Dissertação
Dissertação Escrita Felipe.pdf
Documento PDF (243.5KB)
Documento PDF (243.5KB)
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Felipe Leandro da Silva Costa
A Conjectura de Lawson
Maceió, Brasil
05 Março de 2013
Felipe Leandro da Silva Costa
A Conjectura de Lawson
Dissertação de Mestrado, na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 05 de Março de 2013 à banca
examinadora, designada pelo Programa de
Mestrado em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva
Maceió, Brasil
05 Março de 2013
A Conjectura de Lawson
Felipe Leandro da Silva Costa
Dissertação de Mestrado, na área de
concentração de Geometria Diferencial submetida em 05 de Março de 2013 à banca
examinadora, designada pelo Programa de
Mestrado em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva (Orientador)
Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante (UFAL)
Prof. Dr. Ivaldo Paz Nunes (IMPA)
Aos meus pais.
Agradecimentos
5
Resumo
O estudo das superfı́cies mı́nimas é um dos mais antigos problemas da Geometria Diferencial. De especial interesse são as superfı́cies mı́nimas na esfera S 3 . Um exemplo bem
simples de uma superfı́cie mı́nima em S 3 é o toro de Clifford definido por
1
3
2
2
2
2
.
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S ; x1 + x2 = x3 + x4 =
2
Em 1970, H. B. Lawson publicou um artigo intitulado The unknottedness of minimal
embeddings [14], neste trabalho ele conjectura que o toro de Clifford é a única, a menos
de movimentos rı́gidos, superfı́cie mı́nima mergulhada, compacta e de gênero um em S 3 .
O objetivo deste trabalho é apresentar as técnicas utilizadas por S. Brendle para dar uma
resposta afirmativa à conjectura de Lawson.
Palavras chave: Superfı́cies Mı́nimas, Conjectura de Lawson, Toro de Clifford.
6
Abstract
The study of minimal surfaces is one of the oldest subjects in differential geometry. Of
particular interest are minimal surfaces in the sphere S 3 . A basic example of minimal
surfaces in S 3 is the so-called Clifford torus defined by
1
3
2
2
2
2
.
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S ; x1 + x2 = x3 + x4 =
2
In 1970, Lawson published a paper entitled The unknottedness of minimal embeddings
[14], this work he conjectures that the Clifford torus is only, less rigid motion, compact
embedded minimal surface in S 3 of genus 1. The objective of this work is to present the
techniques used by S. Brendle to give a affirmative answer to the conjecture of Lawson.
Keywords: Minimal Surfaces, Lawson’s Conjecture, Clifford torus.
Índice
Agradecimentos
5
Introdução
9
1 Subvariedades Imersas
1.1 Equações de Estrutura do Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Subvariedades do Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 O Toro de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
14
22
2 A Conjectura de Lawson
2.1 Chave Técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Demonstração do Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
33
Apêndice
45
Referências Bibliográficas
46
Introdução
Em 1970, Lawson [13] provou que dado um inteiro positivo g, existe pelo menos uma
superfı́cie mı́nima compacta mergulhada em S 3 com gênero g. Além disso, ele mostrou
que existem no mı́nimo duas tais superfı́cies a menos que g seja um número primo. Alguns
exemplos de superfı́cies mı́nimas compactas mergulhadas em S 3 podem ser encontrados
em [11] e [10].
Neste contexto, um resultado bem interessante foi provado por Almgren [1] em 1966
e diz que toda 2-esfera minimamente imersa em S 3 é totalmente geodésica, portanto,
congruente ao equador S 3 ∩ {x4 = 0}. Outro exemplo de superfı́cie mı́nima compacta em
S 3 é o chamado toro de Clifford dado por
1
3
2
2
2
2
.
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S ; x1 + x2 = x3 + x4 =
2
No artigo intitulado The unknottedness of minimal embeddings [14] Lawson fez a seguinte
conjectura:
Conjectura 1 (Lawson, 1970). Suponha que F : Σ → S 3 é um toro mı́nimo mergulhado
em S 3 . Então Σ é congruente ao toro de Clifford.
Observemos que, o próprio Lawson [13] construiu uma famı́lia infinita de toros mı́nimos
apenas imersos em S 3 . Mais tarde, em 1971, Hsiang juntamente com Lawson deram uma
infinidade de exemplos de garrafas de Klein mı́nimas em S 3 (ver [9]). Esses fatos mostram
que a hipótese de Σ ser mergulhada é crucial.
Esta dissertação está dividida em dois capı́tulos. No primeiro capı́tulo fazemos uma
breve introdução à geometria das subvariedades no espaço euclidiano. Ao final deste
capı́tulo provamos que o toro de Clifford é uma superfı́cies mı́nima plana não trivial da
esfera S 3 .
O segundo capı́tulo é dedicado a demonstração da Conjectura de Lawson, nossa principal referência para este capı́tulo foi o artigo Embedded minimal tori in S 3 and the
Lawson conjecture de S. Brendle [5].
9
Capı́tulo 1
Subvariedades Imersas
Neste capı́tulo fazemos uma breve introdução ao estudo das subvariedades imersas no
espaço euclidiano Rn sob o ponto de vista das formas diferencias.
1.1
Equações de Estrutura do Rn
Seja U ⊂ Rn um aberto e sejam e1 , . . . , en , n campos diferenciáveis de vetores em
U de tal modo que, para todo p ∈ U , se tenha hei , ej ip = δij , com i, j = 1, . . . , n. Um
tal conjunto de vetores é chamado de referencial ortonormal móvel em U . De agora em
diante omitiremos os adjetivos ortonormal e móvel sem maiores comentários.
Dado um referencial {ei }, para cada p ∈ U , seja {ωi }p a base dual da base {ei }p , ou
seja, {ωi } são formas diferencias lineares definidas pela condição ωi (ej ) = δij . O conjunto
das formas diferenciais {ωi } é chamado coreferencial associado ao referencial {ei }.
Outro conjunto de formas associadas ao referencial {ei } pode ser obtido pensando em
ei como uma aplicação diferenciável ei : U ⊂ Rn → Rn . A diferencial (dei )p : Rn → Rn ,
em p ∈ U , é uma aplicação linear. Portanto, para todo v ∈ Rn , podemos escrever
X
(dei )p (v) =
(ωij )(v)p ej .
j
Desde que ei é diferenciável é fácil ver que as expressões (ωij )p (v) dependem linearmente de v. Portanto (ωij )p é uma forma diferenciável linear em Rn . Com essas notações
em mente, podemos escrever
X
dei =
ωij ej ,
j
como definição das formas ωij , que são chamadas formas de conexão do Rn no referencial
{ei }.
Derivando a expressão hei , ej i = δij , obtemos
0 = hdei , ej i + hei , dej i = ωij + ωji ,
10
o que implica
ωij = −ωji ,
isto é, as formas de conexão são anti-simétricas nos ı́ndices i, j.
Teorema 1.1 (Equações de estrutura do Rn ). Seja {ei } um referencial ortonormal móvel
em um aberto U ⊂ Rn . Sejam ωi o coreferencial associado a {ei }, e ωij as formas de
conexão de U no referencial {ei }. Então:
X
dωi =
ωk ∧ ωki ,
(1.1)
k
dωij =
X
ωik ∧ ωkj ,
k = 1, . . . , n.
(1.2)
k
Demonstração. Seja ai a base canônica de Rn e seja xi : U → R a função projeção na
i-ésima coordenada. Com isso a diferencial dxi de xi em U é um o coreferencial associado
ao referencial ai , já que
dxi (aj ) = δij .
Ao expressar o referencial dado em termos de ai temos que
X
ei =
βij aj ,
(1.3)
j
onde os βij são funções diferenciáveis em U e, para cada p ∈ U , a matriz (βij (p)) é
ortogonal. Como {ωi } é o coreferencial associado a {ei }, temos
X
ωi =
βij dxj
(1.4)
j
Diferenciando 1.3, obtemos
dei =
X
dβik ak =
X
k
dβik
k
X
βjk ej ,
j
onde na última igualdade usamos
X a ortogonalidade da matriz (βkj ) para passar da base
ai para a base ei . Como dei =
ωij ej , concluı́mos que
j
ωij =
X
dβik βjk ,
(1.5)
k
daı́
X
j
ωij βjs =
X
dβik βjk βjs = dβis ,
k,j
11
s = 1, . . . , n.
(1.6)
Derivando exteriormente 1.4 e usando 1.6, obtemos
X
dωi =
dβij ∧ dxj
j
X
=
ωik βkj ∧ dxj
j,k
=
X
=
X
ωik ∧
X
βkj dxj
j
k
ωik ∧ ωk =
X
k
ωk ∧ ωki ,
k
e a primeira equação de estrutura está demonstrada. Para obter a segunda equação de
estrutura vamos diferenciar 1.5 e usar 1.6 outra vez, assim
X
dβjk ∧ dβik
dωij =
k
= −
X
= −
X X
= −
X
r,s
k
= −
X
(ωir ∧ ωjs )δrs
dβik ∧ dβjk
k
!
!
k
∧
ωir βrk
X
ωjs βsk
s
r
(ωir ∧ ωjs )
X
βrk βsk
r,s
= −
X
ωik ∧ ωjk
k
=
X
ωik ∧ ωkj .
k
Como querı́amos demonstrar.
