Dissertação

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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Rio São Francisco

O Problema de Cauchy para o Sistema
de Gross-Pitaevskii

MATEMÁTICA

A ciência
do infinito

Davy Christian Souza Cardoso

Maceió
16 de Junho de 2005

Universidade Federal de Alagoas
Departamento de Matemática
Programa de Mestrado em Matemática
Dissertação de Mestrado

O Problema de Cauchy para o Sistema
de Gross-Pitaevskii

Davy Christian Souza Cardoso

Orientador:
Prof. Dr. Adán José Corcho Fernández

Apoio Financeiro:
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas - FAPEAL

Maceió - Junho de 2005

Conteúdo
Introdução

5

Capı́tulo 1. Noções Preliminares

9

p

9

1. Espaços L

2. Operadores Limitados e Interpolação

14

3. Espaço de Schwartz

15

4. Distribuições Temperadas

19

Capı́tulo 2. Transformada de Fourier

25

1. Transformada de Fourier em L1

25

2. Transformada de Fourier no espaço de Schwartz

27

3. Transformada de Fourier em L2 (Rn ).

32

4. Transformada de Fourier em S′ (Rn )

33

5. Os Espaços de Sobolev

36

Capı́tulo 3. Equação Linear de Schrödinger

41

1. Propriedades do Grupo Livre de Schrödinger

42

2. Propriedades Suavizantes

43

Capı́tulo 4. Boa Colocação para o Problema de Cauchy Associado ao Sistema de
Gross-Pitaevskii

47

1. Resultados Principais

49

2. Estimativas Lineares

50

3. Estimativas Não Lineares

59

4. Demonstração do teorema 4.1

63

5. Demonstração do teorema 4.2

67
3

4

CONTEÚDO

Capı́tulo 5. Má Colocação para o Problema de Cauchy Associado ao Sistema de
Gross-Pitaevskii

69

1. Ondas Solitárias

70

2. Demonstração do Teorema 5.1

71

Bibliografia

79

Introdução

Neste trabalho fazemos um estudo das propriedades das soluções do problema de valor
inicial (PVI), ou problema de Cauchy, associado ao sistema dispersivo de equações nãolineares de Gross-Pitaevskii, isto é,



2
2

x, t ∈ R,
i∂t u + ∂x u + |u| u + v = 0,


(G-P) i∂t v + ∂x2 v − (µ0 + a|v|2 )v + u = 0,




u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0
0
onde u e v são funções de valores complexos e os parâmetros µ0 e a são reais. Este modelo
descreve a interação entre dois condensados de Bose-Einstein de gases atômicos diluı́dos
e confinados, onde o parâmetro µo representa a diferença dos potenciais quı́micos entre
os condensados u e v. Para maiores informações sobre o modelo fı́sico, pode-se ver [19].
Estudaremos a boa colocação do problema de valor inicial para o sistema (G-P) com
dado inicial (u0 , v0 ) no espaço de Sobolev H k (R) × H ℓ (R). Usamos a definição de lo-

calmente bem posto no seguinte sentido: existência de única solução em certo intervalo
de tempo [−T, T ] (unicidade); a solução descreve uma curva contı́nua de [−T, T ] em
H k (R) × H ℓ (R), para todo dado inicial em H k (R) × H ℓ (R) (persistência); e a solução

é localmente uniformemente contı́nua sobre dados iniciais tomados em H k (R) × H ℓ (R)
(dependência uniformemente contı́nua). No caso em que as três propriedades anteriores possam ser estendidas a todo intervalo de tempo [−T, T ], com T > 0, diremos
que o PVI é globalmente bem posto. Além disso, se uma das propriedades acima não for
válida, diremos que o PVI é localmente mal posto.
5

6

INTRODUÇÃO

A equação cúbica de Schrödinger

 i ∂ u + ∂ 2 u = α|u|2 u,
t
x
(SNL)
 u(x, 0) = u0 (x)

x ∈ Rn , t ∈ R, α = ±1,

tem sido estudada por vários autores. Por exemplo, em dimensão um (n = 1), se sabe
que o problema de Cauchy associado a (SNL) é localmente bem posto em H s (R), com
s ≥ 0 (ver [9], [22]). Aliás, é este o melhor resultado possı́vel de boa colocação em espaços
de Sobolev, no sentido de que a aplicação dado-solução não é localmente uniformemente
contı́nua com respeito à norma de H s (R) para s < 0, tanto no caso α = 1 (defocusing)
como no caso α = −1 (focusing). As provas deste resultados podem ser encontradas em
[15], [7] e [8].

O sistema (G-P) é um acoplamento linear de duas equações de Schrödinger tipo
cúbicas, logo é de se esperar que resultados análogos aos comentados acima para a equação
(SNL) sejam obtidos para este sistema. De fato, provaremos os seguintes resultados para
o PVI (G-P):
(R1 ) boa colocação local em H s × H s , com s ≥ 0;
(R2 ) boa colocação global em L2 (R) × L2 (R);

(R3 ) má colocação em H k × H ℓ , com (k, ℓ) ∈ Ω = Ω1 ∪ Ω2 onde
Ω1 = (−1/2, 0) × (−1/2, +∞)

e

Ω2 = (−1/2, +∞) × (−1/2, 0).

Estruturamos este trabalho como segue. No Capı́tulo 1 apresentamos uma série de resultados preliminares que serão essenciais para o entendimento dos capı́tulos posteriores.
Outro instrumento básico introduzido neste texto é transformada de Fourier. O Capı́tulo
2 versa sobre alguns dos resultados fundamentais relativos a ela e que serão fortemente
usados. Com o instrumental adquirido nos Capı́tulos 1 e 2, trata-se, no Capı́tulo 3, algumas das propriedades das soluções para o PVI associado a equação linear de Schrödinger,
ou seja,


i∂t u(x, t) = ∂ 2 u(x, t), x, t ∈ R,
x
(SL)

u(x, 0) = u0 (x).

Este estudo é a base para desenvolver a prova dos resultados (R1 ) e (R2 ) no Capı́tulo 4. A
idéia fundamental da demonstração de (R1 ) é similar à empregada por Bekiranov, Ogawa
e Ponce em [3], quando provaram boa colocação local para vários sistemas dispersivos. A

INTRODUÇÃO

7

5

ℓ
4

3

2

L

1

k

0

Ω
-1

-2
-2

-1

0

1

2

3

4

5

Figura 1. A linha L := {ℓ = k; k ≥ 0} representa os resultados de boa
colocação (R1 ) e a região Ω representa os resultados de má colocação (R3 ).
mesma consiste em aplicar o princı́pio de Duhamel ao sistema (G-P) e assim trabalhar
com um sistema de equações integrais equivalente, o qual pode ser encarado como um
operador de tipo ponto fixo. Provaremos que de fato este operador é uma contração sobre
certo espaço de Hilbert que contém as funções contı́nuas de [0, T ] em H s (R) × H s (R),
para um certo tempo T que depende de ku0 kH s e kv0 kH s . Por outro lado, (R2 ) é obtido

combinando o resultado local (R1 ) e a seguinte lei de conservação em L2 para o PVI
(G-P):
ku(·, t)k2L2 + kv(·, t)k2L2 = ku0 k2L2 + kv0 k2L2 .

Finalmente, no Capı́tulo 5, prova-se a existência de soluções tipo ondas solitárias para
(G-P) seguindo os trabalhos [4] e [21]. Estas soluções serão usadas para provar o resultado
(R3 ), cuja demonstração usa as idéias implementadas por Kening, Ponce e Vega em [15].
Também usamos com este propósito o trabalho [6].

CAPı́TULO 1

Noções Preliminares

Para dar maior comodidade ao leitor enunciaremos neste capı́tulo as definições e os
resultados que serão essenciais para uma boa compreensão do texto.

1. Espaços L

p

Definição 1.1. Seja X um F-espaço vetorial. Uma função ρ : X → R+ é uma
seminorma se
(1) ρ é sub-aditiva, isto é,
ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y), ∀ x, y ∈ X,
(2) ρ(λx) = |λ|ρ(x), ∀ x ∈ X e ∀ λ ∈ F.
Diremos que ρ é uma norma se além das propriedades 1 e 2 vale
3. ρ(x) = 0 ⇔ x = 0.
Definição 1.2. Seja p ∈ [1, ∞] e X ⊂ Rn . Denotamos por Lp (X) o conjunto das

funções f : X → C mensuráveis tais que
kf kLp :=



 ¡R



1
|f (x)| dx p < ∞,
p

X

¢

se 1 ≤ p < ∞,

inf{λ > 0; m(Aλ ) = 0} < ∞,

se p = ∞,

onde Aλ = {x ∈ X; |f (x)| > λ} e m denota a medida de Lebesgue em Rn .
Definição 1.3. Sejam p, q ∈ (1, ∞). Dizemos que p e q são conjugados quando p1 + 1q =
1. Dizemos também que 1 e ∞ são conjugados. Denotaremos por p′ o conjugado de p.
9

10

1. NOÇÕES PRELIMINARES

Teorema 1.1 (Desigualdade de Hölder). Sejam p ∈ [1, ∞], X ⊂ Rn , f ∈ Lp (X) e
′
g ∈ Lp (X). Então f, g ∈ L1 (X) e
kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLp′ .

Demonstração. Ver teorema 3.8 de [18].

¤

Seja X ⊂ Rn . Diremos que duas funções f, g ∈ Lp (X), p ≥ 1, estão relacionadas

se, e somente se, f = g em quase toda parte, isto é, m{x ∈ X; f (x) 6= g(x)} = 0.
Então, considerando os elementos de Lp (X) como as classes definidas por esta relação de
equivalência, obtemos o seguinte resultado
Teorema 1.2. Os espaços Lp (X) com 1 ≤ p ≤ ∞ são espaços de Banach.
Demonstração. Ver teorema 3.11 de [18].

¤

Teorema 1.3. Sejam p ∈ [1, ∞) e X ⊂ Rn . Se f ∈ Lp (X), então
½Z
¾
f (x)g(x) dx; kgkLp′ = 1 .
kf kLp = sup
X

Demonstraç
ão. A desigualdadeode Hölder nos diz que kf kLp é cota superior do
nR
|f (x)|p−2 f (x), temos,
conjunto
f (x)g(x)dx; kgkLp′ = 1 . Escolhendo g(x) = kf k1−p
Lp
para p > 1, que
Z
Z
p′
p′ −pp′
pp′ −p′
−p
kgk p′ =
|f (x)|p dx = 1
kf kLp |f (x)|
dx = kf kLp
L

X

X

e, se p = 1, como |g(x)| = |f (x)|−1 |f (x)| = 1, ∀ x ∈ Rn ,
kgkL∞ = 1.
Por outro lado,
Z

X

logo kf kLp = sup

1−p

f (x)g(x) dx = kf kLp

nR

Z

X

|f (x)|2 |f (x)|p−2 dx = kf kLp ,

o
′ = 1
f
(x)g(x)
dx;
kgk
.
p
L
X

¤

1. ESPAÇOS L

p

11

Teorema 1.4 (Desigualdade de Minkowski). Sejam X, Y ⊂ Rn , f : X × Y → C
mensurável e 1 ≤ p < ∞. Então
µZ µZ
X

Y

|f (x, y)|dy

¶p

dx

¶1

p

Z µZ

≤

Y

X

|f (x, y)|p dx

¶1

p

dy.

Demonstração. Se p = 1 é o clássico teorema de Fubini (ver [18]). Se p > 1 usamos
a desigualdade de Hölder e o teorema 1.3 para obter
µZ
¶
Z
Z
g(x)
|f (x, y)|dy dx
k |f (·, y)|dykLpx =
sup
kgk p′ =1

Y

L

=

sup
kgk p′ =1
L

≤
=

sup
kgk p′ =1

Z

Y

L

Y

X

Z Z
Y

Z

Y

X

g(x) |f (x, y)|dxdy

kgkLp′ kf (·, y)kLpx dy

kf (·, y)kLpx dy,

p
é o conjugado de p.
onde p′ = p−1

¤

Definição 1.4 (Convolução). Sejam f, g ∈ L1 (Rn ). A convolução de f e g, denotada
por f ∗ g, é a função definida por
Z
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy, ∀ x ∈ Rn .
Rn

Teorema 1.5 (Teorema de Young). Sejam p, q, r ∈ [1, ∞] tais que

f ∈ Lp (Rn ) e g ∈ Lq (Rn ). Então, f ∗ g ∈ Lr (Rn ) e além disso vale
kf ∗ gkLr ≤ kf kLp kgkLq .

Demonstração. Para r < ∞, sendo
p1 :=

p
,
1 − p/r

p2 :=

q
1 − q/r

1
1 1
+ = 1+ ,
p q
r

12

1. NOÇÕES PRELIMINARES

e r′ o conjugado de r, a desigualdade de Hölder (teorema 1.1) nos fornece para cada x ∈ R
Z ∞
|f ∗ g(x)| ≤
|f (x − y)|p/r |g(y)|q/r |f (x − y)|1−p/r |g(y)|1−q/r dy
−∞

≤
≤

µZ ∞

−∞

µZ ∞

−∞

×
=

p

|f (x − y)| |g(y)| dy

−∞

−∞

p ′ p1
r
|f (x − y)| p1 r′ dy

|f (x − y)|p |g(y)|q dy

pois
r′
r′
+
= r′
p1 p2
Portanto
kf ∗ gkrLr

¶1/r µZ ∞

−∞

¶1/r
p
q
|f (x − y)| |g(y)| dy
×

µZ ∞

µZ ∞

q

µ

¶ 1′ r′ µZ ∞
r p1

¶1/r

−∞

≤ kf kLp kgkLq

p/p

1 − pr
1 − qr
+
p
q

r−p

r−q

r−p

r−q

= kf kLp kgkLq

−∞
Z ∞
−∞

¶ 1′ r′

r p2

q/p

q

p

¶

= 1.

p

−∞

|g(y)|

q

q ′ p2
r
|g(y)| p2 r′ dy

¶1/r′

kf kLp 1 kgkLq 2 ,

q Z ∞ µZ ∞
r
p2

p
r
p1

p ′
q ′
r
r
p
p
1
|f (x − y)|
|g(y)| 2 dy

q

¶

|f (x − y)| |g(y)| dy dx

Z ∞

−∞

|f (x − y)|p dxdy

= kf kLp kgkLq kgkLq kf kLp
= kf kLp kgkLq .
No caso em que r = ∞, temos que
kf ∗ gkpL∞

¯Z ∞
¯
¯
¯
= sup ¯¯
f (x − y)g(y) dy ¯¯
x∈R
−∞

≤ kf kLp kgkLq .

¤
Definição 1.5. Sejam I ⊂ R e p, q ≥ 1. Denotaremos por Lpt (I; Lqx (Rn )), ou simplesmente por Lpt (I; Lqx ), o espaço das funções mensuráveis f : Rn × I → C tais que
kf kLp (I;Lq ) :=
t

x

µZ

I

¶1
p
< ∞.
kf (·, t)k q dt
p

Lx

1. ESPAÇOS L

p

13

No caso em que I = [0, T ], com T > 0, ou I = R, denotaremos Lpt (I; Lqx (Rn )) por LpT Lqx
e Lpt Lqx , respectivamente.
Estes espaços são de Banach e vale o seguinte teorema de dualidade, cuja a demonstração segue a idéia usada na prova do teorema 1.3.
Teorema 1.6. Seja f : Rn × R → C. Então
kf kLp (R;Lq ) = sup
t

x

½Z ∞ Z
−∞

Rn

f (x, t)g(x, t)dxdt; kgk p′

¾
=1 .
q′

Lt (R;Lx )

Denotaremos por C0∞ (Rn ) a classe das funções f : Rn → C infinitamente diferenciáveis
de suporte compacto, onde o suporte de f é o conjunto
supp (f ) = {x ∈ Rn ; f (x) 6= 0}.
Teorema 1.7. O conjunto C0∞ (Rn ) é denso em Lp (Rn ), para 1 ≤ p < ∞.
nP
o
n
Demonstração. Sabemos que o conjunto S =
χ
j=1 Aj das combinações lineares
finitas de funções caracterı́sticas χAj de subconjuntos Aj de Rn mensuráveis e limitados é

denso em Lp (Rn ). Então, só resta provar que se A ⊂ Rn for limitado e mensurável, para
cada ε > 0, existe ϕ ∈ C0∞ (Rn ) tal que kϕ − χA kLp < ε. Com efeito, dado ε > 0, sejam
K um compacto e O um aberto tais que K ⊂ A ⊂ O e m(O\K) < εp . Escolhamos
ϕ ∈ C0∞ (Rn ) com 0 ≤ ϕ ≤ 1, supp(ϕ) ⊂ O e ϕ|K = 1. Então
p

kϕ − χA kLp =

Z

Rn

p

|ϕ − χA | ≤

Z

1 < εp .

O\K

¤

14

1. NOÇÕES PRELIMINARES

2. Operadores Limitados e Interpolação

Consideremos H um espaço de Hilbert e M um subespaço vetorial de H. Denotamos
por B(M, H) a coleção de todos os operadores limitados T : M −→ H munido da norma
kT k = inf{C > 0; kT f k ≤ C kf k, ∀ f ∈ M }.
Teorema 1.8. Seja H um espaço de Hilbert e M é um subespaço vetorial de H. Então:
(1) (B(M, H), k · k) é um espaço de Banach;
kT f k
kT f k
(2) kT k = sup
= sup kT f k = sup
, ∀ T ∈ B(M, H);
f 6=0 kf k
kf k=1
0<kf k≤1 kf k
(3) O operador T ∈ B(M, H) admite uma única extensão T ∈ B(M , H), onde M
denota o fecho de M em H. Além disso, kT k = kT k.
Demonstração. Ver teorema 6.2 do capı́tulo IV de [11].

