Dissertação

Dissertação - calors_gonçalves.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

CARLOS GONÇALVES DO REI FILHO

SOBRE IMERSÕES ISOMÉTRICAS EM PRODUTOS WARPED

Maceió,
2012

CARLOS GONÇALVES DO REI FILHO

SOBRE IMERSÕES ISOMÉTRICAS EM PRODUTOS WARPED

Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 09 de Março de 2012 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio
Aguiar Vitório

Maceió,
2012

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
R347s

Rei Filho, Carlos Gonçalves do.
Sobre imersões isométricas em produtos warped / Carlos Gonçalves do Rei
Filho. – 2012.
63 f.
Orientador: Feliciano Marcílio Aguiar Vitório.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2012.
Bibliografia: f. 62-63.
1. Imersão isométrica. 2. Produto warped. 3. Campo conforme fechado.
I. Título.
CDU: 514.76

.

Dedico a minha mãe
Maria Cicera Ferreira Costa
e ao meu pai
Carlos Gonçalves do Rei (in memoriam).

Agradecimentos
A minha mãe por seu amor. Sempre esteve ao meu lado, me apoiou e esteve à disposição. A
ela, pelo excelente papel de mãe e amiga. As minhas irmãs Ana Carla e Tamiri e ao meu irmão
Lucas pela amizade e união que temos. Aos meus dois sobrinhos Grazy e Guto por estarem sempre
presentes nas horas em que precisei me distrair.
De forma muito carinhosa, agradeço a atuação de minha noiva, namorada e amiga, Kellyane
Pereira, na construção deste trabalho. Suas palavras de apoio e incentivos, durante esse periodo,
foram muito significativas. Nas minhas ausências, procurava se aproximar de mim através da
própria dissertação. A ela sou grato.
Ao prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório por toda paciência, dedicação e conhecimento,
matemático e não matemático, compartilhado desde quando nos conhecemos (no último ano da
graduação) e por ter confiado no meu potencial desde o inı́cio. Por ter proposto o desafio de
resolver meu primeiro problema matemático (meu primeiro teorema) e por ter estado sempre por
perto. Espero um dia poder retribuir.
Ao prof. Dr. Marcos Petrucio por ter aceito o convite de participar da banca. Pelas crı́ticas,
sugestões e conselhos dados durante o mestrado e neste trabalho. Pelas conversas matemáticas e
não matemáticas, e pelos cursos ministrados, os quais foram muito úteis para o desenvolvimento
desta dissertação.
Ao prof. Dr. Ruy Tojeiro por ter aceito o convite de participar da banca e por contribuir, de
forma significativa, para a melhoria deste trabalho com suas valiosas sugestões e correções.
Aos professores do Instituto de Matemática - UFAL, especialmente aos Professores Antônio
Carlos, Krerley Oliveira, Adán Corcho, Márcio Batista, José Carlos, Adonai e Andre Flores.
Aos amigos que fiz na graduação e no mestrado. Na graduação, especialmente ao José Aparecido e ao Rodrigo (Lages). No mestrado, especialmente ao Marcio Cavalcante, Ivan, Karla,
Adriano, Lucyan, Nicholas, Marcio Silva, Isnaldo, Davi, Rafael, Wagner, Abraão, Adna, Alan,
Felipe, Marcos, Kenerson, Rodrigo, Diogo . . ..
iii

A todos que de alguma forma, direta ou indiretamente, contribuiram para a obtenção deste
trabalho.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
A Deus por tudo.

iv

.

A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu,
mas pensar o que ninguém ainda pensou
sobre aquilo que todo mundo vê.
(Arthur Schopenhauer)

Resumo
Este trabalho trata da geometria das subvariedades em uma variedade produto warped R ×f Fn .
Essa é uma larga famı́lia de variedades, incluindo as formas espaciais Rn+1 , Sn+1 e Hn+1 , e os
espaços Sn × R e Hn × R, estudados recentemente por Benoı̂t Daniel. Estabelecemos condições
necessárias e suficientes para uma variedade Riemanniana k−dimensional M k ser imersa isometricamente em R ×f Sn , em termos da primeira e segunda forma fundamental e de um campo de
vetores vertical. Esse teorema generaliza resultado devido a Benoı̂t Daniel para o caso de produtos
Riemannianos da forma Sn × R, (veja [Da1]) em várias direções.

Palavras-chave: Imersão isométrica. Produto warped. Campo conforme fechado.

vi

Abstract
This work contains the submanifold geometry in the warped product manifolds R ×f Fn . This is
a large family of manifolds including the space forms Rn+1 , Sn+1 and Hn+1 , and the space Sn × R
and Hn × R, recently studied by Daniel Benoı̂t. We establish necessary and sufficient conditions
for a k−dimensional Riemannian manifold M k be isometrically immersed into a manifold R ×f Sn
in terms of its first and second fundamental forms and of the vertical vector fields. This theorem
generalizes a result due to B. Daniel in the case of Riemannian products Sn × R (see [Da1]) in
several directions.

Keywords: Isometric immersion. Warped product. Closed conformal field.

vii

Sumário
Agradecimentos

iii

Introdução

10

1 Preliminares

13

1.1

Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2

Fibrados Riemannianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3

Imersões Isométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Variedade Produto Warped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5

Folheações e Distribuições Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Equações de Estrutura em uma Variedade
2.1
2.2

Equações de Estrutura em uma Variedade do Tipo (M , h, i, ∇, X̃). . . . . . . . . . . 32

As Equações de Estrutura em um Produto Warped . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Um Teorema de Bonnet
3.1

32

49

Um Teorema de Bonnet Para Produtos Warped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referências

61

Introdução
Estabelecer condições necessárias e suficientes, para que uma variedade Riemanniana k−dimenn

sional M k possa ser imersa isometricamente em uma variedade Riemanniana M , é um antigo
problema matemático. O. Bonnet, em 1867 (ver [OB]), provou que as equações de Gauss e CodazziMainard são condições necessárias e suficientes para a existência de uma imersão isométrica local
do disco plano, com uma métrica e uma aplicação na esfera unitária, em R3 , tal que a métrica
induzida coincide com a métrica original e a aplicação na esfera coincide com a aplicação de Gauss.
Desde então, uma larga literatura sobre o assunto vem sendo construı́da.
Em 2002, P.G. Ciarlet, F. Larsonneur (ver [CL]), proporcionaram uma nova abordagem provando que novas equações de compatibilidades, as quais são equivalentes as equações de Gauss
e Codazzi, também são necessárias e suficientes para a existência de uma imersão isométrica em
R3 . Para dimensão e codimensão arbitrária, em 1971, K. Tenenblat (ver [Te]), apresentou uma
prova elementar do teorema fundamental para imersões isométricas em Rn . Em 2005, Ch. Bar, P.
Gauduchon e A. Moroianu (ver [BGM]), apresentou uma prova para hipersuperfı́cies em Rn+1 a
qual pode ser diretamente estendida à variedades semi-Riemannianas.
Quando M n+1 é uma forma espacial, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci podem ser definidas
intrinsicamente em subvariedades, e são condições suficientes para uma variedade Riemanniana
k−dimensional simplesmente conexa ser imersa isometricamente em M n+1 (ver [Sp], cap. 7.C.).
No entanto, se M não é uma forma espacial, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci, em geral, não
são definidas intrinsicamente e envolvem alguns outros fatores relacionados ao espaço ambiente.
Recentemente, com a mesma técnica usada por Tenenblat em [Te], Benoit, em [Da1], obteve
condições necessárias e suficientes para uma variedade n-dimensional ser imersa isometricamente
em Sn × R e Hn × R em termos da primeira e segunda forma fundamental e da projeção de um

campo de vetores vertical. Então, para n = 2, ele estendeu esse resultado para o caso em que
^
o espaço ambiente são as variedades homogêneas 3−dimensional (S3 , gberger ), N il3 , P SL
2 (R) com
grupo de isometrias 4−dimensionais (ver [Da2]). No caso de codimensão arbitrária, em 2010, J. H.
10

Lira, R. Tojeiro e F. Vitório, em [LTV], provaram um teorema de Bonnet para imersões isométricas
em produtos de formas espaciais. Esse teorema estende o teorema de Daniel’s em várias direções.
Em 2010, C. Chen e C. R. Xiang, contribuiram com uma nova classe de variedades. Eles deram
condições suficientes para que uma variedade Riemanniana simplesmente conexa, n−dimensional,
possa ser imersa isometricamente na variedade produto warped Rn ×f R, onde f : R → R é suave
(ver [CX]).

Neste trabalho, com a intensão de contribuir com a literatura (ampliar o conjunto das variedades
para as quais existe um teorema de Bonnet), estabelecemos condições necessárias e suficientes
para uma variedade Riemanniana, k−dimensional, M k ser imersa isometricamente em R ×f Sn ,
em termos da primeira e segunda forma fundamental e de um campo de vetores vertical (ver

teorema 3.1.1). Esse teorema generaliza resultado devido a B. Daniel para o caso de produtos
Riemannianos da forma Sn × R (veja [Da1]) em várias direções. A estrutura deste trabalho é a

seguinte: o capı́tulo 1 contém, exclusivamente, um material de apoio essencial para o entendimento
dos capı́tulos subsequentes. O material presente no referido capı́tulo é básico e o leitor interessado
em detalhes sobre o assunto deve procurar as referências citadas. No capı́tulo 2 começamos, de fato,
a desenvolver o trabalho. Na primeira seção, determinamos as equações necessárias presentes em
n

uma imersão isométrica x : (M k , h , i, ∇) → (M , h , i, ∇, X̃), onde (M k , h , i, ∇) é uma variedade
n

Riemanniana k−dimensional e (M , h , i, ∇, X̃) é uma variedade Riemanniana n−dimensional,

dotada de um campo de vetores conforme fechado X̃, que não se anula em M . Na segunda seção
mostramos que o produto warped R×f Fn , onde Fn é uma variedade Riemanniana n−dimensional,
possui um campo de vetores conforme fechado, o qual não se anula em nenhum ponto de R ×f Fn .

Assim, como aplicação da seção anterior, obtemos as equações de compatibilidade de um produto
warped, quando F é uma forma espacial. Finalmente, no capı́tulo 3, mostramos que as equações
encontradas na seção (2.2) são suficientes para a existência de uma imersão isométrica local, desde
que Fn = Sn e −1 < f ′ < 1. Fixamos uma variedade Riemanniana M k , com métrica h , i e conexão
de Levi-Civita ∇. Sobre M, consideramos um fibrado vetorial Riemanniano E de posto l = n − k

com conexão compatı́vel ∇′ . Além disso fixamos h ∈ C ∞ (M ), ̺ ∈ Γ(E), e consideramos uma seção

simétrica α′ no fibrado Hom(T M × T M, E). Por fim, para cada seção local ξ de E, definimos a

aplicação A′ξ : T M → T M dada por

hA′ξ U, V i = hα′ (U, V ), ξi,
para todo U, V ∈ T M. Em termos desses dados, é possı́vel escrever formalmente as equações obtidas
nas proposições 2.2.2 e 2.2.3. Mais precisamente, é possı́vel escrever formalmente as equações (3.2)11

(3.7). Então, usando o teorema fundamental das subvariedades, equivalente a proposição 1.3.2,
mostramos que existe uma imersão isométrica de M em Rn+2 . Em seguida, mostramos que existe
uma imersão isométrica de M no produto warped R ×f Sn , desde que −1 < f ′ < 1.
O principal resultado contido neste trabalho é o seguinte teorema:

Teorema 0.0.1 Seja (M k , h , i, ∇) uma variedade Riemanniana simplesmente conexa k−dimen-

sional, h , i sua métrica e ∇ sua conexão de Levi-Civita. Assuma que (h, i, ∇, ∇′ , α′ , ̺, h) satisfaz as

equações de compatibilidade para R ×f Sn , com −1 < f ′ < 1. Então, existe uma imersão isométrica

g : M k → R ×f Sn e um isomorfismo de fibrados vetoriais g̃ : E → T M ⊥ ao longo de g, tal que

para todo U, V ∈ T M e toda seção local ξ, η ∈ E

hg̃(ξ), g̃(η)i = hξ, ηi
g̃α′ (U, V ) = α(U, V )
g̃∇′U ξ = ∇⊥
U ξ,
onde ∇⊥ e α são a conexão normal e a segunda forma fundamental de g(M ) ⊂ R ×f Sn , respecti-

vamente. Além disso, a imersão é única, a menos de isometrias globais na variedade R ×f Sn .

12

Capı́tulo 1
Preliminares
Este capı́tulo contém um material de apoio, essencial para o entendimento dos capı́tulos subsequentes. O material presente no referido capı́tulo é básico e o leitor interessado em detalhes sobre
o assunto deve procurar as referências citadas.

1.1

Fibrados Vetoriais

Nesta seção, definimos um dos objetos essenciais para o desenvolvimento deste trabalho, os
fibrados vetoriais. Um fibrado vetorial é, de certa forma, uma generalização de fibrado tangente e
fibrado normal (de uma imersão isométrica) sobre uma variedade diferenciável. O conteúdo desta
seção foi baseado em [Le] e [Dj].
Definição 1.1.1 Dada uma variedade diferenciável M, um fibrado vetorial real C ∞ sobre M é
uma variedade diferenciável E, juntamente com uma aplicação diferenciável e sobrejetiva π : E →

M satisfazendo as seguintes condições:

(a) Existe k ∈ N tal que , para todo p ∈ M, o conjunto Ep = π −1 (p) possui uma estrutura de
espaço vetorial real k dimensional.

(b) Para cada p ∈ M , existe uma vizinhança U de p em M e uma aplicação diferenciável
Φ : π −1 (U ) → U × Rk tal que:

i. Para cada q ∈ U , a restrição de Φ à Eq é um isomorfismo linear entre Eq e {q} × Rk ,
munido com a estrutura canônica de espaço vetorial.

13

ii. Se πU : U × Rk → U denota a projeção sobre o primeiro fator, então π = πU ◦ Φ :
π −1 (U ) → U.

Nas notações acima, dizemos que M é a base e E é o espaço total do fibrado; Ep (p ∈ M )

é a fibra de E sobre p. O natural k é o posto de E (ou de π ); se k = 1, dizemos que E é um
fibrado de linhas. Por fim, Φ é uma trivialização local, ou carta de fibrado de E sobre U.