Dada uma imersão x : M → Rn+q de uma variedade diferenciável de dimensão n em
um espaço euclidiano Rn+q . Pelo teorema da função inversa, para todo p ∈ M , existe
uma vizinhança U ⊂ M de p tal que a restrição x|U de x a U é injetiva. Seja V ⊂ Rn+q
uma vizinhança de x(p) em Rn+q de tal modo que V ⊃ x(U ). Com as notações acima
temos a seguinte
Definição 1. Um referencial móvel {e1 , . . . , en , en+1 , . . . , en+q } em V ⊂ Rn+q com a
propriedade que, quando restrito a x(U ), os vetores e1 , . . . , en sejam tangentes a x(U ) e
os vetores en+1 , . . . , en+q sejam normais a x(U ), é chamado um referencial adaptado a x.
12
A existência de um referencial adaptado pode ser provada da seguinte maneira. Se
V é suficientemente pequeno, existe um difeomorfismo g : V → V tal que g ◦ x(U ) é
um aberto da variedade x(M ). A existência de um referencial f1 , . . . , fn , fn+1 , . . . , fn+q
adaptado a g◦x(U ) em g(V ) é imediata. A imagem inversa dg −1 (f1 ), . . . , dg −1 (fn+q ) pode
não ser ortogonal. Finalmente, usamos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
em cada ponto de V e observamos que os vetores obtidos varia diferenciavelmente com
os vetores dados. Assim, obtemos um referencial ortogonal adaptado a x(U ).
Observação 1. As formas ωi do referencial {ei } e as formas de conexão ωij que satisfazem
as equações de estrutura 1.1 e 1.2 estão definidas em V . No entanto, a aplicação x : U ⊂
M → V ⊂ Rn+q induz formas diferencias x∗ (ωi ), x∗ (ωij ) em U . Como x∗ comuta com a
derivada exterior e com o produto exterior, tais formas em U satisfazem as equações de
estrutura 1.1 e 1.2.
O próximo resultado é de fundamental importância para o decorrer desse trabalho.
Lema 1.1 (Cartan). Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Sejam ωi , . . . , ωr : V →
R, r ≤ n formas lineares de V linearmente independentes. Suponhamos que existam
r
X
formas lineares θ1 , . . . , θr : V → R satisfazendo a condição:
ωi ∧ θi = 0. Então
i=i
θi =
X
aij ωi ,
i, j = 1, . . . , r,
aij = aji .
j
Demonstração. Inicialmente vamos completar as formas ω1 , . . . , ωr , em uma base
ω1 , . . . , ωr , ωr+1 , . . . , ωn de V ∗ , com isso
X
X
θi =
aij ωj +
bil ωl
l = r + 1, . . . , n.
j
A condição
X
l
ωi ∧ θi = 0 implica
i
0 =
X
ωi ∧ θi =
i
=
X
ωi ∧
X
i
X
aij ωj +
j
(aij − aji )ωi ∧ ωj +
i<j
X
X
i
ωi ∧
X
bil ωl
l
bil ωi ∧ ωl .
i<l
Como as formas ωr ∧ ωs , r < s, r, s = 1, . . . , n, formam uma base do espaço Λ2 V ∗ das
formas bilineares alternadas de V × V , concluı́mos que aij = aji e bij = 0.
n
Lema 1.2. Seja U ⊂ R . Sejam ω1 , . . . , ωn formas diferenciais linearmente independentes em U . Suponha que exista em U um conjunto de 1-formas diferenciais {ωij }
satisfazendo as condições:
X
dωj =
ωk ∧ ωkj ,
ωij = −ωji .
k
Então um tal conjunto é único.
13
Demonstração. Suponha que exista um outro conjunto {ω ij } satisfazendo
X
dωj =
ωk ∧ ω kj ,
ω ij = −ω ji .
k
Então
X
ωk ∧ (ω kj − ωkj ) = 0, e pelo lema de Cartan,
k
ω kj − ωkj =
X
j
Bki
ωi ,
j
j
Bki
= Bik
.
i
Observe que
ω kj − ωkj =
X
j
Bki
ωi = −(ω jk − ωjk ) = −
i
X
k
ωi
Bji
i
j
k
. Trabalhando com as simetrias
e, como os ωi são linearmente independentes, Bki
= −Bji
encontradas, obtemos
j
j
k
i
i
k
Bji
= −Bki
= −Bik
= Bjk
= Bkj
= −Bijk = −Bji
= 0.
Portanto ω kj = ωkj .
1.2
Subvariedades do Espaço Euclidiano
Seja x : M n → Rn+q uma imersão de uma variedade de dimensão n em Rn+q . Seja
p ∈ M e U uma vizinhança de p em M na qual a restrição x|U é injetiva. Seja V uma
vizinhança de x(p) em Rn+q de tal modo que x(U ) ⊂ V e que em V esteja definido
um referencial adaptado e1 , . . . , en , en+1 , . . . , em+q . Usaremos a interpretação clássica e
pensaremos em x como uma inclusão de U em V ⊂ Rn+q , deste modo, usaremos a mesma
notação para os elementos de V ou de sua restrição a U . De agora em diante, usaremos
essa convenção.
Fixemos também as seguintes notações:
1 ≤ A, B, C, . . . , ≤ n + q;
1 ≤ i, j, k, . . . , ≤ n;
n + 1 ≤ α, β, γ, . . . , ≤ n + q.
Lembremos que, dado um referencial {eA } em V , o coreferencial {ωA } em V e as formas
de conexão {ωAB } são dados por
X
dx =
ωA eA
X
deA =
ωAB eB .
As formas ωA e ωAB satisfazem as equações de estrutura
14
dωA =
X
ωB ∧ ωBA
dωAB =
X
ωAC ∧ ωCB .
Estamos interessados em estudar as formas ωA e ωAB restritas a U ⊂ V . Neste caso,
temos a condição adicional ωα = 0, a qual
Psegue do fato que os vetores eα são normais a
U . De fato, para todo q ∈ U e todo v = vi ei ∈ Tq M , tem-se
X
X
ωα (v) = ωα
vi ei =
vi ωα (ei ) = 0.
No que segue todas as formas estão restritas a U . Como ωα = 0, temos
X
0 = dωα =
ωB ∧ ωBα
X
X
=
ωi ∧ ωiα +
ωβ ∧ ωβα
X
=
ωi ∧ ωiα .
Pelo lema de Cartan
ωiα =
X
hαij ωj ,
hαij = hαji .
j
Definição 2. A forma quadrática
II α =
X
ωi ωiα =
i
X
hαij ωi ωj
(1.7)
i,j
é chamada segunda forma fundamental de x na direção de eα .
Denotemos por Np M o conjunto dos vetores normais a M , isto é, Np M = dxp (Tp M )⊥ .
Np M é chamado espaço normal da imersão x em p. Um campo de vetores normais é
uma aplicação diferenciável ν : U → Rn+q com ν(p) ∈ Np M , p ∈ M . Dado um campo de
vetores normais ν : U ⊂ M → Rn+q , em uma vizinhança U suficientemente pequena de
p, podemos escolher um referencial adaptado {eA } em U de modo que en+1 = ν. Neste
caso particular denotaremos a segunda forma fundamental na direção de en+1 por II ν .
Mostremos que II ν generaliza a situação análoga para superfı́cies em R3 . Para isso,
seja v ∈ Tp M , |v| = 1, e consideremos uma curva α : (−ε, ε) → U parametrizada pelo
, νi = 0,
comprimento de arco s, com α(0) = p e α0 (0) = v. Então, como h dα
ds
2
dα
dα dν
,ν
= −
,
= −hdx(v), dν(v)i
ds2
ds ds
*
+
X
X
X
= −hdx, dνi(v) = −
ωi ei ,
ωn+1,j ej +
ωn+1,β eβ (v)
i
j
!
= −
X
ωi ωn+1,i
β
!
(v) =
i
X
i
15
ωi ωi,n+1 (v) = II ν (v).
(1.8)
Portanto, II ν (v) é a componente do vetor normal a α segundo o vetor unitário ν, isso
generaliza a noção de segunda forma fundamental de superfı́cies em R3 .
Como sabemos, a toda forma quadrática em um espaço vetorial está associada uma
aplicação linear auto-adjunta, assim, para todo ponto p ∈ M e todo vetor normal unitário
ν ∈ Np M , existe uma transformação linear auto-adjunta, que denotaremos por Aν :
Tp M → Tp M , tal que
II ν (v) = − hAν (v), vi ,
para todo v ∈ Tp M . Segue da equação 1.8 que, em um referencial adaptado, a matriz de
Aν com ν = en+1 é dada por (−hn+1
ij ).
Definição 3. Dada uma imersão x : M 2 → M 3 de uma superfı́cie M 2 em uma variedade
tridimensional M 3 definimos a curvatura gaussiana de M 2 por
K = h11 h22 − h212 ,
e a curvatura média por
H=
h11 + h22
.
