Dissertação
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Rigidez de esferas bidimensionais área minimizantes
em variedades tridimensionais
José Anderson de Lima e silva
Maceió, Brasil
Março de 2015
JOSÉ ANDERSON DE LIMA E SILVA
RIGIDEZ DE ESFERAS BIDIMENSIONAIS ÁREA MINIMIZANTES EM VARIEDADES
TRIDIMENSIONAIS
Dissertação de Mestrado, na área de concentração
de Geometria Diferencial submetida em 13 de
Março de 2015 à banca examinadora, designada
pelo Programa de Mestrado em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau de
mestre em Matemática.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva
Maceió, Brasil
Março de 2015
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário Responsável: Valter dos Santos Andrade
S586r
Silva, José Anderson de Lima e.
Rigidez de esferas bidimensionais área minimizantes em variedades
tridimensionais / José Anderson de Lima e Silva – 2015.
23 f.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Programa de Pós Graduação em Matemática. Maceió,
2015.
Bibliografia: f. 22-23.
1. Imersão. 2. Superfícies mínimas. 3. Curvatura escalar. 4. Superfície com
curvatura média constante. 5. Isometria. I. Título.
CDU: 514.756.24
A Jesus
“Um sonho adiado por um ano, em virtude de uma encefalite que
não se sabe de onde veio. Mas graças ao nosso bom Deus e a
pessoas extraordinárias, fiquei curado e o dia tão desejado chegou.
Obrigado senhor Jesus”
Agradecimentos
Em primeiro lugar, a Deus por todo seu amor e cuidado, e por sempre estar comigo em
todos os momentos difı́ceis.
A minha mãe, Regina Lima por todo seu amor e dedicação para comigo. A minha amada
noiva Renata Moreira pelo companheirismo, cuidado, amor e incentivo.
Aos meus familiares pelo amor, cuidado e por tornarem a minha vida tão alegre e suave.
Em especial a minha querida irmã Aleide Lima pela amizade, amor e cuidado.
Ao orientador e amigo Márcio Batista pela amizade, paciência, cuidado para com minha
orientação e pelos seus conselhos tão úteis academicamente e na minha vida pessoal, os quais
levarei comigo para sempre.
Agradeço aos professores do Instituto de Matemática da UFAL, que fizeram parte de
mais essa etapa da minha formação acadêmica. Ao professor Marcos Petrúcio e ao professor
Feliciano Vitório por sempre estar disponı́vel para tirar duvidas.
Ao Dr. Fernando Tenório Gameleira por seu brilhante trabalho na medicina. Obrigado
por tudo.
A todos os colegas de turma e da sala de estudo. Em especial aos amigos Rogério Vitório
e Robson Silva pelas conversas matemáticas e pelas distrações durante o coffee da tarde. A
Diego Chicuta e Fabrı́cio Lira pelas ajudas nos problemas computacionais. Aos alunos de
doutorado José Ivan Santos e Abraão Mendes pela amizade, e por sempre estarem disponı́veis
para tirarem minhas dúvidas.
A todos os funcionários da UFAL. Em especial aos Funcionários do Instituto de Matemática, com ênfase para dona Maria, pelo café sempre disponı́vel.
Enfim, a CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
Seja (M, g) uma variedade riemanniana compacta tridimensional. Temos que
inf{área(S2 , f ∗ g) ; f ∈ F} · inf R ≤ 4π,
M
onde F é o conjunto de todas as funções suaves f : S2 → M e R é a curvatura escalar de M .
Se vale a igualdade, mostraremos que o recobrimento universal de (M, g) é isométrico a um
cilindro.
Palavras chave: Imersão, superfı́cies mı́nimas, curvatura escalar, superfı́cie com curvatura
média constante, isometria.
Abstract
Let (M, g) be a compact three-manifold. We have
inf{area(S2 , f ∗ g) ; f ∈ F} · inf R ≤ 8π,
M
where F denotes the set of all smooth maps f : S2 → M and R is the scalar curvature of M .
If equality holds, we show that the universal cover of (M, g) is isometric to a cylinder.
Palavras chave: Immersion, minimal surfaces, scalar curvature, constant mean curvature
surfaces, isometry.
Sumário
Introdução
10
1 Preliminares
1.1 Definições e fatos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Primeira e segunda variação da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Reescalonado uma métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
2 Prova do resultado
2.1 Desigualdade Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Rigidez da Desigualdade Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
10
Referências Bibliográficas
21
Introdução
Neste trabalho consideraremos (M, g) uma variedade Riemanniana compacta tridimensional. Denote por F o conjunto das aplicações suaves f : S2 → M e defina
A(M, g) := inf{área(S2 , f ∗ g) ; f ∈ F}.
O resultado que abordaremos aqui, foi provado em 2010 por H. Bray, S. Brendle e A. Neves,
onde eles consideram (M, g) com curvatura escalar positiva e provam que
A(M, g) inf R ≤ 8π.
M
Além disso, se a igualdade ocorre então o recobrimento universal de (M, g) é isométrico ao
cilindro S2 × R.
Esse trabalho está inserido em uma linha de pesquisa bastante fértil, ver [3], [4], [6],
[7] e [8], e as referências por eles citadas. O caso de superfı́cies foi tratado primeiramente
por Galloway em [4], o qual usa a técnica de deformação local e em seguida um processo de
colagem adequado para assim poder aplicar um resultado de Schoen e Yau, [11]. Em seguida,
Bray et al trata o caso de planos projetivos em variedades tri-dimensionais. A prova deste
usa fortemente a existência da solução em tempos curtos para o fluxo de Ricci, ver [15]. O
trabalho seguinte é o alvo desta dissertação e já explanamos sobre o mesmo no parágrafo
anterior. Mais recentemente, Nunes [7] completou a descrição do quadro até agora exposto,
provando o caso em que o ambiente pode ter curvatura negativa e o gênero da superfı́cie é
maior que um. M. Micallef e V. Moraru [16] fazem uma prova unificada de [4], [5] e [7] com
abordagens diferentes.
