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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado

Propriedades ergódicas do modelo geométrico do
atrator de Lorenz

Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena

Maceió, Brasil
Março de 2011

Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena
Propriedades ergódicas do modelo geométrico do
atrator de Lorenz

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Sistemas Dinâmicos submetida em
15 de Março de 2011 à Banca Examinadora,
designada pelo Colegiado do Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do grau de
mestre em Matemática.

Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira

Maceió, Brasil

Propriedades ergódicas do modelo geométrico do
atrator de Lorenz
Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Sistemas Dinâmicos submetida em
15 de Março de 2011 à Banca Examinadora,
designada pelo Colegiado do Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do grau de
mestre em Matemática.

Banca Examinadora:
Prof. Dr. Krerley Irraciel Martins Oliveira(orientador)

Prof. Dr. Maria José Pacífico

Prof. Dr. Fernando Pereira Micena

Resumo
Este trabalho tem sua motivação no modelo geométrico construído para aproximar o
comportamento das soluções das equações de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em
[17] e Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico. Essencialmente
ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações,
uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidimensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. A primeira faz uso de um
operador (operador de transferência) agindo no espaço das funções de variação limitada,
enquanto que a segunda utiliza o teorema de representação Riesz bem como algumas outras
propriedades topológicas.

i

Abstract
This work has its motivation in the study of the ergodic properties of the Lorenz geometric model, constructed to approximate the behavior of solutions of the Lorenz equations.
Simultaneously, Afraimovich in [17] and Guckenheimer and Williams [18], constructed a
geometric model that mimics the dynamics of the original Lorenz equations. Here, we
build ergodic physical measures for two types of applications that arise from the Lorenz
geometric model. The first one is a piecewise expanding one-dimensional map and the
second is a two-dimensional application wich contracts the leaves of an invariant foliation.
To construct the ergodic physical measure for the one dimensional Lorenz map, we
make use of an operator (transfer operator) acting in the space of bounded variation functions, while the second uses the Riesz representation theorem and some other topological
properties.

ii

Agradecimentos
Agradeço a Deus por minha vida perfeita.
A meus pais Eudes Lucena e Maria das Neves pelo amor e educação, que me deram a
sensibilidade necessária para encarar a vida da maneira correta. E por todas as inúmeras
oportunidades.
A minha perfeita esposa, namorada e amiga Cibelle Lucena. Linda demais! Ela é tudo
na minha vida. Juntos desde 28/12/1999 (eu aos 15 e ela aos 13 anos). Obrigado Deus!
Ao meu grande amigo/matemático Krerley Oliveira. Pela sólida e sincera orientação e
direção que ele me concedeu durante esses anos de trabalho. Desejo tudo de bom para ele.
Aos meus professores do CPMAT, Prof. Marcos Petrúcio, Prof. Adam Corcho e Prof.
Amauri Barros que apoiaram minha entrada no mestrado. Aos colegas de classe Giovane
Ferreira, Adina Rocha, Marcio Silva, Diogo Albuquerque, Fábio Honorato, Douglas Cedrim
e Adalgisa Mendonça.
Aos meus grandes amigos Aníbal e Pedro, que mesmo longe, sempre me dão muita
força, alegria e muitos risos. Desejo a todos, amigos iguais a eles.
A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) pelo apoio financeiro.
A todos estes eu agradeço por tudo.

iii

1

Introdução
Estudado pela primeira vez no início dos anos 60 por E. Lorenz, o fluxo descrito pelas
equações polinomiais
ẋ = 10y − 10x
ẏ = 28x − y − xz
8
ż = xy − z
3
trouxe um impacto positivo no estudo dos Sistemas Dinâmicos. A motivação original de
Lorenz era estudar os fenômenos naturais relacionados com a previsão climática. Tomando
conhecimento através de Saltzmann de alguns sistemas de equações relacionados com o
clima, Lorenz decidiu utilizar a nova tecnologia computacional, que desabrochava naquela
época, em equações simplificadas descritas acima dos modelos de Saltzmann.
No estudo dessas equações, Lorenz se deparou com um estranho fenômeno, desconhecido
até então, a sensibilidade às condições iniciais. Isso gerou a noção de atrator estranho, que
veio a ser estudada com intensidade nos anos 70 e 80. Apesar de ser um tópico relativamente clássico em Sistemas Dinâmicos e de claro interesse em áreas mais aplicadas, muitas
questões relevantes só foram respondidas recentemente, como a existência de medidas físicas, e várias outras continuam em aberto.
O objetivo do projeto é estudar algumas propriedades ergódicas do modelo geométrico
de Lorenz, como a existência de medidas ergódicas e físicas, para as aplicações que estão
envolvidas no modelo.
Com este intuito o capítulo 1 trata da matemática necessária para a construção teórica
dos resultados principais. Nele são abordados tópicos de EDO, teoria da medida, teoria
ergódica. No capítulo 2 inicia-se a discussão sobre o modelo geométrico de Lorenz. A
construção do modelo, aplicação de Poincaré do fluxo e propriedades das funções coordenadas são os tópicos abordados neste capítulo. Veremos que a aplicação de Poincaré,
1 1
1 1
P : [− , ] × [− , ] \ Γ −→ R, do modelo geométrico pode ser escrita como
2 2
2 2
P (x, y) = (f (x), g(x, y)),
isto é, uma das funções coordenadas é unidimensional. Esta propriedade é bastante útil
para o estudo do modelo, e dela, surgem várias outras propriedades a respeito do modelo
geométrico. O capítulo 3 trata da existência de medidas ergódicas e físicas para transfor-

0.1. PRELIMINARES

2

mações expansoras por pedaços, provada pela primeira vez por Lasota e Yorke em [21].
Veremos que o número destas medidas que são absolutamente contínuas com relação a
medida de Lebesgue é limitado pelo número de singularidades da aplicação. No nosso
caso, uma vez que a aplicação envolvida com o modelo geométrico possui uma única singularidade, teremos unicidade. A existência é provada usando-se o chamado Operador de
Transferência (ou de Perron-Frobenius). Finalizamos o trabalho com o capítulo 4. Nele
construímos uma medida ergódica e física para a aplicação de Poincaré do modelo. Esta
construção se baseia na existência da medida ergódica e absolutamente contínua para a
aplicação unidimensional f , do modelo geométrico e no teorema de representação de Riesz.

0.1

Preliminares

0.1.1

Equações Diferenciais Ordinárias

Nesta seção, f denotará um campo de vetores f : E −→ Rm de classe C 1 definido no
aberto E ⊂ Rm e φ : [a, b] × E −→ E denotará o fluxo determinado por f , onde [a, b] é o
intervalo maximal da solução de x0 = f (x).
Definição 0.1.1. A variedade estável W s (x) do ponto x ∈ E é o conjunto dos y ∈ E tais
que lim φt (y) = x analogamente, a variedade instável W u (x) do ponto x ∈ E é o conjunto
t→∞
dos y ∈ E tais que lim φt (y) = x.
t→−∞

Definição 0.1.2. Dados dois campos de vetores f1 : E1 −→ Rn e f2 : E2 −→ Rm
e seus fluxos φ1t e φ2t , dizemos que os campos f1 e f2 , ou que os fluxos φ1t e φ2t , são
diferenciavelmente conjugados se existe um difeomorfismo g : E1 −→ E2 , chamado de
conjugação diferencial, tal que para todo t ∈ R,
φ2t ◦ g = g ◦ φ1t
Definição 0.1.3. Dados dois campos de vetores f1 : E1 −→ Rn e f2 : E2 −→ Rm e seus
fluxos φ1t e φ2t , dizemos que os campos f1 e f2 , ou que os fluxos φ1t e φ2t , são topologicamente
conjugados se existe um homeomorfismo g : E1 −→ E2 , chamado de conjugação topológica,
tal que para todo t ∈ R,
φ2t ◦ g = g ◦ φ1t
Definição 0.1.4. Uma singularidade x0 de f é hiperbólica se todos os autovalores generalizados da parte linear, Df (x0 ), do campo f em x0 , têm parte real não nula.

0.1. PRELIMINARES

3

Definição 0.1.5. Dizemos que um conjunto S ⊂ Rm é uma superfície imersa de classe
C 1 e dimensão k se existe uma aplicação injetora g : Rk −→ Rm de classe C 1 tal que
g(Rk ) = S e a aplicação linear Dg : Rk −→ Rm é injetora para cada x ∈ Rk .
Exemplo 0.1.1. Cada órbita não compacta de f , pela unicidade e diferenciabilidade
(campo de classe C 1 ), é uma superfície imersa de classe C 2 e dimensão 1, pois a trajetória
x : R −→ Rn é injetora, de classe C 2 e x0 (t) = f (x(t)) 6= 0. De fato, x0 (t) = f (x(t)), como
f e x(t) são C 1 , pela regra da cadeia temos que x0 é de classe C 1 e x(t) de classe C 2 .
Teorema 0.1.1 (da Variedade Estável). Seja x0 ∈ E uma singularidade hiperbólica do
campo de vetores f : E −→ Rm . A variedade estável W s (x0 ) é uma superfície imersa
de classe C 1 e o espaço tangente a W s (x0 ) é o subespaço vetorial de Rm gerado pelos
autovetores generalizados associados aos autovalores de Df (x0 ) com parte real negativa.
Demonstração. Ver [15] página 296.
Observação 0.1.1. O resultado dual vale para variedade instável.
Teorema 0.1.2 (Hartman - Grobman). Seja x0 ∈ E uma singularidade do campo de
vetores f : E −→ Rm de classe C 1 definido no aberto E ⊂ Rm . Se x0 é uma singularidade hiperbólica, então f em x0 é localmente topologicamente conjugado ao campo linear
Df (x0 ) : Rm −→ Rm .
Demonstração. Ver [15] página 291.

0.1.2

Resultados de Teoria da Medida

Neste capítulo, a tripla (X, X, µ) denotará um espaço de medida, onde X é um conjunto
qualquer, X a σ-álgebra associada e µ uma medida. O símbolo M + (X, X) será usado para
denotar o espaço das funções X-mensuráveis não negativas definidas em X e tomando seus
valores em R = R ∪ {−∞, +∞}. Além disso, dado um aberto U ⊂ Rn o símbolo BU
será usado para denotar a classe dos borelianos de U , em particular BRn será usado para
denotar a classe dos borelianos de Rn . Da mesma maneira os símbolos LebU e LebRn (ver
[3] pag. 239 para esta definição), serão usado para denotar a classe dos conjuntos Lebesgue
mensuráveis de U e de Rn respectivamente.
Agora apresentaremos algumas propriedades técnicas sobre conjuntos que serão usadas
algumas vezes nesta seção.
Sejam X uma σ-álgebra e (An ) ⊂ X uma sequência arbitrária. Então existe:

0.1. PRELIMINARES

4

1. uma sequência (Ek ) ⊂ X crescente E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ Ek ⊂ · · · tal que

∞
[

Ek =

∞
[

Ek =

n=1

3. uma sequência (Fk ) ⊂ X tal que Fm ∩ Fn = ∅ para n 6= m e

∞
[

Fk =

k=1

Demonstração.

1. Defina Ek =

k
[

∞
[

An ;

n=1

k=1

2. uma sequência (Ek ) ⊂ X decrescente E1 ⊃ E2 ⊃ · · · ⊃ Ek ⊃ · · · tal que

∞
[

∞
[

An ;

n=1

An ;

n=1

An desta maneira construímos os termos da sequên-

n=1

cia (Ek ) procurada;
2. Defina Ek =

∞
[

An ;

n=k

3. Dada uma sequência arbitrária (An ) construa a sequência encaixada do item 1.. A
partir dela defina Fk = Ek \ Ek−1 onde E0 = ∅;

Proposição 0.1.1. Seja (X, X, µ) um espaço de medida.
1. Se (An ) ⊂ X é uma sequência crescente, então µ

∞
[
n=1

!
An

= lim µ(An );
n−→∞

2. Se (An ) ⊂! X é uma sequência decrescente e µ(An0 ) < ∞ para algum n0 , então
∞
\
An = lim µ(An );
µ
n=1

n−→∞

Demonstração.
1. Defina a sequência (Ek ) por E1 = A1 e Ek = Ak \ Ak−1 . Esta
sequência é disjunta e vale
∞
∞
[
[
Ek =
Ak ,
k=1

além disso temos que

n
[
k=1

Ek = An . Assim

k=1

0.1. PRELIMINARES

5

µ

∞
[

!
An

= µ

n=1

∞
[

!
Ek

k=1

= lim µ
n

= lim
n

n
[

!
Ek

k=1
n
X

µ(Ek )

k=1

= lim µ
n

n
[

!
Ek

k=1

= lim µ(An )
n

T
2. Defina A = ∞
n=1 An e seja An0 tal que µ(An0 ) < ∞ Bn = An0 \ An para n ≥ n0 .
S
Então Bn ⊂ Bn+1 para todo n ≥ n0 e ∞
n=n0 Bn = An0 \ A. Portanto, usando a
propriedade anterior e o fato de µ(An0 ) < ∞, temos

µ(An0 ) − µ(A) = µ(An0 \ A)
!
∞
[
= µ
Bn
n=n0

= lim µ(Bn )
n

= lim µ(An0 \ An )
n

= lim µ(An0 ) − lim µ(An )
n

n

= µ(An0 ) − lim µ(An ).
n

Consequentemente µ(A) = limn µ(An ).

Teorema 0.1.3 (Teorema da Convergência Monótona). Seja (fn )n uma sequência monótona crescente em M + que converge para f pontualmente. Então
Z

Z
f dµ = lim

fn dµ.

(1)

Demonstração. Uma vez que f é o limite de funções mensuráveis temos que f é mensu-

0.1. PRELIMINARES

6

rável(ver [2], página 12, corolário 2.10). Como fn ≤ fn+1 ≤ f temos que
Z

Z

Z

fn dµ ≤

fn+1 dµ ≤

f dµ

para todo n ∈ N n ≥ 1. Portanto
Z

Z
fn dµ ≤ lim

lim

f dµ.

Agora considere 0 < α < 1 e seja ϕ uma função simples e mensurável satisfazendo 0 ≤
ϕ ≤ f . Seja
An = {x ∈: fn (x) ≥ αϕ(x)},
assim An ∈ X, An ⊂ An+1 e X =

∞
[

An . Então vale a seguinte desigualdade

n=1

Z

Z

Z

fn dµ ≤

αϕdµ ≤

fn dµ

(2)

An

An

Uma vez que a função de conjunto definida por λ(E) =

R

E ∈ X é uma medida e sequência (An ) é encaixada com X =

ϕdµ para todo mensurável

E
∞
[

An temos que

n=1

Z

Z
ϕdµ.

ϕdµ = lim
An

tomando o limite em (2) encontramos a relação
Z

e fazendo α −→ 1 obtemos

Z

α

ϕdµ ≤ lim

Z

Z
ϕdµ ≤ lim

fn dµ

fn dµ.

Além disso, como ϕ é uma função simples arbitrária em M + satisfazendo 0 ≤ ϕ ≤ f
concluímos que
Z
Z
Z
f dµ = sup

ϕdµ ≤ lim

fn dµ.

ϕ

Unindo este fato com a desigualdade oposta obtida inicialmente obtemos (1).

0.1. PRELIMINARES

7

Lema 0.1.1 (Lema de Fatou). Se (fn )n é uma sequência em M + (X, X), então
Z

Z
lim inf fn dµ ≤ lim inf

fn dµ.

Demonstração. Seja gm = inf{fm , fm+1 , · · · }, assim gm ≤ fn sempre que m ≤ n. Portanto
Z

Z
gm dµ ≤

m ≤ n,

fn dµ

logo
Z

Z
gm dµ ≤ lim inf

fn dµ.

Uma vez que a sequência (gm ) é crescente e converge para o lim inf fn , aplicamos o
teorema da Convergência Monótona para obter

Z

Z
lim inf fn dµ =

gm dµ
Z
≤ lim inf fn dµ.

(3)
(4)

Teorema 0.1.4 (da Convergência Dominada). Seja (fn )n uma sequência de funções integráveis que converge µ-qtp para uma função real mensurável f . Se existe uma função
integrável g tal que |fn | ≤ g para todo n, então f é integrável e
Z

Z

Z
f dµ =

lim fn dµ = lim

n−→∞

n−→∞

fn dµ.

Demonstração. Seja E = {x|fn (x) 6−→ f (x)}. Inicialmente, vamos supor que a convergência é em todo o conjunto. Feito isso, basta aplicar o resultado a sequência gn = fn χE c
convergindo para g = fn χE c . portanto, suponha que (fn ) converge para f em todo ponto.
Uma vez que |fn | ≤ g temos que |f | ≤ |g| portanto f é integrável. Uma vez que g + fn ≥ 0
aplique o lema de Fatou para obter

0.1. PRELIMINARES

8

Z

Z
gdµ +

Z
f dµ =

(g + f )dµ
Z

=

lim (g + fn )dµ
Z

=

lim inf (g + fn )dµ
Z

≤

lim inf (g + fn )dµ
Z
≤ lim inf (g + fn )dµ
Z

Z
= lim inf
gdµ + fn dµ
Z
Z
=
gdµ + lim inf fn dµ,
donde
Z

Z
f dµ ≤ lim inf

fn dµ.

(5)

Agora façamos a mesma coisa para g − fn , pois g − fn ≥ 0,

Z

Z
gdµ −

Z
f dµ =

(g − f )dµ

(6)

lim (g − fn )dµ

(7)

lim inf (g − fn )dµ

(8)

Z
=
Z
=
Z
≤
≤
=
=
=

lim inf (g − fn )dµ
Z
lim inf (g − fn )dµ
Z

Z
lim inf
gdµ − fn dµ
Z
Z
gdµ + lim inf − fn dµ
Z
Z
gdµ − lim sup fn dµ,

(9)
(10)
(11)
(12)
(13)

0.1. PRELIMINARES

9

donde
Z

Z

lim sup

fn dµ ≤

Z

Z

f dµ.

(14)

Portanto
lim sup

fn dµ ≤

Z
f dµ ≤ lim inf

fn dµ,

(15)

donde
Z

Z
f = lim

fn dµ.