2
Agora passaremos a descrever um dos objetos fundamentais no estudo da geometria
das subvariedades, a saber, as formas de curvatura e as formas de curvatura normal da
imersão x. Para isto, vamos escrever as equações de estrutura de M , tendo o cuidado de
destacar as partes tangenciais (indices i, j, . . . ) e normais (ı́ndices α, β, . . . ). Deste modo
dωi =
X
ωj ∧ ωji
(1.9)
j
dωij =
X
ωik ∧ ωkj +
X
k
α
dωiα =
X
ωij ∧ ωjα +
X
j
β
dωαβ =
X
ωαj ∧ ωjβ +
X
ωiα ∧ ωαj
(1.10)
ωiβ ∧ ωβα
(1.11)
ωαγ ∧ ωγβ
(1.12)
γ
j
Observação 2. Com as notações acima podemos expressar as curvaturas gaussiana e
média de uma imersão x : M 2 → M 3 em termos da 2-forma ω1 ∧ω2 . De fato, a identidade
ω3 = 0 implica
dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = 0.
Pelo lema de Cartan
ω13 = h11 ω + h12 ω2
ω23 = h21 ω + h22 ω2 .
16
Por outro lado
dω12 = ω13 ∧ ω32
= −(h11 h22 − h212 )ω1 ∧ ω2
= −Kω1 ∧ ω2
e
ω13 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω23 = (h11 + h22 )ω1 ∧ ω2
= 2Hω1 ∧ ω2
Da equação 1.10 observamos que a segunda parcela do membro direito funciona como
um termo de correção da estrutura euclidiana de M , já que seX
esta parcela fosse nula
terı́amos exatamente a equação 1.2. Isto sugere que o termo
ωiα ∧ ωαj contém inα
formações sobre a geometria de M . A esse termo daremos uma notação especial, a saber,
X
ωiα ∧ ωαj .
Ωij =
α
Consequentemente
Ωij = −Ωji .
Definição 4. As 2-formas Ωij são chamadas formas de curvatura do referencial {ei }.
Nosso próximo passo é dar um significado geométrico à matriz das formas de curvatura, para isso iremos analisar como elas variam com uma mudança da parte tangente
do referencial {ei }, já que a parte normal {eα } não afeta as formas Ωij .
Indicaremos as matrizes das formas ωij e Ωij por W e Ω, respectivamente, e o vetor
coluna das formas ωi , por ω. Assim, as equações de estrutura 1.9 e 1.10 tornam-se
dω = ω ∧ W
dW = W ∧ W + Ω.
Uma mudança na parte tangente {ei } do referencial será dada por
X
ei =
uij ej ,
j
onde (uij ) = U é uma matriz ortogonal, isto é, U U ∗ = I, onde U ∗ indica a matriz
transposta de U .
P
Lema 1.3. Por uma mudança do referencial {ei } dada por ei = j uij ej , a matriz das
formas de conexão W muda por
W = dU U ∗ + U W U ∗
(1.13)
e a matriz das formas de curvatura Ω muda por
Ω = U ΩU ∗ ,
onde a barra indica os elementos correspondentes no referencial {ei }.
17
(1.14)
Demonstração.
De ei =
X
uij ej vem ωi =
j
X
uij ω j , isto é, ω = U ω, e então
j
ω = U ∗ ω. Portanto,
dω = dU ∧ ω + U dω
= dU ∧ (U ∗ ω) + U (W ∧ ω)
= (dU U ∗ + U W U ∗ ) ∧ ω.
Pelo lema de unicidade 1.2, concluı́mos que
W = dU U ∗ + U W U ∗ ,
o que demonstra 1.13. Para demonstrar 1.14, observemos que a identidade U U ∗ = I
implica dU U ∗ = −U (dU )∗ . Passemos ao calculo de W ∧ W e dW :
W ∧ W = (dU U ∗ + U W U ∗ ) ∧ (dU U ∗ + U W U ∗ )
= dU U ∗ ∧ dU U ∗ + dU U ∗ ∧ U W U ∗
+U W U ∗ ∧ dU U ∗ + U W U ∗ ∧ U W U ∗
= −dU U ∗ U ∧ (dU )∗ + dU U ∗ U ∧ W U ∗
−U W U ∗ U ∧ (dU )∗ + U W U ∗ ∧ U W U ∗
= −dU ∧ (dU )∗ + dU ∧ W U ∗ − U W ∧ (dU )∗ + U W ∧ W U ∗
e
dW = −dU ∧ (dU )∗ + dU ∧ W U ∗ − U W ∧ (dU )∗ + U dW U ∗ .
Portanto,
Ω =
=
=
=
−W ∧ W + dW
−U W ∧ W U ∗ + U dW U ∗
U (dW − W ∧ W )U ∗
U ΩU ∗ .
Como querı́amos demonstrar.
Em outras palavras, o lema 1.3 afirma que fixado p ∈ M , quando mudamos o referencial tangente {ei }, a matriz de formas ((Ωij )p ) muda como a matriz de uma transformação
linear em Tp M .
Definição 5. Fixado dois vetores X, Y ∈ Tp M , a matriz numérica {(Ωij )p } representa
um operador linear em Tp M que indicaremos por
(RXY )p : Tp M → Tp M
e que não depende do referencial tangente. RXY é chamado operados de curvatura da
métrica induzida.
18
Observação 3. Escrevendo a equação 1.12 na forma
X
dωαβ =
ωαγ ∧ ωγβ + Ωαβ ,
j
onde
Ωαβ =
X
ωαi ∧ ωiβ = −Ωβα ,
i
vemos que ela possui uma certa analogia formal com as equações de estrutura de um
espaço euclidiano com termo de correção Ωαβ . Por um raciocı́nio inteiramente análogo
ao lema 1.3, verificamos que a matriz de formas (ωαβ ) = W ⊥ e a matriz de formas
(Ωαβ ) = Ω⊥ se transforma por uma mudança da parte normal {eα } do referencial, de
modo semelhante as formas W e Ω respectivamente. Por esta razão, chamamos ωαβ as
formas de conexão normal e Ωαβ as formas de curvatura normal.
É claro que, fixados p ∈ M e dois vetores X, Y ∈ Tp M , a matriz {(Ωαβ )p (X, Y )}
determina um operador linear
⊥
(RXY
)p : Np M → Np M.
⊥
é chamado o operador de curvatura normal da imersão x.
RX,Y
Daremos agora um significado geométrico as formas de conexão ωij . Para isso consideremos X um campo diferenciável de vetores tangentes em M , Y ∈ Tp M e α : (−ε, ε) →
M uma curva diferenciável em M com α(0) = p e α0 (0) = Y . Definimos
dX
(∇Y X)p = proj. sobre Tp M de
dt t=0
onde t é o parâmetro da curva α. Vamos mostrar que ∇Y X só depende da métrica
induzida em M por x.
Para isso, escolhemos
um referencial adaptado {eA } em uma vizinhança U ⊂ M e
P
escrevemos X = xi ei , onde xi são funções diferenciáveis em U . Temos
dX
dt
dei
dt
dt
i
i
X dxj
X X
X X
∂
∂
=
ej +
xi
ωij
ej +
xi
ωiα
eα ,
dt
∂t
∂t
α
j
i
j
i
=
X dxi
X
xi
(∇Y X)p =
X
ei +
Logo
(
j
dxj X
+
ωij
dt
i
∂
∂t
)
xi
(
=
X
ei
)
dxj (Y ) +
j
X
ωij (Y )xi
ej ,
i
isto mostra que ∇Y X só depende dos ωij e portanto da métrica induzida.
19
Definição 6. (∇Y X) é chamada a derivada covariante do campo X segundo o vetor Y
no ponto p.
Notemos que se X = ei , obtemos
h∇Y ei , ej i = ωij (Y ),
isto fornece uma interpretação geométrica das formas de conexa ωij em termos da derivada
covariante.
Analogamente, podemos definir a derivada covariante normal da seguinte maneira:
Dado η um campo diferenciável de vetores normais em M e y ∈ Tp M , a derivada covarip é a projeção sobre o complemento
ante normal (∇⊥
y η)p de η em relação a y no ponto
dη
ortogonal Np M de Tp M da derivada usual dt t=0 . Com um cálculo similar ao que foi
feito para ∇Y X verificamos que
)
(
X
X
⊥
ωαβ (y)ηα eβ ,
dxα (y) +
∇y η p =
α
β
onde η =
X
ηα eα . Ou seja, ∇⊥
y η depende apenas das formas ωαβ . Se η = eα , temos
α
h∇⊥
y eα , eβ i = ωαβ (y).
Finalmente, relacionaremos as formas de curvatura da métrica induzida e as formas
de curvatura normal com as formas quadráticas da imersão. Por definição, temos
X
Ωij =
ωiα ∧ ωαj
α
e
Ωαβ =
X
ωαi ∧ ωiβ .
i
Aplicando a definição dos coeficientes da segunda forma fundamental ficamos com
Ωij = −
(
X X
)
hαil ωl ∧
α
= −
( l
X X
α
=
hαjk ωk
k
)
hαil hαjk ωl ∧ ωk
l,k
(
X X
k<l
X
)
hαil hαjk − hαik hαjl ωk ∧ ωl
α
e
20
(1.15)
Ωαβ = −
= −
(
X X
i
( k
X X
i
)
hαik ωk ∧
X
hβil ωl
l
)
hαik hβil ωk ∧ ωl
k,l
(
)
X X
α β
α β
=
ωk ∧ ωl
hil hjk − hik hil
(1.16)
i
k<l
As equações 1.15 e 1.16 são chamadas as equações de Gauss e equações de Ricci,
respectivamente.
