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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Rio São Francisco

Estimativas sobre o Primeiro Autovalor
Não-Nulo de Stekloff

MATEMÁTICA

A ciência
do infinito

Claudemir Silvino Leandro

Maceió
19 de Dezembro de 2005

Universidade Federal de Alagoas
Departamento de Matemática
Programa de Mestrado em Matemática
Dissertação de Mestrado

Estimativas sobre o Primeiro Autovalor
Não-Nulo de Stekloff

Claudemir Silvino Leandro

Maceió, Brasil
Dezembro 2005
1

Estimativas sobre o Primeiro Autovalor
Não-Nulo de Stekloff
Claudemir Silvino Leandro

Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 19 de dezembro de 2005 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado
do Programa de Mestrado em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, como
parte dos requisitos necessários à obtenção
do grau de mestre em Matemática.

Banca Examinadora:

A Edvanilda e Fernando.

Agradecimentos
• Primeiramente à Deus, por tudo.
• Ao professor Hilário Alencar, meu orientador, pelas conversas, estı́mulo e paciência
durante todo o Programa de Mestrado em Matemática;
• Aos alunos que fizeram parte comigo da primeira turma de Mestrado em
Matemática da Universidade Federal de Alagoas: Davy Christian, Márcio Henrique
e Sofia Carolina.
• Aos meus amigos: Erikson Alexandre, Fábio Boia, Maria de Andrade e Thales
Miranda, pela amizade e aos colegas: Julio de Almeida, Thiago Fontes e José
Arnaldo, pelo companherismo.
• Aos professores que contribuiram na minha formação acadêmica: Krerley Oliveira,
Adán Corcho Fernández e, especialmente, a Fernando Codá Marques pela sua coorientação.
• Aos meus pais, Maria José Silvino e Lourival Lúcio Leandro, e aos meus irmãos,
por todo o incentivo que sempre me deram ao longo da minha jornada acadêmica.
• À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) pelo
financiamento da bolsa de mestrado concedida durante o perı́odo 15/02/2004 a
01/01/2006.
• Ao professor Adelailson Peixoto por suas construtivas conversas, amizade e sua
atenciosa presença.
• Um agradecimento especial à Clarissa Codá, por sua presença amável em minha
vida.

Resumo
Este trabalho visa obter estimativas para o primeiro autovalor não-nulo de Stekloff.
Nos concentramos, basicamente, em três artigos de J. F. Escobar, publicados nos anos
1997, 1999 e 2000. Nestes artigos, são obtidas estimativas para o primeiro autovalor
não-nulo de Stekloff em função da geometria da variedade Riemanianna.
Inicialmente, demonstramos um teorema afirmando que para o problema de Stekloff
em uma superfı́cie compacta, com curvartura Gaussiana não-negativa e curvatura
geodésica da fronteira limitada inferiormente por uma constante positiva c, o primeiro
autovalor não-nulo de Stekloff é necessariamente maior ou igual a c e, além disso, a
igualdade ocorre se, e somente se, a superfı́cie é o disco Euclidiano. Este resultado é
obtido usando a fórmula de Bochner-Lichnerowicz e o Princı́pio do Máximo.
No problema de Stekloff em variedades Riemannianas n-dimensionais, com n ≥ 3,
mostramos uma estimativa para o primeiro autovalor não-nulo de Stekloff em função do
primeiro autovalor não-nulo do Laplaciano no bordo da variedade dada. Apresentamos
também uma conjectura feita por Escobar afirmando que o teorema descrito no parágrafo
anterior também é verdadeiro para dimensões maiores ou igual a três. Esta conjectura se
encontra em aberto e mostramos uma contribuição para a mesma exibindo uma estimativa
aproximada, embora não tão ótima, feita por Escobar em 1999.

Palavras-chave: Autovalor, Stekloff, Laplaciano.

5

Sumário
Introdução

7

1 Preliminares
1.1 Preliminares e Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 As Fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Problemas de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 A Fórmula de Bochner-Lichnerowicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10
15
16
18
20

2 Teoremas de Comparação em Superfı́cies
2.1 Estimativa Inferior para o Primeiro Autovalor de Stekloff. . . . . . . . . .
2.2 Estimativa em Domı́nios Simplesmente Conexos. . . . . . . . . . . . . . .

24
24
37

3 Teoremas de Comparação em Variedades n-Dimensionais
3.1 Estimativas em variedades M n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
41

Referências Bibliográficas

45

Introdução
Este trabalho descreve algumas estimativas sobre o primeiro autovalor não-nulo para
o problema de Stekloff obtido por J. F. Escobar, publicado no Journal of Functional
Analysis em 1997, 1999 e 2000. Este problema foi introduzido por Stekloff em 1902 no
seu trabalho intitulado “Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathématique”,
ver [13], e consiste em encontrar uma função ϕ, não-nula, satisfazendo o seguinte sistema:
∆ϕ = 0 em M,
∂ϕ
= νϕ em ∂M,
∂η
onde ν é um número real e M é uma variedade Riemanniana de dimensão n.
A motivação para este problema provém da fı́sica, neste caso M é um domı́nio do
plano e a função ϕ representa o estado de temperatura em M tal que o fluxo na fronteira
é proporcional a temperatura.
Visto que tecnicamente é difı́cil determinar tais autovalores e autofunções, um
importante problema teórico consite em determinar limites inferiores e superiores sobre
os autovalores. Como o primeiro autovalor não-nulo tem um caráter variacional dado por
R
|grad f |2 dv
MR
,
ν1 = R min
f 2 dσ
∂M f =0
∂M
observamos que é mais comum obtermos estimativas superiores a estimativas inferiores
mas, tanto do ponto de vista matemático quanto fı́sico, os limites inferiores são mais
interessantes.
Em 1997, Escobar demonstrou, usando o Princı́pio do Máximo e a Fórmula de
Bochner-Lichnerowicz, o seguinte teorema:
Teorema 1. Seja (M, g) uma superfı́cie compacta com fronteira. Suponhamos M
com curvatura Gaussiana, K, não-negativa e, além disso, a curvatura geodésica, kg , da
fronteira ∂M , satisfaça kg ≥ k0 > 0. Então o primeiro autovalor do problema de Stekloff,
ν1 , satisfaz ν1 ≥ k0 . A igualdade ocorre se, e somente se, M é o disco Euclidiano de raio
k0−1 .
Além disso, pelo exemplo 2, seção 2.1, vemos que este resultado pode não ser verificado
se retirarmos a hipótese da curvatura Gaussiana ser não-negativa. Este resultado
generaliza o Teorema de Payne (1970), o qual tinha mostrado que o teorema acima é
verificado para domı́nios no plano.
7

Escobar apresentou no mesmo artigo um resultado semelhante para dimensões maiores
que dois, a saber:
Teorema 2. Seja (M n , g), n ≥ 3, uma variedade Riemanniana compacta com
fronteira. Assuma que a curvatura de Ricci de M é não-negativa e a segunda forma
fundamental π satisfaz π ≥ k0 I em ∂M , k0 > 0. Então
ν1 >

k0
.
2

Os detalhes do Teoremas 1 e Teorema 2 podem ser encontrados nas seções 2.1 e 3.1.
Observamos que no Teorema 2 a estimativa não é ótima no sentido de não sabermos
onde ocorre a igualdade, ou seja, a estimativa pode ser melhorada conforme Escobar
conjecturou em 1999.
Trabalhando em domı́nios simplesmente conexos em superfı́cies, Escobar apresentou
outras duas estimativas, a primeira, conforme enuciada a seguir:
Teorema 3. Seja (M, g0 ) uma superfı́cie completa simplesmente conexa com
curvatura Gaussiana constante. Seja Ω ⊂ M um domı́nio limitado, simplesmente conexo
com Área(Ω)= Área(Br (x0 )), onde Br (x0 ) ⊂ M é uma bola geodésica de raio r com
centro x0 ∈ M . Então
ν1 (Ω) ≤ ν1 (Br (x0 )) .
A igualdade ocorre se, e somente se, Ω é isométrico a Br (x0 ).
Usamos para a demonstração deste o Teorema de Weinstock e a Desigualdade
Isoperimétrica. A segunda estimativa é uma generalização do Teorema 3 para superfı́cies
compactas com curvatura Gaussiana não-positiva, o qual afirma que:
Teorema 4. Seja (M, g) uma superfı́cie completa simplesmente conexa com curvatura
Gaussiana não-positiva. Seja Ω ⊂ M uma conjunto limitado e simplesmente conexo com
Área(Ω)=Área(Br (0)), onde Br (0) é a bola Euclidiana de raio r com centro na origem.
Então
ν1 (Ω) ≤ ν1 (Br (0)) .
A igualdade ocorre se, e somente se, Ω é isométrico a bola Euclidiana Br (0).
A demonstração deste último segue-se da Desigualdade Isoperimétrica de Weyl para
superfı́cies com curvatura não-positiva, como pode ser visto na seção 2.2. Salientamos
que este resultado pode não ser verificado se retirarmos a hipótese dos domı́nios serem
simplesmente conexos, ver exemplo em [6], página 109.
Na seção 3.1 apresentamos, para variedade Riemanniana n-dimensional, compacta
e com bordo, com n ≥ 3, um resultado o qual estabelece uma estimativa para o
primeiro autovalor não-nulo de Stekloff em função do primeiro autovalor não-nulo do
Laplaciano no bordo da variedade Riemanniana dada. Usaremos para sua demonstração
a caracterização variacional do primeiro autovalor não-nulo de Stekloff. Finalizaremos
nosso trabalho apresentando a seguinte conjectura feita por Escobar em 1999, ver [6].