Definição 0.1.6. Uma sequência de funções reais mensuráveis (fn ) é dita convergir em
medida para uma função real mensurável f se
lim µ ({x ∈ X : |f (x) − fn (x)| ≥ α}) = 0

n−→∞

(16)

para todo α > 0. Uma sequência de funções reais mensuráveis (fn ) é dita Cauchy em
medida se
lim µ ({x ∈ X : |fm (x) − fn (x)| ≥ α}) = 0
(17)
n,m−→0

para todo α > 0.
Teorema 0.1.5. Seja (fn ) uma sequência de funções reais mensuráveis que é Cauchy em
medida. Então existe uma subsequência que converge µ-qtp e em medida para uma função
real e mensurável f .
Demonstração. Considere uma subsequência (gk ) ⊂ (fn ) tal que o conjunto Ek = {x|gk+1 (x)−
S
−(k−1)
gk (x)| ≥ 2−k } é tal que µ(Ek ) < 2−k . Seja Fk = ∞
.
j=k Ej tal que Fk ∈ X e µ(Fk ) < 2
Se i ≥ k ≥ j e x ∈
/ Fk , então

|gi (x) − gj (x)| ≤ |gi (x) − gi−1 (x)| + · · · + |gj+1 (x) − gj (x)|
(18)
1
1
1
≤ i−1 + · · · + j < j−1 .
(19)
2
2
2
T
Seja F = ∞
k=1 temos que F ∈ X e µ(F ) = 0. Segue-se que (gj ) converge em X \ F .
Defina f por

0.1. PRELIMINARES

10

(
f (x) =

lim gj (x) se x ∈
/F
,
0 se x ∈ F

então (gj ) converge µ-qtp para a função real mensurável f . Fazendo i −→ ∞ em (4),
concluímos que se j ≥ k e x ∈
/ Fk , então
|f (x) − gj (x)| ≤

1

1
≤
.
2j−1
2k−1

Isto mostra que a sequência (gj ) converge uniformemente para f no complementar
de cada Fk . Para ver que (gj ) converge em medida para f , sejam α e  números reais
positivos e escolha k suficientemente grande tal que µ(Fk ) < 2−(k−1) < inf (α, ). Se j ≥ k
a desigualdade acima mostra que

{x ∈ X : |f (x) − gj (x)| ≥ α} ⊂ {x ∈ X : |f (x) − gj (x)| ≥ 2−(k−1) }
⊂ Fk .
Além disso, µ({x ∈ X : |f (x) − gj (x)| ≥ α}) ≤ µ(Fk ) <  para todo j ≥ k e portanto (gj )
converge em medida para f .
Definição 0.1.7. Seja (X, X) um espaço mensurável. Uma carga é uma função real λ
definida em uma σ-álgebra X tal que:
1. λ(∅) = 0;
2. λ

∞
[

!
An

=

n=1

∞
X

λ(An ) para toda sequência (An ) ⊂ X onde os An são conjuntos

n=1

disjuntos;
3. Se A =

∞
[

!
An , onde a sequência (An ) ⊂ X é disjunta, então a série

n=1

absolutamente convergente, i.e.,

∞
X

∞
X

λ(An ) é

n=1

|λ(An )| < +∞.

n=1

Observação 0.1.2. Observe que, por definição, uma carga não assume os “valores” +∞
e −∞. Além disso, no item 3, se isto não fosse verdade a carga não estaria bem definida,
uma vez que pelo teorema de Riemann, poderíamos reordenar os termos da série de modo
que a soma daria qualquer número real.

0.1. PRELIMINARES

11

Definição 0.1.8. Seja λ uma carga em X. Um conjunto P é dito ser positivo com relação
a λ se λ(E ∩ P ) ≥ 0 para todo E ∈ X. Por outro lado, um conjunto N é dito ser negativo
com relação a λ se λ(E ∩ N ) ≤ 0 para todo E ∈ X. Um conjunto M é dito ser um conjunto
nulo para λ se λ(E ∩ M ) = 0 para todo E ∈ X.
Observe que a união de conjuntos positivos é positivo. De fato, sejam P1 , P2 dois
conjuntos positivos e E ∈ X. Seja P = P1 ∪ P2 e observe que
E ∩ P = (P1 ∩ E) ∪ (P2 ∩ E)
= (P1 ∩ E) ∪ ([P1 ∩ (P2 ∩ E)] ∪ [P1c ∩ (P2 ∩ E)])
= ((P1 ∩ E) ∪ [P1 ∩ (P2 ∩ E)]) ∪ [P1c ∩ (P2 ∩ E)]
= [(P1 ∩ E) ∪ P1 ) ∩ ((P1 ∩ E) ∪ (P2 ∩ E)] ∪ [P1c ∩ (P2 ∩ E)]
= [P1 ∩ ((P1 ∩ E) ∪ (P2 ∩ E))] ∪ [(P1c ∩ E) ∩ P2 ] .
Uma vez que esta última união é disjunta temos

λ(E ∩ P ) = λ ([P1 ∩ ((P1 ∩ E) ∪ (P2 ∩ E))] ∪ [(P1c ∩ E) ∩ P2 ])
= λ ([P1 ∩ ((P1 ∩ E) ∪ (P2 ∩ E))]) + λ ([(P1c ∩ E) ∩ P2 ])
≥ 0
pois P1 e P2 são positivos.
Feito essa observação, podemos enunciar o teorema de Decomposição de Hahn que será
a base para a prova do teorema de Radon-Nikodým.
Teorema 0.1.6 (Teorema de Decomposição de Hahn). Seja λ uma carga em X então
existem conjuntos P e N tais que X = P ∪ N e P ∩ N = ∅ tal que P é positivo e N é
negativo com relação a λ.
Demonstração. Seja P a classe de todos os conjuntos positivos. P é não vazia, uma vez
que ∅ ∈ P. Sejam α = sup {λ(A) : A ∈ P} e (An ) ⊂ P uma sequência de conjuntos tais que
∞
[
α = lim λ(An ) e seja P =
An . Uma vez que a união de conjuntos positivos e um conjunto
n=1

positivo, a sequência (An ) pode ser escolhida de modo que seja monótona crescente, pois
podemos definir uma nova sequência de positivos com estas mesmas propriedades fazendo
S
Ek = kn=1 An . Suponha que isto foi feito! P é positivo para λ pois

0.1. PRELIMINARES

12

λ(E ∩ P ) = λ(E ∩

∞
[

An )

n=1

= λ(

∞
[

E ∩ An )

n=1

= lim λ(E ∩ An )
≥ 0
visto que todos os termos da sequência são maiores ou iguais que zero. Além disso temos
que α = lim λ(An ) = λ(P ) < ∞.
Agora seja N = X \ P . N e P serão os nossos candidatos para formar a decomposição.
Para mostrar que eles de fato formam a decomposição procurada devemos provar que N
é negativo, pois já foi mostrado que P é positivo e as outras propriedades (X = P ∪ N
e N ∩ P = ∅) são obvias. Façamos isto por contradição supondo que esta afirmação é
falsa. Então existe um mensurável E ⊂ N tal que λ(E) > 0. E não pode ser um conjunto
positivo, pois caso contrário E ∪ P seria positivo e teríamos λ(E ∪ P ) = λ(E) + λ(P ) > α,
contradizendo a definição de α. Então E contém um conjunto de carga negativa. Seja n1
−1
. Agora observe que
o menor natural tal que E contém um conjunto E1 com λ(E1 ) ≤
n1
λ(E \ E1 ) = λ(E) − λ(E1 ) > λ(E) > 0.
Portanto E \ E1 não pode ser um conjunto positivo pois se P1 = P ∪ (E \ E1 ) temos que
P1 é positivo e λ(P1 ) = λ(P ∪ (E \ E1 )) = λ(P ) + λ((E \ E1 )) > α contradizendo mais uma
vez a definição de α. Portanto (E \ E1 ) contém um conjunto de carga negativa. Seja n2
−1
.
o menor natural tal que E \ E1 contém um conjunto mensurável E2 tal que λ(E2 ) ≤
n2
Mais uma vez, como antes, E \ (E1 ∪ E2 ) não é um conjunto positivo, assim nós tomamos
−1
o menor natural n3 tal que E \ (E1 ∪ E2 ) contém um mensurável E3 tal que λ(E3 ) ≤
.
n3
Repetindo este argumento, seja nk o menor natural tal que existe um mensurável Ek ⊂
−1
E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ Ek−1 com λ(Ek ) ≤
. Assim nós encontramos uma sequência disjunta
nk

0.1. PRELIMINARES

13

∞
[
1
(Ek ) de conjuntos mensuráveis tais que λ(Ek ) ≤ − . Seja F =
Ek , assim temos
nk
k=1

λ(F ) =

∞
X

λ(Ek ) ≤ −

k=1

∞
X
1

nk
k=1

< 0.

1
−→ 0.
nk
Seja G um subconjunto de E \F , como este conjunto não pode ser positivo tome G ⊂ E \F
1
contradizendo
tal que λ(G) < 0. Para k suficientemente grande temos que λ(G) <
nk − 1
o fato de que nk é o menor natural tal que existe um Ek ⊂ E \ E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ Ek−1 tal
1
que λ(Ek ) ≤ − . Consequentemente todo mensurável G ⊂ E \ F deve ter λ(G) ≥ 0.
nk
Portanto E \ F é um conjunto positivo para λ. Uma vez que λ(E \ F ) = λ(E) − λ(F ) > 0,
concluímos que P ∪ (E \ F ) é um conjunto positivo com carga excedendo α, o que é uma
contradição. Portanto N = X \ P é negativo para λ e a decomposição foi obtida.
Visto que as cargas não assumem −∞, temos que esta última série converge e que

Definição 0.1.9. Seja λ uma carga em X e sejam P e N uma decomposição de Hahn para
λ. A variação positiva e variação negativa de λ, são as seguintes medidas finitas, definidas
respectivamente por
λ− (E) = −λ(E ∩ N )

λ+ (E) = λ(E ∩ P )

para todo mensurável E ∈ X. A variação total de λ é a medida finita definida por
|λ|(E) = λ+ (E) + λ− (E).
O lema seguinte torna bem definida a definição acima. Isto é, mostra que as variações
positiva e negativas de λ não dependem da decomposição de Hahn escolhida. Devido a
importância secundária de λ+ , λ− neste texto, a demonstração do referido lema não foi
dada. Porém, o leitor que se interesse pode consultar [2], página 82, lema 8.3.
Lema 0.1.2. Sejam P1 , N1 e P2 , N2 duas decomposições de Hahn para λ e E ∈ X. Então
λ(E ∩ P1 ) = λ(E ∩ P2 )

e

λ(E ∩ N1 ) = λ(E ∩ N2 ).

Definição 0.1.10. Uma medida λ em X é dita ser absolutamente contínua com relação a
medida µ em X se quando E ∈ X e µ(E) = 0 implica que λ(E) = 0. Denotaremos este

0.1. PRELIMINARES

14

fato por λ << µ. Uma carga λ é absolutamente contínua com relação a carga µ quando a
variação total |λ| de λ for absolutamente contínua com relação a |µ|.
Observação 0.1.3. Sempre que a medida µ da definição acima estiver subentendida e não
houver perigo de confusão, diremos apenas que λ é absolutamente contínua. Em geral,
neste texto, usaremos este termo quando µ for a medida de Lebesgue m.
Teorema 0.1.7 (Radon-Nikodým). Sejam λ e µ medidas σ-finitas definidas em X e
suponha que λ << µ. Então existe uma função f ∈ M + (X, X) tal que
Z
λ(E) =

E ∈ X.

f dµ,

(20)

E

Mais ainda, a função f é unicamente determinada µ-qtp.
Demonstração. Suponha inicialmente que as medidas λ e µ são finitas. Seja c > 0, P (c) e
N (c) a decomposição de Hahn de X para a carga λ − cµ. Se k ∈ N considere a seguinte
sequência de conjuntos mensuráveis
Ak+1 = N ((k + 1)c) \

A1 = N (c),

k
[

Aj .

j=1

Agora observe que os conjuntos Ak k ∈ N são disjuntos e
k
[

N (jc) =

j=1

k
[

Aj .

j=1

Segue-se
Ak = N (kc) \

k−1
[

N (jc) = N (kc) ∩

j=1

k−1
\

P (jc).

j=1

Consequentemente, se E é um subconjunto mensurável de Ak então E ⊂ N (kc) e E ⊂
P ((k − 1)c), portanto
(k − 1)cµ(E) ≤ λ(E) ≤ kcµ(E).
Agora defina o conjunto B por
B=X\

∞
[
j=1

Aj =

∞
\
j=1

P (jc),

(21)

0.1. PRELIMINARES

15

assim teremos que B ⊂ P (kc) para todo k ∈ N. Isto implica que
0 ≤ kcµ(B) ≤ λ(B)λ(X) < ∞
para todo k ∈ N, portanto µ(B) = 0. Uma vez que λ << µ, concluímos que λ(B) = 0.
Defina fc por:
(

(k − 1)c se x ∈ Ak
0 se x ∈ B

fc (x) =

Dado um mensurável E temos que E, é a união disjunta, E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ Ak ),
k ∈ N, portanto segue-se de (2) que
Z

Z
fc dµ ≤ λ(E) ≤

E

Z
(fc + c)dµ ≤

E

fc dµ + cµ(X).
E

Agora faça c = cn = 2−n , n ∈ N, e obtenha a seguinte sequência fcn de funções
Defina fc por:
(
fcn (x) =

(k − 1)2−n se x ∈ Ak
.
0 se x ∈ B

Daí concluímos
Z

Z

fcn dµ + 2−n µ(X)

fcn dµ ≤ λ(E) ≤
E

(22)

E

para todo n ∈ N. Seja m ≥ n, e observe que
Z

Z

fcm dµ + 2−m µ(X)

fcn dµ ≤ λ(E) ≤
E

E

Z

Z
fcm dµ ≤ λ(E) ≤

E

fcn dµ + 2−n µ(X)

E

o que implica em
Z

fn − fm dµ ≤ 2−n µ(X),

E

para todo E ∈ X. Seja E o conjunto dos pontos onde o integrando é positivo e negativo.

0.1. PRELIMINARES

16

Desta forma concluímos que
Z

fn − fm dµ ≤ 2−n+1 µ(X),

E

sempre que m ≥ n. Logo fcn converge em medida e em média para uma função f . Uma
vez que fcn ∈ M + , pelo teorema 1.4 podemos supor que f ∈ M + . Mais ainda,
Z

Z
fcn dµ −
E

Z

Z

f dµ ≤

|fcn − f |dµ ≤

E

|fcn − f |dµ,

E

portanto através de (3) concluímos
Z
λ(E) = lim

Z
fcn dµ =

f dµ,
E

para todo E ∈ X. Isto completa a prova da existência no caso em que λ e µ são medidas
finitas. Agora provemos a unicidade µ-qtp de f . Com este intuito, suponha que f, h ∈ M +
e que
Z
Z
λ(E) =

f dµ =
E

hdµ
E

para todo E ∈ X. Decomponha X como união dos conjuntos E1 = {x|f (x) ≥ h(x)} e
E2 = {x|f (x) < h(x)}. Assim

Z

Z
|f − h|dµ =
E1

Z
=

Z
|f − h|dµ +
|h − f |dµ
E2
Z
f − hdµ +
h − f dµ

E1

E2

= 0.
Portanto f = g µ-qtp. Agora suponha que λ e µ são medidas σ-finitas. Seja (En ) uma
sequência de subconjuntos tal que En ⊂ En+1 para todo n ∈ N tal que µ(En ) < ∞,
λ(En ) < ∞. Use o resultado anterior para obter uma função hn definida em En tal que
R
hn = 0 no complementar de En e λ(E) = E hn dµ. Se n ≤ m então Xn ⊂ Xm e isto implica
que
Z
Z
hn dµ =
E

hm dµ
E

para todo mensurável E ∈ Xn . Pela unicidade de hn temos que hn (x) = hm (x) µ-qtp

0.1. PRELIMINARES

17

x ∈ En sempre que n ≥ m. Agora defina fn = sup {h1 , h2 , · · · , hn }. Assim (fn ) é uma
sequência monótona crescente em M + e seja f = lim fn . Se E ∈ X então
Z
λ(E ∩ En ) =

fn dµ.
E

Uma vez que (E ∩ En ) é uma sequência crescente de conjuntos cuja união é E segue-se do
teorema da Convergência Monótona que

λ(E) = lim λ(E ∩ En )
Z
= lim fn dµ
Z
f dµ.
=
E

Para mostrar a unicidade de f o raciocínio é exatamente o anterior.
Definição 0.1.11. Sejam µ e λ medidas σ-finitas tais que λ << µ. Então a função f tal
R
que λ(E) = E f dµ será camada de derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ.
Observação 0.1.4. Neste texto, frequentemente usaremos a expressão λ = f µ para indicar
que f é a derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ. Portanto quando definirmos
uma medida λ por λ = f µ queremos dizer que, para um conjunto mensurável E, λ(E) =
R
f dµ.
E
Seja (X, X, µ) um espaço de medida, (X 0 , X0 ) um espaço mensurável e f : X −→ X 0
uma função mensurável. A seguinte definição é do que vem a ser uma medida induzida em
(X 0 , X0 ) por uma aplicação mensurável f cujo contradomínio é X 0 .
Definição 0.1.12. f ∗ µ : X0 −→ R definida por
f ∗ µ(E) = µ(f −1 (E))
é chamada de medida imagem de µ por f .
Teorema 0.1.8 (Teorema de Mudança de Variável). Seja (X, X, µ) um espaço de medida,
f : X −→ X 0 uma função mensurável e f ∗ µ a medida imagem.
a) Seja g : X 0 −→ R uma função mensurável não negativa. Então

0.1. PRELIMINARES

18

Z

Z
gd(f ∗ µ) =

g ◦ f dµ;

X0

X

b) Uma função mensurável g : X 0 −→ R é f ∗ µ-integrável se, e somente se, g ◦ f é
µ-integrável e neste caso vale
Z

Z
gd(f ∗ µ) =

g ◦ f dµ;

X0

X

Observação 0.1.5. Observe que no item b) não exigimos que g ≥ 0. Além disso, exigimos
apenas a mensurabilidade de f , o que mostra o nível de generalidade da última (11).
Demonstração.
a) Seja A0 ∈ X0 . Analisemos primeiramente o caso em g = χA0 função
característica do conjunto A0 .

Z

χA0 d(f ∗ µ) = f ∗ µ(A0 )

X0

= µ(f −1 (A0 ))
Z
=
χf −1 (A0 ) dµ
X
Z
=
χA0 ◦ f dµ
X

O resultado se estende, sem dificuldades técnicas, para funções simples, e por isto,
omitirei esta parte. Para o caso mais geral considere uma sequência (gn ) de funções
simples tal que 0 ≤ gn ≤ gn+1 ≤ g ∀n ∈ N tal que gn −→ g. Então

Z

Z
gd(f ∗ µ) =

X0

lim gn d(f ∗ µ)

(23)

gn d(f ∗ µ)

(24)

X 0 Zn

= lim
n

0
ZX

= lim
gn ◦ f dµ
n
X
Z
=
lim gn ◦ f dµ
n
X
Z
=
g ◦ f dµ,
X

(25)
(26)
(27)

0.1. PRELIMINARES

19

onde, nas implicações (23) =⇒ (24) e (25) =⇒ (26) foi usado o teorema da Convergência Monótona.
b) Decomponha g em sua parte positiva e negativa, i.e., escreva g = g + − g − onde
g + (x) = sup{g(x), 0} e g − (x) = sup{−g(x), 0}.
Assim, tome sequências gn+ ↑ g + e gn− ↑ g − , temos assim
Z

Z
gd(f ∗ µ) =
X0

g + − g − d(f ∗ µ)
Z
Z
+
g d(f ∗ µ) −
g − d(f ∗ µ)
0
0
X Z
ZX
lim gn+ d(f ∗ µ) −
lim gn− d(f ∗ µ)
0
0
X Z
X
Z
+
gn ◦ f dµ − lim
gn− ◦ f dµ
lim
X
X
Z
Z
g + ◦ f dµ −
g − ◦ f dµ
X
ZX
g ◦ f dµ
X0

=
=
=
=
=

X

Definição 0.1.13. Dada uma aplicação f : X −→ X onde (X, X, µ) é um espaço de
medida. Dizemos que f preserva medida µ se µ(f −1 (A)) = µ(A) para todo A ∈ X. Neste
caso, dizemos também que µ é f -invariante.
Um resultado imediato, mas que será usado muitas vezes é o
Corolário 0.1.1. Seja f mensurável, então µ é invariante por f se, e somente se f ∗µ = µ.
Demonstração. Se µ é f -invariante, então dado A ∈ X

0.1. PRELIMINARES

20

f ∗ µ(A) = µ(f −1 (A))
Z
=
χf −1 (A) dµ
Z
=
χA ◦ f dµ
Z
=
χA d(f ∗ µ)
= f ∗ µ(A),

(28)
(29)
(30)
(31)
(32)

onde (30) =⇒ (31) pelo teorema de Mudança de Variável. Logo f ∗µ = µ. Reciprocamente,
se A ∈ X então f ∗ µ(A) = µ(A) implica em µ(f −1 (A)) = µ(A) pela definição de f ∗ µ.
Concluindo a prova da proposição.