As equações 1.11
dωiα =
X
ωij ∧ ωjα +
j
X
ωiβ ∧ ωβα
β
que exprimem as diferenciais de ωiα em termos das formas da conexão tangente e das
formas da conexão normal é chamada Equações de Codazzi.
Observação 4. Para o caso de uma hipersuperfı́cie de dimensão n as equações de Codazzi
assume a forma
X
dωi,n+1 =
ωij ∧ ωj,n+1 ,
j
pois ωn+1,n+1 = 0. Tendo em vista que
ωj,n+1 =
X
hjk ωk ,
(1.17)
hjk ωij ∧ ωk .
(1.18)
k
podemos escrever
dωi,n+1 =
X
k,j
Nosso objetivo é obter uma expressão manejável para a equação de Codazzi. Para
isto, vamos fazer uso da identidade auxiliar
X
X
X
dhij =
hij,k ωk −
hkj ωki −
hik ωkj ,
(1.19)
k
k
k
onde hij,k = ∂x∂ k hij . Derivando exteriormente ωi,n+1 = j hij ωj obtemos
X
X
dωi,n+1 =
dhij ∧ ωj +
hij dωj .
P
j
j
Substituindo 1.19, obtemos
21
dωi,n+1 =
X
−
hij,k ωk ∧ ωj −
X
k,j
k,j
X
hik ωkj ∧ ωj +
X
k,j
hkj ωki ∧ ωj
hij ωk ∧ ωkj .
k,j
Observando que
X
hij ωk ∧ ωkj =
k,j
X
hik ωjk ∧ ωj
k,j
vem,
dωi,n+1 =
X
hij,k ωk ∧ ωj −
k,j
X
hkj ωki ∧ ωj .
(1.20)
k,j
Comparando 1.18 e 1.20, concluı́mos que
X
X
(hij,k − hik,j )ωk ∧ ωj .
hij,k ωk ∧ ωj =
0=
k<j
k,j
Portanto
hij,k = hik,j ,
como gostarı́amos.
1.3
O Toro de Clifford
Seja x : R2 → R4 uma aplicação diferenciável dada por
1
x(u.v) = √ (cos u, sin u, cos v, sin v)
2
(u, v) ∈ R2 .
(1.21)
O conjunto x (R2 ) ⊂ S 3 é chamado o toro de Clifford. O objetivo desta seção é provar
dentre outros fatos que o toro de Clifford é uma superfı́cie mı́nima da esfera unitária
de R4 . Dando assim, um exemplo não-trivial de uma superfı́cie mı́nima mergulhada
compacta de S 3 .
De 1.21, podemos escrever
1
dx = √ (− sin udu, cos udu, − sin vdv, cos vdv),
2
com isso
∂
∂u
1
= √ (− sin u, cos u, 0, 0),
2
∂
∂v
1
= √ (0, 0, − sin v, cos v),
2
dx
dx
22
portanto x é uma imersão. Como x(u + 2nπ, v + 2mπ) = x(u, v), para todo n, m inteiros,
podemos nos restringir a condição (u, v) ∈ (0, 2π) × (0, 2π), neste conjunto x é um
mergulho.
Para estudar a geometria desde toro, escolhamos um referencial ortonormal e adaptado da seguinte maneira
e1 = (− sin u, cos u, 0, 0),
e2 = (0, 0, − sin v, cos v),
1
e3 = √ (cos u, sin u, sin v, cos v),
2
1
e4 = √ (− cos u, − sin u, sin v, cos v).
2
Como dx =
P
ωi ei , concluı́mos que
du
ω1 = hdx, e1 i = √ ,
2
dv
ω2 = hdx, e2 i = √ ,
2
ω3 = hdx, e3 i = 0,
ω4 = hdx, e4 i = 0.
Para encontrar as formas de conexão, calculamos primeiro
de1 = (− cos udu, − sin udu, 0, 0),
de2 = (0, 0, − cos vdv, − sin vdv),
1
de3 = √ (− sin udu, cos udu, − sin vdv, cos vdv),
2
donde
ω12 = hde1 , e2 i = 0,
du
ω13 = hde1 , e3 i = − √ ,
2
du
ω14 = hde1 , e4 i = √ ,
2
dv
ω23 = hde2 , e3 i = − √ ,
2
du
ω24 = hde2 , e4 i = − √ ,
2
ω34 = hde3 , e4 i = 0.
23
De ω12 = 0, concluı́mos com o auxı́lio da observação 2, que a curvatura gaussiana K da
métrica induzida é zero.
Passemos ao cálculo das segundas formas quadráticas nas direções e3 e e4 , para isto
escrevemos
ω13 = h311 ω1 + h312 ω2 ,
ω23 = h321 ω1 + h322 ω2 ,
isto implica
du
du
dv
− √ = h311 √ + h312 √ ,
2
2
2
du
dv
dv
− √ = h321 √ + h322 √ .
2
2
2
Portanto
3
A =
−1 0
0 −1
.
Analogamente
du
dv
du
√ = h411 √ + h412 √ ,
2
2
2
dv
du
dv
− √ = h421 √ + h422 √
2
2
2
daı́
4
A =
1 0
0 −1
.
Em particular, o toro x((0, 2π) × (0, 2π)) ⊂ S 3 visto como uma superfı́cie de S 3 tem
curvaturas principais λ1 = 1 e λ2 = −1, ou seja, o toro de Clifford é uma superfı́cie
mı́nima de S 3 .
24
Capı́tulo 2
A Conjectura de Lawson
Neste capı́tulo apresentamos a demonstração da conjectura de Lawson.
2.1
Chave Técnica
Seja F : Σ → S 3 uma superfı́cie mı́nima mergulhada em S 3 (vista como a esfera
unitária de R4 ). Além disso, seja Φ uma função positiva, definida em Σ. Consideremos
a expressão
Z(x, y) = Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) + hν(x), F (y)i.
A função acima aparece pela primeira vez no trabalho de B. Andrews [3]. A interpretação geométrica da mesma pode ser feita em dimensões arbitrarias e é a seguinte:
Seja M n = F (Σ) uma hipersuperfı́cie em S n+1 dada pelo mergulho F , e limitando
uma região Ω ⊂ S n+1 . Escolhamos Ω de tal modo que o vetor normal ν de Σ aponta
para fora de Ω. Para cada x ∈ Σ, encontraremos uma desigualdade que é equivalente a
afirmação de que existe uma bola em Ω com curvatura de bordo igual a Φ(x) de modo
que F (x) pertence ao bordo desta bola. Uma bola geodésica em S n+1 é simplesmente a
interseção de uma bola de Rn+2 com S n+1 . Em particular, a bola em S n+1 contida em
Ω e com curvatura média do bordo igual a Φ e que é tangente a F (Σ) no ponto F (x) é
B = BΦ−1 (p), onde p = F (x) − Φ−1 ν(x), onde ν é o vetor normal a F (Σ) no ponto F (x)
de S n+1 que aponta para fora de Ω.
Afirmar que uma bola de S n+1 está inteiramente contida em Ω é equivalente, a afirmar
que, para todo y ∈ Σ, vale a seguinte desigualdade
|F (y) − p|2 ≥ Φ−2 ,
ou seja,
|F (y) − (F (x) − Φ−1 ν(x))|2 − Φ−2 ≥ 0.
25
Desenvolvendo o primeiro membro e multiplicando por Φ/2 ficamos com
Φ
|F (y) − F (x)|2 + hF (y) − F (x), ν(x)i ≥ 0
2
Desde que F (x), F (y) ∈ S n+1 temos |F (x)|2 = |F (y)|2 = 1 e hF (x), ν(x)i = 0, daı́
Z(Φ(x), x, y) := Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) + hν(x), F (y)i ≥ 0.
Em suma, provamos o seguinte fato geométrico:
Proposição 2.1. Se Φ : Σ → R é uma função suave e positiva sobre Σ, então a função
Z(Φ(x), x, y) é não-negativa para todo x, y ∈ Σ se, e somente se, em todo ponto x ∈ Σ
existe uma bola B ⊂ Ω com curvatura média do bordo igual Φ(x) e F (x) ∈ ∂B.
Voltando à função Z inicial, consideremos o par de pontos x 6= y tal que Z(x, y) = 0
e de modo que a diferencial de Z também se anula no ponto (x, y). Seja (x1 , x2 ) um
sistema de coordenadas geodésicas em uma vizinhança de x, e (y1 , y2 ) um sistema de
coordenadas geodésicas em uma vizinhança de y.
No ponto (x, y), temos
0=
e
∂Z
∂Φ
(x, y) =
(x)(1 − hF (x), F (y)i)
∂xi
∂xi
∂F
∂F
k
(x), F (y) + hi (x)
(x), F (y)
− Φ(x)
∂xi
∂xk
∂Z
∂F
∂F
0=
(x, y) = −Φ(x) F (x),
(y) + ν(x),
(y) ,
∂yi
∂yi
∂yi
(2.1)
(2.2)
onde hij (x) denota a coordenada ij da matriz da segunda forma fundamental de F no
ponto x, a qual denotaremos por A(x).
As relações acima serão muito usadas nos próximos argumentos.