Sempre que não houver perigo de confusão, diremos simplesmente que E (resp. π) é um fibrado
sobre M , deixando implı́cita a projeção π (resp. o espaço total E) e o posto k.
Se π : E → M é um fibrado vetorial sobre M e U ⊂ M, é um aberto de M, uma seção local

de E (ou de π) é uma aplicação diferenciável η : U → E tal que π ◦ η = IdU , a aplicação identidade

de U ; nesse caso, dizemos que η é uma seção em U para π. Se U = M, dizemos apenas que η é uma

seção em E. Doravante, salvo menção em contrário, denotamos por Γ(E) o espaço vetorial das
seções de E. Dado U ⊂ M aberto, um referencial (local) em U para π é um conjunto {η1 , ..., ηk } de
seções em U para π, tal que {η1 (p), ..., ηk (p)} é uma base de π −1 (p), para todo p ∈ U ; o referencial
é global se U = M.

Sempre existe um referencial local. Em outras palavras, vale o
Lema 1.1.1 Se π : E → M é um fibrado vetorial sobre M e U ⊂ M é domı́nio de uma trivialização
local para π, então existe em U um referencial para π.

Demonstração. Sejam Φ : π −1 (U ) → U × Rk uma trivialização local para π e {e1 , ...ek } o

referencial canônico em Rk ; defina ιj : U → U × Rk por ιj (p) = (p, ej ). Se ηj : U → E é dada por
ηj = Φ−1 ◦ ιj ,
é imediato verificar que se trata de um referencial em U para π.

Se M é uma variedade diferenciável, E = M × Rk e πM : E → M é a projeção sobre o primeiro

fator, então é imediato verificar que E é um fibrado vetorial de posto k sobre M, denominado o
fibrado trivial de posto k sobre M (para p ∈ M, a estrutura de espaço vetorial k-dimensional

em Ep = {p} × Rk é novamente a canônica). Temos claramente Γ(E) = C ∞ (M ; Rk ).

O fibrado tangente T M de uma variedade diferenciável n-dimensional M é um fibrado vetorial

de posto n sobre M. Denotaremos, no decorrer do texto, Γ(T M ) = X(M ). E usaremos a notação
X ∈ T M ou X ∈ X(M ) para dizer que X é um campo de vetores em M ou uma seção em T M.
14

Um fato importante é que podemos construir fibrados vetoriais a partir de outros já dados.
Não iremos nos aprofundar nesse assunto, o leitor interessado deve procurar as referência citadas.
Precisaremos apenas da soma de Whitney e do fibrado dos homomorfismos os quais definiremos
em seguida. Não provaremos as próximas afirmações, mas em caso de dúvidas ver, por exemplo,
[Dj] ou [Sp].
Exemplo 1.1.1 Sejam πE : E → M e πF : F → M fibrados vetoriais de postos k e l, respectiva-

mente. A soma de Whitney de E e F é o espaço topológico de dimensão kl
a
(Ep ⊕ Fp ),
E ⊕W F =
p∈M

munido da estrutura de fibrado vetorial sobre M induzida a partir daquelas de E e F. As seções de
E ⊕W F são da forma η = ξ ⊕ ζ, onde ξ ∈ Γ(E) e ζ ∈ Γ(F ).
Exemplo 1.1.2 Sejam πE : E → M e πF : F → M fibrados vetoriais de postos k e l, respec-

tivamente. Definamos a projeção π : Hom(E, F ) → M por π −1 (x) = Hom(Ex , Fx ), de sorte
que Hom(E, F ) é a união disjunta dos espaços das aplicações lineares de Ex em Fx , x ∈ M.

Hom(E, F ) dotado da estrutura diferenciável natural induzida pela projeção é um fibrado vetorial
de posto kl, chamado fibrado dos homomorfismos. Uma seção em Hom(E, F ) é simplesmente

um homomorfismo ξ : E → F.
Dados dois fibrados vetoriais πE : E → M1 e πF : F → M2 , e um difeomorfismo φ : M1 → M2 ,

dizemos que uma aplicação diferenciável φ̃ : E → F é um isomorfismo de fibrados ao longo de
φ se, para todo x ∈ M1 , temos

(i) πF ◦ φ̃ = φ ◦ πE e φ̃(πE−1 (x)) = πF−1 (φ(x)),
(ii) A restrição φ̃x : πE−1 (x) → πF−1 (φ(x)) de φ̃ a fibra πE−1 (x) é um isomorfismo de espaço vetorial.

1.2

Fibrados Riemannianos

O objetivo desta seção é apenas relembrar alguns fatos, a respeito de fibrados Riemannianos,
os quais iremos usar frequentemente ao longo do texto.
Definição 1.2.1 Seja M uma variedade diferenciável. Uma métrica Riemanniana em um
fibrado vetorial π : E → M é uma aplicação C ∞ (M )−bilinear, simétrica e positiva definida
h, i : Γ(E) × Γ(E) → C ∞ (M ).
15

O fato é que todo fibrado vetorial, π : E → M, admite uma métrica Riemanniana.

Uma métrica Riemanniana, em uma variedade diferenciável M, é uma métrica Riemanniana
no fibrado tangente T M de M. Lembre-se que denotamos Γ(T M ) = X(M ). Em particular, toda
variedade diferenciável possui uma métrica Riemanniana.
Definição 1.2.2 Uma conexão (linear) em um fibrado vetorial π : E → M é uma aplicação

R−bilinear

∇ : X(M ) × Γ(E) → Γ(E)

(1.1)

7→ ∇X η

(1.2)

(X, η)

satisfazendo, para f ∈ C ∞ (M ), X ∈ X(M ) e η ∈ Γ(E), as seguintes condições:
(a) ∇(f X) η = f ∇X η.
(b) ∇X (f η) = f ∇X η + X(f )η.
Fixada uma métrica h, i em E, dizemos que a conexão ∇ é compatı́vel com a métrica se,

para todo X ∈ X(M ) e η, ξ ∈ Γ(E), tivermos

Xhη, ξi = h∇X η, ξi + hη, ∇X ξi.
Em geral, fixada uma métrica em um fibrado vetorial, pode existir mais de uma conexão
compatı́vel com tal métrica. Porém, a conexão de Levi-Civita ∇ de uma variedade Riemanniana

M é a única conexão compatı́vel com a métrica de M e tal que
[X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X,
para todo X, Y ∈ X(M ).

Um fibrado vetorial Riemanniano é um fibrado vetorial π : E → M munido de uma métrica

Riemanniana h, i e de uma conexão compatı́vel com h, i.

Sejam (E, ∇E , h, i) e (F, ∇F , h, i) fibrados vetoriais Riemannianos dados. A soma de Whitney

E ⊕W F é um fibrado Riemanniano com a métrica h, i e conexão ∇, tais que
hη1 ⊕ ξ1 , η2 ⊕ ξ2 i = hη1 , η2 iE + hξ1 , ξ2 iF
F
∇X (η ⊕ ξ) = ∇E
X η ⊕ ∇X ξ,

onde X ∈ X(M ) e η, η1 , η2 ∈ Γ(E), ξ, ξ1 , ξ2 ∈ Γ(F ).
16

(1.3)

É simples verificar que h, i e ∇ definem, respectivamente, uma métrica e uma conexão em

E ⊕W F. Mostremos a compatibilidade entre ambas: as compatibilidades entre h, iE e ∇E , h, iF e

∇F nos dão

Xhη1 ⊕ ξ1 , η2 ⊕ ξ2 i = Xhη1 , η2 iE + Xhξ1 , ξ2 iF
E
F
F
= h∇E
X η1 , η2 iE + hη1 , ∇X η2 iE + h∇X ξ1 , ξ2 iF + hξ1 , ∇X ξ2 iF
F
E
F
= h∇E
X η1 ⊕ ∇X ξ1 , η2 ⊕ ξ2 i + hη1 ⊕ ξ1 , ∇X η2 ⊕ ∇X ξ2 i

= h∇X (η1 ⊕ ξ1 ), η2 ⊕ ξ2 i + hη1 ⊕ ξ1 , ∇X (η2 ⊕ ξ2 )i,
o que mostra a compatibilidade de ∇.
Definição 1.2.3 Se ∇ é uma conexão no fibrado vetorial π : E → M, o operador de curvatura,
ou simplesmente a curvatura de E é a aplicação R : X(M ) × X(M ) × Γ(E) → Γ(E) dada por
R(X, Y )η = ∇X ∇Y η − ∇Y ∇X η − ∇[X,Y ] η.

(1.4)

Se E = T M, dizemos que R é o operador de curvatura da variedade M.
Analogamente ao caso de uma variedade Riemanniana (veja o capı́tulo 4 de [dC]), é imediato
verificar que o operador de curvatura de um fibrado Riemanniano E sobre M é C ∞ (M )−linear
em cada entrada.
Em um fibrado vetorial Riemanniano π : E → M, com operador de curvatura R, valem as

seguintes propriedades: para todo X, Y ∈ X(M ) e ξ, η ∈ Γ(E),
(i) hR(X, Y )ξ, ηi = −hR(Y, X)ξ, ηi
(ii) hR(X, Y )ξ, ηi = −hR(X, Y )η, ξi.

Se E = T M, o operador R satisfaz várias outras propriedades (Ver [dC], cap. 4).

1.3

Imersões Isométricas

Nesta seção apresentamos as equações básicas que aparecem naturalmente quando se estuda
imersões isométricas entre variedades Riemannianas. Conhecidas na literatura como “as equações
fundamentais ” ou “equações de estrutura” de uma imersão isométrica. Em seguida, exibimos uma
demonstração do teorema fundamental das subvariedades. O conteúdo desta seção foi baseado em
[Dj].
17

m

Dadas as variedades Riemannianas M n e M , com métricas Riemannianas, respectivamente,
h·, ·i e h ·, ·ii, dizemos que uma aplicação ϕ : M → M é uma imersão isométrica se
h ϕ∗ Xp , ϕ∗ Yp i ϕ(p) = hXp , Yp ip ,
para todos p ∈ M e X, Y ∈ X(M ). O número k = m − n é chamado a codimensão de ϕ. Em

particular, toda imersão isométrica é uma imersão e, como tal, localmente um mergulho. Portanto,
sempre que não houver perigo de confusão, identificaremos p ∈ M com ϕ(p) ∈ M e denotaremos
as métricas de M e M simplesmente por h·, ·i, omitindo o ponto p. Seja agora ϕ : M n → M

n+k

uma imersão de uma variedade diferenciável M em uma variedade Riemanniana M com métrica
h ·, ·ii. Definindo, para todo ponto p ∈ M e todo par de vetores Xp , Yp ∈ Tp M,
hXp , Yp ip = h ϕ∗ Xp , ϕ∗ Yp i ϕ(p) ,

(1.5)

obtemos uma métrica Riemanniana em M n , denominada a métrica induzida pela imersão ϕ.
Munindo M n com tal métrica tornamos ϕ automaticamente uma imersão isométrica.
Para cada p ∈ M, o produto interno de Tp M induz uma decomposição de Tp M na soma direta

ortogonal

Tp M = Tp M ⊕ Tp M ⊥ .
Verifica-se que a união disjunta

`

p∈M Tp M

⊥

admite uma estrutura de fibrado vetorial, deno-

minado o fibrado normal T M ⊥ de M em M , de tal sorte que
T M |M ≃ T M ⊕W T M ⊥ .
Denotaremos por X(M )⊥ o espaço das seções em T M ⊥ .
Seja ∇ a conexão de Levi-Civita de M e X, Y ∈ X(M ). Se X1 , X2 são extensões locais de X

e Y1 , Y2 são extensões locais de Y a M , segue que

∇ X 1 Y 1 = ∇ X 2 Y2 .
Portanto, escrevendo ∇X Y para denotar ∇X1 Y1 , onde X1 e Y1 denotam extensões quaisquer de

X e Y a M , obtemos um campo vetorial bem definido ∇X Y ∈ T M |M .
Sejam

( )⊤ : T M |M −→ T M
( )⊥ : T M |M −→ T M ⊥ ,
18

as projeções tangente e normal.
Sejam (M

n+k

, h, i, ∇) variedade Riemanniana e ϕ : M n → M

X, Y ∈ T M, temos que

n+k

imersão isométrica. Dados

∇X Y = (∇X Y )⊤ + (∇X Y )⊥ .

É simples verificar, usando a unicidade da conexão de Levi-Civita, que (∇)⊤ é a conexão de
Levi-Civita de M, que denotaremos por ∇.
Assim, obtemos a fórmula de Gauss

∇X Y = ∇X Y + α(X, Y ),

∀ X, Y ∈ T M.

(1.6)

A fórmula de Gauss define a aplicação α : T M × T M −→ T M ⊥ chamada a segunda forma

fundamental de ϕ. Verifica-se diretamente das propriedades das conexões ∇ e ∇ que α é bilinear
simétrica sobre o anel C ∞ (M ).

Sejam X ∈ X(M ) e ξ ∈ X(M )⊥ . Denote por Aξ X a componente tangente de −∇X ξ, isto é,
Aξ X = −(∇X ξ)⊤ .
Desde que para todo Y ∈ T M temos
0 = Xhξ, Y i = h∇X ξ, Y i + hξ, ∇X Y i,
a fórmula de Gauss nos dá
hAξ X, Y i = hα(X, Y ), ξi.
Em particular, a aplicação A : T M × T M ⊥ −→ T M dada por A(X, ξ) = Aξ X é bilinear no
anel C ∞ (M ). Assim, a aplicação Aξ : T M −→ T M é linear no anel C ∞ (M ) e simétrica, isto é,

hAξ X, Y i = hX, Aξ Y i, para todo X, Y ∈ T M. Aξ é conhecido na literatura por operador de
forma, endomorfismo de Weingarten associado a α ou, por abuso de linguagem, a segunda

forma fundamental na direção normal ξ.
A componente normal de ∇X ξ, denotada por ∇⊥
X ξ, define uma conexão compatı́vel no fibrado

normal T M ⊥ , uma vez que se X ∈ X(M ) e η, ξ ∈ X(M )⊥ , então

⊥
Xhη, ξi = h∇X η, ξi + hη, ∇X ξi = h∇⊥
X η, ξi + hη, ∇X ξi.

Dizemos que ∇⊥ é a conexão normal de ϕ, e obtemos a fórmula de Weingarten
∇X ξ = −Aξ X + ∇⊥
X ξ,

X ∈ T M e ξ ∈ X(M )⊥ .
19

(1.7)

Agora, usando as fórmulas de Gauss e Weingarten derivamos as equações de estrutura de uma
imersão isométrica, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci. Para esse fim, fixaremos mais algumas
notações.
Seja
⊥
(∇⊥
X α)(Y, Z) = ∇X α(Y, Z) − α(∇X Y, Z) − α(Y, ∇X Z).

Observe que ∇⊥ α é C ∞ (M )−multilinear e que podemos ver ∇⊥ como uma conexão no fibrado

vetorial Hom(T M × T M, T M ⊥ ).