1
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo, fixaremos notações e apresentaremos as principais definições e fatos que
serão utilizados no desenvolvimento deste trabalho. Vale ressaltar que o conhecimento prévio
de fatos básicos de geometria Riemanniana será de grande utilidade para uma boa leitura do
texto.
1.1
Definições e fatos básicos
Considere (M, g) uma variedade Riemanniana de dimensão n. A curvatura R de M é uma
correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplicação R(X, Y ) : X (M ) →
X (M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z,
onde Z ∈ X (M ) e ∇ é a conexão Riemanniana de M . Aqui X (M ) denota o espaço dos
campos de vetores suave em M .
O tensor curvatura de Riemann de (M, g) é definido por
R(X, Y, Z, W ) = g(∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z, W ),
onde X, Y, Z, W ∈ X (M ). Algumas vezes, denotaremos a métrica g por h·, ·i.
Para quaisquer campos X, Y, Z, W em X (M ), o tensor curvatura de Riemman satisfaz às
seguintes relações de simetria
hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, X)Z, W i e hR(X, Y )Z, W i = −hR(X, Y )W, Zi.
Ver demostração de (1.1) em [2], Proposição 2.5, página 102.
Dados um ponto p ∈ M e um subespaço bidimensional σ ⊂ Tp M , o número real
K(X, Y ) =
(X, Y, X, Y )
,
|X ∧ Y |2
2
(1.1)
é chamado curvatura seccional de σ em p, onde {X, Y } é uma base de σ, (X, Y, X, Y ) =
hR(X, Y )X, Y i e |X ∧ Y |2 = |X|2 |Y |2 − hX, Y i2 . O número K(X, Y ) independe da base
{X, Y } escolhida (ver Proposição 3.1 em [2], página 104).
A curvatura de Ricci de (M, g) em p ∈ M é a forma bilinear simétrica
Ric(X, Y ) =
n
X
R(X, ei , Y, ei ),
i=1
onde {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de Tp M.
A curvatura escalar de (M, g) em p, é definida por
R=
n
X
Ric(ei , ei ),
i=1
onde {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de Tp M.
¯ Sejam
Considere (M̄ n+m , g) uma variedade Riemanniana com a conexão riemanniana ∇.
f : M n → M̄ n+m uma imersão isométrica e p ∈ M , podemos provar usando a fórmula de
Koszul que a conexão Riemanniana de M dada por
¯ X Y )> ,
∇X Y = (∇
e a segunda formula fundamental de M em p, denotada por II é definida como sendo
¯ X Y )⊥ ,
II(X, Y ) = (∇
onde X, Y ∈ Tp M .
O vetor curvatura média H(p) de f em p ∈ M , é definido por
H(p) =
n
X
II(ei , ei ),
i=1
onde {e1 , ..., en } é uma base ortonormal de Tp M .
Sejam X, Y, Z ∈ T M e A o operador simétrico associado à II, a expressão dada por
R(X, Y )Z = R̄(X, Y )Z + hAX, Zi AY − hAY, Zi AX,
é chamada a equação de Gauss (ver [10], página 4).
1.2
Primeira e segunda variação da área
Seja f : Σn → M n+1 uma imersão, onde Σ é compacta. Considere ft : Σ × (−, ) → M
uma variação normal de Σ, onde > 0 e f é uma função suave tal que f (x, 0) = x, para todo
x ∈ Σ e ft = f (t, ·) : Σ → M é uma imersão para cada t ∈ (−, ) fixo.
3
Proposição 1.1 (Primeira formula da variação da área) Temos
Z
d
V (Σt )
= − hX, Hi dv,
dt
Σ
t=0
onde X denota o campo de vetor variacional ∂f
(x, 0), V (Σt ) e dv denotam a área de Σt e o
∂t
elemento de área de Σ respectivamente.
Demonstração. Ver capı́tulo 1, seção 3 em [13].
Definição 1.1 Uma imersão f : Σ → M é dita mı́nima, se a curvatura média H é identicamente nula.
Para a Proposição abaixo, considere f : Σ → M uma imersão mı́nima e seja ft : Σ ×
(−, ) → M uma variação normal de uma Σ compacta. Denotaremos por X = ξN o campo
variacional.
Proposição 1.2 (Segunda formula da variação da área) Temos
Z
d2
V (Σt )
=
|∇ξ|2 − (R̄ic(N, N ) + |A|2 )ξ 2 dv,
dt2
Σ
t=0
onde ∇ξ denota o gradiente em Σ da função ξ.
Demonstração. Ver capı́tulo 1, seção 8 em [13].
Dizemos que uma imersão mı́nima f : Σ → M é estável, se para cada variação normal
suave ft de Σ tivermos
Z
d2
V (Σt )
=
|∇ξ|2 − (R̄ic(N, N ) + |A|2 )ξ 2 dv ≥ 0.
dt2
Σ
t=0
∂
Seja Σt uma variação suave de Σ e considere ρt = g(Nt (x), ∂t
ft (x)). Assim
−
d
H(t) = ∆ρt + (R̄ic(Nt (x), Nt (x)) + |IIt |2 )ρt ,
dt
(1.2)
onde Nt (x) denota o campo de vetores normal unitário em Σt e os demais elementos já
conhecidos que estão com ı́ndice t referem-se à Σt , (ver [8], página 39).
1.3
Reescalonado uma métrica
Proposição 1.3 Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana e c > 0 um número real, então
ḡ = c g é uma métrica e vale as seguintes relações
4
(i) Rḡ = Rg , Ricḡ = Ricg e Rḡ = 1c Rg .
(ii) A(M, ḡ) = c · A(M, g).
Demonstração. De
A(M, g) = inf{área(S2 , f ∗ g) ; f ∈ F}.
