Tese

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                    Instituto de Matemática
Universidade Federal de Alagoas

Sobre o Problema de Cauchy para
interações não-lineares do tipo
Schrödinger

Autor: Isnaldo Isaac Barbosa
Orientador: Adán José Corcho Fernández

Junho
2015

ISNALDO ISAAC BARBOSA

Sobre o Problema de Cauchy para interações
não-lineares do tipo Schrödinger

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Matemática UFBA-UFAL
do Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas como requisito parcial para
obtenção do grau de Doutor em Matemática.

Maceió
2015

i

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário Responsável: Janis Christine Angelina Cavalcante
B238s

Barbosa, Isnaldo Isaac.
Sobre o problema de Cauchy para interações não lineares do tipo
Schrödinger / Isnaldo Isaac Barbosa. Maceió – 2015.
67 f.
Orientador: Adán José Corcho Fernández.
Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática, Programa de Pós Graduação em Matemática.
Maceió, 2015.
Bibliografia. f. 65-67.

1. Problema de Cauchy. 2. Equação de Schrödinger. 3. Boa colocação
Local. 4. Boa colocação global. 5. Má colocação. 6. Estimativas bilineares
I. Título.
CDU: 510.53

Dedicatória

Dedico este trabalho
ao meu filho Isaac Gabriel
e a minha mãe Maria Verônica.

v

O progresso do homem não é mais
do que uma descoberta gradual de que as
suas perguntas não têm significado.
Antoine de Saint-Exupéry

Elementary may be deep.
Tosio Kato

O que sabemos é uma gota;
o que ignoramos é um oceano.
Isaac Newton

A tarefa é, não tanto para ver
o que ninguém viu ainda, mas pensar o que
ninguém ainda pensou,
sobre o que todo mundo vê.
Erwin Schrödinger

Até aqui nos ajudou o Senhor.
1 Samuel 7:12 b

vi

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus por ter permitido mais esta conquista.
Agradeço ao meu orientador, professor Adán Corcho, por ter acreditado no meu trabalho mesmo em meio as dificuldades no decorrer do mesmo.
Aos professores Dr. Felipe Linares, Dr. Feliciano Vitório, Dr. Jaime Angulo, Dr.
Mahendra Panthee por terem participado da minha banca, sinto-me honrado com a
contribuição de cada um.
Ao CNPq, pelo apoio financeiro.
Ao Instituto de Matemática da UFBA pelo acolhimento no perı́odo que passei nessa
instituição.
Ao Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá, em especial ao
professor Dr. Marcelo Cavalcanti, pela oportunidade de participar do evento Control of
Dispersive Equations em 2011.
Ao Instituto de Matemática da UFRJ pelo acolhimento nas diversas ocasiões que estive
nessa instituição e aos amigos que ali tive a oportunidade de fazer.
A FAPEAL, pelo apoio financeiro para que eu apresentasse parte desta Tese no evento
internacional Mathematical Congress of the Americas 2013, realizado em Guanajuato
- México.
Ao “garotão”, Márcio Cavalcante de Melo, pelo constante apoio.
Aos amigos de turma Rodrigo Fernandes de Moura Melo e Kennerson Nascimento de
Sousa Lima pelo companheirismo e apoio.
Aos amigos Abraão Mendes, Micael Dantas, Adina Rocha, Antônio Marcos Larangueiras, Eduardo Santana, Davi Santos e Jamerson Douglas pela amizade e apoio.
A toda minha famı́lia pela compreensão do meu isolamento nos momentos de produção
deste Tese.

vii

Resumo

Estudamos o estudo do problema de Cauchy para um sistema acoplado de equações tipo
Schrödinger que aparece na modelagem de problemas de óptica não linear, a saber:


i∂ u(x, t) + p∂x2 u(x, t) − θu(x, t) + ū(x, t)v(x, t) = 0, x ∈ R, t ≥ 0,


 t
iσ∂t v(x, t) + q∂x2 v(x, t) − αv(x, t) + 21 u2 (x, t) = 0, p, q = ±1, σ > 0,



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0

0

onde os dados iniciais são considerados em espaços de Sobolev do tipo L2 , ou seja,
(u0 , v0 ) ∈ H κ (R) × H s (R).
Resultados de boa colocação local e global para este sistema, no caso periódico, foram obtidos por Angulo e Linares em [1]. Neste trabalho obtemos resultados de boa
colocação local em diferentes regiões de ı́ndices de Sobolev do plano (κ, s), as quais
dependem do valor da constante σ > 0. Discutimos como diferentes valores da constante σ mudam a dinâmica do sistema quanto à regularidade das soluções locais. Além
disso, obtemos resultados de boa colocação global quando σ 6= 2 e as regularidades de
ambos os dados são iguais e negativas, ou seja, κ = s < 0. Por último são apresentados
alguns exemplos, mostrando que a regularidade obtida em alguns dos casos da teoria
local desenvolvida é a melhor possı́vel a ser obtida usando o método do Ponto Fixo de
Banach.

Palavras chaves: Problema de Cauchy, Equação de Schrödinger, Boa Colocação Local, Boa Colocação Global, Má Colocação, Estimativas Bilineares.

ix

Abstract

We study the Cauchy problem associated to the coupled Schrödinger equations, which
appears modeling problems in nonlinear optics, namely:


i∂ u(x, t) + p∂x2 u(x, t) − θu(x, t) + ū(x, t)v(x, t) = 0, x ∈ R, t ≥ 0,


 t
iσ∂t v(x, t) + q∂x2 v(x, t) − αv(x, t) + 21 u2 (x, t) = 0, p, q = ±1, σ > 0,



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0

0

where the initial data are considered in the classical Sobolev spaces (u0 , v0 ) ∈ H κ (R)×
H s (R).
Well-posedness results for this system, in the periodic case, were obtained by Angulo
and Linares in [1]. In this work we develop a local theory for the system, where the
regularity (κ, s) of the initial data depends on the different situations of the parameter
σ > 0. Also, we obtain global well-posedness results when σ 6= 2 and for negative
indices κ = s < 0 included in the local theory developed. Finally, we show some
ill-posedness results.

Key words: Cauchy Problem, Schrödinger Equation, Local Well-Posedness, Global
Well-Posedness, Ill-Posedness, Bilinear Estimates.

xi

Lista de Figuras

1

Teoria local para σ > 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

Teoria local para 0 < σ < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3

Teoria local para σ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

Sobreposição das teorias locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1

Região onde a estimativa (1.19) é válida no caso 0 < a < 1/2. . . . . . . . . 12

1.2

Região onde a estimativa (1.20) é válida no caso 0 < a < 1/2. . . . . . . . . 12

1.3

Região onde a estimativa (1.19) é válida no caso a > 1/2. . . . . . . . . . . 12

1.4

Região onde a estimativa (1.20) é válida no caso a > 1/2. . . . . . . . . . . 12

1.5

Região onde a estimativa (1.19) é válida no caso a = 1/2. . . . . . . . . . . 13

1.6

Região onde a estimativa (1.20) é válida no caso a = 1/2. . . . . . . . . . . 13

3.1

Região onde a Proposição 1.1 não é válida assumindo σ = 1 . . . . . . 64

xiii

Conteúdo

Introdução

1

1

Boa Colocação Local

7

1.1

Espaço de funções e Teoria local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Estimativas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Demonstração da Proposição 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

2

3

1.4.1

Prova no caso: 0 < a < 1/2 ⇔ σ > 2 . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2

Prova no caso: a > 1/2 ⇔ 0 < σ < 2 . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3

Prova no caso: a = 1/2 ⇔ σ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 21

Demonstração da Proposição 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1

Prova no caso: 0 < a < 1/2 ⇔ σ > 2 . . . . . . . . . . . . 25

1.5.2

Prova no caso: a > 1/2 ⇔ σ < 2 . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.3

Prova no caso: a = 1/2 ⇔ σ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6

Prova dos Teoremas de Boa colocação Local . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7

Comentários finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Resultados Globais

41

2.1

Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2

O Teorema de Boa Colocação Local Revisitado . . . . . . . . . . . . . 45

2.3

Leis quase conservadas em L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4