Definição 0.1.14. Seja U ⊂ Rn um aberto e g : U −→ Rn uma função, dizemos que g é
localmente lipschitziana ou localmente Lipschitz se para todo x ∈ U existe Vx vizinhança
de x e uma constante Cx , tal que
∀

x, y ∈ Vx , |g(y) − g(z)| ≤ Cx |y − z|.

Proposição 0.1.2. Seja g : U −→ Rn localmente lipschitziana. Se A ∈ LebU é tal que
m(A) = 0, então g(A) ∈ LebU e m(g(A)) = 0.
Demonstração. Uma vez que todo aberto é uma reunião enumerável de compactos e m é
uma medida, faremos a suposição que existe um compacto K tal que A ⊂ K. Para cada
x ∈ K, existe uma vizinhança Vx de x e uma constante de Lipschitz Cx , tal que
∀

y, z ∈ Vx ,

|g(x) − g(y)| ≤ Cx |x − y|.

Como K é compacto podemos tomar um número finito dessas vizinhanças Vx1 , · · · , Vxm e
m
[
um número finito de constantes Cx1 , · · · , Cxm com K ⊂
Vxi . Seja C = max {Cx1 , · · · , Cxm }.
i=1

Dado  > 0 seja G aberto tal que A ⊂ G e m(G) < . Para cada x ∈ A seja Q(x) o cubo
com centro em x tal que Q(x) ⊂ G e Q(x) ⊂ Vxi para algum i. Se y ∈ Q(x)

0.1. PRELIMINARES

21

|g(y) − g(x)| ≤ Cx |y − x|
≤ C|y − x|
√
≤ Cr(Q(x)) n
e
onde r(Q(x)) é o raio (semi-lado) de Q(x). Se Q(g(x))
denota o cubo de centro g(x) e
√
raio (semi-lado) Cr(Q(x)) n, temos que
e
g(Q(x)) ⊂ Q(g(x)).
Agora usaremos o seguinte lema cuja demonstração pode ser encontrada em [20] pag. 158
proposição 7.3.1 (olhe também a observação da página 163).
Lema 0.1.3. Seja J a coleção de todos os cubos fechados com centro na origem de Rn . Se
Q ∈ J indicaremos Q(x) = x + Q. Suponha que A é limitado e para cada x ∈ A associe
um cubo Q(x). Então existe uma sequência de pontos {xj }j ∈ A tais que
1. A ⊂

∞
[

Q(xj );

j=1

2. todo ponto de

∞
[

Q(xj ) pertencem no máximo a 4 conjuntos dos Q(xj ), i.e.,

j=1

∞
X

χQ(xj ) ≤ 4n .

j=1

Portanto, pelo lema, existe uma subfamília de {Q(x)}x∈A , digamos {Qk }k∈N tal que
K⊂

∞
[
k=1

Portanto temos

Qk

e

∞
X
k=1

χQk ≤ 4n .

0.1. PRELIMINARES

22

m∗ (g(A)) ≤ m∗

∞
[

g

!!
Qk

k=1
∞
[

= m∗

!
g(Qk )

k=1

≤
≤

∞
X
k=1
∞
X

m∗ (g(Qk ))
ek )
m∗ (Q

k=1

=

∞
X

√
(2Cr(Qk ) n)n

k=1
n

= C n

n
2

∞
X

√
(2r(Qk ) n)n

n

k=1
∞
X

n

k=1
∞ Z
X

= C nn 2
= C nn 2

m(Qk )
χQk dm

k=1

= C nn
= C nn

n
2

n
2

Z

Z
G

n

n
2

∞
X
k=1
∞
X

!
χQk

dm
!

χQk dm

k=1

n

≤ C n 4 m(G)
1

= (4Cn 2 )n m(G)
1

≤ (4Cn 2 )n .

Como  é arbitrário, temos que m∗ (g(A)) = 0 ou seja g(A) ∈ LebRn e m(g(A)) = 0.
Um resultado bastante conhecido, assim como sua demonstração, que pode ser encontrada em [6] é a
Proposição 0.1.3. Seja g : U −→ Rn uma função de classe C 1 definida num aberto
U ⊂ Rn . Então g é localmente lipschitziana.

0.1. PRELIMINARES

23

Agora segue o resultado conhecido como “fórmula de mudança de variável”. Sua demonstração pode ser encontrada em [3] (pag. 338) ou em [20] (pag.178). Esta versão é precisamente a encontrada em [20] (pag.178), porém [3], trata este teorema de maneira mais
detalhada, como por exemplo, separando o caso linear do não linear, bem como alguns
outros detalhes.
Teorema 0.1.9 (Fórmula de Mudança de Variável). Seja f : V −→ W uma bijeção C 1
de um aberto V de Rn numa aberto W de Rm Df (x) 6= 0 para todo x ∈ V . Então valem:
a) Se E ⊂ V é um conjunto Lebesgue-mensurável, então f (E) é um Lebesgue-mensurável
e
Z
m(f (E)) =
|Df |dm.
E

b) Se g ∈ L1 (W ), então (g ◦ f )|Df | ∈ L1 (V ) e
Z

Z

(g ◦ f )|Df |dm.

gdm =
V

W

Demonstração.
Teorema 0.1.10 (Teorema de Diferenciação de Lebesgue). Se f é m-integrável em Rn .
Seja Q(x, r) um cubo de centro x e semi-lado r > 0. Então
1
lim
r−→0 m(Q(x, r))

Z
f (y)dy = f (x)

m − qtp.

Q(x,r)

Teorema 0.1.11 (Teorema de Densidade de Lebesgue). Seja A um conjunto mensurável
em R1 . Seja, para cada x ∈ A, {In (x)}n uma sequência de intervalos fechados tais que
In (x) −→ x. Então
m(In (x) ∩ A)
−→ χA m − qtp.
m(In (x))
Se f é m-integrável em Rn . Seja Q(x, r) um cubo de centro x e semi-lado r > 0. Então
1
lim
r−→0 m(Q(x, r))

Z
f (y)dy = f (x)

m − qtp.

Q(x,r)

Outro teorema bastante usado neste texto é o famoso
Teorema 0.1.12 (Teorema de Fubini). Sejam (X, X, µ) e (Y, Y, ν) espaços de medida σfinitos, π = µ×ν a medida produto em Z = X×Y de µ por ν. Se a função F em Z = X ×Y

0.1. PRELIMINARES

24

em R é integrável com respeito a π, então as funções reais f : X −→ R e g : Y −→ R,
definidas por
Z
Z
f (x) =

Fx dν,

F y dµ

g(y) =

Y

X

possuem integrais finitas e
Z

Z

Z

f dµ =

F dπ =

X

Z

gdν.
Y

Em outras palavras
Z Z


F dν dµ =

X

Z Z

Z

Y

F dπ =
Z


F dµ dν.

Y

X

Agora enunciaremos um teorema cuja demonstração e detalhes podem ser vistos em
[19]. Para isto, vamos relembrar algumas definições necessárias.
Definição 0.1.15. Um espaço topológico (X, τ ) é dito ser localmente compacto se todo
ponto de X possui uma vizinhança cujo o fecho é compacto.
Definição 0.1.16. Um espaço topológico (X, τ ) é dito ser Hausdorff se dados dois pontos
distintos x, y ∈ X, existem vizinhanças Vx e Vy , tais que x ∈ Vx , y ∈ Vx e Vx ∩ Vy = ∅.
Teorema 0.1.13 (de Representação de Riesz). Se X é um espaço topológico localmente
compacto e Hausdorff, então todo funcional linear limitado e positivo, Φ, definido em
C0 (X, R) é representado por uma única medida boreliana regular µ, no seguinte sentido:
Z
Φf =

f dµ

para toda f ∈ C0 (X, R). Além disso ||f || = µ(X).
Topologia no Espaço das Medidas
Nesta seção, será construída uma coleção de subconjuntos do conjunto das probabilidades borelianas definidas numa variedade compacta M . Este espaço de medidas será
denotado por
S(M ).
Tal coleção satisfaz os axiomas de espaços topológicos.

0.1. PRELIMINARES

25

A Topologia fraca∗
A ideia intuitiva de proximidade entre duas medidas é se elas dão origem a integrais de
funções contínuas próximas. Para tornar esta ideia precisa temos a seguinte definição do
que vem a ser uma vizinhança nesta topologia.
Definição 0.1.17. Dada uma medida µ ∈ S(M ), um conjunto finito F = {φ1 , φ2 , · · · , φN }
de funções contínuas φj : M −→ R e um número  > 0, definimos
Z
V (µ, F, ) = {η ∈ S(M ) :

Z
φj dη −

φj dµ < 

∀

φj ∈ F }.

Portanto, as vizinhanças da topologia fraca* são definidas desta maneira, e variando o
conjunto F e o número , temos toda a coleção, onde cada vizinhança de uma medida µ é
denotada por V (µ, F, ).
A proposição seguinte caracteriza a convergência de medidas neste espaço.
Proposição 0.1.4. Uma sequência (µn )n∈N ⊂ S(M ) converge para a medida µ ∈ S(M )
na topologia fraca* se, e somente se,
Z

Z
φdµn −→

φdµ para toda função contínua φ : M −→ R.

Demonstração. Tome uma função contínua φ : M −→ R e defina o conjunto F = {φ}.
Como µn −→ µ temos que dado  > 0 existe um n0 tal que µn ∈ V (µ, F, ). Isto significa
que
Z
Z
φn dη −

φdµ < .

R
R
Ou seja, φdµn converge para φdµ.
R
R
Reciprocamente, suponha que φdµn converge para φdµ para toda função contínua
φ, então dado qualquer F = {φ1 , φ2 , · · · , φN } e , existe um n0 tal que µn ∈ V (µ, F, ) para
n > n0 . Com efeito, se F = {φ1 , φ2 , · · · , φN } então para cada j existe nj tal que
Z

Z
φj dµn −

φdµ < 

para todo

n > nj .

Daí, tome n0 = max{n1 , · · · , nN }.
Outra caracterização da convergência de medidas é dada na seguinte proposição (para
consultar a demonstração veja [1]).

0.1. PRELIMINARES

26

Proposição 0.1.5. Assuma que a sequência (µn ) converge para a medida µ na topologia
fraca*. Então
1. lim sup µn (K) ≤ µ(K) para todo conjunto compacto K ⊂ M ;
n−→∞

2. lim inf µn (U ) ≥ µ(U ) para todo conjunto aberto U ⊂ M ;
n−→∞

Próximo passo será mostrar a metrizabilidade e a compacidade deste espaço. Usaremos
o lema seguinte, onde C 0 (M ) denotará o espaço métrico das funções contínuas ϕ : M −→ R
cuja métrica é a da convergência uniforme:
d(ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| : x ∈ M .
Lema 0.1.4. Se M é um espaço métrico então C 0 (M ) é separável, isto é, possui subconjuntos enumeráveis e densos.
Teorema 0.1.14. S(M ) munido da topologia fraca * é metrizável e compacto.
Demonstração. Usamos o lema 1.2 para tomar um subconjunto F = {ϕn : n ∈ N} enumerável e denso na bola unitária de C 0 (M ).
Agora dado um par de medidas (µ1 , µ2 ) defina
d(µ1 , µ2 ) =

Z
∞
X
1
n=1

2n

Z
ϕn dµ1 −

ϕn dµ1 .

(33)

Vamos mostrar que esta expressão está bem definida e é uma métrica em S(M ). Para
isto, lembre que as funções ϕn estão na bola unitária, de modo que sup |ϕn | ≥ 1 e que
as medidas µi são probabilidades, o que implica na limitação do termo geral da soma por
2 · 2−n e consequentemente, pelo teste de comparação, na convergência de (33).
Agora, para comprovarmos que esta expressão é uma métrica precisamos mostrar
1. d(µ1 , µ2 ) = 0 ⇐⇒ µ1 = µ2 ;
2. d(µ1 , µ2 ) ≥ 0 ⇐⇒ µ1 = µ2 ;
3. d(µ1 , µ2 ) = d(µ2 , µ1 );
4. d(µ1 , µ2 ) ≤ d(µ1 , µ3 ) + d(µ3 , µ2 ).

0.1. PRELIMINARES

27

Entretanto, o único axioma não trivial para se provar é o 1.. Vamos prová-lo. A
R
R
hipótese de d(µ1 , µ2 ) = 0 implica que ϕn dµ1 = ϕn dµ2 para toda ϕn ∈ F. Como para
cada elemento ϕ na bola unitária, existe uma sequência (ϕn ) ⊂ F convergindo para ϕ
temos que a igualdade
Z
Z
ϕdµ1 =

ϕdµ2

(34)

vale para toda função ϕ na bola, pois a convergência uniforme implica na convergência das
integrais. Como toda função de C 0 (M ) possui algum múltiplo na bola unitária concluímos
que a relação (34) vale para toda função contínua. Portanto µ1 = µ2 .
Agora vamos mostrar que d gera a topologia. Dado δ > 0 fixe N suficientemente grande,
de modo que
∞
X
δ
2−n <
2
n=N
e seja FN = {ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕN } o conjunto formado pelos primeiros N elementos do conjunto
δ
F. Além disso seja  = . Afirmo V (µ, F, ) ⊂ B(µ, δ). De fato
2
Z
ν ∈ V (µ, F, ) =⇒
=⇒

<

Z
ϕn −

∞
X
n=1
N
X

−n

Z

−n

2

Z
ϕn dµ −

2

n=1

<

ϕn <  para todo 1 ≤ n ≤ N

+

∞
X

ϕn dν

2 · 2−n 

n=N +1

δ,

o que prova a afirmação.
Reciprocamente, dado FN = {ψ1 , ψ2 , · · · , ψN } e  > 0, e selecione elementos distintos
de φn1 , · · · , φnN distintos de F tais que
||φnj − ψj || <


para todo 1 ≤ j ≤ N.
2


Agora vamos fixar δ > 0 suficientemente pequeno para que 2nj δ < para todo 1 ≤ j ≤ N .
4
Afirmo que B(µ, δ) ⊂ V (µ, FN , ). De fato

0.1. PRELIMINARES

ν ∈ B(µ, δ) =⇒

28

∞
X

−n

Z

Z
ϕn dµ −

2

ϕn dν < δ

n=1

Z

Z

ϕnj dµ − ϕnj dν < 2nj δ para todo 1 ≤ j ≤ N
Z
Z

ψj dµ − ψj dν < 2nj δ + <  para todo 1 ≤ n ≤ N.
2

=⇒
=⇒

Isto prova a afirmação.
Agora vamos provar que o espaço em questão é compacto. Para isto, usaremos o
teorema da Representação de Riesz enunciado nas preliminares de teoria da Medida. O
objetivo é mostrar que toda sequência (µk )k∈N ⊂ S(M ) admite uma sequência convergente
na topologia fraca*, visto que, já mostramos que o espaço é metrizável.
Para isto F = {ϕn : n ∈ N} um subconjunto de C 0 (M ) que enumerável e denso na bola
R
unitária. Então para cada n ∈ N a sequência de números reais ( ϕn dµk )k∈N é limitada
por 1 o que implica na existência de uma subsequência convergente (kjn )j∈N onde
Z
ϕn dµkjn converge para algum número φn ∈ R quando j −→ ∞.
Podemos também escolher a subsequência (kjn+1 )j∈N de (kjn+1 )j∈N . Então defina lj = kjj
para cada j ∈ N. Agora observe que cada (lj )j∈N é uma subsequência de cada (kjn )j∈N , a
menos de um numero finito de termos. Portanto
Z
φ(ϕ) = ϕn dµnjj −→ φn para todo n ∈ N.
Agora vejamos que
Z
φ(ϕ) = lim
j

ϕdµlj existe, para toda função ϕ ∈ C 0 (M ).

(35)

Para isto, suponha primeiro que ϕ está na bola unitária de C 0 (M ). Dado  > 0 encontramos
ϕn ∈ F tal que ||ϕ − ϕn || ≤ . Então
Z

Z
ϕdµlj −

ϕn dµlj ≤ 

0.1. PRELIMINARES
para todo j. Como

R

29

ϕn dµlj −→ φn , temos que
Z
lim sup
j

Z
ϕdµlj − lim inf

ϕdµlj ≤ 2.

j

Z
Uma vez que o  é arbitrário, concluímos que lim
j

ϕdµlj existe. Portanto provamos a

relação (35) quando a função está na bola unitária. Para uma função ϕ qualquer, repita
ϕ
o que completa a prova de (35). Agora, suponha que
este procedimento para ϕ0 =
||ϕ||
a função ϕ é positiva em todo ponto, então φ(ϕ) ≥ min ϕ > 0. Portanto, o operador
linear φ : C 0 −→ R é positivo. Além disso, φ(1) = 1 portanto existe alguma probabilidade
boreliana µ tal que
Z
φ(ϕ) =

ϕdµ

para toda função contínua ϕ. Agora a igualdade em (35) pode ser reescrita da seguinte
maneira:
Z
Z
ϕ = lim ϕdµlj para toda ϕ ∈ C 0 (M ).
j

Pela proposição 1.4 temos que a subsequência (µlj )j∈N converge para µ na topologia fraca*.
E isto completa a prova deste teorema.

Os próximo resultado será usados mais a frente. Para detalhes da demonstração o leitor
pode consultar [1] ou [13].
Proposição 0.1.6. Sejam ν uma probabilidade num espaço métrico compacto M , ϕ :
M −→ [0, +∞) ν-integrável e µi , i ≥ 1, uma sequência de probabilidades em M convergindo
µ na topologia fraca*. Se µi ≤ ϕν para todo i ≥ 1 então µ ≤ ϕν.
Demonstração. Seja B um conjunto mensurável. Para  > 0, seja K ⊂ B um compacto
tal que µ(B \ K ) e (ϕν)(B \ K ) são ambos menores do que . Seja A uma vizinhança
aberta de K definida por A = {z : d(z, K ) < r} para um r suficientemente pequeno de
modo que µ(A \ K ) e (ϕν) µ(K \ K ) sejam ambos menores do que  e tal que a fronteira
de A tenha medida µ nula. Então µ = lim µi implica µi (A ) ≤ (ϕν)(A ). Fazendo  −→ 0
nós temos µ(B) ≤ (ϕν)(B).