¤

Teorema 1.9 (Riesz-Thorin). Sejam X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm , p0 6= p1 e q0 6= q1 . Seja T

um operador limitado de Lp0 (X) em Lq0 (Y ) e de Lp1 (X) em Lq1 (Y ) com
kT f kLq0
f 6=0 kf kLp0

M0 = sup

kT f kLq1
.
f 6=0 kf kLp1

e M1 = sup

Então T é limitado de Lpθ (X) em Lqθ (Y ) com norma Mθ tal que
Mθ ≤ M01−θ M1θ ,
onde

1−θ
θ
1
1−θ
θ
1
=
+ ,
=
+ ,
pθ
p0
p 1 qθ
q0
q1

Demonstração. Ver teorema 2.2 de [17].

θ ∈ (0, 1).

¤

Teorema 1.10 (Hardy-Littlewood-Sobolev). Sejam 0 < α < 1, 1 ≤ p < q < ∞, tais
1
1
que = + (1 − α). Considerando a aplicação Iα : Lp (R) → F (R; R) definida, para cada
p
q
f ∈ Lp (R), por
Z
f (t)
Iα (f )(x) =
dt, ∀ x ∈ R,
|x − t|α

3. ESPAÇO DE SCHWARTZ

15

temos que Iα (f )(x) é absolutamente convergente a menos de um conjunto de medida nula
da reta. Além disso, se p > 1, temos que
kIα (f )kLq ≤ Ckf kLp ,

∀ f ∈ Lp (R).

Demonstração. Ver teorema 2.18 de [17].

¤

3. Espaço de Schwartz

Exibiremos um espaço de funções “muito bem comportadas” para estudar a transformada de Fourier, chamado de espaço de Schwartz.
Dados α ∈ Nn0 = {0} ∪ Nn e x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , usaremos as seguintes notações:
• |α| = α1 + α2 + · · · + αn

• xα = xα1 1 xα2 2 . . . xαnn
• ∂ α = ∂1α1 ◦ ∂2α2 ◦ · · · ◦ ∂nαn .
Definição 1.6. Uma função f : Rn → C está no espaço de Schwartz, denotado por

S(Rn ), quando é C ∞ (Rn ) e

¯
¯
ρα,β (f ) := sup ¯xα ∂ β f (x)¯ < ∞, ∀α, β ∈ Nn0 .

(1)

x∈Rn

Observamos que S(Rn ) é um espaço vetorial sobre o corpo C dos complexos e que ρα,β é
uma seminorma para todos α, β ∈ Nn0 .
Teorema 1.11. Seja f ∈ C ∞ (Rn ). Então f ∈ S(Rn ) se, e somente se,
lim xα ∂ β f (x) = 0, ∀ α, β ∈ Nn0 .

(2)

|x|→∞

Demonstração. Seja f ∈ C ∞ (Rn ). Dados α, β ∈ Nn0 , existe C > 0 tal que
2

α β

α β

|(1 + |x| )x ∂ f (x)| ≤ |x ∂ f (x)| +

n
X
j=1

|xαe j ∂ β f (x)| ≤ C,

∀ x ∈ Rn ,

16

1. NOÇÕES PRELIMINARES

onde α
ej = (α1 , . . . , αj−1 , 2 + αj , αj+1 , . . . , αn ). Conseqüentemente, temos
|xα ∂ β f (x)| ≤

seguindo , daı́, a relação (2).

C
, ∀ x ∈ Rn ,
2
1 + |x|

Por outro lado, se f ∈ C∞ e satisfaz a condição (2), então, dados α, β ∈ Nn0 , existe

M > 0 tal que |xα ∂ β f (x)| ≤ 1 para |x| > M ; além disso, sendo a função g(x) = xα ∂ β f (x)
contı́nua em [−M, M ], existe C > 0 tal que |xα ∂ β f (x)| ≤ C para |x| ≤ M, logo
ρα,β (f ) ≤ max{1, C}.
¤
A relação (2) significa que as derivadas de f decrescem rapidamente no infinito, isto
é, que f e suas derivadas vão mais rápido para 0, do que as potências xα , α ∈ Nn0 , vão

para o infinito, quando |x| → ∞. Diremos, então, que uma função f : Rn → C é de
decrescimento rápido quando está no espaço de Schwartz .
Teorema 1.12. Seja p ∈ [1, ∞). Então o espaço de Schwartz S(Rn ) é denso em
n
(Lp (Rn ), k · kLp ) , ou seja, para todo f ∈ Lp , existe uma seqüência {fn }∞
n=1 em S(R ) tal
Lp

que fn −→ f.

Demonstração. Sejam ϕ ∈ S(Rn ) e r > n/2. Então
Z
1
dx
kϕkLp =
(1 + |x|2 )r |ϕ(x)|p
(1 + |x|2 )r
Rn
Z
2 r
p
1
dx < ∞.
= sup (1 + |x| ) |ϕ(x)|
(1+|x|2 )r
x∈Rn

Rn

Isto implica que S(Rn ) ⊂ Lp (Rn ). Por outro lado, usando o teorema 1.7, observamos que
¢ ¡
¡
¢
Lp (Rn ) = C0∞ (Rn ); k · kLp ⊂ S(Rn ); k · kLp ⊂ Lp (Rn ),
logo (S(Rn ); k · kLp ) = Lp (Rn ).

¤

Lema 1.1. Sejam f, g ∈ S(Rn ). Então
(1) xα ∂ β f ∈ S(Rn ), ∀ α, β ∈ Nn0 ;
(2) f ∗ g ∈ S(Rn ) e, além disso,
∂ β (f ∗ g) = (∂ β f ) ∗ g = f ∗ (∂ β g),

∀ β ∈ Nn0 .

3. ESPAÇO DE SCHWARTZ

17

Demonstração. Para α, β ∈ Nn0 , segue diretamente da definição do espaço de
Schwartz, que xα ∂ β f ∈ S(Rn ). Derivando sob o sinal de integração e usando a comu-

tatividade da convolução, observamos que f ∗ g ∈ C ∞ (Rn ) e
∂ β (f ∗ g) = (∂ β f ) ∗ g = f ∗ (∂ β g),

∀ β ∈ Nn0 .

Como, para x, y ∈ Rn e α ∈ Nn0 ,
|xα | = |xα1 1 . . . xαnn | = |x1 |α1 . . . |xn |αn
≤ (1 + |x1 |)α1 . . . (1 + |xn |)αn
≤ (1 + |x|)α1 . . . (1 + |x|)αn = (1 + |x|)|α|
≤ (1 + |x − y| + |y| + |y||x − y|)|α| = (1 + |x − y|)|α| (1 + |y|)|α|
≤ C (1 + |x − y|2 )|α|/2 (1 + |y|2 )|α|/2 ,
então
α β

(3) |x ∂ (f ∗g)(x)| ≤

Z

Rn

C (1+|x−y|2 )|α|/2 |f (x−y)|(1+|y|2 )|α|/2 |∂ β g(y)|dy,

∀ x ∈ Rn .

Portanto, usando desigualdade de Hölder no lado direito de (3) obtemos
¯
¯
ρα,β (f ∗ g) = sup ¯xα ∂ β (f ∗ g)(x)¯
x∈Rn

°
° °
°
≤ C °(1 + | · |2 )|α|/2 f °L2 °(1 + | · |2 )|α|/2 ∂ β g °L2 < ∞.

¤

A seguir, apresentamos a topologia do espaço de Schwartz gerada pelas seminormas
ρα,β (f ) = sup{|xα ∂ β f (x)| ; x ∈ Rn }, α, β ∈ Nn0 .
n
Definição 1.7. Dizemos que uma seqüência {fk }∞
k=1 em S(R ) converge para f ∈

S(Rn ) se, e somente se,

lim ρα,β (fk − f ) = 0,

k→∞

∀ α, β ∈ Nn0 .

Denotaremos isto por
S

fk −→ f.
O lema seguinte mostra que esta topologia em S(Rn ) é muito forte.

18

1. NOÇÕES PRELIMINARES
Lp

S

Lema 1.2. Sejam p ∈ [1, ∞] e fk −→ f. Então fk −→ f.
Demonstração. Como kfk − f kL∞ = ρ0,0 (fk − f ), o lema vale
Z para p = ∞. Consid-

eremos o caso em que p ∈ [1, ∞). Seja n0 ∈ N tal que a integral

Rn

(1 + |x|2 )−pn0 dx seja

finita. Para cada j ∈ {1, 2, . . . , n}, escrevendo αj = (0, . . . , 2n0 , . . . , 0) ∈ Nn0 , onde 2n0
está posicionado na j-ésima entrada, observamos que
Z
p
kfk − f kLp =
|fk − f |p dx
Rn
Z
³
´p
1
2 n0
=
(1
+
|x|
)
|f
−
f
|
dx
k
2 pn0
Rn (1 + |x| )
³
´p Z
1
2 n0
dx
≤ sup (1 + |x| ) |fk − f |
2 pn0
x∈Rn
Rn (1 + |x| )
¢p
¡
≤ C sup (1 + |x|2n0 )|fk − f |
x∈Rn

≤ C

Ã

ρ0,0 (fk − f ) +

n
X
j=1

!p

ραj ,0 (fk − f )

,

seguindo daı́ o lema.

¤

Seja d : S(Rn ) × S(Rn ) −→ R+ , definida por
(4)

d(f, g) =

X

α,β∈Nn
0

1
2α+β

·

ρα,β (f − g)
,
1 + ρα,β (f − g)

f, g ∈ S(Rn ).

É um bom exercı́cio provar a seguinte proposição, que deixamos a cargo do leitor.
Proposição 1.1. Seja a função definida em (4). Então
(1) d é uma métrica sobre S(Rn );
S

(2) fk −→ f

d

⇐⇒ fk −→ f.

Teorema 1.13. O espaço (S(Rn ), d) é um espaço métrico completo.
Demonstração. Seja fk uma seqüência de Cauchy em (S(Rn ), d). Como, para cada
α ∈ Nn0 , k∂ α f kL∞ = ρ0,α (f ), temos que ∂ α fk é de Cauchy em (S(Rn ), k · kL∞ ), logo

uniformemente limitada.

4. DISTRIBUIÇÕES TEMPERADAS

19

Afirmamos que ∂ α fk é eqüicontı́nua em cada bola fechada B r (0), r > 0, caso contrário,
suponhamos que exista x0 ∈ B r (0) e ε > 0 tais que
∀ k ∈ N, ∃ xk ∈ B r (0) ; |∂ α fk (xk ) − ∂ α fk (x0 )| > ε e kxk − x0 k < k1 ,
onde k · k é a norma euclidiana. Usando a desigualdade do valor médio obtemos
ε < |∂ α fk (xk ) − ∂ α fk (x0 )| ≤ Ckxk − x0 k −→ 0.
Portanto, o teorema de Ascoli-Arzelá implica que ∂ α fk possui uma subseqüência uniformemente convergente para certa função fα ∈ C(B r (0)). Porque, para todo α ∈ Nn0 ,
∂ α fk é de Cauchy, segue que
∂ α fk −→ fα
uniformemente. Mais ainda, fα = ∂ α f, conseqüentemente f ∈ C ∞ (B r (0)).
Para cada bola B r (0) e α, β ∈ Nn0 , temos que
Ã
sup |xα ∂ β f | = lim

B r (0)

k→∞

!

sup |xα ∂ β fk |

B r (0)

≤ lim sup ρα,β (fk ),

onde vemos que o lado direito é independente do raio da bola, logo ρα,β (f ) é limitado, ou
S
seja, f ∈ S(Rn ). Só resta provar que de fato fk −→ f. Dado ε > 0, escolhamos n0 ∈ N

tal que ρα,β (fk − fm ) < ε quando k, m > n0 . Como
Ã
sup |xα ∂ β (fm − f )| =

k→∞

≤

k→∞

B r (0)

lim

!

sup |xα ∂ β (fm − fk )|

B r (0)

lim ρα,β (fm − fk ),

segue que ρα,β (fm − f ) ≤ ε quando m > n0 , provando a convergência de fk em S(Rn ). ¤
4. Distribuições Temperadas

Seja S′ (Rn ) o dual topológico de S(Rn ), isto é, o conjunto dos funcionais lineares e
contı́nuos sobre S(Rn ). Mais precisamente, uma aplicação linear T : S(Rn ) −→ C está em

S ′ (Rn ) se, e somente se,

S

ϕk −→ 0 =⇒ lim T (ϕk ) = 0.
k→∞

20

1. NOÇÕES PRELIMINARES

Um elemento de S′ (Rn ) é também chamado de distribuição temperada.
Teorema 1.14. Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Para cada f ∈ Lp (Rn ), a função
Tf : S(Rn ) −→ C
Z
ϕ
7−→
f (x)ϕ(x)dx

(5)

Rn

define uma distribuição temperada. Para cada x ∈ Rn , a aplicação
δx : S(Rn ) −→ C
ϕ

7−→ ϕ(x)

é uma distribuição temperada, chamada a distribuição δ de Dirac centrada no ponto x ∈
Rn .
Demonstração. Claramente vemos que Tf e δx são funcionais lineares. Fazendo
p
q := p−1
se p > 1, ou q := ∞ se p = 1, pela desigualdade de Holder,
|Tf (ϕ)| ≤ kf ϕkL1 ≤ kf kLp kϕkLq , ϕ ∈ S(Rn ),
assim como temos que
|δx (ϕ)| ≤ kϕkL∞ , ϕ ∈ S(Rn ).

S

Portanto, empregando o lema 1.2, se {ϕk } é uma seqüência em Schwartz tal que ϕk −→ 0,
então
Tf (ϕk ) −→ 0

e

δx (ϕk ) −→ 0.
¤

Definição 1.8. Seja {Tk } uma seqüência em S′ (Rn ) e T ∈ S′ (Rn ). Quando
lim Tk (ϕ) = T (ϕ), ∀ϕ ∈ S(Rn ),

k→∞

dizemos que {Tk } converge a T e escreveremos
S′

Tk −→ T.
Essa noção de convergência é muito fraca. De fato, sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e
Lp

fk −→ f.

4. DISTRIBUIÇÕES TEMPERADAS

21

A desigualdade de Hölder (teorema 1.1) nos diz que, para ϕ ∈ S(Rn ) e n ∈ N0 ,
¯
¯Z
¯
¯
(fk − f )(x)ϕ(x)dx)¯¯
|Tfk (ϕ) − Tf (ϕ)| = ¯¯
Rn
Z
|(fk − f )(x)||ϕ(x)|dx
≤
Rn

≤ kfk − f kLp kϕkLq ,

onde

1 1
+ = 1, e daı́, como ϕ ∈ Lq (Rn ), segue que
p q
S′

Tfk −→ Tf .
Daqui por diante usaremos a notação usual de função para denotar os elementos de
S′ (Rn ), identificando por f , em particular, a distribuição temperada Tf definida em (5).
Sendo f ∈ S(Rn ) e α ∈ Nn0 , a derivada ∂ α f de f está em S(Rn ) e define uma dis-

tribuição temperada dada por
α

∂ f (ϕ) =

Z

Rn

∂ α f (x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rn ).

Sendo k ∈ N0 , usando integração por partes, temos que
¶
µ
Z
Z ∞
k−1
k−1
k
∞
∂j f (ϕ) =
x
∂j f (x)ϕ(x)|−∞ −
∂j f (x)∂j ϕ(x)dxj de
Rn−1
−∞
Z
=
−∂jk−1 f (x)∂j ϕ(x) dx
=

Rn
−∂jk−1 f (∂j ϕ),

j = 1, 2, . . . , n,

e, repetindo este processo mais k − 1 vezes,
∂jk f (ϕ) = (−1)k f (∂j ϕ).
Logo, temos a relação
α

|α|

∂ f (ϕ) = (−1)

Z

f (x)∂ α ϕ(x)dx

Rn

(6)

|α|

= (−1) f (∂ α ϕ), ϕ ∈ S(Rn ),

que motiva a próxima definição, a derivada em S′ (Rn ).

22

1. NOÇÕES PRELIMINARES

Definição 1.9 (Derivada de uma distribuição temperada). Sejam α ∈ Nn0 e f ∈
S′ (Rn ). A derivada ∂ α f de f é o funcional
∂ α f : S(Rn ) −→ C
ϕ

7−→ (−1)|α| f (∂ α ϕ).

Agora, a propósito da próxima definição, observemos que, se f, ϕ ∈ S(Rn ), então
Z
f ∗ ϕ(φ) =
f ∗ ϕ(x)φ(x)dx
Rn
Z Z
=
f (y)ϕ(x − y)dy φ(x) dx
Rn Rn
Z
Z
ϕ(x − y)φ(x)dx dy
f (y)
=
Rn

Rn

= f (ϕ(− ·) ∗ φ),

∀ φ ∈ S(Rn ).

Definição 1.10. Sejam ϕ ∈ S(Rn ) e T ∈ S′ (Rn ). A convolução de T com ϕ é a
função
T ∗ ϕ : S(Rn ) −→ C
dada por
T ∗ ϕ(φ) = T (ϕ(− ·) ∗ φ),

∀ φ ∈ S(Rn ).

Teorema 1.15. Sejam ϕ ∈ S(Rn ) e T ∈ S′ (Rn ). Então
T ∗ ϕ ∈ C ∞ ∩ S′ (Rn )
e
∂ α (T ∗ ϕ) = (∂ α T ) ∗ ϕ = T ∗ (∂ α ϕ),

∀ α ∈ Nn0 .

