Dissertação
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
KARLA KATERINE BARBOZA DE LIMA
O Problema de Carleson para a Equação Linear de Schrödinger
Maceió
2011
KARLA KATERINE BARBOZA DE LIMA
O Problema de Carleson para a Equação Linear de Schrödinger
Dissertação de Mestrado na área de concentração de Análise submetida em 04 de Outubro
de 2011 à Banca Examinadora, designada pelo
Colegiado do Programa de Pós-Graduação em
Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do grau de mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Adán José Corcho Fernandéz
Maceió
2011
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
L732p
Lima, Karla Katerine Barboza de.
O problema de Carleson para a equação linear de Schrödinger / Karla
Katerine Barboza de Lima. – 2011.
46 f.
Orientador: Adán José Corcho Fernandéz.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2011.
Bibliografia: f. 45-46.
1. Operador maximal. 2. Schrödinger, Equações de. 3. Convergência pontual.
4. Carleson, Problemas de. I. Título.
CDU: 517.95
O Problema de Carleson para a Equação Linear de Schrödinger
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Adán José Corcho Fernandéz (UFRJ)
Orientador
Prof. Dr. Júlio Cesar de S. Almeida (UFAL)
Prof. Dr. Xavier Carvajal (UFRJ)
Agradecimentos
Começo agradecendo àqueles que são meu alicerce: minha família. À minha mãe, Maria de
Fátima, que durante minha infância e adolescência sempre esteve presente na minha educação,
exigindo meu máximo e não aceitando menos que isso. Ao meu pai, José Carlos, que é meu
exemplo e motivação. À ele que já percorreu este árduo caminho, passando por grandes dificuldades e mesmo assim chegou lá(e por que eu, que não tenho nem metade das responsabilidades
que ele tinha não posso também conseguir?). Ao meu irmão, Carlos, que é meu mais antigo
amigo e companheiro. Que como irmão mais velho me protegeu e me ensinou e que ainda hoje,
junto à sua querida esposa Leila Amanda, me acolhe no seu lar para me divertir e faz com que
eu me esqueça dos problemas. Ao meu marido Adriano Barbosa, pela sua extrema dedicação e
companheirismo, pela ajuda técnica no decorrer deste trabalho(evitando que eu jogasse na parede alguns computadores!), e por todo suporte que tem me dado nesses anos. Aos meus sogros,
Cícero Barbosa e Cícera Oliveira, por terem me acolhido no seu lar quando era conveniente para
mim. Amo imensamente todos vocês.
Aos meus professores do IM UFAL, da graduação e da pós-graduação, em especial àqueles
que deixaram suas marcas e algum exemplo para eu seguir: Francisco Vieira Barros, Sinvaldo
Gama, Márcio Henrique Batista, Krerley Irraciel, Marcos Petrúcio, Adán Corcho e meu pai,
José Carlos . Aos que foram meu orientadores durante minha graduação: Krerley Irraciel, Marcos Petrúcio e José Carlos, meus agradecimentos mais sinceros. Obrigada pela eterna motivação
e apoio. Ao professores Dímas Martinez, Luana Contiero, André Contiero e Elisa Sena, que
não foram meus professores, mas me acolhem e incentivam. Acima de tudo, agradeço pela
amizade dedicada à mim por estes.
Aos meus amigos, que entendem a distância e com os quais sempre posso contar. Em
especial aos meus primos, que me divertem tanto; às minhas queridas Cibelly Procópio, Cléa
Oliveira e Ingrid Barboza, meninas vocês são incríveis. À Adriana Pitta, pelo amor e torcida.
Àquelas que estão comigo desde a época do cursinho pré-vestibular: Marianna Tenório, Andréa
Tatiane e Kátia Macário, que juntas torcemos e vimos nossos sonhos se realizando. Aos meus
amigos do laboratório Calamgo, Douglas Cedrim, Michel Alves, Ailton Felix, Fabrício Omena,
Leandro Botelho, Nayane Freitas, Lucas Lins, Augusto Ícaro e Tainá Ribeiro pela amizade e
diversão. Aos meus amigos matemáticos e companheiros de estudo: Márcio Cavalcante, Carlos
Gonçalves, Ádina Rocha, Adalgisa Mendonça e Isnaldo Isaac.
Ao professor Ádan Corcho, por ter aceitado me orientar e me propor um excelente trabalho.
Obrigada pelo suporte para que eu avançasse nos meus estudos e pelo tempo desprendido, sei o
quanto ele era escasso. Obrigada pelo incentivo e pela amizade.
Aos professores Júlio Cesar e Xavier Carvajal por terem aceitado participar da banca, corrigir
o trabalho e dar sugestões.
A agência de Fomento Fundação de Amparo a Pesquisa de Alagoas pelo apoio financeiro.
Resumo
Neste trabalho demonstraremos, em detalhes, a seguinte estimativa
��
dx
|S f (x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c� f �H s
do operador maximal
S∗ f (x) := sup |St f (x)| = sup |u(x,t)|
t>0
t>0
associado às soluções u(x,t) da equação linear de Schrödinger, apresentada por L. Vega em [1],
para o caso s > 1/2.
Além disso, como consequência, daremos uma prova alternativa ao seguinte problema proposto
por Carleson: para quais valores reais do índice s a solução
St f (x) := u(x,t) = c
� +∞
−∞
2
eixξ eitξ fˆ(ξ)dξ
da Equação Linear de Schrödinger converge em quase todo ponto x ∈ R (x - q.t.p) para o dado
inicial f ?
Palavras-chave: Operador maximal, convergência pontual, equação de Schrödinger, problema de Carleson.
Abstract
In this work we demonstrate, in details, the following estimative
��
dx
|S f (x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c� f �H s
of the maximal operator
S∗ f (x) := sup |St f (x)| = sup |u(x,t)|
t>0
t>0
associated to solutions u(x,t) of the Schrödinger linear equation, by L. Vega in [1], for s > 1/2.
In addition, as a consequence, we will give an alternative proof of the following problem proposed by Carleson: for what real values of index s the solution
St f (x) := u(x,t) = c
� +∞
−∞
2
eixξ eitξ fˆ(ξ)dξ
of the Schrödinger linear equation converges almost everywhere in x ∈ R (x - a.e) to the initial
data?
Keywords:: Maximal operator, pointwise convergence, Schödinger’s equation, Carleson’s
problem.
Sumário
1
Introdução
8
1.1 A Equação de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2 O problema de Carleson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3 Operador maximal e proposta de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
12
Elementos de Medida e Análise Funcional
2.1 Um pouco sobre medidas borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2 Operadores entre espaços de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3
19
Transformada de Fourier
3.1 Transformada em L1 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2 Transformada de Fourier em Espaços de Schwartz e sua extensão para funções
em L2 (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3 Transformada de Fourier no Espaço da Distribuições Temperadas . . . . . . . .
27
3.4 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4
32
O Problema de Carleson para n=1
4.1 Equação Linear de Schrödinger em Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . .
32
4.1.1 Encontrando a solução do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2 Estimativa da função maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.3 O problema de Carleson, s > 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5
43
Uma breve discussão sobre outros valores do índice s e da dimensão n
5.1 O que acontece quando 1/4 ≤ s ≤ 1/2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.2 Em dimensões maiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Referências Bibliográficas
45
8
1
Introdução
1.1 A Equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger foi formulada pelo físico austríaco Erwin Schrödinger (18871961) em 1926. O modelo matemático obtido por Schrödinger é usado na mecânica quântica
para descrever a evolução temporal do estado quântico de um sistema físico.
Esta equação se apresenta de diversas formas dependendo do contexto físico. Por exemplo,
no estudo da interação de uma partícula de massa m com um potencial de energia V (x,t) no
instante t e na posição espacial x = (x1 , x2 , x3 ) o modelo é dado pela equação diferencial
i�
�2
dψ
(x,t) = − Δψ
(x,t) +V (x,t)ψ
(x,t),
dt
2m
(1.1)
onde h = 2π� é a constante de Plank, Δ denota o operador Laplace em R 3 , isto é,
Δ=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 12 ∂x 22 ∂x 32
(x,t) é a função de onda da partícula na posição x no instante t. Este modelo nos permite
eψ
conhecer a função de onda ψ
(x,t) em qualquer instante de tempo a partir de um estado inicial
ψ
(x, 0).
No caso em que o potencial V é independente do tempo, V = V (x), a procura por soluções
de (1.1) do tipo standing waves, ou seja, ondas na forma
ψ
(x,t) = ϕ
(x)e
−iκt /�
,
nos leva a um problema de auto-valores interessante. De fato, nesse contexto o operador i� dψ
dt é
, obtendo-se assim o seguinte problema de autosubstituído pelo operador de multiplicação kϕ
valores para ϕ
�2
Δϕ
κϕ
(x) = −
(x) +V (x)ϕ
(x).
(1.2)
2m
Encerramos nossa discusão, mostrando como o caso unidimensional de (1.2) pode ser observado através da equação do oscilador harmônico da mecânica clássica. Com efeito, seja ϕ
solução da equação do oscilador harmônico, ou seja, ϕé solução da equação diferencial ordinária
� �2
2π
d2ϕ
ϕ
(x) = 0,
(1.3)
(x) +
2
dx
λ
9
onde λé o comprimento de onda. Segundo a relação de Broglie λ=
h
, onde v(x) denota
mv(x)
a velocidade, e substituindo esta igualdade na equação (1.3) obtemos
v2 (x)m2 ϕ
(x) = −
h2 d 2 ϕ
(x).
4π 2 dx2
(1.4)
Por outro lado, não havendo energia dissipada a energia mecânica do oscilador se conserva,
sendo esta obtida pela soma da energia cinética com a potencial, isto é,
Em =
mv2 (x)
+V (x),
2
de onde temos que
�
�
2 Em −V (x)
v (x) =
.
m
Agora, substituindo (1.5) em (1.4) obtemos que
2
Em ϕ
(x) = −
(1.5)
�2 d 2 ϕ
(x),
(x) +V (x)ϕ
2m dx2
sendo esta equação similar a (1.2) com auto-valor Em .