Seja R⊥ o operador de curvatura do fibrado normal T M ⊥ , ou seja,
⊥
⊥ ⊥
⊥
R⊥ (X, Y )ξ = ∇⊥
X ∇Y ξ − ∇Y ∇X ξ − ∇[X,Y ] ξ

para todo X, Y ∈ T M e ξ ∈ T M ⊥ .

A proposição a seguir, apresenta as equações de estrutura de uma imersão isométrica. Sua

demonstração é simples, mas em caso de dúvidas, o leitor pode encontrar uma demonstração em
[Dj], ou [dC], por exemplo.
Proposição 1.3.1 Sejam (M n , h, i, ∇) e (M

n+k

, h, i, ∇) variedades Riemannianas. Seja ϕ : M −→

M uma imersão isométrica. Para todo campo de vetores X, Y, Z, W em T M e toda seção ξ, η

de T M ⊥ valem as seguintes equações, conhecidas como as equações de Gauss, Codazzi e Ricci,
respectivamente:
hR(X, Y )Z, W i = hR(X, Y )Z, W i

(1.8)

+ hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i,
⊥
hR(X, Y )Z, ξi = h(∇⊥
X α)(Y, Z) − (∇Y α)(X, Z), ξi,

(1.9)

hR(X, Y )ξ, ηi = hR⊥ (X, Y )ξ, ηi − h[Aξ , Aη ]X, Y i,

(1.10)

e

onde [Aξ , Aη ] = Aξ ◦ Aη − Aη ◦ Aξ .
Se a variedade ambiente tiver curvatura seccional constante, obtemos o
Corolário 1.3.1 Sejam (M n , h, i, ∇) e (M

n+k

, h, i, ∇) variedades Riemannianas. Seja ϕ : M −→

M uma imersão isométrica. Suponha que M tem curvatura seccional constante igual a c. Então,
20

dados X, Y, Z, W ∈ T M e ξ, η ∈ T M ⊥ valem as seguintes equações, conhecidas como as equações
de Gauss, Codazzi e Ricci, para o caso de curvatura seccional constante, respectivamente:
hR(X, Y )Z, W i = c(hX, W ihY, Zi − hX, ZihY, W i)

(1.11)

+ hα(X, W ), α(Y, Z)i − hα(X, Z), α(Y, W )i,
⊥
(∇⊥
X α)(Y, Z) = (∇Y α)(X, Z),

(1.12)

hR⊥ (X, Y )ξ, ηi = h[Aξ , Aη ]X, Y i.

(1.13)

e

Assim, sob as condições do corolário acima, temos que
hR(X, Y )Z, W i = c(hX, W ihY, Zi − hX, ZihY, W i)
hR(X, Y )Z, ξi = 0
hR(X, Y )ξ, ηi = 0.
Note que se a imersão tiver codimensão um, sendo N o campo normal unitário a M, temos que
⊥
XhN, N i = 0, X ∈ T M. Assim, como ∇⊥
X N ∈ X(M ), segue derivando hN, N i = 1 que ∇X N = 0.

Logo, se ξ ∈ X(M )⊥ , então

∇⊥
X ξ = Xhξ, N iN.

Agora, podemos enuciar o teorema fundamental das subvariedades. Daremos uma demonstração no caso particular em que o espaço ambiente tem curvatura seccional nula (tal demonstração
pode ser encontrada em [Dj], pg. 17). Esse teorema é fundamental para obtermos o resultado principal deste trabalho.
Proposição 1.3.2 (Teorema Fundamental das Subvariedades) Sejam M n uma variedade Riemanniana, π : E → M um fibrado vetorial de posto p com conexão ∇′ compatı́vel com a métrica, e

seja α uma seção simétrica no fibrado dos homomorfismos Hom(T M × T M, E). Defina, para cada
seção local ξ de E, a aplicação Aξ : T M → T M por
hAξ X, Y i = hα(X, Y ), ξi,

∀ X, Y ∈ T M.

(1.14)

Se α e ∇′ satisfazem as equações de Gauss, Codazzi e Ricci para o caso de curvatura seccional

constante c, então existe uma imersão isométrica, f : M n # Qn+p
, e um isomorfismo de fibrados
c
21

vetoriais f˜ : E → T M ⊥ ao longo de f, tal que ∀ X, Y ∈ T M e ∀ ξ, η, seções locais de E,
hf˜(ξ), f˜(η)i = hξ, ηi

(1.15)

f˜α(X, Y ) = α̃(X, Y )
˜
f˜∇′X ξ = ∇⊥
X f (ξ),

onde α̃ e ∇⊥ são a segunda forma fundamental e a conexão normal da imersão f, respectivamente.
Demonstração. Seja ∇ a conexão de Levi-Civita em T M. Considere a soma de Whitney

Ẽ = T M ⊕W E munida com a soma ortogonal das métricas em T M e E e a conexão compatı́vel

∇′′ dadas por

hY1 ⊕ ξ1 , Y2 ⊕ ξ2 i = hY1 , Y2 iM + hξ1 , ξ2 iE
∇′′X Y

= ∇X Y + α(X, Y ),

∇′′X ξ = −Aξ X + ∇′X ξ,

Y1 , Y2 , ∈ X(M ) e ξ1 , ξ2 ∈ Γ(E)

(1.16)

X, Y ∈ T M

(1.17)

X ∈ T M e ξ ∈ Γ(E).

Note que
∇′′X (Y ⊕ ξ) = [∇X Y − Aξ X] ⊕ [∇′X ξ + α(X, Y )]
É claro que ∇′′ define uma conexão em Ẽ. Mostraremos apenas que ∇′′ é compatı́vel com a

métrica. De fato, seja Yi ⊕ ξi ∈ Γ(T M ⊕W E), i = 1, 2.
XhY1 ⊕ ξ1 , Y2 ⊕ ξ2 i = XhY1 , Y2 iM + Xhξ1 , ξ2 iE

= h∇X Y1 , Y2 iM + hY1 , ∇X Y2 iM + h∇′X ξ1 , ξ2 iE + hξ1 , ∇′X ξ2 iE
+ h−Aξ1 X, Y2 iM + hα(X, Y2 ), ξ1 iE + hY1 , −Aξ2 XiM + hξ2 , α(X, Y1 )iE
= h∇X Y1 − Aξ1 X, Y2 iM + h∇′X ξ1 + α(X, Y1 ), ξ2 iE
+ hY1 , ∇X Y2 − Aξ2 XiM + hξ1 , ∇′X ξ2 + α(X, Y2 )iE
= h∇′′X (Y1 ⊕ ξ1 ), Y2 ⊕ ξ2 i + hY1 ⊕ ξ1 , ∇′′X (Y2 ⊕ ξ2 )i.
Isso mostra a compatibilidade de ∇′′ .

Portanto, usando o fato de que α e ∇′ satisfazem as equações de Gauss, Codazzi e Ricci, para

c = 0, ou seja,

hR(X, Y )Z, W iM = hα(X, W ), α(Y, Z)iE − hα(X, Z), α(Y, W )iE ,

(1.18)

(∇′X α)(Y, Z) = (∇′Y α)(X, Z) ou, equivalentemente, (∇X A)(Y, η) = (∇Y A)(X, η)
h[Aξ , Aη ]X, Y iM = hR′ (X, Y )ξ, ηiE ,

∀X, Y, Z, W ∈ T M e ξ, η ∈ Γ(E),
22

onde R é o operador de curvatura de M e R′ o operador de curvatura de E, segue que o operador
curvatura R̃ do fibrado Ẽ é identicamente nulo.
De fato, como
∇′′X ∇′′Y (Z ⊕ ξ) = ∇′′X ([∇Y Z − Aξ Y ] ⊕ [∇′Y ξ + α(Y, Z)])
= [∇X ∇Y Z − ∇X Aξ Y − A∇′Y ξ X − Aα(Y,Z) X] ⊕ [∇′X ∇′Y ξ + ∇′X α(Y, Z)
+ α(X, ∇Y Z) − α(X, Aξ Y )]
e
∇′′[X,Y ] (Z ⊕ ξ) = [∇[X,Y ] Z − Aξ [X, Y ]] ⊕ [∇′[X,Y ] ξ + α([X, Y ], Z)]
segue que
hR̃(X, Y )(Z ⊕ ξ), (W ⊕ η)i = h∇′′X ∇′′Y (Z ⊕ ξ) − ∇′′Y ∇′′X (Z ⊕ ξ) − ∇′′[X,Y ] (Z ⊕ ξ), (W ⊕ η)i

=
∇X ∇Y Z − ∇X Aξ Y − A∇′Y ξ X − Aα(Y,Z) X
− ∇Y ∇X Z + ∇Y Aξ X + A∇′X ξ Y + Aα(X,Z) Y

− ∇[X,Y ] Z + Aξ [X, Y ] ⊕

[∇′X ∇′Y ξ + ∇′X α(Y, Z) + α(X, ∇Y Z) − α(X, Aξ Y )
− ∇′Y ∇′X ξ − ∇′Y α(X, Z) − α(Y, ∇X Z) + α(Y, Aξ X)
− ∇′[X,Y ] ξ − α([X, Y ], Z)], (W ⊕ η)
=

R(X, Y )Z, W iM − hα(X, W ), α(Y, Z)iE + hα(X, Z), α(Y, W )iE
+ h(∇Y A)(X, ξ) − (∇X A)(Y, ξ), W iM
+ hR′ (X, Y )ξ, ηiE − h[Aξ , Aη ]X, Y iM
+ h(∇′X α)(Y, Z) − (∇′Y α)(X, Z), ηiE

= 0.
A última igualdade é devido as equações de compatibilibade (1.18).
Escolha um ponto x ∈ M, e vetores ortonormais ξ1 , ..., ξn+p ∈ Ẽx = π −1 (x). Desde que M é sim-

plesmente conexa e o operador de curvatura de Ẽ é identicamente nulo, ou seja, o fibrado é trivial,

existe uma única extensão global ξ1 , ..., ξn+p paralela com respeito a ∇′′ , na qual ξ1 (q), ..., ξn+p (q)

são ortonormais para q ∈ M. Escolha coordenadas locais (x1 , ..., xn ) em uma vizinhança simples-

mente conexa U de M. Então existem funções aiν definidas em U, tais que
n+p
X
∂
=
aiν ξν ,
∂xi
ν=1

23

1 ⩽ i ⩽ n.

(1.19)

Assim, os coeficientes da métrica de M são dados por
n+p
X

gij = h∂xi , ∂xj i =

aiν ajν ,

(1.20)

ν=1

onde estamos fazendo ∂∂x = ∂xi por acomodação.
i

Desde que as seções ξi são paralelas, usando a equação (1.19)
∇′′∂xi ∂xj

n+p
X

=

ν=1

n+p
X

=

ajν ∇′′∂xi ξν +

n+p
X

∂xi (ajν )ξν

(1.21)

ν=1

∂xi (ajν )ξν .

ν=1

Usando o fato de α ser simétrico, ∇ ser a conexão de Levi-Civita em T M e [∂xi , ∂xj ] = 0, temos

que

∇′′∂xi ∂xj = ∇∂xi ∂xj + α(∂xi , ∂xj ) = ∇∂xj ∂xi + [∂xi , ∂xj ] + α(∂xj , ∂xi ) = ∇′′∂xj ∂xi .
Desde que {ξ1 , ..., ξn+p } é uma base ortonormal, segue (da última igualdade e de (1.21)) que
∂xi (ajν ) = ∂xj (aiν ),
ou seja, as 1 − f ormas ∂xi são fechadas, logo (U é simplesmente conexo) exatas em U. Então,

existem funções fν satisfazendo ∂xi (fν ) = aiν . Defina f : U −→ Rn+p por f = (f1 , ..., fn+p ). Assim,
f∗ (∂xi ) = (∂xi (f1 ), ..., ∂xi (fn+p )) = (ai1 , ..., ai(n+p) ),
e para todo i, j = 1, ..., n, temos
hf∗ (∂xi ), f∗ (∂xj )i =

n+p
X
ν=1

aiν ajν = gij = h∂xi , ∂xj i.

Em outras palavras, f é uma imersão isométrica. Defina um isomorfismo φ̃ entre os fibrados
T U ⊕W E e T Rn+p |f (U ) = T f (U )⊕W T f (U )⊥ por φ̃(ξν ) = eν , onde eν , ν = 1, ..., n+p é o referencial
canônico de T Rn+p restrito a f (U ).
Para os vetores tangentes ∂xi =
φ̃(∂xi ) =

n+p
X
ν=1

Pn+p

ν=1 aiν ξν , temos

aiν φ̃(ξν ) =

n+p
X

aiν eν = (ai1 , ..., ai(n+p) ) = f∗ (∂xi ).

ν=1

24

Isso mostra que φ̃ leva T M |U isomorficamente em T f (U ). Sendo φ̃ uma isometria nas fibras,

ele leva E isomorficamente em T f (U )⊥ . Além disso, desde que φ̃ transforma o referencial paralelo
ξ1 , ..., ξn+p no referencial paralelo e1 , ..., en+p , φ̃ satisfaz para todo X, Y ∈ T M, e ξ ∈ E
φ̃(∇′′X Y ) = Df∗ X φ̃(Y ),

φ̃(∇′′X ξ) = Df∗ X φ̃(ξ),

onde D é a conexão do Rn+p . Para verificar isso, basta escrever Y =

(1.22)
P

i bi ξ i

e usar o fato de

ξ1 , ..., ξn+p ser paralelo em relação a conexão ∇′′ , e e1 , ..., en+p , ser paralelo no Rn+p
φ̃(∇′′X Y ) = φ̃(

X
i

X(bi )ξi ) =

X

φ̃(X(bi ))φ̃(ξi ) =

i

X

f∗ X(bi )ei = Df∗ X φ̃(Y ).

i

Analogamente, verifica-se que φ̃(∇′′X ξ) = Df∗ X φ̃(ξ).
Tomando componentes normais nas equações (1.22), e fazendo f˜ = φ̃ |E , obtemos
f˜α(X, Y ) = α̃(X, Y ),

f˜∇′X ξ = ∇⊥
X ξ.

(1.23)

Se tivessemos escolhido coordenadas locais diferentes (y1 , ..., yn ), ainda teriamos as equações
∂yi (fν ) = aiν . Uma vez que essas equações determinam f a menos de constante, a imersão é determinada a menos de translação. Se tivessemos escolhido um outro referencial inicial, as isometrias
seriam diferentes apenas por uma rotação. Assim, f é determinada a menos de movimentos rı́gidos.
Agora, basta usar o fato de M ser simplesmente conexa, para obter o resultado global (ver [Sp],
cap. 7.C).
Podemos encontrar uma demonstração alternativa, do teorema fundamental das subvariedades,
em [LTV], no apêndice.