Prova do Teorema de Boa Colocação Global . . . . . . . . . . . . . . . 52

Resultados de Má colocação

55

3.1

Teoria Geral de Má Colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2

Segunda Derivada aplicada a funções elementares . . . . . . . . . . . . 58

3.3

Resultados de má-colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
xv

Referências Bibliográficas

67

xvi

Introdução

Este trabalho é dedicado ao estudo do Problema de Cauchy para um sistema que modela problemas da óptica não-linear. De maneira mais precisa estudaremos o seguinte
modelo matemático:


i∂ u(x, t) + p∂x2 u(x, t) − θu(x, t) + ū(x, t)v(x, t) = 0,


 t
(1)
iσ∂t v(x, t) + q∂x2 v(x, t) − αv(x, t) + 21 u2 (x, t) = 0,



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0

x ∈ R, t ≥ 0,
p, q = ±1,

0

onde u e v são funções que assumem valores complexos, α, θ e σ são números reais
que representam parâmetros fı́sicos do sistema, sendo σ > 0.
Observamos que o modelo estabelece o acoplamento não-linear de duas equações dispersivas de tipo Schrödinger através de termos quadráticos
(2)

N1 (u, v) = ūv

e

1
N2 (u) = u2 .
2

Fisicamente, de acordo com o trabalho [22], as funções complexas u e v representam
pacotes de amplitudes do primeiro e segundo harmônico, respectivamente, de uma onda
óptica. Os valores de p e q podem ser 1 ou -1, dependendo dos sinais fornecidos entre
as relações de dispersão/difração e a constante positiva σ mede os ı́ndices de grandeza
de dispersão/difração. O interesse em propriedades não-lineares de materiais ópticos
têm atraı́do a atenção de fı́sicos e matemáticos nos últimos anos. Diversas pesquisas
sugerem que explorando a reação não-linear da matéria, a capacidade bit-rate de fibras
ópticas pode ser aumentada substancialmente e consequentemente uma melhoria na
velocidade e economia de transmissão e manipulação de dados. Particularmente, em
materiais não centrossimétricos (aqueles que não possuem simetria de inversão ao nı́vel
molecular) os efeitos não-lineares de ordem mais baixa originam a susceptibilidade de
segunda ordem, o que significa que a resposta não-linear para o campo elétrico é de
ordem quadrática ver, por exemplo, os artigos [18] e [13].
1

Com relação as propriedades qualitativas das soluções do Problema de Cauchy (1) sabemos que no caso em que p = q = 1 o sistema foi estudado por F. Linares e J. Pava
em [1] para dados iniciais u0 , v0 pertencentes a um mesmo espaço de Sobolev definido
no ambiente periódico (x ∈ T), ou seja, nos seguintes espaços de Hilbert:
n
o
s
Hper
:= H s (T) = f ∈ P 0 ; (1 + n2 )s/2 fb(n) ∈ `2 (Z) ,
onde fb(n) denota os coeficientes de Fourier de f . Eles obtiveram resultados de boa
colocação local para todo s ≥ 0, o que de modo formal significa que para cada um
desses dados se verificam as seguintes afirmações:
s
×
- Existência: Existem um tempo T0 > 0, um subespaço de Banach Y ⊂ Hper

s
Hper e uma função (u, v) ∈ C [0, T0 ]; Y que é solução de (1) num sentido

apropriado.
- Unicidade: Existe no máximo uma solução com as condições do item anterior.
- Dependência contı́nua: A aplicação dado-solução (u0 , v0 ) 7−→ (u, v) é contı́nua.
No caso de dados em L2per × L2per foi provado que as correspondentes soluções locais
obtidas podem ser estendidas a todo intervalo de tempo [0, T ] usando a conservação da
“massa” pelo fluxo do sistema, isto é, o sistema satisfaz a seguinte lei de conservação:
Z +∞

(3)
E(u(t), v(t)) =
|u|2 + 2σ|v|2 dx = E(u0 , v0 ).
−∞

Observação 0.1 Os autores também comentam, na Observação 2.3 de [1], que podem
ser obtidos resultados para dados com regularidade mais baixa quando σ 6= 1, a saber:
s
s
Boa colocação em Hper
× Hper
para s > −1/2. Além disso, nesse mesmo trabalho se

estabeleceram resultados de estabilidade e instabilidade para determinadas classes de
pulsos periódicos. Outro trabalho dedicado ao estudo da existência e estabilidade de
ondas tipo pulsos para este modelo é devido a A. Yew (ver [26]).
A técnica usada em [1] para obter os resultados de boa colocação local seguiu de perto
o trabalho [19], desenvolvido por C. Kenig, G. Ponce e L. Vega, onde foi realizado
o estudo do problema de valor inicial para uma equação de Schrödinger com nãolinearidades quadráticas tanto em domı́nio periódico como contı́nuo; de forma mais
2

precisa, eles consideraram o seguinte problema de valor inicial:

iut + ∂ 2 u = Nj (u, ū),
x

(4)

x ∈ R(T), t ≥ 0,

u(x, 0) = u (x),
0

onde N1 (u, ū) = uū, N2 (u, ū) = u2 e N3 (u, ū) = ū2 . Os autores de [19] consideraram
dados iniciais no espaço
n
o
0
2 s/2 b
2
H := H (R) = f ∈ S (R); (1 + ξ ) f (ξ) ∈ L (R) ,
s

s

onde fb(ξ) denota a Transformada de Fourier de f . Eles provaram boa colocação local
para s > −1/4 no caso j = 1 e para s > −3/4 nos casos j = 2, 3. Também foram
s
e resultaconsiderados dados iniciais no ambiente periódico, isto é, dados em Hper

dos similares foram obtidos, ei-los: Boa colocação local para s ≥ 0 quando j = 1 e
para s > −1/2 quando j = 2, 3. Para provar a teoria local eles tomaram como base os
espaços de restrição de Fourier, conhecidos na literatura como espaços X s,b e introduzidos por J. Bourgain em [3]. Dentro desse espaço funcional foram provadas estimativas
bilineares finas que combinadas com o Teorema do Ponto Fixo de Banach aplicado
ao operador integral associado a (4) permitiram obter as soluções locais desejadas. A
carência de uma lei de conservação para (4) não permite obter resultados globais em
determinado espaço como usualmente é feito.
Notamos que os resultados apresentados em [19] podem ser aplicados ao sistema (1)
no caso em que σ = 1. Nessa situação não é difı́cil obter a boa colocação local em
H s × H s para s > −1/4, no entanto uma pergunta surge naturalmente:
Qual será o cenário da boa colocação local e global do sistema (1) quando
σ 6= 1 e para dados iniciais tomados em espaços de Sobolev não necessáriamente com a mesma regularidade?
Com o objetivo de dar uma resposta ao questionamento anterior consideramos neste
trabalho o Problema de Cauchy (1) com qualquer σ > 0 e dados iniciais (u0 , v0 ) pertencentes a espaços de Sobolev da forma H κ ×H s . Até onde sabemos, não conhecemos
na literatura resultados de boa colocação para (1) no caso em que os dados iniciais são
tomados em espaços de Sobolev definidos na reta. Em nosso estudo, além da referência
[19], será de bastante utilidade o trabalho realizado por A. J. Corcho e C. Matheus em
3

[12], onde eles tratam o sistema de Schrödinger-Debye, modelado por


iu + 1 ∂ 2 u = uv,
x ∈ R, t ≥ 0,


 t 2 x
(5)
µvt + v = ±|u|2 ,
µ > 0,



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x),
0

0

o qual também possui não-linearidades do tipo quadrático; e os autores desenvolvem
uma teoria local e global em espaços de Sobolev com regularidades diferentes. O
método empregado por eles é também baseado na obtenção de estimativas bilineares
finas para os termos de acoplamento, em espaços de Bourgain adequados, bem como o
uso de técnicas de ponto fixo. Os resultados globais são obtidos através de uma técnica
conhecida como método-I, implementada pela primeira vez por J. Colliander, M. Keel,
G. Staffilani, H. Takaoka and T. Tao em [8].
A estabilidade de soluções tipo ondas viajantes para o sistema 1 foi estudado em [21],
na seção 4 do mesmo. De acordo com métodos variacionais, para mostrar a estabilidade
de tais ondas solitárias basta garantir que o ponto crı́tico é, na verdade, um minimizador
local do correspondente problema variacional restrita. Para mais detalhes ver [7], [16]
e [23].
Ao leitor interessado em obter mais informações a respeito de problemas relacionados
com equações dispersivas recomendamos fortemente a consulta de [6], [5], [20] e [25].
O trabalho está estruturado da seguinte forma. No Capı́tulo 1 desenvolveremos uma
teoria local em espaços de Bourgain, seguindo de perto as técnicas usadas em [19]
e [12], onde para cada σ positivo obtemos resultados bastante gerais em espaços de
Sobolev com regularidades não necessariamente iguais. Especificamente, provaremos
resultados de boa colocação local para dados (u0 , v0 ) ∈ H κ × H s com ı́ndices (κ, s) ∈
Wσ , onde a região plana Wσ é definida da seguinte forma:
Definição 0.1 Dado σ > 0, dizemos que o par de ı́ndices de Sobolev (κ, s) verifica a
hipótese Hσ se satisfaz uma das seguintes condições:
a) |κ| − 1/2 < s < min{κ + 1/2, 2κ + 1/2} para 0 < σ < 2;
b) κ = s ≥ 0 para σ = 2;
c) |κ| − 1 < s < min{κ + 1, 2κ + 1} para σ > 2.
4