O leitor interesssado poderá encontrar informações mais profundas sobre a dedução da
equação de Schrödinger e a bela história que envolve o surgimento da mecânica quântica nos
textos [2], [3],[4],[5] e [6].
1.2 O problema de Carleson
Após a descoberta da equação de Schrödinger muitas pesquisas, tanto de interesse físico
como matemático, em torno desse importante modelo têm sido desenvolvidas por vários pesquisadores do mundo todo.
O trabalho que aqui desenvolveremos versa sobre o problema de Cauchy associado à equação linear de Schrödinger unidimensional sem potencial, ou seja, ao modelo dado pela equação
diferencial parcial
∂u
∂ 2u
i (x,t) =
(x,t), (x,t) ∈ (R, R+ ),
∂t
∂x 2
(1.6)
u(x, 0)
= f (x),
x ∈ R,
onde por simplicidade matemática são desconsideras as constantes físicas envolvidas no modelo
original. Consideraremos o dado inicial f (função de onda inicial) pertencendo a espaços de
Sobolev clássicos contidos no espaço L2 (R), de maneira mais precisa
�
�
s
2
2
2 s/2 ˆ
f ∈ H (R) := f ∈ L (R); (1 + |ξ| ) f (ξ) ∈ L (R) ,
10
onde
f�(ξ) :=
é a Transformada de Fourier de f e s ≥ 0.
� +∞
−∞
f (x)e−ixξ dx
Em 1979, L. Carleson no trabalho intitulado “Some analytical problems related to Statistical Mechanics” (ver [7]) planteou o problema de determinar para que valores do indice s a
solução
� +∞
2
eixξ eitξ fˆ(ξ)dξ
St f (x) := u(x,t) = c
−∞
de (4.1) converge em quase todo ponto x ∈ R (x - q.t.p) para o dado inicial f . Em outras palavras,
deseja-se saber quais são os espaços de Sobolev H s (R) que nos garantem que a condição inicial
seja satisfeita no seguinte sentido:
lim u(x,t) = f (x),
t→0
x − q.t.p.
Nesse mesmo trabalho Carleson deu resposta positiva ao problema para todo dado inicial f ∈
H s (R) com s ≥ 1/4 e, além disso, construiu um exemplo mostrando que em H 1/8 (R) a propriedade não vale.
A demostração dada por Carleson a seu resultado positivo (s ≥ 1/4) foi baseada no método
de Kolmogorov-Sliverstov-Plessner (ver [8]) e para tal objetivo ele prova que para qualquer
função mensurável t = t(x) o operador St(x) satisfaz a seguinte estimativa
�
�� 1
�
�
� ≤ C� f � 1/4
�
S
f
(x)dx
t(x)
H
�
� −1
para toda função f ∈ C0∞ (R), onde C não depende de t(x) nem de f , sendo isto suficiente para
obter o resultado desejado.
Mais tarde, em 1982, B. Dahlberg e C. Kenig no artigo “A note on the almost everywhere
behaviour of solutions to the Schrödinger equation” (ver [9]) provaram que o resultado obtido
por Carleson em [7] é o melhor possível, ou seja, s = 1/4 é o menor índice de Sobolev para o
qual se verifica a convergência em quase todo ponto das soluções St f (x) para o dado inicial f (x).
De fato, eles dão um exemplo mostrando que para cada s < 1/4 existe uma função f ∈ H s (R)
com suporte compacto tal que
lim sup |St f (x)| = +∞,
t→0
x − q.t.p,
chegando-se então ao seguinte resultado:
Teorema 1.2.1 A família de funções St f (x) convergem em quase todo ponto para f (x) ∈ H s (R)
se, e somente se, s ≥ 1/4.
11
1.3 Operador maximal e proposta de trabalho
O problema de Carleson motiva uma questão muito importante dentro da Análise Harmônica relativa à obtenção de estimativas fortes para o operador maximal
S∗ f (x) := sup |St f (x)| = sup |u(x,t)|
t>0
(1.7)
t>0
associado às soluções da equação linear de Schrödinger.
Estimativas fortes para o operador maximal (1.7) foram dadas por C. Kenig e A. Ruiz no
trabalho “A strong type (2, 2) estimate for a maximal operator associated to the Schrödinger
equation”. Eles trabalharam com uma variante de S∗ , dada por T ∗ g(x) = sup Tt g(x) com
t>0
Tt g(x) = c
� +∞
eixξ eitξ
−∞
2
ĝ(ξ)
dξ,
|ξ| 1/4
g ∈ L 2 (R),
e mostraram que vale a estimativa forte
�
I
|T ∗ g(x)|2 dx ≤ CI �g�2L2 ,
onde C apenas depende do intervalo I. Além disso, eles mostraram que estimativas similares do
tipo
�
I
|T ∗ g(x)| p dx ≤ CI �g�Lp p
não valem para 1 ≤ p < 2.
Nosso objetivo nesta dissertação é demonstrar em detalhes a seguinte estimativa para o
operador maximal (1.7) apresentada por L. Vega em [1] no caso s > 1/2
��
dx
|S f (x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c� f �H s
e como consequência daremos uma prova alternativa ao problema de Carleson nessa situação.
12
2
Elementos de Medida e Análise Funcional
Neste capítulo faremos uma breve apresentação dos elementos de Teoria de Medida e Análise Funcional que servirão como base para o desenvolvimento do nosso trabalho. Indicaremos
onde podem ser encontradas todas as demonstrações dos resultados expostos e faremos as provas daqueles que são menos standard nos primeiros cursos de Medida e Análise Funcional.
2.1 Um pouco sobre medidas borelianas
Seja x ∈ Rn \ {0}. A representação de x em coordenadas polares é dada pelo par (r, x� ), onde
�
�
x
n−1
�
n
�
�
∈S
= x ∈ R ; |x | = 1 .
(2.1)
r = |x| ∈ (0, ∞), x =
|x|
A função φ(x) = (r, x � ) é um homeomorfismo de Rn \ {0} em (0, ∞) × Sn−1 cuja inversa é dada
por φ −1 (r, x� ) = rx� .
Denotaremos por m∗ a medida de Borel em (0, ∞) × Sn−1 induzida por φatravés da medida
de Lebesgue m em Rn e, portanto,
m∗ (E) = m(φ −1 (E)),
para todo conjunto E Borel mensurável em (0, ∞) × Sn−1 . Denotaremos por ρ: (0, ∞) −→ R +
a medida definida por
�
rn−1 dr,
ρ(A) =
A
para todo A ⊂ (0, ∞) Borel mensurável.
O espaço das funções integráveis em Rn com relação à medida de Lebesgue m é denotado
por L(Rn ).
Teorema 2.1.1 Existe uma única medida de Borel σdefinida em S n−1 tal que m∗ = ρ× σ.
Além disso, se f é Borel mensurável em Rn e f ≥ 0 ou f ∈ L(Rn ) então vale a igualdade
�
Rn
f (x)dx =
� ∞�
0
Demonstração: Ver demonstração em [10].
Sn−1
f (rx� )rn−1 dσ(x � )dr.
�
13
Corolário 2.1.1 Seja f é uma função mensurável em Rn , não negativa ou integrável, tal que
f (x) = g(|x|) para alguma função integrável g : (0, ∞) −→ R. Então,
�
Rn
n−1
f (x)dx = σ(S
)
� ∞
g(r)rn−1 dr.
0
Demonstração: Segue diretamente de combinar o teorema anterior com o Teorema de Fubini.
�
�
�
Corolário
2.1.2 Sejam� ε e C constantes positivas, B ε = x ∈ Rn ; |x| < ε ,
�
Bcε = x ∈ Rn ; |x| ≥ ε e f uma função mensurável em Rn . Então, valem as afirmações a
seguir
(a) Se | f (x)| ≤ C|x|−a em Bε para algum a < n, então f ∈ L1 (Bε ). Além disso, se | f (x)| ≥
C|x|−n em Bε então f ∈
/ L1 (Bε ).
(b) Se | f (x)| ≤ C|x|−a em Bεc para algum a > n, então f ∈ L1 (Bcε ). Além disso, se | f (x)| ≥
/ L1 (Bcε ),
C|x|−n em Bcε então f ∈
n
1
onde para
� X ⊂ R mensurável, L (X) denota o conjunto das funções mensuráveis f : X −→ R
| f |dx é integrável.
tais que
X
Demonstração: Faremos apenas a prova do item (a) uma vez que (b) decorre de argumentos similares.
Começamos com a primeira parte de (a). Se | f (x)| ≤ C|x|−a em Bε para algum a < n, então
�
Bε
| f (x)|dx ≤ C
�
Rn
|x|−a χBε (x)dx.
Como |x|−a χB (x) é mensurável em Rn , não negativa e |x|−a χB (x) = g(|x|) com
� −a
r , se 0 < r < ε;
g(r) =
0, se ε< r,
usamos o Corolário (2.1.1) para obtermos que
�
Rn
−a
|x|
χBε (x)dx = σ(S
n−1 )
= σ(S
n−1 )
� ∞
g(r)rn−1 dr
0
� ε
rn−a−1 dr
0
= σ(S
n−1 ) ε
n−a
n−a
< ∞,
onde usamos a hipótese n − a > 0. Assim, f ∈ L1 (Bε ).
Por outro lado, se | f (x)| ≥ C|x|−n em Bε teremos
�
Bε
| f (x)|dx ≥
�
Rn
−a
|x|
χB (x)dx = σ(S
n−1
)
� ε
1
dr.
0 r
14
que não é integrável, logo f ∈
/ L1 (Bε ).
�
Prosseguimos com duas desigualdades clássicas da teoria da medida.
Teorema 2.1.2 (Desigualdade de Hölder) Sejam (X, µ) um espaço de medida sigma finita,
1 ≤ p, q ≤ ∞ tais que 1/p + 1/q = 1. Então, se f ∈ L p (X, µ) e g ∈ L q (X, µ) a função f g ∈
L1 (X, µ) e vale a desigualdade
� f g�L1 ≤ � f �L p �g�Lq .
Demonstração: Ver em [11].
�
Teorema 2.1.3 (Desigualdade de Tchebyshev) Seja 0 < p < ∞ e consideremos f ∈ L p (X, µ).