Demonstração. Pelo lema 1.1, T ∗ ϕ está bem definida e sua linearidade é decor-

rente da linearidade de T e da distributividade da convolução em S(Rn ). Observando a
relação (3) do lema 1.1, temos que
¯
¯
ρα,β (ϕ(− ·) ∗ φ) = sup ¯xα ∂ β (ϕ(− ·) ∗ φ)(x)¯
x∈Rn

°
° °
°
≤ C °(1 + | · |2 )|α|/2 ϕ(− ·)°L1 °(1 + | · |2 )|α|/2 ∂ β φ°L∞ ,

4. DISTRIBUIÇÕES TEMPERADAS

23

para todos α, β ∈ Nn0 e φ ∈ S(Rn ). A continuidade, então, segue da relação anterior, pois
o seu lado direito é uma combinação linear finita de seminormas ρα′ ,β ′ (·), α′ , β ′ ∈ Nn0 .
Usando novamente o lema 1.1, para cada α ∈ Nn0 e φ ∈ S(Rn ), temos que
∂ α (T ∗ ϕ)(φ) = (−1)|α| T ∗ ϕ(∂ α φ)
= (−1)|α| T ( ϕ(− ·) ∗ ∂ α φ )
= (−1)|α| T ( ∂ α (ϕ(− ·) ∗ φ) )
= ∂ α T ( ϕ(− ·) ∗ φ )
= (∂ α T ) ∗ ϕ (φ)
e
∂ α (T ∗ ϕ)(φ) = (−1)|α| T ( ∂ α (ϕ(− ·)) ∗ φ )
= (−1)|α| T ( (−1)|α| ∂ α ϕ(− ·) ∗ φ) )
= T ( ∂ α ϕ(− ·) ∗ φ )
= T ∗ (∂ α ϕ) (φ).
¤

CAPı́TULO 2

Transformada de Fourier

Neste capı́tulo desenvolvemos a teoria básica da transformada de Fourier, inicialmente
em L1 (Rn ) e posteriormente ampliamos para o espaço L2 (Rn ) mediante o uso do espaço
de Schwartz S(Rn ). Finalizamos trabalhando com o dual topológico de S(Rn ).
1. Transformada de Fourier em L1

Definição 2.1. Sendo f ∈ L1 (Rn ), definimos a transformada de Fourier de f como
a função fb dada por
Z
−n/2
f (x)e−iξ·x dx, ∀ξ ∈ Rn ,
(7)
fb(ξ) = (2π)
Rn

onde ξ · x = x1 ξ1 + . . . + xn ξn .

A transformada de Fourier em L1 (Rn ) está bem definida pois
|f (x)e−iξ·x | = |f (x)| ∈ L1 (Rn ).
Prosseguimos listando algumas propriedades básicas da transformada de Fourier em L1 (Rn ).
Teorema 2.1. Sendo f ∈ L1 (Rn ), temos que:
(1) f → fˆ define uma transformação linear de L1 (Rn ) em L∞ (Rn ), ou seja,
\
af
+ g = afˆ + ĝ ∈ L∞ (Rn ),

∀f, g ∈ L1 (Rn ) e ∀a ∈ C.

(2) kfˆk∞ ≤ (2π)−n/2 kf kL1 e fˆ é contı́nua.
(3) lim fˆ(ξ) = 0 (Riemann-Lebesgue).
|ξ|→∞

25

26

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

(4) Sendo g ∈ L1 (Rn ), temos que
f[
∗ g(ξ) = (2π)n/2 fˆ(ξ)ĝ(ξ), ξ ∈ Rn .
(5) Se fh (x) = f (x + h), então
ih·ξ
d
ih·x f )(ξ) = fˆ(ξ − h).
ˆ
(f
e (e\
h )(ξ) = f (ξ)e

Demonstração. Da definição de fˆ temos que |fˆ(ξ)| ≤ (2π)

−n/2

Z

Rn

|f (x)|dx =

(2π)−n/2 kf kL1 < ∞, ∀ ξ ∈ Rn , logo kfˆk∞ ≤ (2π)−n/2 kf kL1 e conseqüentemente fˆ ∈

L∞ (Rn ). A linearidade de ∧ decorre diretamente da definição da soma entre funções
juntamente com a linearidade do operador integral. Consideremos a seqüencia em Rn ,
{ξk }, convergindo para ξ ∈ Rn . Como, para cada natural k, |f (x)e−ix·ξk | = |f (x)| e
k→∞
f (x)e−ix·ξk −→ f (x)e−ix·ξ , ∀x ∈ Rn , o teorema da convergência dominada (ver [18])
nos fornece

Z
−n/2
ˆ
lim f (ξk ) = (2π)
lim
f (x)e−ix·ξk dx
k→∞
k→∞ Rn
Z
−n/2
lim f (x)e−ix·ξk dx
= (2π)
Rn k→∞

= fˆ(ξ),

e daı́ que fˆ é contı́nua. Com isto ficam provadas as propriedades (1) e (2).
Passamos, agora, à prova do lema de Riemann-Lebesgue (propriedade (3)). Começamos
supondo que f é contı́nua e de suporte compacto. Então, para ξ ∈ Rn − {0}, temos que
Z
−n/2
f (x)e−ix·ξ (−1)eiπ dx
fˆ(ξ) = (2π)
Rn

= −(2π)−n/2
= −(2π)

−n/2

Z

h

e portanto vale
(8)

2fˆ(ξ) = (2π)−n/2

Rn

Z

Rn

Z

Rn

f (x)e

µ
¶
ξπ
−iξ· x− 2
|ξ|

dx

´
³
ξπ
e−iξ·x dx,
f x + |ξ|
2

´i
³
ξπ
e−iξ·x dx.
f (x) − f x + |ξ|
2

2. TRANSFORMADA DE FOURIER NO ESPAÇO DE SCHWARTZ

27

Notemos que se o suporte de f (supp(f )) estiver contido numa bola B ρ (0) ⊆ Rn , então
¯h
¯
´i
³
¯
ξπ
−iξ·x ¯
e
¯ f (x) − f x + |ξ|
¯ ≤ 2 max |f (x)|χB ρ (0) (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ x ∈ R, |ξ| ≫ 1,
2
x∈B ρ (0)

e além disso

lim

|ξ|→∞

h

´i
³
ξπ
f (x) − f x + |ξ|2 e−iξ·x = 0, ∀ x ∈ R,

logo, pelo teorema da convergência dominada, o lado direito de (8) tende a zero quando
|ξ| → ∞, conseqüentemente temos que lim fˆ(ξ) = 0. No caso em que f ∈ L1 (Rn )
|ξ|→∞

é qualquer, dado ǫ > 0, tomando g ∈ L1 (Rn ) contı́nua e de suporte compacto tal que

kf − gkL1 < ǫ/2 e ξ com módulo suficientemente grande tal que |b
g (ξ)| < ε/2, temos
que
|fˆ(ξ)| ≤ |(f\
− g)(ξ)| + |b
g (ξ)|
n

≤ (2π)− 2 kf − gkL1 + ǫ/2 ≤ ǫ,
valendo, portanto, o item (3) do teorema.
Usando a comutatividade da convolução e os teoremas de Fubini e de mudança de
variáveis temos o ı́tens (4) e (5).

¤

2. Transformada de Fourier no espaço de Schwartz

Teorema 2.2. Seja f ∈ S(Rn ). Então fˆ ∈ C ∞ e
(9)

α f ),
\
∂ α fˆ = (−i)|α| (x

∀ α ∈ Nn0 .

Demonstração. Para calcularmos ∂j fˆ, com j = 1, . . . , n, da Regra de Leibniz (ver
[16]), podemos derivar diretamente dentro do sinal de integração, aparecendo
¶
µ
Z
−iξ·x
−n/2
ˆ
f (x)e
dx
∂j f (ξ) = ∂j (2π)
Rn
Z
−n/2
= (2π)
(−ixj )f (x)e−iξ·x dx
Rn

n
[
= −i(x
j f )(ξ), ∀ ξ ∈ R ,

28

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

e
\
k
∂jk = (−i)k (x
j f ), ∀ k ∈ N0 .
Portanto
n−1 \
∂ α fˆ = (−i)αn ∂1α1 ∂2α2 · · · ∂n−1
(xαnn f )

α

α

n−2
n
xαnn f )∧
(xαn−1
= (−i)αn−1 +αn ∂1α1 · · · ∂n−2

α f ).
\
= (−i)|α| (x

¤
Teorema 2.3. Para todo f ∈ S(Rn ) e todo α ∈ Nn0 , ∂ α f ∈ S(Rn ) assim como
α f )(ξ) = i|α| ξ α fˆ(ξ), ξ ∈ Rn .
\
(∂

(10)

Demonstração. Falta mostrar (10). Sendo f ∈ S(Rn ) e j ∈ {1, . . . , n}, integrando
por partes obtém-se
Z ∞
Z
−n/2
[
(∂j f )(ξ) = (2π)
∂j f (x)e−ix·ξ dxj de
x
Rn−1

= (2π)

−n/2

Z

−∞

e

Rn−1

h

−ie
x·ξe

f (x)e

Z ∞
¯+∞
i
−ixj ξj
+ iξj
f (x)e
dxj de
x, ξ ∈ Rn .
¯

−ixj ξj ¯

−∞

−∞

Como para cada (x1 , . . . , xj−1 , xj+1 , . . . , xn ) ∈ Rn−1 a função t → fe(t)e±itτ está em S(R),
onde fe(t) = f (x1 , . . . , xj−1 , t, xj+1 , . . . , xn ), temos que
f (x)e

Logo

¯+∞
−ixj ξj ¯
¯

−∞

= lim f (x)e
xj →∞

¯ xj
´
³
= lim fe(xj )e−ixj ξj − fe(xj )eixj ξj = 0.
¯

−ixj ξj ¯

−xj

xj →∞

Z

−ie
x·ξe

−n/2
[
(∂
iξj
j f )(ξ) = (2π)

e

Rn−1

= iξj fˆ(ξ), ξ ∈ R ,
n

Z ∞

f (x)e−ixj ξj dxj de
x

−∞

e por indução, para cada k natural,
k k ˆ
\
k
(∂
j f )(ξ) = i ξj f (ξ),

seguindo então (10).

¤

2. TRANSFORMADA DE FOURIER NO ESPAÇO DE SCHWARTZ

29

O teorema anterior é uma das propriedades mais importantes da transformada de
Fourier, mostrando que o operador diferencial agindo em S(Rn ) é transformado no operador de multiplicação por i|α| ξ α , transformando, assim, equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes em equações algébricas.
A seguir mostraremos que a transformada é invertı́vel no espaço de Schwartz, cuja
inversa possui propriedades semelhantes.
Teorema 2.4. Sejam f, g ∈ S(Rn ). Então fˆ ∈ S(Rn ), vale a fórmula de inversão
Z
−n/2
fˆ(ξ)eiξ·x dξ, ∀ x ∈ Rn ,
(11)
f (x) = (2π)
Rn

e

Z

(12)

f ĝ =

Rn

Z

fˆg.

Rn

Antes de demonstrarmos o teorema 2.4, provaremos o seguinte lema, que será usado
com esse objetivo.
2

2

Lema 2.1. Seja a ∈ C\{0}, com Re a > 0, e g(x) = e−a|x| . Então ĝ(ξ) = e−|ξ| /4a (2a)−n/2 .
Demonstração. Basta fazer em uma dimensão, pois, em Rn , ĝ(ξ) é um produto de
n integrais iguais. Como g ′ (x) = −2axg(x), os teoremas 2.2 e 2.3 nos dão que
d
d
′ )(ξ) = − ξ ĝ(ξ).
(ĝ)′ (ξ) = −i(xg)(ξ)
= 2ai (g
2a

Agora, observando que ĝ(0) = (2π)

−1/2

Z ∞

2

e−a x dx = (2a)−1/2 , a unicidade da

−∞

solução do problema de cauchy


 y ′ (x) + x y(x) = 0
2a

2

 y(0) = (2a)−1/2 ,

nos fornece que ĝ(ξ) = e−ξ /4a (2a)−1/2 .

¤

Demonstração do teorema 2.4. Sejam f, g ∈ S(Rn ). O teorema 2.2 nos diz que

fˆ ∈ C ∞ (Rn ), e, juntamente com o Teorema 2.3 e o item 2 do Teorema 2.1, para cada

30

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

α, β ∈ Nn0 ,
\
β f )(ξ)| = |(−i)|β| (−i2 )|α| ξ α (x
\
β f )(ξ)|
|ξ α ∂ β fˆ(ξ)| = |ξ α (−i)|β| (x
\
β f )(ξ)| = |(∂ α (xβ f ))∧ (ξ)|
= |(−i)|α+β| i|α| ξ α (x

≤ (2π)−n/2 k∂ α (xβ f )kL1 ,
logo ρα,β (fˆ) < ∞, provando quefˆ ∈ S(Rn ).
Porque, ∀ λ ∈ R, f (x)g(y)e−iyλx é mensurável, da desigualdade de Minkowski (teorema
1.4), temos que
µ
¶n Z
Z
Z
1
√
f (x)ĝ(λx)dx =
f (x)
g(y)e−iy·λx dydx
n
n
n
2π
R
R
R
µ
¶n Z Z
1
√
=
f (x)g(y)e−iy·λx dxdy
n
n
2π
R
R
Z
=
g(y)fˆ(λy)dy,
Rn

acarretando (12) e que
Z
f (0)
ĝ(x)dx =
Rn

lim

λ→∞

= g(0)

Z

Z

f (x/λ)ĝ(x)dx = lim

λ→∞

Rn

Z

g(x/λ)fˆ(x)dx

Rn

fˆ(x)dx.

Rn

2

Escolhendo g(x) = e−|x| /2 na igualdade anterior, o lema 2.1 nos dá o caso particular da
formula de inversão da transformada
Z
−n/2
fˆ(ξ)dξ,
f (0) = (2π)
Rn

e daı́, usando o item 5 do teorema 2.1,
Z
Z
−n/2
−n/2
d
f (x) = fx (0) = (2π)
(fx )(ξ)dξ = (2π)
Rn

Considerando o operador
G : S(R) −→ S(R)
f

fˆ(ξ)eix·ξ dξ.

Rn

7−→ G(f ) := fˇ,

¤

2. TRANSFORMADA DE FOURIER NO ESPAÇO DE SCHWARTZ

31

onde, para cada f ∈ S(R), fˇ está definido por
Z
−n/2
ˇ
f (x) = (2π)
f (ξ)eiξ·x dξ, ∀x ∈ Rn ,
Rn

pela fórmula da inversão (11), temos que
Z
−n/2
f (x) = (2π)
fˆ(ξ)eix·ξ dξ = (fˆ)∨ (x),
Rn

e

(fˇ)∧ (x) = (2π)−n/2

Z

x ∈ Rn ,

fˇ(ξ)e−ix·ξ dξ

Rn

= (2π)

−n/2

Z

fˆ(−ξ)eix·(−ξ) dξ

Rn

= (2π)−n/2

Z

fˆ(ξ)eix·ξ dξ

Rn

x ∈ Rn ,

= f (x),

ou seja, G é a inversa da transformada de Fourier em S(Rn ). Agora podemos anunciar o
teorema seguinte.
Teorema 2.5. A restrição da transformada de Fourier F : S(Rn ) → S(Rn ) é um

isomorfismo e F−1 vem dada por

F (f )(x) = fˇ(x) = (2π)
−1

−n/2

Z

Rn

f (ξ)eiξ·x dξ, ∀ x ∈ Rn , ∀ f ∈ S(Rn ).

Teorema 2.6 (Igualdade de Plancherel em S(Rn )). Se f ∈ S(Rn ), então
kf kL2 = kfˆkL2 .

Demonstração. Tomando, na igualdade (12) do teorema 2.4, ĝ = f , temos
Z
Z
fˆg
kf kL2 =
f ĝ =
n
n
R
R
Z
Z
fˆ fˇ =
=
fˆ fˆ
Rn

Rn

= kfˆkL2 .

¤

32

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

Mostramos, portanto, que F : (S(Rn ), k · kL2 ) −→ (S(Rn ), k · kL2 ) é um isomorfismo
de espaços vetoriais normados, isto é, um operador linear contı́nuo que é uma isometria
em L2 (Rn ). Portanto, usando o teorema 1.8, como S(Rn ) = L2 (Rn ), a transformada e
a transformada inversa podem serem extendidas como operadores lineares contı́nuos de
L2 (Rn ) em L2 (Rn ), permitindo, assim, definir a transformada de Fourier em L2 (Rn ).
3. Transformada de Fourier em L2 (Rn ).

Em geral, dada f ∈ L2 (Rn ), a expressão
Z
f (x)e−iξ·x dx, ξ ∈ Rn ,
Rn

não faz sentido. Por exemplo, a função

 0, x ∈ (−∞, 1]
(13)
f (x) =
 1/x, x ∈ (1, ∞)
está em L2 (R) mas não em L1 (R).

Definição 2.2 (Transformada de Fourier em L2 ). Seja f ∈ L2 (Rn ). A transformada
de Fourier de f , onde também denotaremos por F(f ) = fˆ, e a transformada inversa ∨

são dadas por

fˆ = lim fˆk e fˇ = lim fˇk ,
k→∞

k→∞

onde {fk } é uma seqüência qualquer em Schwartz convergindo a f em L2 (Rn ).
2

Exemplo 2.1. Seja f (x) = e−it|x| . Então, pelo lema 2.1,
fˆ(ξ) =
=

2

lim (e−(it+ε)|x| )∧ (ξ)

ε→0+

2

lim e−|ξ| /4(it+ε) (2(it + ε))−n/2

ε→0+
2

= ei|ξ| /4t (2it)−n/2 .

Teorema 2.7. A transformada de Fourier em L2 (Rn ), definida como única extensão
da transformada em S(Rn ) a L2 (Rn ), é um operador unitário.

4. TRANSFORMADA DE FOURIER EM S′ (Rn )

33

Demonstração. Sendo f ∈ L2 (Rn ), tomemos uma seqüência {fk } em S(Rn ) onde
fk → f em L2 . Logo, pela continuidade, em L2 , da transformada direta e inversa, temos
kfˆkL2 = k lim fˆk kL2 = lim kfˆk kL2 = lim kfk kL2 = kf kL2 ,
k→∞

k→∞

k→∞

além de que
(fˆ )∨ = lim (fˆk )∨ = lim fk = f
k→∞

k→∞

e
(fˇ)∧ = lim (fˇk )∧ = lim fk = f,
k→∞

k→∞

onde o limite é entendido em L2 .

