
Z
δ+1
|x| |u| =
|x|δ+1−β |x|β |u|
1
<|x|<1
2

1
<|x|<1
2

! q1∗

Z

(δ+1−β)q ∗

≤

|x|
1
<|x|<1
2

|x|β u Lq

= CB,
onde q ∗ =

q
. Se q = 1,
q−1
Z
1
<|x|<1
2

|x|δ+1−β |x|β |u| ≤ C |x|β u Lp .

Além disso, uma vez que δ + 1 ≥ α por (3.40), podemos proceder de maneira análoga e
verificar que
Z
Z
δ+1
|x|δ+1−α |x|α |Du|
|x| |Du| =
|x|<1

|x|<1

≤ CA
quando p = 1 e
Z

δ+1

|x|

Z
|Du|

|x|δ+1−α |x|α |Du|

≤

|x|<1

|x|<1

Z

(δ+1−α)p∗

 p1∗

|x|

≤
|x|<1

|x|α Du Lp

= CA
quando p > 1, onde p∗ =

p
. Portanto,
p−1
Z
|x|δ ζ|u| ≤ C

(3.44)

Para estimar a segunda parcela de (3.43), vamos usar apenas argumentos similares aos
da primeira:
Z
Z
Z
δ
δ
|x| (1 − ζ)|u| =
|x| (1 − ζ)|u| +
|x|δ |u|
1
<|x|<1
|x|>1
Z2
≤
|x|δ |u|
|x|> 21
Z
=
|x|δ−β |x|β |u|
|x|> 12

! q1∗

Z

(δ−β)q ∗

≤ B

|x|
|x|> 21

35

sendo q > 1 e q ∗ =

q
. Como (3.41) garante que δ − β < 0, segue que a última integral
q−1

converge. Assim
Z

|x|δ (1 − ζ)|u| ≤ C.

Se q = 1, novamente usando que δ < β, temos
Z
Z
δ
|x| |u| =
|x|> 21

(3.45)

|x|δ−β |x|β |u|

|x|> 21

Z
≤ C

|x|β |u|

|x|> 21

≤ CB,
R
consequentemente, (3.45) também vale para esse caso. Portanto, |x|δ |u| ≤ C, onde C
é uniforme quando v é fixo. Isso conclui a prova, pois a partir de (3.42) verificamos que
|x|γ u Lr ≤ C.
1
+ α − 1 ≤ v, 0 ≤ a < v.
p
Argumentaremos de maneira semelhante a parte (C). Seja  e t satisfazendo
(E) O caso −v 3 ≤

µ 1−µ
1
= +
,
t
p
q

ε = µ(α − 1) + (1 − µ)β.

(3.46)

1
a
Consideremos µ = , a0 = = 2a e, de maneira análoga ao item (C), observamos que (3.46)
2
µ
equivale a
a0 1 − a0
1
=
+
,
r
p
q

γ = a0 (α − 1) + (1 − a0 )β

e




1 1
1 1
1
=
+α−1 +
+β
+
t
2 p
2 q
1
≥
(2v − v 3 )
2
1
≥
(2v − v)
2
1
=
v.
2
Como a0 < 2v, por (IID) temos
a

1−a

|x|γ u Lr ≤ |x| u L0t |x|β u Lq 0
36

que implica em
2a

1−2a

|x|γ u Lr ≤ |x| u Lt |x|β u Lq .