Então, para qualquer α> 0 tem-se
�
�
�
�
� f �L p p
} ≤
.
µ {x; | f (x)| > α
α
Demonstração: Considere o conjunto Eα = {x ∈ X; | f (x)| > α
}. Assim,
� f �Lp p =
�
X
p
| f (x)| dµ(x) ≥
�
Eα
p
| f (x)| dµ(x) ≥
�
α p dµ(x) = α
Eα
p
µ(E α ).
Como por hipótese α> 0 segue-se que
�
�
�
�
� f �L p p
,
µ {x ∈ X; | f (x)| > α
} ≤
α
obtendo-se assim o resultado desejado.
�
Sendo X um espaço mensurável, lembramos que
�
�
M + (X) = f : X → R+ ; f é mensurável .
Finalizamos esta seção relembrando o seguinte corolário do Lema de Fatou:
Proposição 2.1.1 Sejam (X, µ) um espaço de medida, f ∈ M + (X) e ν: X −→ R + definida por
ν(E) =
�
f dµ.
E
Então, νé uma medida e para toda g ∈ M
+ (X) vale
Demonstração: Ver em [12].
�
gdν=
�
f gdµ.
�
2.2 Operadores entre espaços de medidas
Sejam (X, µ) um espaço de medida e M(X) o espaço das funções f : X −→ C que são
mensuráveis.
15
Definição 2.2.1 Sejam (X, µ) e (Y, ν) espaços de medida. Um operador
T : L p (X, µ) −→ M(Y )
é dito sublinear se T ( f + g) ≤ T ( f ) + T (g) para quaisquer f , g ∈ L p (X, µ).
Definição 2.2.2 Sejam 1 ≤ p < ∞ e 1 ≤ q ≤ ∞. Dizemos que um operador sublinear
T : L p (X, µ) −→ M(Y ) é de tipo (p, q)-forte se for um operador limitado, isto é, existe uma
constante C positiva tal que
�T f �Lq ≤ C� f �L p ,
para toda f ∈ L p (X, µ).
Definição 2.2.3 Sejam 1 ≤ p < ∞ e 1 ≤ q < ∞. Dizemos que um operador sublinear
T : L p (X, µ) −→ M(Y ) é de tipo (p, q)-fraco se existe uma constante positiva C tal que
� �
��1/q
λ ν y ∈ Y ; |T f (y)| > λ
≤ C� f �L p ,
para todo λ> 0 e para toda f ∈ L p (X, µ). No caso q = ∞ definimos (p, ∞) − fraco como sendo
(p, ∞) − forte.
O seguinte resultado estabelece que a condição (p, q)-forte é suficiente para termos a condição (p, q)-fraco para operadores sublineares.
Proposição 2.2.1 Se um operador sublinear T : L p (X, µ) −→ M(Y ) é (p, q)-forte então ele é
(p, q)-fraco.
�
�
Demonstração: Para todo λ> 0 pondo A λ = y ∈ Y ; |T f (y)| > λ temos que
�q
�q
�
�
� ��
�
p
C�
f
�
1
T
f
(y)
L
q
�
�
,
ν(A λ ) =
dν≤
� λ � dν≤ λ q �T f �Lq ≤
λ
Aλ
Aλ
de onde segue que
finalizando-se assim a prova.
�1/q
�
≤ C� f �L p ,
λ ν(A λ )
�
Dada uma família de operadores lineares Tt : L p (X, µ) −→ M(X), t > 0, o operador maximal T ∗ : L p (X, µ) −→ M(X) é definido por
T ∗ f (x) = sup |Tt f (x)|.
t>0
O resultado a seguir é muito importante dentro da teoria dos operadores maximais.
Teorema 2.2.1 Sejam 1 ≤ p < ∞ e Tt , t > 0, uma família de operadores lineares em
Tt : L p (X, µ) −→ M(X). Então, se T ∗ é (p, q)-fraco e t0 > 0, as seguintes afirmações são
válidas:
16
(a) O conjunto F1 =
(b) O conjunto F2 =
�
�
�
f ∈ L p ; lim Tt f (x) = f (x) x − q.t.p
t→t0
é fechado em L p (X, µ).
�
é fechado em L p (X, µ).
f ∈ L p ; lim Tt f (x) existe x − q.t.p
t→t0
Demonstração: Primeiro provaremos o item (a). Dada uma sequência ( fn ) ⊂ F1 convergente para f em L p (X, µ), logo lim � fn − f �L p = 0, precisamos provar que f ∈ F1 . Dado λ> 0
n→∞
consideremos os seguintes conjuntos:
�
�
• Aλ = x ∈ X; lim sup |Tt f (x) − f (x)| > λ ;
t→t0
�
�
• Aλ,n = x ∈ X; lim sup |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)| > λ ;
t→t0
�
�
• Ãλ,n = Aλ \ x ∈ X; lim sup |Tt fn (x) − fn (x)| > 0 .
t→t0
Como ( fn ) ⊂ F1 temos que
��
��
= 0,
x ∈ X; lim sup |Tt fn (x) − fn (x)| > 0
µ
t→t0
assim µ( Ãλ,n ) = µ(A λ ).
Afirmação 1: Ãλ,n ⊂ Aλ,n e, portanto, µ(A λ ) = µ( Ãλ,n ) ≤ µ(A λ,n ).
Para verificar a afirmação acima primeiro observamos que pela desigualdade triangular temse
|Tt f (x) − f (x)| = |Tt f (x) − f (x) − Tt fn (x) + fn (x) + Tt fn (x) − fn (x)|
= |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x) + Tt fn (x) − fn (x)|
≤ |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)| + |Tt fn (x) − fn (x)|.
Usando esta desigualdade e supondo que x ∈ Ãλ,n temos que
λ< lim sup |Tt f (x) − f (x)|
t→t0
�
�
≤ lim sup |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)| + |Tt fn (x) − fn (x)|
t→t0
≤ lim sup |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)| + lim sup |Tt fn (x) − fn (x)|
t→t0
= lim sup |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)|.
t→t0
Portanto x ∈ Aλ,n , verificando-se a Afirmação 1.
Afirmação 2: lim µ(A λ,n ) = 0.
n→∞
t→t0
17
Para tanto, consideramos os conjuntos
�
�
B1 = x ∈ X; |T ∗ ( f − fn )(x)| > λ/2
e
�
�
B2 = x ∈ X; |( f − fn )(x)| > λ/2 .
Notemos que Aλ,n ⊂ B1 ∪ B2 . De fato, se x ∈ (B1 ∪ B2 )c então x satisfaz
|Tt ( f − fn )(x)| ≤ |T ∗ ( f − fn )(x)| ≤
λ
2
e
λ
.
2
|( f − fn )(x)| ≤
Assim, pela desigualdade triangular temos que
lim sup |Tt ( f − fn )(x) − ( f − fn )(x)| ≤
t→t0
λ λ
+ = λ,
2 2
o que nos dá que x ∈
/ Aλ,n . Portanto, podemos concluir que Aλ,n ⊂ B1 ∪ B2 e consequentemente
µ(A λ,n ) ≤ µ(B 1 ) + µ(B 2 ).
Usando o fato de T ∗ ser (p, q)−fraco e a desigualdade de Tchebyshev, obtemos
0 ≤ µ(A λ,n )
��
��
��
��
≤ µ x ∈ X; |T ∗ ( f − fn )(x)| > λ/2
+ µ x ∈ X; |( f − fn )|(x) > λ/2
�
� �
�
�( f − fn )�L p p
C�( f − fn )�L p q
+
−→ 0,
≤
λ/2
λ/2
quando n → ∞ pois fn → f em L p (X, µ). Verificando-se assim a Afirmação 2.
Das afirmações 1 e 2 podemos concluir que
0 ≤ µ(A λ ) ≤ lim µ(A λ,n ) = 0,
n→∞
de onde segue-se que
µ(A λ ) = 0,
para todo λ> 0.
(2.2)
Para finalizar a demostração de (a) escolhemos λk = 1/k, k = 1, 2, 3, . . . e escrevemos
�
�
∞
�
A1/k .
x ∈ X; lim sup |Tt f (x) − f (x)| > 0 =
t→t0
k=1
Como A1 ⊂ A1/2 ⊂ A1/3 ⊂ · · · , concluímos usando (2.2) que
µ
��
x ∈ X : lim sup |Tt f (x) − f (x)| > 0
t→t0
��
=µ
�
∞
�
k=1
A1/k
�
= lim µ(A 1/k )
k→∞
= 0.
Portanto, lim Tt f (x) = f (x) em quase todo ponto de X e f ∈ F1 , como clamávamos, finalit→t0
zando assim aprova do item (a).
18
Procedemos agora com a prova de (b). Seja ( fn ) uma sequência em L p (X, µ) tal que
lim � fn (x) − f (x)�L p = 0 e que
n→∞
µ
��
��
= 0.
x ∈ X : lim sup Tt fn (x) − lim inf Tt fn (x) > 0
t→t0
t→t0
Então, neste caso é suficiente mostrar que
��
��
x ∈ X : lim sup Tt f (x) − lim inf Tt f (x) > λ
= 0.
µ
t→t0
t→t0
Considere os conjuntos:
• A = {x ∈ X; lim sup Tt f (x) − lim inf Tt f (x) > λ} ;
t→t0
t→t0
• Aλ,n = {x ∈ X; lim sup Tt ( f − fn )(x) − lim inf Tt ( f − fn )(x) > λ};
t→t0
t→t0
• Ãλ,n = A \ {x ∈ X; lim sup Tt fn (x) − lim inf Tt fn (x) > 0}.
t→t0
t→t0
Novamente teremos µ( Ãλ,n ) = µ(A). E ainda,
lim sup Tt f (x) ≤ lim sup Tt ( f − fn )(x) + lim sup Tt fn (x)
t→t0
t→t0
t→t0
e
lim inf Tt f (x) ≥ lim inf Tt ( f − fn )(x) + lim inf Tt fn (x),
t→t0
t→t0
t→t0
de onde concluímos que
lim sup Tt f (x) − lim inf Tt f (x) ≤ lim sup Tt ( f − fn )(x) + lim sup Tt fn (x)
t→t0
t→t0
t→t0
t→t0
− lim inf Tt ( f − fn )(x) − lim inf Tt fn (x)
t→t0
t→t0
= lim sup Tt ( f − fn )(x) − lim inf Tt ( f − fn )(x).
t→t0
t→t0
Assim, Ãλ,n ⊂ Aλ,n . Para finalizar, usando que
lim sup Tt ( f − fn )(x) − lim inf Tt ( f − fn )(x) ≤ 2T ∗ ( f − fn )(x),
t→t0
t→t0
provamos que Aλ,n ⊂ P = {x ∈ X; |T ∗ ( f − fn )(x)| > λ2 } e o resto segue identicamente ao caso
anterior.