¤

Observemos que o teorema anterior estende a igualdade de Plancherel (teorema 2.6)
do espaço de Schwartz para L2 (Rn ).
4. Transformada de Fourier em S′ (Rn )

Por (12), observando que, para cada f ∈ S(Rn ),
Z
ˆ
fˆ(ξ)ϕ(ξ)dξ
f (ϕ) =
Rn
Z
=
f (x)ϕ(x)dx
b
Rn

assim como

= f (ϕ),
b

∀ϕ ∈ S(Rn ),

fˇ(ϕ) = f (ϕ̌), ∀ϕ ∈ S(Rn ),
definiremos a transformada de Fourier e a transformada inversa para distribuições temperadas.
Definição 2.3 (Transformada de Fourier em S′ (Rn )). Seja f ∈ S′ (Rn ). A transformada de Fourier de f é a distribuição temperada F(f ) = fˆ dada por
fˆ(ϕ) = f (ϕ),
b ∀ϕ ∈ S(Rn )

e a transformada inversa de f, denotada por fˇ, é o funcional dado por
fˇ(ϕ) = f (ϕ̌), ∀ϕ ∈ S(Rn ).

34

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

Teorema 2.8. A transformada de Fourier ∧ := F : S′ (Rn ) → S′ (Rn ) é um isomorfismo cuja inversa é dada pela transformada inversa ∨. Ela é contı́nua com inversa
S′

contı́nua no sentido que se fk −→ f, então
′

′

S
S
fˆk −→ fˆ e fˇk −→ fˇ.

Demonstração. Sejam f, g ∈ S′ (Rn ) e a ∈ C. Inicialmente vejamos que
f\
+ ag(ϕ) = (f + ag)(ϕ)
b = f (ϕ)
b + ag(ϕ)
b

= fˆ(ϕ) + aĝ(ϕ), ∀ϕ ∈ S(Rn ).

Como
(fˆ )∨ (ϕ) = fˆ(ϕ∨ ) = f ((ϕ∨ )∧ ) = f (ϕ),

ϕ ∈ S(Rn ),

e
(fˇ)∧ (ϕ) = fˇ(ϕ)
b = f (ϕ),

ϕ ∈ S(Rn ),

temos que ∨ ◦ ∧ = ∧ ◦ ∨ é a identidade no espaço das distribuições temperadas. Agora,
para analisarmos a continuidade, sejam {fk } uma seqüência de distribuições temperadas
S′

e f ∈ S′ (Rn ) tais que fk −→ f, ou seja, lim fk (ϕ) = f (ϕ), ∀ϕ ∈ S(Rn ). Como, para
k→∞

cada k ∈ N,

fˆk (ϕ) = fk (ϕ),
b

temos que

∀ ϕ ∈ S(Rn ),

lim fˆk (ϕ) = f (ϕ)
b = fˆ(ϕ),

k→∞

∀ ϕ ∈ S(Rn ).

Usando o mesmo argumento para a transformada inversa ∨, finalizamos a demonstração.
¤
Definição 2.4. Seja Φ ∈ C ∞ (Rn ). Dizemos que Φ é de crescimento lento quando,
para todo α ∈ Nn0 , existe uma constante C(α) e um número natural N (α) tais que
|∂ α Φ| ≤ C(α)(1 + |x|2 )N (α) ,
para todo x ∈ Rn com |x| suficientemente grande. Denotaremos o conjunto das funções

de crescimento lento por Q(Rn ).

4. TRANSFORMADA DE FOURIER EM S′ (Rn )

35

Sejam Φ ∈ Q(Rn ) e ϕ ∈ S(Rn ). Observando que, para qualquer α ∈ Nn0 , |∂ α (Φϕ)(x)|
é limitado superiormente por uma combinação linear finita de termos da forma
C(1 + |x|2 )N ∂ β ϕ(x),
concluı́mos que Φϕ está no espaço de Schwartz, motivando a próxima definição.
Definição 2.5. Sejam T ∈ S ′ (Rn ) e Φ ∈ Q(Rn ). Definimos a distribuição ΦT,

chamada de produto da distribuição T com a função Φ, por

ΦT (ϕ) = T (Φϕ), ∀ϕ ∈ S(Rn ).

Teorema 2.9. Seja f ∈ S′ (Rn ). Denotando xα f o produto da função Φ(x) = xα com
a distribuição temperada f, então
(i) (∂ α f )∧ = i|α| ξ α fˆ ;
(ii) ∂ α (fˆ) = (−i)|α| (xα f )∧ .
Demonstração. Seja f ∈ S′ (Rn ). O resultado segue observando que para cada ϕ ∈

S(Rn )

(∂ α f )∧ (ϕ) = (∂ α f )(ϕ̂) = (−1)|α| f (∂ α ϕ̂)
α ϕ)
= (−1)|α| f ((−i)|α| xd

= i|α| fˆ(xα ϕ)
= i|α| ξ α fˆ(ϕ)
e

(∂ α fˆ)(ϕ) = (−1)|α| fˆ(∂ α ϕ) = (−1)|α| f (i|α| ξ α ϕ̂)
= (−i)|α| (xα f )(ϕ̂)
= (−i)|α| (xα f )∧ (ϕ).
¤
Teorema 2.10. Sejam T ∈ S′ (Rn ) e ϕ ∈ S(Rn ). Então
T[
∗ ϕ = (2π)n/2 Tbϕ,
b

36

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

onde T ∗ ϕ e Tbϕ
b estão nas definições 1.10 e 2.5, respectivamente.

ˆ
Demonstração. Este resultado segue do ı́tem 4 do teorema 2.1 e que ϕ( −·) = ϕ̂,

pois

T[
∗ ϕ (φ) = T ∗ ϕ (φ̂)
= T ( ϕ( −·) ∗ φ̂ )

= T ( ϕ̂ˆ ∗ φ̂ )

ĉ
= (2π)n/2 T (ϕφ)

= (2π)n/2 Tb(ϕ̂φ)

= (2π)n/2 Tb ϕ(φ),
b

∀ φ ∈ S(Rn ).
¤

5. Os Espaços de Sobolev

Abordaremos nesta seção os espaços de Sobolev do tipo L2 (R) de ordem s ∈ R através

da transformada de Fourier em S′ (R).

Definição 2.6 (Espaços de Sobolev na reta). Sendo s ∈ R temos um subconjunto de

S′ (R) chamado um espaço de Sobolev, dado por
(14)

H s (R) := {f ∈ S ′ (R); (1 + |ξ|2 )s/2 fb ∈ L2 (R)},

ou seja, se f ∈ S ′ (R), denotando

kf kH s :=
então f ∈ H s (R) ⊂ S ′ (R) quando

µZ ∞

−∞

(1 + |ξ| ) |fb(ξ)|2 dξ
2 s

kf kH s < ∞.

¶ 12

,

5. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV

L2 ,

37

Observamos que H s (R) ⊂ H r (R) para r ≤ s, e, usando a Igualdade de Plancherel em
H 0 (R) = L2 (R).

(15)

Mais geralmente, para cada n ∈ N, poderı́amos ter definido os espaços de Sobolev

H s (Rn ) como subconjuntos de S′ (Rn ) e encontrarı́amos estimativas similares ao caso real
apresentadas a seguir. Fizemos esta opção porque neste trabalho necessitamos apenas dos
H s (R), s ∈ R.
Teorema 2.11. Para cada s ∈ R o espaço de Sobolev H s (R) é um espaço de Hilbert

quando munido do produto interno

h·, ·is : H s (R) × H s (R) −→ R
(f, g)

7−→ hf, gis :=

Z ∞

−∞

(1 + |ξ|2 )s fb(ξ)b
g (ξ) dξ.

Teorema 2.12. Sejam s, k ∈ R, com k > 0, e f ∈ H s (R). Então f (α) ∈ H s−k (R) para

todo natural α tal que α ≤ k.

Demonstração. Seja α ∈ N0 tal que α ≤ k. Pelo teorema 2.9 segue que
Z
Z
2 s−k d
2
(α)
(1 + ξ 2 )s−k ξ 2α |fˆ(ξ)|2 dξ
(1 + ξ ) |f (ξ)| dξ =
n
n
R
R
Z
≤
(1 + ξ 2 )s−k+α |fˆ(ξ)|2 dξ
Rn
Z
≤
(1 + ξ 2 )s |fˆ(ξ)|2 dξ,
Rn

logo f (α) ∈ H s−k (R).

¤

Teorema 2.13 (Imersão de Sobolev). Se s > 1/2, então H s (R) ⊆ C∞ (R) e vale a
desigualdade
µZ
¶1/2
2
−s
1
(1 + ξ ) dξ
kf kH s ,
kf kL∞ ≤ √2π
Rn

onde C∞ (R) é a coleção das funções contı́nuas f : R → C tais que lim f (x) = 0.
|x|→∞

38

2. TRANSFORMADA DE FOURIER

Mais geralmente temos que se s > k + 1/2, onde k ∈ N0 , então H s (R) é imerso
k
continuamente em C∞
(R), o espaço das funções com k derivadas contı́nuas tais que
lim f (α) (x) = 0,

∀ α ∈ {0, 1, . . . , k},

|x|→∞

munido da norma
kf k∞,k := max kf (α) kL∞ .
α≤k

Além disso, vale
kf kL∞ ≤ Cs kf kH s .

Demonstração. Seja f ∈ ZH s (R). Inicialmente vejamos que fˆ é mensurável. De

fato, quando s > 1/2 a integral
kfˆkL1 =
≤

Z ∞

−∞

∞

(1 + ξ 2 )−s dξ é finita, logo

−∞

(1 + ξ 2 )−s/2 (1 + ξ 2 )s/2 |fˆ(ξ)|dξ

µZ ∞

−∞

≤ kf kH s

2 −s

(1 + ξ ) dξ
µZ ∞

¶1/2 µZ ∞

−∞

(1 + ξ 2 )−s dξ

−∞

¶1/2

(1 + ξ ) |fˆ(ξ)|2 dξ
2 s

¶1/2

< ∞,

onde novamente aplicamos a desigualdade de Hölder (teorema 1.1). Portanto, usando
desigualdade análoga ao item (2) do teorema 2.1 para a transformada inversa, segue que
kf kL∞ = k(fˆ )∨ kL∞ ≤ √12π k(fˆ )kL1
µZ ∞
¶1/2
2
−s
≤ √12π
(1 + ξ ) dξ
kf kH s .
−∞

Agora consideremos o caso em que s > k + 1/2 para certo k ∈ N. O teorema 2.12

nos diz que f (α) ∈ H s−k (R), ∀ α ∈ {0, 1, . . . , k}. Como s − k > 1/2, pelo que vimos
k
anteriormente, segue que f (α) ∈ C∞ (R), f ∈ C∞
(R) e a inclusão contı́nua desejada.
¤
Teorema 2.14. Seja s ∈ N0 . Então f ∈ H s (R) se, e somente se,
X
kf (α) kL2 < ∞.
α≤s

5. OS ESPAÇOS DE SOBOLEV

39

Demonstração. Sendo C1 e C2 constantes reais tais que
X
C1 (1 + ξ 2 )s ≤
|ξ α |2 ≤ C2 (1 + ξ 2 )s ,
α≤s

usando (2.9) e Plancherel, temos que
kf kH s ≤
=

1
C1

1
C1

Z ∞ ÃX
−∞

α≤s

=

1
C1

X
α≤s

=

1
C1

X
α≤s

assim como
X
α≤s

kf

(α)

kL2 =

Z ∞ ÃX
−∞

α≤s

α 2

|ξ |

α≤s

XZ ∞

!

−∞

|ξ α |2

!

|fˆ(ξ)|2 dξ

|iα ξ α fˆ(ξ)|2 dξ

(α) (ξ)k2
kfd
L2

kf (α) (ξ)k2L2 dξ,

|fˆ(ξ)| dξ ≤ C2
2

Z ∞

−∞

(1 + |ξ|2 )s |fˆ(ξ)|2 dξ.
¤

CAPı́TULO 3

Equação Linear de Schrödinger

Neste capı́tulo estudaremos algumas propriedades das soluções para o problema de
Cauchy

 ∂ u(x, t) = i ∂ 2 u(x, t), x ∈ R, t ∈ R
t
x
(16)
 u(x, 0) = u0 (x).

Tomemos u0 em S(R). Usando a transformada de Fourier em relação à variável espacial,
obtemos


 ∂ û(ξ, t) = i∂d
2 u(ξ, t) = −iξ 2 û(ξ, t),
t
x

 û(ξ, 0) = û0 (ξ),

ξ ∈ R.

ξ ∈ R, t ∈ R,

A solução desta famı́lia de equações diferenciais ordinárias é dada por
(17)

2

û(ξ, t) = e−iξ t û0 (ξ),

ξ ∈ R.

Agora, aplicando a transformada inversa em ambos os lados de (17), usando o teorema
2.10 e o exemplo 2.1, percebemos que a solução de (16) é da forma
´∨
³
−itξ 2
u(x, t) = e
û0 (x)
¶
µ³
´∨
−itξ 2
−1/2
(18)
∗ u0 (x)
e
= (2π)

³ 2
´
= eix /4t (4iπt)−1/2 ∗ u0 (x), x ∈ R, t ∈ R.

Para cada f ∈ L2 (R) e t ∈ R, definamos

³
´∨
2
2
eit∂x f := e−itξ fˆ .

Vemos, então, que a solução do problema linear homogêneo (16) é dada por
2

u(x, t) = eit∂x u0 (x).
41

42

3. EQUAÇÃO LINEAR DE SCHRÖDINGER

Para maior comodidade, usaremos daqui por diante a notação
2

S(t) := eit∂x .

(19)

1. Propriedades do Grupo Livre de Schrödinger
A seguir, estabelecemos algumas propriedades da famı́lia de operadores {S(t); t ∈ R}.
Teorema 3.1. A famı́lia de operadores {S(t); t ∈ R} é um grupo unitário de operadores, ou seja:
(1) Para todo t ∈ R, S(t) : L2 (R) → L2 (R) é uma isometria.
(2) S(t)S(t′ ) = S(t + t′ ) com (S(t))−1 = S(−t) = (S(t))∗ .
(3) S(0) = I.

(4) Para cada f ∈ L2 (R), a função
Φf : R −→ L2 (R)
t

7−→ S(t)f

é contı́nua, isto é, descreve uma curva contı́nua em L2 (R).
Demonstração. Sejam f, g ∈ L2 (R) e t, t′ ∈ R. Usando a igualdade de Plancherel,

temos que

¢∨
¡
2
2
kS(t)f k2L2 = k e−itξ fˆ k2L2 = ke−itξ fˆk2L2 = kfˆk2L2 = kf k2L2 ,

demonstrando que S(t) : L2 (R) → L2 (R) é uma isometria. Aplicando a relação da
transformada com sua inversa segue que
³
´∨
−itξ 2 −it′ ξ 2 ˆ
S(t + t )f = e
e
f
µ
³
´∨∧ ¶∨
−itξ 2
−it′ ξ 2 ˆ
=
e
e
f
′

=

´∨
³
2
∧
e−itξ (S(t′ )f )

= S(t) ◦ S(t′ ) f,

∀ f ∈ L2 (R).

2. PROPRIEDADES SUAVIZANTES

43

Empregando (12) juntamente com o fato que ǧ = ĝ, segue que
Z ∞

(S(t)f )(x)g(x)dx =

−∞

Z ∞

2

e−itx fˆ(x)ǧ(x)dx

−∞

=
=

Z ∞

−∞
Z ∞

f (x)

³

eitξ2 ĝ

´∧

(x)dx

f (x)(eitξ2 ĝ)∨ (x)dx

−∞

=

Z ∞

f (x)(S(−t)g)(x)dx.

−∞

O item (3) diz que Φf (0) = f. De fato,
³
´∨
2
S(0)f = e−i0ξ fˆ = (fˆ)∨ = f.
Agora verificaremos a continuidade de Φf observando que
lim kΦf (t) − Φf (τ )kL2 = lim kS(t)f − S(τ )f kL2
t→τ
t→τ
°³
´∨ °
° −itξ2
°
2
−iτ
ξ
= lim °
e
fˆ − e
fˆ °
°
° 2
t→τ
L
°³
´ °
2
2
°
°
= lim ° e−itξ − e−iτ ξ fˆ° = 0, τ ∈ R,
t→τ

L2

onde a última igualdade decorre do teorema da convergência dominada de Lebesgue. ¤

2. Propriedades Suavizantes

Nesta seção apresentaremos duas propriedades globais com efeito suavizante do grupo
{S(t); t ∈ R}, uma das quais, conhecida como estimativas de Strichartz, será aplicada no
próximo capı́tulo.

44

3. EQUAÇÃO LINEAR DE SCHRÖDINGER
′

Lema 3.1. Se t 6= 0, p1 + p1′ = 1 e p′ ∈ [1, 2], então S(t) : Lp → Lp é contı́nua e
−1
2

kS(t)f kLp ≤ C |t|

( p1′ − p1 )

kf kLp′ .

Demonstração. Do item 1 do teorema 3.1, temos que S(t) : L2 (R) −→ L2 (R) tem
norma igual a 1. Usando (18) e a desigualdade de Young (teorema 1.5), temos
´
³ 2
i|·| /4t
−1/2
∗ f kL∞
kS(t)f kL∞ = k e
(4iπt)
i|·|2 /4t

≤ C k e √t kL∞ kf kL1

≤ C |t|−1/2 kf kL1 .
Portanto, temos que
kS(t)f kL∞
≤ C |t|−1/2 .
kf kL1
f 6=0

sup

′

Logo, o teorema de Riesz-Thorin (1.9) fornece que S(t) : Lp (R) −→ Lp (R), com p1 + p1′ = 1,
é limitado e

¡
¢θ
kS(t)f kLp
≤ C |t|−1/2 11−θ ,
kf kLp′
f 6=0

sup
onde

1
1−θ
1−θ
1
+ θ,
=
,
=
′
p
2
p
2

θ ∈ (0, 1),

e daı́
′

kS(t)f kLp ≤ C |t|−1/2(1/p −1/p) kf kLp′ .
¤
Teorema 3.2 (Estimativas de Strichartz). Sejam p ≥ 2 e

{S(t)}∞
−∞ satisfaz:
(20)

kS(t)f kLq (R;Lp ) ≤ Ckf kL2 ,
t

x

onde C é uma constante que depende somente de p.