Desse modo, podemos trabalhar com um conjunto Wσ , definido como
n
o
(6)
Wσ = (κ, s) ∈ R2 ; (κ, s) verifica a hipótese Hσ .
O enunciado do teorema que descreve a teoria local será descrito com maior rigor no
inı́cio desse capı́tulo.
No Capı́tulo 2 usaremos o método-I, introduzido em [8] para estender globalmente
as soluções locais obtidas para dados em H s × H s com s ≤ 0. Especificamente,
−1/4 ≤ s ≤ 0 para 0 < σ < 2 e −1/2 ≤ s ≤ 0 para σ > 2. Neste ponto será crucial o
uso de estimativas do tipo Strichartz, refinadas em espaços de Bourgain, para a equação
de Schrödinger, a qual pode ser vista em detalhes em [9].
Finalmente, no Capı́tulo 3 apresentaremos alguns resultados de má colocação para o
sistema (1). Iniciaremos esse capı́tulo introduzindo a noção de má colocação a ser
explorada, que será o fato de comprovar que aplicação dado-solução deixa de ser de
classe C 2 com respeito a dados iniciais em algumas regiões fora de Wσ . Os resultados
que serão exibidos neste sentido correspondem ao caso em que 0 < σ < 2 e estão
baseados nas ideias desenvolvidas em [17] e [2].
Teorema 0.1 Sejam σ > 0 e (u0 , v0 ) ∈ H κ × H s com (κ, s) ∈ Wσ , definida em (6).
O problema de Cauchy (1) é localmente bem posto em H κ × H s no seguinte sentido:
para cada ρ > 0, existem T = T (ρ) > 0 e b > 1/2 tais que para todo dado inicial
com ku0 kH κ + kv0 kH s < ρ, existe uma única solução (u, v) para (1) satisfazendo as
seguintes condições:
(7)
(8)

ψT (t)u ∈ X κ,b e ψT (t)v ∈ Xσs,b ,


u ∈ C [0, T ]; H κ e v ∈ C [0, T ]; H s .

Além disso, a aplicação dado-solução é localmente Lipschitziana.
As Figuras 1, 2, 3 e 4 abaixo ilustram as regiões de boa colocação local obtidas neste
trabalho.

5

s

s

s=κ+1

s = κ + 1/2

s = 2κ + 1/2

s = 2κ + 1

κ

κ

s = |κ| − 1

s = |κ| − 1/2

Figura 1: Teoria local para σ > 2

Figura 2: Teoria local para 0 < σ < 2

s
s

s=κ

κ
κ

Figura 4: Sobreposição das teorias loFigura 3: Teoria local para σ = 2

cais

6

1

Boa Colocação Local

Neste capı́tulo desenvolveremos a teoria de boa colocação local para o Problema de
Cauchy (1), no caso em que (p, q) = (1, 1). Com o objetivo de simplificar cálculos
futuros trabalharemos com o seguinte problema equivalente:

(1.1)



i∂t u + uxx = θu − uv,
(x, t) ∈ R × R+ ,



a
i∂t v + avxx = aαv − u2 ,

2



u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x),

onde os dados iniciais (u0 , v0 ) são considerados no espaço de Sobolev H κ × H s e o
parâmetro a verifica a relação
(1.2)

a=

1
,
σ

σ > 0.

A técnica que será usada para mostrar a existência de soluções locais em relação ao
tempo baseia-se na aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach ao sistema de
equações integrais:

Z t


0

u(t)
=
U
(t)u
−
i
U
(t
−
t
)
θu − uv dt0 ,

0

(1.3)

0

Z t
n

a o


v(t) = Ua (t)v0 − i
Ua (t − t0 ) aαv − u2 dt0 .
2
0

No sistema (1.3) U (t) e Ua (t) representam, respectivamente, os grupos de operadores
unitários associados às equações lineares:
(1.4)

iut + uxx = 0,

u(x, 0) = u0 ,
7

e
(1.5)

ivt + avxx = 0,

v(x, 0) = v0 ,

isto é, verificam as relações
(1.6)

2
U\
(t)u0 (ξ) = eitξ ub0 (ξ)

iatξ 2
e U\
vb0 (ξ),
a (t)v0 (ξ) = e

onde fˆ denota a transformada de Fourier de f , definida por
Z +∞
1
ˆ
(1.7)
F(f ) := f (ξ) = √
f (x)e−ixξ dx.
2π −∞
Observação 1.1 Observamos que em (1.3) os termos lineares θu e aαv foram contemplados na parte não homogênea das equações integrais. Isso foi feito para facilitar os
cálculos nas estimativas não-lineares que serão necessárias para estabelecer a teoria
local.

1.1

Espaço de funções e Teoria local

O esquema iterativo de tipo ponto fixo será desenvolvido dentro da estrutura dos espaços
de Bourgain correspondentes a cada um dos grupos definidos em (1.6). Esses espaços
podem ser associados a qualquer equação dispersiva do modo descrito a seguir.
Dada uma função mensurável φ : R −→ R, vamos considerar o problema de Cauchy
linear:
(1.8)


iwt − φ(−i∂x )w = 0, (x, t) ∈ R × R+ ,
w(·, 0) = w ∈ H s ,
0

onde φ(−i∂x ) é o operador definido por φ(−i∂x )f

∧

(ξ) = φ(ξ)fˆ(ξ). Assim, a

solução do problema (1.8) é dada por w(·, t) = Wφ (t)w0 , sendo Wφ (t) = e−itφ(−i∂x ) o
grupo de operadores unitários correspondente. Veja [20] para mais detalhes.
Definição 1.1 Dados s, b ∈ R, o espaço X s,b (φ) é o completamento do espaço de
Schwartz S(R2 ) com respeito a norma
kf kX s,b (φ) = kWφ (−t)f kH b (R,Hxs )
t

s

b


= hξi hτ i F eitφ(−i∂x ) f (ξ, τ ) L2

ξ,τ

= hξis hτ + φ(ξ)ib fb(ξ, τ, )
8

L2ξ,τ

,

onde h·i =

p
1 + | · |2 ∼ 1 + | · |.

Em nosso estudo usaremos os espaços de Bourgain definidos pelas funções φ(ξ) = ξ 2
e φa (ξ) = aξ 2 . Para simplificar a notação denotaremos as respectivas normas desses
espaços como segue:
(1.9)

kukX κ,b = hξiκ hτ + ξ 2 ib u
b(ξ, τ ) L2 ,
ξ,τ

(1.10)

s

2 b

kvkXas,b = hξi hτ + aξ i vb(ξ, τ ) L2 .
ξ,τ

Seja ψ : R −→ R uma função corte tal que ψ ∈ C0∞ (R) e que satisfaz

1, se |t| ≤ 1,
ψ(t) =
0, se |t| ≥ 2,

com 0 ≤ ψ(t) ≤ 1. Para cada 0 < T ≤ 1 definimos ψT (t) := ψ Tt . Usaremos esta
função diversas vezes no decorrer do texto.
Agora estamos em condições de enunciar o teorema que descreve a teoria local para o
sistema (1.1).
Teorema 1.1 Sejam σ = 1/a > 0 e (u0 , v0 ) ∈ H κ × H s com (κ, s) ∈ Wσ , onde Wσ é
a região plana de ı́ndices de Sobolev definida em (6). Então, existem um tempo positivo

T = T ku0 kκ , kv0 ks , um parâmetro real b = b(κ, s) > 1/2 e uma única solução

u(·, t), v(·, t) de (1.1), definida em [0, T ], que satisfaz as seguintes condições:
(1.11)
(1.12)

ψT (·)u ∈ X κ,b

e ψT (·)v ∈ Xas,b ,

(u, v) ∈ C [0, T ]; H κ × H s .