�
19
3
Transformada de Fourier
3.1 Transformada em L1 (Rn )
Definição 3.1.1 A transformada de Fourier de uma função f ∈ L1 (Rn ), denotada por f�, é
definida como
�
�
(3.1)
f (x)e−ix·ξ dx
f (ξ) =
Rn
onde ξ∈ R n e x · ξ= x
1 ξ1 + · · · + xn ξn .
Observe que a função f� está bem definida, pois
| f (x)e−ix·ξ | = | f (x)|
e portanto, f (x)e−ix·ξ ∈ L1 (Rn ).
Listaremos algumas propriedades da transformada de Fourier em L1 (Rn ), as quais serão de
grande utilidade no decorrer do trabalho. Usaremos a notação f (x) → g(ξ) para indicar que
g(ξ) = f�(ξ).
Proposição 3.1.1 Seja f ∈ L1 (Rn ).
(i) f (x + h) → eiξ·h f�(ξ), para qualquer h ∈ R n .
(ii) e−ix·h f (x) → f�(ξ+ h), para qualquer h ∈ R n .
(iii) f (ax) → a−n f�(a−1 ξ), para qualquer a > 0.
� �α
∂
(iv)
f (x) → (iξ) α f�(ξ).
∂x
� �α
∂
α
f�(ξ).
(v) (−ix) f (x) →
∂ξ
(vi) f (Rx) → f�(Rξ) para qualquer rotação R.
(vii) Se g ∈ L1 (Rn ) então,
�
Rn
f�(y)g(y)dy =
�
Rn
f (y)�
g(y)dy.
20
Demonstração:
(i) Seja τh f (x) := f (x + h). Aplicando a definição de transformada de Fourier, obtemos:
�
τ�
h f (ξ) =
Rn
τh f (x)e−ix·ξ dx.
Pela invariância da integral por translações:
τ�
h f (ξ) =
�
Rn
=
τh f (x − h)e−i(x−h)·ξ dx
�
f (x + h − h)e−i(x−h)·ξ dx
Rn
= eih·ξ
�
Rn
f (x)e−ix·ξ dx
= eih·ξ f�(ξ).
(ii) Se definirmos g(x) = f (x)e−ix·h , então decorre facilmente da definição:
g�(ξ) =
=
�
Rn
�
Rn
f (x)e−ix·h e−ix·ξ dx
f (x)e−ix·(h+ξ) dx
= f�(ξ+ h).
(iii) Defina da (x) = f (ax), a > 0. Aplicando a transformada à função, obtemos
d�a (ξ) =
�
Rn
f (ax)e−ix·ξ dx.
Fazendo a mudança de variável y = ax teremos que a−1 dyi = dxi , i = 1, ..., n e
d�a (ξ) =
�
−ia−1 y1 ·ξ1
e
= a−n
�
Rn
···
�
−1 y ·ξ
n n
f (y)e−ia
−1 ξ)
f (y)e−iy·(a
= a−n f�(a−1 ξ).
a−n dyn ...dy1
dy
(vi) Façamos a mudança de variável y = Rx. Tem-se |det(R)| = 1 e, por R ser um operador
ortogonal, �R−1 y, ξ� = �RR −1 y, Rξ� = �y, Rξ�:
21
�
f (Rx)e
Rn
−ix·ξ
dx =
=
�
−1 y)·ξ
f (y)e−i(R
Rn
�
|det(R)|dy
f (y)e−iy·Rξ dy
Rn
= f�(Rξ).
(vii) Se g ∈ L1 (Rn ) então para todo ξ∈ R n , g�(ξ) é limitada:
|�
g(ξ)| ≤
Logo
�
Rn
�
Rn
|g(x)|dx < ∞.
f (x)�
g(x)dx é integrável e podemos aplicar o teorema de Fubini:
�
Rn
f (x)�
g(x)dx =
=
=
=
�
f (x)
Rn
�
�
Rn Rn
�
Rn
�
Rn
�
Rn
g(y)e−iy·x dydx
f (x)g(y)e−iy·x dydx
g(y)
�
Rn
f (x)e−ix·y dxdy
g(y) f�(y)dy.
Se f ∈ L1 (Rn ) não é necessariamente verdade que f� ∈ L1 (Rn ); por exemplo, considere
f (x) = χ(a,b) (x) a função característica do intervalo (a, b). Se ξ= 0 teremos f�(ξ) =
f�(0) = b − a; se ξ�= 0, então:
f�(ξ) =
� b
a
=−
e−ixξ dx
�
e−ibξ − e−iaξ
iξ
2
b+a
= − e−i( 2 )ξ sen
ξ
�
��
� �
a−b
ξ
2
2
b+a
≥ − e−i( 2 )ξ
ξ
2
2
b+a
Como | − e−i( 2 )ξ | = com ξ�= 0 e não é integrável, concluímos que | f�(ξ)| não é
ξ
ξ
integrável em R.
�
22
Como podemos definir a transformada de Fourier em funções de L2 (Rn )? Em geral, não é
verdade que se f ∈ L2 (Rn ) então f ∈ L1 (Rn ); basta tomar como exemplo a seguinte função:
�
0, x ∈ (−∞, 1]
f (x) =
1/x, x ∈ (1, ∞)
que é quadrado integrável mas não é integrável. Então, aqui, a expressão (3.1) não faz
sentido.
Na próxima seção, estudaremos algumas características das funções de Schwartz que nos
ajudarão a definir a transformada em L2 (Rn ).
3.2 Transformada de Fourier em Espaços de Schwartz e sua extensão para funções em
L2 (Rn )
As propriedades abordadas sobre o espaço de Schwartz enfatizam o bom comportamento da
transformada neste espaço. Mostraremos que as funções de Schwartz são integráveis, portanto
a transformada está bem definida e que ela leva bijetivamente S (Rn ) em S (Rn ), o que não é
verdade em geral para as funções integráveis.
Definição 3.2.1 (Multiíndice) Um multiíndice é uma n-upla ordenada de números inteiros não
negativos, ou seja, é um elemento do conjunto
Nn0 = {α= (α 1 , · · · , αn ); αi ∈ {0, 1, 2, 3, . . . }} .
Se α= (α 1 , · · · , αn ) é um multiíndice e x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , denotaremos:
| = α 1 + · · · + αn .
• |α
• xα = x1α1 x2α2 · · · xnαn .
• ∂ α = ∂1α1 ◦ ∂2α2 · · · ◦ ∂nαn .
Agora podemos definir o espaço de Schwartz:
Definição 3.2.2 (Espaço de Schwartz) O espaço de Schwartz S (Rn ) é o espaço das funções
C∞ com decaimento no infinito, isto é,
S (Rn ) = {ϕ∈ C ∞ (Rn ) : |�ϕ
�| (α,β)
�| (α,β)
onde |�ϕ
β
= �xα ∂x �∞ é uma seminorma.
< ∞ para quaisquer
α
, β∈ N
0
n },
23
Utilizaremos a seguinte caracterização para as funções de Schwartz:
Teorema 3.2.1 Seja f ∈ C∞ (Rn ). Então f ∈ S (Rn ) se, e somente se,
lim xα ∂ β f (x) = 0,
∀α
, β∈ N
|x|→∞
n
0.
(3.2)
Demonstração: Ver demonstração em [13].
�
Do teorema acima concluímos que as derivadas parciais de f vão mais rápido para 0 do que
as potências xα , α∈ N n0 , vão para o infinito, quando |x| → ∞.
Teorema 3.2.2 Seja p ∈ [1, ∞).
(L p (Rn ), � · �L p ).
Então o espaço de Schwartz S (Rn ) é denso em
Demonstração: Sejam φ∈ S (R n ) e r um número real tal que r > n/2. Então
�φ� L p =
�
Rn
(1 + |x|2 )r |φ(x)| p
2 r
= sup (1 + |x| ) |φ(x)|
1
dx
(1 + |x|2 )r
p
x∈Rn
�
1
dx < ∞.
2 r
Rn (1 + |x| )
Concluímos, portanto, que S (Rn ) ⊂ L p (Rn ). Por outro lado, como C0∞ (Rn ) é denso em L p (Rn )
(ver em [13]), teremos
L p (Rn ) = (C0∞ (Rn , � · �L p ) ⊂ (S (Rn , � · �L p ) ⊂ L p (Rn ),
de onde concluímos que (S (Rn , � · �L p ) = L p (Rn ).
�
Assim, fica bem definida a transformada de Fourier de uma função de Schwartz f por
f�(ξ) =
�
Rn
f (x)e−ix·ξ dx
e valem as propriedades da Proposição 3.1.1. Estaremos também interessados em discutir sobre
a inversa da transformada de Fourier; em L1 (Rn ) também podemos descrever tal função (ver
em [14]), porém estamos mais interessados na teoria das distribuições e, portanto, iniciaremos
este estudo pelas funções de Schwartz.
Teorema 3.2.3 Seja f ∈ S (Rn ). Então f� ∈ C∞ e
α f ),
�
∂ α f� = (−i)|α| (x
∀α∈ N n0 .
(3.3)
Demonstração: Ver Teorema 2.2 de [13].
�
Teorema 3.2.4 Para todo f ∈ S (Rn ) e todo α∈ N n0 , ∂ α f ∈ S (Rn ) assim como
|
α f )(ξ) = i |α
�
(∂
ξ α f�(ξ),
ξ∈ R
n
.