2
1
1
=
− . O grupo
q
2
p

2. PROPRIEDADES SUAVIZANTES

45

Demonstração. O item 2 do teorema 3.1 e a desigualdade de Hölder (teorema 1.1)
nos dão
Z ∞Z ∞
Z ∞Z ∞
(S(t)f )(x)g(x, t) dxdt =
f (x)S(−t)g(x, t) dxdt
−∞

−∞

−∞

=

Z ∞

−∞

Z ∞

f (x)
S(−t)g(x, t) dtdx
−∞
°
°Z ∞
°
°
°
S(−t)g(·,
t)
dt
≤ kf kL2x °
° 2
°
−∞

−∞

e

Lx

°Z ∞
°2
¶
¶ µZ ∞
Z ∞ µZ ∞
°
°
′
′
′
°
S(−t)g(·, t)dt°
S(−t )g(x, t )dt dx
S(−t)g(x, t)dt
°
° 2 =
−∞
−∞
−∞
−∞
Lx
Z ∞Z ∞Z ∞
=
S(−t)g(x, t) S(−t′ )g(x, t′ ) dxdtdt′
−∞

=

−∞

−∞

=

−∞

Z ∞Z ∞Z ∞
−∞

Z ∞Z ∞

−∞

g(x, t) S(t − t′ )g(x, t′ ) dxdtdt′
µZ ∞

S(t − t′ )g(x, t′ )dt′

g(x, t)
−∞
°Z ∞
°
°
°
′
′
′°
°
≤ kgk q′ p′ °
S(t − t )g(·, t )dt °
L (R;L )
−∞

−∞

t

−∞

x

¶

dtdx
,

q
p
Lt (R;Lx )

onde p1 + p1′ = 1q + q1′ = 1. Agora, usando a desigualdade de Minkowski (teorema 1.4) e o
lema 3.1, temos que
°Z ∞
°
µZ ∞ µZ ∞
¶p ¶1/p
°
°
′
′
′°
′
′
′
°
S(t − t )g(·, t )dt °
≤
|S(t − t )g(x, t )| dt
dx
°
p
−∞

−∞

Lx

≤
=

−∞

Z ∞

−∞

≤

−∞

Z ∞ µZ ∞

Z ∞

−∞

= C

−∞

′

′

p

|S(t − t )g(x, t )| dx

¶1/p

dt′

kS(t − t′ )g(·, t′ )dt′ k p dt′
Lx

′

C|t − t′ |−1/2(1/p −1/p) kg(·, t′ )k p′ dt′

Z ∞

1
kg(·, t′ )k p′ dt′
′ |α
Lx
|t
−
t
−∞

Lx

46

onde α =

3. EQUAÇÃO LINEAR DE SCHRÖDINGER

1
2

µ

1
1
−
p′ p

¶

= 12 − p1 . Daı́, quando
2 1
1
= +
2
q p

1
1
=
+ (1 − α) e 0 < 1 − α < 1, isto é,
q′
q
e

p > 2,

do teorema 1.10 (Hardy-Littlewood-Sobolev) segue que
° Z ∞
°
°Z ∞
°
°
°
°
°
1
′
′
′
′
′
°
°
≤ °
S(t − t )g(·, t )dt °
dt
kg(·,
t
)k
′
p
°C
°
°
°
′ α
L
−∞ |t − t |
−∞
q p
q
L t Lx

Lt

≤ C kgk q′

p′
Lt (R;Lx )

.

Portanto, o teorema 1.6 de dualidade juntamente com o que vimos nos fornecem
Z ∞Z ∞
(S(t)f )(x) g(x, t) dxdt
sup
kS(t)f kLq (R;Lp ) =
t

x

=1
p′
Lt Lx

kgk q′

≤

≤

sup
kgk q′

=1
p′
Lt Lx

sup
=1
p′
Lt Lx

kgk q′

≤ C kf kL2 .

−∞

−∞

°
°Z ∞
°
°
S(−t)g(·, t) dt°
kf kL2x °
° 2
°
−∞

Lx


°Z ∞
°
°
°
′
′
′°
°

kf kL2x °
S(t − t )g(·, t )dt °
−∞

p
q
Lt (R;Lx )

1/2


¤

CAPı́TULO 4

Boa Colocação para o Problema de Cauchy Associado ao
Sistema de Gross-Pitaevskii

Neste capı́tulo estudaremos a boa colocação para o problema de Cauchy associado ao
sistema de Groos-Pitaevskii, isto é,


2
2


 i∂t u + ∂x u + |u| u + v = 0,
(21)

i∂t v + ∂x2 v − (µ0 + a|v|2 )v + u = 0,



 u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x).

x, t ∈ R,

Denotaremos por Fx = ∧x e Ft = ∧t as transformadas de Fourier nas variáveis x e t,
respectivamente, e por h·i : R → R a função dada por hxi = 1 + |x|. Além disso, definimos

os operadores derivadas parciais Dx e Dt em L2 (R2 ) por

Dx := Fx−1 iξFx e Dt := Ft−1 iτ Ft ,
respectivamente. Observando que hiξi = hξi, denotamos
hDx i := Fx−1 hξiFx .
Através do teorema de Plancherel, observamos que a norma k · kH s no espaço de
hξi2s
Sobolev H s é equivalente a khDx is · kL2 . De fato, usando que lim
= 1, temos que
|ξ|→∞ hξ 2 is
khDx is f kL2 = k(hξis fˆ)∨ kL2 = khξis fˆkL2
µZ ∞
¶1/2
2s ˆ
2
=
(1 + |ξ|) |f (ξ)| dξ
−∞

≃

µZ ∞

−∞

(1 + |ξ| ) |fˆ(ξ)|2 dξ

= kf kH s .

47

2 s

¶1/2

48

4. BOA COLOCAÇÃO

Sejam b, s ∈ R. O espaço de Hilbert Htb (R; Hxs (R)) = H b (R; H s ) é definido como o
completamento de S(R2 ) com a norma
kf kHtb (R;Hxs (R)) = khDt ib f kL2t (R;Hxs (R)) .

(22)
Observemos que
kf k2H b (R;Hxs (R))
t

=
=

b

khDt i f k2L2t (R;Hxs (R)) =
Z ∞Z ∞
−∞

−∞

Z ∞

−∞

khDt ib f (·, t)kHxs dt

¯
¯2
¯
¯
hξ 2 is ¯hDt ib fˆx (ξ, t)¯ dξ dt

¯³
´∨t ¯¯2
¯
b ˆt,x
=
hξ i ¯ hτ i f (ξ, τ )
(t)¯¯ dξ dt
−∞ −∞
Z ∞
Z ∞ ¯³
´∨t ¯¯2
¯
2 s
b
x,t
¯ hτ i fˆ (ξ, τ )
=
hξ i
(t)¯¯ dt dξ
¯
Z ∞Z ∞

2 s¯

−∞

−∞

Z ∞

Z ∞¯
¯2
¯ b ˆx,t
¯
2 s
=
hξ i
¯hτ i f (ξ, τ )¯ dτ dξ
−∞
−∞
Z ∞Z ∞
=
hξ 2 is hτ i2b |fˆx,t (ξ, τ )|2 dτ dξ,
−∞

−∞

onde fˆx,t é a transformada de Fourier de f em ambas as variáveis x e t, isto é,
Z ∞
x,t
−1/2
ˆ
f (ξ, τ ) = (2π)
fˆt (x, τ )e−iξx dx
−∞

= (2π)−1

Z ∞Z ∞
−∞

−∞

e−ixξ−itτ f (x, t)dtdx, ∀ (ξ, τ ) ∈ R2 .

Portanto, por conveniência, podemos definir a norma do espaço misto Htb (R; Hxs (R))
estabelecido em (22) por
(23)

kf kHtb (R;Hxs (R)) =

µZ ∞ Z ∞
−∞

−∞

2s

2b

ˆt,x

2

hξi hτ i |f (ξ, τ )| dτ dξ

¶1/2

.

Agora, introduzimos os espaços de funções X s,b , onde construiremos as soluções locais
de (21). Estes espaços foram originalmente usados por Bourgain em [2] quando estudou
a Boa Colocação para a equação periódica não linear de Schrödinger, assim como para
equação de Korteweg-de Vries.

1. RESULTADOS PRINCIPAIS

49

Sejam b, s ∈ R. Denotaremos por X s,b o espaço associado ao grupo unitário da equação
linear de Schrödinger, definido como o completamento de S(R2 ) com a norma
kf kX s,b := kS(−t)f kH b (R;H s (R)) .

(24)

t

x

Usando a norma (23) e a propriedade da transformada de Fourier vista no item 5 do
teorema 2.1, obtemos que
2

kf k s,b =
X

Z ∞Z ∞
−∞

−∞

¯
¯2
∧t,x
¯
¯
hξi2s hτ i2b ¯[S(−t)f (x, t)] (ξ, τ )¯ dτ dξ

¯h
¯2
i∧t
¯ itξ2 x
¯
=
hξi hτ i ¯ e fˆ (ξ, t) (τ )¯¯ dτ dξ
−∞ −∞
Z ∞Z ∞
¯
¯2
¯
¯
=
hξi2s hτ i2b ¯fˆt,x (ξ, τ − ξ 2 )¯ dτ dξ
Z ∞Z ∞
−∞

=

(25)

2b ¯

−∞

Z ∞Z ∞
−∞

2s

−∞

hξi2s hτ + ξ 2 i2b |fˆx,t (ξ, τ )|2 dτ dξ.

Observação 4.1. Para b > 1/2 e f ∈ X s,b , aplicando, então, o teorema 2.13 (Imersão

de Sobolev), observamos que

kf kL∞ (R;Hxs ) = kS(−t)f kL∞ (R;Hxs ) ≤ C kS(−t)f kH b (R;H s ) = C kf kX s,b
t

t

t

x

e que a aplicação t −→ f (·, t) está em C(R; H s (R)).
1. Resultados Principais

Enunciaremos a seguir os teoremas principais que serão provados no final deste capı́tulo.
Começamos definindo ψ = ψ(t) como sendo uma função par infinitamente diferenciável e
de suporte compacto, ψ ∈ C0∞ (R), tal que 0 ≤ ψ(t) ≤ 1 e

 1, se |t| ≤ 1,
ψ(t) =
 0, se |t| ≥ 2.

Daqui por diante, denotaremos ψδ a função ψδ (t) := ψ(t/δ), ∀ δ > 0. Aliás, várias cons-

tantes serão denotadas por C.

50

4. BOA COLOCAÇÃO

Teorema 4.1 (Boa Colocação Local em H s (R) × H s (R), s ≥ 0). Sejam
(u0 , v0 ) ∈ H s (R) × H s (R), s ≥ 0, e b ∈ (1/2, 1). Então existe um tempo positivo
T = T (ku0 kH s , kv0 kH s ) e uma única solução (u(t), v(t)) para o PVI (21) tais que:
(1) (ψT u, ψT v) ∈ X s,b × X s,b ;
(2) (u, v) ∈ C([0, T ]; H s (R) × H s (R)).
Além disso, a aplicação dado-solução (u0 , v0 ) 7−→ (u(t), v(t)) é localmente Lipschitz de
H s (R) × H s (R) em C([0, T ]; H s (R) × H s (R)).
Com relação à boa colocação global, temos o seguinte resultado.
Teorema 4.2 (Boa Colocação Global em L2 × L2 ). Seja (u0 , v0 ) ∈ L2 (R) × L2 (R).
Então a única solução dada pelo teorema 4.1 pode ser estendida globalmente para todo
intervalo de tempo [0, T ].

2. Estimativas Lineares

Apresentaremos, como o primeiro resultado desta seção, a Regra de Leibniz para
derivadas fracionais.
Teorema 4.3. Seja α ∈ (0, 1) e p ∈ (1, ∞). Então
kDα (f g) − f Dα gkLp ≤ CkgkL∞ kDα f kLp .

Demonstração. Ver teorema A.12 do apêndice de [13].

¤

Os seguintes resultados nos dão propriedades suavizantes fundamentais dos espaços
X . As provas que desenvolveremos para estes espaços foram estabelecidas nos trabalhos
s,b

[12] e [14].

2. ESTIMATIVAS LINEARES

51

Lema 4.1. Sendo s ∈ R, b ∈ (1/2, 1) e δ ∈ (0, 1), então, para F ∈ X s,b , vale
kψδ F kX s,b ≤ Cδ (1−2b)/2 kF kX s,b .

(26)

Além disso, se a, b ∈ (0, 1/2) com a < b e δ ∈ (0, 1), então, para F ∈ X s,b , temos que
kψδ F kX s,−b ≤ Cδ (b−a)/4(1−a) kF kX s,−a .

(27)

Demonstração. Observamos que para provar (26) é suficiente provar a seguinte
desigualdade:
(28)

Z ∞

−∞

∧t,x

|(ψδ F )

(ξ, τ )| hτ + ξei2b dτ ≤ Cδ 1−2b
2

Z ∞

−∞

De fato, se (28) é válida, então
2

kψδ F k s,b =
X

Z ∞

−∞

hξi

≤ Cδ

1−2b

= Cδ

1−2b

2s

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ,

∧t,x

hτ + ξ 2 i2b |(ψδ F )

hξi

2s

Z ∞

−∞

2

kF k s,b .
X

∀ ξ, ξe ∈ R.

(ξ, τ )|2 dτ dξ

hτ + ξ 2 i2b |Fbt,x (ξ, τ )|2 dτ dξ

Provaremos, então, (28). Usando a igualdade de Plancherel (teorema 2.6), observamos
que
Z ∞

−∞

(29)

∧t,x

|(ψδ F )

2

(ξ, τ )| dτ =

Z ∞

−∞

|(ψδ Fb (ξ, ·))(t)|2 dt
x

x
≤ kψδ k2L∞ kFb (ξ, ·)k2L2
Z ∞
|Fbt,x (ξ, τ )|2 dτ
≤

−∞

≤δ

1−2b

Z ∞

−∞

|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ

∀ ξ, ξe ∈ R,

52

4. BOA COLOCAÇÃO

onde usamos na última igualdade que 1 < δ 1−2b (0 < δ < 1 e 1 − 2b < 0). Empregando o
teorema 2.1-(5) e o teorema 2.3, obtemos

Z ∞

−∞

∧t,x

|(ψδ F )

(ξ, τ )| |τ + ξe |2b dτ =
2

=

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

=

(30)

Z ∞

−∞

x
∧t
e 2 |τ |2b dτ
|(ψδ Fb (ξ, ·)) (τ − ξ)|

e

|(eiξt ψδ Fb (ξ, ·)) (τ )|2 |τ |2b dτ
x

∧t

x
e
|Dtb ( eiξ· ψδ Fb (ξ, ·) )(t)|2 dt

x
e
= kDtb (eiξ· ψδ Fb (ξ, ·))k2L2t

e

e

≤ CkDtb (eiξ· Fb (ξ, ·)ψδ ) − eiξ· Fb (ξ, ·)Dtb ψδ k2L2t +
e

x

x

∀ ξ, ξe ∈ R.

+ keiξ· Fb(ξ, ·)Dtb ψδ k2L2t ,

Agora usamos o teorema 4.3 e novamente o teorema 2.1-(5), junto ao fato de 0 < b < 1,
para obter

e

e

e

kDtb (eiξ· Fb (ξ, ·)ψδ ) − eiξ· Fb (ξ, ·)Dtb ψδ k2L2t ≤ C kψδ k2L∞ kDtb (eiξ· Fb (ξ, ·))k2L2t
x

x

e

x

= C kτ b (eiξ· Fb (ξ, ·)) k2L2τ
x

∧t

e 22
= C kτ b Fbt,x (ξ, τ − ξ)k
Lτ
Z ∞
|Fbt,x (ξ, τ )|2 |τ + ξe|2b dτ
= C
−∞

≤ C

Z ∞

−∞

|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ,

∀ ξ, ξe ∈ R.

2. ESTIMATIVAS LINEARES

53

Por outro lado, aplicando o lema de imersão de Sobolev (teorema 2.13) e que
cδ (·) = δ ψ(δ
b ·), temos que
ψ
e

keiξ· Fb(ξ, ·)Dtb ψδ k2L2t ≤

e

keiξ· Fb (ξ, ·)k2L∞
kDtb ψδ k2L2t
t
e

x

≤ C keiξ· Fb (ξ, ·)k2H b kDtb ψδ k2L2t
t
Z ∞
e x ∧t
≤ C kDtb ψδ k2L2t
|(eiξ· Fb ) (ξ, τ )|2 hτ i2b dτ
Z ∞

x

−∞

Z ∞¯
¯2
¯ bt,x
¯
b )| dτ
e
= C
|τ δ ψ(δτ
F
(ξ,
τ
−
ξ)
¯
¯ hτ i2b dτ
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
2b b
2
1−2b
τ |ψ(τ )| dτ
|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ
= Cδ
b

2

−∞

= C δ 1−2b

Z ∞

−∞

Logo, segue-se de (30) que
(31)

−∞

|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ,

∀ ξ, ξe ∈ R.

Z ∞
Z ∞
∧t,x
2
2b
1−2b
e
|(ψδ F ) (ξ, τ )| |τ + ξ | dτ ≤ Cδ
|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ, ∀ξ, ξe ∈ R.
−∞

−∞

Portanto, como

hτ + ξei2b = (1 + |τ + ξe|)2b

≤ C(1 + |τ + ξe|2b ),

as desigualdades obtidas em (29) e (31) nos dão que
Z ∞

−∞

∧t,x

|(ψδ F )

e 2b dτ ≤ C
(ξ, τ )| hτ + ξi
2

³Z ∞

|(ψδ F )

+

|(ψδ F )

∧t,x

−∞
Z ∞

−∞

≤ Cδ
valendo, então, a estimativa (26).

1−2b

Z ∞

−∞

(ξ, τ )|2 dτ +

∧t,x

e 2b dτ
(ξ, τ )|2 |τ + ξ|

|Fbt,x (ξ, τ )|2 hτ + ξei2b dτ,

´

∀ ξ, ξe ∈ R,
¤

54

4. BOA COLOCAÇÃO

que

Lema 4.2. Seja s ∈ R, b ∈ (1/2, 1) e δ ∈ (0, 1). Então, para F ∈ Htb (R; Hxs (R)), temos
° Z t
°
°
°
′
′
°ψδ
F (t )dt °
°
°

(32)

0

(33)

0

s)
(R;Hx

≤ Cδ (1−2b)/2 kF k b−1

s)
(R;Hx

Ht

s)
Htb (R;Hx

° Z t
°
°
°
′
′°
°ψδ
F
(t
)dt
°
°

≤ Cδ (1−2b)/2 kF k b−1

Ht

s
L∞
t ((0,T );Hx )

,

.