Além disso, para todo 0 < T 0 < T , existe uma vizinhança U 0 × V 0 de (u0 , v0 ) no
espaço H κ × H s tal que a aplicação (u0 , v0 ) 7−→ (u(·, t), v(·, t)), definida em U 0 × V 0 ,
é Lipschitziana substituindo T por T 0 .
As demais partes do capı́tulo estão estruturadas do seguinte modo. Primeiro apresentaremos alguns resultados preliminares e propriedades básicas dos espaços de Bourgain.
Em seguida, provaremos estimativas bilineares ótimas, nesses espaços, que serão cruciais para obter a teoria local descrita no Teorema 1.1, cuja prova será exibida na Seção
1.6. Finalmente, na Seção 1.7, comentaremos alguns pontos importantes com relação
aos resultados obtidos.
9

Observação 1.2 No final do capı́tulo discutimos os resultados para os casos em que

(p, q) ∈ (−1, −1), (1, −1), (−1, 1) .

1.2

Resultados preliminares

Nesta seção apresentamos alguns elementos básicos de cálculo e algumas estimativas
lineares em espaços de Bourgain que serão de utilidade na obtenção dos resultados
principais.
Começamos com os cálculos elementares descritos a seguir.
Lema 1.1 Sejam p, q > 0 e r = min{p, q}. Se p + q > 1 + r então existe uma
constante C, dependendo de p e q, tal que
Z +∞
dx
C
(1.13)
≤
.
p
q
hα − βir
−∞ hx − αi hx − βi
Além disso, se q >

1
então existe uma constante C, dependendo de q, tal que
2

Z +∞
(1.14)
−∞

dx
≤ C para quaisquer α0 , α1 ∈ R.
hα0 + α1 x + x2 iq

Demonstração: Uma prova detalhada das estimativas (1.13)-(1.14) pode ser encontrada em [14].
Prosseguimos com duas propriedades básicas dos espaços de Bourgain.
Lema 1.2 Seja s ∈ R. Valem as seguintes afirmações:
(1.15)

kf kX s,b0 (φ) ≤ kf kX s,b (φ) ,

para todo b0 ≤ b.

(1.16)

X s,b (φ) ,→ C R; H s

para todo b > 1/2.



Demonstração: A primeira desigualdade segue diretamente da definição do espaço de
Bourgain. A segunda propriedade decorre do teorema de imersão de Sobolev na reta,
com relação à variável temporal.
Finalizamos com um importante resultado referente a estimativas lineares para o grupo
Wφ (t), definido por (1.8). Esses resultados foram estabelecidos por Ginibre, Tsutsumi
e Velo, no artigo [15], para obter resultados de boa colocação local no contexto do
sistema de Zakharov.
10

Lema 1.3 Sejam b0 , b e T números reais tais que −
0 < T ≤ 1. Então, valem as seguintes desigualdades:

1
< b0 ≤ 0 ≤ b ≤ b0 + 1 e
2

kψ1 (t)Wφ (t)w0 kX s,b (φ) ≤ c kw0 kH s ,

(1.17)

Z t
ψT (t)

(1.18)

0

Wφ (t − t0 )F (t0 , ·)dt0

0

≤ cT 1−b+b kF kX s,b0 (φ) .
X s,b (φ)

Demonstração: A prova pode ser encontrada, por exemplo, no artigo [15].

1.3

Estimativas bilineares

Com o objetivo de aplicar o método de ponto fixo para obter soluções em espaços de
Bourgain para o sistema de equações integrais (1.3) será necessário usar a desigualdade
(1.18) no caso das não-linearidades F1 (u, v) = ūv e F2 (u, w) = uw, com os grupos
gerados por φ1 (ξ) = ξ 2 e φ2 (ξ) = aξ 2 , respectivamente. Com o objetivo da técnica
ter sucesso será crucial deduzir estimativas bilineares para Fj (j = 1, 2) em espaços de
Bourgain adequados, isto é, deveremos obter desigualdades do tipo:
(1.19)

kūvkX κ,−d ≤ ckukX κ,b · kvkXas,b

e
(1.20)

kuwkXas,−d ≤ ckukX κ,b · kwkX κ,b ,

onde lembramos que a = 1/σ. De maneira mais precisa, provaremos as duas proposições
a seguir, que são os resultados mais importantes desta seção.
Proposição 1.1 Sejam u ∈ X κ,b e v ∈ Xas,b com κ, s ∈ R, verificando uma das
condições:
(a) s > |κ| − 1 quando 0 < a < 1/2 ⇐⇒ σ > 2;
(b) s > |κ| − 1/2 quando a > 1/2 ⇐⇒ 0 < σ < 2;
(c) s > |k| quando a = 1/2 ⇐⇒ σ = 2.
Então, existem parâmetros b = b(κ, s) ∈
estimativa (1.19) é válida.
11

1 3
,
2 4



e d = d(κ, s) ∈

1 1
,
4 2



tais que a

Proposição 1.2 Sejam u, w ∈ X κ,b e κ, s ∈ R, verificando uma das condições:

(a) s < min κ + 1, 2κ + 1 quando 0 < a < 1/2 ⇐⇒ σ > 2;

(b) s < min κ + 1/2, 2κ + 1/2

quando a > 1/2 ⇐⇒ 0 < σ < 2;

(c) κ ≥ 0 e s ≤ κ quando a = 1/2 ⇐⇒ σ = 2.

Então, existem parâmetros b = b(κ, s) ∈ 12 , 43 e d = d(κ, s) ∈

1 1
,
4 2



tais que a

estimativa (1.20) é válida.
As figuras 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 e 1.6 apresentam regiões planares de ı́ndices de Sobolev (κ, s) onde as estimativas (1.19) e (1.20) são válidas em cada um dos casos do
parâmetro a = 1/σ.
s

=

κ

+

1

s

s

s

=

|κ
|−

1

(Caso: σ > 2)
s = 2κ + 1

κ

κ

Figura 1.1: Região onde a estimativa

Figura 1.2: Região onde a estimativa

(1.19) é válida no caso 0 < a < 1/2.

(1.20) é válida no caso 0 < a < 1/2.

s

s

s

=

|κ
|−

1/
2

(Caso: 0 < σ < 2)

=

κ

+

1/
2

s

s = 2κ + 1/2

κ

κ

Figura 1.3: Região onde a estimativa

Figura 1.4: Região onde a estimativa

(1.19) é válida no caso a > 1/2.

(1.20) é válida no caso a > 1/2.

12

Observação 1.3 Pode-se notar que, em cada caso de localização do parâmetro σ, a
interseção das regiões exibidas, nas correspondentes figuras, dá lugar à respectiva
região de boa colocação local encontrada para o sistema (1.1). Ou seja, as interseções
dessas regiões dão lugar às figuras 1, 2 e 3, exibidas na introdução do texto.

s

s

s

=

s

|κ
|

=

κ

(Caso: σ = 2)

κ

κ

Figura 1.5: Região onde a estimativa

Figura 1.6: Região onde a estimativa

(1.19) é válida no caso a = 1/2.

(1.20) é válida no caso a = 1/2.

As próximas seções deste capı́tulo serão dedicadas às provas das Proposições 1.1 e 1.2.