Podemos, sem perda de generalidade, supor que a segunda forma fundamental de F
em x está diagonalizada, isto é, h11 (x) = λ1 , h12 (x) = 0, e h22 (x) = λ2 . Denotemos por
∂F
Ri a reflexão do vetor ∂x
(x) a através do hiperplano ortogonal a F (x) − F (y), isto é
i
F (x) − F (y)
∂F
∂F
F (x) − F (y)
(x) − 2
(x),
.
Ri =
∂xi
∂xi
|F (x) − F (y)| |F (x) − F (y)|
Escolhendo de maneira adequada um sistema de coordenadas (y1 , y2 ), podemos supor
∂F
∂F
∂F
que hR1 , ∂y
(y)i ≥ 0, hR1 , ∂y
(y)i = 0, e hR2 , ∂y
(y)i ≥ 0.
1
2
2
Lema 2.1. Os vetores F (y) e Φ(x)F (x) − ν(x) são linearmente independentes.
26
Demonstração. Usando a identidade
hΦ(x)F (x) − ν(x), F (y)i = Φ(x) − Z(x, y) = Φ(x),
obtemos
|Φ(x)F (x) − ν(x)|2 |F (y)|2 − hΦ(x)F (x) − ν(x), F (y)i2
= |Φ(x)F (x) − ν(x)|2 − Φ(x)2 = 1.
Isto implica que a desigualdade de cauchy-schwarz é estrita, logo F (y) e Φ(x)F (x) − ν(x)
são linearmente independentes.
∂F
∂F
Lema 2.2. Temos R1 = ∂y
(y) e R2 = ∂y
(y).
1
2
Demonstração. Usando a expressão de Ri encontramos
∂F
hRi , F (y)i =
(x), F (y)
∂xi
∂F
hF (x) − F (y), F (y)i
+ 2
(x), F (y)
=0
∂xi
|F (x) − F (y)|2
e
∂F
hF (x) − F (y), Φ(x)F (x) − ν(x)i
hRi , Φ(x)F (x) − ν(x)i = 2
(x), F (y)
∂x
|F (x) − F (y)|2
i
Z(x, y)
∂F
(x), F (y))
= 0.
= 2
∂xi
|F (x) − F (y)|2
∂F
∂F
Por outro lado, os vetores ∂y
(y) e ∂y
(y) satisfazem
1
2
∂F
(y), F (y) = 0
∂yi
e
∂F
∂Z
(y), Φ(x)F (x) − ν(x) = −
(x, y) = 0.
∂yi
∂yi
Visto que os vetores F (y) e Φ(x)F (x) − ν(x) são linearmente independentes, podemos
escrever
∂F
∂F
span{R1 , R2 } = span
(y),
(y) .
∂y1
∂y2
∂F
Além disso, R1 e R2 são ortonormais. Como hR1 , ∂y
(y)i = 0 concluı́mos que R1 =
2
∂F
∂F
∂F
∂F
± ∂y1 (y) e R2 = ± ∂y2 (y). Desde que hR1 , ∂y1 (y)i ≥ 0 e hR2 , ∂y
(y)i ≥ 0, o resultado
2
segue.
27
Consideraremos agora as segundas derivadas de Z num ponto (x, y) supondo apenas
que x 6= y.
Proposição 2.2. Se x 6= y, temos
2
X
∂ 2Z
|∇Φ(x)|2
2
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
(x, y) =
∆Σ Φ(x) −
∂x2i
Φ(x)
i=1
2
2
X
∂F
2Φ(x)2 − |A(x)|2
(x), F (y)
+ 2Φ(x) −
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
1
− |A(x)|2 Z(x, y) +
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
"
#
2
2
X
∂Z
∂Z
∂F
·
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
∂xi
∂xi
∂xi
i=1
Em particular,
2
X
∂ 2Z
|∇Φ(x)|2
2
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
(x, y) =
∆Σ Φ(x) −
∂x2i
Φ(x)
i=1
2
2
X
2Φ(x)2 − |A(x)|2
∂F
+ 2Φ(x) −
(x), F (y) .
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
Demonstração.
Calculando as segundas derivadas de Z com relação a primeira
coordenada no ponto (x, y) e somando de 1 até 2, encontramos
2
X
∂ 2Z
i=1
∂x2i
(x, y) =
2
X
∂ 2Φ
(1 − hF (x), F (y)i) −
2
X
∂Φ ∂F
(x), F (y)
∂xi ∂xi
X
2
2
∂Φ ∂F
∂ F
−
(x), F (y) −
Φ(x)
(x), F (y)
∂xi ∂xi
∂x2i
i=1
i=1
X
2
2
2
X
∂ k
∂F
∂ F
k
+
h (x)
(x), F (y) +
hi (x)
(x), F (y) .
∂xi i
∂xk
∂xi ∂xk
i=1
i=1
i=1
2
X
∂x2i
i=1
Das equações de Codazzi vem
2
X
∂
∂xi
i=1
hki (x) = 0.
Usando a identidade acima e o fato de que
28
∂ 2F
(x) = −δij F (x) − hij (x)ν(x)
∂xi ∂xj
(2.3)
obtemos
2
X
∂ 2Z
∂x2i
i=1
2
X
∂ 2Φ
(x, y) =
∂x2i
i=1
(1 − hF (x), F (y)i) − 2
2
X
∂Φ ∂F
∂xi
i=1
∂xi
(x), F (y)
+ 2Φ(x)hF (x), F (y)i − |A(x)|2 hν(x), F (y)i.
Como hν(x), F (y)i = Z(x, y) − Φ(x) (1 − hF (x), F (y)) vem
2
X
∂ 2Z
(x, y) =
2
i=1
∂xi
∆Σ Φ(x) + (|A(x)|2 − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i) + 2Φ(x)
− 2
2
X
∂Φ ∂F
i=1
∂xi
∂xi
(x), F (y) − |A(x)|2 Z(x, y).
2
Somando e subtraindo |∇Φ(x)|
dentro dos parênteses e completando o quadrado ficamos
Φ(x)
com
2
X
∂ 2Z
i=1
=
∂x2i
(x, y)
|∇Φ(x)|2
2
∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i) + 2Φ(x)
Φ(x)
2
2
X
1
∂Φ
∂F
+
(x)(1 − hF (x), F (y)i) − Φ(x)
(x), F (y)
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
∂xi
2
2
X
∂F
Φ(x)
−
(x), F (y) − |A(x)|2 Z(x, y)
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
∂Z
Substituindo a expressão da ∂x
(x, y) acima, vem
i
29
2
X
∂ 2Z
∂x2i
i=1
(x, y) =
|∇Φ(x)|2
2
∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
Φ(x)
1
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
2
2
X ∂Z
∂F
(x, y) − λi
(x), F (y)
·
∂x
∂x
i
i
i=1
2
2
X
∂F
Φ(x)
(x), F (y) − |A(x)|2 Z(x, y).
−
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
+ 2Φ(x) +
Logo
2
X
∂ 2Z
∂x2i
i=1
(x, y) =
|∇Φ(x)|2
2
∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
Φ(x)
2
2
X
1
∂F
2
(x), F (y)
+ 2Φ(x) +
λ
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 i ∂xi
2
2
X
Φ(x)
∂F
−
(x), F (y) − |A(x)|2 Z(x, y)
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
+
1
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
"
#
2
2
X
∂Z
∂F
∂Z
·
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
∂xi
∂xi
∂xi
i=1
Visto que a imersão é mı́nima vale λ21 = λ22 = 21 |A(x)|2 , e logo temos
2
X
∂ 2Z
|∇Φ(x)|2
2
(x, y) =
∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
2
∂x
Φ(x)
i
i=1
2
2
X
2Φ(x)2 − |A(x)|2
∂F
+ 2Φ(x) −
(x), F (y)
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
1
− |A(x)|2 Z(x, y) +
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
"
#
2
2
X
∂Z
∂F
∂Z
·
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
∂x
∂x
∂x
i
i
i
i=1
30
Proposição 2.3. Se x 6= y, temos
∂Z
(x, y)
∂ 2Z
∂F
∂F
∂xi
(x, y) = (λi − Φ(x)) Ri ,
(y) −
F (x),
(y) .
∂xi ∂yi
∂yi
1 − hF (x), F (y)i
∂yi
Em particular,
∂ 2Z
(x, y) = λi − Φ(x).
∂xi ∂yi
Demonstração. Derivando Z com relação a x e com relação a y, obtemos
∂ 2Z
∂Φ
∂F
∂F
∂F
(x, y) = −
(x) F (x),
(y) + (λi − Φ(x))
(x),
(y) .
∂xi ∂yi
∂xi
∂yi
∂xi
∂yi
Desde que
∂Z
∂Φ
(x, y) =
(x)(1 − hF (x), F (y)i) + (λi − Φ(x))
∂xi
∂xi
∂F
(x), F (y)
∂xi
temos
1
∂Φ
(x) =
∂xi
1 − hF (x), F (y)i
∂Z
(x, y) − (λi − Φ(x))
∂xi
∂F
(x), F (y)
.