1.4

Variedade Produto Warped

Na presente seção, definimos um produto warped e listamos algumas propriedades. Para isso,
usamos fortemente o teorema das submersões. O material aqui contido foi baseado em [ON] e [Le].

Proposição 1.4.1 (Teorema das Submersões). Sejam M e N variedades diferenciáveis. Se π :
M → N é uma submersão então, para todo p ∈ M, F = π −1 (π(p)) é uma subvariedade diferenciável

25

mergulhada fechada com codimensão igual a dimensão de N, ou seja, dim M = dim N + dim F.

Além disso, TP F = ker((π∗ )p ) e a restrição de π ao subespaço TP F ⊥ induz um isomorfismo linear
(π∗ )p : F ⊥ −→ Tπ(p) N.
Sejam Fn uma variedade Riemanniana n-dimensional e f : R → R uma função positiva suave.

Então, R × Fn é uma variedade diferenciável (n + 1)-dimensional. Definamos em R × Fn a métrica
Riemanniana

h, i = σ ∗ (dt2 ) + (f ◦ σ)2 π ∗ h , i ,

(1.24)

onde σ : R × Fn → R e π : R × Fn → Fn são as projeções canônicas de R × Fn em cada fator e

h , i é a métrica em Fn . Podemos escrever por simplicidade,
h, i = dt2 + f 2 h , i .

(1.25)

De outro modo, dados (t, p) ∈ R × Fn e U, V ∈ X(M ),
hU, V i(t,p) = dt2 (σ∗ U, σ∗ V )t + f 2 (t)hhπ∗ U, π∗ V i p ,

(1.26)

onde σ∗ e π∗ são simplesmente as diferenciais de σ e π.
Munida com tal métrica, (R × Fn , h, i) é uma variedade Riemanniana denominada produto

warped de Fn e R com função warped f. Denotamos por M = R ×f Fn .

Como σ e π são submersões, tem-se que, dado q = (t, p) ∈ M, σ −1 (t) e π −1 (p) são subvariedades

de M de dimensões n e 1, respectivamente. Por exemplo, a subvariedade σ −1 (t) é a variedade
{t} × Fn com a métrica
h, i = (f (t))2 π ∗ h , i .

(1.27)

Nas notações acima, M é chamado espaço total, R a fibra e Fn a base de M = R ×f Fn . Di-

zemos, também, que σ −1 (t) = {t}×Fn é uma folha de M e que π −1 (p) = R×{p} é uma fibra de M.
Observações:
(1) Para cada p ∈ Fn , a aplicação σ | (R × {p}) é uma isometria em R;
(2) Para cada t ∈ R, a aplicação π | ({t} × Fn ) é uma homotetia em Fn ;
(3) Para cada q = (t, p) ∈ M, a fibra R × {p} e a folha {t} × Fn são ortogonais em q.
26

Os itens (1), (2) e (3) seguem diretamente da definição de métrica warped e a particular observação, para o item (3), que se V ∈ Tq (π −1 (p)) ⊂ Tq M e U ∈ Tq (σ −1 (t)) ⊂ Tq M, tem-se que

π∗ V = 0 e σ∗ U = 0 (teorema das submersões).

Um vetor tangente a M será chamado vertical se ele for tangente a uma fibra, e um campo de
vetores será vertical se for inteiramente composto de vetores verticais. Analogamente, um vetor
tangente a M e normal a uma fibra será chamado vetor horizontal, e um campo será horizontal
se for composto somente por vetores horizontais. Note que, em cada ponto q = (t, p) ∈ M, vetor

horizontal em q é tangente a folha σ −1 (t), e vetor vertical em q é tangente a fibra π −1 (p).

Segue do teorema das submersões que V ∈ T M é vertical se, e somente se, π∗ V = 0 e U ∈ T M

é horizontal se, e somente se, σ∗ U = 0.

Definição 1.4.1 Dizemos que um campo E ∈ M é π-relacionado a um campo E∗ em Fn , ou E e

E∗ são π-relacionados, se

(π∗ )qEq = (E∗ )π(q) ,

∀ q ∈ M.

Analogamente, dizemos que um campo E ∈ M é σ-relacionado a um campo E∗ em R, ou E e E∗

são σ-relacionados, se

(σ∗ )qEq = (E∗ )σ(q) ,

∀ q ∈ M.

Em particular, um campo V ∈ X(M ) é dito básico vertical se V é vertical e σ-relacionado a um

campo em R. De outra forma, se V for básico vertical, diremos que V é o levantamento vertical
de um campo em R.
Da mesma maneira, um campo U ∈ X(M ) é dito básico horizontal se U é horizontal e π-

relacionado a um campo em Fn . De outra forma, se U for básico horizontal, diremos que U é o
levantamento horizontal de um campo em Fn .
Lema 1.4.1 Se V é um campo vertical e X∗ é um campo em R, então:
(a) Existe um único campo básico vertical X, σ−relacionado a X∗ .
(b) O campo [X,V] é vertical.
Demonstração. Ver [Le].

Esse lema diz que o levantamento vertical é único. É claro que vale um lema análogo para
vetores básicos horizontais.
27

Como consequência do lema 1.4.1, podemos definir em M o campo ∂t como o único campo
básico vertical σ−relacionado a 1, ou seja, σ∗ ∂t ≡ 1. Assim, todo campo básico vertical é da forma

(g ◦ σ)∂t , onde g : R → R é diferenciável. O campo ∂t é claramente unitário e normal as folhas
σ −1 (t), t ∈ R.

Lema 1.4.2 No produto warped M = R ×f Fn , se h : R → R é uma função suave, então o
gradiente de h ◦ σ coincide com o levantamento vertical do gradiente de h em R.

Demonstração. Denotando por grad h e ∇(h ◦ σ) respectivamente o gradiente de h em R e o
gradiente de h ◦ σ em M, temos de mostrar que ∇(h ◦ σ) é vertical e σ−relacionado com grad h.

Para tanto, tomando um campo horizontal U ∈ X(M ), lembrando que σ∗ U = 0, temos pela

definição de gradiente que

h∇(h ◦ σ), U i = U (h ◦ σ) = (σ∗ U )h = 0,
e segue daı́ que ∇(h ◦ σ) é vertical. Por outro lado, sendo X ∈ X(M ) básico vertical, π∗ X = 0,
temos pela definição de métrica warped

dt2 (σ∗ ∇(h ◦ σ), σ∗ X) = h∇(h ◦ σ), Xi = X(h ◦ σ) = (σ∗ X)h = dt2 ( grad h, σ∗ X),
e segue daı́ que σ∗ ∇(h ◦ σ) = grad h, conforme desejado.
Devido ao lema 1.4.2, denotaremos o gradiente de h ◦ σ simplesmente por ∇h; o contexto

dirimirá potenciais confusões.

Lema 1.4.3 No produto warped (M = R ×f Fn , h, i, ∇), se X é um levantamento vertical e U é
um levantamento horizontal, então

∇X U = ∇U X =

X(f )
U.
f

Demonstração. Ver [ON].
Segue do último lema que, se U é campo básico horizontal, ou seja, hU, ∂t i = 0 então
[U, ∂t ] = 0 e ∇∂t U = ∇U ∂t =

f′
U,
f

onde estamos usando o lema 1.4.2 para identificar f ◦ σ e f ′ ◦ σ com f e f ′ , respectivamente.

Assim, passamos a ver as funções f ◦ σ e f ′ ◦ σ como funções reais, de sorte que podemos identificar

∂t (f ◦ σ) com f ′ .

28

1.5

Folheações e Distribuições Tangentes

Nesta seção, enuciamos uma versão do teorema de Frobenius que diz: se M é uma variedade
diferenciável e ∆ é uma distribuição involutiva em M, então existe uma folheação F de M tal que
T F = ∆. O conteúdo desta seção foi baseado em [Ca] e [Le].

A idéia intuitiva de folheação corresponde a decomposição de uma variedade numa união de

subvariedades conexas e disjuntas, chamadas folhas, as quais se acumulam localmente como as
folhas de um livro. Passemos a formalizar essa idéia.
Seja U um subconjunto de Rn . Uma fatia de U (de dimensão k) é qualquer subconjunto da
forma
S = {(x1 , ..., xk , xk+1 , ..., xn ) ⊂ U ; xk+1 = ck+1 , ..., xn = cn , onde ck+1 , ..., cn ∈ R são constantes}.
Assim, dada uma variedade diferenciável n−dimensional M e uma carta diferenciável (U, ϕ)
em M, dizemos que um subconjunto S de U é uma fatia k−dimensional de U se ϕ(S) é uma fatia
k−dimensional de ϕ(U ).
Definição 1.5.1 Uma folheação (de dimensão k) de uma variedade n−dimensional M é uma
coleção de subvariedades (de dimensão k), disjuntas, conexas e imersas de M (chamadas de folhas
da folheação) cuja união é M e tais que, em uma vizinhança de cada ponto p ∈ M , existe uma

carta (U, ϕ) com a propriedade que ϕ(U ) é o produto de dois abertos conexos U ′ × U ′′ ⊂ Rk × Rn−k

e cada folha da folheação intercepta U ou em um conjunto vazio ou em uma coleção enumerável

de fatias de dimensão k da forma xk+1 = ck+1 , ..., xn = cn (tal carta é chamada de carta plana da
folheação).
A folheação é de classe C r , se as subvariedades são todas de classe C r . O número n − k é dito

a codimensão da folheação.

Uma folheação de dimensão k de uma variedade diferenciável M n é, a grosso modo, uma
decomposição de M n em subvariedades de dimensão k, disjuntas, conexas chamadas folhas, as
quais se aglomeram localmente como os subconjuntos de Rn = Rk × Rn−k com segunda coordenada

constante.

Exemplo 1.5.1 Seja f : M → N uma submersão, onde M, N são variedades diferenciáveis de

dimensão m, n respectivamente. Pelo teorema da forma local das submersões, dado p ∈ M e

q = f (p) ∈ N existem cartas locais (U, ϕ) em M, (V, ψ) em N tais que p ∈ U, q ∈ V, ϕ(U ) =
29

U1 × U2 ⊂ Rm−n e ψ(V ) = V2 ⊃ U2 , e, além disso, ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : U1 × U2 → U2 coincide com a
segunda projeção (x, y) 7−→ y (para detalhes ver as referências acima citadas).

As cartas locais (U, ϕ) definem uma estrutura de variedade folheada de classe C r onde as folhas

são as componentes conexas das superfı́cies de nı́vel f −1 (c), c ∈ N.
Assim, dado o produto warped M n+1 = R ×f Fn , onde Fn é uma variedade Riemanniana,

como a projeção canônica σ : R × Fn → R é uma submersão, segue que a coleção F = {σ −1 (t) =
{t} × Fn ; t ∈ R}, é uma folheação de dimensão n de M. Note que o campo ∂t é normal as folhas.

Seja M uma variedade diferenciável. Escolha para cada p ∈ M um subespaço linear k−dimensio`
nal ∆p ⊂ Tp M. Diremos que ∆ = p∈M ∆p ⊂ T M é uma distribuição tangente (ou simplesmente, uma distribuição) em M, se a seguinte condição é satisfeita: Cada ponto p ∈ M tem

uma vizinhança U na qual existem campos de vetores diferenciáveis Y1 , ..., Yk : U → T M tal que

Y1 |p , ..., Yk |p formam uma base para ∆p em cada p ∈ U.

Um dos exemplos mais simples de distribuição é a dada na seguinte

Proposição 1.5.1 Seja M uma variedade diferenciável. Se X ∈ X(M ), não se anula em M,
então ∆ = {v ∈ T M ; hv, Xi = 0} é uma distribuição em M.

Seja ∆ uma distribuição em M. Uma subvariedade imersa N ⊂ M é dita uma variedade

integral de ∆ se Tp N = ∆p para cada ponto p ∈ N. ∆ é dita integrável se cada ponto de M está

contido em uma variedade integral de ∆. ∆ é dita involutiva se dados campos diferenciáveis X e

Y em um aberto U de M tais que Xp , Yp ∈ ∆p para todo p ∈ U, então o colchete de Lie [X, Y ] é

tal que [X, Y ]p ∈ ∆p , para todo p ∈ U.

Proposição 1.5.2 Toda distribuição integrável é involutiva.
Demonstração. Seja ∆ ⊂ T M uma distribuição integrável. Suponha que X e Y são seções

locais de ∆ definidas em algum aberto U de M. Sejam p ∈ U qualquer e N uma variedade integral

de ∆ contendo p. Como X e Y são seções de ∆, segue-se que X e Y são tangentes à N e, consequentemente, [X, Y ] também o é. Já que p ∈ U é qualquer, ∆ é involutiva.
Uma distribuição ∆ em M é dita ser completamente integrável se existe uma folheação F
`
sobre M tal que T F = ∆, onde T F = S∈F T S. Estamos preparados para enunciar o resultado

principal desta seção.

Proposição 1.5.3 (Teorema de Frobenius) Toda distribuição involutiva é completamente integável.
30

Demonstração. Ver [Ca] (apêndice 2), ou [Le] (cap. 14)

31

Capı́tulo 2
Equações de Estrutura em uma
Variedade
Neste capı́tulo, estabelecemos condições necessárias para a existência de imersões isométricas
em ambientes que possuem um campo de vetores conforme fechado. Na seção 2, mostramos
que os produtos warped possuem esses campos e determinamos as equações de estrutura dos
produtos warped. Observamos que as variedades Riemannianas, que possuem um campo de vetores
conforme fechado, são localmente isométricas a um produto warped, e globalmente se a variedade
for completa (ver [Mo]).

2.1

Equações de Estrutura em uma Variedade do Tipo
(M , h, i, ∇, X̃).