Se c > 0, temos
A(M, c g) = inf{área(S2 , f ∗ (cg)) ; f ∈ F}.
Agora
Z p
Z p
∗
área(S , f (c g)) =
det(c f g) dx dy =
c2 det(f ∗ g) dx dy
2
2
S
S
Z p
=c
det(f ∗ g) dx dy = c · área(S2 , f ∗ g).
2
∗
S2
Assim
A(M, c g) = c · A(M, g).
Seja ḡ = c g, seus sı́mbolos de Christooffel são dados por
∂
∂
1X ∂
k
ḡjl +
ḡli −
ḡij ḡ lk
Γ̄ij =
2 l
∂xi
∂xj
∂xk
∂
∂
∂
1X
gjl +
gli −
gij ) · (c−1 g lk )
c(
=
2 l
∂xi
∂xj
∂xk
1X ∂
∂
∂
=
gjl +
gli −
gij · g lk
2 l
∂xi
∂xj
∂xk
= Γkij .
Donde
Rḡ (X, Y )Z = Rg (X, Y )Z. Isto é, Rḡ = Rg .
Por definição, temos que
Ricḡ (X, Y ) =
X
ḡ(Rḡ (X, Ei )Ei , Y ),
i
(1.3)
√
√
1
onde {Ei } é ortonormal
para
ḡ.
Isto
é,
ḡ(E
cEj ) =
i , Ej ) = δij , daı́ g(Ei , Ej ) = c δij , então g( cEi ,
√
δij e portanto { cEi } é ortogonal para g.
Assim por (1.3), vem que
X
Ricḡ (X, Y ) =
c g(R(X, Ei )Ei , Y )
i
X√ √
=
c · c g(R(X, Ei )Ei , Y )
i
=
X
g(R(X,
√
√
cEi ) cEi , Y )
i
= Ricg (X, Y ).
5
Logo
Ricḡ = Ricg .
Para {Ej } ortonormal, temos por definição
X
X
Rḡ =
Ricḡ (Ej , Ej ) =
Ricg (Ej , Ej )
j
=
=
Reescrevendo
j
1X
c
c Ricg (Ej , Ej ) =
j
√
√
1X
Ricg ( cEj , cEj )
c j
1 g
R .
c
1
Rḡ = Rg .
c
6
Capı́tulo 2
Prova do resultado
Aqui, enunciaremos o principal resultado deste trabalho e faremos a sua prova. Na seção
(2.1) começamos enunciando o Teorema principal e em seguida faremos a prova da desigualdade geométrica. Na seção (2.2) é feito o estudo sobre rigidez da desigualdade geométrica.
2.1
Desigualdade Geométrica
Teorema 2.1 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana compacta com π2 (M ) 6= 0. Temos
que
A(M, g) inf R̄ ≤ 8π,
M
onde R̄ é a curvatura escalar de (M, g) e A(M, g) := inf{área(S2 , f ∗ g) ; f ∈ F}. Além disso
se vale a igualdade, então o recobrimento universal de (M, g) é isométrico ao cilindro S2 × R
munido da métrica produto padrão.
Vamos apresentar alguns resultados preliminares que serão necessários na prova da desigualdade. O primeiro resultado é:
Proposição 2.2 Dada qualquer imersão f : S2 → M , temos
Z
(R̄ − 2R̄ic(N, N ) − |II|2 ) dµf ∗ g ≤ 8π,
S2
onde II representa a segunda forma fundamental de f .
Demonstração. Sejam f : S2 → M uma imersão e {e1 , e2 } em T Σ ortonormais, onde
Σ = f (S2 ). Completando esta base com o vetor normal unitário a T Σ, N , obtemos {e1 , e2 , N }
em T M ortonormais.
7
Utilizando a equação de Gauss na segunda igualdade abaixo, segue que
Ric(X, Y ) : = hR(X, e1 )Y, e1 i + hR(X, e2 )Y, e2 i
= hR̄(X, e1 )Y + hAX, Y iAe1 − hAe1 , Y iAX, e1 i
+ hR̄(X, e2 )Y + hAX, Y iAe2 − hAe2 , Y iAX, e2 i
= hR̄(X, e1 )Y, e1 i + hAX, Y ihAe1 , e1 i − hAe1 , Y ihAX, e1 i
+ hR̄(X, e2 )Y, e2 i + hAX, Y ihAe2 , e2 i − hAe2 , Y ihAX, e2 i
= R̄ic(X, Y ) − hR̄(X, N )Y, N i + hAX, Y i(hAe1 , e1 i + hAe2 , e2 i)
− (hAX, e1 ihAY, e1 i + hAX, e2 ihAY, e2 i)
= R̄ic(X, Y ) − hR̄(X, N )Y, N i + hAX, Y iH − hAX, AY i.
Reescrevendo
Ric(X, Y ) = R̄ic(X, Y ) − hR̄(X, N )Y, N i + HhAX, Y i − hAX, AY i.
Daı́,
R = Ric(e1 , e1 ) + Ric(e2 , e2 )
= R̄ic(e1 , e1 ) − hR̄(e1 , N )e1 , N i + HhAe1 , e1 i − hAe1 , Ae1 i
+ R̄ic(e2 , e2 ) − hR̄(e2 , N )e2 , N i + HhAe2 , e2 i − hAe2 , Ae2 i
= R̄ − R̄ic(N, N ) − (hR̄(N e,1 )N, e1 i + hR̄(N, e2 )N, e2 i) + H. H − T rA2
= R̄ − R̄ic(N, N ) − R̄ic(N, N ) + H 2 − |A|2
= R̄ − 2R̄ic(N, N ) + H 2 − |A|2 .
Sabemos que a curvatura seccional é dada por
K(X, Y ) =
hR(X, Y )X, Y i
.
|X ∧ Y |
Assim
K = K(e1 , e2 ) = hR(e1 , e2 )e1 , e2 i = Ric(e1 , e1 ) = Ric(e2 , e2 ),
donde
2K = R = Ric(e1 , e1 ) + Ric(e2 , e2 ),
portanto
K=
R
curvatura de Gauss.