(3.47)

1
1
Além disso, uma vez que  + ≥ v > 0 e (3.46) ocorre, pelos casos (C) e (D) (considerando
t
2
1
a= )
2
1
1
|x| u Lt ≤ A 2 B 2 .
(3.48)
Combinando (3.47) e (3.48) concluı́mos
|x|γ u Lr ≤ CAa B 1−a
Agora nos resta verificar o caso em que
(F) O caso

1
+ α − 1 < 0 e limitada longe de zero.
p

1
+ α − 1 < −v 3
p

Seja û(x) = u(x) − u(0)ζ(x), com ζ definida em (3.31). Observando que α = α − 1 +

1
+
p

p−1 1
, + α − 1 < 0, û(0) = 0 e lembrando de (3.32), podemos repetir os argumentos das
p
p
partes (A) e (B) para obter
a

1−a

|x|γ û Lr ≤ C |x|α Dû Lp |x|β û Lq

a

1−a

= C |x|α Du + |x|α u(0)Dζ(x) Lp |x|β u + |x|β u(0)ζ(x) Lq

! p1 a
Z

|x|αp |Dζ|p
≤ C  |x|α Du Lp + |u(0)|
1
<|x|<1
2

"
·
Z

βq

q

Z

|x| |ζ| ≤

Como
|x|<1

|x|β u Lq + |u(0)|
βq

|x|
|x|<1

Z 0

βq

|x|

=

Z

|x|βq |ζ|q

 1q #1−a
.

|x|<1

Z 1
+

−1

|x|βq = C, (3.49) reduz a

0

|x|γ û Lr ≤ C(1 + C|u(0)|)a (1 + C|u(0)|)1−a
≤ C(1 + |u(0)|).
Para completer a prova precisamos mostrar que |u(0)| ≤ C.

37

(3.49)

Z ∞
Primeiro note que −

d
k
(uζ) = − lim (uζ) 0 = u(0)ζ(0) = u(0) e, consequentemente,
k→∞
dx
0
Z ∞
|(Du)ζ + uDζ|
|u(0)| ≤
0
Z 1
Z 1
|Du| + C
≤
|u|
1
2

0

Z 1

Z 1
|Du| + C

= C

|x|−β |x|β |u|

1
2

0

Z 1
|Du| + C

≤ C
0

(última desigualdade obtida repetindo argumentos usados no caso (D)). Se p > 1, pela
desigualdade de Holder
Z 1
0

onde p0 =

Z 1

α

|Du| ≤ |x| Du Lp

x

−αp0

 p10
,

0

p
, entretanto, como
p−1

⇒
⇒

1
− 1 + α < −v 3
p
1
− 0 + α < −v 3
p
1 − p0 α > p 0 v 3

podemos calcular a última integral e concluir que
Z 1
|Du| ≤ C.

(3.50)

0
3

Z 1

Se q = 1, da nossa hipótese inicial temos α ≤ −v < 0 e

|Du| =
0

Portanto,
|u(0)| ≤ C.

(IV) Suficiência quando n ≥ 1, α ≥ σ ≥ α − 1

38

Z 1

|x|−α |x|α |Du| ≤ C.

0

(3.51)

Note que nesse caso
1
γ a a(α − 1) 1 − a (1 − a)β
= − + +
+
+
r
n p
n
q
n
1
a 1 − a a(α − 1 − σ)
=
+
+
r
p
q
n
a 1−a
1
≤
+
.
r
p
q

⇒
⇒

(3.52)

A idéia aqui é provar o caso em que a função é radial através do caso n = 1 já provado e
depois o caso não-radial usando caso radial.
(A) Função radial
Consideremos u(x) = f (|x|), onde f é suave em [0, ∞) e desaparece para |x| grande. Para
k ∈ Z, seja Rk = {2k ≤ |x| ≤ 2k+1 }. Por (IIB) temos
Z

γr

Z

r

αp

p

 arp Z

|x| |Du|

|x| |u| ≤ C

q

 (1−a)r
q

|x| |u|

Rk

Rk

βq

Z

δ

|x| |u|

+C

Rk

r
,

(3.53)

Rk

n
1
a
1−a
1
1
− n. Seja s definido por
= +
, vemos que
≤
≤ 1. Pela
r
s
p
q
r
s
desigualdade de Holder segue que
r
Z
r
Z
n
n
γ+ n
δ
−
+
−n
|x| r s s |u|
|x| |u|
=
onde δ = γ +