8

Conjectura. Seja (M n , g), n ≥ 3, uma variedade Riemanniana compacta com
fronteira. Assuma que Ric(g) ≥ 0 e a segunda forma fundamental π satisfaz π ≥ k0 I em
∂M , k > 0. Então
ν1 ≥ k0 .
1
A igualdade ocorre se, e somente se, M é a bola Euclidiana de raio .
k0

9

Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo, apresentaremos as definições básicas e os fatos que serão usados nos
capı́tulos subseqüentes. Na seção 1.1, definiremos operadores importantes em Geometria
Riemanniana, como divergente de um campo de vetores e o Laplaciano de uma função
f ∈ C ∞ (M ), onde demonstraremos, para tais operadores, sua expressão em coordenadas
locais. Na seção 1.2, introduziremos o tensor curvatura, operador indispensável para
conceituar curvatura seccional e curvatura escalar, apresentaremos também, na mesma
seção, o tensor de Ricci. Na seção 1.3, exibiremos os teoremas de divergência e os
teoremas de Green tanto para variedades compactas sem bordo quanto para as variedades
compactas com bordo. Introduziremos, na seção 1.4, os problemas de autovalores,
dentre os quais o que mais estamos interessados é o problema de autovalor de Stekloff e
finalizaremos este capı́tulo com a fórmula de Bochner-Lichnerowicz e com um resultado
decorrente da mesma, bastante utilizado nos demais capı́tulos desta dissertação.

1.1

Preliminares e Definições

Denotaremos por (M n , g) uma variedade Riemanniana de classe C ∞ , conexa,
compacta e com bordo. Assumiremos que M é orientada e, além disso, que ∂M ∈ C ∞ .
Para cada p ∈ M , denotamos por Tp M o espaço tangente a M em p e T M o seu
fibrado tangente, o qual definiremos como a união de todos os espaços tangentes. A
métrica Riemanniana em M associa, a cada p ∈ M , um produto interno em Tp M o
qual denotamos por h, i. A norma associada a está métrica será representada por |, |. A
métrica Riemanniana é de classe C ∞ no seguinte sentido: se X e Y são dois campos de
vetores de classe C ∞ em M , então hX, Y i é uma função real de classe C ∞ em M .
Sejam f ∈ C ∞ (M ) uma função definida numa vizinhança de p e ξ ∈ Tp M um vetor.
Representaremos por ξ(f ) a derivada direcional de f em p na direção ξ.
Definição 1.1.1. Dada uma função real f ∈ C ∞ (M ), definimos o gradiente de f , grad f ,
como campo de vetores para o qual
hgrad f, ξi = ξ(f )
10

(1.1)

para todo ξ ∈ T M .
Segue diretamente das definições que, para f, h ∈ C ∞ (M ), temos
grad(f + h) = grad f + grad h,
grad(f h) = hgrad f + f grad h.
Visto que a diferenciação de funções em variedades é naturalmente determinada por
uma estrutura diferenciável, a derivada de campos de vetores não é determinada por uma
estrutura diferenciável. Portanto, faz-se necessário introduzir uma conexão, isto é, uma
aplicação ∇, definida por
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M )
(X, Y ) → ∇X Y,
onde X (M ) representa o conjunto de campos de vetores, satisfazendo:
1. ∇f1 X1 +f2 X2 Y = f1 ∇X1 Y + f2 ∇X2 Y ;
2. ∇X (Y1 + Y2 ) = ∇X Y1 + ∇X Y2 ;
3. ∇X (f Y ) = ∇X Y + X(f )Y.
A métrica Riemanniana em M determina uma única conexão, chamada Levi-Civita
ou conexão Rimanniana, que satisfaz
1. X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi ,
2. ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ],
onde [X, Y ] é o colchete dos campos X e Y , ou seja, é o campo de vetores dado por
[X, Y ] = XY − Y X.
Definição 1.1.2. Dado X ∈ X (M ), definimos divergente de X a função real, div X,
dada por
div X = tr(Y 7→ ∇Y X).
O divergente é uma função de classe C ∞ em M e, claramente, satisfaz para todo
X, Y ∈ X (M ),
div(X + Y ) = div X + div Y,
div(f X) = f div X + hgrad f, Xi .
Definição 1.1.3. Seja f ∈ C ∞ (M ). O Laplaciano de f é a função real, ∆f , dada por
∆f = div(grad f ).

11

Segue-se, diretamente, que
∆(f + h) = ∆f + ∆h,
div(h(grad f )) = h(∆f ) + hgrad f, grad hi ,
∆(f h) = h(∆f ) + 2 hgrad f, grad hi + f (∆h).

(1.2)

Consideremos um referencial ortonormal {e1 , e2 . . . , en } numa vizinhança de um ponto
n
X
p ∈ M e um campo X =
ai ei definido nesta vizinhança. Podemos escrever o gradiente
i=1

de f , o divergente de X e o Laplaciano de f neste referencial, como
n
X

grad f =

(ei f )ei ,

i=1

div X =

n
X

ei (ai ) − h∇ei ei , Xi ,

i=1

∆f =

n
X

ei ei f − (∇ei ei )f,

i=1

respectivamente.
Definição 1.1.4. Seja f ∈ C ∞ (M ). Definimos a Hessiana de f , Hess f , como tensor
simétrico dado por
Hess f (X, Y ) = XY f − ∇X Y f.
(1.3)
Observamos que o Laplaciano é o traço da Hessiana, isto é,
∆f =

n
X

Hess f (ei , ei ) =

i=1

n
X

ei ei f − (∇ei ei )f.

(1.4)

i=1

Calcularemos agora as expressões dos operadores citados acima em coordenadas
locais.
Inicialmente, sejam U ⊂ M um aberto e x : U → Rn uma carta local. Existem n
∂
, i = 1, . . . n, associados à carta os quais são chamados derivadas
campos de vetores,
∂xi
direcionais e satisfazem, para cada p ∈ U e f , função diferenciável numa vizinhança de
p,
∂
∂
(p)f =
(f ◦ x−1 )(x(p)).
∂xi
∂xi


∂
∂
Para cada p ∈ U , os vetores
(p), . . . ,
(p) formam uma base para o espaço
∂x1
∂xn
Tp M , portanto, dado um campo de vetores X, podemos escrevê-lo nesta base da seguinte
forma:
n
X
∂
X=
xi
,
∂xi
i=1
12

onde xi : U → R são funções diferenciáveis.
Observação: Nos cálculos abaixo substituiremos, sempre que for conveniente,
por Xi .
Tomemos f ∈ C ∞ (M ). Então
n
X

Xf =

xi

i=1

∂
f.
∂xi

Seja h, i a métrica Riemanniana, definimos


∂
∂
,
,
gij =
∂xi ∂xj
g = det G,

∂
∂xi

(1.5)

G = (gij )
G−1 = (g ij ),

(1.6)

onde i, j = 1, . . . , n. Então
n
X

n
X
∂
∂
xi gik g kj
Xf =
xi
f=
f=
∂x
∂x
i
j
i=1
i,j,k=1

*
X,

n 
X
k,j=1

∂
g kj
f
∂xj

+
.

Segue-se da Definição 1.1.1 que
grad f =

n 
X
k,j=1

∂
f
g
∂xj
kj


.

(1.7)

Usando os sı́mbolos de Christoffel, os quais são determinados pela igualdade
∇Xj Xi =

n
X

Γkij Xk

k=1

em U , calcularemos o divergente do campo X.
n
X
Inicialmente observemos que se Y =
yj Xj é um campo de vetores, então
j=1

∇Y X =
=
=

n
X

yj ∇Xj

j=1
n
X

n
X

!
xi Xi

i=1
n
X

yj xi ∇Xj Xi +

i,j=1
n
X

xi yj Γkij Xk +

i,j=1
n
X

i,j,k=1

=

n
X

yj Xj (xk )Xk

j,k=1

(
yj

yj Xj (xi )Xi

Xj (xk ) +

n
X
i=1

j,k=1

13

)
xi Γkij

Xk .

(1.8)

Agora, pela Definição 1.1.2, obtemos que
(
)
n
n
X
X
j
div X =
Xj (xj ) +
xi Γij .
j=1

(1.9)

i=1

Por outro lado, temos a seguinte igualdade:
1
Γkij =

n
X

2 l=1

g

kl




∂
∂
∂
glj +
gil −
gij ,
∂xi
∂xj
∂xl

ver [5], página 56. Logo
( n
)
n
n
n
X
X
X
X
1
∂
∂
∂
xi Γjij =
xi g jl
glj +
xi g jl
gil −
xi g jl
gij
2
∂x
∂x
∂x
i
j
l
i,j=1
i,j,l=1
i,j,l=1
i,j,l=1
n
n
1 X X jl ∂
glj
=
xi
g
2 i=1 j,l=1 ∂xi


n
1X
−1 ∂
=
xi tr G
G
2 i=1
∂xi
n

=

1X
∂
xi
(ln g) .
2 i=1 ∂xi

(1.10)

Substituindo (1.10) em (1.9), obtemos
n 
X
∂


1
∂
div X =
(xj ) + xj
(ln g)
∂x
2
∂x
j
j
j=1

n 
1 X √ ∂
1√
∂
= √
g
(xj ) +
gxj
(ln g)
g j=1
∂xj
2
∂xj
n

1 X ∂
√
(xj g) .
= √
g j=1 ∂xj

(1.11)

Usando a Definição 1.1.3 e as equações (1.7) e (1.11), vemos que
n

1 X ∂
∆f = √
g i,j=1 ∂xi


g

ij √

∂
g
f
∂xj



o qual é a expressão do Laplaciano em coordenadas locais.