(3.4)
24
Demonstração: Ver Teorema 2.3 de [13].
�
Para provarmos a fórmula da transformada inversa precisaremos ainda do seguinte Lema:
2
2
Lema 3.2.1 Sejam a ∈ C \ {0} e g(x) = e−a|x| , com Rea > 0. Então g�(ξ) = e −|ξ| /4a (πa −1 )n/2
Demonstração: Faremos apenas a demonstração para n = 1 pois o caso geral segue imediatamente através deste. Comecemos observando que g� (x) = −2axg(x) e, pelos Teoremas 3.2.3 e
3.2.4 obtemos:
ξ
�
� ) = i (g
� )(ξ) = −
g�(ξ).
(�
g)� (ξ) = −i (xg)(ξ
2a
2a
�
Observando ainda que g�(0) =
de Cauchy
nos garante que
� ∞
2
−∞
e−ax dx = (πa −1 )1/2 , a unicidade da solução do Problema
ξ
y� (ξ) +
=0
2a
y(0) = (πa −1 )1/2 ,
2
g�(ξ) = e −ξ /4a (πa −1 )1/2 ,
como queríamos demonstrar.
Agora podemos demonstrar que a transformada é invertível no espaço de Schwartz e tal
inversa possui propriedades semelhantes às suas.
Teorema 3.2.5 Sejam f , g ∈ S (Rn ). Então f� ∈ S (Rn ), vale a fórmula da inversão
�
1
f (x) =
(2π) n
Rn
f�(ξ)e ix·x dξ,
∀x ∈ R n ,
(3.5)
e
�
Rn
f�g =
�
Rn
f g�.
(3.6)
Demonstração: Sejam f , g ∈ S (Rn ). O Teorema 3.2.3 nos diz que f� ∈ C∞ (Rn ) e juntamente
com o Teorema 3.2.4 e fato de que
| f�(ξ)| ≤
�
Rn
| f (x)|dx = � f �L1 =⇒ � f��L∞ ≤ � f �L1 ,
25
para cada α
, β∈ N
n,
0
�
�
| ξ α (x
β f )(ξ)| = |(−i) |β| (−i2 )|α
β f )(ξ)|
|ξ α ∂ β f�(ξ)| = |ξ α (−i)|β| (x
�
β f )(ξ)| = |(∂ α (xβ f ))∧ (ξ)|
= |(−i)|α+β| (−i)|α| ξ α (x
≤ �∂ α (xβ f )�L1 .
Logo, |� f��|(α,β)
< ∞, provando que f� ∈ S (Rn ).
Se f , g ∈ S (Rn ) então a função f (x)g(y)e−iλx·y é integrável em R2n para todo λ∈ R, pois
�
�
Rn Rn
−iλx·y
f (x)g(y)e
�
dydx =
Rn
f (x)�
g(λx)dx < ∞
uma vez que f ∈ L1 (Rn ) e g� ∈ L1 (Rn ) e é limitada.
Pelo Teorema de Fubini:
�
Rn
f (x)�
g(λx)dx =
=
=
�
Rn
�
f (x)g(y)e−iλx·y dydx
Rn
�
�
Rn
g(y) f�(λy)dy,
Rn
�
Rn
g(y) f (x)e−iλy·x dxdy
de onde segue (3.6). Vale observar que f e g são uniformemente contínuas, logo podemos
escrever:
�
�
f (0)
g�(x)dx = lim
f (x/λ) g�(x)dx
Rn
λ→∞
= lim
λ→∞
= g(0)
Rn
�
Rn
�
Rn
g(y/λ) f�(y)dy
f�(y)dy.
26
2
Tomando g(x) = e−|x| /2 na igualdade anterior, o Lema 3.2.1 nos dá que
�
Rn
f�(y)dy = g(0)
= f (0)
�
f�(y)dy
Rn
�
Rn
g�(x)dx
= f (0)(2π) n/2
�
2
e−|x| /2 dx
Rn
�
e−π(|x|/
Rn
f�(y)dy.
= f (0)(2π) n/2
Rn
√
2π) 2
dx
= (2π) n f (0),
logo
−n
f (0) = (2π)
�
Portanto, pelo item 1 da Proposição 3.1.1, obtemos
f (x) = fx (0) = (2π) −n
�
= (2π) −n
�
Rn
�
fx (y)dy
f�(y)eix·y dy.
Rn
Considerando o operador
∨ : S (Rn ) −→ S (Rn )
f
�−→ ∨( f ) = fˇ,
definido por
1
(2π) n
fˇ(x) =
obtemos que
f (x) =
1
(2π) n
�
Rn
�
Rn
f�(ξ)e ix·ξ dξ,
f�(ξ)e ix·ξ dξ= ( f�)∨ (x),
∀x ∈ Rn .
Por outro lado, se tomarmos g(x) = f (−x) = f (Rx) o item iv) da Proposição 3.1.1 nos diz que
g�(ξ) = f�(Rξ) = f�(−x) e assim podemos concluir que
( fˇ)∧ (x) =
�
Rn
fˇ(ξ)e −ix·ξ dξ
−n
�
= (2π) −n
�
= (2π)
Rn
Rn
f�(−ξ)e i(−x)·(ξ) dξ
g�(ξ)e i(−x)·ξ dξ
= g(−x) = f (x),
27
e por fim provamos que a transformada de Fourier restrita ao espaço de Schwartz possui uma
inversa.
�
Teorema 3.2.6 (Teorema de Plancherel) Se f ∈ S (Rn ) então
� f �L2 = � f��L2 .
Demonstração: Tomando g� = f na equação (3.6) obtemos
� f �2L2 =
�
Rn
2
| f (x)| dx =
�
Rn
f (x) f (x)dx =
�
Rn
f�(y) ˇf (y)dy =
�
Rn
f�(y) f�(y)dy = � f��2L2 .
Fica então provado que a transformada de Fourier restrita a S (Rn ) é uma isometria .
�
Pelo Teorema de Plancherel e pelo Teorema 3.2.5 podemos afirmar que a restrição da Transformada de Fourier F : (S (Rn ), � · �L2 ) −→ (S (Rn ), � · �L2 ) ao espaço de Schwartz é um
isomorfismo de espaços vetoriais normados; portanto tanto a transformada quanto sua inversa
podem ser extendidas como operadores lineares contínuos de S (Rn ) = L2 (Rn ) em L2 (Rn ),
permitindo, assim, definir a transformada de Fourier e sua inversa em L2 (Rn ) por:
fk
f� = lim �
k→∞
fˇ = lim fˇk ,
k→∞
onde { fk } é uma sequência qualquer em Schwartz convergindo a f em L2 (Rn ).
3.3 Transformada de Fourier no Espaço da Distribuições Temperadas
Aliada à teoria das distribuições, a transformada de Fourier possui grande importância na
teoria de equações diferenciais. Aqui, estenderemos as interessantes propriedades do espaço de
Schwartz ao seu dual topológico, denominado espaços das distribuições temperadas S � (Rn ).
Para maiores detalhes sobre os espaços referidos nesta seção, consutar [13].
Definição 3.3.1 (Distribuições Temperadas) Dizemos que ψ: S (R n ) → C é uma distribuição temperada, se
a) ψé linear;
b) ψé contínua; i.e., para qualquer {φ j } ∈ S (Rn ) com φ j → 0 quando j → ∞ a sequência
numérica ψ
(φ j ) → 0 quando j → ∞.
Assim, definimos naturalmente neste espaço:
Definição 3.3.2 Dada ψ∈ S
� (Rn ) sua transformada de Fourier ψ
�∈ S
ψ
(�φ) = ψ
(
�
φ),
para qualquer
φ∈ S (R
n
),
� (Rn ) é definida por
(3.7)
28
assim como sua transformada inversa é dada por
ψ̌
(φ) = ψ
(
φ̌),
φ∈ S (R
para qualquer
n
).
(3.8)
Podemos ainda definir a derivada de um distribuição temperada:
Definição 3.3.3 Sejam α∈ N n0 e f ∈ S � (Rn ). A derivada ∂ α f de f é o funcional
∂ α : S (Rn ) → C
ϕ → (−1) |α| f (∂ α ϕ
).
� (Rn ). Defina
Proposição 3.3.1 Sejam ϕ∈ S (R n ) e ψ∈ S
ψ∗ ϕ
(x) = ψ
(ϕ
(x−· )).
Então
ψ∗ ϕ∈ C
� ϕ�∈ S
onde ψ
∞
(Rn ) ∩ S � (Rn ),
�
ψ
∗ ϕ=
� (Rn ) é definida como ψ
�ϕ
(�φ) =
∂ α (ψ∗ ϕ
) = (∂
α
(3.9)
� ϕ�
ψ
(3.10)
ψ
(� ϕ
φ�) para qualquer φ∈ S (R
ψ
) ∗ ϕ= ψ∗ (∂
α
ϕ
),
∀α∈ N
n
0.
n ), e
(3.11)
Demonstração: De 3.9 e 3.10 ver em [14] e de 3.11 ver em [13].
�
Valem também para as Distribuições Temperadas os seguintes teoremas:
Teorema 3.3.1 Seja f ∈ S � (Rn ). Denotando xα f o produto da função φ(x) = x α com a distribuição temperada f , então
i) (∂ α f )∧ = i|α| ξ α f�;
ii) ∂ α f� = i|α| (xα f )∧ .
Demonstração: Ver em [13].
�
3.4 Espaços de Sobolev
Aqui faremos um pequeno resumo com as principais propriedades dos espaços de Sobolev
a serem utilizados, que no darão a base necessária para justificar os cálculos que nos induzirão
ao resultado desejado.
Definição 3.4.1 Seja s ∈ R. Definimos o espaço de Sobolev de ordem s, denotado por H s (Rn ),
como
29
s
�
n
n
H (R ) = { f ∈ S (R ) : � f �H s =
��
2 s �
2
(1 + |ξ| ) | f (ξ)| dξ
�1
2
< +∞}.