0.1. PRELIMINARES

0.1.3

30

Teoria Ergódica e Medidas Físicas

Ergodicidade
Teorema 0.1.15 (Teorema Ergódico de Birkhoff). Seja f : X −→ X uma transformação
e (X, X, µ) um espaço de medida onde µ é f -invariante.
1. Se ϕ ∈ L1 (X, µ) então o limite
n−1

1X
lim
ϕ(f j (x))
n−→∞ n
j=0
existe em µ-qtp x ∈ X;
2. Se ϕ ∈ Lp (X, µ) com 1 ≤ p < ∞ então a função ϕ
e definida por
n−1

1X
ϕ(x)
e
= lim
ϕ(f j (x))
n−→∞ n
j=0
pertence a Lp (X, µ) e satisfaz
n−1

lim

n−→∞

1X
ϕ
e−
ϕ(f j (x))
n j=0

ϕ
e ◦ f = ϕ,
e

= 0,

(36)

p

µ − qtp x ∈ X

(37)

3. Para toda ϕ ∈ Lp temos
Z

Z
ϕdµ
e =

ϕdµ.

Definição 0.1.18. Dizemos que um conjunto mensurável A ⊂ X é invariante por f se
f −1 (A) = A. Uma função mensurável ψ : X −→ R é invariante por f se ψ ◦ f = ψ.
Definição 0.1.19. Seja f : X −→ X uma transformação e (X, X, µ) um espaço de medida
onde µ é f -invariante. Dizemos que f é ergódica para µ se para todo conjunto A ∈ X,
f -invariante vale µ(A) = 0 ou µ(A) = 1
Observação 0.1.6. Outros termos que são utilizados para dizer que f é ergódica para µ
são: µ é ergódica para f ou o sistema (f, µ) é ergódico. Além disso, para expressar o limite

0.1. PRELIMINARES

31

1 Pn−1
limn−→∞
ϕ(f j (x)), o chamamos de tempo médio, tempo médio de tempo médio de
n j=0
Birkhoff ou média temporal.
A próxima proposição caracterizará um sistema ergódico e, consequentemente, nos
ajudará a entendê-los. Além disso, a proposição nos fornecerá algumas ferramentas para
provar quando uma transformação f é ergódica.
Proposição 0.1.7. As seguintes propriedades são equivalentes:
(1) O sistema (f, µ) é ergódico;
(2) Se ϕ ∈ L1 (X, µ) é f -invariante, então ϕ é constante µ-qtp;
(3) Se ϕ ∈ Lp (X, µ) é f -invariante, então ϕ é constante µ-qtp;
(4) Para todo A, B ∈ X temos
n−1

1X
lim
µ(f −j (A) ∩ B) = µ(A)µ(B);
n−→∞ n
j=0
(5) ϕ ∈ L1 (X, µ) temos que
Z
ϕ(x)
e
=

ϕdµ,

µ-qtp x ∈ X.

Demonstração. (3) =⇒ (1). Se A é f -invariante, então a função característica χA é f
invariante. De fato

χA ◦ f = χf −1 (A)
= χ(A) .
Como χA ∈ LP (X, µ) temos que χA é constante. Logo deve ser 0 µ-qtp ou 1 µ-qtp.
R
R
Portanto, µ(A) = χA dµ = 0, no primeiro caso, ou µ(A) = χA dµ = 1 no segundo caso.
(1) =⇒ (2). Se ϕ ∈ L1 (X, µ) é f -invariante o conjunto Ac = {x|ϕ(x) ≤ c} é f -invariante
para cada c. Uma vez que f é ergódica, temos que µ(Ac ) = 0 ou 1. Isto implica que ϕ é
constante µ-qtp.
(2) =⇒ (5). Uma vez que, pelo teorema Ergódico de Birkhoff ϕ
e ∈ L1 e, além disso, ϕ
eé
f -invariante, temos que ϕ
e é constante µ-qtp. Daí temos

0.1. PRELIMINARES

32

Z

Z
ϕdµ =

ϕdµ
e
Z
= ϕ
e 1dµ
= ϕµ(X)
e
= ϕ
e

µ − qtp,

pois µ(X) = 1.
(5) =⇒ (4). Por (5) e pelo teorema Ergódico de Birkhoff temos
Z
µ(A) =

Portanto

n−1

1X
χA (f j (x)).
n−→∞ n
j=0

χA dµ = lim

0.1. PRELIMINARES

33

Z
µ(A)µ(B) = µ(A) χB dµ
Z
=
(µ(A)) (χB )dµ
n−1

Z

1X
χA ◦ f j
n−→∞ n
j=0
lim

=

(38)
(39)
!
(χB )dµ

!
n−1
1X
lim
χA ◦ f j (χB ) dµ
n−→∞ n
j=0
!
Z
n−1
1X
lim
χf −j (A) χB dµ
n−→∞ n
j=0
!
Z X
n−1
1
lim
χf −j (A) χB dµ
n−→∞ n
j=0
!
Z X
n−1
1
lim
χf −j (A)∩B dµ
n−→∞ n
j=0
Z
n−1
1X
lim
χf −j (A)∩B dµ
n−→∞ n
j=0

(40)

Z

=

=

=

=

=

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

n−1

1X
µ(f −j (A) ∩ B)dµ,
= lim
n−→∞ n
j=0

(46)

onde em (42) =⇒ (43) foi usado o teorema da Convergência Dominada, pois o integrando
em questão é dominado pela função constante g ≡ 1 que é integrável, uma vez que a medida
é uma probabilidade.
(4) =⇒ (1). Se A é f -invariante, aplicamos (4) nos conjuntos A e Ac observando que,
pela f -invariância, f −j (A) = A para todo j. Portanto temos

n−1

µ(A)µ(Ac ) =

1X
µ(f −j (A) ∩ Ac )dµ
n−→∞ n
j=0
lim

n−1

1X
µ(A ∩ Ac )dµ
= lim
n−→∞ n
j=0
= 0.

0.1. PRELIMINARES

34

Caso µ(A) = 0 o resultado está provado. Se µ(A) 6= 0 então µ(Ac ) = 0, o que implica em
µ(A) = 1, pois µ é uma probabilidade.

Proposição 0.1.8. Se existe um conjunto denso F ⊂ L1 tal que
Z
ϕ
e=

ϕdµ,

µ-qtp

para toda ϕ ∈ F , então f é ergódica.
n−1

Demonstração. Uma vez que a sequência

1X
ϕ ◦ f j , pelo teorema Ergódico de Birkhoff,
n j=0

converge para ϕ,
e em L1 (X, µ), precisamos mostrar apenas que para ϕ ∈ L1 (X, µ)
n−1

lim

n−→∞

1X
ϕ ◦ fj −
n j=0

Z
ϕdµ

= 0.
1

De fato, uma vez provada esta propriedade, dado um  existirá um n0 tal que para n ≥ n0
valem
Z
n−1
n−1
1X

1X

j
j
ϕ
e−
ϕ◦f
e
ϕ ◦ f − ϕdµ ≤ .
≤
n j=0
2
n j=0
2
1

1

Portanto, somando essas desigualdades e aplicando a desigualdade de Minkowski (a desigualdade triangular para a norma || ||1 ), teremos

Z
ϕ
e−

n−1

1X
ϕdµ ≤ ϕ
e−
ϕ ◦ fj
n j=0
1

n−1

1

1X
+
ϕ ◦ fj −
n j=0

Z



≤ + ≤ = .
2
2

ϕdµ
1

Como isto vale, para todo  > 0, temos que
Z
ϕ
e=

ϕdµ,

µ-qtp.


Então vamos à prova. Dada ϕ ∈ L1 (X, µ), tome  > 0 e g ∈ F tal que ||ϕ − g||1 ≤ .
3
Seja n0 tal que n ≥ n0 implica
n−1

1X
g ◦ fj −
n j=0

Z


≤ .
3

gdµ
1

0.1. PRELIMINARES

35

Então para n ≥ n0

n−1

1X
ϕ◦f −
n j=0

n−1
n−1
1X
1X
ϕ◦f −
g◦f
n j=0
n j=0
1
Z
Z
Z
n−1
X
1
gdµ − ϕdµ
g ◦ f − gdµ +
n j=0

Z
≤

ϕdµ
1

+

1

=

n−1
X

1
n

+

ϕ◦f −

j=0
n−1
1X

n j=0

n−1
X

g◦f

j=0

1

Z

Z
g◦f −

+

gdµ

Z
gdµ −

ϕdµ .

1

Agora observe que, pelo Teorema de Mudança de Variável e lembrando que µ é f invariante, temos

ϕ ◦ fj − g ◦ fj

(ϕ − g) ◦ f j

=

1

Z
=
Z
=
Z
=

1

(ϕ − g) ◦ f j dµ
|(ϕ − g)| ◦ f j dµ
|(ϕ − g)|d(f j ∗ µ)

Z
=

|(ϕ − g)|dµ

= ||ϕ − g||1 ,
e como

Z

Z
gdµ −

Z
ϕdµ ≤

|g − ϕ|dµ = ||g − ϕ||1 ,

concluímos que
n−1

1X
ϕ ◦ fj −
n j=0

Z
≤ ||g − ϕ||1 +

ϕdµ
1


+ ||g − ϕ||1 = .
3

0.1. PRELIMINARES

36

Medidas Físicas
Agora daremos a definição do que é uma medida física ou medida de Sinai-Ruelle-Bowen
(SRB). Para isto, considere a
Definição 0.1.20. Seja f : X −→ X uma transformação mensurável sobre um espaço de
probabilidade (X, X, µ), onde µ é uma probabilidade f -invariante, i.e., µ(f −1 (A)) = µ(A)
para todo A ∈ X. Seja δp a medida de Dirac do ponto p ∈ X. A bacia ergódica de µ,
denotada por B(µ) é o conjunto dos pontos z ∈ X tal que
n−1

1X
w∗
δf j (z) −→ µ,
n j=0

quado n −→ ∞.

(47)

Onde o símbolo w∗ significa que a convergência é na topologia fraca∗ . Equivalentemente,
em virtude da proposição 1.4, a bacia ergódica de µ, denotada por B(µ), é o conjunto dos
pontos z ∈ X tal que
n−1

1X
ϕ(f j (z)) =
n j=0

Z
ϕdµ

para toda função contínua ϕ : X −→ R.

(48)

Definição 0.1.21. Uma medida de probabilidade µ que é f -invariante é chamada de
medida física ou Sinai-Ruelle-Bowen(SRB) para f se sua bacia ergódica B(µ) tem medida
de Lebesgue positiva, i.e., m(B(µ)) > 0.
Proposição 0.1.9. Seja (X, X, µ) um espaço de probabilidade e f : X −→ X uma transformação mensurável que é µ-ergódica. Então µ(B(µ)) = 1.
Demonstração. Uma vez que C 0 (X; R) é um espaço métrico separável, com a métrica
da convergência uniforme, i.e, d(h1 , h2 ) = sup{|h1 (x) − h2 (x); x ∈ X|}
para h1 , h2 ∈
C 0 (X; R), tome um conjunto enumerável e denso, (ϕk )k∈N ⊂ C 0 (X; R), em C 0 (X; R). Para
cada ϕk o teorema de Birkhoff garante a existência de um conjunto Bϕk com µ(Bϕk ) = 1
tal que para todo z ∈ Bϕk vale
n−1

1X
lim
ϕ(f j (z)) =
n−→∞ n
j=0
Seja
B=

\
k

Bϕk ,

Z
ϕdµ.

0.1. PRELIMINARES

37

então µ(B) = 1. De fato,
!c !
\

µ(B c ) = µ

Bϕk

k

!
[

= µ

Bϕc k

k

= 0
pois os Bϕc k tem medida µ nula. Vamos mostrar que B ⊂ B(µ). Para isto, seja z ∈ B,
e ϕ uma função contínua e  > 0, observe que

n−1

n−1
n−1
1X
1X
j
ϕdµ ≤
ϕ(f (z)) −
ϕk (f j (z))
n j=0
n j=0
Z
Z
Z
n−1
1X
j
ϕk dµ − ϕdµ .
+
ϕk (f (z)) − ϕk dµ +
n j=0

1X
ϕ(f j (z)) −
n j=0

Z

Como ϕk (z) −→ ϕ(z), seja k0 , tal que para k > k0 ocorra
n−1
n−1
1X
1X

j
ϕ(f (z)) −
ϕk (f j (z)) ≤ .
n j=0
n j=0
3

(49)

Temos também que
Z

Z
ϕk dµ −→

ϕdµ

pois ϕk −→ ϕ uniformemente. Portanto seja k1 , tal que k > k1 ocorra
Z

Z
ϕk dµ −


ϕdµ ≤ .
3

(50)

Logo faça k > max{k1 , k0 }. Agora, considere um n0 tal que n > n0 implique
n−1

1X
ϕk (f j (z)) −
n j=0

Z


ϕk dµ ≤ .
3

Some estas desigualdades para obter, se n ≥ n0

(51)

0.1. PRELIMINARES

n−1

38

n−1
n−1
1X
1X
j
ϕdµ ≤
ϕ(f (z)) −
ϕk (f j (z))
n j=0
n j=0
Z
Z
Z
n−1
1X
j
+
ϕk (f (z)) − ϕk dµ +
ϕk dµ − ϕdµ ≤ .
n j=0

1X
ϕ(f j (z)) −
n j=0

Z

Portanto B ⊂ B(µ) e consequentemente 1 = µ(B) ≤ µ(B(µ)) ≤ 1 o que implica
µ(B(µ)) = 1.
Corolário 0.1.2. Seja (X, X, µ) um espaço de probabilidade e f : X −→ X uma transformação mensurável que é µ-ergódica, onde µ é absolutamente contínua com relação a
medida de Lebesgue. Então µ é uma medida física para f .
Demonstração. Se m(B(µ)) = 0, então µ(B(µ)) = 0. Uma contradição pela proposição
anterior.
Vamos estender esta definição para sistemas dinâmicos contínuos, i.e., para fluxos. Seja
φt , t ≥ 0, um semi-fluxo em X, i.e., φ0 é a transformação identidade, e cada φt : X −→
X, t ≥ 0 é uma transformação mensurável em X com φt+s = φt ◦ φs , para todo t, s.
Uma medida é µ é invariante pelo semi-fluxo se ela for φt -invariante para todo t ≥ 0.
Definição 0.1.22. A bacia ergódica de µ, denotada por B(µ), é o conjunto dos pontos
z ∈ X tal que dada qualquer função contínua ϕ : X −→ R
1
T

Z T

t

ϕ(φ (z))dt −→

Z
ϕdµ

quando T −→ ∞.

(52)

0

Definição 0.1.23. Dizemos que µ é uma medida física ou Sinai-Ruelle-Bowen(SRB) para
o fluxo φt se a bacia ergódica de φt tem medida de Lebesgue positiva, isto é, m(B(µ)) > 0.

0.1.4

Funções de Variação Limitada

Definição 0.1.24. Seja f : [a, b] −→ R. Dado x ∈ [a, b] defina a variação de f no ponto
x por
n
X
varf (x) = sup {
|f (xj ) − f (xj−1 )|; a = x0 < x1 < · · · xn = x}.
j=1

0.1. PRELIMINARES

39

A variação de f é denotada por var(f ) e definida por
var(f ) := varf (b).
Definição 0.1.25. A função f é dita ser de variação limitada se
var(f ) = varf (b) < ∞.
O espaço vetorial das funções de variação limitada será denotado por BV . Observe que
isto faz sentido. Considere funções f, g : [a, b] −→ R de variação limitada, c ∈ R, x ∈ [a, b]
e a = x0 < x1 < · · · < xn = b uma partição de [a, b]. Assim

|(f + cg)(xj ) − (f + cg)(xj−1 )|

=

|f (xj ) − f (xj−1 ) + c [g(xj ) − g(xj−1 )] |

≤

=⇒

n
X
j=1

|f (xj ) − f (xj−1 )| + |c||g(xj ) − g(xj−1 )|
n
n
X
X
|(f + cg)(xj ) − (f + cg)(xj−1 )| ≤
|f (xj ) − f (xj−1 )| + |c|
|g(xj ) − g(xj−1 )|
j=1

j=1

=⇒ varf +cg (x) ≤ varf (x) + |c|varg (x).
Em particular, fazendo x = b concluímos que, de fato, BV constitui um subespaço vetorial
de C 0 ([a, b], R).
Exemplo 0.1.2. Seja D ⊂ [a, b] um conjunto denso em [a, b] tal que o seu complementar
Dc também seja um conjunto denso em [a, b]. Considere a função característica deste
conjunto, i.e, f = χD . Dado n ∈ N, construa uma partição particular de [a, b] de maneira
que xj ∈ D e xj+1 ∈ Dc para 0 < j < n. Assim
n
X

|χD (xj ) − χD (xj−1 )| = (n − 2) + |χD (b) − χD (xn−1 )| + |χD (x1 ) − χD (a)| ≥ n − 2.

j=1

P
De modo que var(χD ) = sup { nj=1 |f (xj ) − f (xj−1 )|; a = x0 < x1 < · · · xn = b} ≥ n − 2.
Portanto, fazendo n −→ ∞ concluímos que χD não possui variação limitada.
Exemplo 0.1.3. Usando o exemplo anterior concluímos que χQ e χR\Q não são funções
de variação limitada.
Exemplo 0.1.4. Suponha que f é não decrescente. Temos f (xj ) − f (xj−1 ) ≥ 0 de modo

0.1. PRELIMINARES

40

que
n
X

|f (xj ) − f (xj−1 )| =

j=1

n
X

f (xj ) − f (xj−1 )

j=1

= f (b) − f (a).
Assim, var(f ) < ∞.
Exemplo 0.1.5. Suponha que f é não crescente. Como BV é um espaço vetorial e −f
é não decrescente concluímos, pelo exemplo anterior, que f é de variação limitada, pois
f = −(−f ).
Teorema 0.1.16. Suponha que f : [a, b] −→ R tem variação limitada, então
1. Para todos os x, y ∈ [a, b] com x > y vale
|f (x) − f (y)| ≤ varf (x) − varf (y);

(53)

2. Para todo s ∈ [a, b] os limites lim± f (x) existem;
x−→s

3. O conjunto dos pontos de descontinuidade de f é enumerável.
Demonstração. Do item 1.: Dada uma partição a = y0 < y1 · · · yn = y de [a, y], uma vez
que a = y0 < y1 · · · yn = y < x é uma partição particular de [a, x] temos
varf (x) ≥

n
X

|f (yj ) − f (yj−1 )| + |f (x) − f (y)|

j=1

Visto que a = y0 < y1 · · · yn = y é uma partição arbitrária de [a, y], tomando o supremo
sobre as partições do lado direito da desigualdade, concluímos que
varf (x) ≥ varf (y) + |f (x) − f (y)|,
e portanto,
varf (x) − varf (y) ≥ |f (x) − f (y)|.
Do item 2.: Uma vez que var(f ) < ∞ e se x > y vale varf (x) ≥ varf (y)+|f (x)−f (y)|
temos que varf : [a, b] −→ R é uma função não decrescente que assume apenas valores

0.1. PRELIMINARES

41

finitos. Portanto os limites laterais lim± varf (x) existem. Suponha que x −→ s+ e tome
x−→s
s < y < x, assim
|f (x) − f (y)| ≤ |varf (x) − varf (y)| −→ 0 sempre que x, y −→ s+ ,
pois os limites laterais lim± varf (x) existem. Portanto também existem os limites laterais
x−→s

para f . O caso em que x −→ s− se trata com o mesmo raciocínio.
Do item 3.: Usando a relação (1) concluímos que se varf é contínua no ponto x o
mesmo valerá para f . Como varf : [a, b] −→ R é monótona não decrescente temos que
seus pontos de descontinuidade é enumerável. Portanto o mesmo vale para f .
Corolário 0.1.3. Seja f : [a, b] −→ R uma função de variação limitada. Então f é
contínua m-qtp x ∈ [a, b].
Demonstração. Um conjunto enumerável tem medida de Lebesgue nula.
A seguinte proposição será usada frequentemente neste texto.
Proposição 0.1.10. Suponha ([a, b], B[a,b] , µ) é um espaço de probabilidade e µ << m,
onde m é a medida de Lebesgue restrita a [a, b]. Suponha que µ = f m onde f é uma
função de variação limitada. Então existe um intervalo J ⊂ [a, b] tal que f (x) > δ > 0
para todo x ∈ J.
Demonstração. Seja E ⊂ [a, b] tal que m(E) > 0 e f > 0 em m-qtp x ∈ E. Como f é
contínua em m-qtp x ∈ [a, b] temos que f é contínua em m-qtp x ∈ E. Então deve existir
f (x0 )
um x0 ∈ E tal que f (x0 ) > 0 e f é contínua em x0 . Portanto dado δ =
> 0 existe
2
um intervalo J = [x0 − , x0 + ] ⊂ [a, b] tal que para todo x ∈ J |f (x0 ) − f (x)| < δ e isto
f (x0 ) 3f (x0 )
,
). Ou seja f > δ em J.
implica que f (x) ∈ (
2
2
Definição 0.1.26. A variação varη (f |η) sobre um intervalo η ⊂ M é definido por
varη (f |η) = sup

n
X

|f (xi−1 ) − f (xi )|

i=1

onde o supremo é tomado sobre o conjunto <η de todas as partições finitas inf η ≤ x0 <
x1 < · · · < xn ≤ sup η, n ≤ 1 de η.
A seguir estão enumeradas mais algumas propriedades com respeito a funções de variação limitada. Para detalhes o leitor pode consultar [14].