14

,

(1.12)

1.2

O Tensor Curvatura

Definição 1.2.1. Sejam X, Y, Z ∈ X (M ), definimos o tensor curvatura a
correspondência que, para cada X, Y ∈ X (M ), associa a função
R(X, Y ) : X (M ) → X (M ),

(1.13)

R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z − ∇[Y,X] Z.

(1.14)

dada por
Propriedades do tensor curvatura
1. Para quaisquer campos X, Y ∈ X (M ) temos que
R(X, Y ) + R(Y, X) = 0;
2. A função R : X (M ) × X (M ) × X (M ) → X (M ) pode ser vista como uma função de
Tp M × Tp M × Tp M → Tp M , ou seja, (R(X, Y )Z)(p) depende apenas dos valores
dos campos X, Y, Z em p.
Sejam x, y vetores linearmente independentes em Tp M , então
K(x, y) =

hR(x, y)z, ti
|x|2 |y|2 − hx, yi

depende apenas do espaço bi-dimensional gerado por x, y, ver [5] página 94.
Denominaremos K(x, y) a curvatura seccional do 2-plano gerado por x, y. Se G2 (M )
denota o Grassmanniano, ou seja, a coleção de todos os espaços bi-dimensionais tangentes
a M , então G2 (M ) pode ser munido de modo natural com uma estrutura diferenciável
e, portanto,
K : G2 (M ) → R
é uma função de classe C ∞ .
No caso particular, quando dim M = 2 e, conseqüentemente, G2 (M ) = T M
denominamos K a curvatura Gaussiana de M .
Sejam p ∈ M , x, y, z ∈ Tp M , obtemos para o caso bi-dimensional a igualdade
R(x, y)z = K(p) {hx, zi y − hy, zi x} .
Este resultado também é verificado quando a curvatura seccional é constante, ver [5],
página 96.
Definição 1.2.2. Seja p ∈ M , o tensor de Ricci, Ric : Tp M → R é definido por
Ric(x, y) = tr(z → R(x, z)y).

15

Denominamos o traço de Ric com respeito à métrica Riemanniana por curvatura
escalar e representamos por S. Dessa forma, para qualquer base ortonormal, {e1 , . . . , en },
de Tp M , temos
n
X
Ric(x, y) =
hR(x, ei )y, ei i
i=1

e, em particular, Ric é uma forma bilinear simétrica em Tp M . Se x = |x| en , vemos que
( n−1
)
X
Ric(x, x) =
K(ei , en ) |x|2 .
i=1

No caso geral, obtemos
S=

X

K(ei , ej ).

i6=j

1.3

As Fórmulas de Green

Seja M uma variedade Riemanniana com a métrica Riemanniana dada por h, i.
Associamos a tal métrica uma teoria de integração a qual possui as seguintes propriedades:
1. A função f é mensurável se, para cada carta x : U → Rn , f ◦ x−1 é mensurável na
imagem de U em Rn ;
2. Para toda cobertura {xα : Uα → Rn , α ∈ I}, onde I é um conjunto aberto de M
por cartas subordinadas a partição da unidade {ϕα : α ∈ I}, a medida Riemanniana
em M é dada pela densidade
X √
ϕα gα dx1α . . . dxnα ,
dv =
α
n
onde dx1α . . . dxnα é a densidade da medida
 de Lebesgueem xα (Uα ) ⊂ R e gα é o
∂
∂
determinante da matriz Gα = (gα )ij =
,
da carta xα : Uα → Rn .
∂(xα )i ∂(xα )j
√
O ponto essencial é que a densidade gα dx1α . . . dxnα no domı́nio U é independente da
função x. A partição da unidade é o artifı́cio no qual a medida é definida globalmente
em M .

Teorema 1.3.1 (Teorema da Divergência). Seja X uma campo de vetores de classe
C 1 com suporte compacto. Então
Z
(div X)dv = 0
(1.15)
M

Demonstração. Ver [4], página 142.

16

Teorema 1.3.2 (Teorema de Green). Sejam h ∈ C 1 (M ) e f ∈ C 2 (M ) tais que
h(grad f ) tem suporte compacto. Então
Z
{h∆f + hgrad h, grad f i} dv = 0.
(1.16)
M

Se também assumirmos que f e h têm suporte compacto e, além disso, h ∈ C 2 (M ) então
Z
{h∆f − f ∆h} dv = 0
(1.17)
M

Demonstração. Segue-se diretamente do Teorema 1.3.1 e da igualdade (1.2).
Suponhamos que M tem fronteira ∂M 6= ∅ com a métrica e a medida de ∂M induzida
pela métrica Riemanniana e pela densidade em M . Denotamos a densidade em ∂M por
dσ. Seja η o vetor normal unitário apontando para fora em ∂M . Diante disso, temos a
seguinte versão do Teorema da Divergência.
Teorema 1.3.3 (Teorema da Divergência). Seja X uma campo de vetores de classe
C 1 (M ) com suporte compacto em M . Então
Z
Z
(div X)dv =
hX, ηi dσ.
(1.18)
M

∂M

Demonstração. Ver [4], página 143.
Teorema 1.3.4 (Fórmula de Green). Sejam h ∈ C 1 (M ), f ∈ C 2 (M ) tais que
h(grad f ) tem suporte compacto em M . Então
Z
Z
∂f
{h∆f + hgrad h, grad f i} dv =
h dσ
(1.19)
M
∂M ∂η
Se h também é C 2 (M ) e ambas f , h tem suporte compacto em M , então

Z
Z 
∂f
∂h
{h∆f − f ∆h} dv =
h
−f
dσ
∂η
∂η
M
∂M

(1.20)

Demonstração. Usar o Teorema 1.3.3 e a equação (1.2).
Como aplicação dos Teoremas de Green temos os seguintes resultados.
Corolário 1.3.1. Sejam M uma variedade Riemanniana compacta sem bordo e ϕ : M →
R uma função harmônica. Então ϕ é uma função constante.
Demonstração. Usando o Teorema 1.3.2 temos, tomando h = f = ϕ,
Z

ϕ∆ϕ + |gradϕ|2 dv = 0.
M

Como ∆ϕ = 0 em M , temos
Z

|gradϕ|2 dv = 0,

M

logo grad ϕ = 0 e, conseqüentemente, ϕ é constante.

17

Corolário 1.3.2. Sejam M uma variedade Riemanniana compacta com bordo e ϕ : M →
R uma função, tal que
∆ϕ = 0 em M
ϕ = 0 em ∂M.
Então ϕ é a função identicamente nula.
Demonstração. Tomando h = f = ϕ no Teorema 1.3.4, obtemos
Z
Z

∂ϕ
2
ϕ dσ.
ϕ∆ϕ + |gradϕ| dv =
∂η
∂M
M
Z
Usando as hipóteses do corolário vemos que
|gradϕ|2 dv = 0, o que implica que
M

|gradϕ| = 0 e, portanto, ϕ = cte. Visto que ϕ = 0 em ∂M , temos que ϕ ≡ 0.

1.4

Problemas de Autovalores

Os modelos matemáticos para os problemas de autovalores em Geometria
Riemanniana surgiram das aplicações fı́sicas em diversas áreas como: acústica,
ondulatória, elasticidade, etc. Estes problemas vêm sendo estudados desde o século XVIII
e são rigorosamente divididos em dois tipos: problemas diretos e problemas inversos.
O problema direto, o qual é o nosso interesse neste trabalho, busca informações sobre
os autovalores e as autofunções, ver Definição 1.4.1, do problema correspondente em
termos da geometria da variedade Riemanniana, embora saibamos que usualmente não é
possı́vel determinar especificamente tais autofunções e autovalores.
Um importante problema teórico consiste em determinar limites inferiores e superiores
sobre os autovalores. Devido a sua forma variacional, ver [3], página 16, vemos que é mais
fácil obter limites superiores do que limites inferiores para os autovalores mas, tanto do
ponto de vista matemático quanto fı́sico, os limites inferiores são os mais interessantes,
ver [1], capı́tulo III.
No problema inverso assume-se que um dos autovalores do problema é conhecido
e busca-se obter informações sobre a variedade Riemanniana (M, g) como: curvatura,
topologia, etc, ver [1], capı́tulo VII.
Em virtude disso, apresentaremos, nesta seção, alguns problemas de autovalores
importantes em geometria Riemanniana e faremos algumas considerações. Para maiores
detalhes e informações ver [1], capı́tulo III; [3], capı́tulo I; [12], capı́tulo III e [8], capı́tulo
II.
Problemas de autovalor fechado: Seja M compacta, conexa e sem bordo.
Encontrar todos os números reais ν para os quais existe uma solução não-trivial ϕ ∈
C 2 (M ) para
∆ϕ + νϕ = 0.
18