1.4

Demonstração da Proposição 1.1

Esta seção será dedicada à demonstração da Proposição 1.1. A prova será dividida em
3 partes, cada uma delas atendendo às particularidades técnicas do problema de acordo
com a localização do parâmetro de dispersão da segunda equação, isto é, estudaremos
separadamente, e nessa ordem, os casos: 0 < a < 1/2, a > 1/2 e a = 1/2. Antes
de entrar nos detalhes técnicos de cada caso, provaremos um resultado auxiliar que
permite substituir a demonstração da estimativa (1.19) pela análise da convergência de
certas integrais em diferentes regiões de R4 .
Lema 1.4 Sejam b > 1/2, d > 1/4 e R1 , R2 , R3 subconjuntos do espaço R4 tais que
R4 = R1 ∪ R2 ∪ R3 . A fim de provar a validade da desigualdade (1.19) é suficiente
mostrar que as 3 expressões a seguir são limitadas:
Z +∞
1
hξ2 i−2s+2|κ| χR1
J1 (ξ, τ ) =
dξ2 ;
hτ + ξ 2 i2d −∞ hτ − (a − 1)ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
13

Z +∞
1
hξ2 i−2s+2|κ| χR2
J2 (ξ2 , τ2 ) =
dξ;
hτ2 + aξ22 i2b −∞ hτ2 + 2ξ 2 + ξ22 − 2ξξ2 i2d
Z +∞
hξ2 i−2s+2|κ| χR3
1
dξ2 .
J3 (ξ1 , τ1 ) =
hτ1 − ξ12 i2b −∞ hτ1 − aξ22 + ξ 2 i2d
Demonstração: Primeiramente fazemos as mudanças
(1.21)

f (ξ, τ ) = hτ − ξ 2 ib hξiκ ūˆ(ξ, τ )

e g(ξ, τ ) = hτ + aξ 2 ib hξis vb(ξ, τ ),

de modo que as normas em espaços de Bourgain podem ser trocadas pela norma do
espaço L2 (R2 ), ou seja
kukX κ,b = kf kL2ξ,τ

(1.22)

e

kvkXas,b = kgkL2ξ,τ .

De modo a simplificar expressões muito extensas, vamos adotar a seguinte notação:
(
τ = τ1 + τ2 , ξ = ξ1 + ξ2 ,
(1.23)
ρ = τ + ξ 2 , ρ1 = τ1 − ξ12 , ρ2 = τ2 + aξ22 .
Assim, usando argumento de dualidade combinado com (1.21), (1.22) e (1.23) tem-se
c̄ τ ) 2
kūvkX κ,−d = hτ + ξ 2 i−d hξiκ uv(ξ,
L

ξ,τ

= hτ + ξ 2 i−d hξiκ (ūˆ ∗ v̂)(ξ, τ ) L2
ξ,τ
Z
hξiκ
b̄ ∗ vb(ξ, τ )ϕ(ξ, τ )dξdτ
u
= sup
2 d
kϕkL2 ≤1
R2 hτ + ξ i
ξ,τ
Z

Z
hξiκ
g(ξ2 , τ2 )
f (ξ1 , τ1 )
·
dξ2 dτ2 ϕ(ξ, τ )dξdτ
= sup
d
κ
b hξ iκ hρ ib
2
2
kϕkL2 ≤1
R2 hρi
R2 hξ1 i hρ1 i
ξ,τ
Z
hξiκ hξ1 i−κ hξ2 i−s
= sup
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dξ2 dτ2 dξdτ
d
b
b
kϕkL2 ≤1
R4 hρi hρ1 i hρ2 i
ξ,τ

=

|W (f, g, ϕ)| ,

sup
kϕkL2

ξ,τ

≤1

onde W (f, g, ϕ) é o funcional
Z
hξiκ hξ1 i−κ hξ2 i−s
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dξ2 dτ2 dξdτ.
(1.24)
W (f, g, ϕ) =
d
b
b
R4 hρi hρ1 i hρ2 i
Assim, para obter a estimativa (1.19) é suficiente provar que o funcional W é limitado,
ou seja, que existe uma constante c, dependendo apenas de b e d, tal que
(1.25)

|W (f, g, ϕ)| ≤ ckf kL2 kgkL2
14

para toda função ϕ com kϕkL2 ≤ 1.
A restrição da integração do funcional W a cada uma das regiões Ri será denotada por
Z
hξiκ hξ1 i−κ hξ2 i−s
Wi (f, g, ϕ) =
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dξ2 dτ2 dξdτ,
d
b
b
Ri hρi hρ1 i hρ2 i
de onde segue-se que |W | ≤ |W1 |+|W2 |+|W3 |. Assim, vamos estimar separadamente
cada Wi .
Começamos estimando o funcional W1 . Para tal estimativa usaremos a notação d~ν =
dξdτ e d~ν2 = dξ2 dτ2 .
Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz com relação às variáveis (ξ, τ ), tem-se
Z
2
hξiκ hξ1 i−κ hξ2 i−s
2
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )d~ν2 d~ν
|W1 | =
d
b
b
R1 hρi hρ1 i hρ2 i
Z
2
hξiκ
hξ1 i−κ hξ2 i−s
≤
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )χR1 d~ν2
· kϕk2L2
(1.26)
d
b
b
ξ,τ
hρi R2 hρ1 i hρ2 i
L2ξ,τ
Z
Z
2
hξ1 i−κ hξ2 i−s
hξi2κ
f
(ξ
,
τ
)g(ξ
,
τ
)χ
d~
ν
≤
1 1
2 2
R1
2 dξdτ.
2d
b
b
R2 hρ1 i hρ2 i
R2 hρi
Na última expressão de (1.26) podemos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz
com relação às variáveis ~ν2 = (ξ2 , τ2 ), e depois o Teorema de Fubini, para obtermos
Z

Z
Z
hξ1 i−2κ hξ2 i−2s
hξi2κ
2
2
χR1 d~ν2
|f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )| d~ν2 d~ν
|W1 | ≤
2d
2b
2b
R2 hρ1 i hρ2 i
R2 hρi
R2

Z
Z
Z
hξ1 i−2κ hξ2 i−2s
hξi2κ
2
2
|f (ξ1 , τ1 )|
χR1 d~ν2 d~ν d~ν2
=
|g(ξ2 , τ2 )|
2d
2b
2b
R2 hρ1 i hρ2 i
R2
R2 hρi
Z
Z
2
f
≤ sup |W1 (ξ, τ )|
|g(ξ2 , τ2 )| d~ν2
|f (ξ − ξ2 , τ − τ2 )|2 d~ν ,
ξ,τ ∈R

R2

onde

R2

hξ1 i−2κ hξ2 i−2s
χR1 d~ν2 .
2b
2b
R2 hρ1 i hρ2 i

2κ Z

f1 (ξ, τ ) = hξi
W
hρi2d

Portanto,
(1.27)

2

|W1 |

≤ kf k2L2 kgk2L2

hξi2κ
hρi2d

hξ1 i−2κ hξ2 i−2s
2b
2b
R2 hρ1 i hρ2 i

Z


χR1 d~ν2

.
L∞
ξ,τ

Procedendo de forma análoga, concluı́mos que
Z

hξ2 i−2s
hξ1 i−2κ hξi2κ
2
2
2
(1.28)
|W2 | ≤ kf kL2 kgkL2
χR2 d~ν
2b
2d
hρ2 i2b
R2 hρ1 i hρi
L∞

ξ2 ,τ2

15

,

e
2

|W3 |

(1.29)

hξ1 i−2κ
hρ1 i2b

≤ kf k2L2 kgk2L2

hξi2κ hξ2 i−2s
χR3 d~ν2
2d
2b
R2 hρi hρ2 i

Z


.
L∞
ξ ,τ
1

1

O Lema 1.14 e a desigualdade hξi2κ hξ1 i−2κ ≤ hξ2 i2|κ| nos permitem chegar às seguintes
estimativas:
hξ1 i−2κ hξ2 i−2s
χ d~ν2 ≤ J1 (ξ, τ ),
2 2b R1
2 2b
R2 hτ1 − ξ1 i hτ2 + aξ2 i

(1.30)

hξi2κ
hτ + ξ 2 i2d

Z

(1.31)

hξ2 i−2s
hτ2 + aξ22 i2b

hξ1 i−2κ
hτ1 − ξ12 i2b

Z

Z

hξ1 i−2κ hξi2κ
χ d~ν ≤ J2 (ξ2 , τ2 ),
2 2b
2 2d R2
R2 hτ1 − ξ1 i hτ + ξ i

e
(1.32)

hξi2κ hξ2 i−2s χR3
d~ν2 ≤ J3 (ξ1 , τ1 ),
2 2b
2 2d
R2 hτ + ξ i hτ2 + aξ2 i

onde
1
J1 (ξ, τ ) =
hτ + ξ 2 i2d

Z +∞
−∞

1
J2 (ξ2 , τ2 ) =
hτ2 + aξ22 i2b
1
J3 (ξ1 , τ1 ) =
hτ1 − ξ12 i2b

hξ2 i−2s+2|κ| χR1
dξ2 ,
hτ − (a − 1)ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b

Z +∞
−∞

Z +∞
−∞

hξ2 i−2s+2|κ| χR2
dξ,
hτ2 + 2ξ 2 + ξ22 − 2ξξ2 i2d

hξ2 i−2s+2|κ| χR3
dξ2 .
hτ1 − aξ22 + ξ 2 i2d

Portanto, combinando (1.27), (1.28) e (1.29) com (1.30), (1.31) e (1.32), respectivamente, a prova da estimativa bilinear (1.19) segue da limitação de J1 , J2 e J3 , conforme
anunciado.
As próximas subseções serão dedicadas a estimar as expressões Ji , i = 1, 2, 3, nas
diferentes situações do parâmetro a.