0.1. PRELIMINARES

42

P1. varη (ϕ1 + ϕ2 ) ≤ varη ϕ1 + varη ϕ2 ;
P2. varη (ϕ1 · ϕ2 ) ≤ varη ϕ1 supη |ϕ2 | + supη |ϕ1 |varη ϕ2 ;
R
P3. varη (ϕ1 · ψ) ≤ varη ϕ1 supη |ψ| + supη |Dψ| ϕdm, se ψ é C 1 ;
P4. varη |ϕ| ≤ varη ϕ ;
P5. varη (ϕ ◦ h) = varh(η) ϕ se h :−→ h(η) é uma homeomorfismo;
R
R
P5. varη ϕ(t, ·)dθ(t) ≤ varη ϕ(t, ·)dθ(t) para toda probabilidade θ no espaço T e para
toda ϕ : T × M −→ R com varϕ(t, ·) < ∞ para todo t ∈ T ;
Agora apresentamos um importante resultado, o teorema de Helly, que será utilizado na
prova de um importante teorema. Para demonstrá-lo precisaremos do teorema de CantorTychonov, de análise na reta. Para ver a demonstração deste último o leitor pode consultar
[4].
Lema 0.1.5 (Cantor-Tychonov). Seja X ⊂ R enumerável. Toda sequência simplesmente
limitada de funções fn : X −→ R possui uma subsequência simplesmente convergente.
Demonstração. Ver [4].
Lema 0.1.6 (Teorema de Helly). Seja ψn : M −→ R, n ≥ 1 uma sequência de funções em
M e assuma que existem constantes K1 > 0 e K2 > 0 tais que sup ψn ≤ K1 e varψn ≤ K2
para todo n ≥ 1. Então existe uma subsequência (ψnk )k e uma função ψ0 : M −→ R com
sup ψ0 ≤ K1 e var(ψ)0 ≤ K2 tal que (ψnk )k converge para ψ0 quando k → ∞ m-qtp e em
L1 (m).
Demonstração. Defina as sequências (ψn+ )n e (ψn− )n por ψn+ (x) = var(ψn |[0,x] ) e ψn− (x) =
ψn+ − ψn . Assim definidas, as sequências (ψn± )n são uniformemente limitadas e seus termos
são funções não decrescentes. Sendo uniformemente limitadas são, em particular, simplesmente limitadas e quando consideradas suas restrições sobre Q∩[0, 1], i.e. ψn± |Q∩[0,1] , temos
uma sequência de funções que satisfaz as condições do teorema de Cantor-Tychonov, i.e.
existe uma subsequência de índices (nk )k tais que ψn±k (q) converge para um número real
ψ0± (q), para todo número racional q ∈ [0, 1]. Como cada ψn± é uma função não decrescente,
temos que ψ0± (q1 ) ≤ ψ0± (q2 ) sempre que q1 ≤ q2 . Portanto, podemos estender a função ψ0±
para todo o intervalo [0, 1] da seguinte maneira:
ψ0± (x) = inf{ψ0± (q) : q ∈ [x, 1] ∩ Q}.

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ

43

Agora vejamos que ψn±k (x) converge para ψ0± (x) para todo ponto de continuidade x de
ψ0± , um conjunto cujo complementar é enumerável. De fato, dado um ponto de continuidade
x, e qualquer δ > 0, podemos fixar racionais q1 e q2 com q1 ≤ x ≤ q2 tais que
ψ0± (x) − δ ≤ ψ0± (q1 ) ≤ ψ0± (x) ≤ ψ0± (q2 ) ≤ ψ0± (x) + δ.
Então para um k suficientemente grande,
ψ0± (x) − 2δ ≤ ψ0± (q1 ) − δ ≤ ψn±k (q1 ) ≤ ψn±k (x) ≤ ψn±k (q2 ) ≤ ψ0± (q2 ) + δ ≤ ψ0± (x) + 2δ
o que prova afirmação.
Agora considere ψe0± a função contínua a direita que coincide com ψ0± em todo ponto de
continuidade de ψ0± e defina ψ0 = ψe0+ − ψe0− . Segue-se que ψnk converge para ψ0 , exceto,
possivelmente, num conjunto enumerável E. Em particular, ψnk → ψ0 m-qtp e em L1 .
Finalmente,
|ψ0 (a)| = lim |ψnk (a)| ≤ K1 e
k

s
X
j=1

|ψ0 (aj ) − ψ0 (bj )| = lim
k

s
X

|ψnk (aj ) − ψnk (bj )| ≤ sup var(ψnk ) ≤ K2 ,

j=1

k

para todo a e a1 ≤ b1 ≤ · · · ≤ as ≤ bs em [0, 1] \ E. Uma vez que ψ0 é contínua a direita
temos que sup ψ0 ≤ K1 e var(ψ0 ) ≤ K2 .

0.2

Modelo Geométrico de Lorenz

Nesta seção faremos um breve estudo do seguinte sistema de equações polinomiais

ẋ = 10y − 10x

(54)

ẏ = 28x − y − xz
8
ż = xy − z
3

(55)
(56)

mais conhecido como equações de Lorenz. Este sistema foi introduzido inicialmente em
1963 pelo meteorologista Edward Lorenz em seus estudos climáticos. O objetivo será
construir um fluxo que possua propriedades similares as da solução determinada pelas
equações polinomiais (54), (55) e (56) porém mais fáceis de serem estudadas. O ponto

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ

44

de partida será o teorema de Hartman-Grobman enunciado nas preliminares deste texto,
que conjugará topologicamente, numa vizinhança da origem, o fluxo determinado pelas
equações de Lorenz, com o fluxo linear determinado pela sua diferencial calculada na
origem. A partir daí faremos algumas hipóteses sobre a “solução” e chamaremos o resultado
da construção de fluxo geométrico de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em [17] e
Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico para o fluxo observado
por Lorenz.
Comecemos observando que os autovalores da derivada do campo na origem

−10 10 0


 28 −1 0 


8
0
0 −
3
8
são λ1 = 11, 83, λ2 = −22, 83, λ3 = − e, portanto, pelo Teorema de Hartman3
Grobman, numa vizinhança da singularidade σ0 = (0, 0, 0), o fluxo definido pelas equações
de Lorenz é topologicamente conjugado ao fluxo linear definido pela derivada do campo
numa vizinhança origem. Isto é, ao fluxo


X t (x0 , y0 , z0 ) = (x0 eλ1 t , y0 eλ2 t , z0 eλ3 t ),
onde (x0 , y0 , z0 ) é uma condição inicial próxima da origem.
Observando a relação
λ1
≤ −λ3 < λ1 < −λ2
(57)
2
iniciaremos nossa análise considerando um campo linear (x0 , y 0 , z 0 ) = (λ1 x, λ2 y, λ3 z),
definido no cubo [−1, 1]3 , onde os λi satisfazem a relação (57). As trajetórias deste campo
são dadas pelo fluxo definido por
0<

X t (x0 , y0 , z0 ) = (x0 eλ1 t , y0 eλ2 t , z0 eλ3 t )
onde (x0 , y0 , z0 ) é uma condição
inicial próxima de (0,

 0, 0).
1
1
Considere as regiões S = (x, y, 1) : |x| ≤ , |y| ≤
,
2
2
S − = {(x, y, 1) ∈ S : x < 0} ,

S + = {(x, y, 1) ∈ S : x > 0}

(58)

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ

45

e
S ∗ = S − ∪ S + = S \ Γ,

onde

Γ = {(x, y, 1) ∈ S : x = 0} .

Suponha que S é uma seção transversal para o fluxo de modo que toda trajetória
eventualmente cruza S na direção negativa do eixo z. Agora considere as regiões Σ =
{(x, y, z) : |x| = 1} = Σ+ ∪ Σ− onde Σ± = {(x, y, z) : x = ±1}. Para cada condição inicial
(x0 , y0 , 1) ∈ S ∗ o tempo τ tal que X t (x0 , y0 , 1) ∈ Σ é obtido pela equação
|x0 eλ1 t | = 1,
isto é, depende apenas de x0 . Mais precisamente τ (x0 ) = −
τ (x0 ) −→ ∞ quando x0 −→ 0.

1
log |x0 |, onde x0 6= 0 e
λ1

Figura 1: Regiões
Temos então
X τ (x0 , y0 , 1) = (sgn(x0 ), y0 eλ2 τ (x0 ) , eλ3 τ (x0 ) )
−

λ2

−

λ3

= (sgn(x0 ), y0 |x0 | λ1 , |x0 | λ1 ),

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ
onde sgn(x) =

46

x
.
|x|

Observe que 0 < −λ3 < λ1 < −λ2 , portanto 0 < α = −
seja L : S ∗ −→ Σ dada por:

λ3
λ2
< 1 < β = − . Agora,
λ1
λ1


L(x, y, 1) = sgn(x), y|x|β , |x|α .
Parametrizando a fronteira de S ± , observamos que L(S ± ) tem a forma de um triângulo(nos planos x = ±1) sem os vértices (±1, 0, 0), pois estes pontos seriam a imagem
do segmento Γ = {(x, y, 1) ∈ S : x = 0}, que não está contido na região S ∗ . De agora em
diante, nós denotaremos por Σ± o fecho de L(S ± ), ou seja, inclua os vértices (±1, 0, 0).
Usando contas análogas, observe que os segmentos S ∗ ∩{x = x0 } são levados em segmentos
Σ ∩ {z = z0 }.
Os conjuntos Σ± devem retornar para a secção transversal S através de um fluxo descrito
por uma composição adequada de uma rotação R± , uma expansão E±θ e uma translação
T± . Além disso, assumimos que os “triângulos” L(S ± ) são comprimidos na y-direção e
esticados na x-direção.
Observe que o ponto de equilíbrio na origem é hiperbólico, com autovalores λ1 ≈ 11, 83,
λ2 ≈ −22.83 e λ3 ≈ −2, 67, portanto, pelo teorema da variedade estável, sua variedade
estável W s (0) e instável W u (0) estão bem definidas e são de dimensão 2 e 1 respectivamente.
Para (x, y, z) ∈ Σ± rotação R± é dada pela matriz



0
0 ±1


R± =  0 ±1 0  .
±1 0
0
A expansão Eθ , que ocorre ao longo do eixo x, é dada pela matriz



θ 0 0


Eθ =  0 1 0 
0 0 1
satisfazendo as condições θ2−α < 1 e θα21−α > 1. A primeira condição garante que a
imagem da aplicação resultante esteja contida em S, enquanto que a segunda garante que
a aplicação seja seccionalmente expansora.
As translações T± : R3 −→ R3 são escolhidas de modo que a direção instável, partindo
da origem, seja levada na fronteira de S (a direção instável é λ1 , olhe a figura para entender

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ

47

melhor) e que as imagens de Σ± sejam disjuntas. Assim, a composição T± ◦ E± ◦ R± leva
segmentos Σ± ∩ {z = z0 } em segmentos S ∩ {x = x1 }. A construção acima nos permite
descrever, para t ∈ R+ , a órbita X t (x) para cada x ∈ S. Seja W = {X t (x), x ∈ Σ, t ∈ R+ }
o conjunto onde o fluxo X t atua. O fluxo geométrico de Lorenz é então a dupla (W, X t )

Figura 2: Regiões
Definimos então a aplicação de primeiro retorno de Poincaré, P : S ∗ −→ S como
(
P (x, y) =

T+ ◦ E+θ ◦ R+ ◦ L(x, y, 1), se x > 0
T− ◦ E−θ ◦ R− ◦ L(x, y, 1), se x < 0

Observando a característica da composição T± ◦ E± ◦ R± em levar segmentos Σ± ∩ {z =
z0 } em segmentos S ∩ {x = x1 } com a definição da aplicação L definida acima, concluímos
que se Π é uma folheação de S em segmentos S ∩ {x = x0 } a imagem P (γx0 ) da folha
γ(x0 ) = S ∩ {x = x0 } está contida na folha γP (γx0 ) . Isto é, a folheação Π é invariante por P .
Diante disso P tem a forma P (x, y) = (f (x), g(x, y)) para alguma função f : I \ {0} −→ I

0.2. MODELO GEOMÉTRICO DE LORENZ

48

1 1
e g(I \ {0}) × I −→ I onde I = [− , ].
2 2
Observe que
(
f (x) =
onde fi = (−1)i θ · x + bi ,
e

f1 (xα ), se x < 0
f0 (xα ), se x > 0

i = 0, 1;

(
g(x, y) =

g1 (xα , y, xβ ), se x < 0
g0 (xα , y, xβ ), se x > 0

1
1
onde g1 |I − × I −→ I e g0 |I + × I −→ I são aplicações, com I − = [− , 0), I + = (0, ].
2
2
Algumas propriedades da aplicação f : Seguem algumas propriedades da aplicação
f que são consequências da construção feita acima:
1. a simetria das equações de Lorenz implica que f (−x) = −f (x);
1
1
2. f é descontínua em x = 0 com limites laterais f (0− ) = e f (0+ ) = − , pois P não
2
2
é definida em Γ, pois Γ ⊂ W s (0, 0, 0);
3. f é diferenciável em I \ {0} e f 0 (x) >

√

2;

4. os limites laterais de f 0 em x = 0 são f 0 (0− ) = +∞ e f 0 (0+ ) = −∞.
Expressões para a derivada DP Relembre que P = T± ◦ E± ◦ R± ◦ L. Usando a
regra da cadeia e a definição de cada aplicação temos que para cada (x, y) ∈ S ∗ e x > 0:
DL(x, y, 1) =

βyxβ−1 xβ
αxα−1 0

DP(x, y) =

θαxα−1 0
βyxβ−1 xβ

!

e

Para x < 0 o cálculo é semelhante.
Propriedades da aplicação g:

!
.

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 49

Figura 3: Regiões
1. Para todo (x, y) ∈ S ∗ e x > 0, temos

1
∂g
(x, y) = xβ . Como β > 1, |x| ≤ existe
∂y
2

0 < λ < 1 tal que
|

∂g
| ≤ λ.
∂y

O mesmo vale para x < 0.
∂g
1
2. Para todo (x, y) ∈ S ∗ e x 6= 0, temos
(x, y) = βxβ−α . Como β − α > 0 e |x| ≤
∂x
2
temos que
∂g
| | < ∞.
∂y
Observe que da primeira propriedade, nós obtemos o fato de g contrair os segmentos
de reta S ∩ {x = x0 }. Isto é, existe C > 0 tal que para cada γ ∈ Π e para cada y1 , y2 ∈ γ
temos
|P n (y1 ) − P n (y2 )| ≤ Cλn |y1 − y2 |.

0.3

(59)

Medida Física para Transformações Expansoras por
Partes

Neste capítulo, a variedade M será o intervalo fechado [0, 1]. Aqui demonstraremos a
existência de uma medida SRB para transformações expansoras por pedaços f : M −→

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 50
M . O motivo desta construção é o fato da função unidimensional de Lorenz satisfazer
esta propriedade, e se tornar naturalmente, um caso particular. Isto é, se f é a função
unidimensional de Lorenz,
1
1
e
|Df |η1 |
|Df |η1 |
1
1
são de variação limitada, onde η1 = [− , 0) e η1 = (0, ]. Vejamos:
2
2
Em cada um dos subintervalos, ocorre que a derivada é monótona. Isto decorre do fato
de que nestes ramos a função f é côncava em um e convexa no outro, pois é a composição
de uma função afim com uma função convexa. Logo
1
|Df |η1 |

e

1
|Df |η2 |

também serão funções monótonas. Pelo exemplo 0.1.4 temos que
1
|Df |η1 |

e

1
|Df |η2 |

são funções de variação limitada. Este fato, como veremos logo a frente, faz desta aplicação
um caso particular de uma aplicação seccionalmente expansora(ou Expansoras por Partes).
A seguir enunciaremos algumas hipóteses sobre uma transformação f : M −→ M
que assumiremos como válidas. As duas primeiras, 1. e 2., definem o vem a ser uma
transformação seccionalmente expansora.
1. Existe 0 = a0 < a1 < · · · < al = 1 tal que a restrição de f a cada ηi = (ai−1 , ai ) é
de classe C 1 , com |Df (x)| > 0 para todo x ∈ ηi e i = 1, · · · , l. Além disso, a função
1
possui variação limitada para todo i = 1, · · · , l.
gηi =
|Df |ηi |
Seja P (1) alguma partição de M em intervalos η tal que ηi ⊂ η ⊂ ηi e f |η é contínua. Além
disso, para n ≥ 1, seja P (n) uma partição de M tal que P (n) (x) = P (n) (y) se, e somente
se, P (1) (f j (x)) = P (1) (f j (y)) para todo j = 0, · · · , n − 1. Para um subintervalo η ∈ P (n) ,
1
(n)
denote gη =
. A segunda condição é:
|Df n |η |
(n)

2. Existe C1 > 0 e λ1 < 1 tal que sup gη ≤ C1 λn1 para todo η ∈ P (n) e para todo n ≥ 1.
No que segue, C1 > 0 será fixada suficientemente grande de modo que vargηi ≤ C1 para
todo i = 1, · · · , l.