Problemas de autovalor de Dirichlet: Seja M compacta, conexa e com bordo.
Encontrar todos os números reais ν para os quais existe uma solução não-trivial ϕ ∈
C 2 (M ) ∩ C 0 (M ) satisfazendo
∆ϕ + νϕ = 0 em M,
ϕ = 0 em ∂M.
Problemas de autovalor de Neumann: Para ∂M 6= ∅, M compacta e conexa.
Encontrar todos os números reais ν para os quais o sistema
∆ϕ + νϕ = 0 em M
∂ϕ
= 0 em ∂M
∂η
admite uma solução não-trivial ϕ ∈ C 2 (M ) ∩ C 0 (M ).
Problemas de autovalor de Stekloff: Seja M compacta, conexa e com ∂M 6= ∅.
Encontrar todos os números reais ν para os quais o sistema
∆ϕ = 0 em M,
∂ϕ
= νϕ em ∂M.
∂η

(1.21)

admite uma solução não-trivial ϕ ∈ C 2 (M ) ∩ C 0 (M ).
Definição 1.4.1. Uma função ϕ satisfazendo qualquer um dos problemas descritos
acima é denominada autofunção e ν é dito autovalor para o problema correspondente.
O conjunto das soluções para cada um dos problemas acima associado ao autovalor ν
constitui um espaço vetorial denominado auto-espaço Eν .
Um resultado simples é que, para qualquer um dos problemas anteriores, os
autovalores devem ser não-negativos. De fato, usando as fórmulas de Green e a condição
de fronteira, considerando f = g = ϕ, obtemos que
R
|grad ϕ|2 dv
,
ν= MR
ϕ2 dv
M
nos três primeiros problemas. No problema de Stekloff, usando o mesmo argumento
anterior, vemos que
R
|grad ϕ|2 dv
MR
ν=
.
ϕ2 dσ
∂M
Visto que nosso objetivo, nesta dissertação, é estimar o primeiro autovalor de
Stekloff, apresentaremos alguns resultados para este problema que serão bastante usados
posteriormente. Para os leitores interessados em maiores infomações sobre os problemas
de autovalores: fechado, Dirichlet e Neumann recomendamos [1], [3] e [12], como citados
anteriormente.
19

Teorema 1.4.1. Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com fronteira. O
conjunto de autovalores do problema de Stekloff consiste de uma seqüência
0 ≤ ν1 ≤ ν2 ≤ . . . ↑ +∞
e cada um dos seus auto-espaços associados possui dimensão finita. Além disso, o espaço
vetorial gerado por todos os auto-espaços é denso em L2 (M ).
Demonstração. Ver [8], página 28.
Teorema 1.4.2. Seja (M n , g) uma variedade Riemanniana compacta com fronteira.
Existe um mı́nimo para o problema variacional
R
|grad f |2 dv
MR
,
ν1 = min
f ∈A
f 2 dσ
∂M

R
onde A = f ∈ C ∞ (M ); ∂M f dσ = 0 . O mı́nimo satisfaz o problema de Stekloff (1.21).
Demonstração. Ver [8], página 26.
Teorema 1.4.3. O k-ésimo autovalor para o problema de Stekloff é caracterizado por
!
R
2
|grad
ϕ|
dv
MR
,
νk =
max
min
{f1 ,f2 ,...,fk−1 } ϕ⊥{f1 ,f2 ,...,fk−1 }
ϕ2 dσ
∂M
onde as funções {f1 , f2 , . . . , fk−1 } são contı́nuas por partes.
Demonstração. Ver [8], página 32.

1.5

A Fórmula de Bochner-Lichnerowicz

A fórmula de Bochner-Lichnerowicz, embora seja uma identidade simples, é bastante
utilizada em Análise Geométrica para obter desigualdades importantes, como se vê em
vários teoremas de comparação e em estimativas do gradiente. Também é bastante
aplicada para estimar autovalores em variedades Riemanniana compactas e, portanto,
será bastante usada em diversas partes desta dissertação.
Proposição 1.5.1 (Fórmula de Bochner-Lichnerowicz). Seja f ∈ C 3 uma função
definida em M . Então

1
∆ |grad f |2 = |Hess f |2 + hgrad f, grad (∆f )i + Ric (grad f, grad f ) .
2
Demonstração. Seja {e1 , . . . , en } um referencial otonormal em torno do ponto p. Neste
referencial, o gradiente de f é dado por
grad f =

n
X
i=1

20

ai ei .

Logo
ei f = fi = hgrad f, ei i = ai ,
portanto,
grad f =

n
X

fi ei .

i=1

Conseqüentemente,
2

|grad f | =

n
X

fi2 .

i=1

Observe que, para cada j = 1, . . . , n, temos


1
|grad f |2
2


=
j

n
X

fi fij .

i=1

Dessa forma,
n



1X
1
∆ |grad f |2 =
|grad f |2 jj
2
2 j=1
!
n
n
X
X

=
=
fij2 + fi fijj .
fi fij
i,j=1

(1.22)

i,j=1

j

A equação de Ricci é dada por, para todo 1 ≤ i, j ≤ n,
fjij = fijj + Rij fj ,

(1.23)

onde Rij denota os coeficientes do tensor de Ricci.
Usando a simetria da hessiana e a equação de Ricci, obtemos
n
X


1
2
∆|grad f |
=
fij2 + fi fjji + Rij fi fj
2
i,j=1

=

n
X
i,j=1

fij2 +

n
X

fi fjji +

i,j=1

n
X

Rij fi fj

i,j=1

= |Hess f |2 + hgrad f, grad (∆f )i + Ric (grad f, grad f ) .

Proposição 1.5.2. Sejam (M n , g) uma variedade n-dimensional, compacta com fronteira
e f ∈ C ∞ (M ). Então
Z

(∆f )2 − |Hess f |2 − Ric (grad f, grad f ) dv
M
Z



=
π grad v, grad v + u ∆v + (n − 1)hg u − grad v, grad u dσ,
∂M

21

∂f
, v = f , ∆ é o Laplaciano e grad é o gradiente em ∂M com respeito
∂η
à métrica induzida em M , e além disso, π é a segunda forma fundamental e hg é a
curvatura média.
onde u =

Demonstração. Integrando a fórmula de Bochner-Lichnerowicz, obtemos que
Z
Z


1
2
|Hess f |2 + hgrad f, grad (∆f )i + Ric (grad f, grad f ) dσ.
∆ |grad f | dv =
M 2
M
Por outro lado, usando o Teorema da Divergência, vemos que o membro esquerdo da
expressão acima é dado por
Z
Z


1
1
2
∆ |grad f | dv =
div grad |grad f |2 dv
2 M
M 2
Z

1
=
grad |grad f |2 , η dσ
2 ∂M
Z

1
∂
=
|grad f |2 dσ.
2 ∂M ∂η
Agora, para calcularmos os termos da expressão acima na fronteira, tomaremos um
campo ortonormal numa vizinhança do ponto ponto P ∈ ∂M , {e1 , e2 , . . . , en }, tal que
en seja o vetor normal apontando para fora. Assim,
! n−1
n
X
X

1 ∂
1
|grad f |2 = en
fi 2 =
(1.24)
fi fin + fn fnn .
2 ∂η
2
i=1
i=1
Observe que, para 1 ≤ i ≤ n − 1,
fin = ei en f − ∇ei en f = ui −

n−1
X

h∇ei en , ej i fj = ui −

j=1

n−1
X

hij fj = ui −

j=1

n−1
X

hij vj ,

j=1

onde hij são os coeficientes da segunda forma fundamental. Dessa forma,
n−1
X
i=1

fi fin =

n−1
X
i=1

v i ui −

n−1
X


hij vi vj = grad v, grad u − π grad v, grad v .

Usando integração por partes, temos
Z
Z
Z
2
hgrad f, grad (∆f )i = −
(∆f ) dv +
M

(1.25)

i,j=1

M

22

∂M

(∆f )

∂f
dσ.
∂η

(1.26)

Como p ∈ ∂M e ∆f = fnn +

n−1
X

fii , vemos que

i=1
n−1
X

∆f − fnn =

i=1
n−1
X

=

n−1
X

fii =

ei ei f − ∇ei ei f

i=1

ei ei f − ∇ei ei f +

n−1
X

∇ei ei f − ∇ei ei f

i=1

i=1

= ∆f +

n−1
X

∇ei ei − ∇ei ei , en fn ,

i=1

onde última igualdade segue-se da definição do ∆ e do fato que ∇ é a projeção ortogonal
de ∇ em ∂M . Portanto
∆f − fnn = ∆f −
= ∆f +

n−1
X
i=1
n−1
X

h∇ei ei , en i fn
hei , ∇ei en i fn = ∆v + (n − 1)hg u,

(1.27)

i=1

onde hg é a curvatura média.
Usando (1.24), (1.25) e (1.27), obtemos
1
2
Z

Z


∂
|grad f |2 dσ −
∂M ∂η

Z
(∆f )
Z∂M

grad v, grad u dσ −
∂M

∂f
dσ =
∂η
Z



π grad v, grad v dσ −
∂M


u ∆v + (n − 1)hg u dσ

∂M

Usando esta última igualdade, temos
Z
Z
Z
Z
∂f
2
Ric(grad f, grad f )dv +
|Hess f | dv +
hgrad f, grad(∆f )i dv −
(∆f ) dσ =
∂η
M
∂M
ZM
Z M
Z


grad v, grad u dσ −
π grad v, grad v dσ −
u ∆v + (n − 1)hg u dσ,
∂M

∂M

∂M

e, portanto, usando a equação (1.26), concluı́mos que
Z
Z

2
2
(∆f ) − Ric(grad f, grad f ) − |Hess f | dv =
π grad v, grad v dσ −
M
Z
Z∂M

u ∆v + (n − 1)hg u dσ.
grad v, grad u dσ +
∂M

∂M

23

Capı́tulo 2
Teoremas de Comparação em
Superfı́cies
Neste capı́tulo, analisaremos o problema de autovalores de Stekloff para as superfı́cies,
ou seja, em variedades Riemannianas de dimensão igual a dois. Nosso interesse
neste problema é estimar, inferiormente e superiormente, o primeiro autovalor nãonulo do problema de Stekloff em função da geometria da superfı́cie. Na seção 2.1,
usaremos a geometria da superfı́cie para estimar, inferiormente, o primeiro autovalor de
Stekloff em superfı́cies de curvatura Gaussiana não-negativa. Na seção 2.2, estimaremos
superiormente o primeiro autovalor de Stekloff em domı́nios simplesmente conexos na
superfı́cie.