1.4.1

Prova no caso: 0 < a < 1/2 ⇔ σ > 2

Uma análise cuidadosa da relação de dispersão, dada por
(1.33)

ρ − ρ1 − ρ2 = ξ 2 + ξ12 − aξ22 ,
16

será crucial para fazer a escolha das regiões Ri , i = 1, 2, 3. Segue de (1.33) que
|ρ − ρ1 − ρ2 | = |(1 − a)(ξ 2 + ξ12 ) − 2aξξ1 |
≥ |1 − a|(ξ 2 + ξ12 ) − 2a|ξξ1 |,

(1.34)

≥ (1 − a)(ξ 2 + ξ12 ) − a(ξ 2 + ξ12 )
= (1 − 2a)(ξ 2 + ξ12 ),

onde 1 − 2a > 0 na última igualdade.

A relação ξ2 = ξ − ξ1 nos dá que |ξ2 | ≤ |ξ| + |ξ1 | ≤ 2 max |ξ|, |ξ1 | . Assim, usando
(1.34) obtemos a desigualdade


1 − 2a 2
3 max |ρ|, |ρ1 |, |ρ2 | ≥ (1 − 2a) max ξ 2 , ξ12 ≥
ξ2 .
4
Portanto, assumindo que |ξ2 | ≥ 1 teremos
ca
1

≤ 2.
ξ2
max |ρ|, |ρ1 |, |ρ2 |

(1.35)


Denotamos por ρmax = max |ρ|, |ρ1 |, |ρ2 | e fazemos a escolha das regiões Ri do
modo seguinte:
(1.36)
(1.37)
(1.38)

n
o
R1 = (ξ, τ, ξ2 , τ2 ) ∈ R4 ; |ξ2 | ≤ 1 ou |ξ2 | ≥ 1 e ρmax = |ρ| ;
n
o
R2 = (ξ, τ, ξ2 , τ2 ) ∈ R4 ; |ξ2 | ≥ 1 e ρmax = |ρ1 | ;
n
o
4
R3 = (ξ, τ, ξ2 , τ2 ) ∈ R ; |ξ2 | ≥ 1 e ρmax = |ρ2 | .

Mostraremos a seguir que J1 , definido em (1.30), é limitado. Com efeito,
Z
1
dξ2
J1 ≤
2
2d
2 2b
hρi
|ξ2 |≤1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
hξ2 i−2s+2|κ|−4d χR1
+
dξ2
2
2 2b
|ξ2 |≥1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
= J1,1 + J2,2 .
A primeira integral verifica
1
J1,1 ≤
hρi2d

Z +∞
−∞

dξ2
≤ c,
hτ − (a − 1)ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
17

pois b > 1/2. Por outro lado,
hξ2 i−2s+2|κ|−4d χR1
J1,2 =
dξ2 .
2
2 2b
|ξ2 |≥1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z

Assim, tomando d tal que
J1,2 ≤ c, logo

1
|κ| − s
≤ d < (o que é possı́vel se s > |κ| − 1) temos que
2
2
J1 = J1,1 + J1,2 ≤ c.

Para mostrar que J2 é limitado observamos que
Z +∞
J2 ≤
−∞

Então, escolhendo b tal que b >
Z
J2 ≤

hξ2 i−2s+2|κ|−4b χR2
dξ.
hτ2 + 2ξ 2 + ξ22 − 2ξξ2 i2d

1
|κ| − s
≥
(o que é possı́vel se s ≥ |κ| − 1) temos
2
2
dξ

2
2
2d
R hτ2 + 2ξ + ξ2 − 2ξξ2 i

≤ c.

desde que d > 1/4.
A estimação para J3 segue de forma análoga ao precedimento usado para estimar J2 e
assim encerramos a demonstração desta Proposição no caso 0 < a < 1/2.
Observação 1.4 É importante notar que a restrição d > 1/4 no enunciado da Proposição 1.1 apareceu naturalmente no processo de estimação. As restrições b > 1/2 e
d < 1/2 são impostas para futura utilidade na aplicação do Teorema do Ponto Fixo e
em particular, b > 1/2, para garantir o mergulho dos espaços de Bourgain na classe
das funções contı́nuas. Por último, como faremos uso do Lema 1.3 com b0 = −d
deveremos ter b ≤ 1 − d < 1 − 1/4 = 3/4, de onde segue a restrição b < 3/4. Estas
ponderações se aplicam aos próximos casos.

1.4.2

Prova no caso: a > 1/2 ⇔ 0 < σ < 2

De forma análoga ao que fizemos na subseção anterior, vamos começar analisando a
relação de dispersão.
18

É fácil ver que
|ρ − ρ1 − ρ2 | = |ξ 2 + ξ12 − aξ22 |
1
temos
2
√
1 − 2a − 1
= 2|ξ − µa ξ2 | · |ξ − (1 − µa )ξ2 |, onde µa =
.
2

≥ |2ξ 2 − 2ξξ2 + (1 − a)ξ22 |, usando a ≥

Observe que a relação de dispersão acima tem duas regiões de singularidade, a saber,
as retas ξ = µa ξ2 e ξ = (1 − µa )ξ2 o que dificulta o aproveitamento da mesma. Observe
1
1
1
que se a = então µa = 1 − µa = e se a = 1 então µa = 0 (o caso a = será
2
2
2
tratado separadamente, já o caso a = 1, não necessita de tamanha atenção apesar de ser
o caso sem modificação).
Agora, vamos definir as regiões Ri . Antes, considere
A1 = {|ξ2 | ≤ 1} ⊂ R4 ,


2a − 1
|ξ2 | ⊂ R4 ,
A2 =
|ξ2 | ≥ 1, |(1 − a)ξ2 − ξ| >
4


1
2a − 1
A3 =
|ξ2 | ≥ 1, ξ − ξ2 >
|ξ2 | ⊂ R4 .
2
4
2a − 1
2a − 1
1
|ξ2 | e |(1 − a)ξ2 − ξ| ≤
|ξ2 | e ainda |ξ2 | ≥ 1
Note que se ξ − ξ2 ≤
2
4
4
então




1
1
a−
|ξ2 | =
ξ − ξ2 + ((1 − a)ξ2 − ξ)
2
2


2a − 1
1
1
2a − 1
|ξ2 | +
|ξ2 | =
a−
|ξ2 |.
≤
4
4
2
2
Daı́, se tomarmos elementos que estão nos complementares dos conjuntos A1 , A2 e
A3 chegaremos a conclusão que 1 ≤ 1/2 o que nos leva a um absurdo, ou seja, R4 ⊂
A1 ∪ A2 ∪ A3 .
Considere agora
A3,1 = A3 ∩ {|ρ| ≥ max{|ρ1 |, |ρ2 |}} ,
A3,2 = A3 ∩ {|ρ2 | ≥ max{|ρ1 |, |ρ|}} ,
A3,3 = A3 ∩ {|ρ1 | ≥ max{|ρ|, |ρ2 |}} .
19

Lembre que |2ξ 2 + ξ22 − 2ξξ2 | ≤ 3 max{|ρ|, |ρ1 |, |ρ2 |}.
Sejam R1 = A1 ∪ A2 ∪ A3,1 , R2 = A3,2 e R3 = A3,3
Mostremos que J1 é limitado. De fato, se |ξ2 | ≤ 1 então J1 é equivalente a
Z
1
1
dξ2 ≤ c.
2
hρi2d |ξ2 |≤1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
Se |ξ2 | ≥ 1 então J1 é limitado por
Z
1
hξ2 i−2s+2|κ| χA2
dξ2 .
hρi2d |ξ2 |≥1 hτ − (a − 1)ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
Fazendo a mudança de variável η = τ − (a − 1)ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 , temos que
dη = −2 ((1 − a)ξ2 − ξ) dξ2
e, usando o fato de que |κ| − s ≤ 1/2 vem
1
hρi2d