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 51
Agora definiremos o operador L : BV (M : R) −→ BV (M : R) chamado de operador
de Perron-Frobenius ou Operador de Transferência da aplicação f da seguinte maneira:
Lϕ =

X 

X

(gη ϕ) ◦ (f |η ) χf (η) =
−1

η∈P (1)

η∈P (1)




ϕ
−1
) ◦ (f |η ) χf (η)
(
|Df |

(60)

Note que pela propriedade 1. f |η : η −→ f (η) é estritamente monótona e consequentemente injetiva, portanto, cada y ∈ f (η) possui uma única pré-imagem x e a inversa (f |η )−1
está bem definida.
Próximo teorema é conhecido como a desigualdade de Lasota-Yorke, ela nos mostrará
que este operador está bem definido, fazendo n = 1 na desigualdade, bem como nos
ajudará a provar outros resultados. Para demonstrá-lo precisaremos de uma desigualdade
preliminar.
Proposição 0.3.1. Existem λ2 ∈ (λ1 , 1) e C2 > 0 tal que
vargη(n) ≤ C2 λn2

(61)

para todo η ∈ P (n) e n ≥ 1.
Demonstração. Dado η ∈ P (n) e 0 ≤ j ≤ n, seja ξj ∈ P (j) , ηej ∈ P (1) e ζj ∈ P (n − j − 1)
definida por η ⊂ ξj , f j (η) ⊂ ηej , e f j+1 (η) ⊂ ζj .

vargη(n)

≤

n−1
X

(n−j−1)

sup gζj

(j)

· vargηj · sup gξj

j=0

≤
=

n−1
X

C1 λn−j−1
· C1 · C1 λj1
1

j=0
(C13 /λ1 )nλn1 .

Agora fixe λ2 ∈ (λ1 , 1) e C2 = sup {(C13 λ1 )n(λ1 λ2 )n : n ≥ 1}. Concluímos que
vargη(n) ≤ C2 λn2
para todo η ∈ P (n) e n ≥ 1.

(62)

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 52
Teorema 0.3.1 (Desigualdade de Lasota-Yorke). Existe C0 > 0 e λ0 < 1 tal que
var(L

n

ϕ) ≤ C0 λn0 var(ϕ) + C0

Z
|ϕ|dm

para todo n ≥ 1 e toda função ϕ de variação limitada.
Demonstração. Pela definição do operador L temos
X

Ln ϕ =

(gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 χf n (η) , para todo n ≥ 1 .

η∈P (n)

Agora, usando as propriedades P 1., P 2. e P 5. encontraremos a seguinte desigualdade
var(Ln ϕ) ≤

X 



vargη(n) + 2 sup gη(n) · sup |(ϕ|η)| + sup gη(n) · var(ϕ|η) .

(63)

η∈P (n)

De fato,

var(Ln ϕ) ≤

X

var((gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 χf n (η) )

η∈P (n)

≤

X


var((gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 sup |χf n (η) |) + sup |(gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 | var(χf n (η) )

η∈P (n)

=

X


var((gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 ) + 2 sup |(gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 |

η∈P (n)

=

X


varη ((gη(n) ϕ)) + 2 sup |(gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1 |

η∈P (n)

=

X

varη (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup |gη(n) |var(ϕ|η) + 2 sup (gη(n) ϕ) ◦ (f n |η)−1

η∈P (n)

≤

X

varη (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup |gη(n) |var(ϕ|η) + 2 sup (gη(n) ϕ)

η∈P (n)

≤

X

varη (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup |gη(n) |var(ϕ|η) + 2 sup (gη(n) ) sup |(ϕ|η)|

η∈P (n)

=

X


varη (gη(n) ) + 2 sup (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup (|gη(n) |)var(ϕ|η)

η∈P (n)

=

X
η∈P (n)


varη (gη(n) ) + 2 sup (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup (gη(n) )var(ϕ|η).

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 53
Assim

var(Ln ϕ) ≤

X


varη (gη(n) ) + 2 sup (gη(n) ) sup |ϕ|η| + sup (gη(n) )var(ϕ|η).

(64)

η∈P (n)

Agora usando O teorema do valor médio e P 4.:
1
sup |(ϕ|η)| ≤ var|ϕ|η| +
m(η)

Z

1
|ϕ|dm ≤ var(ϕ|η) +
m(η)
η

Z
|ϕ|dm

(65)

Agora, substituindo (61) e (65) em (64), obtemos

n

var(L ϕ) ≤
≤
≤
=
=
=
≤



Z
1
n
|ϕ|dm + C1 λ1 var(ϕ|η)
m(η)
(n)
η∈P
Z
X
X
1
n
2
|ϕ|dm
4C2 λ2
var(ϕ|η) + 3C2 λ2
m(η)
(n)
(n)
η∈P
η∈P
Z
X
X
1
(n)
n
2
: η ∈ P } |ϕ|dm
4C2 λ2
var(ϕ|η) + 3C2 λ2
sup {
m(η)
η∈P (n)
η∈P (n)
X Z
X
1
n
(n)
2
4C2 λ2
:η∈P }
|ϕ|dm
var(ϕ|η) + 3C2 λ2 sup {
m(η)
(n)
(n)
η∈P
η∈P
Z
X
X
1
n
(n)
2
4C2 λ2
: η ∈ P } |ϕ|dm
1
var(ϕ|η) + 3C2 λ2 sup {
m(η)
η∈P (n)
η∈P (n)
Z
X
1
n
(n)
2
4C2 λ2
: η ∈ P } |ϕ|dm#(P (n) )
var(ϕ|η) + 3C2 λ2 sup {
m(η)
η∈P (n)
Z
n
C3 λ3 var(ϕ) + K3 (n) |ϕ|dm

X 
n
n
(C2 λ2 + 2C1 λ1 ) · var(ϕ|η) +

onde C3 = 4C2 , λ3 = λ2 e K3 (n) = 3C2 λ2 (#P (n) ) sup {
var(L

n

ϕ) ≤ C3 λn3 var(ϕ) + K3 (n)

1
: η ∈ P (n) }. Temos então
m(η)

Z
|ϕ|dm.

(66)

Próximo passo é tirar a dependência de K3 de n. Com este intuito, fixe N ≥ 1 tal
1
b = max{K3 (n) : 1 ≤ n ≤ N }. Então dado n ≥ 1 escrevamos
e denote K
que C3 λN
3 ≤
2
n = qN + r com q ≥ 0 e 1 ≤ r ≤ N . Usando esta limitação sucessivas vezes temos

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 54

n



var(L ϕ) ≤

1
1 + ··· + q
2



Z
b
K

|ϕ|dm +

1
C3 λr3 var(ϕ).
2q

(67)

De fato:

var(Ln ϕ) = var(LN Ln−N ϕ)
≤

n−N
C 3 λN
ϕ) + K3 (N )
3 var(L

≤

n−N
b
C 3 λN
ϕ) + K
3 var(L

Z

Z

|Ln−N ϕ|dm

|Ln−N ϕ|dm

Z
1
n−N
b
var(L
ϕ) + K |Ln−N ϕ|dm
≤
2
Z
1
n−N
b
ϕ) + K |ϕ|dm
=
var(L
2
Portanto
1
b
var(L ϕ) ≤ var(Ln−N ϕ) + K
2
n

Z
|ϕ|dm

(68)

Diante desta desigualdade, aplique-a fazendo a substituição de n por n − N para obter
seguinte:

var(Ln−N ϕ) = var(LN Ln−2N ϕ)
Z
1
n−2N
b
≤
var(L
ϕ) + K |ϕ|dm.
2
Agora substitua esta última desigualdade em (68) para obter

Z
1
n−N
b
var(L ϕ) ≤
var(L
ϕ) + K |ϕ|dm
2


Z
Z
1 1
n−2N
b |ϕ|dm + K
b |ϕ|dm
≤
var(L
ϕ) + K
2 2

 Z
1 b
1
n−2N
= 2 var(L
ϕ) + 1 +
K |ϕ|dm.
2
2
n

Portanto

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 55

 Z

1
1 b
n−2N
var(L ϕ) ≤ 2 var(L
ϕ) + 1 +
K |ϕ|dm.
2
2
n

(69)

Agora use (68) novamente, substituindo n por n − 2N :

var(Ln−2N ϕ) = var(LN Ln−3N ϕ)
Z
1
n−3N
b
var(L
ϕ) + K |ϕ|dm.
≤
2
Substitua esta última desigualdade em (69):

 Z

1
1 b
n−2N
var(L
ϕ) + 1 +
K |ϕ|dm
22
2
 

 Z
Z
1 1
1
n−3N
b |ϕ|dm + 1 +
b |ϕ|dm
var(L
ϕ) + K
K
22 2
2

 Z
Z
1b
1 b
1
n−3N
K |ϕ|dm
var(L
ϕ) + K |ϕ|dm + 1 +
23
2
2

 Z
1
1
1 b
n−3N
var(L
ϕ) + 1 + + 2 K |ϕ|dm.
23
2 2

n

var(L ϕ) ≤
≤
=
=

Esta quantidade de passos é suficiente para perceber que em q passos nós teremos

 Z
1
1
1
1
n−qN
b |ϕ|dm.
var(L ϕ) ≤ q var(L
ϕ) + 1 + + 2 + · · · + q−1 K
2
2 2
2
n

E equivalentemente

 Z
1
1
1
1
r
b |ϕ|dm.
var(L ϕ) ≤ q var(L ϕ) + 1 + + 2 + · · · + q−1 K
2
2 2
2
n

Em (68) substitua n por r e obtenha

r

var(L ϕ) ≤
≤

C3 λr3 var(ϕ) + K3 (r)
b
C3 λr3 var(ϕ) + K

Z
|ϕ|dm

Z
|ϕ|dm.

Substituindo, esta última desigualdade em (70) obtemos o desejado, i.e.,

(70)

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 56

n

var(L ϕ) ≤
≤
=
=

 Z

1
1
1
1
r
b |ϕ|dm
var(L ϕ) + 1 + + 2 + · · · + q−1 K
2q
2 2
2

 
 Z
Z
1
1
1
1
r
b
b |ϕ|dm
C3 λ3 var(ϕ) + K |ϕ|dm + 1 + + 2 + · · · + q−1 K
2q
2 2
2

 Z
1
1
1
1
1 b
r
C3 λ3 var(ϕ) + 1 + + 2 + · · · + q−1 + q K |ϕ|dm
2q
2 2
2
2
 Z

1
1
1 b
1
r
+
C
λ
var(ϕ)
+
1
+
+
·
·
·
+
K |ϕ|dm,
3
3
2q
2 22
2q

e isto é a relação desejada.
b C3 } e max{2 −1
N , λ } ≤ λ < 1.
Agora, para concluir, escolha C0 ≥ max{2K,
3
0

Corolário 0.3.1. Seja C(a) o cone de funções ϕ : [0, 1] −→ R tal que ϕ(x) ≥ 0 para todo
R
x ∈ [0, 1] e varϕ ≤ a ϕdm. Então, se a é suficientemente grande, existe N ≥ 1 tal que
a
LN (C(a)) ⊂ C( ).
2
1
1
e N ≥ 1 tal que C0 λN
0 ≤ . Então, para ϕ ∈ C(a),
2
4

Z
Z
Z
a
1
a
ϕ
vsr(L ) ≤ varϕ + C0 ϕdm ≤
ϕdm =
ϕdm
4
4 + C0
2

Demonstração. Seja λ =

sempre que a ≥ 2C0 .

Uma vez provado que o operador de transferência está bem definido, próxima proposição
nos dá uma importante relação, chamada de relação de dualidade. Esta fórmula está
diretamente relacionada com a utilidade do operador.
Proposição 0.3.2. Para ϕ, ψ ∈ L1 (m) vale
Z

Z
(Lϕ)ψdm =

ϕ(ψ ◦ f )dm.

Consequentemente, para ϕ, ψ ∈ BV (M : R) vale (71).

(71)

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 57
Demonstração. De fato
Z
ϕ (ψ ◦ f )dm =

l Z
X
j=1

=

(ϕ) (ψ ◦ f )dm

l Z
X
j=1

(72)

ηj



ϕ ◦ f |ηj

−1 

ψ|Df |−1 dm

(73)

f (ηj )

l Z 
X


−1
ϕ
=
◦ f |ηj
ψχf (ηj ) dm
|Df |−1
j=1

Z X
l 
−1
ϕ
=
◦ f |ηj
ψχf (ηj ) dm
−1
|Df
|
j=1
Z
=
(Lϕ) ψdm

(74)

(75)
(76)

onde (72) =⇒ (73) devido a fórmula de mudança de variável e as demais implicações
são contas diretas.

Esta proposição nos ajudará a conectar propriedades ergódicas de f com propriedades
espectrais do operador L. Em particular, pontos fixos de L definem medidas f -invariantes
e absolutamente contínuas com relação a m (medida de Lebesgue). Esta relação se tornará
clara com a seguinte proposição:
Teorema 0.3.2. Seja ϕ0 ∈ L1 (m) e não negativa tal que L(ϕ0 ) = ϕ0 . Então a medida
ϕ0 m
é f -invariante e absolutamente contínua.
de probabilidade µ0 definida por µ0 = R
ϕ0 dm
dµ0
Reciprocamente, se uma medida finita µ0 , f -invariante, é tal que µ0 << m, então ϕ0 =
dm
satisfaz Lϕ0 = ϕ0 .
Demonstração. Precisaremos do seguinte lema:
Lema 0.3.1. Sejam λ, µ medidas σ-finitas no espaço mensurável X tal que λ << µ e
dλ
h=
. Se g é mensurável e não-negativa, então
dµ
Z

Z
gdλ =

ghdµ.

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 58
Demonstração do lema: Suponha que g = χE , para algum mensurável E. Então
Z

Z
gdλ =

χE dλ

= λ(E)
Z
=
hdµ
E
Z
=
χE hdµ
Z
=
ghdµ
Por linearidade, o resultado vale para funções simples. Agora, considere uma sequência
crescente (gn )n de funções simples, tal que gn ↑ g. Usando o teorema da Convergência
Monótona, temos:

Z

Z
gdλ =
=
=
=
=

lim gn λ
Z
lim gn dλ
Z
lim gn hdµ
Z
lim gn hdµ
Z
ghdµ.

Observe, nas contas acima que, uma vez que h ≥ 0 a sequência (hgn )n é monótona não
decrescente tal que hgn −→ hg, de modo que pudemos aplicar o teorema da Convergência
Monótona novamente para esta sequência. Concluímos, desta forma, a demonstração do
lema.
Voltando a demonstração do teorema, relembre que a medida µ0 é f -invariante se, e
somente se, f ∗ µ0 = µ0 . Portanto, para um conjunto mensurável E temos:

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 59

f ∗ µ0 (E) = µ0 (f −1 (E))
Z
=
χf −1 (E) dµ0
Z
=
χE ◦ f dµ0
Z
ϕ0
)dm
=
(χE ◦ f )( R
ϕ0 dm
Z
ϕ0
=
(R
)(χE ◦ f )dm
ϕ0 dm
Z
ϕ0
)(χE )dm
=
(L R
ϕ0 dm
Z
ϕ0
(L R
=
)dm
ϕ0 dm
E
Z
ϕ0
)dm
=
(R
ϕ0 dm
E
ϕ0
= R
m(E)
ϕ0 dm
= µ0 (E)

(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)

onde (78) ⇒ (79) segue da igualdade χf −1 (E) = χE ◦ f dµ0 , (79) ⇒ (80) da relação
dµ0
e do lemma, (7) ⇒ (8) da proposição (3.2), (83) ⇒ (84) do fato de Lϕ0 = ϕ0 e
ϕ0 =
dm
as demais diretamente das respectivas definições.
µ0
e µ0 é f -invariante. Sendo f Reciprocamente, suponha que µ0 << m, ϕ0 =
dm
invariante, vale f ∗ µ0 = µ0 e, pelo teorema de Mudança de Variável, temos, para todo E
mensurável:

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 60

Z

Lϕ0 dm =

Z
(Lϕ0 )(χE )dm

(87)

(ϕ0 )(χE ◦ f )dm

(88)

(χE ◦ f )(ϕ0 )dm

(89)

(χE ◦ f )dµ0

(90)

(χE )d (f ∗ µ0 )

(91)

(χE )dµ0

(92)

(χE )ϕ0 dm

(93)

ϕ0 dm

(94)

E

Z
=
Z
=
Z
=
Z
=
Z
=
Z
=
Z
=
E

onde (87) ⇒ (88) segue da proposição (3.2), em (88) ⇒ (89) o integrando foi comutado,
(89) ⇒ (90) é consequência do lema (3.1), (90) ⇒ (91) segue do teorema de Mudança de
Variável, (91) ⇒ (92) da f -invariância de µ0 e (92) ⇒ (93) novamente do lema (3.1).
Diante disto, seja A = {x|Lϕ0 (x) ≥ ϕ0 (x)}:

Z

Z

Z

ZA

|Lϕ0 − ϕ0 |dm +
|Lϕ0 − ϕ0 |dm
c
Z A
Lϕ0 − ϕ0 dm +
ϕ0 − Lϕ0 dm

A

Ac

|Lϕ0 − ϕ0 |dm =
=

(95)
(96)

= 0+0

(97)

= 0

(98)

R
R
onde (96) ⇒ (97) pela observação feita acima que E Lϕ0 dm = E ϕ0 dm para todo
mensurável E. Portanto temos Lϕ0 = ϕ0 m-qtp e como µ0 << m o resultado vale m0 -qtp.
Um corolário da proposição 3.2 é o fato de L ser um operador limitado, cuja norma é
igual a 1.
Corolário 0.3.2. O operador L é limitado e ||L||1 = 1.

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 61
Demonstração. Primeiramente observe que |Lϕ| ≤ L|ϕ|. De fato

|Lϕ| =

X
η∈P (1)

≤

X
η∈P (1)

=

X
η∈P (1)

=

X
η∈P (1)

ϕ
◦ (f |η)−1 χf (η)
|Df |
ϕ
◦ (f |η)−1 χf (η)
|Df |
ϕ
◦ (f |η)−1 χf (η)
|Df |

|ϕ|
◦ (f |η)−1 χf (η)
|Df |

= L|ϕ|.
Agora observe que por um lado temos,
Z
||Lϕ||1 =

|Lϕ|dm
Z

≤

L|ϕ|dm

Z
=

(L|ϕ|)(1)dm
Z
(|ϕ|)(1 ◦ f )dm

=
Z

|ϕ|dm
Z
= 1 |ϕ|dm
=

= 1 · ||ϕ||1
onde, respectivamente foi usado o fato de |Lϕ| ≤ L|ϕ| e a proposição 3.2. E isto implica
que ||L|| ≤ 1.
Por outro lado, fazendo ϕ ≡ 1 temos

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 62

Z
||L1||1 =

|L1|dm
Z

L|1|dm

=
Z
=

(L1)(1)dm
Z
(1)(1 ◦ f )dm

=
Z
=

1dm

= 1.
Daí ||L|| ≥ 1. Portanto ||L|| = 1 e L é um operador limitado.