∂xi
Logo
∂ 2Z
1
∂Z
∂F
(x, y) = −
(x, y) − (λi − Φ(x))
(x), F (y)
∂xi ∂yi
1 − hF (x), F (y)i ∂xi
∂xi
∂F
(y)
· F (x),
∂yi
∂F
∂F
+ (λi − Φ(x))
(x),
(y)
∂xi
∂yi
∂F
F (x) − F (y)
F (x) − F (y) ∂F
= −2(λi − Φ(x))
(x),
,
(y)
∂xi
|F (x) − F (y)|
|F (x) − F (y)| ∂yi
+ (λi − Φ(x))
∂Z
(x, y)
∂F
∂F
∂F
∂xi
(x),
(y) −
F (x),
(y) .
∂xi
∂yi
1 − hF (x), F (y)i
∂yi
Portanto
∂Z
(x, y)
∂ 2Z
∂F
∂F
∂xi
(x, y) = (λi − Φ(x)) Ri ,
(y) −
F (x),
(y) .
∂xi ∂yi
∂yi
1 − hF (x), F (y)i
∂yi
Como querı́amos demonstrar.
31
Proposição 2.4. Se x 6= y, temos
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
=
|∇Φ(x)|2
2
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
∆Σ Φ(x) −
Φ(x)
2
2
X
2Φ(x)2 − |A(x)|2
∂F
−
(x), F (y) + 4Φ(x) − (|A(x)|2 + 2)Z(x, y)
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
2
2
X
X
∂F
2
∂F
∂Z
+2
(λi − Φ(x)) Ri ,
(y) −
(x, y) F (x),
(y)
∂y
1
−
hF
(x),
F
(y)i
∂x
∂y
i
i
i
i=1
i=1
"
#
2
2
X
1
∂Z
∂Z
∂F
+
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1
∂xi
∂xi
∂xi
Em particular,
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
y)
+
2
y)
+
(x,
(x, y)
(x,
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
X
∂ 2Z
|∇Φ(x)|2
2
= ∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
Φ(x)
2
2
X
2Φ(x)2 − |A(x)|2
∂F
(x), F (y) .
−
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
Demonstração. Pela proposição 2.3, temos
2
X
∂ 2Z
∂F
(x, y) =
(λi − Φ(x)) Ri ,
(y)
∂xi ∂yi
∂y
i
i=1
2
X
∂Z
1
∂F
−
(x, y) F (x),
(y) .
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
∂yi
Além disso,
∂ 2Z
∂ 2F
∂ 2F
(x, y) = −Φ(x) F (x), 2 (y) + ν(x), 2 (y)
∂yi2
∂yi
∂yi
32
Segue de 2.3 que
2
X
∂ 2Z
i=1
∂yi2
(x, y) = 2Φ(x)hF (x), F (y)i − 2hν(x), F (y)i = 2Φ(x) − 2Z(x, y).
Combinando essa identidades com a proposição 2.2, encontramos
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
X
∂ 2Z
=
|∇Φ(x)|2
2
∆Σ Φ(x) −
+ (|A(x)| − 2)Φ(x) (1 − hF (x), F (y)i)
Φ(x)
2
2
X
2Φ(x)2 − |A(x)|2
∂F
−
(x), F (y) + 4Φ(x) − (|A(x)|2 + 2)Z(x, y)
2Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
2
2
X
X
2
∂F
∂F
∂Z
+2
(λi − Φ(x)) Ri ,
(y) −
(x, y) F (x),
(y)
∂yi
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
∂yi
i=1
"
#
2
2
X
∂Z
∂F
∂Z
1
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
+
Φ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1
∂xi
∂xi
∂xi
2.2
Demonstração do Teorema Principal
Nesta seção descrevemos a demonstração da conjectura de Lawson. Primeiramente
vamos encontrar uma identidade tipo-Simons para a função Ψ(x) = √12 |A(x)|.
Proposição 2.5. Suponha que F : Σ → S 3 é um toro mı́nimo mergulhado em S 3 . Então
a função Ψ(x) = √12 |A(x)| é estritamente positiva. Além disso, Ψ satisfaz a equação
diferencial parcial
∆Σ Ψ −
|∇Ψ|2
+ (|A|2 − 2)Ψ = 0.
Ψ
Demonstração. Segue de [13] que um toro mı́nimo em S 3 não tem pontos umbı́licos.
Assim, a função |A| é estritamente positiva em todo ponto. Usando a identidade de
Simons [15] obtemos
∆hik + (|A|2 − 2)hik = 0.
Multiplicando esta igualdade por hik e somando em i e k de 1 até 2 temos
33
X
hik ∆hik + (|A|2 − 2)
i,k
X
h2ik = 0.
i,k
Agora, usando a identidade ∆h2ik = 2hik ∆hik + 2|∇hik |2 e a linearidade do Laplaciano
vem
X 1
X
( ∆h2ik − |∇hik |2 ) + (|A|2 − 2)
h2ik = 0
2
i,k
i,k
X
X
1 X 2
∆
hik −
|∇hik |2 + (|A|2 − 2)
h2ik = 0
2 i,k
i,k
i,k
1
∆Σ (|A|2 ) − |∇A|2 + (|A|2 − 2)|A|2
2
= 0,
donde temos
∆Σ (|A|) + |∇|A||2 − |∇A|2 + (|A|2 − 2)|A|2 = 0
Para finalizar a demonstração mostraremos que |∇A|2 = 2|∇|A||2 . Escrevendo
A = (h11 , h12 , h21 , h22 )
temos
|A| =
q
2h211 + 2h212 ,
pois h11 + h22 = 0 e h12 = h21 . Logo
2h11 h11,1 + 2h12 h12,1
∂|A|
=
∂x1
|A|
(2.4)
∂|A|
2h11 h11,2 + 2h12 h12,2
=
.
∂x2
|A|
(2.5)
e
As equações 2.4 e 2.5 implicam
4
(h211 h211,1 + h212 h212,1 + 2h11 h11,1 h12 h12,1 )
2
|A|
4
+
(h2 h2 + h212 h212,2 + 2h11 h11,2 h12 h12,2 )
|A|2 11 11,2
4
=
[h2 (h2 + h211,2 ) + h212 (h212,1 + h212,2 )]
|A|2 11 11,1
4
+
[2h11 h12 (h11,1 h12,1 + h11,2 h12,2 )].
|A|2
|∇|A||2 =
Aplicando as equações de Codazzi, vem
34
4
(h2 + h212 )(h211,1 + h211,2 )
|A|2 11
8
+
h11 h12 h12,1 (h11,1 + h22,1 )
|A|2
= 2(h211,1 + h211,2 )
|∇|A||2 =
= 2|∇h11 |2 .
Por outro lado,
∇A = (∇h11 , ∇h12 , ∇h21 , ∇h22 ).
Isto nos dá
|∇A|2 = |∇h11 |2 + |∇h12 |2 + |∇h21 |2 + |∇h22 |2
= 2|∇h11 |2 + 2|∇h12 |2 .
Aplicando as equações de codazzi e a hipótese de que h11 + h22 = 0 na expressão |∇h12 |2
acima, encontramos
|∇h12 |2 = h212,1 + h212,2
= h211,2 + h222,1
= |∇h11 |2 .
Portanto
|∇A|2 = 4|∇h11 |2 = 2 |∇|A||2 .
Substituindo |∇A|2 na equação acima e dividindo ambos os membros por
com
∆Σ
|A|
√
2
√
2, ficamos
|A|
1 |∇|A||2
−√
+ (|A|2 − 2) √ = 0.
2 |A|
2
Como querı́amos demonstrar.
Proposição 2.6. Suponha que F : Σ → S 3 é um toro mı́nimo mergulhado em S 3 . Se
|hν(x), F (y)i|
≤ 1,
x,y∈Σ,x6=y Ψ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
sup
então F é congruente ao toro de Clifford.
Demonstração. Por hipótese, temos
Z(x, y) = Ψ(x)(1 − hF (x), F (y)i) + hν(x), F (y)i ≥ 0
35
para todo x, y ∈ Σ. Por simplicidade vamos identificar a superfı́cie Σ com a sua imagem
pelo mergulho F , isto é, F (x) = x. Fixado um ponto x ∈ Σ arbitrário, podemos
encontrar uma base ortonormal {e1 , e2 } de Tx Σ tal que h(e1 , e1 ) = Ψ(x), h(e1 , e2 ) = 0, e
h(e2 , e2 ) = −Ψ(x). Seja γ(t) uma geodésica sobre Σ tal que γ(0) = x e γ 0 (0) = e1 . Como
Σ é completa, podemos definir f : R → R por
f (t) = Z(x, γ(t)) = Ψ(x)(1 − hx, γ(t)i) + hν(x), γ(t)i ≥ 0.
As derivadas de f até a ordem 3 são:
f 0 (t) = −hΨ(x)x − ν(x), γ 0 (t)i,
f 00 (t) = hΨ(x)x − ν(x), γ(t)i
+ h(γ 0 (t), γ 0 (t))hΨ(x)x − ν(x), ν(γ(t))i,
e
f 000 (t) = hΨ(x)x − ν(x), γ 0 (t)i
+ h(γ 0 (t), γ 0 (t))hΨ(x)x − ν(x), Dγ 0 (t) ν(γ(t))i
+ (DγΣ0 (t) h)(γ 0 (t), γ 0 (t))hΨ(x)x − ν(x), ν(γ(t))i.
Em particular, temos f (0) = f 0 (0) = f 00 (0) = 0. Ou seja, a série de Taylor de f em torno
do zero é dada por
f 000 (0) 3
t + o(t4 ).
f (t) =
3!