Demonstração. Como b > 1/2, a imersão de Sobolev (teorema 2.13) mostra que
°
° Z t
°
° Z t
°
°
°
°
′
′
′
′
°
°ψδ
°
°ψδ
,
F
(t
)dt
≤
C
F
(t
)dt
°
°
°
°
0

0

s
L∞
t ((0,T );Hx )

s)
Htb (R;Hx

logo a inequação (33) é obtida imediatamente de (32). Do que segue deriva a estimativa
(32). Dividimos em três partes a integral
ψδ

Z t

′

′

F (t , x)dt

=

0

=
=

1
ψ
2π δ
1
ψ
2π δ
1
ψ
2π δ

Z tZ ∞ Z ∞
0

−∞

−∞

Z ∞Z ∞
−∞

ixξ

e

−∞

Z ∞Z ∞

eixξ+it τ Fb (ξ, τ )dξdτ dt′
′

µZ t

−∞

−∞

−∞

it′ τ

e

′

dt

0

¶

t,x
Fb (ξ, τ )dξdτ

eitτ − 1 bt,x
F (ξ, τ )dξdτ
iτ

eixξ

−∞

t,x

Z ∞Z ∞³
)
1
= 2π ψδ
+
eixξ+itτ 1−ψ(τ
iτ
−itτ

eixξ+itτ 1−eiτ

=

1
( I1 + I2 + I3 ),
2π

´
) b t,x
ψ(τ ) − eixξ 1−ψ(τ
F (ξ, τ )dξdτ
iτ

onde
I1 = ψδ

Z ∞Z ∞
−∞

I2 = ψδ

−∞

Z ∞Z ∞

I3 = −ψδ

eixξ+itτ
eixξ+itτ

−∞ −∞
Z ∞Z ∞
−∞

−∞

eixξ

1 − e−itτ
t,x
ψ(τ )Fb (ξ, τ )dξdτ
iτ
1 − ψ(τ ) bt,x
F (ξ, τ )dξdτ
iτ

1 − ψ(τ ) bt,x
F (ξ, τ )dξdτ.
iτ

2. ESTIMATIVAS LINEARES

55

Começamos fazendo

kI1 kH b (R;H s )
t

x

∞
° Z ∞Z ∞
°
X
(−it)k k−1
t,x
°
°
ixξ+itτ
= °ψδ
e
τ
ψ(τ )Fb (ξ, τ )dξdτ °
ik!
s)
−∞ −∞
Htb (R;Hx
k=1
Z ∞Z ∞
∞ °
°
X
t,x
°
° ψδ tk
.
eixξ+itτ τ k−1 ψ(τ )Fb (ξ, τ )dξdτ °
≤
°
k!
b (R;H s )
−∞
−∞
H
|
{z
}
k=1
{z
} t x
|
ψk,δ

hk

Examinando a demonstração de (26) do lema 4.1 e observando que
Z ∞

−∞

∧t,x

|(ψk,δ hk )

x

(ξ, τ )|2 dτ ≤ k ψk!δ tk k2L∞ kĥk (ξ, ·)k2L2
³

≤

(2δ)k
k!

´2

2
kĥt,x
k (ξ, ·)kL2 ,

∀ ξ ∈ R, k ∈ N,

e
kDtb ψk,δ k2L2t

=

Z ∞

−∞

=

Z ∞

−∞

=

Z ∞

−∞

≤

d (τ )|2 dτ
|τ b ψ
k,δ

k+1
|τ b δ k! ψd
tk (δτ )|2 dτ

|τ 2 |b δ 2k+1
δ 2b (k!)2

³ k ´2
δ
k!

≤ C
≤ C
≤ C

δ

1−2b

³ k ´2
δ
k!

³ k ´2
δ
k!

³ k ´2
δ
k!

³ k ´2

|ψd
tk (τ )|2 dτ

Z ∞

−∞

δ
δ
δ

1−2b

1−2b

1−2b

|1 + τ 2 | |ψd
tk (τ )|2 dτ

µZ ∞
µ
µ

−∞

|ψd
tk (τ )| dτ +
2

δ
k!

−∞

|τ ψd
tk (τ )| dτ
2

kψ tk k2L2t +

Z ∞

¶
|(ψ t ) (t)| dt

1+

′

k

Z ∞

−∞

δ 1−2b (2k k)2
³ k k ´2
2 δ
δ 1−2b ,
= C (k−1)!

≤ C

Z ∞

−∞

k ′

2

|ψ (t) t + k ψ(t) t

¶
| dt

k−1 2

¶

56

4. BOA COLOCAÇÃO

chegamos em
Z ∞

∧t,x

−∞

≤ C

|(ψk,δ hk )

µ³

≤ C

³

2k δ k
k!

´2

2k δ k
(k−1)!

(ξ, τ )|2 hτ i2b dτ

b
2
2
kĥt,x
k (ξ, ·)kL2 + kDt (ψk,δ ĥk (ξ, ·))kL2t

´2

δ

1−2b

Z ∞

−∞

2
2b
|ĥt,x
k (ξ, τ )| hτ i dτ,

¶

∀ ξ ∈ R, ∀ k ∈ N,

valendo, então,

kψk,δ hk kH b (R;H s ) =
x

t

≤

½Z ∞

−∞

hξi

2s

Z ∞

−∞

hτ i |(ψk,δ hk )

2k δ k
C (k−1)!
δ (1−2b)/2
k k

∧t,x

2b

½Z ∞

−∞

hξi

2s

Z ∞

−∞

2 δ
= C (k−1)!
δ (1−2b)/2 khk kH b (R;H s ) ,

(ξ, τ )| dτ dξ
hτ i

2b

¾1/2

2
|ĥt,x
k (ξ, τ )| dτ dξ

¾1/2

∀ ξ ∈ R, ∀ k ∈ N.

x

t

2

Portanto, voltamos a I1 com

kI1 kH b (R;H s ) ≤
t

= Cδ

x

(1−2b)/2

∞
X

∞
X
k=1

k=1

k k

2 δ
C (k−1)!
δ (1−2b)/2 khk kH b (R;H s )
t

°Z ∞ Z ∞
°

2k δ k °
(k−1)! °

−∞

ixξ+itτ

e

τ

k−1

−∞

x

°
°
ψ(τ )Fb (ξ, τ )dξdτ °
°
t,x

s)
Htb (R;Hx

°
µZ ∞ Z ∞
¶∧t,x °
∞
°
°
X
t,x
k
k
°
°
(1−2b)/2
ixξ+itτ k−1
b
s
2 δ
b
= Cδ
e
τ
ψ(τ )F (ξ, τ )dξdτ
hτ i hξi
°
(k−1)! °
°
° 2
−∞ −∞
k=1

= Cδ

(1−2b)/2

∞
X
k=1

≤ Cδ
= Cδ

°

°

t,x
°
2k δ k °
hτ ib−1 hτ i |τ |k−1 ψ(τ )hξis Fb (ξ, τ )dξdτ °
(k−1)! °

°
°
°
b−1
s b t,x
°hτ i hξi F (ξ, τ )°

(1−2b)/2 °

(1−2b)/2

Lτ (R;L2ξ )

L2τ (R;L2ξ )

kF k b−1
Ht

s)
(R;Hx

.

∞
X
k=1

2k δ k
(k−1)!

L2τ (R;L2ξ )

2. ESTIMATIVAS LINEARES

57

A relação (28) com ξe = 0 nos diz que (26) também vale em Htb (R; Hxs ), logo
°Z ∞ Z ∞
°
°
°
1
−
ψ(τ
)
t,x
ixξ+itτ
b (ξ, τ ) dξdτ °
≤ C δ (1−2b)/2 °
e
F
°
°
iτ

kI2 kH b (R;H s )
x

t

−∞

−∞

−∞

−∞

°Z ∞ Z ∞
°
°
°
(1−2b)/2 °
ixξ+itτ t,x
= Cδ
e
ĝ (ξ, τ ) dξdτ °
°
°
= C δ (1−2b)/2 kgk b

s)
Ht (R;Hx

onde ĝ t,x (ξ, τ ) =

s)
Htb (R;Hx

s)
Htb (R;Hx

,

1 − ψ(τ ) bt,x
F (ξ, τ ), seguindo que
iτ
°
°
kI2 kH b (R;H s ) ≤ C δ (1−2b)/2 °hξis hτ ib ĝ t,x °L2 (R;L2 )
τ
x
ξ
t
°
°
t,x
°
°
≤ C δ (1−2b)/2 °hξis hτ ib hτ4i Fb °
2

Lτ (R;L2ξ )

≤ C δ (1−2b)/2 kF k b−1

(34)

Ht

s)
(R;Hx

.

Para encontrarmos um limitante superior adequado para o termo I3 , chegando, desta
forma, na estimativa procurada, primeiramente vemos que

kI3 kH b (R;H s )
t

x

° Z ∞Z ∞
°
°
°
1
−
ψ(τ
)
t,x
ixξ
b (ξ, τ )dτ dξ °
e
ψ
= °
F
δ
°
°
iτ
−∞ −∞
s)
Htb (R;Hx
°Z ∞
µZ ∞
¶ °
°
°
1 − ψ(τ ) bt,x
ixξ
°
e
= kψδ kHtb (R) °
F (ξ, τ )dτ dξ °
° s
iτ
−∞
−∞
Hx (R)

≤ Cδ (1−2b)/2 kf kHxs (R) ,

58

4. BOA COLOCAÇÃO

onde fˆ(ξ) =

Z ∞

1 − ψ(τ ) bt,x
F (ξ, τ )dτ ; daı́
iτ
−∞

kI3 kH b (R;H s ) ≤ Cδ (1−2b)/2 khξis fˆkL2
t

x

ξ

ÃZ ¯
¯2 !1/2
Z ∞
∞ ¯
¯
1
−
ψ(τ
)
t,x
¯hξis
Fb (ξ, τ )dτ ¯¯ dξ
= Cδ (1−2b)/2
¯
τ
−∞

≤ Cδ (1−2b)/2
= Cδ

(1−2b)/2

ÃZ ·Z
∞
∞
−∞

−∞

−∞

µZ ∞ ·Z ∞

t,x
hτ i−b hτ ib hτ4i hξis |Fb (ξ, τ )|dτ

hτ i

−∞

−∞

Ht

s)
(R;Hx

= Cδ (1−2b)/2 kF k b−1

−2b

dτ

¸ ·Z ∞

−∞

hτ i

2(b−1)

.

¸2

dξ

!1/2

¸ ¶1/2
t,x
2
b
hξi |F (ξ, τ )| dτ dξ
2s

¤
Teorema 4.4. Seja s ∈ R, b ∈ (1/2, 1) e δ ∈ (0, 1). Então
(35)
(36)

kψδ S(t) u0 kX s,b ≤ Cδ (1−2b)/2 ku0 kH s ,
°
° Z t
°
°
′
′
′°
°ψδ
≤ Cδ (1−2b)/2 kF kX s,b−1 .
S(t − t )F (t )dt °
°
0

X s,b

Demonstração. Como S(t)ψδ = ψδ S(t), empregando as propriedades de grupo de
S(t) vista no teorema 3.1 temos que
kψδ S(t) u0 kX s,b = kS(−t)ψδ S(t) u0 kHtb (R;Hxs )
= kS(0)ψδ u0 kHtb (R;Hxs )
= kψδ u0 kHtb (R;Hxs )
µZ ∞ Z ∞
¶1/2
2 s 2 s bt
x
2
=
hξ i hτ i |ψδ (τ )| |b
u0 (ξ)| dξ dτ
−∞

=

µZ ∞

−∞

−∞

t
hτ i |δ ψb (δτ )|2 dτ

2b

Z ∞

−∞

hξi

2s

|b
ux0 (ξ)|2 dξ

µ Z ∞
¶1/2
2b bt
2
=
δ
hτ /δi |ψ (τ )| dτ
ku0 kHxs
−∞

≤ C δ (1−2b)/2 ku0 kH s .

¶1/2

3. ESTIMATIVAS NÃO LINEARES

59

Agora, aplicando a estimativa (32), obtemos
°
° Z t
°
°
′
′
′
°ψδ
S(t − t )F (t )dt °
°
°
0

X s,b

°
°
Z t
°
°
′
′
′
S(t − t )F (t )dt °
= °
°
°S(−t)ψδ

Htb (R;Hxs )

0

°
° Z t
°
°
′
′
′°
°
S(−t )F (t )dt °
= °ψδ

Htb (R;Hxs )

0

≤ Cδ (1−2b)/2 kS(−t)F k b−1
Ht

s)
(R;Hx

= Cδ (1−2b)/2 kF kX s,b−1 .
¤
O resultado seguinte vem imediatamente da imersão de Sobolev e de (36).
Corolário 4.1. Seja b ∈ (1/2, 1) e δ ∈ (0, 1). Então nós temos
°
° Z t
°
°
′
′
′
°
°ψδ
S(t
−
t
)F
(t
)dt
°
°
0

L∞ ((0,T );Hxs )

≤ Cδ (1−2b)/2 kF kX s,b−1 .

3. Estimativas Não Lineares

A seguir, apresentamos a prova da estimativa trilinear que será crucial na prova do
teorema 4.1.
Lema 4.3. Sejam u1 , u2 ∈ X s,b com s ≥ 0 e b ∈ (1/2, 1). Então existe uma constante
C > 0 tal que, para cada a ≤ 0, temos que
(37)

k| u1 |2 u2 kX s,a ≤ C ku1 k2 s,b ku2 kX s,b ,

(38)

k| u1 | u1 − |u2 | u2 kX s,a ≤ C (k u1 k2 s,b + k u2 k2 s,b )ku1 − u2 kX s,b .

X

2

2

X

X

60

4. BOA COLOCAÇÃO

Demonstração. É suficiente mostrar (37) em S(R2 ). Para a ≤ 0, temos que

ˆ2
\
k|u1 |2 u2 kX s,a = khτ + ξ 2 ia hξis |u
1 | u2 kL2 L2
τ

ξ

∧t,x

≤ suphτ + ξ 2 ia khξis (u1 u1 u2 )
ξ,τ

kL2 L2
τ

ξ

ˆ t,x ∗ ût,x
≤ (2π)−2 khξis ût,x
2 kL2 L2 .
1 ∗ u1
τ

ξ

Como

ˆ t,x ∗ ût,x
ût,x
2 (ω)
1 ∗ u1

Z

t,x

ˆ ∗ ût,x
ût,x
1 (ω − y) (u1
2 )(y) dy
R2
Z Z
t,x
ˆ t,x
=
ût,x
1 (ω − y) u1 (y − z)û2 (z) dz dy,
=

R2

R2

e, para cada ξ, η, ζ ∈ R,

hξi ≤ 1 + |ξ − ζ| + |ζ| + |ξ − η||η − ζ|hζi + |ξ − ζ||ζ|
= ( 1 + |ξ − ζ| + |ξ − η||η − ζ| ) (1 + |ζ|)
≤ ( 1 + |ξ − η| + |η − ζ| + |ξ − η||η − ζ| ) hζi
= (1 + |ξ − η|)(1 + |η − ζ|) hζi
= hξ − ηihη − ζihζi,

∀ ω ∈ R2 ,

3. ESTIMATIVAS NÃO LINEARES

61

b
escrevendo ω = (ξ, τ ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) ∈ R2 e w
b̂j (ξ, τ ) = hξis u
bj (ξ, τ ), j = 1, 2,
para s ≥ 0 temos que
Z Z

t,x

s t,x
s
hξ − y1 is ût,x
1 (ω − y)hy1 − z1 i û1 (y − z)hz1 i û2 (z)dzdykL2τ L2
ξ
2
2
R R
Z Z
1
b̂ 1 (y − z) w
b̂2 (z) dz dykL2 L2
= (2π)
w
b̂1 (ω − y) w
2k

2

k|u1 | u2 kX s,a ≤

1
k
(2π)2

R2

τ

R2

ξ

ˆ2
\
= k|w
1 | w2 kL2 L2
τ

ξ

2

= k|w1 | w2 kL2 L2

x

t

4

2 1/2

= k|w1 | |w2 | k 1 1
≤

µZ ∞

−∞

Lt L x

¶1/2
k|w1 (·, t)| k 3/2 k|w2 (·, t)| kL3 dt
4

2

x

Lx

≤ k|w1 |4 k1/2
k|w2 |2 k1/2
3 3
3/2 3/2
Lt

Lt Lx

Lx

≤ kw1 k2 6 6 kw2 kL6 L6 .
Lt Lx

t

x

bbj (ξ, τ ), j = 1, 2, então
Sendo fj (ξ, τ ) = hτ + ξ 2 ib w
kwj kL6 L6
t

x

°
°
Z ∞Z ∞
°
°
−1
itτ +ixξ b
°
e
w
bj (ξ, τ ) dξdτ °
= °(2π)
°
−∞

−∞

L6t L6x

°
°
Z ∞Z ∞
°
°
f
(ξ,
τ
)
j
−1
itτ +ixξ
°
(2π)
e
= °
dξdτ
°
° 6 6
hτ + ξ 2 ib
−∞ −∞
Lt Lx
°
°
Z ∞
Z ∞
°
°
2
−1
itη
−b
ixξ−itξ
2
= °
e hηi
e
fj (ξ, η − ξ )dξdη °
°(2π)
°
−∞

−∞

, j = 1, 2,

L6t L6x

com η = τ + ξ 2 ; fazendo ĝηj (ξ) = fj (ξ, η − ξ 2 ), j = 1, 2, aplicando Minkowski (teorema

1.4), a estimativa de Strichartz (20) com p = q = 6, a desigualdade de Hölder, a identidade