Teorema 3.4.1 Para cada s ∈ R o espaço de Sobolev H s (Rn ) é um espaço de Hilbert quando
munido do produto interno
< ·, · >H s : H s (Rn ) × H s (Rn ) −→ R
( f , g)
�−→< f , g > :=
Hs
�
Rn
(1 + |ξ| 2 )s f�(ξ) g�(ξ)dξ
Definição 3.4.2 Sejam X e Y espaços vetoriais normados. Diremos que X está imerso continuamente em Y ou que a imersão de X em Y é contínua, quando X ⊂ Y e existe uma constante
C > 0 tal que:
�v�Y ≤ C�v�X , ∀v ∈ X.
Teorema 3.4.2 Sejam s, k ∈ R, com k > 0 e f ∈ H s (Rn ). Então ∂ α f ∈ H s−k (Rn ) para todo
natural α≤ k.
Demonstração: Seja α∈ N 0 tal que α≤ k e, portanto, α− k < 0. Então, pelo Teorema 3.3.1
segue que
�
Rn
|∂ f (ξ)| dξ=
�
≤
�
≤
�
2 s−k �
α
(1 + |ξ| )
Portanto ∂ α f ∈ H s−k (Rn ).
2
Rn
Rn
Rn
(1 + |ξ| 2 )s−k |ξ| 2α | f�(ξ)| 2 dξ
(1 + |ξ| 2 )s−k+α | f�(ξ)| 2 dξ
(1 + |ξ| 2 )s | f�(ξ)| 2 dξ.
�
Lema 3.4.1 Sejam a, b ∈ [0, ∞) e s ≥ 0. Então existem constantes positivas ms e Ms , dependendo apenas de s, tais que
ms (as + bs ) ≤ (a + b)s ≤ Ms (as + bs ).
Demonstração: Ver lema 1.1 de [15].
(3.12)
�
Teorema 3.4.3 (Teorema de imersão de Sobolev) Suponha que s > k + 2n .
(a) Se f ∈ H s (Rn ), então (∂ α f )∧ ∈ L1 (Rn ) e � (∂ α f )∧ �L1 ≤ C� f �H s para |α
| ≤ k, onde C
depende apenas de s − k .
30
(b) H s (Rn ) está imerso continuamente em
�
k,∞
n
C (R ) = f ∈ Ck (Rn ); lim f (α) (x) = 0,
|x|→∞
∀α∈ {0, 1, · · · , k}
�
Demonstração:
(a)
� �
� �
�
�
��
�
� α� �
α
f
(ξ
∂
f
(ξ
)
=
ξ
)
dξ
�
�
� dξ
�
�
�
�
�
�
≤ |ξ α | � f�(ξ) � dξ
� �
�
�αn /2 ��
�α /2 �
�
�
|ξ1 |2 1 · · · |ξn |2
=
)
f
(ξ
� dξ
�
� �
�
�αn /2 ��
�α /2 �
�
�
≤
1 + |ξ1 |2 1 · · · 1 + |ξn |2
)
f
(ξ
�
� dξ
� �
�
�
�α /2 �
�αn /2 �
�
≤
1 + |ξ| 2 1 · · · 1 + |ξ| 2
� f�(ξ) � dξ
� �
�
�|α|/2 ��
�
�
1 + |ξ| 2
=
)
f
(ξ
�
� dξ
� �
�
�
�k/2 �
�
1 + |ξ| 2
≤
� f�(ξ) � dξ,
| ≤ k.
onde a última desigualdade deve-se a |α
Então, rearrumando a integral e aplicando a desigualdade de Schwartz:
� �
� �
�
�
� �
�
�
��
2 k/2 � �
α
1 + |ξ|
� f (ξ) � dξ
�∂ f (ξ) � dξ ≤
� �
�
�
�
� �
�
2 (k−s)/2
2 s/2 � �
1 + |ξ|
≤
1 + |ξ|
� f (ξ) � dξ
�1/2 ��
��
�2 �1/2
� �
�
�
�
�
2 s��
2 k−s
1 + |ξ|
≤
dξ
1 + |ξ|
� f (ξ) � dξ
��
�1/2
�
�
2 k−s
1 + |ξ|
=
dξ
� f �H s .
��
�1/2
dξ
< ∞. Para isso mostraremos, utilis−k
(1 + |ξ| 2 )
zando o Corolário 2.1.2 e propriedades da função em B, que as integrais
Por fim, resta provar que C =
�
dξ
2 s−k
B (1 + |ξ|
)
e
�
dξ
s−k
Bc (1 + |ξ| 2 )
,
onde B = {x ∈ Rn : |x| < 1}, são finitas e, portanto, podemos escrever
�
Considere g(ξ) =
teremos
dξ
=
s−k
(1 + |ξ| 2 )
1
(1 + |ξ| 2 )
s−k
�
dξ
B (1 + |ξ| 2 )
+
s−k
�
dξ
s−k
Bc (1 + |ξ| 2 )
< ∞.
, que é claramente não negativa. Como s − k > n/2 > 0,
|g(ξ)| =
1
1
≤
.
(1 + |ξ| 2 )s−k
|ξ| 2(s−k)
31
(i) A desigualdade acima vale para todo ξ∈ R n \0, em particular para ξ∈ B c . Assim,
para todo ξ∈ B c temos que |g(ξ)| ≤ |ξ| −2(s−k) , com 2(s − k) > n, por hipótese.
Pelo Corolário 2.1.2 , g ∈ L(Bc ).
(ii) Temos que g é uma função contínua e limitada em B , portanto
�
dξ
≤
s−k
B (1 + |ξ| 2 )
De onde podemos concluir que C =
��
�
Mdξ= Mµ(B) < ∞.
B
dξ
(1 + |ξ| 2 )
apenas de s − k, seguindo, assim, o item (a).
s−k
�1/2
é uma constante que depende
(b) Iniciaremos fazendo a seguinte observação: se f , f� ∈ L1 (Rn ) então � f��∞ ≤ � f �L1 e
f = ( f�)∨ x-q.t.p. Agora, dividiremos nossa demonstração em dois casos:
Caso 1: k = 0
Teremos � f �∞ = �( f�)∨ �∞ ≤ � f��L1 e pelo item anterior, usando α= 0:
� f �∞ ≤ � f��L1 ≤ C� f �H s
Caso 2: k ≥ 1
α f � 1 ≤ C� f � s , logo
Pelo item anterior temos que �∂�
H
L
α f )∨ � ≤ �∂�
α f � 1 ≤ C� f � s .
�∂ α f �∞ = �(∂�
H
∞
L
Como � f �Ck,∞ = ∑ �∂ α f �∞ , concluímos que
|α
|≤k
� f �Ck;∞ ≤ (k + 1)C� f �H s .
O Teorema 3.4.2 nos diz que f (α) ∈ H s−k (Rn ), ∀α∈ {0, 1, · · · , k}. Como s − k > n/2
então f (α) ∈ C0,∞ (Rn ), de onde segue que f ∈ Ck,∞ (Rn ) e a inclusão desejada.
�
32
4
O Problema de Carleson para n=1
Neste capítulo daremos uma estimativa para a função maximal S∗ (x) = sup |u(x,t)| associt>0
ada à solução u(x,t) da equação linear de Schrödinger com dado inicial em Espaços de Sobolev
de índice s > 1/2 dada por L. Vega em [1]. A partir desta estimativa é possível dar uma prova alternativa ao problema proposto por Carleson em [7] para índices maiores que 1/2; aqui daremos
nossa versão para esta prova.
4.1 Equação Linear de Schrödinger em Espaços de Sobolev
Nesta seção estudaremos a solução para o sistema linear
∂u
∂ 2u
i (x,t) =
(x,t), (x,t) ∈ (R, R+ ),
∂t
∂x 2
u(x, 0)
= f (x),
x ∈ R,
(4.1)
onde f ∈ H s (R) com s > 1/2. Mostraremos que o sistema (4.1) tem uma única solução que
depende continuamente dos dados iniciais.
Vamos começar esclarecendo o significado da derivada temporal em (4.1): vimos em 3.4.2 que
∀ f ∈ H s (R) ⇒ −i
∂2 f
∈ H s−2 (R).
∂x 2
∂u
Então, se u ∈ H s (R) é solução de (4.1), deve-se ter
∈ H s−2 (R); portanto, é natural requerer
∂t
que a derivada temporal exista nesta topologia, isto é,
�
��
�
2u
�
� u(t + h) − u(t)
∂
�
(4.2)
(t)
−
−i
lim �
� s−2 = 0.
h→0 �
h
∂x 2
H
Teorema 4.1.1 O problema (4.1) tem, no máximo, uma solução.
Demonstração: Ver em [15].
�
33
4.1.1
Encontrando a solução do sistema
Vamos considerar o sistema (4.1) com dado inicial no espaço de Sobolev. Tomando a
transformada de Fourier com respeito a x em cada igualdade do sistema:
�
�
u(ξ,t) = �u(ξ
,t),
i∂t�
�
u(ξ
, 0) = f�
(ξ)
obtemos um novo sistema
cuja solução é dada por
�
�
∂t u(ξ
,t) = i|ξ| 2 u�(ξ,t),
u�(ξ, 0) = f�(ξ),
2
u�(ξ,t) = e i|ξ| t f�(ξ).
Aplicando a transformada inversa nos dois lados da equação, teremos
2
u(x,t) = (ei|ξ| t f�(ξ)) ∨ .
(4.3)
Pela Proposição 3.3.1 a Equação (4.3), t > 0, resulta em:
2
u(x,t) = (ei|ξ| t )∨ ∗ f (x)
e escrevemos
u(x,t) = St f (x).
(4.4)
∞
Agora descreveremos algumas propriedades da família de operadores {St }t=−∞
definida em
s
(4.4), considerando f ∈ H (R) . O caso geral em dimensão n é uma aplicação direta do caso
em dimensão 1.
2
Proposição 4.1.1 Seja St f (x) = (ei|ξ| t f�(ξ)) ∨ . Então:
i) Para todo t ∈ R, St : H s (R) → H s (R) é uma isometria, ou seja,
�St f �H s = � f �H s .
ii) St ◦ St = St+t .
iii) S0 = 1 e (St )−1 = S−t .
iv) Fixando f ∈ H s , a função φ f : R → H s (R) definida por φ f (t) = St f (x) é uma função
contínua.