Rk

Rk

Z
≤

(|x|

n
−n
s

)

s
s−1

Z
 (s−1)r
s

µs

s

 rs

|x| |u|
Rk

Rk

Z

−n

 (s−1)r
Z
s

|x|

=

µs

s

 rs

|x| |u|

Rk

Rk

Z

µs

s

 rs

|x| |u|

= C

,

(3.54)

Rk

n n
− . Dessa forma, somando (3.53) para todo k ∈ Z e usando as desigualdades
r s
(1.1), (1.2) temos:
com µ = γ +

Z

γr

r

|x| |u|

 r1

a

≤ CA B

1−a

39

Z
+C

µs

s

|x| |u|

 1s
.

(3.55)

Por outro lado, observe que
Z

µs

s

 1s

Z ∞ Z

|x| |u|

ρ

=

( ns
+γs−n)
r

s n−1

|f (ρ)| ρ

 1s
dθdρ

S n−1

0

Z ∞
≤ C

ρ

( ns
+γs−1)
r

 1s

s

|f (ρ)| dρ

0

Z ∞

µ̂s

 1s

s

ρ |f (ρ)| dρ

= C

, µ̂ =

0

n
1
+γ− ,
r
s

(3.56)

n−1
p

(3.57)

enquanto
Z

αp

p

 p1

Z ∞Z

|x| |Du|

ραp |Df |p ρn−1 dθdρ

=
S n−1

0

RN

Z ∞

α̂p

 p1

p

ρ |Df | dρ

≥ C

, α̂ = α +

0

e
Z

βq

q

 1q

|x| |u|

Z ∞

β̂q

q

|x| |f |

≥C

 1q
, β̂ = β +

0

RN

n−1
.
q

(3.58)

Uma vez que




1
1
a
a(n − 1)
a
+ α̂ − 1 + (1 − a)
+ β̂
=
+ a(α − 1) +
p
q
p
p
1−a
(1 − a)n 1 − a
+
+ (1 − a)β +
−
q
q
q




n
n
+ α − 1 + (1 − a)
+β
= a
p
q
n
= γ+
r
1
=
+ µ̂,
s
da seção III (n = 1), concluı́mos
a

1−a

|x|µ̂ f Ls ≤ C |x|α̂ Df Lp |x|β̂ f Lq .

(3.59)

De (3.55) e (3.56) obtemos
Z

γr

r

|x| |u|

 r1

a

≤ CA B

1−a

Z ∞

s

ρ |f (ρ)| dρ

+C
0

40

µ̂s

 1s
(3.60)

e substituindo (3.57) e (3.58) em (3.59) concluı́mos
Z ∞

µ̂s

 1s

s

ρ |f (ρ)| dρ

≤ CAa B 1−a .

0

Portanto,
|x|γr u Lr ≤ CAa B 1−a

(B) Função não-radial
Para toda u ∈ C0∞ (RN ), seja U : (0, ∞) → RN sua função média esférica
Z
1
U (ρ) =
u
A[∂B1 (0)]ρn−1 |x|=ρ

(3.61)

e ũ a função radial associada em RN
ũ(x) = U (|x|).

(3.62)

De (3.61) temos
Z
1
U (ρ) =
u(y)dy
A[∂B1 (0)]ρn−1 |x|=ρ
Z
1
u(x + ρw)ρn−1 dw
=
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂B1 (0)
Z
1
=
u(x + ρw)dw
A[∂B1 (0)] ∂B1 (0)
que implica em
1
DU (ρ) =
A[∂B1 (0)]

Z
Du(x + ρw) · wdw ,
∂B1 (0)

usando Schwartz vemos que
Z
1
|DU (ρ)| ≤
|Du(x + ρw)|dw
A[∂B1 (0)] ∂B1 (0)
Z
1
1
=
|Du(y)| n−1 dy
A[∂B1 (0)] ∂Bρ (0)
ρ
Z
1
=
|Du| ,
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂Bρ (0)
41

(3.63)

por outro lado,
1
|U (ρ)| ≤
A[∂B1 (0)]ρn−1

Z
|u| .