2.1

Estimativa Inferior para o Primeiro Autovalor de
Stekloff.

Seja (M, g) uma superfı́cie compacta com fronteira. Discutiremos o primeiro autovalor
não-nulo do problema de Stekloff, a saber:
∆ϕ = 0 em M,
∂ϕ
= ν1 ϕ em ∂M.
∂η
Teorema 2.1.1. Seja (M, g) uma superfı́cie compacta com fronteira. Suponhamos M
com curvatura Gaussiana, K, não-negativa e, além disso, a curvatura geodésica, kg , da
fronteira ∂M , satisfaça kg ≥ k0 > 0. Então o primeiro autovalor do problema de Stekloff,
ν1 , satisfaz ν1 ≥ k0 . A igualdade ocorre se, e somente se, M é o disco Euclidiano de raio
k0−1 .
Demonstração. Seja ϕ uma autofunção não-constante para o problema de Stekloff.
1
Aplicando a fórmula de Bochner-Lichnerowicz à função f = |grad ϕ|2 , obtemos
2
2
∆f = |Hessϕ| + hgrad ϕ, grad (∆ϕ)i + K|grad ϕ|2 .
24

Como ϕ é uma função harmônica e K ≥ 0, temos
∆f = |Hessϕ|2 + K|grad ϕ|2 ≥ 0,

(2.1)

e, portanto, f é uma função subharmônica. O Princı́pio do Máximo mostra que se M é
uma variedade Riemanniana compacta com bordo e f ∈ C 2 (M ) é uma função tal que
∆f ≥ 0
em M e, além disso, seja P é o ponto de máximo de f então verifica-se que:
1. Se P é um ponto interior em M então f é identicamente constante;
∂f
(P ) > 0, ou seja, a derivada na direção normal apontando
∂η
para fora tomada em P é positiva, ver [11].

2. Se P ∈ ∂M então

∂f
(P ) > 0. Seja (t, x) as coordenadas de Fermi em torno de P , ou
∂η
seja, x representa um ponto sobre ∂M e t a distância à fronteira do ponto x.
Escreveremos a métrica na coordenada de Fermi.
Observemos, primeiramente, que



 

D ∂ ∂
∂ D ∂
d ∂ ∂
,
=
,
+
,
.
(2.2)
dt ∂t ∂x
dt ∂t ∂x
∂t dt ∂x


D ∂ ∂
=
,
dt ∂x ∂t
Suponhamos que

d
0=
dx



∂ ∂
,
∂t ∂t




= 2

D ∂ ∂
,
dx ∂t ∂t




=2

D ∂ ∂
,
dt ∂x ∂t

Usando (2.2) e (2.3) temos que, fixado x,



∂
∂
(t, x), (t, x) = cte.
∂t
∂x

para todo t. Tomando t = 0, obtemos



∂
∂
(t, x), (t, x) = 0, ∀ (t, x) ∈ M,
∂t
∂x

portanto
g = dt2 + h2 (t, x)dx2 ,


∂
∂
2
onde h (t, x) =
(t, x) ,
(t, x) .
∂x
∂x
25


.

(2.3)

Considerando que ∂M está parametrizada pelo comprimento de arco, temos que
∂h
h (P ) = 1 e
(P ) = 0.
∂x
Calcularemos, agora, o gradiente de ϕ. Para isso escrevamos
∂
∂
grad ϕ = a + b .
∂t
∂x
Assim,


∂
∂ϕ
=
grad ϕ,
=a
∂t
∂t


∂ϕ
∂
=
grad ϕ,
= bh2 .
∂x
∂x
Logo
grad ϕ =

∂ϕ ∂
∂ϕ ∂
+ h−2
.
∂t ∂t
∂x ∂x

Portanto


∂ϕ ∂
∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂
∂ϕ ∂
|grad ϕ| = hgrad ϕ, grad ϕi =
+ h−2
,
+ h−2
∂t ∂t
∂x ∂x ∂t ∂t
∂x ∂x
 2
 2
∂ϕ
∂ϕ
=
+ h−2
,
∂t
∂x
2

e
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂f
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂h
=
+ h−2
− h−3
2
∂x
∂t ∂x∂t
∂x ∂x
∂x
Calculando a expressão acima no ponto P , obtemos



∂ϕ
∂x



2
.

∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂ϕ ∂ 2 ϕ
+
= 0,
(2.4)
∂t ∂x∂t ∂x ∂x2
pois P é um ponto de máximo de f na direção x.
Por outro lado, sabemos, da equação (1.12), que o Laplaciano em coordenadas locais
é dado por


2
1 X ∂ √ ij ∂ϕ
gg
.
∆ϕ = √
g i,j=1 ∂xi
∂xj
Observe que

G = (gij ) =

1 0
0 h2


,

G

−1

ij



1 0
0 h−2



∂
+
∂xi

= (g ) =



, g = det G = h2 .

Dessa forma,
−1

∆ϕ = h


2 
X
∂

i1 ∂ϕ



i2 ∂ϕ



hg
hg
∂x
∂t
∂x
i
i=1





∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
= h−1
h
+
h−1
∂t
∂t
∂x
∂x


2
2
∂h ∂ϕ
∂ ϕ
−1
−2 ∂h ∂ϕ
−1 ∂ ϕ
= h
+h 2 −h
+h
.
∂t ∂t
∂t
∂x ∂x
∂x2
26

Tomando a equação acima no ponto P , obtemos que
∂h ∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ 2 ϕ
+ 2 + 2.
∂t ∂t
∂t
∂x
Agora, calcularemos a curvatura geodésica de ∂M . Observemos que
∆ϕ =

kg

(2.5)





∂ ∂
∂ ∂
=− ∇∂
,
= − ∇∂ ,
∂x ∂t ∂x
∂t ∂x ∂x



1∂
∂ ∂
∂
∂h
= −
,
=−
h2 = −h
2 ∂t ∂x ∂x
∂t
∂t

Tomando esta última igualdade em P , vemos que
∂h
.
∂t

(2.6)

∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂2ϕ
−
k
+ 2 = 0.
g
∂t2
∂t
∂x

(2.7)

kg = −
Resulta de (2.5) e (2.6) que
∆ϕ =

Derivando f em relação a t obtemos
2
∂f
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂h
−2 ∂ϕ ∂ ϕ
=
+
h
− h−3
2
∂t
∂t ∂t
∂x ∂t∂x
∂t



∂ϕ
∂x

2
.

∂h
Assumindo a expressão acima em P e usando o fato que kg = − , temos
∂t


2
∂f
∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂ϕ
=
+
+ kg
.
2
∂t
∂t ∂t
∂x ∂t∂x
∂x
Usando (2.7) concluı́mos, em P ,
∂f
∂t

Se

 2
 2
 2
∂ϕ ∂ 2 ϕ ∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
=
+
+ kg
+ kg
− kg
2
∂t ∂t
∂x ∂t∂x
∂x
∂t
∂t
2
2
2
2
∂ϕ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
∂ϕ ∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ
= kg |grad ϕ|2 +
+
−
−
2
∂t ∂t
∂x ∂t∂x
∂t ∂t2
∂t ∂x2
2
2
∂ϕ ∂ ϕ
∂ϕ ∂ ϕ
= kg |grad ϕ|2 +
−
.
∂x ∂t∂x
∂t ∂x2

(2.8)

∂ϕ
(P ) 6= 0, segue-se de (2.4) que
∂x
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂ ϕ
= − ∂t ∂x∂t .
∂ϕ
∂x2
∂x
2

27

(2.9)

A condição de fronteira implica que
−

∂ϕ
∂ϕ
= ν1 ϕ, logo −
= ν1 ϕ e, conseqüentemente,
∂η
∂t

∂2ϕ
∂ϕ
= ν1 .
∂x∂t
∂x

(2.10)

Dessa forma, (2.9) e (2.10) implicam
∂ϕ ∂ϕ
ν1
∂2ϕ
∂t ∂x = ν ∂ϕ .
=
1
∂ϕ
∂x2
∂t
∂x

(2.11)

Usando (2.8), (2.10) e (2.11) temos
∂f
∂t

2
 2
∂ϕ
∂ϕ
= kg |grad ϕ| − ν1
− ν1
∂t
∂x
2
2
= kg |grad ϕ| − ν1 |grad ϕ|
= (kg − ν1 ) |grad ϕ|2 < 0.


2

Logo ν1 > kg (P ) ≥ k0 .
∂ϕ
Suponhamos que
(P ) = 0. Sabemos que
∂x
∂f
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂ϕ ∂ 2 ϕ
∂h
=
+ h−2
− h−3
2
∂x
∂t ∂x∂t
∂x ∂x
∂x



∂ϕ
∂x

2
.