Como f é não negativa, uma simples análise da expressão acima mostra que f 000 (0) = 0.
Deste fato, deduzimos que (DeΣ1 h)(e1 , e1 ) = 0. Trocando o referencial {e1 , e2 , ν} por
{e2 , e1 , −ν} e argumentando de maneira análoga encontramos (DeΣ2 h)(e2 , e2 ) = 0.
Para concluir que ∇A = 0 notemos que h11 + h22 = 0, isto implica
(DeΣ1 h)(e1 , e1 ) + (DeΣ1 h)(e2 , e2 ) = 0
e
(DeΣ2 h)(e1 , e1 ) + (DeΣ2 h)(e2 , e2 ) = 0.
donde
(DeΣ1 h)(e2 , e2 ) = 0
e
(DeΣ2 h)(e1 , e1 ) = 0.
Para para mostrar que as derivadas de h12 também são nulas basta aplicar as equações
de Codazzi nas identidades acima. Portando A é paralela. Em particular, a curvatura
gaussiana de Σ e constante. Consequentemente, a métrica induzida em Σ por F é plana.
Portanto, usando o Corolário 3 de [12], p. 189, concluı́mos que Σ é o toro de Clifford.
Isto demonstra a primeira parte.
36
Antes de finalizar a demonstração do teorema principal vamos relembra-lo:
Teorema 2.1 (Brendle, 2012). Suponha que F : Σ → S 3 é um toro mı́nimo mergulhado
em S 3 . Então F é congruente ao toro de Clifford.
Para completar a demonstração do teorema, seja
κ=
|hν(x), F (y)i|
.
x,y∈Σ,x6=y Ψ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
sup
Se κ ≤ 1, acabamos de provar que F é congruente ao toto de Clifford. Portanto, é
suficiente considerar considerar o caso κ > 1. Mudando ν por −ν se necessário, podemos
escrever
hν(x), F (y)i
.
(2.6)
κ = sup
−
Ψ(x)(1 − hF (x), F (y)i)
x,y∈Σ,x6=y
Definimos a função Z : Σ × Σ → R por
Z(x, y) = κΨ(x)(1 − hF (x), F (y)i) + hν(x), F (y)i
para todo x, y ∈ Σ.
Lema 2.3. Existe uma vizinhança aberta V da diagonal D(Σ × Σ) de Σ × Σ tal que
Z(x, y) > 0
para todo x, y ∈ V \ D(Σ × Σ).
Demonstração. Fixado x ∈ Σ. Seja γ : (−ε, ε) → Σ uma geodésica em Σ tal que
γ(0) = x e γ 0 (0) = v ∈ Tp Σ. Expandindo a função não negativa g(s) = Z(x, γ(s)) em
série de Taylor em torno do zero até a ordem 2 temos
g 00 (0) 2
s + o(s3 ).
2!
Pela demonstração da proposição 2.6, temos g(0) = g 0 (0) = 0 e
g(s) = g(0) + g 0 (0)s +
g 00 (0) = κΨ(x) − λv
onde λv = hAν (v), vi. Por outro lado,
1
Ψ(x) = √ |Aν (x)| = λ1 .
2
Como λ1 é a maior curvatura principal de Σ no ponto x e κ > 1 temos
g 00 (0) > 0.
Donde, existe δ < ε positivo tal que g(s) > 0 para todo s ∈ (−δ, δ) \ {0}. De um modo
geral, existe uma bola BδΣ (x) tal que
37
Z(x, y) > 0
para todo y ∈ BδΣ (x) \ {x}. Como δ não depende de x a desigualdade acima é satisfeita
para todo x ∈ Σ e para todo y ∈ BδΣ \ {x}. Seja
[
BδΣ = Σ
x∈Σ
uma cobertura de Σ por abertos. Como Σ é compacta, existem x1 , . . . , xn ∈ Σ tal que
Σ=
n
[
BδΣ (xk ).
k=1
Afirmamos que
V =
n
[
Σ
Σ
Bδ/2
(xk ) × Bδ/2
(xk )
k=1
é a vizinhança da diagonal procurada. De fato, dado (x0 , y0 ) ∈ V \ D(Σ × Σ) o par
Σ
(xk ) para algum k ∈ {1, . . . , n}. Em particular,
(x0 , y0 ) é tal que x0 6= y0 e x0 , y0 ∈ Bδ/2
y0 ∈ BδΣ (x0 ),
e consequentemente
Z(x0 , y0 ) > 0.
Usando um argumento de compacidade e o lema 2.3 segue-se que o conjunto
Ω = {x ∈ Σ : existe um ponto y ∈ Σ \ {x} tal que Z(x, y) = 0}
é não vazio. Além disso, usando a proposição 2.4 e a identidade obtida na proposição
2.5, concluı́mos que
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
2
2
∂x
∂x
∂y
∂y
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
2
2
2
X
∂F
κ −1
Ψ(x)
=−
(x), F (y)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
∂Z
∂Z
para todo par de pontos x 6= y satisfazendo Z(x, y) = ∂x
(x, y) = ∂y
(x, y) = 0.
i
i
Proposição 2.7. Para todo ponto x ∈ Ω temos ∇Ψ(x) = 0.
38
(2.7)
Demonstração.
Seja x ∈ Ω um ponto arbitrário. Pela definição de Ω, podemos
encontrar um ponto y ∈ Σ \ {x} tal que Z(x, y) = 0. Visto que a função Z é não
negativa, podemos afirmar que (x, y) ∈ Σ × Σ é um ponto de mı́nimo global de Z, segue
de 2.7 e de κ > 1 que
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
0 ≤
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
2
X
κ2 − 1
Ψ(x)
∂F
= −
(x), F (y) ≤ 0.
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
Como
−
κ2 − 1
Ψ(x)
6= 0
κ 1 − hF (x), F (y)i
Concluı́mos que
∂F
(x), F (y) = 0
∂xi
para i = 1, 2. Usando a identidade 2.1, podemos escrever
∂Z
∂Ψ
(x, y) = κ
(x)(1 − hF (x, y)i)
∂xi
∂xi
para i = 1, 2. Portanto, ∇Ψ(x) = 0, como querı́amos demonstrar.
0=
Proposição 2.8. O conjunto Ω é aberto.
Demonstração.
Dados x, y ∈ Σ com x 6= y, sejam (x1 , x2 ) e (y1 , y2 ) coordenadas
normais geodésicas ao longo de x e y respectivamente. Como
na seção
podemos
E anterior,
D
E
D
∂F
∂F
escolher o sistema de coordenadas (y1 , y2 ) de modo que R1 , ∂y1 (y) ≥ 0, R1 , ∂y2 (y) =
D
E
∂F
0 e R2 , ∂y
(y)
≥ 0, onde R1 e R2 são dados por
2
∂F
∂F
F (x) − F (y)
F (x) − F (y)
Ri =
(x) − 2
(x),
.
∂xi
∂xi
|F (x) − F (y)| |F (x) − F (y)|
Adaptando a demonstração do lema 2.2, podemos mostrar que
!
2
2
2
X
X
X
∂F
∂Z
Ri −
(y) ≤ Λ(x, y)
Z(x, y) +
(x, y) .
∂yi
∂yi
i=1
i=1
i=1
Onde Λ é uma função contı́nua em {(x, y) ∈ Σ × Σ : x 6= y} e, eventualmente, não
limitada numa vizinhança da diagonal.
Afim de podermos aplicar o lema 2.5, devemos ter uma estimativa para a segunda
variação da função Z em termos da própria Z e da sua primeira variação. Neste sentido
temos o seguinte
39
Lema 2.4. Se x 6= y, então
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
2
X
κ2 − 1
Ψ(x)
∂F
≤−
(x), F (y)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
e y) Z(x, y) +
+Λ(x,
2
X
∂Z
i=1
∂xi
(x, y) +
2
X
∂Z
i=1
∂yi
!
(x, y)
,
(2.8)
e é uma função contı́nua em {(x, y) ∈ Σ × Σ : x 6= y} dada por
onde Λ
e y) = 2Ψ(x)(κ + 1)Λ(x, y) +
Λ(x,
com M =
4
M
+
,
1 − hF (x), F (y)i Ψ(x)
∂Ψ
(x) .
x∈Σ,i=1,2 ∂xi
max
Demonstração. Pelas proposições 2.4 e 2.5 temos
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
2
X
Ψ(x)
∂F
κ2 − 1
(x), F (y) + 4κΨ(x) − (|A(x)|2 + 2)Z(x, y)
=−
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
2
X
2
X
∂F
2
∂F
∂Z
+2
(λi − κΨ(x)) Ri ,
(y) −
(x, y) F (x),
(y)
∂yi
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
∂yi
i=1
"
#
2
2
X
1
∂Z
∂F
∂Z
+
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
κΨ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1
∂xi
∂xi
∂xi
Desde que Z(x, y) ≥ 0 e |F (x)| =
∂F
∂yi
= 1 podemos escrever
40
2
X
∂ 2Z
(x, y) + 2
2
i=1
∂xi
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x, y) +
(x, y)
2
∂x
∂y
∂y
i
i
i
i=1
i=1
2
2
X
κ2 − 1
∂F
Ψ(x)
≤−
(x), F (y) + 4κΨ(x)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
2
2
X
X
∂Z
∂F
2
+2
(λi − κΨ(x)) Ri ,
(y) +
(x, y)
∂yi
1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
i=1
"
#
2
2
X
1
∂Z
∂F
∂Z
+
(x, y) − 2λi
(x), F (y)
(x, y) .