(3.64)

∂Bρ (0)

Dessa forma, usando (3.63)
Z
p
α
|x| Dũ Lp =
|x|αp |DU (|x|)|p
N
ZR∞ Z
=
|x|αp |DU (|x|)|p dSdρ
0
∂Bρ (0)
Z ∞
ραp |DU (ρ)|p A[∂B1 (0)]ρn−1 dρ
=
0

Z ∞
≤
0

Z ∞
≤

A[∂B1 (0)]ρn−1
ραp
(A[∂B1 (0)]ρn−1 )p

|Du|

ραp (A[∂B1 (0)]ρn−1 )1−p

Z

!
|Du|p

A[∂B1 (0)]ρn−1

( p−1
)p
p

dρ

∂Bρ (0)

Z ∞

ραp

!

Z

0

Z

dρ

∂Bρ (0)

0

=

!p

Z

|Du|p

dρ

∂Bρ (0)

|x|αp |Du|p

=
RN
p

= A

(3.65)

1
p−1
a última desigualdade foi obtida pela desigualdade de Holder, sendo +
= 1 e,
p
p
analogamente, usando (3.64)
|x|β ũ Lq ≤ B.
(3.66)
Além disso, vemos que
Z
1
(u − ũ)
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂Bρ (0)

Z
Z
1
1
=
u−
U (|x|)
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂Bρ (0)
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂Bρ (0)
Z
1
=
u − U (ρ)
A[∂B1 (0)]ρn−1 ∂Bρ (0)
= 0.
(3.67)

Seja Rk = {2k < |x| ≤ 2k+1 } com k ∈ Z; por (IIB) e (3.67) temos
 arp Z
Z
 (1−a)r
Z
q
|x|γr |u − ũ|r ≤ C
|x|αp |Du − Dũ|p
|x|βq |u − ũ|q
,
Rk

Rk

(3.68)

Rk

para cada k ∈ Z. Somando (3.68) para todo k ∈ Z, usando a desigualdade em (1.1) e (1.2)
obtemos
|x|γ (u − ũ) Lr ≤

a

1−a

|x|α D(u − ũ) Lp |x|β (u − ũ) Lq
42

donde
|x|γ u Lr − |x|γ ũ Lr ≤ C

|x|α Du Lp + |x|α Dũ Lp

a

|x|β u Lq + |x|β ũ Lq

1−a

. (3.69)

Portanto, usando (3.65), (3.66) e (IV-A)
|x|γ u Lr ≤ C2a Aa 21−a B 1−a + |x|γ ũ Lr
≤ CAa B 1−a + CAa B 1−a
≤ CAa B 1−a

(V) Suficiência para o caso

1 γ
1 α−1
+
6= + e σ < α − 1
p
n
r n

Note que nesse caso a < 1 necessariamente. Podemos assumir A=B=1, uma vez que tal
1
normalização é conseguida por escalonamento analogo ao feito em (III) quando + α − 1 6=
p
1
+ γ. Como (3.4) foi provado para σ = α e para σ = α − 1, sabemos que
r
|x|δ u Ls ≤ C

|x| u Lt ≤ C,

(3.70)

b 1−b
b
1
= +
−
s
p
q
n

(3.71)

1
d 1−d
= +
t
p
q

(3.72)

desde que δ, s, , e t sejam relacionados por
δ = bα + (1 − b)β,

 = d(α − 1) + (1 − d)β,

para escolhas de b e d com 0 ≤ b, d ≤ 1 e supondo que
δ
1
+ > 0,
n s


1
+ > 0.
n t

(3.73)

Sobre certas condições para b e d veremos que (3.70) implica em uma cota para |x|γ u Lr .
Nosso trabalho aqui é descobrir tais condições que serão suficientes para concluir a prova do
teorema.
Considerando ζ definida em (3.31) e escrevemos
Z
Z
γr
r
γ r
|x| u Lr =
|x| ζ|u| + |x|γr (1 − ζ)|u|r .