2
Dessa forma segue que
2K − H 2 = R̄ − 2R̄ic(N, N ) − |A|2 .
8
Integrando,
Z
Z
2
2K − H 2 dµf ∗ g
(R̄ − 2R̄ic(N, N ) − |A| ) dµf ∗ g =
S2
2
ZS
≤
2K dµf ∗ g = 2 · 2π · 2 = 8π,
S2
na penúltima igualdade foi usado o Teorema de Gauss-Bonnet.
O próximo resultado, devido Meeks-Yau em [14], nos garante a existência de uma imersão
minimizante. O resultado é:
Proposição 2.3 Seja (M, g) uma variedade Riemanniana com π2 (M ) 6= 0. Então existe
f ∈ F suave tal que área(S2 , f ∗ g) = A(M, g). Além disso f é uma imersão.
Demonstração. Ver Teorema 7 em [14].
Demonstração do Teorema 2.1.
Pela Proposição acima, considere f ∈ F com área(S2 , f ∗ g) = A(M, g). Assim, como f
minimiza área, a fórmula da segunda variação garante que
Z
Z
0≤−
uLu dµf ∗ g = −
u(∆f ∗ g u + R̄ic(N, N )u + |A|2 u) dµf ∗ g .
S2
S2
Rescrevendo,
Z
−
(u∆f ∗ g u + |A|2 u2 + R̄ic(N, N )u2 ) dµf ∗ g ≥ 0,
S2
donde
Z
2
2
Z
(R̄ic(N, N ) + |A| )u dµf ∗ g ≤ −
S2
Z
u∆f ∗ g u dµf ∗ g =
S2
para cada função suave u : S2 → R.
Tomando u = 1, vem que
Z
(R̄ic(N, N ) + |A|2 ) dµf ∗ g ≤ 0.
S2
9
S2
|∇u|2 dµf ∗ g ,
Assim, usando a Proposição 2.2, obtemos
Z
Z
2
∗
1dµf ∗ g · inf R̄ =
inf R̄ dµf ∗ g
área (S , f g) · inf R̄ =
M
M
2
S2 M
ZS
Z
≤
R̄ dµf ∗ g ≤
(R̄ + |A|2 ) dµf ∗ g
2
S2
ZS
Z
2
=
(R̄ + |A| ) dµf ∗ g − 2 (R̄ic(N, N ) + |A|2 ) dµf ∗ g
2
S Z
S2
+ 2 (R̄ic(N, N ) + |A|2 ) dµf ∗ g
S2
Z
(R̄ − 2R̄ic(N, N ) − |A|2 ) dµf ∗ g
=
S2 Z
+ 2 (R̄ic(N, N ) + |A|2 ) dµf ∗ g
S2 Z
≤ 8π + 2
R̄ic(N, N ) + |A|2 dµf ∗ g ≤ 8π.
(2.1)
S2
Isto completa a prova do caso da desigualdade.
2.2
Rigidez da Desigualdade Geométrica
Nesta seção trataremos da análise do que ocorre na igualdade do Teorema 2.1. Sendo
assim, suponha que
A(M, g) inf R̄ = 8π.
M
A Proposição 1.3 garante que a quantidade área(M, g) · inf M R̄ é invariante por reescalonamento. Assim, assuma que
A(M, g) = 4π
e inf M R̄ = 2.
A Proposição 2.3 garante que existe f ∈ F imersão suave tal que
área(S2 , f ∗ g) = A(M, g) = 4π.
Sob a hipótese da igualdade do Teorema 2.1, provaremos que a imagem de S2 por f possui
boas propriedades. O resultado é o seguinte:
Proposição 2.4 Seja f ∈ F uma imersão suave tal que área(S2 , f ∗ g) = 4π. Então Σ = f (S2 )
é uma superfı́cie totalmente geodésica. Além disso R̄ = 2 e R̄ic(N, N ) = 0 em cada ponto de
Σ.
R
Demonstração. Inicialmente provaremos que se S2 uLu dµf ∗ g = 0, onde Lu = ∆u +
(Ric(N, N ) + |A|2 )u. Então Lu = 0.
10
De fato, a estabilidade nos garante que
Z
− (u + tv) L(u + tv) dµf ∗ g ≥ 0, para t ∈ R e v função suave.
S2
Daı́, usando a linearidade e simetria do operador L, obtemos que
Z
− (u + tv) (Lu + tLv) dµf ∗ g ≥ 0,
S2
donde
Z
uLu + utLv + tvLu + t2 vLv dµf ∗ g ≤ 0
Z
Z
Z
2
t
vLv dµf ∗ g + 2t
vLu dµf ∗ g +
uLu dµf ∗ g ≤ 0.
S2
S2
S2
R
S2
R
R
Identificando a = S2 vLv dµf ∗ g , b = 2 S2 vLu dµf ∗ g e c = S2 uLu dµf ∗ g , obtemos um polinômio na variável t. Vemos que este é não positivo, donde seu discriminante também o é.
Então
Z
2
Z
Z
0≥ 2
vLu dµf ∗ g − 4
vLv dµf ∗ g ·
uLu dµf ∗ g .
S2
S2
S2
R
Como S2 uLu dµf ∗ g = 0, obtemos que
Z
2
0≥ 2
vLu dµf ∗ g ≥ 0,
S2
assim
R
S2
vLu dµf ∗ g = 0, para todo v. Portanto Lu = 0.
De posse desse resultado vamos desenvolver a demonstração desta proposição. Note que
estamos assumindo que
A(M, g) = 4π
e inf M R̄ = 2.