Teorema 0.3.3. A aplicação f possui uma probabilidade µ0 , f -invariante e absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue m. Além disso, se µ é outra medida
f -invariante e absolutamente contínua, então µ = ϕm onde ϕ possui variação limitada.
n−1

Demonstração. Defina a sequência ϕn =

1X j
L 1. Pela desigualdade de Lasota-Yorke,
n j=0

observando que var1 = 0, (ϕn )n possui variação limitada uniformemente, i.e.
Z
n−1
n−1
1X
1X
j
varϕn ≤
var(L 1) ≤
C0 dm = C0 .
n j=0
n j=0
Além disso, temos
Z

n−1 Z

1X
ϕn dm =
n j=0

n−1 Z

1X
L 1dm =
n j=0
j

dm = 1 para todo n ≥ 1

e então (ϕn )n é também uniformemente limitada, i.e
Z
sup ϕn ≤ varϕn +

ϕn dm ≤ C0 + 1.

Consequentemente, pelo teorema de Helly, existe uma subsequencia (ϕnk )k que converge
em L1 (m) para uma função ϕ0 de variação limitada. Agora observe que

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 63

Lϕnk = ϕnk +

1 nk
(L 1 − 1).
nk

(99)

De fato, temos:

Lϕnk = L

!
nk −1
1 X
Lj 1
nk j=0
n

k
1X
Lj 1
=
nk j=1

n

k
1X
1
1
=
Lj 1 +
−
nk j=1
nk nk

n

k
1
1X
Lj 1 −
=
nk j=0
nk

n

=

k
1X
1
Lj 1 −
nk j=0
nk

n −1

k
1 X
1
1
=
Lj 1 + Ln k 1 −
nk j=0
nk
nk

n −1

=

k
1 X
1
Lj 1 +
(Lnk 1 − 1)
nk j=0
nk

= ϕnk +

1
(Lnk 1 − 1) .
nk

Além disso, L é um operador limitado em L1 (m) o que nos dá, passando (99) ao limite, que
Lϕ0 = ϕ0 , i.e. ϕ0 é um ponto fixo para L implicando na f -invariância da probabilidade µ
definida por µ = ϕ0 m.
Para provar a outra afirmação, suponha que µ é f -invariante e absolutamente contínua
com relação a medida de Lebesgue. Então temos µ = ψm com ||ψ||1 = 1 e Lψ = ψ.
Mostremos que ψ coincide em m-qtp com alguma ψ de variação limitada. Para isto, considere uma sequência de funções (ψl )l , cujos termos são de variação limitada, que converge
para ψ em L1 (m). Admita que ||ψl || ≤ 2 para todo l. A proposição 3.1 nos fornece
n−1

var

1X j
L ψl
n j=0

!



Z
Z
n−1
1X
j
≤
C0 λ0 varψl + |ψl |dm → C0 |ψl |dm ≤ 2C0
n j=0

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 64
temos também

n

1X j
||
L ψl ||1 ≤ ||ψl ||1 ≤ 2.
n j=0
n−1

1X j
Logo, pelos mesmo argumentos anteriormente usados, a sequência
L ψj satisfaz as
n j=0
hipóteses do teorema de Helly. Segue-se que existe uma função ψ l e uma subsequência
nk −1
1 X
(nk )k tal que
Lj ψj converge para ψ l em L1 (m). Além disso teremos varψ l ≤ 2C0 e
nk j=0
||ψ l ||1 . Diante destes dois últimos fatos, podemos aplicar novamente o teorema de Helly na
sequência (ψ l )l , e concluir que alguma subsequência (ψ lj )j converge em L1 (m) para alguma
função ϕ tal que varϕ ≤ 2C0 . Além disso,
n −1

k
1 X
||ψ l − ψ||1 = lim ||
Lj (ψl − ψ)||1 ≤ ||ψl − ψ||1
nk j=0

implica que ψ l converge em L1 (m) para ψ. Portanto, ψ = ϕ m-qtp e teremos µ = ψm =
ϕm.
Agora defina a função gηn : M −→ R por gηn (y) =

1
◦ (f n |η)−1 (y) se y ∈ f n (η) e
|Df n |

/ f n (η).
gηn (y) = 0 se y ∈
Lema 0.3.2. Para toda função integrável ϕ : [0, 1] −→ R e todo n ≥ 1 o iterado da medida
de Lebesgue por f n pode ser escrito f n ∗ (ϕm) = ϕn m, com
ϕn =

X

gηn · ϕ ◦ (f n |η )−1



η

onde a soma é feita sobre os η ∈ P ( n) tais que m(η) > 0.
Demonstração. Dado um mensurável B, por definição temos

f n ∗ (ϕm|η)(B) = ϕm f −n (B) ∩ η
Z
=
ϕdm.



f −n (B)∩η

Agora façamos a mudança de variável y = (f n |η)−1 : f (η) ∩ B −→ f , para obter

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 65

Z

n

f ∗ (ϕm|η)(B) =

ϕdm
f −n (B)∩η

Z
=
=
=
=
=
=

ϕ
◦ (f n |η)−1 dm
n|
|Df
n
B∩f (η)
Z
ϕ
◦ (f n |η)−1 χB∩f n (η) dm
n
|Df |
Z
ϕ
◦ (f n |η)−1 χB χf n (η) dm
|Df n |
Z
ϕ
◦ (f n |η)−1 χf n (η) dm
n|
|Df

ZB 

1
n
−1
n
−1
n (η)
dm
◦
(f
|η)
χ
·
ϕ
◦
(f
|η)
f
|Df n |
B
Z

gηn · ϕ ◦ (f n |η)−1 dm,
B




1
n
−1
onde esta última igualdade segue, do fato, da expressão
◦ (f |η) χf n (η) ser zero
|Df n |
fora de f n (η). Isto prova que a densidade de cada f n ∗(ϕm|η) é dada por gηn ·(ϕ ◦ (f n |η)−1 ).
Escrevendo
f n ∗ (ϕm) =

X

f n ∗ (ϕm|η),

η∈P n

onde os intervalos η ∈ P n tais que m(η) = 0 não fazem influência nesta soma, a demonstração do lema se conclui fazendo esta soma sobre os subintervalos de P n tais que m(η) >
0.
Proposição 0.3.3. Dado um conjunto A ⊂ [0, 1], f -invariante, com medida de Lebesgue
positiva, existe uma probabilidade absolutamente contínua com relação a Lebesgue e f invariante νA , tal que νA (A) = 1.
Demonstração. Para provar esta proposição, usaremos um lema que é um corolário da
proposição 1.6. Para os detalhes da demonstração veja [13].
n−1

1X j
f ∗ m é uma medida f Lema 0.3.3. Todo ponto de acumulação da sequência
n j=0
invariante e absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue.
b o conjunto dos x ∈ A tal que toda vizinhança de x intersecta A num conjunto
Seja A

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 66
b =
cuja medida de Lebesgue é positiva. Pelo teorema de derivação de Lebesgue m(A)
m(A) > 0. Além disso
!




b ⊂ f −1 (A)
b ∪
A

[

ci

(100)

i

b não é um ponto singular, então f
onde ci é uma singularidade de f . De fato, se x ∈ A
restrita a uma vizinhança suficientemente pequena de x é um difeomorfismo local. Como
esta vizinhança intersecta A num conjunto de medida positiva, o mesmo deve acontecer
b o que prova a inclusão. Isto também implica que
com f (x). Logo f (x) ∈ A,
b⊂
A

∞
[

!
b
f −n (A)

n=1

!
∪

[

ci

.

(101)

i

b e considere a sequência
Seja (m|Ab) a restrição normalizada da medida de Lebesgue a A,
de probabilidades
n−1
1X j
f ∗ (m|Ab).
µA,n =
n j=0
χAb
. Agora usando o lema 3.2, seja ϕn a
b
m(A)
densidade correspondente a f n ∗ (m|Ab) e φn a densidade correspondente a f n ∗ m. Então
vale
C0 + 1
1
φj ≤
para todo j ≥ 0.
ϕj ≤
b
b
m(A)
m(A)
Observe que (m|Ab) = ϕm onde ϕ =

C0 + 1
para todo n ≥ 1
b
m(A)
Segue-se do lema 3.3 que todo ponto de acumulação da sequência µA,n é uma probabilidade
absolutamente contínua com relação a Lebesgue e f -invariante. Chame de µA um desses
b A)
b ≥ (m|A)(
b A)
b
pontos de acumulação. A relação (101) implica f j ∗ (m|A)(
  = 1 para todo
b = 1 para todo n ≥ 1 e pela proposição [] µA A
b = 1. Por outro
j ≥ 1, isto nos dá µA,n (A)
lado, pelo teorema 3.3 µA = ϕA m onde ϕA possui variação limitada. Ou seja, existe um
intervalo J ⊂ [0, 1] tal que
Isto implica que µA,n admite uma densidade limitada por

ϕA > δ

em J, para um δ > 0.

(102)

Isto implica que as restrições de µA e m a J são medidas equivalentes. De fato, sabemos
que µA << m, agora suponha que µA (E) = 0 para um conjunto mensurável E ⊂ J.

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 67
R

R
ϕdm
=
χE ϕdm = 0, logo χ
E
E ϕ = 0 m-qtp, portanto χE = 0 m-qtp, daí
R
b = 1 temos que A
b intersecta J num conjunto
m(E) = χE dm = 0. Portanto como µA A
b tem algum ponto em J e pela definição
de medida de Lebesgue total em J. Em particular A
b temos que A ∪ J tem medida de Lebesgue positiva e, integrando (102) em A, temos
de A
Então

µA (A) ≥ δm(A ∩ J) > 0.
Agora defina νA como a restrição normalizada de µA ao conjunto A, i.e,
νA (B) =

µA (B ∩ A)
para todo mensurável B.
µA (A)

Temos então ν(A) = 1 e ν << µA << m. Além disso, νA é f -invariante

νA (f

−1

(B)) =
=
=
=
=

µA (f −1 (B) ∩ A)
µA
−1
µA (f (B) ∩ f −1 (A))
µA
−1
µA (f (B ∩ A))
µA
µA (B ∩ A)
µA
νA (B).

(103)
(104)
(105)
(106)
(107)

onde (103) =⇒ (104) pela f -invariância de A e (105) =⇒ (106) pela f -invariância de
µA . O que conclui a prova do resulado.
Proposição 0.3.4. Todo conjunto A ⊂ [0, 1], f -invariante, com medida de Lebesgue positiva, possui medida de Lebesgue total numa vizinhança de algum ponto singular: existe
 > 0 e um ponto singular c de f tal que m([c − , c + ] \ A) = 0.
Demonstração. Seja ν uma probabilidade f -invariante e absolutamente contínua tal que
ν(A) = 1. Pelo teorema 3.3, ν = ϕm onde ϕ é uma função de variação limitada. Isto
implica que existe um intervalo J ⊂ [0, 1] tal que o ínfimo de ϕ em J é estritamente
positivo (veja demonstração da proposição 3.3 anterior) implicando na equivalência entre
ν e m em J. Portanto, como
ν(J \ A) = ν(J ∩ Ac ) = 0 =⇒ m(J \ A) = 0 (observe no lema anterior a definição de ν)
(108)

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 68
temos que, se J contém uma singularidade de f o resultado está provado. Suponha
então que J não contém uma singularidade. Considere os iterados f n (J) do intervalo J, a
propriedade de expansividade implica que
l(f n (J)) ≥ C1 λn1 l(J) onde l(J) significa o “comprimento do intervalo J”,
sempre que f n (J) não contém uma singularidade para 0 ≤ j ≤ n−1. Como o comprimento
de [0, 1] é finito, deve existir um primeiro N tal que f N (J) contém uma singularidade.
Isto quer dizer que f N |J é um difeomorfismo com sua imagem (lembre que a derivada é
sempre maior que zero onde ela está definida). Sendo um difeomorfismo, f N |J transforma
conjuntos de medida de Lebesgue nula em conjuntos de medida de Lebesgue nula, além
disso f N (J) é um intervalo. Portanto por (108) e pela invariância de A temos
m(f N (J) \ A) = m(f N (J) \ f N (A) = m(f N (J \ A) = 0.

Teorema 0.3.4. A aplicação f possui um número finito, limitado pelo número de pontos
singulares de f , de medidas ergódicas absolutamente contínuas com relação a m.
Demonstração. Seja µ uma medida ergódica f -invariante e absolutamente contínua com
dµ
relação a medida de Lebesgue. Pelo teorema 3.3 µ = ϕm onde ϕ =
possui variação
dm
limitada. Portanto, pela proposição 1.10, existe um intervalo J ⊂ M tal que ϕ > 0
em J e em f n (J) para todo n ≥ 1. Isto implica que µ é equivalente a m em J. Com
efeito, sabemos que µ << m, agora suponha que µ(E) = 0 para um conjunto mensurável
R
R
E ⊂ J. Então E ϕdm = χE ϕdm = 0, logo χE ϕ = 0 m-qtp, portanto χE = 0 m-qtp, daí
R
m(E) = χE dm = 0. Agora considere A0 ⊂ f (J) tal que ϕ = 0 em A0 . Então µ(f −1 (A0 )) =
R
µ(A0 ) = A0 ϕdµ = 0 pois µ é f -invariante. Como f −1 (A0 ) = (f −1 (A0 ) ∩ J) ∪ (f −1 (A0 ) ∩ J c )
temos que 0 = µ (f −1 (A0 ) ∩ J)+µ (f −1 (A0 ) ∩ J c ) = 0+0 o que nos dá µ (f −1 (A0 ) ∩ J) = 0 e
consequentemente m (f −1 (A0 ) ∩ J), pois m << µ em J. Agora, seja Fη = η ∩(f −1 (A0 ) ∩ J)
para todo η ∈ P (1) . Como f |η é C 1 temos que f é localmente Lipschitz em cada η, e
portanto preserva a medida nula de subconjuntos de η. Daí, observe que



[


f −1 (A0 ) ∩ J = 
η ∩ f −1 (A0 ) ∩ J  ∪
η∈P (1)

j
[

!
{xi }

i=0

onde xi são os pontos singulares de f . Portanto m(f (f −1 (A0 ) ∩ J)) = m(A0 ) = 0 e

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 69
ϕ > 0 em f ( J), e o mesmo vale para f n (J) para todo n ≥ 1. Resulta que µ e m são
equivalentes de f n (J) para todo n ≥ 1. Como µ é ergódica temos que µ-qtp x ∈ f n (J)
é genérico para µ, e pela equivalência com m, m-qtp x ∈ f n (J) é genérico para µ, i.e, o
n−1
R
1X
tempo médio
ϕ(f j (x)) converge para ϕdµ, para toda função contínua ϕ. Por outro
n j=0
lado, se ai é uma das singularidades, considere n o primeiro n tal que ai ∈ f n (J), caso
contrário, o comprimento de f n (J) seria ilimitado quando n −→ ∞ o que contradiz o fato
de f n (J) ⊂ I. Isto nos diz que duas destas medidas distintas, µ1 e µ2 , devem resultar
0
00
0
00
em dois f n (J) f n (J) disjuntos. De fato, se f n (J) ∩ f n (J) 6= ∅, então m-qtp(Lebesgue)
0
00
0
00
x ∈ f n (J) ∩ f n (J) é µ genérico. Isto implica que deve existir um x ∈ f n (J) ∩ f n (J) tal
Z
Z
n−1
n−1
1X
1X
j
j
que
ϕ(f (x)) =
ϕdµ1 e
ϕ(f (x)) =
ϕdµ2 para toda ϕ contínua. O que
n j=0
n j=0
R
R
nos dá ϕdµ1 = ϕdµ2 e consequentemente µ1 = µ2 . Portanto, existem no máximo l − 1
(l é o número de subintervalos da partição P (1) ) destas medidas.
Observação 0.3.1. Para a transformação f do modelo geométrico de Lorenz, tomamos
l = 2.
Finalizamos esta seção com a seguinte proposição:
Proposição 0.3.5. Para a aplicação f de Lorenz, se µ0 é uma medida f -invariante e absolutamente contínua com respeito a Lebesgue, então µ0 é ergódica. Além disso m(B(µ0 )) =
1.
Demonstração. Suponha que existe um conjunto mensurável A ⊂ [0, 1] com f −1 (A) = A
com 0 < µ0 (A) < 1. Então
µ1 (B) =

µ0 (B ∩ Ac )
µ0 (B ∩ A)
e µ2 (B) =
µ0 (A)
µ0 (Ac )

definem duas medidas f -invariantes e absolutamente contínuas com relação a Lebesgue.
dµi
Pelo teorema 3.3 as densidades ϕi =
são funções cuja variação é limitada.
dm
Logo existem intervalos J1 e J2 tal que ϕ1 > 0 em J1 e ϕ2 > 0 em J2 . Afirmo que
J1 ⊂ A m-qtp e J2 ⊂ Ac m-qtp. Ou equivalentemente
m(J1 ∩ Ac ) = 0 e m(J2 ∩ A) = 0.
Z
dµ1
De fato, se m(J1 ∩ Ac ) > 0 então por um lado
dm > 0, mas isto implica que
Ac ∩J1 dm
µ1 (J1 ∩ Ac ) > 0, uma contradição, pois

0.3. MEDIDA FÍSICA PARA TRANSFORMAÇÕES EXPANSORAS POR PARTES 70

µ0 ((J1 ∩ Ac ) ∩ A)
µ0 (A)
µ0 (∅)
=
µ0 (A)
= 0.

µ1 (J1 ∩ Ac ) =

Logo J1 ⊂ A m-qtp e, pela mesma justificativa, J2 ⊂ Ac m-qtp. Isto nos diz que A
e Ac possuem interior não vazio m-qtp e consequentemente possuem medida de Lebesgue
positiva. Desta forma A e Ac satisfazem as hipóteses da proposição 3.3, ou seja existem
1 > 0 e 2 > 0 tal que m([c − 1 , c + 1 ] \ A) = 0 e m([c − 2 , c + 2 ] \ Ac ) = 0. Tomando
 = min{1 , 2 } teremos que
m([c − , c + ] \ A) = 0

(109)

m([c − , c + ] \ Ac ) = 0.