Os principais resultados obtidos nesta seção são as proposições 2.1.1 e 2.1.2, pois contém
equações importantı́ssimas para o propósito deste trabalho. Para provar a proposição 2.1.1, decompomos o campo X̃ nas componentes tangente e normal, e em seguida derivamos. Por outro
lado, a presente seção foi dedicada, quase exclusivamente, a provar a proposição 2.1.2. A ideia é
expressar o operador de curvatura da variedade M em função do campo X̃. Para esse fim, usaremos
o lema 2.1.1 abaixo, equivalente à proposição 1 de [Mo]:

Definição 2.1.1 Seja M , h, i, ∇ uma variedade Riemanniana e φ : M −→ R uma função suave

32

e positiva. Um campo de vetores conforme fechado X̃, sobre M , é um campo de vetores que satisfaz
∇V X̃ = φV

(2.1)

para todo V ∈ T M . Dizemos que φ é o fator de conformidade de X̃.
n

Durante toda esta seção, M será uma variedade Riemanniana n-dimensional, com conexão
de Levi-Civita ∇, operador de curvatura R e X̃ um campo de vetores conforme fechado, sem
singularidades, sobre M . Veremos, na próxima seção, que tais variedades existem.
n

n

Seja x : M k → M uma imersão isométrica de uma variedade k-dimensional M k em M . Seja

̺ uma seção em T M ⊥ e denotemos por X a projeção canônica de X̃ em T M, de sorte que
X̃ = X + ̺.

(2.2)

Com essas condições, obtemos a seguinte proposição:
Proposição 2.1.1 Para todo v ∈ T M, temos
α(v, X) + ∇⊥
v̺ = 0

(2.3)

∇v X − A̺ v = φv,

(2.4)

onde ∇, ∇⊥ , α e A̺ , denotam a conexão de Levi-Civita em M, a conexão normal induzida em M,
a segunda forma fundamental da imersão x(M ) e o endomorfismo de Weingarten associado a α,
respectivamente.
Demonstração. Derivando a equação (2.2) com respeito a v ∈ T M e usando a equação (2.1),

obtemos

φv = ∇v X̃


= ∇v X + ̺

= ∇ v X + ∇v ̺
= ∇v X + α(v, X) − A̺ v + ∇⊥
v ̺.
Basta tomarmos agora as componentes tangente e normal da expressão acima para obtermos
o resultado desejado.

33

n

Lema 2.1.1 Seja (M , h, i, ∇), n ≥ 2, uma variedade Riemanniana dotada de um campo de vetores X̃, sem singularidades, conforme fechado. Então, temos que:
(a) O campo unitário N = X̃/|X̃| satisfaz
∇N N = 0,

∇V N =

φ
V se hV, X̃i = 0.
|X̃|

Em particular, o fluxo de N é um fluxo geodésico unitário.
(b) A distribuição (n − 1)−dimensional ∆ definida por
n

n

p ∈ M 7−→ ∆ = {v ∈ Tp M ; hX̃p , vi = 0}
determina uma folheação Riemanniana umbı́lica de codimensão 1, F(X̃), orientada por N .

Além disso, as funções |X̃|, div X̃ e X̃(φ) são constantes em folhas conexas de F(X̃) e cada
folha tem curvatura média constante igual a H = −φ/|X̃|.

Demonstração. (a) Seja V ∈ T M . Temos que
φV = ∇V X̃ = ∇V |X̃|N = V (|X̃|)N + |X̃|∇V N ,
ou seja,
∇V N =

V (|X̃|)
φ
V −
N.
|X̃|
|X̃|

(2.5)

Como
2|X̃|V (|X̃|) = V (|X̃|2 ) = 2h∇V X̃, X̃i = 2φhV, X̃i,
ou melhor,
φ
hV, X̃i,
|X̃|

(2.6)

φ
φ
hV, X̃iN .
V −
|X̃|
|X̃|2

(2.7)

V (|X̃|) =
as equações (2.5) e (2.6) nos dá
∇V N =
Em particular,
∇N N = 0,

∇V N =

φ
V se hV, X̃i = 0
|X̃|

34

e o fluxo de N é um fluxo geodésico unitário.
(b) Usaremos a notação U ∈ ∆, para dizer que Up ∈ ∆, ∀ p ∈ M .

Dados U, V ∈ ∆, derivando hX̃, U i = 0 em relação a V, e usando a compatibilidade da conexão,

obtemos h∇V X̃, U i + hX̃, ∇V U i = 0. Usando a equação (2.1), obtemos
hX̃, ∇V U i = −φhV, U i.
Analogamente, como hX̃, V i = 0,
hX̃, ∇U V i = −φhU, V i.
Usando as duas últimas equações acima, concluimos que

hX̃, [U, V ]i = hX̃, ∇U V − ∇V U i = hX̃, ∇U V i − hX̃, ∇V U i = −φhU, V i − (−φhV, U i) = 0.
Ou seja, [U, V ] ∈ ∆. Por definição, ∆ é involutiva. Logo, pelo teorema de Frobenius, a dis-

tribuição ∆ é completamente integrável. Ou seja, ∆ determina uma folheação Riemanniana de
codimensão 1, F(X), orientada por N .

Seja S uma folha da folheação F(X), αS sua segunda forma fundamental e HS seu vetor

curvatura média. Dados U, V ∈ T S, como hU, N i = hV, N i = 0 obtemos, usando o item (a) do
lema, que

hαS (U, V ), N i = h∇U V, N i = −hV, ∇U N i = −

φ
hU, V i.
|X̃|

φ
Seguue da última equação que a folha S é umbı́lica e tem cuvatura média constante − |X̃|
.

Seja {E1 , ..., En } um referencial ortonormal em uma vizinhança aberta Ω ⊂ M . Escrevendo
P
X̃ = i hX̃, Ei iEi , temos que
div X̃ =

X
i

=

X
i

Ei (hX̃, Ei i) − h∇Ei Ei , X̃i
h∇Ei X̃, Ei i

= nφ,

em todo ponto de Ω. Como a vizinhança foi arbitrária em M ,
φ=

1
div X̃.
n
35

(2.8)

Da mesma forma
∇|X̃|2 =

X

Ei (hX̃, X̃i)Ei = 2

i

X
i

h∇Ei X̃, X̃iEi = 2φX̃,

donde,
1
φX̃ = ∇|X̃|2 ,
2

(2.9)

ou melhor,
∇|X̃|2 = 2φX̃ =

2
( div X̃)X̃.
n

(2.10)

Dados campos U, V ∈ T M , a forma Hessiana da função |X̃|2 é dada por
( Hess |X̃|2 )(U, V ) = h Hess |X̃|2 (U ), V i
= h∇U (∇|X̃|2 ), V i
= h∇U (2φX̃), V i
= 2hU (φ)X̃ + φ2 U, V i
= 2φ2 hU, V i + 2U (φ)hX̃, V i.
Pela simetria da forma Hessiana e da métrica, temos que
U (φ)hX̃, V i = V (φ)hX̃, U i,

∀ U, V ∈ T M .

(2.11)

Em particular, tomando U, V ∈ T M tal que hU, X̃i = 0 e V = X̃, obtemos
U (φ) = 0.

(2.12)

Segue disso que div X̃ = nφ é contante em folhas conexas da folheação. Além disso, como
∇φ ∈ T M e U (φ) = 0, ∀ U ∈ T M com hU, X̃i = 0, concluimos que o campo ∇φ tá na mesma
direção do campo X̃. Segue daı́ que

∇φ =
Isso conclui a demonstração.

X̃(φ)
X̃.
|X̃|2

Denotemos por ∆, a distribuição (n − 1)−dimensional dada por
∆ = {U ∈ T M ; hX̃, U i = 0}.
36

(2.13)

Pelo lema 2.1.1, ∆ é completamente integrável.
Sejam F(X̃) a folheação determinada por ∆, S uma folha de F(X̃) e U ∈ X(M ). Denotemos

por U S a projeção de U na folha S e por Ũ a projeção canônica em X̃. Ou seja,
Ũ =

hU, X̃i
X̃
|X̃|2

e

U S = U − Ũ .

(2.14)

A equação (2.12) diz que a função φ é constante em S, ou seja, U S (φ) = 0, ∀ U ∈ X(M ). Além

disso, como o campo Ũ tá na direção de X̃, Ũ é ortogonal a folha S. Em particular, hŨ , V S i =

0 ∀ U, V ∈ X(M ).

Dados U, V ∈ X(M ), por definição de R temos que
R(U, V )X̃ = ∇U ∇V X̃ − ∇V ∇U X̃ − ∇[U,V ] X̃
= ∇U φV − ∇V φU − φ[U, V ]
= U (φ)V + φ∇U V − V (φ)U − φ∇V U − φ[U, V ]
= U (φ)V − V (φ)U + φ[U, V ] − φ[U, V ]
= U (φ)V − V (φ)U,

ou seja,
R(U, V )X̃ = U (φ)V − V (φ)U.

(2.15)

Assim, estamos preparados para começar expressar o operador curvatura R, em função do
campo X̃.
Sejam U, V, W ∈ X(M ).
hW, X̃i
R(U, V )X̃.
|X̃|2

(2.16)

R(U, V )W S = R(U S , V S )W S + R(Ũ , V S )W S + R(U S , Ṽ )W S + R(Ũ , Ṽ )W S .

(2.17)

R(U, V )W = R(U, V )W S + R(U, V )W̃ = R(U, V )W S +

Dado Y ∈ X(M ), lembrando que U S (φ) = 0 ∀U ∈ X(M ), obtemos, usando as propriedades

do operador de curvatura e a equação (2.15), que

37

R(Ũ , V S )W S , Y

=
=
=
=
=
=
=

R(W S , Y )Ũ , V S
E
D
hU, X̃i
R(W S , Y )
X̃, V S
|X̃|2
hU, X̃i
R(W S , Y )X̃, V S
2
|X̃|
hU, X̃i
W S (φ)Y − Y (φ)W S , V S
2
|X̃|
hU, X̃i
−
W S , V S Y (φ)
2
|X̃|
hU, X̃i
−
W S , V S h∇φ, Y i
2
|X̃|
E
D hU, X̃i
−
W S , V S ∇φ, Y .
|X̃|2

Desde que Y ∈ X(M ) foi tomado arbitrário,
R(Ũ , V S )W S = −

hU, X̃i
hW S , V S i∇φ.
|X̃|2

(2.18)

Como R(U S , Ṽ )W S = −R(Ṽ , U S )W S , segue que
R(U S , Ṽ )W S =

hV, X̃i
hW S , U S i∇φ.
2
|X̃|

(2.19)

Dado Y ∈ X(M ) arbitrário,
R(Ũ , Ṽ )W S , Y = R(W S , Y )Ũ , Ṽ =

hU, X̃i
W S (φ)Y − Y (φ)W S , Ṽ = 0.
2
|X̃|

A última igualdade é devido ao fato de φ ser constante nas folhas e hW S , Ṽ i = 0. Assim,
R(Ũ , Ṽ )W S = 0.

(2.20)

Segue das equações (2.16), (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) e (2.15), que
hU, X̃i
hW S , V S i∇φ
2
|X̃|

hV, X̃i
hW, X̃i 
S
S
+
Ũ (φ)V − Ṽ (φ)U .
hW , U i∇φ +
|X̃|2
|X̃|2

R(U, V )W = R(U S , V S )W S −

Vamos manipular as três últimos termos do segundo membro da igualdade anterior.
38

(2.21)

X̃i
Desde que Ṽ = hV,
X̃, temos que
|X̃|2

hW S , V S i = hW, V S i = hW, V i − hW, Ṽ i = hW, V i −

hV, X̃i
hX̃, W i.
|X̃|2

Assim, como ∇φ = X̃(φ)
X̃, usando a equação anterior,
|X̃|2
hU, X̃i
hU, X̃i hV, X̃i
X̃(φ)
hU, X̃i
hW S , V S i∇φ =
hW, V i
hX̃, W i∇φ
X̃ −
|X̃|2
|X̃|2
|X̃|2
|X̃|2 |X̃|2
X̃(φ)
hU, X̃i hV, X̃i
=
hU, X̃ihW, V iX̃ −
hX̃, W i∇φ.
|X̃|4
|X̃|2 |X̃|2

(2.22)

Analogamente,
hV, X̃i hU, X̃i
X̃(φ)
hV, X̃i
hW S , U S i∇φ =
hV, X̃ihW, U iX̃ −
hX̃, W i∇φ.
2
4
|X̃|
|X̃|
|X̃|2 |X̃|2

(2.23)

Por outro lado,
X̃(φ)
hW, X̃i X̃(φ)
hW, X̃i
hU, X̃iV =
hU, X̃ihW, X̃iV.
Ũ (φ)V =
|X̃|2
|X̃|2 |X̃|2
|X̃|4

(2.24)

X̃(φ)
hW, X̃i
hV, X̃ihW, X̃iU.
Ṽ (φ)U =
2
|X̃|
|X̃|4

(2.25)

e

Assim, devido as quatro últimas equações, a equação (2.21) fica
R(U, V )W = R(U S , V S )W S
X̃(φ)
X̃(φ)
−
hW, X̃ihV, X̃iU +
hW, X̃ihU, X̃iV
|X̃|4
|X̃|4
i
X̃(φ) h
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i X̃.
−
|X̃|4

(2.26)

Agora, vamos desenvolver o termo R(U S , V S )W S .
Uma vez que φ é constante nas folhas, temos que R(U S , V S )X̃ = U S (φ)V S − V S (φ)U S = 0,

donde

R(U S , V S )W S , Z

=

R(U S , V S )W S , Z S +

=

R(U S , V S )W S , Z S −

=

R(U S , V S )W S , Z S .
39

Z̃, X̃
|X̃|2

X̃, Z̃
|X̃|2

R(U S , V S )W S , X̃
R(U S , V S )X̃, W S

Agora, usando a equação de Gauss e o fato de que as folhas são totalmente umbı́licas (ver lema
2.1.1), ou seja, αS (U, V ) = hU, V iHS , onde HS é o vetor curvatura média e αS é a segunda forma

fundamental da folha S, temos que
R(U S , V S )W S , Z

=

R(U S , V S )W S , Z S

=

RS (U S , V S )W S , Z S − αS (U S , Z S ), αS (V S , W S )

+ αS (V S , Z S ), αS (U S , W S )

= RS (U S , V S )W S , Z S − h2 U S , Z S

V S, W S − V S, ZS

US, W S

onde h = |HS | e RS denota o operador de curvatura da folha S.



Supondo que a folha S tem curvatura seccional constante igual a c = c(S), temos que

RS (U S , V S )W S , Z S = c U S , Z S V S , W S − V S , Z S U S , W S ,

donde,

R(U S , V S )W S , Z

= (c − h2 ) U S , Z S

V S, W S − V S, ZS

= (c − h2 ) U S , Z

V S, W S − V S, Z

Como Z ∈ X(M ) foi tomado arbitrário, concluimos que

US, W S

US, W S .


R(U S , V S )W S = (c − h2 ) V S , W S U S − U S , W S V S .