Assim, as desigualdades em (2.1) se tornam igualdades. Em particular
Z
(R̄ + |A|2 ) dµf ∗ g = 8π
e
(2.2)
S2
Z
(R̄ic(N, N ) + |A|2 ) dµf ∗ g = 0.
S2
R
Seja u = 1. Observe, por 2.3, que u satisfaz S2 uLu = 0. Logo Lu = 0, donde
0 = L1 = ∆1 + (R̄ic(N, N ) + |A|2 ) · 1
= 0 + R̄ic(N, N ) + |A|2 .
11
(2.3)
Portanto
R̄ic(N, N ) + |A|2 = 0.
(2.4)
Agora por (2.2)
Z
Z
Z
2
(R̄ + |A| ) dµf ∗ g ≥
R̄ dµf ∗ g ≥
inf R̄ dµf ∗ g = inf R̄ · área(S2 , f ∗ g) = 8π.
8π =
S2
S2 M
S2
M
Daı́,
|A|2 = 0 ⇒ |A| = 0
R̄ = inf R̄ = 2 ⇒ R̄ = 2.
e
M
Assim por (2.4)
R̄ic(N, N ) = 0,
isto completa a prova.
O próximo resultado garante a existência de uma folheação local de M por superfı́cies
com curvatura média constante.
Proposição 2.5 Seja f ∈ F uma imersão suave tal que área(S2 , f ∗ g) = 4π. Então existe
∈ R, positivo e uma aplicação suave w : S2 × (−, ) → R, tal que:
(a) Para cada x ∈ S2 e cada t ∈ (−, ),
w(x, 0) = 0,
∂
(w, 0) = 1
∂t
Z
(w(x, t) − t) dµf ∗ g = 0.
e
S2
(b) Para cada t ∈ (−, ), a superfı́cie
Σt = {expf (x) (w(x, t) N (x)) : x ∈ S2 }
tem curvatura média constante.
Demonstração. O operador de Jacobi associado a imersão mı́nima f : S2 → M é dado por
L = ∆f ∗ g + Ric(N, N ) + |A|2 ,
donde pela Proposição 2.4, temos Ric(N, N ) = 0 e |A| = 0, daı́ L = ∆f ∗ g .R
Fixe λ ∈ (0, 1) Re considere os seguintes espaços X = {u ∈ C 2,λ (S2 ); S2 u dµf ∗ g = 0} e
Y = {u ∈ C 0,λ (S2 ); S2 u dµf ∗ g = 0} os quais são espaços de Banach, como veremos abaixo.
Temos que C 2,λ (S2 ) e C 0,λ (S2 ) são espaços de Banach (Ver Teorema 1, [9], página 241),
basta olhar S2 ⊂ Ω aberto.
12
Para ver que X é um espaço de Banach, observe que este é um subespaço de C 2,λ (S2 ) e
fechado pois é pré-imagem do zero pela função F abaixo
F : C 2,λ (S2 ) → R.
Z
u dµf ∗ g
u 7→
S2
Note que F é uma função contı́nua, então F −1 (0) = X é fechado. Também não é difı́cil de
ver que X é um subespaço vetorial de C 2,λ (S2 ), daı́ X é Banach. Analogamente se ver que
Y é Banach. Para cada u : S2 → R seja Σu = {expf (x) (u(x) N (x)); x ∈ S2 }, onde N (x) é o
campo de vetores normais em Σ = f (S2 ).
Sejam δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que Σu+t = {expf (x) ((u(x)+t) N (x)); x ∈ S2 } seja compacta de
classe C 2,λ , para todo (u, t) ∈ B(0, δ2 ) × (−δ1 , δ1 ), onde B(0, δ2 ) = {u ∈ C 2,λ (S2 ); ||u||C 2,λ <
δ2 }. Denotaremos a curvatura média de Σu+t por HΣu+t .
Agora considere ϕ : B(0, δ2 ) × (−δ1 , δ1 ) → Y dada por
Z
1
HΣu+t dµf ∗ g .
ϕ(u, t) = HΣu+t −
4π S2
Note que ϕ(0, 0) = 0, já que Σ0 = Σ.
Calculando Dϕ(0, 0) · v, para v ∈ X, temos
dϕ
(0, sv)|s=0
ds
Z
d
1
=
HΣsv dµf ∗ g
HΣsv −
ds
4π S2
s=0
Z
1
Lv dµf ∗ g
= −Lv +
4π S2
Z
1
= −∆f ∗ g v +
∆f ∗ g v dµf ∗ g
4π S2
= −∆f ∗ g v.
Dϕ(0, 0) · v =
Como ∆f ∗ g : X → Y é um isomorfismo linear, pelo Teorema da função implı́cita, vem
que existem 0 < < δ1 e u(t) = u(·, t) ∈ B(0, δ2 ) para t ∈ (−, ) tal que
u(0) = 0 e ϕ(u(t), t) = 0, para todo t ∈ (−, ).
Assim, definindo w(x, t) = u(x, t) + t, para (x, t) ∈ S2 × (−, ), temos que toda superfı́cie
Σt = {expf (x) (w(x, t) N (x)); x ∈ S2 } tem HΣt = cte, pois pela definição da ϕ, temos
Z
1
0 = ϕ(0, t) = HΣt −
HΣt dµf ∗ g .
4π S2
R
Observe que w(x, 0) = u(x, 0) =
0
e
(w(·, t) − t) dµf ∗ g = 0, uma vez que w(·, t) − t =
S2
R
u(·, t) ∈ B(0, δ2 ) = {u ∈ C 2,λ (S2 ); S2 u dµf ∗ g = 0}.
13
Agora veremos que
∂w
(x, 0) = 1, para todo x ∈ S2 .
∂t
Note que
1
0 = ϕ(u(t), t) = HΣw(·,t) −
4π
Z
S2
HΣw(·,t) dµf ∗ g ,
(2.5)
para cada t ∈ (−δ1 , δ1 ).