Derivando a expressão acima em relação a x, obtemos
(
)
 2 2
2
2
3
2
∂2f
∂ ϕ
∂ϕ ∂ 3 ϕ
∂
ϕ
∂ϕ
∂
ϕ
−2
−3 ∂h ∂ϕ ∂ ϕ
=
+
+
h
+
−
2h
∂x2
∂x∂t
∂t ∂x2 ∂t
∂x2
∂x ∂x3
∂x ∂x ∂x2
(
)
 2
 2  2
2
2
∂
h
∂ϕ
∂h
∂ϕ
∂
ϕ
∂h
∂ϕ
−3
−4
− h
+2
+ 3h
.
2
2
∂x
∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
∂x
Como

∂h
∂ϕ
(P ) = 0 e
(P ) = 0, temos
∂x
∂x
 2 2
 2 2
∂2f
∂ ϕ
∂ϕ ∂ 3 ϕ
∂ ϕ
=
+
+
.
2
2
∂x
∂x∂t
∂t ∂x ∂t
∂x2

Utilizando a equação (2.10) em (2.12), vemos que
 2
 2 2
∂2f
∂ϕ
∂ϕ ∂ 3 ϕ
∂ ϕ
2
= ν1
+
+
2
2
∂x
∂x
∂t ∂x ∂t
∂x2
 2

  2 2
∂ϕ
∂2ϕ
∂ ϕ
2
= ν1
+ (−ν1 ϕ) −ν1 2 +
.
∂x
∂x
∂x2
28

(2.12)

Como

∂ϕ
(P ) = 0, obtemos
∂x
2
∂2f
2 ∂ ϕ
(P
)
=
ν
ϕ
+
1
∂x2
∂x2

 2 2
∂ ϕ
≤ 0,
∂x2

(2.13)

pois P é um ponto de máximo de f na direção x.
∂ϕ
(P ) = 0 na equação (2.8),
Aplicando a condição de fronteira e a igualdade
∂x
encontraremos que
2

∂2ϕ
∂x2
∂2ϕ
= kg ν 1 2 ϕ2 + ν1 ϕ 2 .
∂x

∂f
(P ) = kg
∂t

Visto que



∂ϕ
∂t

+ ν1 ϕ

∂f
∂f
(P ) = −
(P ) < 0 temos
∂t
∂η
kg ν 1 2 ϕ2 + ν1 ϕ

∂2ϕ
<0
∂x2

e portanto
kg ν 1 3 ϕ2 + ν12 ϕ

∂2ϕ
< 0.
∂x2

(2.14)

Somando (2.13) com (2.14) resulta
 2 2
2
∂ ϕ
2 ∂ ϕ
+ kg ν13 ϕ2 < 0,
+
2ν
ϕ
1
∂x2
∂x2
o qual completando o quadrado desta última desigualdade, obtemos
 2
2
∂ ϕ
2
+ ν1 ϕ + ν13 (kg − ν1 ) ϕ2 < 0,
2
∂x
portanto ν1 > kg ≥ k0 .
Suponhamos agora que f é constante. Observe que f 6= 0 pois ϕ não é constante,
logo f é harmônica e segue-se da equação (2.1) que Hess ϕ = 0 e K = 0 em M .
Seja {e1 , e2 } um campo ortonormal tal que e1 é tangente a ∂M e e2 = η. Logo
0 = Hessϕ (e1 , e2 ) = e1 e2 ϕ − ∇e1 e2 ϕ
= e1 (ν1 ϕ) − kg e1 ϕ
= (ν1 − kg ) e1 ϕ.
Observe que se e1 ϕ = 0 em ∂M então ϕ = cte em ∂M .

29

Dessa forma, chegamos ao seguinte sistema:

∆ϕ =
ϕ =

0 em M
cte em ∂M.

Considere ψ = ϕ − cte. Temos

∆ψ =
ψ =

0 em M
0 em ∂M.

Pelo corolário (1.3.2) temos que ψ é constante. Conseqüentemente ϕ é constante, o
que é uma contradição. Logo ν1 = kg , exceto quando e1 ϕ = 0. Como Hessϕ (e1 , e1 ) = 0
temos
Hessϕ (e1 , e1 ) = e1 e1 ϕ − ∇e1 e1 ϕ
= e1 e1 ϕ + kg e2 ϕ
= e1 e1 ϕ + kg ν1 ϕ = 0.
Portanto ϕ satisfaz, na fronteira, a equação diferencial de segunda ordem dada por
d2 ϕ
+kg ν1 ϕ = 0
dx2
ϕ (0) = ϕ (l)
onde l representa o comprimento de ∂M .
Como a função ϕ não é identicamente nula temos que ϕ1 se anula num número finito
de pontos, portanto ν1 = kg , exceto num número finito de pontos. Usando a continuidade
de kg , concluı́mos que ν1 = kg em todos os pontos. Logo ν1 = kg ≥ k0 .
∂f
(P ) > 0 e terı́amos
Se ν1 = k0 , então f é constante, pois caso contrário,
∂η
ν1 > kg (P ) ≥ k0 , contradição. Como f é constante temos que kg = k0 em todos os
1
pontos e K = 0 em M , logo M é o disco de raio .
k0
Estabeleceremos agora algumas relações entre os primeiros autovalores não-nulos de
Stekolff em variedades Riemannianas com métricas conformes.
Sejam (M, g0 ) uma superfı́cie compacta com fronteira e g = e2f g0 a métrica conforme
obtida da métrica g0 . Denotamos por ν1 (g) o primeiro autovalor não-nulo para o
problema de Stekloff com respeito à métrica g. As seguintes proposições estabelecem
a relação entre ν1 (g) e ν1 (g0 ).

30

Proposição 2.1.1.
ν1 (g) ≥ (max ef (x) )−1 ν1 (g0 ).

Demonstração. Seja ϕ ∈ C 1 M . Definimos
R
|grad ϕ|2g dvg
Qg (ϕ) = M R
.
2 dσ
ϕ
g
∂M
Como a integral de Dirichlet é um invariante conforme e dσg = ef dσg0 , temos
R
|grad ϕ|2g0 dv0
Qg0 (ϕ)
M
.
Qg (ϕ) = R
≥
2
f
ϕ e dσ0
max ef (x)
∂M
x∈∂M

Por outro lado, sabemos que
R

|grad f |2 dv
,
2 dσ
f
∂M

MR

ν1 (g) = min
f ∈A


R
onde A = f ∈ C ∞ / ∂M f dσ = 0 .
Portanto, tomando o ı́nfimo sobre todas as funçõs ϕ ∈ A, obtemos que

−1
f (x)
ν1 (g) ≥ max e
ν1 (g0 ) .
x∈∂M

Segue-se diretamente da proposição anterior, os seguintes resultados:
Corolário 2.1.1. Se f for constante em ∂M , então
ν1 (g) = e−f ν1 (g0 ) .
Corolário 2.1.2. Seja (M, g0 ) uma superfı́cie compacta com fronteira e curvatura
Gaussiana não-negativa. Suponhamos que a curvatura geodésica de ∂M , com respeito
à métrica g0 , satisfaz kg0 ≥ k0 > 0. Então para a métrica g = e2f g0 , temos

−1
f (x)
ν1 (g) ≥ max e
kg
x∈∂M

e

ν1 (g) ≥

f (x)

max e

x∈∂M

−1 



∂f
f (x)
(x)
.
min e kg (x) −
x∈∂M
∂ηg0

Demonstração. A primeira desigualdade é conseqüência direta da Proposição 2.1.1 e
do Teorema 2.1.1. A segunda desigualdade segue do fato que, se g = e2f g0 , então kg e
kg0 satisfazem


∂f
−f
kg = e
kg0 +
.
∂ηg0

31

Apresentaremos, a seguir, dois exemplos do problema de autovalor de Stekloff.
Exemplo 1. Sejam S 2 a esfera unitária em R3 e N = {(0, 0, 1)} o pólo norte. Seja σ:
S 2 − {N } → R2 a projeção estereográfica, a qual é definida por


x2
x1
,
σ (x1 , x2 , x3 ) =
1 − x3 1 − x3

Usando coordenadas locais temos que
√

√
ϕ (u, v) =
1 − v 2 cos u, 1 − v 2 sen u, v , v ∈ (−1, 1)
é uma parametrização de S 2 − {N ∪ S} e, além disso
!
r
r
1+v
1+v
cos u,
sen u .
ψ =σ◦ϕ=
1−v
1−v
Desta forma,



 √
√
−v
−v
2
2
ϕu = − 1 − v sen u, 1 − v cos u, 0 , ϕv = √
cos u, √
sen u, 1
1 − v2
1 − v2
implicam
g11 = 1 − v 2 , g12 = 0 e g22 =

1
.
1 − v2

Por outro lado, os coeficientes de ψ são dados por
g 11 =

1+v
1
, g 12 = 0 e g 22 =
.
3
1−v
(1 − v) (1 + v)
32

Observe que

g 11 =

1
1−v

2


g11 , g 12 =

1
1−v

2


g12 e g 22 =

1
1−v

2
g22 .