43

r t−r
r s−r
Usando a desigualdade de Holder ( +
=1e +
= 1), estimamos
t
t
s
s
Z
 r1
Z
 r1
r
r
(γ−)r
γr
r
=
|x| |u| ζ|x|
|x| ζ|u|
Z

t

≤

t

 rt r1 Z

|x| |u|

(ζ)

1
 t−r
t r

t
(γ−)r t−r

t
t−r

(|x|)

|x|<1

Z



≤

|x| u Lt

|x|

(γ−)rt
t−r

 r1 − 1t
(3.74)

|x|<1

e
Z

γr

r

 r1

|x| (1 − ζ)|u|

Z

δr+(γ−δ)r

|x|

=

1
! s−r
s r
s

(1 − ζ)|x|(γ−δ)r( s−r )

|x|> 21

! r1 − 1s

Z

|x|δ u Ls

≤

 r1

(1 − ζ)|u|

Z

|x|δ u Ls

≤

r

s

|x|(γ−δ)r( s−r )

,

(3.75)

|x|> 21

desde que
1
1
<
t
r

1
1
< .
s
r

e

(3.76)

Como
Z
|x|

(γ−)rt
t−r

Z 1 Z
|x|

=

|x|<1

0

!
dS

dρ

∂Bρ (0)

Z 1
=

(γ−)rt
t−r

(γ−)rt

ρ t−r +n−1

0

=

1
(γ−)rt
+n
t−r

ρ

(γ−)rt
+n
t−r

1

,
0

teremos convergência se
(γ − )rt
+n>0
t−r
que equivale a
1

1 γ
+ < + .
t n
r n
Assim, as integrais em (3.74) e (3.75) convergem se
1

1 γ
1 δ
+ < + < + .
t n
r n
s n
44

(3.77)

Além disso, de (3.5), (3.71) e (3.72) temos




1

1 α−1
1 β
+ =d
+
+ (1 − d)
+
t n
p
n
q n
1 γ
+ =a
r n
1 δ
+ =b
s n





1 α−1
+
p
n

1 α−1
+
p
n





1 β
+
q n





+ (1 − a)


+ (1 − b)

1 β
+
q n



,

dessa forma, reescrevendo (3.77) temos





1 γ
1 γ
1
1 δ
+ −
+
+
<0< + −
t n
r n
s n
r n
que equivale a








1 β
1 α−1
1 β
1 α−1
+
+ (a − d)
+
< 0 < (b − a)
+
+ (a − b)
+
(d − a)
p
n
q n
p
n
q n

 


 

1 α−1
1 β
1 α−1
1 β
⇔ (d − a)
+
+
+
+
−
< 0 < (b − a)
−
,
p
n
q n
p
n
q n
de modo que (3.77) ocorre sempre que
b<a<d

se

1 α−1
1 β
+
< +
p
n
q n

1 α−1
1 β
+
> + .
p
n
q n




1 γ
1 α−1
1 β
Por outro lado, como + = a
+
+ (1 − a)
+
> 0, (3.73) ocorre se |d − a|
r n
p
n
q n
e |b − a| são suficientemente pequenos. Além disso,
d<a<b

se

1 1
a 1 − a a(α − 1) σ b 1 − b
b
−
=
+
+
− − −
−
r s
p
q
n
n p
q
n


1 1 1
a
= (a − b)
− −
+ (α − σ)
p q n
n
1 1
− = (a − d)
r
t



1 1
−
p q


+
45

a
(α − σ − 1)
n

(3.78)

(3.79)

e, uma vez que a > 0 e σ < α − 1, obtemos
0<

a
a
(α − σ − 1) < (α − σ).
n
n

Assim, se |b − a| e |a − d| são suficientemente pequenas, de (3.78) e (3.79) vemos que (3.76)
1 1
1
1
também ocorre, isto é, > e > . Portanto, para essas escolhas de b e d, usando (3.70),
r
s r
t
(3.74) e (3.75) encontramos
|x|γ u Lr ≤ C.
Isso conclui a prova do teorema.