(2.27)

X̃i
X̃,
Usando as equações U S = U − Ũ onde Ũ = hU,
|X̃|2

W S, US V S =

W S, U V S

1
hW, X̃ihX̃, U iV S
2
|X̃|
1
= hW, U iV −
hV, X̃ihW, U iX̃
|X̃|2
1
1
−
hW, X̃ihU, X̃iV +
hW, X̃ihU, X̃ihV, X̃iX̃.
2
|X̃|
|X̃|4
= hW, U iV S −

Considerando a equação análoga, trocando U por V , obtemos
"


1
S
S
S
2
R(U , V )W = (c − h ) hW, V i −
hW, X̃ihV, X̃i U
|X̃|2


1
− hW, U i −
hW, X̃ihU, X̃i V
|X̃|2
#

1 
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i X̃
+
|X̃|2
40

(2.28)

Assim, usando a equação anterior e a equação (2.26), obtemos o que querı́amos, ou seja, a
expresão de R em função do campo X̃.
"


1
hW, X̃ihV, X̃i U
|X̃|2


1
− hW, U i −
hW, X̃ihU, X̃i V
|X̃|2
#

1 
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i X̃
+
|X̃|2

R(U, V )W = (c − h2 )



hW, V i −

(2.29)

X̃(φ)
X̃(φ)
hW, X̃ihV, X̃iU +
hW, X̃ihU, X̃iV
4
|X̃|
|X̃|4
i
X̃(φ) h
−
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i X̃,
|X̃|4

−

para todo U, V, W ∈ X(M ).

De posse da equação (2.29), podemos determinar as equações de Gauss, Codazzi e Ricci para
n

uma subvariedade. Seja x : M k → M uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana
n

k-dimensional M k em M e sejam U, V, W ∈ X(M ) campos de vetores tangentes em M. Então,
tomando a componente tangente da equação (2.29) temos que
"


1
(R(U, V )W )⊤ = (c − h2 ) hW, V i −
hW, X̃ihV, X̃i U
|X̃|2


1
hW, X̃ihU, X̃i V
− hW, U i −
|X̃|2
#

1 
+
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i (X̃)⊤
|X̃|2

X̃(φ)
X̃(φ)
hW, X̃ihV, X̃iU +
hW, X̃ihU, X̃iV
4
|X̃|
|X̃|4
i
X̃(φ) h
−
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i (X̃)⊤ ,
4
|X̃|

−

para todo U, V, W ∈ X(M ), onde (X̃)⊤ denota a projeção ortogonal do campo X̃ em T M.
De maneira análoga, tomando a componente normal da equação (2.29), obtemos
(R(U, V )W )⊥ =


(c − h2 ) 
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i (X̃)⊥
|X̃|2
i
X̃(φ) h
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i (X̃)⊥ ,
−
|X̃|4
41

para todo U, V, W ∈ X(M ), onde (X̃)⊥ denota a projeção ortogonal do campo X̃ em T M ⊥ .

Agora, seja ξ ∈ X(M ) um campo normal em M. Então, se U, V ∈ X(M ), segue da equação

(2.29) e do fato de hξ, U i = hξ, V i = 0 que

Em particular,


(c − h2 ) 
R(U, V )ξ = −
hξ, X̃ihV, X̃iU − hξ, X̃ihU, X̃iV
|X̃|2
X̃(φ)
X̃(φ)
−
hξ, X̃ihV, X̃iU +
hξ, X̃ihU, X̃iV
4
|X̃|
|X̃|4
 (c − h2 ) X̃(φ) 
+
= −
hξ, X̃ihV, X̃iU
|X̃|2
|X̃|4
 (c − h2 ) X̃(φ) 
+
+
hξ, X̃ihU, X̃iV.
|X̃|2
|X̃|4
(R(U, V )ξ)⊥ ≡ 0.

(2.30)

Podemos resumir todo esse cálculo na seguinte proposição:
n

Proposição 2.1.2 Seja x : M k → M uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana
n

k-dimensional M k em M . Suponhamos que cada folha, da folheação determinada pela distribuição
∆ = {U ∈ T M ; hX̃, U i = 0}, tenha curvatura seccional constante c. Sejam U, V, W, Z ∈ X(M ) e
ξ, η ∈ T M ⊥ . Então, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci, para a imersão x, são as seguintes:
"


1
2
hW, X̃ihV, X̃i hU, Zi
(2.31)
hR(U, V )W, Zi = (c − h ) hW, V i −
|X̃|2


1
− hW, U i −
hW, X̃ihU, X̃i hV, Zi
|X̃|2
#


1
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i hX̃, Zi
+
|X̃|2
X̃(φ)
X̃(φ)
hW, X̃ihV, X̃ihU, Zi +
hW, X̃ihU, X̃ihV, Zi
|X̃|4
|X̃|4
i
X̃(φ) h
−
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i hX̃, Zi
|X̃|4
− hα(U, W ), α(V, Z)i + hα(U, Z), α(V, W )i
−

⊥
(∇⊥
U α)(V, W ) − (∇V α)(U, W ) =


(c − h2 ) 
hV, X̃ihW, U i − hU, X̃ihW, V i (X̃)⊥
|X̃|2
i
X̃(φ) h
hW, V ihU, X̃i − hW, U ihV, X̃i (X̃)⊥
−
|X̃|4
42

(2.32)

hR⊥ (U, V )ξ, ηi = h[Aξ , Aη ]U, V i.

(2.33)

É importante observar que nas hipóteses da proposição 2.1.2, ou seja, M admite um campo
conforme fechado, sem singularidades, e que cada folha, da folheação determinada pela distribuição
∆ = {u ∈ T M ; hX̃, ui = 0}, tenha curvatura seccional constante, M é localmente isométrica

ao produto warped R ×f F, onde F tem curvatura seccional constante. Mais que isso, se M for

completa e simplesmente conexa, M será isométrica ao produto warped R×f F, onde F é completa,

simplesmente conexa e tem curvatura seccional constante. Para detalhes, ver [Mo] proposição 3 e
observação.

2.2

As Equações de Estrutura em um Produto Warped

Nesta seção, mostramos que o produto warped R ×f Fn admite um campo conforme fechado,

estudamos a geometria de suas subvariedades e obtemos suas equações de compatibilidade (ou
equações de estrutura), desde que Fn tenha curvatura seccional constante.
Seja M

n+1

= R ×f Fn um produto warped, com a métrica warped h , i = dt2 + f 2 h , i e função

warped f. Sejam ∇ e R a conexão de Levi-Civita e o operador de curvatura de M , respectivamente.

b = (f ◦ σ)∂t é conforme fechado
Proposição 2.2.1 No produto warped M = R ×f Fn , o campo X

com fator conforme φX = f ′ ◦ σ.

Demonstração. Como ∂t é um campo unitário, segue que h∂t , ∂t i = 1, ou seja, ∂t h∂t , ∂t i = 0, ou
melhor, h∇∂t ∂t , ∂t i = 0.

′

Seja U um campo básico horizontal, então hU, ∂t i = 0. Como ∇∂t U = ff U, (lema 1.4.3) obtemos

que

0 = ∂t hU, ∂t i = h∇∂t U, ∂t i + h∇∂t ∂t , U i = h∇∂t ∂t , U i.
Logo, vale ∇∂t ∂t = 0.

Assim, por um lado,
b = ∇∂t (f ∂t ) = ∂t (f )∂t + f ∇∂t ∂t = f ′ ∂t .
∇∂ t X

Por outro lado, pelo lema 1.4.3, sendo U um campo básico vertical,
b=
∇U X

b )
f ∂t (f )
X(f
U=
U = f ′ U.
f
f
43

Em geral, dado E ∈ X(M ), como E = aU + b∂t , onde a, b são funções diferenciáveis em M e U é
um vetor básico vertical, temos que

b = ∇aU +b∂t X
b + b∇∂t X
b = a∇U X
b = af ′ U + bf ′ ∂t = f ′ E.
∇E X

Isso conclui a demonstração.

e

Assim, considerando o que foi feito na seção anterior, para M = R ×f Fn , temos que X̃ = f ∂t
∇E X̃ = f ′ E, ∀ E ∈ T M ,

X̃
ou seja, φ = f ′ . Com isso, |X̃| = f, |X̃|
= ∂t e X̃(φ) = f ∂t (f ′ ) = f f ′′ .

Além disso, como U (f ) = 0, se hU, ∂t i = 0, temos que V (f ) = f ′ hV, ∂t i∂t para todo V ∈ X(M ).

Daı́, dado V ∈ X(M ),

f ′ V = ∇V f ∂t = f ∇V ∂t + V (f )∂t = f ∇V ∂t + f ′ hV, ∂t i∂t ,
ou seja,
∇V ∂ t =

f′
(V − hV, ∂t i∂t ), ∀ V ∈ X(M ).
f

(2.34)

Recordemos que o campo ∇(f ′ ◦ σ) está na direção do campo ∂t (ver equação (2.13)). Assim,

como ∇(f ′ ◦ σ) = f ′′ (σ)∇σ, podemos concluir que o campo ∇σ está na direção do campo ∂t .
Melhor ainda, como ∂t (σ) = 1, (ver comentário após o lema 1.4.1 ) então
∇σ = ∂t .
Seja x : M k → M

em M

n+1

n+1

(2.35)

uma imersão isométrica da variedade Riemanniana k-dimensional M k

= R ×f Fn . Seja ̺ uma seção de T M ⊥ e denotemos por X a projeção canônica de ∂t em

T M, tal que

∂t = X + ̺.

(2.36)

Denotemos a imersão x por x = (xR , xF ), e defina uma função h : M → R por h(p) = xR (p).

Chamamos h de uma função altura em M. Note que σ(x(p)) = h(p), ou seja, h é a restrição de
σ à M (h = σ |M ). Como (∇σ)⊤ = ∇M h, onde ( )⊤ denota a projeção em T M e ∇M denota o

gradiente em M, obtemos que

X = (∂t )⊤ = (∇σ)⊤ = ∇M h,
44

ou seja,
X = ∇M h.

(2.37)

Derivando a equação (2.36), e em seguida tomando as componentes tangente e normal, obtemos
a seguinte proposição:
Proposição 2.2.2 Para todo v ∈ T M, temos
f ′ (h)
hv, Xi̺
f (h)

(2.38)

f ′ (h)
(v − hv, XiX).
f (h)

(2.39)

α(v, X) + ∇⊥
v̺ = −
∇v X − A̺ v =

onde ∇, ∇⊥ , α e A̺ , denotam a conexão de Levi-Civita em M, a conexão normal induzida em M,

a segunda forma fundamental da imersão x(M ) e o endomorfismo de Weingarten associado a α,
respectivamente.
Demonstração. Por um lado, como ∂t = X + ̺, a equção (2.34) nos dá
∇v ∂ t =

f′
f′
f′
f′
f′
(v − hv, ∂t i∂t ) = (v − hv, Xi(X + ̺)) = v − hv, XiX − hv, Xi̺
f
f
f
f
f

(2.40)

Por outro lado, usando as fórmulas de Gauss e Weingarten,
∇v ∂t = ∇v (X + ̺) = ∇v X + ∇v ̺ = ∇v X + α(v, X) − A̺ v + ∇⊥
v ̺.

(2.41)

Assim,
∇v X + α(v, X) − A̺ v + ∇⊥
v̺ =

f′
f′
f′
v − hv, XiX − hv, Xi̺.
f
f
f

(2.42)

Agora, basta tomar as componentes tangente e normal.
Observações:
1. Suponha a imersão de codimensão um. Sejam N o campo normal unitário em M e ν1 tal
que ∂t = X + ν1 N. Então, as equações (2.38) e (2.39) se resumem a
f ′ (h)
hv, Xiν1
f (h)

f ′ (h)
∇v X − ν1 Av =
v − hv, XiX .
f (h)

hα(v, X), N i + v(ν1 ) = −

45

2. Se, além disso, supusermos que f ≡ 1, obtemos
v(ν1 ) = −hα(v, X), N i
∇v X = ν1 Av.

Assim, podemos recuperar as proposições 3.1 de [CX] e 2.2 de [Da1], respectivamente.
A distribuição n−dimensional dada por
∆ = {U ∈ T M ; hX̃, U i = 0}
é involutiva, logo completamente integrável pelo teorema de Frobenius. As folhas da folheação
são as hipersurperfı́cies de nı́vel da submersão σ (ver exemplo 1.5.1). Além disso, se a variedade F tiver curvatura seccional constante igual a c, então, na folheação F(∂t ) determinada por
∆, a folha σ −1 (σ(q)) terá curvatura seccional constante igual a c/[f (σ(q))]2 , e curvatura média

−f ′ (σ(q))/f (σ(q)), ∀ q ∈ M. De fato, sendo h , iS a restrição da métrica de M à S = σ −1 (σ(q)),

segue da definição da métrica warped que h , iS = (f (q))2 h , i . Agora, basta ver que para todo

S
F
U, V ∈ X(M ), ∇SU V = ∇F
U V, onde ∇ é a conexão de S e ∇ é a conexão de F, para concluir que

KS (U, V ) = (1/f (q))2 KF (U, V ).
A segunda afirmação está contida no lema 2.1.1. Então, dados U, V, W ∈ X(M ), pela equação

(2.29) e as observações feitas desde o inı́cio desta seção,
R(U, V )W =



 f ′ (σ) 2 h

c
−
ihV,
∂
i
U
hW,
V
i
−
hW,
∂
t
t
f (σ)2
f (σ)


− hW, U i − hW, ∂t ihU, ∂t i V
 i

+ hV, ∂t ihW, U i − hU, ∂t ihW, V i ∂t

(2.43)

f ′′ (σ)
f ′′ (σ)
hW, ∂t ihV, ∂t iU +
hW, ∂t ihU, ∂t iV
f (σ)
f (σ)
i
f ′′ (σ) h
hW, V ihU, ∂t i − hW, U ihV, ∂t i ∂t .
−
f (σ)

−

Temos assim, a seguinte proposição:
Proposição 2.2.3 Seja x : M k → M

n+1

k-dimensional M k no produto warped M

uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana
n+1

= R ×f Fn , onde Fn é uma variedade Riemanniana
46

n-dimensional com curvatura seccional constante igual a c. Seja ̺ uma seção de T M ⊥ e X a
projeção canônica de ∂t em T M, tal que ∂t = X + ̺. Sejam U, V, W, Z ∈ X(M ) e ξ, η ∈ T M ⊥ .