κΨ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1
∂xi
∂xi
∂xi
|
{z
}
(?)
Vamos estimar (?):
(?) =
∂Z
(x, y)
∂xi
∂Z
∂F
(x, y) − 2λi
(x), F (y) .
∂xi
∂xi
Como
∂Ψ
∂Z
(x, y) = κ
(x)(1 − hF (x), F (y)i) + (λi − κΨ(x))
∂xi
∂xi
∂F
(x), F (y)
∂xi
temos
(?) =
≤
∂Z
∂Ψ
∂F
(x, y) κ
(x)(1 − hF (x), F (y)i) − (λi + κΨ(x))
(x), F (y)
∂xi
∂xi
∂xi
∂Z
∂Z
(x, y) κM (1 − hF (x), F (y)i) +
(x, y) 2κΨ(x).
∂xi
∂xi
∂Ψ
(x) e observamos que, por definição de Ψ,
x∈Σ,i=1,2 ∂xi
vale λi ≤ κΨ(x), com i = 1, 2. Logo
Na última linha fizemos M =
max
41
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
2
X
Ψ(x)
∂F
κ2 − 1
(x), F (y) + 4κΨ(x)
≤−
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
2
X
2
X
∂Z
∂F
2
+2
(λi − κΨ(x)) Ri ,
(y) +
(x, y)
∂y
1
−
hF
(x),
F
(y)i
∂x
i
i
i=1
i=1
2
X
1
∂Z
+
(x, y) κM (1 − hF (x), F (y)i)
κΨ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
2
X
1
∂Z
+
(x, y) 2κΨ(x).
κΨ(x)(1 − hF (x), F (y)i) i=1 ∂xi
Daı́
2
X
∂ 2Z
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x,
y)
+
(x, y)
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
2
X
Ψ(x)
∂F
κ2 − 1
≤−
(x), F (y) + 4κΨ(x)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 partialxi
X
2
2
X
∂Z
M
4
∂F
(y) +
+
(x, y) .
+2
(λi − κΨ(x)) Ri ,
∂y
1
−
hF
(x),
F
(y)i
Ψ(x)
∂x
i
i
i=1
| i=1
{z
}
(??)
Vamos estimar (??):
2
X
2
X
∂F
∂F
(??) =
λi 2 Ri ,
(y) − κΨ(x)
2 Ri ,
(y) .
∂y
∂y
i
i
i=1
i=1
Desenvolvendo a norma, temos
∂F
(y)
Ri −
∂yi
2
2
∂F
∂F
= |Ri | +
(y) − 2 Ri ,
(y)
∂yi
∂yi
∂F
= 2 − 2 Ri ,
(y) .
∂yi
2
Segue que
42
(??) =
2
X
∂F
(y)
2 − Ri −
∂yi
λi
i=1
≤ Ψ(x)
2
X
2
!
+ κΨ(x)
i=1
i=1
≤ 2Ψ(x)(κ + 1)
!
2
∂F
Ri −
(y) − 2
∂yi
2
X
2
Ri −
2
X
2
∂F
∂F
Ri −
(y) + κΨ(x)
(y) − 4κΨ(x)
∂yi
∂y
i
i=1
2
X
Ri −
i=1
∂F
(y) − 4κΨ(x)
∂yi
≤ 2Ψ(x)(κ + 1)Λ(x, y) Z(x, y) +
2
X
∂Z
∂yi
i=1
!
− 4κΨ(x).
(x, y)
Portanto
2
X
∂ 2Z
(x, y) + 2
2
i=1
∂xi
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x, y)
(x, y) +
2
∂x
∂y
∂y
i
i
i
i=1
i=1
2
2
X
κ2 − 1
Ψ(x)
∂F
≤−
(x), F (y)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
+2Ψ(x)(κ + 1)Λ(x, y) Z(x, y) +
2
X
∂Z
i=1
+
M
4
+
1 − hF (x), F (y)i Ψ(x)
X
2
i=1
∂yi
!
(x, y)
∂Z
(x, y) .
∂xi
Consequentemente
2
2
X
X
∂ 2Z
∂ 2Z
(x,
y)
+
2
(x, y)
(x,
y)
+
∂x2i
∂xi ∂yi
∂yi2
i=1
i=1
i=1
2
X
∂ 2Z
2
2
X
κ2 − 1
Ψ(x)
∂F
≤−
(x), F (y)
κ 1 − hF (x), F (y)i i=1 ∂xi
+ 2Ψ(x)(κ + 1)Λ(x, y) +
· Z(x, y) +
2
X
∂Z
i=1
∂xi
4
M
+
1 − hF (x), F (y)i Ψ(x)
(x, y) +
2
X
∂Z
i=1
Como querı́amos demonstrar.
43
∂yi
!
(x, y)
.
Usando a desigualdade 2.8 e escolhendo no lema 2.5 (ver Apêndice) a função ϕ igual
a Z e o aberto A igual a Σ × Σ \ D(Σ × Σ) concluı́mos que Ω é aberto.
Segue da proposição 2.7 que ∆Σ Ψ(x) = 0 para cada x ∈ Ω. A proposição 2.5 implica
que Ψ(x) = 1 para cada x ∈ Ω. Usando o Teorema de Extensão Única para EDP’s
Elı́pticas (ver [4]) concluı́mos que Ψ(x) = 1 para todo x ∈ Σ. Consequentemente, a
curvatura Gaussiana de Σ e identicamente nula. Como anteriormente segue de [12] que
F é congruente ao toro de Clifford. Isto termina a demonstração da conjectura de Lawson.
44
Apêndice
Neste apêndice enunciamos dois resultados essenciais para demonstração da conjectura de Lawson, esses resultados foram usados na demonstração da proposição 2.8.
O primeiro resultado é conhecido como o Princı́pio do Máximo Estrito de Bony para
equações elı́pticas não degeneradas.
Lema 2.5. Seja A um subconjunto aberto de uma variedade M n , e sejam ∂1 , . . . , ∂m
campos suaves sobre A. Suponhamos que ϕ : A → R é uma função suave não-negativa
tal que
m
X
D2 ϕ (∂j , ∂j ) ≤ −L inf D2 ϕ (ξ, ξ) + L|dϕ| + Lϕ,
|ξ|≤1
j=1
onde L é uma constante positiva. Seja Ω = {x ∈ A : ϕ(x) = 0} e γ : [0, 1] → A um
caminho suave tal que γ(0) ∈ Ω e de modo que γ 0 (s) = f j (s)∂j (γ(s)) para funções suaves
f1 , . . . , fm : [0, 1] → R adequadas. Então γ(s) ∈ Ω para todo s ∈ [0, 1].
Demonstração. Ver [6].
Teorema 2.2 (Princı́pio de Continuação Única). Seja u uma solução da equação elı́ptica
X
X
aij uij +
bj uj + cu = 0,
i,j
j
onde aij = aji , bj e c são funções suaves no domı́nio D da função u. Se u se anula em
um subconjunto aberto de D, então u si anula em D.
Demonstração. Ver [4].
45
Referências Bibliográficas
[1] Almgren, Jr. F.J. Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an
extension of Bernstein’s theorem, Ann. of Math. 84, 277-292 (1966).
[2] Andrews, B. e Li, H. Embedded constant mean curvature tori in the three-sphere,
preprint (2012).
[3] Andrews, B. Non-collapsing in mean-convex mean curvature flow, preprint (2011).
[4] Aronszajn, N. A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order, J. Math. Pures Appl. (9) 36, 235-249
(1957).
[5] Brandle, S. Embedded minimal tori in S 3 and the Lawson conjecture, to appear in
Acta Mathematica, (2012).
[6] Brendle, S. Ricci Flow and the Sphere Theorem, American Mathematical Society,
(2010).
[7] Carmo, M. do, O Método do Referencial Móvel, Publicações Matemáticas, IMPA,
2a edição, (2005).
[8] Carmo, M. do, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro,
4a edição, (2008).
[9] Hsiang, W.Y. e Lawson, Jr. H.B. Minimal submanifolds of low cohomogeneity, J.
Diff. Geom. 5, 1-38 (1971).
[10] Kapouleas, N. e Yang, S.D. Minimal surfaces in the three-sphere by doubling the
Clifford torus, Amer. J. Math. 132, 257-295 (2010).
[11] Karcher, H., Pinkall, U. e Sterling, I. New minimal surfaces in S 3 , J. Diff. Geom.
28, 169-185 (1988).
[12] Lawson, Jr. H.B. Local rigidity theorems for minimal hypersurfaces, Ann. of Math.
89, 187-197 (1969).
[13] Lawson, Jr. H.B. Complete minimal surfaces in S 3 , Ann. of Math. 92, 335-374
(1970).
46
[14] Lawson, Jr. H.B. The unknottedness of minimal embeddings, Invent. Math. 11, 183187 (1970).
[15] Simons, J. Minimal varities in Riemannian manifolds, Ann. of Math. 88, 62-105
(1968).
47