Observação 3.2
1
−(m + s + 1)
• Se a = , α = −m, β = −s, γ =
e r = p = q = 2 temos o teorema 2.1.
2
2
• Se a = 1, α = −b, γ = −c e p = r = 2 temos o lema 2.1.
• Se a = 1, α = γ = −b e p = 2 temos o lema 2.2.
• Se a = 1, α = −b, γ = −c e p = 2 temos o teorema 2.2

Além dos casos particulares vistos no inı́cio do trabalho, para os quais demos provas
alternativas que produziram constantes ótimas, algumas desigualdades conhecidas também
podem ser vistas como consequência deste teorema.
Corolário 3.3 Se u ∈ Cc∞ (Rn ), as seguintes desigualdades valem:
(i)

R

1
1
R
|Du|p p ,
|u|r r ≤ C

(ii)

R

1
1
R
|x|−r |u|r r ≤ C
|Du|r r

(iii)

|u|Lr ≤ C|u|aLp |∇u|1−a
Lq ,

(iv)

2/n
1+2/n
L1

|u|Lr ≤ C|u|

onde r =

np
n−p

(Desigualdade Sobolev)
(Desigualdade de Hardy)

1
onde = a
r



1 1
−
p n


+

1−a
(Gagliardo − N irenberg)
q

1

|∇u|L1+2/n
2

(Desigualdade de N ash)

Prova. Basta tomar constantes apropriadas em (3.4):
(i) a = 1 e γ = α = 0;
(ii) a = 1, α = 0, γ = −1 e r = p;

46

(iii) γ = α = β = 0 e 1 ≤ p < n.
(iv) γ = α = β = 0, p = 2, q = 1 e a =

1
1 + n2

47

Referências Bibliográficas
[1] Bartle, R.G. The Elements of integration, John Wiley, 1966.
[2] Bazan, A.; Neves, w. A scaling approach to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality,
Math.AP 3 Apr (2014) arXiv 1304-1823v2.
[3] Bazan, A.; Neves, w. The Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg Inequalities Revisited,
Math.AP (2010) arXiv 1007-2005v1.
[4] Bradley, J.S. Hardy inequalities with mixed norms, Canad. Math. Bull. 21 (1978) 405408.
[5] Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. First order interpolation inequalities with weights,
Compos. Math. 53 (1984) 259-275.
[6] Cirmi, G. R.; Porzio, M. M. L1 -solutions for some nonlinear degenerate elliptic and
parabolic equations, Ann. Mat. Pura Appl., 169 (1995), 67-86.
[7] Costa, D.G. Some new and short proofs for a class of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type
inequalities, J. Math. Anal. 337 (2008) 311-317.
[8] Edwards, C.H. Advanced Calculus of Several Variables, Academic press, 1973
[9] Evans, L.C. Partial Differential Equations, IAMS Bookstore, 1998, v.19.
[10] Fabes, E.; Kenig, C.; Serapioni, R. The local regularity of solutions of degenerate elliptic
operators, Comm. Partial Differ. Equations, 7 (1982), 77-116.
[11] Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Polya, G. Inequalities, Cambridge: Cambridge University
Press (1952).
[12] Nirenberg, L. On elliptic partial differential equations, Ann. di Pisa 9 (1959) 115-162.
[13] Romão, D.C. Um estudo sobre a boa colocação local da equação não-linear de Schrodinger
cúbica unidimensional em espaços sobolev periódicos, Dissertação de Mestrado, Instituto
de Matemática da Universidade Federal de Alagoas, Maceió-AL 2009.
[14] Talenti, G. Best Constant in Sobolev Inequality, Radazione (1975).

48