Defina f (x, t) := expf (x) (w(x, t) N (x)), para x ∈ S2 . Daı́
∂w
∂f
(x, 0) =
(x, 0) N (x), para x ∈ S2 .
∂t
∂t
Derivando (2.5) em t = 0 e usando que L = ∆f ∗ g , temos
Z
1
∂w
∂w
∂w
(·, 0) +
∆f ∗ g
(·, 0) dµf ∗ g = −∆f ∗ g
(·, 0) .
0 = −∆f ∗ g
∂t
4π S2
∂t
∂t
Portanto ∂w
(·, 0) = cte.
∂t
R
Finalmente diferenciando S2 (w(·, t) − t) dµf ∗ g = 0 em t = 0, obtemos
Z
∂w
(·, 0) dµf ∗ g = 4π.
S2 ∂t
Assim, concluirmos que ∂w
(x, 0) = 1 para todo x ∈ S2 .
∂t
Defina
ft : S2 → M
x 7→ ft (x) = expf (x) (w(x, t)N (x)),
para cada t ∈ (−, ). Note que f0 (x) = f (x), para todo x ∈ S2 . Denotaremos por Nt (x) ∈
Tft (x) M o vetor normal unitário a superfı́cie Σt = ft (S2 ) no ponto ft (x). Assumiremos que
Nt depende suavemente de x e t, e N0 (x) = N (x) para todo x ∈ S2 . Além disso, IIt denota
a segunda forma fundamental de ft . O próximo resultado garante que variações perto da f ,
são estáveis.
2
Lema 2.1 Existe um
R número real positivo δ < , tal que se t ∈ (−δ, δ) e u : S → R uma
função suave, onde S2 u dµft∗ g = 0, então
Z
Z
2
|∇u|ft∗ g dµft∗ g −
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 )u2 dµf ∗ g ≥ 0.
S2
S2
14
Demonstração. Podemos encontrar uma constante uniforme C > 0 tal que
Z
Z
2
∗
|∇u|ft∗ g dµft g ≥ C
u2 dµft∗ g ,
S2
(2.6)
S2
para cada t ∈ (−, ) e cada cada função suave u : S2 → R satisfazendo
Pela Proposição 2.4 resulta que
R
S2
u dµft∗ g = 0.
sup(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) → 0
S2
quando t → 0. Daı́ e por (2.6) segue o resultado.
Lema 2.2 Para cada t ∈ (−, ), temos
Z
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) dµft∗ g ≥ 0.
S2
Demonstração. Como f minimiza área em sua classe de homotopia, temos que
área(S2 , ft∗ g) ≥ área(S2 , f ∗ g) = 4π.
Além disso, temos que inf M R̄ = 2. Aplicando a Proposição 2.2 a ft : S2 → M, vem que
Z
2
∗
2
∗
8π = área(S , f g) inf R̄ ≤ área(S , ft g) inf R̄ =
1 dµft∗ g · inf R̄
M
M
M
2
S
Z
Z
Z
=
inf R̄ dµft∗ g ≤
R̄ dµft∗ g ≤
R̄ + |At |2 dµft∗ g
M
2
2
2
S
S
Z
Z
ZS
2
2
R̄ + |At | dµft∗ g − 2 (R̄ic(Nt , Nt ) + |At | ) dµft∗ g + 2 (R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) dµft∗ g
=
2
S2
S2
ZS
Z
=
(R̄ − 2R̄ic(Nt , Nt ) − |At |2 ) dµft∗ g + 2 (R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) dµft∗ g
S2
S2
Z
≤ 8π + 2 (R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) dµft∗ g .
S2
Portanto
Z
S2
R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 dµft∗ g ≥ 0.
Sabemos que para cada t ∈ (−, ) a superfı́cie Σt tem curvatura média constante Ht .
~ t é normal a superfı́cie Σt e como existe apenas uma direção
Como o vetor curvatura média H
~
~ t = Ht Nt , donde hH
~ t , Nt i =
normal, vem que Ht é paralelo a Nt . Assim podemos escrever H
Ht , isto nos garante que fazendo t variar temos uma função suave H(t). Portanto podemos
~ t = −H(t) Nt , onde H(t) é uma função suave em t.
escrever H
15
Para cada t ∈ (−, ), defina a função
ρt : S2 → R.
x 7→ ρt (x) := hNt (x),
∂
ft (x)i
∂t
(2.7)
Claramente, ρ0 (x) = 1 para todo x ∈ S2 . Pela continuidade, podemos encontrar um número
real positivo λ < δ tal que ρt (x) > 0 para todo x ∈ S2 e todo t ∈ (−λ, λ). A função
ρt : S2 → R satisfaz a equação de Jacobi
∆ft∗ g ρt + (R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 )ρt = −H 0 (t).
(2.8)
Proposição 2.6 Temos que área(S2 , ft∗ g) = 4π para todo t ∈ (−λ, λ).
Demonstração. Denotaremos por ρ̄t o valor médio da função ρt : S2 → R com respeito a
métrica ft∗ g que é dado por
Z
1
ρt dµft∗ g .
ρ̄t =
área(S2 , ft∗ g) S2
Aplicando o Lema (2.1) na função ρt − ρ̄t , obtemos
Z
Z
2
∗
|∇(ρt − ρ̄t )|ft∗ g dµft g −
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) (ρt − ρ̄t )2 dµft∗ g ≥ 0
2
S2
Z
ZS
|∇ρt |2ft∗ g dµft∗ g −
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) (ρt − ρ̄t )2 dµft∗ g ≥ 0,
S2
(2.9)
S2
para todo t ∈ (−δ, δ). Além disso o Lema (2.2) implica que
Z
2
ρ̄t
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) dµft∗ g ≥ 0,
(2.10)
S2
para todo t ∈ (−, ).
Somando os dois membros de (2.9) e (2.10), temos
Z
Z
2
|∇ρt |ft∗ g dµft∗ g +
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 )ρt (2ρ̄t − ρt ) dµft∗ g ≥ 0,
S2
S2
para todo t ∈ (−δ, δ).