34
Demonstração: Para o item i) começamos calculando a norma de St f em H s :
�St f �H s =
=
�
Rn
�s
�
2
1 + |ξ| 2 |eit|ξ| f�(ξ)| 2 dξ
� �
�s
1 + |ξ| 2 | f�(ξ)| 2 dξ
R
= � f �H s
Da igualdade acima, podemos concluir que St f está em H s (R) sempre que f está, logo a função
está bem definida, e suas normas coincidem.
Para o item ii) calculamos primeiramente St+t f .
2
St+t f (x) = {ei(t+t)|ξ| f�}∨
2
2
= {eit|ξ| (eit|ξ| f�)∨∧ }∨
2
= {eit|ξ| (eitΔ f )∧ }∨ .
Portanto,
St+t f (x) = St ◦ (St f ).
(4.5)
Temos que
2
S0 f (x) = {ei0|·| f�}∨ (x) = ( f�)∨ (x) = f (x).
Desta igualdade junto com a equação (4.5) concluímos que
(St )−1 = ei(−t)Δ ,
e fica demonstrado o item iii). Por fim, para o item iv), mostraremos a continuidade, mas
primeiro façamos uma observação:
2
2
(1 + |ξ| 2 )s |(eitξ − eiτξ ) f�|2 ≤ 2(1 + |ξ| 2 )s | f�|2 ,
logo, para cada τo termo da esquerda é dominado por uma função integrável. Como
2
2
lim (1 + |ξ| 2 )s |(eitξ − eiτξ ) f�|2 = 0,
t−τ→0
pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue
lim �φ f (t) − φ f (τ)�
t→τ
Hs
= lim
t→τ −∞
=
de onde concluímos a continuidade.
� ∞
� ∞
2
2
2
2
(1 + |ξ| 2 )s |(eitξ − eiτξ ) f�|2 dξ
lim(1 + |ξ| 2 )s |(eitξ − eiτξ ) f�|2 dξ= 0
−∞ t→τ
�
35
4.2 Estimativa da função maximal
Estamos interessados em demonstrar a seguinte estimativa forte
��
dx
|S f (x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c� f �H s
para o operador maximal S∗ f (x) associado à solução da equação linear de Schrödinger com
dados iniciais em espaços de Sobolev com índice s > 1/2 e a > 1.
Nesta seção iremos demonstrar alguns resultados parciais que combinados resultam na
estimativa acima, que é nosso objetivo principal no trabalho. Gostaria de chamar atenção ao
fato de que chamaremos sempre por c qualquer constante que se apresente em nossas contas.
Teorema 4.2.1 Se 0 ≤ βe a > 1, então
1/2
�
�2
�
dx
�
�
≤ c� f �H 2β−1/2+a/2 .
� β u(x,t)� dt
�
(1 + |x|)a
t
−∞ −∞ � ∂
� ∞� ∞� β
∂
(4.6)
�2
�
�
1
�
�
e usando a desiDemonstração: Chamando g(x) =
� β u(x,t)� dt e h(x) =
�
(1 + |x|)a
t
−∞ � ∂
gualdade de Holder, temos que �gh�L1 ≤ �g�L∞ �h�L1 ; ou seja,
� ∞� β
∂
�
�
�2
�2 �
�
�� ∞ �� β
�
�
� �
�
�
�
1
dx
�∂
�
�
� �
�
�
�
�
≤�
� β u(x,t)� dt � �
� β u(x,t)� dt
a�
a
�
�
�
�
(1
+
|x|)
(1
+
|x|)
∂
t
∂
t
−∞ −∞
� −∞
� ∞
L1
� ∞� ∞� β
∂
L
=
�
Basta provarmos que
�
�2 �
� �� ∞ �� β
� �
�
2
∂
� �
�
�
u(x,t)
.
� dt �
�
β
� �
�
a−1 �
∂
t
−∞
�
� ∞
L
1/2
�
�2 �
�
�� ∞ �� β
�
�
�∂
� �
≤ c� f � 2β−1/2+a/2
�
u(x,t)
� dt �
�
H
� −∞ � ∂t β
� �
�
�
L∞
para completarmos a demonstração do teorema.
Vimos em (4.3) que
u(x,t) =
�
R
2
f�(ξ)e i|ξ| t eix·ξ dξ.
Fazemos a seguinte mudança de variável:
(4.7)
36
ξ=
�
−τ 1/2 , se ξ≤ 0
τ 1/2 , se ξ≥ 0
onde 0 ≤ τ< ∞.
Então
�
2
1
u(x,t) =
f�(ξ)e i|ξ| t eix·ξ dξ =
2
R
1
−
2
0
� 0
∞
1
=
2
1
+
2
� ∞
1/2
τ −1/2 f (τ 1/2 )eiτt eix(−τ
� ∞
0
� ∞
0
τ −1/2 f (τ 1/2 )eiτt eixτ
τ −1/2 f (τ 1/2 )eiτt eixτ
dτ
1/2 )
1/2
dτ
dτ
τ −1/2 f (−τ 1/2 )eiτt eix(−τ
1/2 )
dτ.
Considere as funções
1
1/2
τ −1/2 f (τ 1/2 )eix(−τ ) , se τ≥ 0,
2
U(x, τ) =
0,
se τ< 0,
e
1
1/2
τ −1/2 f (−τ 1/2 )eix(−τ ) , se τ≥ 0,
2
V (x, τ) =
0,
se τ< 0.
Observe que ao tomar a transformada de Fourier inversa com relação a variável t da soma U +V ,
obtemos exatamente a função u(x,t) e, portanto:
u�(x, τ) = U(x, τ) +V (x, τ).
Aplicando a igualdade de Plancherel e a desigualdade (3.12), obtemos:
(4.8)
37
�2
��
�
�∧t �2
� ∞�
�
�
β
�
�
� ∂
�
u(x, ·)
� dτ
�
� β u(x,t)� dt =
β
�
�
t
t
−∞ � ∂
−∞ � ∂
� ∞� β
∂
=
� ∞
−∞
≤c
τ 2β |�
u(x, τ) |2 dτ
� ∞
≤C
τ
2β
2
|U(x, τ) | dτ+ c
0
τ 2β |V (x, τ) |2 dτ
0
0
� ∞
� ∞
τ 2β−1 | f (τ 1/2 )|2 dτ+C
� ∞
0
τ 2β−1 | f (−τ 1/2 )|2 dτ
Por fim, fazemos a mudança de volta para ξ:
�
�2
� ∞
�
�
�
(|ξ| 2 )2β−1 | f (ξ)| 2 (2ξ)dξ
� β u(x,t)� dt ≤ C
�
t
−∞ � ∂
0
� ∞� β
∂
+C
� −∞
0
� ∞
(|ξ| 2 )2β−1 | f (ξ)| 2 (|ξ| 2 )1/2 dξ
� 0
(|ξ| 2 )2β−1 | f (ξ)| 2 (|ξ| 2 )1/2 dξ
≤C
+C
(|ξ| 2 )2β−1 | f (ξ)| 2 (−2ξ)dξ
≤C
0
−∞
� ∞
−∞
(1 + |ξ| 2 )2β−1/2 | f (ξ)| 2 dξ
= C� f �2H 2β−1/2
Portanto,
�
1/2
�2 �
�2 1/2
�
�� ∞ �� β
�
� ∞� β
�
�
�
�
�∂
� �
�
�∂
�
sup
dt
u(x,t)
u(x,t)
≤
�
�
� dt
�
� −∞ � ∂t β
�
β
� �
�
t
x∈R −∞ � ∂
�
∞
L
≤ C� f �H 2β−1/2 ,
de onde segue o resultado.
�
Chegamos, por fim, no nosso objetivo principal; a partir dos resultados apresentados anteriormente podemos concluir a seguinte estimativa:
Teorema 4.2.2 Seja f ∈ H s (R) com s > a/2 e a > 1. Então
��
dx
|S f (x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c� f �H s
38
Demonstração: Seja 12 < ρ< s. Pelo Teorema de Imersão 3.4.3, tomando k = 0 e n = 1,
teremos:
|S∗ f (x)| = sup |u(x,t)| ≤ �u(x, ·)�∞ ≤ c�u(x, ·)�H ρ .
t
t≥0
Por definição, �u(x, ·)�H ρ =
t
�u(x, ·)�2H ρ
t
�� ∞
2 ρ
−∞
=
u(τ)| dτ
(1 + |τ| ) |�
� ∞�
−∞
≤c
2
1 + τ2
� ∞�
−∞
�ρ
�1
2
. Usando o Lema 3.4.1:
|�
u(x, τ)| 2 dτ
�
u(x, τ)| 2 dτ
|�
u(x, τ)| 2 + |τ| 2ρ |�
�
�
ρ
∧t 2
2
= c ��
u(x, τ)� L2 + �(Dt u(x, ·)) �L2
t
t
�
�
ρ
2
2
= c �u(x,t)�L2 + �Dt u(x,t)�L2 ,
t
t
onde a última igualdade decorre do teorema de Plancherel. Assim, pelo Teorema 4.2.1:
�
� �� ∞
�
dx
dx
2
2
∗
|S f (x)|
|u(x,t)| dτ
≤c
a
(1 + |x|)
(1 + |x|)a
R
R
−∞
+c
� �� ∞
R
−∞
ρ
|Dt u(x,t)|2 dτ
�
�
≤ c � f �2H −1 + � f �2H 2ρ−1
�
dx
(1 + |x|)a
Por hipótese s > a/2, portanto s > −1 e
� f �2H −1 ≤ � f �2H s .
Resta-nos apenas tomar ρde forma que 2ρ− 1 < s e terminamos nossa demonstração. Lembres − 1/2
mos que tomamos ρ> 1/2; ao escrevermos ρ= 1/2 + ε, queremos que ε<
. Tomando
2
s − 1/2
, teremos ε> 0 e por fim 2ρ− 1 < s de onde segue que
ε=
4
� f �2H 2ρ−1 ≤ � f �2H s ,
e podemos concluir nossa estimativa.