Z
1
hξ2 i−2s+2|κ| χA2
hξ2 i−2s+2|κ|−1 χA2
dξ
≤
c
dη
2
2
2 2b
hρi2d |ξ2 |≥1
hηi2b
|ξ2 |≥1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
1
1
≤ c 2d
dη ≤ c.
2b
hρi
R hηi

Z

Observe agora que em A3,1 temos:




1
1
2a − 1
1
− a ξ2 ≥ a −
|ξ2 | ≥ c|ξ2 |.
|(1 − a)ξ2 − ξ| = ξ2 − ξ +
|ξ2 | −
2
2
2
4
Para concluir a limitação de J1 basta estimar
1
hρi2d

Z
hξ2 i−2s+2|κ| χA3,1
hξ2 i−2s+2|κ|−1 χA3,1
1
dξ
≤
c
dη
2
2
2 2b
hρi2d |ξ2 |≥1
hηi2b
|ξ2 |≥1 hτ − (a − 1)ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
1
1
dη ≤ c.
≤ c 2d
2b
hρi
R hηi

Z

Para mostrar que J2 é limitado basta observar que
1
hτ + aξ 2 i2b

Z
hξ2 i−2s+2|κ| χA3,2
hξ2 i−2s+2|κ| χR2
1
dξ =
dξ
2
2
2d
hρ2 i2b R hτ2 + 2ξ 2 + ξ22 − 2ξξ2 i2d
R hτ2 + 2ξ + ξ2 − 2ξξ2 i
Z
1
hξ2 i−2s+2|κ|−1
≤
dη
hρ2 i2b hηi≤4hρ2 i
hηi2d
1
≤
.
hρ2 i2b−2d

Z

20

Na primeira desigualdade acima fizemos a mudança de variável η = τ2 +2ξ 2 +ξ22 −2ξξ2
e usamos o fato seguinte
|η| = |ρ2 + (ρ − ρ1 − ρ2 )| ≤ 4|ρ2 |.
Resta-nos mostrar J3 . Fazendo uso do argumento apresentado acima obtemos
Z
Z
hξ2 i−2s+2|κ| χA3,3
1
hξ2 i−2s+2|κ| χR3
1
dξ
=
dξ2
2
hτ − ξ12 i2b R hτ1 − aξ22 + ξ 2 i2d
hρ1 i2b |ξ2 |>1 hτ1 − aξ22 + ξ 2 i2d
Z
hξ2 i−2s+2|κ|−1
1
≤
dη
hρ1 i2b hηi≤4hρ1 i
hηi2d
1
≤
.
hρ1 i2b−2d
Observe que usamos o fato que τ1 − aξ22 + ξ 2 = ρ1 + (ρ − ρ1 − ρ2 ).
1
Isso encerra a demonstração da Proposição no caso a > .
2


1.4.3

Prova no caso: a = 1/2 ⇔ σ = 2

Como nos outros casos, iniciamos observando que
|ρ − ρ1 − ρ2 | =
=

1
ξ 2 + ξ12 − ξ22
2
1
2ξ 2 + 2ξξ2 + ξ22
2
2

1
= 2 ξ + ξ2 .
2
Neste caso, não temos como aproveitar a relação de dispersão, veremos que os resultados obtidos de má - colocação justificam este fato.
Sendo assim, consideremos R1 = R4 e R2 = R3 = ∅. Assim, resta mostrar que J1 é
limitado.
Se |κ| ≤ s então J1 (1.30) é equivalente a
Z
1
1
dξ2 ≤ c,
1 2
2d
2 2b
hρi
|ξ2 |≤1 hτ − 2 ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
pois b > 1/2 e d > 0. Com isso, encerramos a demonstração da proposição.
21

Observação 1.5 Neste caso não foi possı́vel aproveitar a relação de dispersão para
ganhar regularidade. Pensando na relação de dispersão como um polinômio do segundo grau na variável ξ tendo seus coeficientes dependendo de ξ2 , isto é,
p(ξ) = 2ξ 2 − 2ξξ2 + (1 − a)ξ22 ,
observamos que o fato da constante positiva a está entre zero e meio implica que p não
admite raı́zes reais e com isso podemos aproveitar o grau de p para ganhar regulari1
dade. Já no caso que a > , onde p admite duas raı́zes reais diferentes, foi possı́vel,
2
separando as raı́zes, aproveitar o grau de cada fator do polinômio p fatorado. Por fim,
1
no caso a = temos uma raiz com multiplicidade dois e neste caso não foi possı́vel
2
aproveitar a relação de dispersão.

1.5

Demonstração da Proposição 1.2

Dedicamos esta seção à demonstração da Proposição 1.2. Seguindo o raciocı́nio da
seção anterior, a prova será dividida em três partes, cada uma delas analisando um
intervalo de definição para a constante a definida em (1.2). Antes de entrar nos detalhes técnicos de cada caso, provaremos um resultado auxiliar que permiti substituir a
demonstração da estimativa (1.20) pela prova da convergência de certas integrais em
diferentes regiões de R4 .
Lema 1.5 Sejam b > 1/2, d > 1/4 e S1 , S2 , S3 subconjuntos do R4 tais que R4 =
S1 ∪ S2 ∪ S3 . Afim de provar a validade da desigualdade (1.20) é suficiente mostrar
que as três expressões a seguir são limitadas:
Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS1
J4 =
dξ2 ;
hλi2d R hτ + ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS2
J5 =
dξ;
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d
Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS3
dξ2 .
J6 =
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
Demonstração: As regiões S1 , S2 e S3 serão definidas posteriormente, pois dependem
do valor de a.
Vamos definir f (ξ, τ ) = hτ + ξ 2 ib hξiκ u
b(ξ, τ ) e g(ξ, τ ) = hτ + ξ 2 ib hξis w(ξ,
b τ ).
22

Note que kf kL2ξ,τ = kukX κ,b e kgkL2ξ,τ = kwkX s,b .
Afim de simplificar a notação adotaremos, no que segue, d~ν = dξdτ e dν~2 = dξ2 dτ2 .

= hτ + aξ 2 i−d hξis u[
· w(ξ, τ ) L2

ku · wkXas,−d

ξ,τ

2 −d

s

= hτ + aξ i hξi u
b ∗ w(ξ,
b τ ) L2
ξ,τ
Z
s
hξi
u
b ∗ w(ξ,
b τ ) · ϕ(ξ, τ )d~ν
= sup
2 d
kϕkL2 ≤1
R2 hτ + aξ i
ξ,τ

Z
Z
hξis
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )dν~2
· ϕ(ξ, τ )d~ν
= sup
2 b
2 b
s
2 d
κ
kϕkL2 ≤1
R2 hτ + aξ i
R2 hξ1 i hτ1 + ξ1 i hξ1 i hτ2 + ξ2 i
ξ,τ
Z
hξis hξ1 i−κ hξ2 i−κ
= sup
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dν~2 d~ν .
2 b
2 b
2 d
kϕkL2 ≤1
R4 hτ + aξ i hτ1 + ξ1 i hτ2 + ξ2 i
ξ,τ

Repetindo as ideias do lema 1.4 vemos que estimar ku · wkXas,−d equivale a provar que
(1.39)

hξis hξ1 i−κ hξ2 i−κ
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dν~2 d~ν
2 b
2 b
2 d
R4 hτ + aξ i hτ1 + ξ1 i hτ2 + ξ2 i

Z
|W (f, g, ϕ)| =

é limitado por uma constante vezes o produto das normas L2 de f, g e ϕ.
Para simplificar, vamos adotar a seguinte notação:
(
τ = τ1 + τ2 , ξ = ξ1 + ξ2
(1.40)
λ = τ + aξ 2 , λ1 = τ1 + ξ12 , λ2 = τ2 + ξ22 .
Procedendo de forma análoga temos que R4 ⊂ S1 ∪ S2 ∪ S3 .
Assim, |W | ≤ Z|W1 | + |W2 | + |W3 |, onde
hξis hξ1 i−κ hξ2 i−κ
f (ξ1 , τ1 )g(ξ2 , τ2 )ϕ(ξ, τ )dξ2 dτ2 dξdτ . Daı́,
Wi (f, g, ϕ) =
d
b
b
Si hλi hλ1 i hλ2 i