Então, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci, para a imerssão x, são as seguintes:
Equação de Gauss
hR(U, V )W, Zi =



 f ′ (h) 2 h
i
c
−
hW,
V
ihU,
Zi
−
hW,
U
ihV,
Zi
f (h)2
f (h)
 f ′ (h) 2 f ′′ (h) h
 c
hV, ZihW, XihU, Xi − hU, ZihW, XihV, Xi
−
+
+
f (h)2
f (h)
f (h)
i
+ hW, U ihV, XihZ, Xi − hW, V ihU, XihZ, Xi

− hα(U, W ), α(V, Z)i + hα(U, Z), α(V, W )i
Equação de Codazzi
⊥
(∇⊥
U α)(V, W ) − (∇V α)(U, W ) =



 f ′ (h) 2 f ′′ (h) h
i
c
−
+
hW,
U
ihV,
Xi
−
hW,
V
ihU,
Xi
̺
f (h)2
f (h)
f (h)

Equação de Ricci
hR⊥ (U, V )ξ, ηi = h[Aξ , Aη ]U, V i.

Observações:
1. Se fizermos c = 0 e supusermos a imersão de codimensão 1, as equações de Gauss e Codazzi
se resumem a
hR(U, V )W, Zi = −

 f ′ (h) 2 

hW, V ihU, Zi − hW, U ihV, Zi



f (h)
  f ′ (h) 2 f ′′ (h) h
hV, ZihW, XihU, Xi − hU, ZihW, XihV, Xi
+ −
+
f (h)
f (h)
i
+ hW, U ihV, XihZ, Xi − hW, V ihU, XihZ, Xi

− hα(U, W ), α(V, Z)i + hα(U, Z), α(V, W )i
∇U AV − ∇V AU − A([U, V ]) =



−

 f ′ (h) 2
f (h)

+

onde N é o campo normal unitário a imersão.

47

i
f ′′ (h) h
hN, ̺ihV, ̺iU − hN, ̺ihU, ̺iV .
f (h)

2. Se fizermos f = 1 e supusermos a imersão de codimensão 1, as equações de Gauss e Codazzi
se resumem a
h
hR(U, V )W, Zi = c hW, V ihU, Zi − hW, U ihV, Zi

+ hV, ZihW, XihU, Xi − hU, ZihW, XihV, Xi

+ hW, U ihV, XihZ, Xi − hW, V ihU, XihZ, Xi
− hα(U, W ), α(V, Z)i + hα(U, Z), α(V, W )i
hR(U, V )N, Zi = chN, ̺i hN, U ihV, ̺i − hN, V ihU, ̺i
onde N é o campo normal unitário a imersão.

i



Assim, podemos recuperar o lema 2.1 de [CX] e a proposição 2.1 de [Da1], respectivamente.

48

Capı́tulo 3
Um Teorema de Bonnet
3.1

Um Teorema de Bonnet Para Produtos Warped

Nesta seção, provamos que as condições necessárias obtidas nas proposições 2.2.2 e 2.2.3 são suficientes. Em outras palavras, provamos um teorema similar ao teorema de Bonnet para superficies
em R3 para uma classe de variedades Riemannianas.
Para esse propósito, fixamos algumas notações.
Seja (M k , h, i, ∇) uma variedade Riemanniana k−dimensional, h, i sua métrica e ∇ sua conexão

de Levi-Civita. Seja π : E −→ M um fibrado vetorial Riemanniano de posto l = n−k, com conexão

compatı́vel ∇′ . Sejam h ∈ C ∞ (M ), ̺ ∈ Γ(E) e α′ uma seção simétrica no fibrado dos homomo-

fismos Hom(T M × T M, E). Defina para cada seção local ξ de E, a aplicação A′ξ : T M −→ T M
por

hA′ξ U, V i = hα′ (U, V ), ξi

U, V ∈ T M.

(3.1)

As equações de compatibilidades para subvariedades de R ×f Fn , obtidas no capı́tulo anterior,

sugeri introduzir a seguinte definição:

Definição 3.1.1 Dizemos que (h, i, ∇, ∇′ , α′ , ̺, h) satisfaz as equações de compatibilidade para

M

n+1

= R ×f Fn , onde Fn é uma variedade Riemanniana e f : R → R é positiva e suave, se
|X|2 + |̺|2 = 1,

X = ∇h

(3.2)

e para todo U, V, W, Z ∈ X(M ) e ξ, η ∈ E, as seguintes equações valem:
α′ (V, X) + ∇′V ̺ = −
49

f ′ (h)
hV, Xi̺
f (h)

(3.3)

∇V X − A′̺ V =


f ′ (h)
V − hV, XiX
f (h)

(3.4)

!
 f ′ (h) 2 

c
hR(U, V )W, Zi =
−
hU,
ZihV,
W
i
−
hU,
W
ihV,
Zi
(3.5)
f (h)2
f (h)
!
 f ′ (h) 2 f ′′ (h) h
c
hU, W ihV, XihZ, Xi + hV, ZihU, XihW, Xi
+
−
+
f (h)2
f (h)
f (h)
i
− hU, ZihV, XihW, Xi − hV, W ihU, XihZ, Xi
− hα′ (U, W ), α′ (V, Z)i + hα′ (U, Z), α′ (V, W )i

h(∇′U α′ )(V, W ) − (∇′V α′ )(U, W ), ξi =
h

 f ′ (h) 2 f ′′ (h)
c
−
+
f (h)2
f (h)
f (h)

!

(3.6)

i
hU, W ihV, Xi − hV, W ihU, Xi h̺, ξi

hR′ (U, V )ξ, ηi = h[A′ξ , A′η ]U, V i.

(3.7)

A definição 3.1.1 está bem posta.
É sábido que podemos criar um outro fibrado vetorial Riemanniano Ẽ, dado pela soma de
Whitney Ẽ = T M ⊕W E. De fato, é facil ver que em Ẽ, podemos definir uma conexão compatı́vel

com a métrica por

∇′′V U = ∇V U + α′ (V, U )

(3.8)

∇′′V ξ = −A′ξ V + ∇′V ξ
O lema a seguir mostra que as equações (3.2), (3.3) e (3.4), da definição 3.1.1, determinam uma
seção unitária ∂t′ em Ẽ satisfazendo
∇′′V f (h)∂t′ = f ′ (h)V, ∀ V ∈ X(M ).

Lema 3.1.1 Assuma que as equações (3.2), (3.3) e (3.4) valem. Então existe uma seção ∂t′
unitária em Ẽ, tal que
∇′′V f (h)∂t′ = f ′ (h)V ∀ V ∈ X(M ).

50

Demonstração. Defina
∂t′ = X + ̺.
Usando a equação (3.2), temos que
V (f (h)) = hV, ∇f (h)i = hV, f ′ (h)∇hi = f ′ (h)hV, ∇hi = f ′ (h)hV, Xi = f ′ (h)hV, ∂t′ i,
e
V (h) = hV, ∂t′ i.
Agora, usando as equações (3.3), (3.4) e (3.8), temos que

∇′′V f (h)∂t′ = f (h)∇′′V ∂t′ + V (f (h))∂t′

= f (h)∇′′V X + ̺ + f ′ (h)hV, Xi∂t′

= f (h) ∇′′V X + ∇′′V ̺ + f ′ (h)hV, Xi∂t′


= f (h) ∇V X + α′ (V, X) − A′̺ V + ∇′V ̺ + f ′ (h)hV, Xi∂t′




= f (h) α′ (V, X) + ∇′V ̺ + f (h) ∇V X − A′̺ V + f ′ (h)hV, Xi∂t′
= −f ′ (h)hV, Xi̺ + f ′ (h)V − f ′ (h)hV, XiX + f ′ (h)hV, Xi∂t′

= f ′ (h)V − f ′ (h)hV, Xi∂t′ + f ′ (h)hV, Xi∂t′
= f ′ (h)V
para todo V ∈ X(M ). Além disso,
2

|∂t′ | = |X|2 + |̺|2 = 1.
Isso conclui a demonstração.
Em particular,
f ′ (h)V = ∇′′V f (h)∂t′ = f (h)∇′′V ∂t′ + V (f (h))∂t′ = f (h)∇′′V ∂t′ + f ′ (h)hV, ∂t i∂t′ ,
ou seja,

f ′ (h)
∇′′V ∂t′ =
f (h)



V − hV, ∂t′ i∂t′



,

∀V ∈ X(M ).

(3.9)
′

(h)
V.
Além disso, se hV, ∂t′ i = 0, temos que V (f (h)) = V (h) = 0 e ∇′′V ∂t′ = ff (h)

51

Suponha que M

n+1

= R ×f Sn . Seja Ě = E ⊕W hζi um fibrado Riemanniano de posto l + 1,

onde hζi é um fibrado de linhas em M. Defina em Ě

ˇ : T M × Ě −→ Ě
∇
α̌ : T M × T M −→ Ě
por
α̌(U, V ) = α′ (U, V ) + (λhU, V i − µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ i)ζ

(3.10)

ˇ V φ = ∇′V (φ)E − hφ, ζi(λV − µhV, ∂t′ i∂t′ ) + V hφ, ζiζ
∇

onde U, V ∈ T M, φ é uma seção em Ě, (φ)E é a projeção canônica de φ em E e λ, µ satisfazem
λ2 :=

1 − (f ′ (h))2
f (h)2

e λµ := λ2 +

f ′′ (h)
.
f (h)

Note que com a definição de λ e µ, temos que ter necessariamente,
−1 < f ′ (h) < 1.
Com essas notações, obtemos o seguinte lema:
Lema 3.1.2 Assuma que (h, i, ∇, ∇′ , α′ , ̺, h) satisfaz as equações de compatibilidade para M .
ˇ α̌) satisfaz as equações de compatibilidade para o espaço euclidiano Rn+2 . Em
Então (h, i, ∇, ∇,
outras palavras,

hR(U, V )W, Zi = hα̌(U, Z), α̌(V, W )i − hα̌(U, W ), α̌(V, Z)i

(3.11)

ˇ U α̌)(V, W )
ˇ V α̌)(U, W ) = (∇
(∇

(3.12)

hŘ(U, V )ξ, ηi = h[Ǎξ , Ǎη ]U, V i

(3.13)

Demonstração. Vamos dividir a demostração em três partes.
(a) Primeiro, verificaremos que vale a equação (3.11).
Como hα′ (U, V ), ζi = 0, ∀ U, V ∈ T M, segue que
hα̌(U, W ), α̌(V, Z)i = hα′ (U, W ), α′ (V, Z)i
D
E
+ (λhU, W i − µhU, ∂t′ ihW, ∂t′ i)ζ, (λhV, Zi − µhV, ∂t′ ihZ, ∂t′ i)ζ
= hα′ (U, W ), α′ (V, Z)i

+ λ2 hU, W ihV, Zi − λµhU, W ihV, ∂t′ ihZ, ∂t′ i
− µλhV, ZihU, ∂t′ ihW, ∂t′ i + µ2 hU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihZ, ∂t′ ihW, ∂t′ i.
52

Da mesma forma
hα̌(U, Z), α̌(V, W )i = hα′ (U, Z), α′ (V, W )i
+ λ2 hU, ZihV, W i − λµhU, ZihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i
− µλhV, W ihU, ∂t′ ihZ, ∂t′ i + µ2 hU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ ihZ, ∂t′ i.
Assim,
− hα̌(U, W ), α̌(V, Z)i + hα̌(U, Z), α̌(V, W )i
= −hα′ (U, W ), α′ (V, Z)i − λ2 hU, W ihV, ZiλµhU, W ihV, ∂t′ ihZ, ∂t′ i
+ µλhV, ZihU, ∂t′ ihW, ∂t′ i + hα′ (U, Z), α′ (V, W )i + λ2 hU, ZihV, W i
− λµhU, ZihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i − µλhV, W ihU, ∂t′ ihZ, ∂t′ i
′

′

′

′

= −hα (U, W ), α (V, Z)i + hα (U, Z), α (V, W )i + λ

+ µλ hV, ZihU, ∂t′ ihW, ∂t′ i − hU, ZihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i

′
′
′
′
+ hU, W ihV, ∂t ihZ, ∂t i − hV, W ihU, ∂t ihZ, ∂t i

2



hU, ZihV, W i − hU, W ihV, Zi



= hR(U, V )W, Zi.

(b) Verificaremos, agora, que a equação (3.12) é satisfeita.
Lembrando que
ˇ V α̌(U, W ) − α̌(∇V U, W ) − α̌(U, ∇V W ),
ˇ V α̌)(U, W ) = ∇
(∇
temos, usando a equação (3.10), que


ˇ V α̌(U, W ) = ∇′V α′ (U, W ) − λhU, W i − µhU, ∂t′ ihW, ∂t′ i (λV − µhV, ∂t′ i∂t′
∇


+ V λhU, W i ζ − V µhU, ∂t′ ihW, ∂t′ i ζ

α̌(∇V U, W ) = α′ (∇V U, W ) + (λh∇V U, W i − µh∇V U, ∂t′ ihW, ∂t′ i)ζ

α̌(U, ∇V W ) = α′ (U, ∇V W ) + (λhU, ∇V W i − µhU, ∂t′ ih∇V W, ∂t′ i)ζ.
Assim, se ξ ∈ Γ(E), pela equação (3.6)
ˇ V α̌)(U, W ), ξi = h(∇′ α′ )(V, W ) − (∇′ α′ )(U, W ), ξi
ˇ U α̌)(V, W ) − (∇
h(∇
U
V


− λµ hU, W ihV, ∂t′ i − hV, W ihU, ∂t′ i h∂t′ , ξi

= 0.