62

4. BOA COLOCAÇÃO

de Plancherel (teoremas 1.1 e 2.6) e usando que b > 1/2, temos

kwj kL6 L6
t

x

°
°
Z ∞
°
°
∨
itη
−b −itξ 2
−1/2
°
e hηi (e
ĝηj (ξ)) (x) dη °
= °(2π)
°
−∞

6
L6
t Lx

°
°
Z ∞
°
°
itη
−b
−1/2
°
e
hηi
(S(t)g
)(x)
dη
(2π)
= °
η
°
°
j
−∞

= (2π)−1/2

= (2π)−1/2
≤ C
≤ C

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞
Z ∞

−∞

6
L6
t Lx

keitη hηi−b (S(t)gηj )(x)kL6 L6 dη
t

x

hηi−b kS(t)gηj kL6 L6 dη
t

x

hηi−b kgηj kL2 dη
x

µZ ∞

−∞

hηi

−2b

dη

¶1/2 µZ ∞

−∞

= C kgηj kL2 L2

2

kgηj k 2 dη
Lx

¶1/2

η x

= C kfj kL2 L2 , j = 1, 2,
τ

ξ

donde concluı́mos que

k|u1 |2 u2 kX s,a ≤ kw1 k2 6 6 kw2 kL6 L6
Lt Lx

x

t

≤ Ckf1 k2 2 2 kf2 kL2 L2
Lτ L

ξ

τ

ξ

bb2 (ξ, τ )k
bb1 (ξ, τ )k2 khτ + ξ 2 ib w
= C khτ + ξ 2 ib w
2 2
L2 L 2
Lτ L

τ

ξ

ξ

b
b
b2 (ξ, τ )kL2 L2
= C khτ + ξ 2 ib hξis u
b1 (ξ, τ )k2 2 2 khτ + ξ 2 ib hξis u
Lτ L

ξ

τ

ξ

2

= C ku1 k s,b ku2 kX s,b .
X

¤

4. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 4.1

63

4. Demonstração do teorema 4.1

Consideraremos o sistema de equações integrais equivalente a 21:

 u(t) = S(t)u + i R t S(t − t′ ){|u|2 u(t′ ) + v(t′ )}dt′ ,
0
0
(39)
 v(t) = S(t)v0 − i R t S(t − t′ ){(µ0 + a|v|2 )v(t′ ) − u(t′ )}dt′ .
0

Seja C0 ≥ kψkH b . Nós consideraremos o seguinte espaço de funções onde procuraremos
t

nossa solução. Para s ≥ 0, (u0 , v0 ) ∈ H s (R) × H s (R) e 1/2 < b < 1, seja
n
o
s,b
s,b
XM N = (u, v) ∈ X × X ; kukX s,b ≤ M, kvkX s,b ≤ N ,

onde M = 2C0 ku0 kH s e N = 2C0 kv0 kH s . Então XM N é um espaço métrico completo com
a norma

|||(u, v)|||XM N = kukX s,b + kvkX s,b .
Seja a função Φ = (Φ1 , Φ2 ), definida por
Z t
Φ1 [u, v] = ψ(t)S(t)u0 + iψ(t)
S(t − t′ )ψδ (t′ ){|u(t′ )|2 u(t′ ) + v(t′ )}dt′ ,
0

Φ2 [u, v] = ψ(t)S(t)v0 − iψ(t)

Z t
0

S(t − t′ )ψδ (t′ ){(µ0 + a|v(t′ )|2 )v(t′ ) − u(t′ )}dt′ ,

para cada (u, v) ∈ XM N . Sendo b′ ∈ (b, 1), de acordo com o teorema 4.4 e as relações (27)

e (37),

kΦ1 [u, v]k s,b ≤ C0 ku0 kH s + Ckψδ {|u|2 u + v}kX s,b−1
X

≤ C0 ku0 kH s + Cδ
≤ C0 ku0 kH s + Cδ
e

b′ −b
4b′

b′ −b
4b′

³
³

2

k|u| ukX s,b′ −1 + kvkX s,b′ −1
kuk3 s,b + kvkX s,b
X

´

´

kΦ2 [u, v]k s,b ≤ C0 kv0 kH s + Ckψδ {(µ0 + a|v|2 )v − u}kX s,b−1
X

≤ C0 kv0 kH s + Cδ
≤ C0 kv0 kH s + Cδ

b′ −b
4b′

b′ −b
4b′

³
³

2

kvkX s,b′ −1 + k|v| vkX s,b′ −1 + kukX s,b′ −1
´
kvkX s,b + kvk3 s,b + kukX s,b ,
X

´

64

4. BOA COLOCAÇÃO

seguindo que
′

kΦ1 [u, v]k s,b
X

kΦ2 [u, v]k s,b
X

b −b
M
′
≤
+ C1 δ 4b (M 3 + N ),
2
b′ −b
N
′
+ C2 δ 4b (N + N 3 + M ),
≤
2

pois (u, v) ∈ XM N . Se fizermos com que
½
¾
b′ −b
M
N
4b′
(40)
δ
≤ min
,
,
2C1 (M 3 + N ) 2C2 (N + N 3 + M )
então kΦ1 [u, v]kX s,b ≤ M, kΦ2 [u, v]kX s,b ≤ N e por isso
Φ[u, v] ∈ XM N .
Similarmente, pela estimativa (38) do lema 4.3, sendo (u, v), (e
u, ve) ∈ XM N , temos que
kΦ1 [u, v] − Φ1 [e
u, ve]k s,b ≤ Ckψδ {|u|2 u + v − |e
u|2 u
e − ve}kX s,b−1
X

b′ −b
′

≤ Cδ 4b

≤ Cδ

b′ −b
4b′

³

h³

b′ −b
4b′

k|u|2 u − |e
u|2 u
ekX s,b′ −1 + kv − vekX s,b′ −1

´
i
kuk s,b + ke
uk s,b ku − u
ekX s,b + kv − vekX s,b

³

2

2

X

X

2

M ku − u
ekX s,b + kv − vekX s,b
≤ C3 δ
¡
¢
≤ 14 ku − u
ekX s,b + kv − vekX s,b

e

´

´

kΦ2[u, v]−Φ2[e
u, ve]k s,b ≤Ckψδ {(µ0 + a|v|2 )v − u − (µ0 + a|e
v |2 )e
v+u
e}kX s,b−1
X

≤Cδ

≤Cδ

b′ −b
4b′

b′ −b
4b′

´
³
2
2
kv − vekX s,b′ −1 + k|v| v − |e
v | vekX s,b′ −1 + ku − u
ekX s,b′ −1

´
i
h
³
2
2
ekX s,b
v k s,b kv − vekX s,b+ku − u
kv − vekX s,b+ kvk s,b +ke
X

X

´
³
≤C4 δ
N 2 kv − vekX s,b + ku − u
ekX s,b
¡
¢
≤ 41 ku − u
ekX s,b + kv − vekX s,b
b′ −b
4b′

quando
(41)

δ

b′ −b
4b′

≤ min

½

1

1

,
4 C3 M 2 4 C4 N 2

¾

.

4. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 4.1

65

Portanto, a função Φ : XM N −→ XM N é uma contração, possuindo, assim, pelo teorema
do ponto fixo de Banach, um único ponto fixo, o qual resolve (21) no intervalo de tempo
[0, δ] para qualquer δ satisfazendo (40) e (41).
Agora passaremos a provar a unicidade das soluções na classe de funções definidas
pelas condições (1) e (2) no enunciado do teorema 4.1. Começamos introduzindo, para
cada T > 0, a norma auxiliar
n
o
kf kXT = inf kwkX s,b ; w ∈ X s,b tal que f (·, t) = w(·, t), t ∈ [0, T ], em H s .
w

Claramente, se ku1 − u2 kXT = 0 e kv1 − v2 kXT = 0, então u1 (·, t) = u2 (·, t) e
v1 (·, t) = v2 (·, t) em H s , para t ∈ [0, T ].

Sejam (u1 , v1 ) a solução acima e (u2 , v2 ) uma outra solução do sistema de equações
integral (39) com dado inicial (u0 , v0 ). Consideremos que M, N > 0 sejam tais que
ku1 kX s,b , kψu2 kX s,b ≤ M
e
kv1 kX s,b , kψv2 kX s,b ≤ N.
Assumiremos que T satisfaz as condições (40) e (41). Para T ∗ ≤ T, o qual fixaremos
posteriormente, nos temos

ψu2 (t) = ψ(t)S(t)u0 + iψ(t)
ψv2 (t) = ψ(t)S(t)v0 − iψ(t)

Z t
0

S(t − t′ )ψT ∗ (t′ ){|ψu2 (t′ )|2 ψu2 (t′ ) + ψv2 (t′ )}dt′ ,

0

S(t − t′ )ψT ∗ (t′ ){(µ0 + a|ψv2 (t′ )|2 )ψv2 (t′ ) − ψu2 (t′ )}dt′

Z t

t
) = 1, quando t ≤ T ∗ .
T∗
Para cada 0 < ε < 1, existe (ω, φ) ∈ X s,b × X s,b tais que, para todo t ∈ [0, T ∗ ],

para t ∈ [0, T ∗ ], pois ψT ∗ (t) = ψ(

ω(t) = u1 (t) − ψ(t)u2 (t)
(42)

φ(t) = v1 (t) − ψ(t)v2 (t)

e
ε
2
ε
kφkX s,b ≤ kv1 − ψv2 kXT ∗ + .
2
kωkX s,b ≤ ku1 − ψu2 kXT ∗ +

(43)

66

4. BOA COLOCAÇÃO

e satisfazendo
Seja (e
ω , φ)

Rt
 ω
e (t) = iψ(t) 0 S(t − t′ )ψT ∗ (t′ ){|u1 (t′ )|2 u1 (t′ ) + v1 (t′ ) − ψ( |ψu2 |2 u2 + v2 )(t′ )} dt′
R
 φ(t)
e = −iψ(t) t S(t − ·)ψ ∗ {(µ0 + a|v1 |2 )v1 − u1 − ψ[(µ0 + a|ψv2 |2 )v2 − u2 ]}(t′ ) dt′ .
T
0

Como (u1 , v1 ) e (u2 , v2 ) são soluções de (39) e vale (42), temos que

e = φ(t) = v1 (t) − ψ(t)v2 (t),
ω
e (t) = ω(t) = u1 (t) − ψ(t)u2 (t) e φ(t)

∀ t ∈ [0, T ∗ ].

De acordo com a estimativa (36) do teorema 4.4, (27) do lema 4.1 e o lema 4.3,

ku1 − ψu2 kXT ∗

≤ ke
ω kX s,b
°
° Z t
°
°
2
2
2
′
′°
′
°
S(t − t )ψT ∗ {|u1 | ω + φ + ψu2 (|u1 | − |ψu2 | )}(t ) dt °
= °ψ
0

X s,b

°
°
≤ C °ψT ∗ {|u1 |2 ω + φ + (ψu2 − u1 )|u1 |2 + u1 |u1 |2 − ψu2 |ψu2 |2 )}°
≤ C T∗

≤ CT

b′ −b
4b′

°
°
°|u1 |2 ω + φ − ω|u1 |2 + u1 |u1 |2 − ψu2 |ψu2 |2 °

′
X s,b −1

b′ −b
′

∗ 4b

h

´
i
³
kφkX s,b + ku1 k2 s,b + kψu2 k2 s,b kωkX s,b
X

³
´
2
∗
M kφkX s,b + kωkX s,b
≤ C5 T
¡
¢
≤ 14 kωkX s,b + kφkX s,b ,
b′ −b
4b′

X

X s,b−1

5. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 4.2
b′ −b
′

quando (T ∗ ) 4b ≤

67

1
,e
4C5 M 2

e
≤ kφk
X s,b
° Z t
°
°
°
′
2
2
′
′°
= °
ψ
S(t
−
t
)ψ
{µ
φ
−
ω
+
a(|v
|
v
−
|ψv
|
ψv
)}(t
)
dt
0
1
1
2
2
∗
T
°
°

kv1 − ψv2 kXT ∗

0

X s,b

°
°
≤ C °ψT ∗ {µ0 φ − ω + a(|v1 |2 v1 − |ψv2 |2 ψv2 )}°

X s,b−1

≤ CT

∗

≤ CT

b′ −b
4b′

b′ −b
′

∗ 4b

´
³
2
2
kφkX s,b′ −1 + kωkX s,b′ −1 + k|v1 | v1 − |ψv2 | ψv2 kX s,b′ −1

quando (T )

X

X

¾
½
b′ −b
1
1
1
1
∗ 4b′
, então
. Logo, se (T )
,
≤
≤ 4 min
4C6 N 2
C5 M 2 C6 N 2
¡
¢
ku1 − ψu2 kXT ∗ + kv1 − ψ v2 kXT ∗ ≤ 12 kωkX s,b + kφkX s,b ,

b′ −b
4b′

e daı́, por (43),

³
´
´
kφkX s,b + kωkX s,b + kv1 k2 s,b + kψv2 k2 s,b kφkX s,b

´
³
N 2 kφkX s,b + kωkX s,b
≤ C6 T ∗
¡
¢
≤ 41 kφkX s,b + kωkX s,b ,
b′ −b
4b′

∗

³

ku1 − ψu2 kXT ∗ + kv1 − ψ v2 kXT ∗ ≤ ε.
Isto prova que u1 = u2 e v1 = v2 em [0, T ∗ ]. Repetindo, assim, esse procedimento um
número finito de vezes, obteremos a unicidade em todo intervalo de tempo [0, T ].
A regularidade adicional
u, v ∈ C([0, T ]; H s )
segue da observação 4.1. Assim, completamos a demonstração da boa colocação local do
problema de Cauchy para o sistema de Gross-Pitaevskii.

5. Demonstração do teorema 4.2
Nesta seção provaremos o teorema 4.2 de boa colocação global para o sistema (21).
Para provar este resultado, primeiramente obteremos uma lei de conservação em L2 × L2

68

4. BOA COLOCAÇÃO

que será a nossa ferramenta fundamental. Do sistema (21) temos que

 iu ∂ u + u ∂ 2 u + |u|4 + uv = 0,
t
x
 iv ∂t v + v ∂ 2 v − (µ0 + a|v|2 )|v|2 + vu = 0,
x

e, somando estas duas equações,

i(u ∂t u + v ∂t v) + (u ∂x2 u + v ∂x2 v) + |u|4 − (µ0 + a|v|2 )|v|2 + 2Re(vu) = 0.
Integrando ambos os lados na variável x e tomando a parte imaginária, obtemos
Z ∞
Z ∞
ª
©
Im i
(u ∂t u+v ∂t v)dx+Im
(u ∂x2 u + v ∂x2 v) + |u|4 − (µ0 + a|v|2 )|v|2 + 2Re(vu) dx = 0.
−∞
{z
}
| −∞
A(t)

Agora, observamos que
Z ∞
Z ∞
¯∞
¯
2
2
(∂x u u + ∂x v v)dx = (∂x u u + ∂x v v)¯
−
(∂x u∂x u + ∂x v∂x v)dx
−∞

= −

Z ∞

−∞

−∞

(|∂x u|2 + |∂x v|2 )dx ∈ R.

Logo A(t) é real e conseqüentemente Im i
1
∂
2 t

´
³
=
ku(·, t)k2L2x + kv(·, t)k2L2x
=

−∞

Z ∞

(∂t uu + ∂t vv) dx = 0, donde segue-se que

−∞

1
2
1
2

Z ∞

∂t (uu + vv) dx

−∞
Z ∞
¡

= Re

∂t uu + ∂t vv + ∂t uu + ∂t vv

−∞

Z ∞

= Im i

(∂t uu + ∂t vv) dx

−∞
Z ∞

¢

dx

(∂t uu + ∂t vv) dx = 0.

−∞

Portanto
(44)

ku(·, t)kL2x + kv(·, t)kL2x = ku0 k2L2x + kv0 k2L2x ,

∀ t ∈ [0, T ].

A lei do conservação (44) permite que apliquemos o teorema 4.1 tantas vezes desejarmos, preservando o comprimento do intervalo do tempo, construindo, assim, uma solução
global.

CAPı́TULO 5

Má Colocação para o Problema de Cauchy Associado ao
Sistema de Gross-Pitaevskii

Estudaremos neste capı́tulo a instabilidade do fluxo associado ao sistema de GrossPitaevskii

(45)




i∂t u + ∂x2 u + |u|2 u + v = 0,
x, t ∈ R,



i∂t v + ∂x2 v − (µ0 + a|v|2 )v + u = 0,




u(x, 0) = f (x), v(x, 0) = g(x),

quando um dos dados iniciais encontra-se num espaço de Sobolev com pouca regularidade.
Precisamente, provaremos o seguinte resultado de má colocação:
Teorema 5.1. O sistema (45) é localmente mal posto quando
−1/2 < k < 0

e

− 1/2 < ℓ,

−1/2 < ℓ < 0

e

− 1/2 < k,

ou

no sentido que a aplicação dado-solução (u0 , v0 ) 7−→ (u(t), v(t)) não é localmente uniformemente contı́nua de H k (R) × H ℓ (R) em C([0, T ]; H k (R) × H ℓ (R)).
A prova deste teorema será realizada usando técnicas similares as empregadas por
Kening, Ponce e Vega em [15] e por Corcho em [5], para obter resultados de má-colocação
para a equação cúbica de Schrödinger no caso focusing e para o sistema de Benney,
respectivamente.
69

70

5. MÁ COLOCAÇÃO

1. Ondas Solitárias

Nesta seção obteremos soluções de tipo ondas solitárias para o Problema de Cauchy
associado ao sistema de Gross-Pitaevskii (45).
Trabalharemos com as soluções na forma:
u(x, t) = eiwt f (x − ct) e v(x, t) = eiwt g(x − ct),

(46)

onde w > 0, c > 0 e f e g são funções que decrescem rapidamente para zero no infinito;
sendo mais preciso,
f, g ∈ S(R).
Substituindo (46) em (45) obtemos o sistema de equações diferenciais ordinárias

 f ′′ − icf ′ − wf + |f |2 f + g = 0,
(47)
 g ′′ − icg ′ − (µo + w)g − a|g|2 g + f = 0.