Agora multiplicando a Equação (2.8) por (2ρ̄t − ρt ), vem que
(2ρ̄t − ρt ) ∆ft∗ g ρt + (R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 )ρt = (2ρ̄t − ρt ) · (−H 0 (t)).
16
(2.11)
Integrando,
Z
Z
∗
(2ρ̄t − ρt )∆f ∗ g ρt dµft g +
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At |2 ) ρt (2ρ̄t − ρt ) dµft∗ g
S2
S2
Z
Z
0
0
=
−H (t) (2ρ̄t − ρt ) dµft∗ g = −H (t) (2ρ̄t − ρt ) dµft∗ g
2
S2
Z
S
Z
Z
Z
0
0
= −H (t)
2ρ̄t dµft∗ g −
ρt dµft∗ g = −H (t) 2ρ̄t
1 dµft∗ g −
ρt dµft∗ g
S2
S2
S2
S2
Z
Z
1
0
2
∗
= −H (t) 2
ρt dµft∗ g · área(S , ft g) −
ρt dµft∗ g
área(S2 , ft∗ g) S2
S2
Z
Z
Z
0
0
ρt dµft∗ g −
ρt dµft∗ g = −H (t)
ρt dµft∗ g .
(2.12)
= −H (t) 2
S2
S2
S2
Note que
Z
Z
S2
(2ρ̄t − ρt )∆f ∗ g ρt dµft∗ g = −
2
∇(2ρ̄t − ρt ) ∇ρt dµft∗ g
ZS
=−
−∇ρt ∇ρt dµft∗ g
2
S
Z
|∇ρt |2ft∗ g dµft∗ g .
=
S2
Assim por (2.12), temos
Z
Z
Z
2
2
0
|∇ρt |ft∗ g dµft∗ g +
(R̄ic(Nt , Nt ) + |At | ) ρt (2ρ̄t − ρt ) dµft∗ g = −H (t)
ρt dµft∗ g . (2.13)
S2
S2
S2
De (2.11) e (2.13), obtemos que
0
Z
−H (t)
S2
ρt dµft∗ g ≥ 0,
para cada t ∈ (−δ, δ). Portanto H 0 (t) ≤ 0 para todo t ∈ (−λ, λ), poı́s ρt (x) > 0 para todo
x ∈ S2 e todo t ∈ (−λ, λ). Daı́ como H(0) = 0, vem que
H(t) ≥ 0 para todo t ∈ (−λ, 0]
e
H(t) ≤ 0 para todo t ∈ [0, λ).
Assim pela identidade
d
área(S2 , ft∗ g) =
dt
Z
∂
hH(t) Nt , ft i dµft∗ g = H(t)
∂t
S2
17
Z
S2
ρt dµft∗ g .
Obtemos que
d
área(S2 , ft∗ g) = H(t)
dt
e
Z
d
área(S2 , ft∗ g) = H(t)
dt
S2
ρt dµft∗ g ≥ 0 para todo t ∈ (−λ, 0]
Z
S2
ρt dµft∗ g ≤ 0 para todo t ∈ [0, λ).
Além disso dtd área(S2 , ft∗ g) = 0, em t = 0 já que H(0) = 0. Pelo teste da primeira derivada,
vem que 0 é ponto de máximo da área(S2 , ft∗ g).
Portanto
área(S2 , ft∗ g) ≤ área(S2 , f ∗ g) = 4π para todo t ∈ (−λ, λ).
E como f minimiza área em sua classe de homotopia, obtemos que área(S2 , ft∗ g) = 4π
para todo t ∈ (−λ, λ).
O próximo resultado garante que as superfı́cies obtidas na Proposição 2.5 são totalmente
geodésicas, possivelmente com tempos menores.
Proposição 2.7 Para cada t ∈ (−λ, λ), a superfı́cie Σt é totalmente geodésica, e temos
R̄ = 2 e R̄ic(Nt , Nt ) = 0 em cada ponto da Σt . Além disso, a função ρt : S2 → R é
constante.
Demonstração. Seja t ∈ (−λ, λ) fixo. Pela Proposição 2.6, temos que área(S2 , ft∗ g) = 4π.
Assim da Proposição 2.4, vem que Σt é totalmente geodésica, R̄ = 2 e R̄ic(Nt , Nt ) = 0 em
cada ponto de Σt . Substituindo estes valores na Equação (2.8), obtemos ∆ft∗ g ρt = 0.
Por um cálculo simples, podemos obter que ∆ft∗ g (ρt )2 = 2ρt ∆ft∗ g ρt + 2|∇ρt |2ft∗ g , donde
∆ft∗ g (ρt )2 = 2|∇ρt |2ft∗ g , já que ρt é harmônica. Assim pelo Teorema da Divergência, temos
que
Z
Z
2
∗
∗
0=
∆ft g (ρt ) dµft g =
2 |∇ρt |2ft∗ g dµft∗ g ,
S2
S2
2
donde segue que ∇ρt = 0 sobre S , e portanto a função ρt : S2 → R é constante.
Corolário 2.8 O campo de vetor normal Nt é paralelo perto de Σ. Em particular, para cada
ponto de Σ existe uma vizinhança a qual contém este ponto e que é isométrica a um produto
Riemanniano.
Demonstração. Por compatibilidade, temos
∂ft
∂
∂ft
∂ft
D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
− Nt , D ∂ft
∂xi
∂xi ∂t
∂t
∂xi
∂t
e
∂ft
∂ft
∂
∂ft
D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
− Nt , D ∂ft
.