Portanto, para w1 , w2 ∈ Tp S temos
λ2 hw1 , w2 ip = hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p) ,
onde λ =
Como

1
.
1−v
σ

−1


(x1 , x2 ) =

2x1
2x2
−1 + x21 + x22
,
,
1 + x21 + x22 1 + x21 + x22 1 + x21 + x22

temos
v=


,

−1 + x21 + x22
.
1 + x21 + x22

Denominamos x = (x1 , x2 ), podemos escrever
−1 + kxk2
2
v=
2 ⇒ 1−v =
1 + kxk
1 + kxk2
Definimos a métrica em Tp S por
1
hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p)
λ2
= (1 − v)2 hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p)

2
2
=
hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p) ,
1 + kxk2

hw1 , w2 ip =
hw1 , w2 ip
hw1 , w2 ip

a qual representamos abreviadamente por
∗
σ −1 (g0 ) = e2f δij ,
onde e2f =

4

2 .
1 + kxk2
A bola geodésica de raio r com
centro S = (0, 0, −1), Br (S) ⊂ S 2 satisfaz que
r
∗
σ (Br (S)) = BR (0), onde R = tan
. Tomando g = (σ −1 ) (g0 ) vemos que a função f
2
é constante em ∂BR . Dessa forma o corolário (2.1.1) implica que
ν1 (g) = e−f

1
.
R

(2.15)

Usando a igualdade
−f

kg = e



∂f
kg0 +
∂ηg0
33


,

(2.16)

obtemos,
kg =
=
=
=
=
=




∂f
kg0 +
e
∂ηg0
1
∂f
e−f + e−f
R
∂ηg0

1
∂
e−f −
e−f
R ∂ηg0


1 + R2 1
∂
1 + R2
−
2 R ∂R
2

−1
1 − R2
2R
1 + R2
−R=
=
2R
2R
1 − R2

−1
2 tan(r/2)
= tan−1 r = cot r.
1 − tan2 (r/2)
−f

(2.17)

Por outro lado, por (2.15) e (2.17) temos

∂
e−f
∂ηg0


∂
1 + R2
= cot r +
∂R
2
= cot r + R
r
= cot r + tan .
2

ν1 (g) = kg +

Exemplo 2. Considere R3 munido com a métrica hx, yi = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 , onde
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 . Definimos espaço Hiperbólico o conjunto

H 2 = x ∈ R3 ; hx, xi = −1, x3 > 0 .
Seja D = {(u1 , u2 ) ∈ R2 ; u21 + u22 < 1}. Consideremos a “projeção estereográfica”
σ : H 2 → D definida por


x1
x2
σ (x1 , x2 , x2 ) =
,
.
1 + x3 1 + x3
Usando coordenadas locais temos que


√
ϕ (u, v) = v cos u, v sen u, 1 + v 2 ,
v > 0 e u ∈ (0, 2π), é uma parametrização do espaço hiperbólico excluindo apenas um
meridiano e o ponto N = (0, 0, 1), mas qualquer ponto a menos de N é coberto ajustando
o domı́nio.
1
Os coeficientes de ϕ são g11 = v 2 , g12 = 0, g22 =
.
1 + v2
34

Tomando

ψ =σ◦ϕ=


v
v
√
√
cos u,
sen u ,
1 + 1 + v2
1 + 1 + v2

obtemos,
g 11 =

v2
1
√
√
2 , g 12 = 0 e g 22 =
2 .
(1 + v 2 ) 1 + 1 + v 2
1 + 1 + v2

donde,

g 11 =

1
√
1 + 1 + v2

2


g11 , g 12 =

1
√
1 + 1 + v2

2


g12 e g 22 =

1
√
1 + 1 + v2

Portanto para w1 , w2 ∈ Tp H 2 temos,
λ2 hw1 , w2 ip = hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p) ,
onde λ =

1
√
. Como
1 + 1 + v2
σ

−1


(x1 , x2 ) =

2x1
2x2
1 + x21 + x22
,
,
1 − x21 − x22 1 − x21 − x22 1 − x21 − x22

escrevendo kxk2 = x21 + x22 , obtemos
√

1 + v2 =

√
1 + kxk2
2
⇒
1
+
1 + v2 =
.
2
1 − kxk
1 − kxk2
35


,

2
g22 .

Definimos a métrica em Tp H 2 por
1
hw1 , w2 ip =
hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p)
λ2

2
√
hw1 , w2 ip = 1 + 1 + v 2 hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p)

2
2
hw1 , w2 ip =
hdσp (w1 ) , dσp (w2 )iσ(p) ,
1 − kxk2
ou abreviadamente por
∗
σ −1 (g0 ) = e2f δij ,
4
onde e2f =
2 .
1 − kxk2
Tomemos agora a bola geodésica
 de centro N =
(0, 0, 1) e raio r. Então r = `(α(t)),
2
2t
1
+
t
onde t ∈ [0, R] e α(t) = σ −1 (t) = 0,
,
.
1 − t2 1 − t2
Dessa forma,


Z R
Z R
1+R
2
0
dt = ln
r=
kα (t)k dt =
.
2
1−R
0
0 1−t
er − 1
r
1+R
e, portanto, R = r
= tanh( ). Novamente pelo corolário (2.1.1)
Logo er =
1−R
e +1
2
temos,
1
ν1 (g) = e−f .
R
Usando (2.16), vemos que

1
∂
kg = e−f −
e−f
R ∂ηg0


∂
1 − R2
1 − R2 1
−
=
2 R ∂R
2
2
2
1−R
1+R
=
+R=
2R
2R
e2r + 1
er + e−r
= 2r
= r
e −1
e − e−r
= coth r.
Segue-se então que

∂
e−f
∂ηg0


∂
1 − R2
= coth r +
∂R
2
= coth r − R
r
= coth r − tanh .
2
Este exemplo nos mostra que, se a curvatura Gaussiana for negativa então o Teorema
2.1.1 pode não ser verificado.
ν1 (g) = kg +

36

2.2

Estimativa em Domı́nios Simplesmente Conexos.

Seja M um domı́nio simplesmente conexo do plano. R. Weinstock obteve em [15] que o
2π
primeiro autovalor não-nulo de Stekloff, ν1 , satisfaz ν1 ≤
, onde L é o comprimento da
L
fronteira e a igualdade é satisfeita se, e somente se, M é o disco unitário. Posteriormente,
4π 2
J. Hersch, L. E Payne e M. M Schiffer demonstraram em [9] que ν1 ν2 ≥ 2 , onde ν2
L
é o segundo autovalor não-nulo do problema de Stekloff. Nesta seção, apresentaremos
um resultado, demonstrado por Escobar em [6], o qual generaliza os resultados obtidos
por Weinstock, ou seja, obtemos um resultado análogo para superfı́cies compactas com
fronteira.
Teorema 2.2.1. Seja (M, g0 ) uma superfı́cie completa simplesmente conexa com
curvatura Gaussiana constante. Seja Ω ⊂ M um domı́nio limitado, simplesmente conexo
com Área(Ω)= Área(Br (x0 )), onde Br (x0 ) ⊂ M é uma bola geodésica de raio r com
centro x0 ∈ M . Então
ν1 (Ω) ≤ ν1 (Br (x0 )) .
A igualdade ocorre se, e somente se, Ω é isométrico a Br (x0 ).
Demonstração. Seja g1 = cg0 , c > 0. Considere (M, g1 ). Como (M, g0 ) tem curvatura
1
Gaussiana constante K0 , então (M, g1 ) terá curvatura constante e igual a K0 . Além
c
disso, pelo Corolário 2.1.1 temos que
ν1 (g1 ) = cν1 (g0 ).
Dessa forma, basta considerarmos no enunciado do teorema a curvatura Gaussiana de
(M, g0 ), K0 ∈ {1, 0, −1}. Portanto, temos que M é isométrica a esfera unitária, o plano
Euclidiano ou ao espaço hiperbólico de curvatura -1. O Teorema de Wienstock diz que
2π
, onde L é o perı́metro de ∂Ω. A desigualdade isoperimétrica em M implica
ν1 (Ω) ≤
L
que, em M , L ≥ L (r) onde L (r) representa o perı́metro da ∂Br (x0 ), igualdade satisfeita
somente quando Ω é isométrica a Br (x0 ). Portanto
ν1 (Ω) ≤

37

2π
.
L(r)

(2.18)

No Exemplo 1 mostramos que, se Br (x0 ) ∈ S 2 , então
r
ν1 (B0 (x0 )) = cot r + tan( )
2
cos r sen( 2r )
+
=
sen r cos( 2r )
cos2 ( 2r ) − sen2 ( 2r ) sen( 2r )
+
=
2 sen( 2r ) cos( 2r )
cos( 2r )
cos2 ( 2r ) − sen2 ( 2r ) + 2 sen2 ( 2r )
=
2 sen( 2r ) cos( 2r )
1
1
=
.
r
r =
2 sen( 2 ) cos( 2 )
sen r
Se no Exemplo 1 tomarmos α(t) = (R cos t, R sen t) e


2R cos t 2R sen t −1 + R2
−1
β(t) = σ (α(t)) =
,
,
1 + R2 1 + R2 1 + R2
então
Z 2π
0

onde R = tan

2

Z 2π

kβ (t)k dt =

L(r) =
r

0

0

2R
dt = 2π
1 + R2



2R
1 + R2

. Logo
 !
2 tan 2r

L(r) = 2π
1 + tan2 2r
!
2 tan 2r

= 2π
sec2 2r

r
 r 
= 2π 2 sen
cos
= 2π sen r.
2
2

Assim, concluı́mos que
ν1 (Br (x0 )) =

2π
.
L(r)