Vamos supor que g = λf , com λ 6= 1. Então segue de (47) que
f ′′ − icf ′ +
icx

λ(1 + µo + w) − (w + 1)
aλ3 + 1 2
f+
|f | f = 0.
1−λ
1−λ

Daı́, fazendo f (x) = e 2 h(x), onde h é uma função real, chegamos à seguinte expressão:
c2 (1 − λ) + 4λ(1 + µo + w) − 4(w + 1)
aλ3 + 1 3
h +
h+
h = 0.
4(1 − λ)
1−λ
′′

(48)

A equação (48) tem soluções positivas, pares , suaves e exponencialmente decrescente se
c2 (1 − λ) + 4λ(1 + µo + w) − 4(w + 1)
<0 e
4(1 − λ)

(49)

aλ3 + 1
> 0.
1−λ

Em [4] e [21] podemos encontrar a demonstração desta afirmativa, assim como que a
solução neste caso é dada por
(50)

h(x) =

2µσ
e−σx + eσx

onde
(51)

µ=

r

2(1 − λ)
aλ3 + 1

e

σ=

s

= µ σ sech(σx),

c2 (1 − λ) + 4λ(1 + µo + w) − 4(w + 1)
4(λ − 1)

2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 5.1

71

e que se as condições (49) não são satisfeitas, então não existe solução não trivial em
H 1 (R) para (48). Temos, então, as seguintes expressões para a ondas solitárias:

 u (x, t) = ei(t(w− c22 )+ cx2 ) µ σ sech(σ(x − ct)),
c,w
(52)
 vc,w (x, t) = λuc,w (x, t).
2. Demonstração do Teorema 5.1

A idéia da prova é a seguinte: tomaremos duas ondas solitárias com os dados iniciais
e veremos que, com certas hipóteses sobre os parâmetros destas, teremos que elas permanecem próximas no instante inicial. Então, em seguida, estudaremos a evolução no
tempo destas ondas para obter o resultado procurado.
Dados c, w ∈ R, com ϕ ≡ sech, as transformadas de Fourier na variável espacial de
uc,w e vc,w são representadas por
Z ∞
1
ûc,w (ξ, t) = √
uc,w (x, t)e−ixξ dx
2π −∞
Z ∞
c2
cx
1
ei(t(w− 2 )+ 2 ) µσϕ(σ(x − ct))e−ixξ dx
= √
2π −∞
Z ∞
2
c
1
it(w− c2 )
e−ix(ξ− 2 ) ϕ(σ(x − ct))dx
= e
µσ √
2π −∞
Z ∞
2
y
c
it(w− c2 ) 1
√
e−i( σ +ct)(ξ− 2 ) ϕ(y)dy
= µe
2π −∞
³ξ − c ´
2
= µeit(w−cξ) ϕ
b
(53)
, ∀ (ξ, t) ∈ R2
σ
e vbc,w (ξ, t) = λûc,w (ξ, t), ∀ (ξ, t) ∈ R2 .

Daqui em diante, para N ≫ 1, faremos

(54)

c = 2N.

Sejam Nj ≫ 1, j = 1, 2, com N1 < N2 e Nj ≈ N, isto é, existem constantes positivas
αj , βj , j = 1, 2, tais que
(55)

αj N < Nj < βj N,

j = 1, 2.

72

5. MÁ COLOCAÇÃO

Para que as condições em (49) sejam satisfeitas, quando a ≤ 0, escolheremos λ = −1,
aλ3 + 1
−a + 1
1
c2 µ0
para que
=
≥ >0 e w>
−
− 1, ou seja, por (54),
1−λ
2
2
4
2
´
³µ
0
+1 .
(56)
w > N2 −
2
Segue-se de (51) que

N 2 (1 − λ) + λ(1 + µ0 + w) − w − 1
λ−1
2
2N − (1 + µ0 + w) − w − 1
=
−2
µ0
− N 2.
= w+1+
2

σ2 =

Para wj = Nj2 + σ 2 − (1 + µ0 /2), j = 1, 2, temos que wj satisfaz (56) e
q
σj = wj + 1 − Nj2 + µ0 /2 = σ, j = 1, 2.
No caso em que a > 0, faremos λ = 1/2, onde
escolheremos

aλ3 + 1
> 2 > 0, e daı́ para que valha (49),
1−λ

w > N 2 + µ0 − 1.

(57)

Daı́, segue que σ 2 = w + 1 − µ0 − N 2 . Para que, neste caso, σj = σ, j = 1, 2, e que a

condição (57) seja satisfeita, tomaremos wj = Nj2 + σ 2 + µ0 − 1, j = 1, 2.
Usando (52), sendo
uj = u2Nj ,wj , j = 1, 2,
isto é,
(58)

2

uj (x, t) = ei(t(wj −2Nj )+Nj x) µσϕ(σ(x − 2Nj t)), ∀ (x, t) ∈ R2 , j = 1, 2,

por (53) e pelo teorema do valor intermediário, temos que
¯ ³ξ − N ´
³ ξ − N ´¯2
¯
2 ¯
1
|û1 (ξ, 0) − û2 (ξ, 0)|2 = |µ|2 ¯ϕ
−ϕ
b
b
¯
σ
σ
¯ Z 1 ³ ξ − N + t(N − N ) ´³ N − N ´ ¯2
¯
2
1
2
2
1
2¯
dt¯
= |µ| ¯
ϕ
b′
σ
σ
0
¯ N − N ¯2 Z 1 ¯ ³ ξ − N + t(N − N ) ´¯2
¯
¯ ′
¯ 1
2
2
1
2¯
b
≤ |µ|2 ¯
¯ dt.
¯
¯ϕ
σ
σ
0

2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 5.1

Portanto
2

ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k k =
H

Z ∞

−∞

73

(1 + |ξ|2 )k |û1 (ξ, 0) − û2 (ξ, 0)|2 dξ

Z 1¯ ³
¯
¯2 Z ∞
´¯
¯ ′ ξ − N2 + t(N2 − N1 ) ¯2
2 ¯ N1 − N2 ¯
2 k
b
≤ |µ| ¯
(1 + |ξ| )
¯ϕ
¯ dtdξ
¯
σ
σ
0
−∞
¯ ³ ξ − N + t(N − N ) ´¯2
¯
¯2 Z 1 Z ∞
¯ ′
¯
2
2
1
2 ¯ N1 − N2 ¯
b
(1 + |ξ|2 )k ¯ϕ
≤ |µ| ¯
¯
¯ dξdt, k ∈ R.
σ
σ
0
−∞

Sendo w = N −4k + N 2 − (1 + µ0 /2) para que valha (56) quando a ≤ 0, e w = N −4k +
N 2 − 1 + µ0 quando a > 0, para que valha (57), temos nos dois casos que
σ = N −2k .

(59)
Faremos a restrição
(60)

k > −1/2,

objetivando que
σ = N −2k < N.

(61)

Como N1 < N2 , para t ∈ [0, 1] e ξ ∈ Bσ (tN1 + (1 − t)N2 ), segue-se que
N1 − σ < tN1 + (1 − t)N2 − σ < ξ < tN1 + (1 − t)N2 + σ < N2 + σ,
(α1 − 1)N < N1 − N < ξ < N2 + N < (β2 + 1)N.
Podemos considerar que α1 − 1 > 0. Então ξ ≃ N e
(α1 − 1)2 N 2 < 1 + |ξ|2 < N 2 + (β2 + 1)2 N 2 .
Usaremos repetidas vezes nesta demonstração que a funções ϕ = sech e (1 + | · |2 )k ϕ
b′

estão em S(R), assim como ϕ
b está concentrada em (−1, 1).

Sendo β > 0 tal que
Z ∞
Z 1
2 k
2
(1 + |y| ) |ϕ(y)|
b
dy ≤ β
(1 + |y|2 )k |ϕ
b′ (y)|2 dy,
−∞

−1

então

ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k2 k ≤
H
Z 1 Z tN1 +(1−t)N2 +σ
¯ ³
´¯2
2
2 4k
2 k ¯ ′ ξ−N2 +t(N2 −N1 ) ¯
(1 + |ξ| ) ¯ϕ
≤ |µ| |N1 − N2 | N β
b
¯ dξdt.
σ
0

tN1 +(1−t)N2 −σ

74

5. MÁ COLOCAÇÃO

Portanto, quando −1/2 < k < 0, temos que
ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k2 k ≤
H

2

2

4k

2k

≤ |µ| |N1 − N2 | N β(α1 − 1) N

2k

Z 1 Z tN1 +(1−t)N2 +σ ¯ ³
´¯
¯ ′ ξ−N2 +t(N2 −N1 ) ¯2
b
¯ϕ
¯ dξdt
σ

= |µ|2 |N1 − N2 |2 N 4k β(α1 − 1)2k N 2k σ
2k

2

2

≤ β(α1 − 1) |µ| |N1 − N2 | N

4k

0

tN1 +(1−t)N2 −σ

Z 1Z 1
0

kϕ
b′ k2L2 ,

−1

|ϕ
b′ (y)|2 dydt

Analogamente, chegamos, para k ≥ 0, que

ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k2 k ≤ β[1 + (β2 + 1)2 ]k |µ|2 |N1 − N2 |2 N 4k kϕ
b′ k2L2 ,
H

inferindo que

ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k2 k . |N1 − N2 |2 N 4k , s > −1/2.

(62)

e

H

Sendo ζj , ηj > 0, j = 1, 2, tais que
Z 1
Z ∞
2
2s
2
(1 + |y| )|ϕ(y)|
b
dy ≤
ζj
(1 + |y|2s ) |ϕ(y)|
b
dy
−1

Z ∞

−∞

−∞

2

2 s

(1 + |y| ) |ϕ
b (y)| dy ≤ ηj

Z 1

−1

2
(1 + |y|2 )s |ϕ(y)|
b
dy,

consideremos as soluções uj (x, t), j = 1, 2, no tempo t = T, onde
Z ∞
¯ ³ ξ − N ´¯2
j ¯
2
2
2 s
2¯
kuj (·, T )ks = kuj (·, 0)ks =
(1 + |ξ| ) |µ| ¯ϕ
b
¯ dξ
σ
−∞
Z Nj +σ
¯ ³ ξ − N ´¯2
¯
j ¯
2
(1 + |ξ|2 )s ¯ϕ
≤ |µ| ηj
b
¯ dξ.
σ
Nj −σ

Observemos que, usando (55), (61) e o teorema de mudanças de variáveis (ver [16]), para
s ≥ 0,
kuj (·, T )k2s = kuj (·, 0)k2s

Z Nj +σ ¯ ³
´¯
¯ ξ − Nj ¯ 2
b
≤
¯ dξ
¯ϕ
σ
Nj −σ
Z 1
2
2 s 2s
2
= |µ| ηj (2 + 2βj + βj ) N σ
|ϕ(y)|
b
dy
2

|µ| ηj (2 + 2βj + βj2 )s N 2s

≤

2

−1

|µ| ηj (2 + 2βj + βj2 )s N 2s σkϕk
b 2L2 ,

j = 1, 2,

2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 5.1

75

assim como
kuj (·, T )k2s = kuj (·, 0)k2s ≤ |µ|2 ηj (αj2 − αj )s N 2s σkϕk
b 2L2 , s < 0, j = 1, 2.

Para cada s ∈ R, seja ζ(s) um número positivo tal que ζ(s)(1+|ξ|2s ) ≤ (1+|ξ|2 )s , ∀ξ ∈ R.
Novamente por (55), (61) e o teorema de mudanças de variáveis, temos, para s < 0, que
¯ µ
¶¯2
Z ∞
¯
ξ − Nj ¯¯
2
2
2
2s ¯
kuj (·, T )ks = kuj (·, 0)ks ≥ |µ| ζ(s)
(1 + |ξ| ) ¯ϕ
b
¯ dξ
σ
−∞
¯ µ
¶¯2
Z Nj +σ
¯
ξ − Nj ¯¯
2
2s ¯
≥ ζj |µ| ζ(s)
(1 + |ξ| ) ¯ϕ
b
¯ dξ
σ
Nj −σ
¶¯2
Z Nj +σ ¯ µ
¯
¯
ξ
−
N
j
2
2
s 2s
¯ dξ
¯ϕ
≥ ζj |µ| ζ(s)(βj + 2βj + 1) N
¯
¯b
σ
Nj −σ
Z 1
2
2
s 2s
2
= ζj |µ| ζ(s)(βj + 2βj + 1) N σ
|ϕ(y)|
b
dy
−1

onde ϑ ≤

R1

2 dy
b
−1 |ϕ(y)|
2
kϕk
b 2
L

≥ ζj |µ|2 ζ(s)(βj2 + 2βj + 1)s N 2s σϑkϕk
b 2L2 , j = 1, 2,

, e, para s ≥ 0, que

kuj (·, T )k2s = kuj (·, 0)k2s ≥ ζj |µ|2 ζ(s)(αj2 + 2αj )s N 2s σϑkϕk
b 2L2 , j = 1, 2.

Logo, usando a igualdade de Plancherel (2.6), segue-se que

kuj (·, T )k2s = kuj (·, 0)k2s ≃ N 2s σkϕk2L2 ,

(63)

s ∈ R.

Se s = k, então (63) nos dá a expressão seguinte:
kuj (·, 0)k2s = kuj (·, T )k2 k ≃ kϕk2L2 .

(64)

H

A relação (53) nos informa que û1 e û2 estão concentrados em Bσ (N1 ) ∪ Bσ (N2 ),

portanto existem ζ, η > 0 tais que, para todos N1 e N2 ,
Z N2 +σ
ζ
(1 + |ξ|2 )k |û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ ≤ ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2 k
e

H

N1 −σ

2

ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k k ≤ η
H

Z N2 +σ
N1 −σ

(1 + |ξ|2 )k |û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ.

Daı́, quando −1/2 < k < 0 (lembremos que estamos trabalhando com k > −1/2),
Z N2 +σ
2 k 2k
|û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ ≤ ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2 k ,
ζ(2(β2 + 1) + β2 ) N
N1 −σ

H

76

5. MÁ COLOCAÇÃO
2

ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k k ≤ η(α12 − α1 )k N 2k
H
e para k ≥ 0 temos que
ζ(α12 − α1 )k N 2k

Z N2 +σ
N1 −σ

Z N2 +σ
N1 −σ

|û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ,

|û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ ≤ ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2 k ,
H

2

ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k k ≤ η(2(β2 + 1) + β22 )k N 2k
H
Portanto, usando novamente (2.6),

Z N2 +σ
N1 −σ

|û1 (·, T ) − û2 (·, T )|2 dξ,

ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2 k ≃ N 2k ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2L2 .

(65)

H

Examinemos (58) para concluir que, para cada T > 0, uj (·, T ) está concentrada em
Bσ−1 (2T Nj ), e que
Z ∞
Z ∞
2
|
u1 (x, T )u2 (x, T )dx| . σ
ϕ(σ(x − 2N1 T ))ϕ(σ(x − 2T N2 )).
−∞

−∞

Dado uma constante C, para que
¯
¯Z ∞
¯
¯
¯ ≤ C,
¯
u
(x,
T
)u
(x,
T
)dx
1
2
¯
¯
−∞

basta que encontremos N1 e N2 tais que

(2T N2 − σ −1 ) − (2T N1 + σ −1 ) ≫ 0,
ou seja, que
T |N1 − N2 | ≫ σ −1 = N 2k ;

(66)

portanto usando (63) com s = 0,
ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2L2
(67)

=

ku1 (·, T )k2L2 + ku2 (·, T )k2L2 − 2

Z ∞

≃ ku1 (·, T )k2L2 + ku2 (·, T )k2L2 ≃ σ.

−∞

Combinando (65) com (67 ), obtemos
(68)

ku1 (·, T ) − u2 (·, T )k2 k ≥ εN 2k σ = ε,
H

para uma certa constante ε > 0. Fazendo
(69)

N1 = N e N2 = N + δN −2k ,

com δ > 0,

u1 (x, T )u2 (x, T )dx

2. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 5.1

77

obtemos de (62)
ku1 (·, 0) − u2 (·, 0)k2 k . δ 2 .

(70)

H

Da nossa escolha feita em (69), desde que
(71)

k < 0,

dados δ, T > 0, nos podemos tomar N tão grande que
T |N1 − N2 | = T δN −2k ≫ N 2k ⇔ N −4k ≫

1
,
Tδ

valendo (66),(67) e (68).
Vendo a solução (52) do sistema de Gross-Pitaevskii (45), temos que
(72)

uj (·, 0) ∈ BC (0) ⇒ vj (·, 0) ∈ BC (0), vj = λuj , j = 1, 2,

onde λ = 1/2 quando o parâmetro a de (45) for maior do que zero, e λ = −1 quando

a ≤ 0. As escolhas em (69) também implicam

kv1 (·, 0) − v2 (·, 0)k2 k . δ 2 .

(73)

H

Neste momento, de (60),(64),(68),(70),(71), (72) e (73), concluı́mos que, para
(k, ℓ) ∈ (− 21 , 0) × (− 12 , ∞),

(74)

dados T > 0 e uma bola B ⊂ H k × H ℓ , existe ε > 0 tal que, para todo δ > 0, existem
(u1 (·, 0), v1 (·, 0)), (u2 (·, 0), v2 (·, 0)) ∈ B tais que

k(u1 (·, 0), v1 (·, 0))−(u2 (·, 0), v2 (·, 0))kH k ×H ℓ = k(u1 (·, 0)−u2 (·, 0), v1 (·, 0)−v2 (·, 0))kH k ×H ℓ < δ
e
sup k(u1 (·, t), v1 (·, t)) − (u2 (·, t), v2 (·, t))kH k ×H ℓ ≥ ε,

t∈[0,T ]

ou seja, concluı́mos que aplicação dado solução (f, g) 7−→ (u(t), v(t)) associado ao problema de Cauchy (45) não é localmente Lipschitz em H k × H ℓ quando −1/2 < k < 0 e

ℓ > −1/2. A inversão dos papéis de uj e vj , j = 1, 2, em nossas contas a partir de (52) nos
mostra a má colocação de (45) também em H k × H ℓ quando k > −1/2 e −1/2 < ℓ < 0,
terminando assim esta demonstração.

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