∂t
∂t ∂xi
∂xi
∂t
∂xi
18
Daı́ e como ρt : S2 → R é constante pela Proposição 2.7, segue que
∂
∂ft
∂
∂ft
∂ft
∂ft
− D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
−
Nt ,
D ∂ft Nt ,
∂xi
∂t
∂t
∂xi
∂xi
∂t
∂t
∂xi
∂
∂ft
=
Nt ,
∂xi
∂t
∂
ρt = 0,
=
∂xi
(2.14)
para cada x ∈ S2 . Além disso
∂
∂ft
∂ft
∂ft
D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
− Nt , D ∂ft
∂xi
∂xi ∂xj
∂xj
∂xi
∂xj
e
∂ft
∂ft
∂
∂ft
D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
− Nt , D ∂ft
.
∂xj
∂xj ∂xi
∂xi
∂xj
∂xi
Assim
∂ft
D ∂ft Nt ,
∂xi
∂xj
∂
∂ft
∂
∂ft
∂ft
− D ∂ft Nt ,
=
Nt ,
−
Nt ,
= 0,
∂xj
∂xi
∂xi
∂xj
∂xj
∂xi
(2.15)
para todo x ∈nS2 .
o
∂ft
t ∂ft
é uma base de Tf (x) M . Portando, se V ∈ Tf (x) M por (2.14) e
Note que ∂f
,
,
∂t ∂x1 ∂x2
(2.15), vem que
∂ft
D ∂ft Nt , V − DV Nt ,
= 0,
∂xi
∂xi
para cada x ∈ S2 e todo vetor V ∈ Tf (x) M . Em particular, temos
∂ft
D ∂ft Nt , Nt − DNt Nt ,
= 0 para cada x ∈ S2 .
∂xi
∂xi
(2.16)
Agora escreva
∂ft
+ ∇⊥∂ft Nt .
∂xi
∂xi
∂xi
Daı́, como Σt é totalmente geodésica e tem codimensão 1, temos D ∂ft Nt = 0 para cada ponto
D ∂ft Nt = −ANt
∂xi
x ∈ S2 , onde i = 1, 2. Além disso, Nt unitário nos garante que hNt , Nt i = 1, donde DNt Nt é
tangente a Σt . Assim por (2.16), vem que DNt Nt = 0. Portanto de D ∂ft Nt = 0 e DNt Nt = 0,
∂xi
concluirmos que Nt é paralelo perto de Σ.
Em particular como Nt é paralelo perto de Σ, para cada ponto perto de Σ temos que
associado a Nt uma única curva que passa nesse ponto e tem Nt como direção. Assim
associado a Nt , temos as famı́lias das curvas. Note que, podemos olhar as famı́lias das curvas
tanto com os pontos em Σ quanto em Σt , isto é, no parâmetro t.
19
Denotaremos por ϕt (p) a curva mencionada acima que em t = 0 passa no ponto p ∈ Σ e
tem Nt como direção. Seja V ⊂ Σ uma vizinhança pequena em torno de p. Donde temos a
seguinte aplicação
ϕ : V × (−, ) → (M, g).
(x, t) 7→ expf (x) (t N (x))
Como
ϕ∗
∂
∂ϕ
=
(0, x) = N (x)
∂t
∂t
e
∂
ϕ
∂
=
(0, x) =
(x).
∂xi
∂xi
∂xi
Temos que ϕ∗ leva base em base. Daı́ ϕ∗ é isomorfismo, de modo que pelo Teorema da
Aplicação Inversa ϕ é difeomorfismo local.
Podemos definir a métrica ϕ∗ g, por
ϕ∗
ϕ∗ g(X, Y ) = g(ϕ∗ X, ϕ∗ Y ), onde X, Y ∈ T (V × (−, )).
Portanto ϕ é uma isometria local. Como Σ é compacta podemos cobrir Σ com uma quantidade
finita de vizinhanças Vλ . Cada Vλ tem um λ associado, assim basta escolher o menor λ .
Isto completa nossa prova.
Sejam S2 × R e (S2 , f ∗ g). Defina a aplicação
φ : S2 × R → M.
(x, t) 7→ φ(x, t) := expf (x) (t N (x))
Decorre do Corolário 2.8, que a restrição φ|S2 ×(−δ,δ) é uma isometria local se δ > 0 for
suficientemente pequeno.
Proposição 2.9 A aplicação φ : S2 ×R → M , como definida anteriormente é uma isometria
local.
Demonstração. Primeiro mostraremos que φ|S2 ×[0,∞) é uma isometria local. Suponha que
isto é falso.
Seja τ o menor número real positivo, tal que φ|S2 ×[0,τ ] é uma isometria local. Agora defina
˜
fτ : S2 → M por f˜τ (x) := φ(x, τ ).
Note que
φ(x, t) é continua,
φ(x, 0) = expf (x) (0 · N (x)) = f (x),
φ(x, τ ) = f˜τ (x).
Daı́ f˜τ é homotópica a f . Por conseguinte f˜ representa um elemento de F.
20
Além disso
área(S2 , f˜∗ g) = área(S2 , f ∗ g) = 4π,
pois φ|S2 ×[0,τ ] é uma isometria local. Portanto f˜ tem área mı́nima entre todos os mapas de
F.
Pelo Corolário 2.8 cada ponto em Σ̃ = f˜(S2 ) tem uma vizinhança que é isométrica a
um produto riemanniano. Consequentemente, se δ > 0 é suficientemente pequeno, então
φ|S2 ×[0,τ +δ) é uma isometria local. Isto contradiz a maximalidade de τ .
Portanto φ|S2 ×[0,∞) é isometria local. Um argumento análogo mostra que φ|S2 ×(−∞,0] é
uma isometria local. Isto completa nossa prova.
De φ : S2 × R → M ser isometria local, segue que φ é uma aplicação de recobrimento
(ver Lema 3.3, página 166 em [2]). Como S2 × R é simplesmente conexo, vem que φ é o
recobrimento universal de (M, g). Portanto o cilindro S2 × R é isométrico ao recobrimento
universal de (M, g). De modo que concluirmos nosso resultado.
21
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