Analogamente, usando o Exemplo 2, se Br (x0 ) ⊂ H 2 , então

38


,

r
ν1 (B0 (x0 )) = coth r − tanh( )
2
sinh( 2r )
cosh r
=
−
sinh r
cosh( 2r )
cosh2 ( 2r ) + sinh2 ( 2r ) sinh( 2r )
−
=
2 sinh( 2r ) cosh( 2r )
cosh( 2r )
cosh2 ( 2r ) + sinh2 ( 2r ) − 2 sinh2 ( 2r )
2 sinh( 2r ) cosh( 2r )
1
1
=
.
r
r =
2 sinh( 2 ) cosh( 2 )
sinh r
=

Tomando agora α(t) = (R cos t, R sen t) e


2R cos t 2R sen t 1 + R2
−1
,
,
β(t) = σ (α(t)) =
,
1 − R2 1 − R2 1 − R2
temos
Z 2π
0

onde R = tanh

2

Z 2π

kβ (t)k dt =

L(r) =
r

0

0

2R
dt = 2π
1 − R2



2R
1 − R2


,

. Logo
 !
2 tanh 2r

L(r) = 2π
1 − tanh2 2r
!
2 tanh 2r

= 2π
cosh−2 2r

r
 r 
= 2π 2 sinh
cosh
= 2π sinh r.
2
2

Desta forma, temos
ν1 (Br (x0 )) =

2π
.
L(r)

(2.19)

No caso da bola Euclidiana, vê-se facilmente que (2.19) é satisfeita. Observamos que
para todos estes casos a igualdade de (2.18) é satisfeita.
Generalizamos este último resultado para superfı́cies completas e simplesmente
conexas com curvatura Gaussiana não-positiva, como pode ser visto em [6], página 108.
Teorema 2.2.2. Seja (M, g) uma superfı́cie completa simplesmente conexa com
curvatura Gaussiana não-positiva. Seja Ω ⊂ M uma conjunto limitado e simplesmente
39

conexo com Área(Ω)=Área(Br (0)), onde Br (0) é a bola Euclidiana de raio r com centro
na origem. Então
ν1 (Ω) ≤ ν1 (Br (0)) .
A igualdade ocorre se, e somente se, Ω é isométrico a bola Euclidiana Br (0).
Demonstração. O Teorema de Wienstock diz que
ν1 (Ω) ≤

2π
,
L

onde L é o perı́metro de ∂Ω. A desigualdade isoperimétrica de Weyl em variedades com
curvaturas não-positivas, ver [14], diz que
L2 ≥ 4πA,
onde A= Área(Ω) e a igualdade é satisfeita apenas para a bola Euclidiana. Dessa forma
temos que L ≥ 2πr, portanto
ν1 (Ω) ≤

1
= ν1 (Br (0)).
r

A hipótese do domı́nio ser simplesmente conexo nos teoremas anteriores é
indispensável e um exemplo, o qual nos mostra isto, foi construı́do por Escobar e pode
ser encontrado em [6], página 109.

40

Capı́tulo 3
Teoremas de Comparação em
Variedades n-Dimensionais
Neste capı́tulo discutiremos estimativas, superiores e inferiores, do primeiro autovalor
não-nulo de Stekloff em variedades n-dimensionais. Veremos no Teorema 3.1.1 que a
estimativa encontrada não é ótima como no caso de superfı́cies, ver Teorema 2.1.1.
Finalizaremos este capı́tulo com uma conjectura feita por J. F. Escobar em [6], página
115.

3.1

Estimativas em variedades M n.

O próximo teorema estabelece uma estimativa superior do primeiro autovalor nãonulo de Stekloff em função do primeiro autovalor do Laplaciano na fronteira da variedade
Riemanniana.
Teorema 3.1.1. Seja M n , n ≥ 3, uma variedade Riemanniana compacta com fronteira.
Assuma que a curvatura de Ricci de M é não-negativa e a segunda forma fundamental
de ∂M , π ≥ 0. Então


2λ1
min hg (x) ν1 <
,
x∈∂M
n−1
onde λ1 é o primeiro autovalor não-nulo do Laplaciano em ∂M e hg é a curvatura média.
Demonstração. A Proposição 1.5.2 mostra que para uma função suave f definida em
∂f
M eu=
em ∂M , a seguinte identidade é satisfeita,
∂η
Z
Z
Z
2
2
(∆f ) − |Hess f | dv =
Ric(grad f, grad f )dv +
(∆f + (n − 1)hg u)udσ
M
M
∂M
Z
Z
−
grad f, grad u dσ +
π(grad f, grad f )dσ,
∂M

∂M

41

onde grad, ∆ representam, respectivamente, o gradiente e o Laplaciano em ∂M com
respeito à métrica induzida em ∂M . Seja ϕ1 a primeira autofunção do Laplaciano em
∂M .
Seja f uma função harmônica em M satisfazendo que f = ϕ1 em ∂M . Aplicando a
Proposição 1.5.2 encontramos que
Z
Z
(∆ϕ1 + (n − 1)hg u)udσ −
grad ϕ1 , grad u dσ < 0.
∂M

∂M

Usando o Teorema de Green, obtemos
Z
Z
grad ϕ1 , grad u dσ = −
∂M

u∆ϕ1 dσ,

∂M

portanto,
Z

Z

hg u2 dσ.

u∆ϕ1 dσ < −(n − 1)

2

∂M

∂M

Como ∆ϕ1 + λϕ1 = 0 em ∂M , temos que
Z
Z
−2λ1
ϕ1 udσ < −(n − 1)

hg u2 dσ,

∂M

∂M

donde
R
h u2 dσ
2λ1
∂M g
R
>
.
n−1
ϕ udσ
∂M 1
Dessa forma
R
u2 dσ
2λ1
> min hg (x) R ∂M
.
n − 1 x∈∂M
ϕ
udσ
1
∂M

(3.1)

Observe que o primeiro autovalor não-nulo para o problema de Stekloff tem a seguinte
caracterização:
R
|∇f |2 dv
M
R
ν1 = R min
.
f 2 dσ
∂M f =0
∂M
Por outro lado, usando o Teorema de Green e a condição de fronteira, obtemos que
R
|∇f |2 dv
M
ν1 = R min R
f 2 dσ
∂M f =0
R ∂M2
u dσ
.
= min R ∂M
∆f =0
uf dσ
∂M
Usando esta última igualdade e a desigualdade (3.1), obtemos


2λ1
> min hg (x) ν1 .
x∈∂M
n−1

42

Teorema 3.1.2. Seja (M n , g), n ≥ 3, uma variedade Riemanniana compacta com
fronteira. Assuma que a curvatura de Ricci de M é não-negativa e a segunda forma
fundamental π satisfaz π ≥ k0 I em ∂M , k0 > 0. Então
ν1 >

k0
.
2

Demonstração. Usando a Proposição 1.5.2 temos que, para uma função suave f definida
∂f
em M , u =
em ∂M , a seguinte identidade é satisfeita:
∂η
Z
Z
Z
2
2
(∆f ) − |Hess f | dv =
Ric(grad f, grad f )dv +
(∆f + (n − 1)hg u)udσ
M
M
∂M
Z
Z
−
grad f, grad u dσ +
π(grad f, grad f )dσ,
∂M

∂M

onde grad, ∆ representam, respectivamente, o gradiente e o Laplaciano em ∂M com
respeito à métrica induzida em ∂M .
Seja f a primeira autofunção do problema de Stekloff. Como f é harmônica, obtemos,
usando a identidade acima, que
Z

0 >
− |Hess f |2 − Ric(grad f, grad f ) dv
Z M
Z
Z
(∆f + (n − 1)hg u)udσ −
π(grad f, grad f )dσ
=
grad f, grad u dσ +
∂M
∂M
∂M
Z
Z
2
≥ −2
grad f, grad u dσ + k0
grad f dσ.
∂M

∂M

Usando a condição de fronteira da função f , obtemos que
Z
Z
2
2
0 > −2ν1
grad f dσ + k0
grad f dσ.
∂M

∂M

Observe que
Z
grad f

2

dσ > 0,

∂M

pois, caso contrário, terı́amos f ≡ cte em ∂M e, portanto, f ≡ cte em M . Isto é uma
contradição visto que f é a primeira autofunção de Stekloff. Dessa forma concluı́mos que
ν1 >

k0
.
2

k0
Vimos no teorema anterior que ν1 >
quando n ≥ 3. No Teorema 2.1.1, ou
2
seja, quando n = 2, obtemos uma estimativa melhor, ν1 ≥ k0 . Dessa forma vemos que a
estimativa obtida pelo teorema acima não é ótima, isto é, ela pode ser melhorada. Diante
disso, Escobar acreditava, conforme conjectura em [6], página 115, que o Teorema 3.1.2
também é verdadeiro quando ν1 ≥ k0 , isto é, que o resultado a seguir também é válido.
43

Conjectura 3.1.1. Seja (M n , g), n ≥ 3, uma variedade Riemanniana compacta com
fronteira. Assuma que Ric(g) ≥ 0 e a segunda forma fundamental π satisfaz π ≥ k0 I em
∂M , k > 0. Então
ν1 ≥ k0 .
1
A igualdade ocorre se, e somente se, M é a bola Euclidiana de raio .
k0

44

Referências Bibliográficas
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Rio de Janeiro (1980), 65-73.
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45

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