(110)

e

Porém,
m([c − , c + ] \ A) = 0 =⇒ m([c − , c + ] ∩ Ac ) = 0
=⇒ [c − , c + ] ⊂ A, m-qtp
=⇒ m([c − , c + ] ∩ A) > 0
=⇒ m([c − , c + ] \ Ac ) > 0
o que por (110) é uma contradição. Portanto µ0 é ergódica e portanto física.
Agora provemos que m (B(µ0 )) = 1. Se isto não ocorre, então m(B(µ0 ))c > 0 e como
B(µ0 ) é invariante, temos que B(µ0 )c também o é. Use a notação A = B(µ0 )c Pela
proposição 3.4 existe uma medida de probabilidade µA tal que µA (A) = 1, além disso, µA é
f -invariante e pela proposição 3.5 (a parte já provada dela), é ergódica. Como µA (A) = 1
temos que µA (B(µ0 )) = 0, e por sua vez, µ0 (A) = 0 temos que µ0 (B(µ0 )) = 1. Portanto
µ0 6= µA o que contradiz a unicidade de µ0 . Portanto m (B(µ0 )) = 1.

Unindo o teorema 3.3 com a proposição 3.5 obtemos o

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

71

Teorema 0.3.5. A transformação unidimensional f de Lorenz possui uma única medida
ergódica e absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue que será denotada
por µf . Consequentemente µf é uma medida física para f e, mais ainda, sua bacia ergódica
tem medida de Lebesgue total, i.e, m (B(µf )) = 1.

0.4

Medida Física para a Aplicação de Poincaré

1 1
Neste seção, p : S −→ [− , ] denotará a projeção canônica, i.e., p(x, y) = x e C 0 (S; R)
2 2
denotará o espaço de Banach das funções contínuas munido com a norma do sup, i.e.,
||ψ|| = sup |ψ(x)|.
Agora, a partir da existência de uma medida SRB para a aplicação unidimensional de
Lorenz f , construiremos uma medida física para a aplicação P de Poincaré. Para isto,
fixemos a notação µf para a única medida ergódica absolutamente contínua, e SRB, da
aplicação unidimensional de Lorenz f .
1 1
Sejam Π a folheação de S, cujas folhas são os segmentos verticais γx = {x × [− , ]}
2 2
1 1
∗
com x ∈ [− , ] e P : S −→ S a aplicação de primeiro retorno definida no capítulo 2.
2 2
Para esta aplicação, valem as propriedades:
A1 A imagem de qualquer γx ∈ Π diferente de Γ, está contida no elemento γP (x) ∈ Π;
A2 O comprimento de P n (γx ) tende para zero quando n −→ ∞, uniformemente, para
todos os γx tais que o iterado P n (γx ) está definido.
1 1
Para uma função contínua ψ : S −→ R, defina as funções ψ− : [− , ] −→ R e
2 2
1 1
ψ+ : [− , ] −→ R da seguinte maneira:
2 2
ψ− (x) =

inf

(x,y)∈p−1 (x)

ψ(x, y) e ψ+ (x) =

sup

ψ(x, y).

(x,y)∈p−1 (x)

Lema 0.4.1. Dada qualquer função contínua ψ : S −→ R, ambos os limites
Z
lim

n→∞

existem e coincidem.

Z

n

(ψ ◦ P )− dµf e lim

n→∞

(ψ ◦ P n )+ dµf

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

72

Demonstração. Seja ψ : S −→ R contínua,  > 0 e δ > 0 tal que |ψ(x1 ) − ψ(x2 )| ≤ 
sempre que |x1 − x2 | ≤ δ. Uma vez que Π é uniformemente contraída por P , existe n0 ∈ N
tal que diam(P n (γx )) ≤ δ para todo γx ∈ Π e todo n ≥ n0 . Por definição
(ψ ◦ P n+k )− (x) − (ψ ◦ P n )− (f k (x)) = inf (ψ|P n+k (γx ) ) − inf (ψ|P n (γf k (x) ) )

(111)

Agora observe que P n+k (γx ) ⊂ P n (γf k (x) ), o que implica na limitação da expressão do
lado direito de (111) por
(sup (ψ|P n (γf k (x) ) ) − inf (ψ|P n (γf k (x) ) )) ≤ .
Portanto

Z
(ψ ◦ P

n+k

Z
)− dµf −

(ψ ◦ P n )− ◦ f k dµf ≤ .

Além disso, usando o teorema de mudança de variáveis, podemos substituir a segunda inte
R
R
(ψ ◦ P n )− dµf n é uma sequência
gral por (ψ ◦ P n )− dµf pois µf é f -invariante. Como
de Cauchy em R, temos que esta sequência é convergente. Mais ainda,
0 ≤ |(ψ ◦ P n )+ (x) − (ψ ◦ P n )− (x)| = sup ψ|P n (γx ) − inf ψ|P n (γx ) ≤ 
para todo n ≥ n0 . Logo, as duas sequência do lema possuem o mesmo limite.
Proposição 0.4.1. Existe uma probabilidade µP em S tal que
Z

Z
ψdµP = lim

n→∞

Z

n

(ψ ◦ P )+ dµf = lim

n→∞

(ψ ◦ P n )− dµf

para toda função contínua ψ : S −→ R. Além disso, µP é única e P -invariante.
Demonstração. Sejam µ̂(ψ) o valor dos dois limites e Axψ = {ψ(x, y), (x, y) ∈ p−1 (x)}.
Observe que ψ+ (x) = sup Axψ e ψ− (x) = inf Axψ . Portanto, dadas ψ1 e ψ2 temos que
Axψ1 + Axψ2 ⊂ Axψ1 +ψ2 o que implica em inf Axψ1 + inf Axψ2 = inf Axψ1 + Axψ2 ≥ inf Axψ1 +ψ2 e
sup Axψ1 + sup Axψ2 = sup Axψ1 + Axψ2 ≤ sup Axψ1 +ψ2 . Concluímos então que (ψ1 )− + (ψ2 )− ≥
(ψ1 + ψ2 )− e (ψ1 )+ + (ψ2 )+ ≤ (ψ1 + ψ2 )+ , em particular temos (ψ1 ◦ P n )− + (ψ2 ◦ P n )− ≥
(ψ1 ◦ P n + ψ2 ◦ P n )− = ((ψ1 + ψ2 ) ◦ P n )− e (ψ1 ◦ P n )+ + (ψ2 ◦ P n )+ ≤ (ψ1 ◦ P n + ψ2 ◦ P n )+ =
((ψ1 + ψ2 ) ◦ P n )+ . Com essas observações temos que
Z

n

(ψ1 ◦ P )− dµf +

Z

n

(ψ2 ◦ P )− dµf ≥

Z

((ψ1 + ψ2 ) ◦ P n )− dµf

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ
e

Z

Z

n

(ψ1 ◦ P )+ dµf +

Z

n

(ψ2 ◦ P )+ dµf ≤

73

((ψ1 + ψ2 ) ◦ P n )+ dµf ,

e passando ao limite quando n → ∞, chegaremos a essas duas relações µ
b(ψ1 + ψ2 ) ≤
µ
b(ψ1 ) + µ
b(ψ2 ) e µ
b(ψ1 + ψ2 ) ≥ µ
b(ψ1 ) + µ
b(ψ2 ). Portanto, concluímos a seguinte relação de
aditividade
µ
b(ψ1 + ψ2 ) = µ
b(ψ1 ) + µ
b(ψ2 ).
Além disso, para α ∈ R temos µ
b(αψ) = αb
µ(ψ). Mais ainda, o funcional µ
b é limitado. De
ψ
fato tome ψ 6= 0 contínua e ψe =
e observe que
||ψ||


ψe ◦ P n


+

≤ sup ψe = 1
Z 

ψe ◦ P n dµf ≤ µf (S)
⇒
+
Z 

⇒ lim
ψe ◦ P n dµf ≤ µf (S)
n
+


ψ
e
⇒ µ
b(ψ) = µ
b
≤ µf (S)
||ψ||
⇒ µ
b (ψ) ≤ µf (S)||ψ||.

Portanto o funcional linear µ
b : C 0 (S; R) é limitado. Agora tome ψ ∈ C 0 (S; R), com ψ ≥ 0,
daí

sup

ψ(x) ≥ 0

(x,y)∈p−1 (x)

⇒ ψ+ ≥ 0
Z
⇒
ψ ◦ P n dµf ≥ 0
Z
⇒ lim ψ ◦ P n dµf ≥ 0
n

⇒ µ
b(ψ) ≥ 0
portanto o funcional é positivo. Estes fatos reunidos colocam µ
b nas hipóteses do teorema
de Representação de Riesz que afirma a existência de uma única medida µP em S tal que
R
µ
b(ψ) = ψdµP para toda função contínua ψ ∈ C 0 (S; R). Para mostrar a P -invariância

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

74

de µP observemos que
Z
µ
b(ψ ◦ P ) = lim

n

(ψ ◦ P n+1 )− dµf = µ
b(ψ),

e então
Z
µ
b(ψ) =

ψdµP

(112)

ψ ◦ P dµP

(113)

ψd(P ∗ µP )

(114)

Z
=
Z
=

segue-se, pela unicidade do teorema de Representação de Riesz, que P ∗µP = µP . Portanto
µP é P -invariante.
1 1
Lema 0.4.2. Seja ψ : S −→ R uma função contínua e x ∈ [− , ] tal que
2 2
n−1

1X
lim
(ψ ◦ P k )± (f j (x)) =
n→∞ n
j=0
para todo k ≥ 1. Então limn→∞

Z

(ψ ◦ P k )± dµf

R
1 Pn−1
j
ψdµP para todo (x, y) ∈ p−1 (x).
j=0 (ψ(P (x, y))) =
n

1 1
Demonstração. Primeiramente, vamos fixar  > 0, um x ∈ [− , ], como na hipótese, e
2 2
observar que

P j (x, y) = f j (x), g f j−1 (x), g f j−2 , · · · , g(f (x), g(x, y))
.
Isto implica que P j (x, y) ∈ p−1 (f j (x)). Portanto temos
inf

(x,y)∈p−1 (f j (x))

ψ ◦ P k (x, y) ≤ ψ ◦ P k (P j (x, y)) ≤

sup

ψ ◦ P k (x, y)

(x,y)∈p−1 (f j (x))

e usando a definição de (ψ ◦ P k )± temos
(ψ ◦ P k )− (f j (x)) ≤ ψ ◦ P k (P j (x, y)) ≤ (ψ ◦ P k )+ (f j (x))
para todo (x, y) ∈ p−1 (x) e para todo k, j ≥ 1.

(115)

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

75

Além disso, pela Proposição 4.1 temos que µP (ψ) = lim µf ((ψ ◦ P k )± ), isto implica que
existe um k0 ∈ N tal que
µP (ψ) −



≤ µf ((ψ ◦ P k )± ) ≤ µP (ψ) +
2
2

(116)

para todo k ≥ k0 . Por outro lado, por hipótese existe n0 ∈ N tal que
n−1

1X

µf ((ψ ◦ P )± ) − ≤
((ψ ◦ P k )± )(f j (x)) ≤ µf ((ψ ◦ P k )± ) + ,
2
n j=0
2
k

(117)

para todo n ≥ n0 = n0 (k).
Somando as desigualdades (116) e (117) temos
n−1

1X
µP (ψ) −  ≤
((ψ ◦ P k )± )(f j (x)) ≤ µP (ψ) + .
n j=0

(118)

Agora some a desigualdade (115) em j = 0 · · · n − 1 para obter
n−1
X

k

j

(ψ ◦ P )− (f (x)) ≤

j=0

n−1
X

k

j

ψ ◦ P (P (x, y)) ≤

j=0

n−1
X

(ψ ◦ P k )+ (f j (x)).

j=0

Unindo este último fato com (118) obtemos
n−1

1X
(ψ ◦ P k )(P j (x, y)) ≤ µP (ψ) + 
µP (ψ) −  ≤
n j=0

(119)

para todo n ≥ n0 = n0 (k). Como  pode ser tomado arbitrariamente pequeno e n arbitrariamente grande, temos
n−1

1X
(ψ ◦ P j (x, y)) −→
n j=0

Z
ψdµP .

Teorema 0.4.1. O sistema (P, µP ) é ergódico.
Demonstração. Vamos utilizar a proposição 1.8 da seção sobre teoria Ergódica. Segundo

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

76

esta proposição, precisamos mostrar que
n−1

1X
n→∞
ϕ(P j (x, y)) −→
n j=0

Z
ϕdµP

µ-qtp

apenas para as funções ϕ de um conjunto denso F ⊂ L1 . Escolheremos F = C 0 (S, R).
Portanto, dada ϕ : S −→ R contínua, temos que (ϕ ◦ P k )± : M −→ R é limitada e
1 1
portanto µf -integrável. Logo, existe Bϕ◦P k ⊂ [− , ] tal que
2 2
n−1

1X
lim
(ϕ ◦ P k )± (f j (x)) =
n→∞ n
j=0

Z

(ϕ ◦ P k )± dµf ,

onde µf (Bϕ◦P k ) = 1, pois µf é ergódica. Pelo lema 4.2, no conjunto p−1 (Bϕ◦P k ) ⊂ Bϕ vale
n−1

1X
n→∞
ϕ(P j (x, y)) −→
n j=0

Z
ϕdµP

onde Bϕ é o conjunto dos pontos z ∈ S tais que
n−1

1X
lim
ϕ ◦ P j (z) =
n→∞ n
j=0

Z
ϕdµP .

Portanto, para que µP seja ergódica, resta mostrar que µP (Bϕ ) = 1.
1 1
1 1
Uma vez que o espaço C 0 ([− , ]; R) das funções contínuas ψ : [− , ] −→ R é denso
2 2
2 2
1 1
1 1
1
0
em L ([− , ], µf ), tome uma sequência (ψn )n ⊂ C ([− , ]; R) de funções contínuas tal
2 2
2 2
L1 (µf )
que ψn −→ χBϕ◦P k . Uma vez que χp−1 (Bϕ◦P k ) = χBϕ◦P k ◦ p temos que
L1 (µP )

ψn ◦ p −→ χp−1 (Bϕ◦P k ) = χBϕ◦P k ◦ p.
Agora observe

(120)

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

Z

Z
ψn ◦ pdµP =


ψn ◦ p ◦ P k − dµf

(121)


ψn ◦ f k dµf

(122)

(ψn )d(f k ∗ µf )

(123)

lim

k→∞

Z
=

lim

k→∞

Z
=

lim

k→∞

77

Z
=

lim
(ψn )dµf
Z
=
ψn dµf

(124)

k→∞

(125)

onde (121) =⇒ (122), pois como observado no início da prova do lema 4.2, P k tem a
forma

P k (x, y) = f k (x), g f k−1 (x), g f k−2 , · · · , g(f (x), g(x, y))
;
(122) =⇒ (123) segue do teorema de mudança de variáveis; (123) =⇒ (124) da f invariância (e portanto da f k -invariância) de µf e (124) =⇒ (125) pois a expressão não
depende mais do índice k.
L1 (µf )

Uma vez que nós temos a convergência ψn −→ χBϕ◦P k , temos também a convergência
das integrais. De fato, para um n suficientemente grande e  > 0 arbitrário

Z
|

Z

Z

ψn dµf − µf (Bϕ◦P k )| = |

ψn dµf − χBϕ◦P k dµf |
Z 

= |
ψn − χBϕ◦P k dµf |
Z
≤
|ψn − χBϕ◦P k |dµf
= ||ψn − χBϕ◦P k ||1
≤ .

Por um lado temos,
Z
ψn dµf −→ µf (Bϕ◦P k i ) = 1,
por (120) e observando que
Z
(120) =⇒

Z
ψn ◦ pdµP →

χp−1 (Bϕ◦P k ) dµP

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

78

temos

Z

Z
ψn dµf

ψn ◦ pdµP

=
Z
→

χp−1 (Bϕ◦P k ) dµP

= µP (p−1 (Bϕ◦P k )),
portanto, pela unicidade do limite, µP (p−1 (Bϕ◦P k )) = 1. Consequentemente, como Bϕ ⊃
p−1 (Bϕ◦P k ), temos que µP (Bϕ ) = 1. Logo µP é ergódica.

Concluímos este trabalho mostrando que µP é uma medida física para P .
Teorema 0.4.2. µP é uma medida física para P .
Demonstração. Seja ϕ : S −→ R uma função contínua. Como S é compacto, ϕ é uniformemente contínua. Portanto, para todo  > 0 existe δ > 0 tal que
|ϕ(x1 , y1 ) − ϕ(x2 , y2 )| <  sempre que |(x1 , y1 ) − (x2 , y2 )| < δ.
Além disso, dado (a, y1 ), (a, y2 ) ∈ p−1 (B(µf )), a contração uniforme das folhas, equação
(59) (propriedade 2, página 44, capítulo 2), nos diz que |P n (a, y1 )−P n (a, y2 )| −→ 0 quando
n −→ ∞. Portando seja n0 tal que n > n0 implique em
|P n (a, y1 ) − P n (a, y2 )| < δ.
Portanto
|ϕ(P n (a, y1 )) − ϕ(P n (a, y2 ))| <  sempre que n > n0 ,
daí

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

n−1
n−1
1X
1X
j
ϕ(P (a, y1 )) −
ϕ(P j (a, y2 ))
n j=0
n j=0

79

n−1
n−1
X
1 X
j
ϕ(P (a, y1 )) −
ϕ(P j (a, y2 ))
=
n j=0
j=0
n−1

=

1 X
ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 ))
n j=0

n0
n−1
X
1 X
j
j
=
ϕ(P (a, y1 )) − ϕ(P (a, y2 )) +
ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 ))
n j=0
j=n +1
0

≤

≤

1
n

n0
X

ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 )) +

j=0

n−1
1 X
ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 ))
n j=n +1
0

n0
X

n−1
X

1
1
ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 )) +
ϕ(P j (a, y1 )) − ϕ(P j (a, y2 ))
n j=0
n j=n +1
0

n−1
1
1 X
≤
C+

n
n j=n +1
0

n
X

≤

1
1
C+

n
n j=1

≤

1
C + ,
n

fazendo n −→ ∞, temos
n−1
n−1
1X
1X
j
lim
ϕ(P (a, y1 )) −
ϕ(P j (a, y2 )) ≤ .
n−→∞ n
n j=0
j=0

Como o  é arbitrário, temos que o tempo médio de Birkhoff é igual para todo ponto
em p−1 (a) onde a ∈ B(µf ), i. e.,
n−1
n−1
1X
1X
ϕ(P j (a, y1 )) − lim
ϕ(P j (a, y2 )) = 0.
n−→∞ n
n−→∞ n
j=0
j=0

lim

.
implica que para todo ponto (x, y) ∈ p−1 (x) ⊂ p−1 (B(µf )) para x ∈ B(µf ) os tempos

0.4. MEDIDA FÍSICA PARA A APLICAÇÃO DE POINCARÉ

80

médios de Birkhoff são iguais, para toda função contínua ϕ : S −→ R, i.e,
"
lim

n−→∞

n−1
1X

n j=0

ϕ(P j (x, y1 )) −

n−1
1X

n j=0

#
ϕ(P j (x2 , y2 ))

para todos (x, y1 ), (x, y2 ), ∈ p−1 (x) com x ∈ B(µf ). Consequentemente, p−1 (B(µf )) ⊂
B(µP ) como m(p−1 (B(µf ))) = 1 temos que m(B(µP )) = 1.

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