�
39
4.3 O problema de Carleson, s > 1/2
Da Proposição 4.1.1, temos que
lim �u(·,t) − f (·)�H s = 0.
t→0
Desta convergência forte em H s (R) podemos concluir que existe uma subsequência u(x,tn ) tal
que
lim u(x,tn ) = f (x) x-q.t.p..
tn →0
De fato, como s > 1/2 > 0, temos que
�u(·,t) − f �L2 ≤ �u(·,t) − f �H s = 0.
Portanto, como é bem conhecido da teoria da medida, existe uma subsequência u(x,tn ) convergindo q.t.p. à f . O problema proposto por Carleson diz que a sequência em si converge q.t.p. à
f quando s > 1/4. Sua demonstração é bastante sofisticada, sendo necessária uma base teórica
matemática mais ampla do que a nossa proposta; sendo assim, daremos uma prova para s > 1/2
usando a estimativa (4.2), a qual simplifica este problema.
Iniciamos observando que podemos conduzir o teorema anterior a fim de obter a seguinte
equivalência:
Teorema 4.3.1 Seja g ∈ L2 (R) e a > 1. Então
onde Tt g(x) =
� ∞
��
eixξ eitξ
−∞
2
dx
|T g(x)|
(1 + |x|)a
∗
2
�1/2
≤ c�g�L2
(4.9)
g�(ξ)
dξ.
(1 + ξ 2 )s/2
Antes de começarmos a demonstrar o teorema provaremos o seguinte resultado:
Afirmação: O operador
Λ: L 2 (R) −→ H s (R)
g �−→
Λ
(g) :=
�
g�(·)
(1 + (·)2 )s/2
�∨x
(4.10)
tem por inversa
Λ −1 : H s (R) −→ L2 (R)
f �−→
e é uma isometria.
�
Λ −1 ( f ) := f�(1 + (·)2 )s/2
�∨x
(4.11)
40
Demonstração: Pelo teorema de Plancherel, ambas as aplicações estão bem definidas; assim,
basta fazer a composta e verificar, sem dificuldades, que uma é a inversa da outra. E mais,
�
�
�
�
g�(ξ)
2 s/2 �
�
(g) �H s ,
g�L2 = �
�g�L2 = ��
(1 + (ξ) ) � = �Λ
s/2
2
(1 + (ξ) )
2
L
e portanto, é uma isometria.
�
Agora, vamos à demonstração do Teorema:
Demonstração: Definida a aplicação acima, podemos escrever
Tt g(x) = St Λ
g(x) ⇒ T
Assim, teremos
�T ∗ g�L2 (R,ν)
∗
g(x) = S∗Λ
g(x).
= �S∗Λ
g(x)� L2 (R,ν)
≤ c�Λ
g(x)� H s
= c�g�L2 (R,λ) ,
como queríamos demonstrar.
�
Para obtermos o resultado de Carleson faremos a seguinte variação do seu problema:
Teorema 4.3.2 Para toda g ∈ L2 (R, λ) tem-se
lim Tt g(x) =
t→0
� ∞
−∞
em quase todo ponto x ∈ R.
eixξ
g�(ξ)
dξ
(1 + ξ 2 )s/2
Demonstração: Podemos usar o Teorema 2.2.1, pois pela definição 2.2.2, se a estimativa
vale, então o operador T ∗ é (2,2)-forte e pela Proposição 2.2.1 segue que é (2,2)-fraco. Pelo
item b) do Teorema 2.2.1 o conjunto
�
�
2
F = f ∈ L ; lim Tt f (x) existe x − q.t.p
t→t0
é fechado em L2 (R, ν), onde ν(E) =
�
dx
.
a
E (1 + |x|)
41
Considerando g no espaço de Schwartz teremos que g� é uma função integrável e portanto
�
�� ∞
� ∞
�
�
2
�
�
)
)
g
(ξ
g
(ξ
ixξ
itξ
ixξ
�
dξ
dξ
e e
−
e
|Tt g(x) − T0 g(x)| = ��
(1 + ξ 2 )s/2
(1 + ξ 2 )s/2 �
−∞
−∞
�� ∞
�
� 2
� g�(ξ)
�
�
ixξ
itξ
�
e
= ��
e −1
dξ
(1 + ξ 2 )s/2 �
−∞
≤
� ∞ ��
−∞
��
�
� itξ 2
� e −1 �
|�
g(ξ)|
dξ
(1 + ξ 2 )s/2
≤ c|�
g(ξ)|
Assim,
lim |Tt g(x) − T0 g(x)| ≤ lim
t→0
Como
� ∞ ��
t→0 −∞
��
� itξ 2
�
� e −1 �
��
� 2
��
�
2
�
�
lim eitξ − 1 = 0 e � eitξ − 1 �
t→0
|�
g(ξ)|
dξ.
(1 + ξ 2 )s/2
|�
g(ξ)|
|�
g(ξ)|
≤2
s/2
2
(1 + ξ )
(1 + ξ 2 )s/2
que observamos acima ser uma função integrável, podemos usar o Teorema da Convergência
Dominada e obter
� ∞ ��
�� |�
� itξ 2
� g(ξ)|
lim |Tt g(x) − T0 g(x)| ≤ lim
dξ
� e −1 �
t→0
t→0 −∞
(1 + ξ 2 )s/2
=
� ∞
�� 2
��
�
�
lim � eitξ − 1 �
−∞ t→0
= 0,
|�
g(ξ)|
dξ
(1 + ξ 2 )s/2
e obter a convergência em quase todo ponto.
Portanto se F =
�
�
f ∈ L2 ; lim Tt f (x) existe x − q.t.p
t→t0
então S ⊂ F ⊂ L2 e assim
L2 = S ⊂ F = F ⊂ L 2 .
Daí podemos concluir, por Schwartz ser denso em L2 , que para toda função em L2
lim |Tt g(x) − T0 g(x)| = 0
t→0
em quase todo ponto.
�
Por fim, obtemos como corolário a prova alternativa ao problema de Carleson.
Corolário 4.3.1 Seja f ∈ H s (R) com s > 1/2. Então
lim St f (x) = f (x)
t→0
x − q.t.p.
42
Demonstração: Se f ∈ H s (R) com s > 1/2. Então podemos concluir que
lim Tt Λ −1 f (x) = T0Λ −1 f (x)
t→0
x − q.t.p,
e portanto
lim St f (x) = lim Tt Λ −1 f (x) = T0 gΛ −1 f (x) = S0 f (x) = f (x)
t→0
t→0
em quase todo ponto de x ∈ R.
�
43
5
Uma breve discussão sobre outros valores do índice s e da dimensão n
5.1 O que acontece quando 1/4 ≤ s ≤ 1/2?
Não sabemos se a estimativa (4.2) vale neste intervalo; mas se fosse provada a validade
desta, poderíamos usar a técnica acima, pois ela não depende do índice s e sim se a estimativa é
válida ou não.
5.2 Em dimensões maiores
O objetivo inicial deste trabalho era demonstrar a estimativa principal (4.2) para dimensões
maiores ou iguais a 1. Perceba que falamos que o resultado de Carleson é o melhor que temos
em espaços de Sobolev na reta; porém será possível demonstrar tal resultado para dimensões
maiores? O trabalho de Vega trouxe uma grande contribuição para esta conjectura; se a estimativa de Vega for verdadeira para n ≥ 1 então obtemos exatamente o mesmo resultado que
provamos na reta; ou seja, para s > 1/2 teríamos a convergência em quase todo ponto da solução
da equação linear de Schrödinger ao dado inicial. A prova é a mesma.
Então, por que não o fizemos? Depois de muitas tentativas em entender a prova no caso
geral, em uma pesquisa a artigos relacionados encontramos um escrito por Si Lei Wang, ver
em [16], no qual o autor dá contra-exemplos para os quais o Teorema 4.2.1 não é verdadeiro,
ficando, assim, comprometida a validade do Teorema 4.2.2 que é crucial na demonstração da
estimativa (4.2).
A seguir, faremos um resumo sobre os melhores resultados para o índice s para os quais o
problema de Carleson é positivo e como se resolveu o problema de Vega. Para tanto, usaremos
a seguinte afirmação:
Afirmação A(s): Denote por Bn a bola unitária em Rn , n ≤ 2, e B a bola unitária na reta. Seja
S∗ f (x) = sup |u f (x,t)|, onde
t∈B
1
u f (x,t) =
(2π) n
�
Rn
ei(xξ+t|ξ|
2)
f�(ξ)dξ
a solução da equação linear de Schrödinger com a qual estamos trabalhando. Então, existe um
número C independente de f tal que
�S∗ f �L2 (Bn ) ≤ C� f �H s (Rn ) .
(5.1)
A afirmação A(s) está relacionada ao problema de convergência pontual introduzido por Carlea
2
son; foi estudada por vários autores e pode ser generalizada ao substituirmos eit|ξ| por eit|ξ| ,
44
a > 0 sob o sinal da integral em (4.4).
• O caso n = 1. Resultados para 0 < a < 1 e a > 1 podem ser achados em [17]. Por
exemplo, no caso a > 1 Sjölin [18] mostrou que s ≤ 1/4 é necessário e suficiente para
A(s) ser verdadeira.
• O caso n = 2. Para o caso a > 1 a referência é Tao, Vargas [19] para resultados recentes.
Esses são do tipo em que A(s) vale para s = 1/2 − ε, onde εé um número positivo
pequeno.
• O caso n ≥ 3. Para a > 1 Sjölin [18] prova, usando suavizações locais, que A(s) é verdadeira para s > 1/2 e n > 2. Independentemente, Vega [1] usando o caso geral da nossa
estimativa obteve o mesmo resultado que Sjölin; após as discussões sobre sua validade
em Si Lei Wang(1991) [16] e B. Walter(1996) [20] é possível validar a estimativa e obter
o resultado de [18].
A relação entre suavização local e estimativas maximais pode ser encontrada em [18] e [21].O
estudo sobre a estimativa A(s) é alvo de nossos trabalhos futuros, uma vez que para fazê-lo é
preciso o uso de uma matemática mais avançada.
45
Referências Bibliográficas
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46
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