53

(3.14)

Por outro lado, observando que

V λhU, W i = V (λ)hU, W i + λh∇V U, W i + λhU, ∇V W i,
V

µhU, ∂t′ ihW, ∂t′ i



=

f′
′
′
′
′
V (µ)hU, ∂t ihW, ∂t i + µh∇V U, ∂t ihW, ∂t i + µhU, V ihW, ∂t′ i

f
f′
f′
− µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i + µhU, ∂t′ ih∇V W, ∂t′ i + µhU, ∂t′ ihW, V i
f
f
′
f
− µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i,
f

hU, ∂t′ i = hU, (∂t′ )⊤ i, onde (∂t′ )⊤ denota a projeção de ∂t′ em T M,
e
′

(h)
∇′′V ∂t′ = ff (h)



V − hV, ∂t′ i∂t′



, obtemos que




ˇ V α̌ (U, W ), ζi = V λhU, W i − V µhU, ∂ ′ ihW, ∂ ′ i − λh∇V U, W i + µh∇V U, ∂ ′ ihW ∂ ′ i
h ∇
t
t
t
t
− λhU, ∇V W i + µhU, ∂t′ ih∇V W, ∂t′ i

= V (λ)hU, W i + λh∇V U, W i + λhU, ∇V W i

f′
µhU, V ihW, ∂t′ i
f
′
′
f
f
− µhU, ∂t′ ih∇V W, ∂t′ i − µhU, ∂t′ ihW, V i + 2 µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i
f
f
− λh∇V U, W i + µh∇V U, ∂t′ ihW ∂t′ i − λhU, ∇V W i + µhU, ∂t′ ih∇V W, ∂t′ i
− V (µ)hU, ∂t′ ihW, ∂t′ i − µh∇V U, ∂t′ ihW, ∂t′ i −

= V (λ)hU, W i − V (µ)hU, ∂t′ ihW, ∂t′ i
f′
f′
− µhU, V ihW, ∂t′ i − µhU, ∂t′ ihW, V i
f
f
′
f
+ 2 µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i.
f
Além disso, como µ só depende de t, ∇µ = ∂t′ (µ)∂t′ = µ′ ∂t′ e V (µ) = µ′ hV, ∂t′ i, donde
V (µ)hU, ∂t′ ihW, ∂t′ i − U (µ)hV, ∂t′ ihW, ∂t′ i = µ′ hU, ∂t′ ihW, ∂t′ ihV, ∂t′ i − µ′ hU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i = 0.
Assim,

54



ˇ V α̌ (U, W ) − ∇
ˇ U α̌ (V, W ), ζi = V (λ)hU, W i − V (µ)hU, ∂ ′ ihW, ∂ ′ i
h ∇
t
t
′
′
f
f
− µhU, V ihW, ∂t′ i − µhU, ∂t′ ihW, V i
f
f
f′
+ 2 µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i
f
− U (λ)hV, W i + U (µ)hV, ∂t′ ihW, ∂t′ i
f′
f′
+ µhV, U ihW, ∂t′ i + µhV, ∂t′ ihW, U i
f
f
′
f
− 2 µhU, ∂t′ ihV, ∂t′ ihW, ∂t′ i
f
f′
= λ′ hV, ∂t′ ihU, W i − µhU, ∂t′ ihW, V i
f
f′
′
′
− λ hU, ∂t ihV, W i + µhV, ∂t′ ihW, U i.
f
Ou seja,
′
′


ˇ U α̌ (V, W ), ζi = (λ′ + f µ)hV, ∂t′ ihU, W i − (λ′ + f µ)hU, ∂t′ ihV, W i.
ˇ V α̌ (U, W ) − ∇
h ∇
f
f
′

É suficiente mostrar que λ′ + ff µ ≡ 0. Como
p
′ ′′
!
p
√−f f ′ 2 f − f ′ 1 − (f ′ )2
′
′′
′
2
1
−
(f
)
1−(f )
f
f′
f
′
p
=−
+
λ =
= − µ,
f2
f
f
f
1 − (f ′ )2

temos que


"

"
ˇ U α̌ (V, W ), ζi = 0.
ˇ V α̌ (U, W ) − ∇
h ∇

(3.15)


"

ˇ U α̌ (V, W ).
ˇ V α̌ (U, W ) = ∇
∇

(3.16)

Concluimos pelas equações (3.14) e (3.15) que
"

(c) Finalmente, mostraremos que a equação (3.13) vale.
Se ξ e η são seções em E,

hǍξ ◦ Ǎη U, V i = hǍη U, Ǎξ V i = hα̌(Ǎη U, V ), ξi = hα′ (Ǎη U, V ), ξi = hǍη U, A′ξ V i
= hα̌(A′ξ V, U ), ηi = hα′ (A′ξ V, U ), ηi = hA′ξ V, A′η U i = hA′ξ ◦ A′η U, V i.
Analogamente, hǍη ◦ Ǎξ U, V i = hA′η ◦ A′ξ U, V i, donde
h[Ǎξ , Ǎη ]U, V i = h[A′ξ , A′η ]U, V i.
55

ˇVξ = ∇
ˇ V ξ = ∇′ ξ, segue que ∇
ˇ U∇
ˇ U ∇′ ξ = ∇′ ∇′ ξ. Assim,
Por outro lado, como ∇
V
V
U V
ˇV∇
ˇ [U,V ] ξ, ηi
ˇVξ −∇
ˇ Uξ − ∇
ˇ U∇
hŘ(U, V )ξ, ηi = h∇
= h∇′U ∇′V ξ − ∇′V ∇′U ξ − ∇′[U,V ] ξ, ηi
= hR′ (U, V )ξ, ηi.
Usando as equações de compatibilidade,
hŘ(U, V )ξ, ηi = hR′ (U, V )ξ, ηi = h[A′ξ , A′η ]U, V i = h[Ǎξ , Ǎη ]U, V i.
Se ξ é uma seção em E e η = ζ,
hŘ(U, V )ξ, ζi = hR′ (U, V )ξ, ζi = 0,
pois, R′ (U, V )ξ é uma seção em E.
Se ξ = ζ e η é uma seção em E,
hŘ(U, V )ζ, ηi = −hŘ(U, V )η, ζi = 0.

(3.17)

Se ξ = η = ζ, pela propriedade do tensor curvatura
hŘ(U, V )ζ, ζi = 0,

(3.18)

Por outro lado, se ξ é uma seção em E,
hǍξ ◦ Ǎζ U, V i = hǍζ U, Ǎξ V i
= hα̌(Ǎξ V, U ), ζi
= λhǍξ V, U i − µhU, ∂t′ ihǍξ V, ∂t′ i
= hλǍξ V − µhǍξ V, ∂t′ i∂t′ , U i

ˇ Ǎ V ζ, U i
= h∇
ξ
= 0.

Como U, V ∈ T M foi arbitrário, Ǎξ ◦ Ǎζ ≡ 0. Logo, h[Ǎξ , Ǎζ ]U, V i = 0. Isso finaliza a demons-

tração do lema.

56

Assim, pelo teorema fundamental das subvariedades (proposição 1.3.2), existe uma imersão
isométrica g : M → Rn+2 e um isomorfismo de fibrados ǧ : Ě → T M ⊥ ao longo de g, tal que para
todo U, V ∈ T M e toda seção local ξ, η de Ě

hǧ(ξ), ǧ(η)i = hξ, ηi
ǧ α̌(U, V ) = α̃(U, V )

(3.19)

ˇ Uξ = ∇
˜ ⊥ ǧ(ξ)
ǧ ∇
U
˜ ⊥ e α̃ são a conexão normal e a segunda forma fundamental de g(M ) ⊂ Rn+2 , respectivaonde ∇
mente. Está sendo feita a identificação g∗ (U ) = U, U ∈ T M, ou seja, T M = T g(M ).

É importante, para o que segue, explicitar alguns resultados que foram obtidos no decorrer

da demonstração do teorema fundamental das subvariedades. Existe um isomorfismo de fibrados
φ̌ : T M ⊕W Ě → T Rn+2 |g(M ) = T g(M ) ⊕W T g(M )⊥ tal que φ̌|T M = g∗ : T M → T g(M ) e
φ̌|Ě = ǧ : Ě → T g(M )⊥ . Além disso, no fibrado T M ⊕W Ě, a conexão
bUV
∇
satisfaz

= ∇U V + α̌(U, V ),

b U ξ = −Ǎξ U + ∇
ˇ U ξ,
∇

U, V ∈ T M

(3.20)

U ∈ T M e ξ ∈ Ě

b U V ) e DU ǧ(ξ) = φ̌(∇
b U ξ),
DU V = φ̌(∇

(3.21)

onde D é a conexão de Levi-Civita do Rn+2 .
b U V ) = φ̌(∇U V + α̌(U, V )) = g∗ (∇U V ) + ǧ α̌(U, V ) = ∇U V + α̃(U, V ).
Temos que DU V = φ̌(∇

Seja Ã o endomorfismo de Weingarten associado a α̃. Então, dados U, V ∈ T M e ξ ∈ Γ(Ě),
hα̃(U, V ), ǧ(ξ)i = hǧ α̌(U, V ), ǧ(ξ)i = hα̌(U, V ), ξi, ou seja, hÃǧ(ξ) U, V i = hǍξ U, V i. Donde
Ǎξ U = Ãǧ(ξ) U,

∀ U ∈ T M e ξ ∈ Γ(Ě).

b U ξ) = φ̌(−Ǎξ U + ∇
ˇ U ξ) = −Ãǧ(ξ) U + ∇
˜ ⊥ ǧ(ξ). Logo,
Assim, DU ǧ(ξ) = φ̌(∇
U
DU V

= ∇U V + α̃(U, V ),

U, V ∈ T M

˜⊥
DU ǧ(ξ) = −Ãǧ(ξ) U + ∇
U ǧ(ξ),

U ∈ T M e ξ ∈ Γ(Ě).

˜ ⊥ ǧ(ζ), obtemnos
Fazendo φ̌(∂t′ ) = ∂t′ , desde que DU ǧ(ζ) = −Ãǧ(ζ) U + ∇
U
hDU ǧ(ζ), V i = −hǍζ U, V i = −hα̌(U, V ), ζi = −hλU − µhU, ∂t′ i∂t′ , V i
57

(3.22)

(3.23)

e
ˇ U ζ, ǧ(ξ)i = h∇
ˇ U ζ, ξi = −hλU − µhU, ∂t′ i∂t′ , ξi.
hDU ǧ(ζ), ǧ(ξ)i = hǧ ∇
Asim, como todo campo de vetores X em Rn+2 pode ser escrito na forma X = V + ǧ(ξ) onde
V ∈ T M e ξ ∈ Γ(Ě), segue que
hDU ǧ(ζ), ǧ(ξ) + V i = h−λU + µhU, ∂t′ i∂t′ , ξ + V i
ou seja,
DU ǧ(ζ) = −λU + µhU, ∂t′ i∂t′ .

(3.24)

Fazendo (∂t′ )⊤ = T e (∂t′ )⊥ = N, temos também que
DU ∂t′ = DU T + DU N
˜ ⊥N
= ∇U T + α̃(U, T ) − ÃN U + ∇
U
= ∇U T + α′ (U, T ) + (λhU, T i − µhU, T i)ǧ(ζ) − A′N U + φ̌∇′U N
= φ̌∇′′U T + φ̌∇′′U N + (λhU, T i − µhU, T i)ǧ(ζ)
= φ̌∇′′U ∂t′ + (λhU, T i − µhU, ∂t′ i)ǧ(ζ)
f′
=
(U − hU, ∂t′ i∂t′ ) + hU, ∂t′ i(λ − µ)ǧ(ζ),
f
ou seja,
DU ∂t′ =

f′
(U − hU, ∂t′ i∂t′ ) + hU, ∂t′ i(λ − µ)ǧ(ζ),
f

∀ U ∈ T M.

(3.25)

Seja π ′ : hζi → M um fibrado de linhas com conexão compatı́vel ∇♯ e α♯ uma seção simétrica

no fibrado dos homomorfismos Hom(T M × T M , hζi), definidos por
∇♯X ξ = Xhξ, ζiζ,

(3.26)

α♯ (X, Y ) = (λ̃hX, Y i − µ̃hX, ∂t ihY, ∂t i)ζ, X, Y ∈ T M , ξ ∈ Γ(hζi),

(3.27)

onde
λ̃2 =

1 − (f ′ (σ))2
f (σ)2

e λ̃µ̃ = λ2 +

f ′′ (σ)
.
f (σ)

Para que λ̃ esteja bem definido e positivo, tem-se necessariamente que
−1 < f ′ (σ) < 1.
58

(3.28)

Defina a aplicação A♯ : T M → T M por
hA♯ X, Y i = hα♯ (X, Y ), ζi, X, Y ∈ T M ,

(3.29)

ou seja,
A♯ X = λ̃X − µ̃hX, ∂t i∂t .

Proposição 3.1.1 Com as notações acima, (h, i, ∇, ∇♯ , α♯ ) satisfaz as equações de compatibilidade

para o espaço euclidiano Rn+2 . Em outras palavras,

hR(U, V )W, Zi = hα♯ (U, Z), α♯ (V, W )i − hα♯ (U, W ), α♯ (V, Z)i

(3.30)

(∇♯V α♯ )(U, W ) = (∇♯U α♯ )(V, W )

(3.31)

Assim, pelo teorema fundamental das subvariedades, existe uma imersão isométrica q : M →

Rn+2 e um isomorfismo de fibrados q̌ : hζi → T M

⊥

toda seção local ξ, η de hζi

ao longo de q, tal que para todo U, V ∈ T M e

hq̌(ξ), q̌(η)i = hξ, ηi
q̌α♯ (U, V ) = α(U, V )

(3.32)

⊥

q̌∇♯U ξ = ∇U q̌(ξ)
⊥

onde ∇ e α são a conexão normal e a segunda forma fundamental de q(M ) ⊂ Rn+2 , respectiva-

mente.



⊥
Segue que ∇U q̌(ξ) = U hq̌(ξ), q̌(ζ)i q̌(ζ) e α(U, V ) = λ̃hU, V i − µ̃hU, ∂t ihV, ∂t i q̌(ζ). Além

disso,

DU V

= ∇U V + α(U, V ),
⊥

DU q̌(ξ) = −Aq̌(ξ) U + ∇U q̌(ξ),

U, V ∈ T M

(3.33)

U ∈ T M e ξ ∈ hζi.

(3.34)

onde D é a conexão de Levi-Civita do Rn+2 .
Em particular, temos que,
DU q̌(ζ) = −Aq̌(ζ) U = −λ̃U + µ̃hU, ∂t i∂t ,

U ∈ T M.

(3.35)

e
DU ∂t =

f′
(U − hU, ∂t i∂t ) + hU, ∂t i(λ̃ − µ̃)q̌(ζ),
f
59

∀ U ∈ T M.

(3.36)

Finalizamos esta dissertação com o enuciado do seguinte teorema, resumo de todo cálculo feito
nesta seção:
Teorema 3.1.1 Seja (M k , h , i, ∇) uma variedade Riemanniana simplesmente conexa k−dimensional, h , i sua métrica e ∇ sua conexão de Levi-Civita. Assuma que (h, i, ∇, ∇′ , α′ , ̺, h) satisfaz as

equações de compatibilidade para R ×f Sn , com −1 < f ′ < 1. Então, existe uma imersão isométrica

g : M k → R ×f Sn e um isomorfismo de fibrados vetoriais g̃ : E → T M ⊥ ao longo de g, tal que

para todo U, V ∈ T M e toda seção local ξ, η ∈ E

hg̃(ξ), g̃(η)i = hξ, ηi
g̃α′ (U, V ) = α(U, V )
g̃∇′U ξ = ∇⊥
U ξ,
onde ∇⊥ e α são a conexão normal e a segunda forma fundamental de g(M ) ⊂ R ×f Sn , respecti-

vamente. Além disso, a imersão é única, a menos de isometrias globais na variedade R ×f Sn .

60

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