(1.41)

(1.42)

2

|W1 | ≤ kf kL2 kgkL2 kϕkL2

2

|W2 | ≤ kf kL2 kgkL2 kϕkL2

hξi2s
hλi2d

hξ2 i−2κ
hλ2 i2b
23

hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS1
dξ2 dτ2
hλ1 i2b hλ2 i2b
R2

Z

hξi2s hξ2 i−2κ χS2
dξdτ
hλi2d hλ1 i2b
R2

Z


,
L∞
ξ,τ


L∞
ξ ,τ
2

2

e
2

(1.43) |W3 | ≤ kf kL2 kgkL2 kϕkL2

hξ1 i−2κ
hλ1 i2b

hξi2s hξ2 i−2κ χS3
dξ2 dτ2
hλi2d hλ2 i2b
R2

Z


.
L∞
ξ ,τ
1

1

Mais uma vez, fazendo uso das desigualdades de Hölder e de Cauchy-Schwarz, obtemos
hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS1
dξ2 dτ2 ≤ J4 ,
hλ1 i2b hλ2 i2b
R2

(1.44)

hξi2s
hλi2d

Z

(1.45)

hξ2 i−2κ
hλ2 i2b

(1.46)

hξ1 i−2κ
hλ1 i2b

hξi2s hξ2 i−2κ χS3
dξ2 dτ2 ≤ J6 .
hλi2d hλ2 i2b
R2

Z

hξi2s hξ1 i−2κ χS2
dξdτ ≤ J5 ,
hλi2d hλ1 i2b
R2

Z

onde
1
J4 =
hλi2d

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS1
dξ2 ,
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS2
dξ e
2
2
2d
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i

1
J5 =
hλ2 i2b

Z

1
J6 =
hλ1 i2b

Z

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χS3
dξ2 .
hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
R

Por fim, combinando (1.41), (1.42) e (1.43) com (1.44), (1.45) e (1.46), respectivamente, a prova da estimativa (1.20) segue das limitação de J4 , J5 e J6 . Encerrando
assim a prova do lema.


Seguiremos esta seção separando os casos 0 < a < 1/2, a > 1/2 e a = 1/2.
24

1.5.1

Prova no caso: 0 < a < 1/2 ⇔ σ > 2

Analisando cuidadosamente a relação de dispersão, dada por
λ − λ1 − λ2 = aξ 2 − ξ12 − ξ22 ,

(1.47)

obtemos informações de grande valia para a escolha de S1 , S2 e S3 .

|λ − λ1 − λ2 | = |aξ 2 − ξ12 − ξ22 |
= |(1 − a)(ξ12 + ξ22 ) − 2aξ1 ξ2 |
1
2
2
2
2
2
2
2
≥ (1 − a)(ξ1 + ξ2 ) − a(ξ1 + ξ2 ) = (1 − 2a)(ξ1 + ξ2 ).
≥ |1 − a|(ξ12 + ξ22 ) − 2a|ξ1 ξ2 |, assumindo 0 < a <

Como ξ = ξ1 + ξ2 , temos que |ξ| ≤ |ξ1 | + |ξ2 | ≤ 2 max{ξ1 , ξ2 }.
Daı́,
3 max{|λ|, |λ1 |, |λ2 |} ≥ (1 − 2a) max{ξ12 , ξ22 } ≥

1 − 2a 2
ξ .
4

Assim, assumindo que |ξ| ≥ 1, teremos
c
1
≤ 2.
max{|λ|, |λ1 |, |λ2 |}
|ξ|
Agora, vamos definir as regiões Si .

 

(1.48)
S1 = |ξ| ≥ 1, |λ| = max{|λ|, |λ1 |, |λ2 |} ∪ |ξ| ≤ 1 ⊂ R4ξ,τ,ξ2 ,τ2 ,


(1.49)

S2 =


(1.50)

S3 =


|ξ| ≥ 1, |λ1 | = max{|λ|, |λ1 |, |λ2 |} ⊂ R4ξ,τ,ξ2 ,τ2 ,


|ξ| ≥ 1, |τ2 + ξ | = max{|λ|, |λ1 |, |λ2 |} ⊂ R4ξ,τ,ξ2 ,τ2 .
2

Para k ≥ 0 temos hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi−2κ e neste caso teremos
hξi2s−2κ+4d χS1
dξ2 .
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z
(1.51)

J4 ≤

25

Com isso J4 é limitado pois s − κ + 2d < 0, para s − κ < 2d.
Note que J5 e J6 são equivalentes pois,
Z
hξi2s−2κ−4b χS2
(1.52)
J5 ≤
dξ
2
2d
2
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i
e

hξi2s−2κ−4b χS3
dξ2 ,
2 2d
2
R hτ1 + aξ + ξ2 i

Z
J6 ≤

(1.53)

1
3
s−κ
< b e d > , isto é, b < .
2
4
4
No caso k < 0 precisamos separar em subcasos como segue:
que são limitados desde que

(a) Suponha |ξ1 | ≤
|ξ1 | + |ξ| ≤

2
|ξ2 |: Então, hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξ2 i−4k . Além disso, |ξ2 | ≤
3

2|ξ2 |
+ |ξ|, logo |ξ2 | ≤ 3|ξ|. Portanto,
3

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
2
(b) Supondo |ξ2 | ≤ |ξ1 | temos o mesmo resultado, ou seja,
3
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
2
3
(c) Resta o caso, |ξ2 | < |ξ1 | < |ξ2 |.
3
2
2
3
5
5
(c.i) Se ξ1 , ξ2 ≥ 0 então ξ2 < ξ1 < ξ2 =⇒ ξ2 < ξ < ξ2 . Daı́,
3
2
3
2
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
−3
−5
−5
−2
(c.ii) Se ξ1 , ξ2 ≤ 0 então
ξ2 < −ξ1 <
ξ2 =⇒
ξ2 < −ξ <
ξ2 , com
3
2
3
2
3
isso |ξ2 | < |ξ|. Logo,
5
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
−2
−3
1
−1
(c.iii) Se ξ1 > 0 e ξ2 < 0 então
ξ2 < ξ1 <
ξ2 =⇒ ξ2 < ξ <
ξ2 , o que
3
2
3
2
1
nos dá |ξ| < |ξ2 |.
2
26

3
−1
1
2
ξ2 < −ξ < ξ2 , com
(c.iv) Se ξ1 < 0 e ξ2 > 0 então ξ2 < −ξ1 < ξ2 =⇒
3
2
3
2
1
isso |ξ| < |ξ2 |.
2
Os casos (a), (b), (c.i) e (c.ii) são válidos para κ < 0 e s < 2κ + 1.
Com efeito, seja A ⊂ R4 o conjunto dos elementos do R4 que satisfazem uma das
condições (a), (b), (c.i) ou (c.ii), seja B = R4 \ A.
Considere agora Ai = Si ∩ A e Bi = Si ∩ B.
Analisando as restrições a Ai , obtemos:
Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB1
J4
=
dξ2
hλi2d R hτ + ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
Z
hξi2s−4k−4d χA1
≤
dξ2 .
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Então J4 é limitado para s ≤ 2κ + 2d e b < 3/4.
Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χA2
1
dξ
=
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d
Z
hξi2s−4k−4b χA2
dξ e
≤
2
2
2d
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i

J5

J5 é limitado para s ≤ 2κ + 2b e 1/2 < b.

J6

Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χA3
=
dξ2
hλ1 i2b R
hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
Z
hξi2s−4k−4b χA3
≤
dξ2 .
2 2d
2
R hτ1 + aξ + ξ2 i

Então J6 também é limitado para s ≤ 2κ + 2b e 1/2 < b.
1
Para analisar os casos restantes, (c.iii) e (c.iv), que se resumem a assumir |ξ| < |ξ2 | e
2
|ξ1 | ∼ |ξ2 |, vamos considerar as regiões Bi :
Iniciamos por estimar J4 .

J4

Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB1
1
dξ2
=
hλi2d R hτ + ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
Z
hξi2s−4d hξ1 i−4k χB1
≤
dξ2
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
hξi2s−4d hξ1 i−4k χB1
≤
dη
2|ξ2 − ξ|hηi2b
R
27

1
1
Ora, |ξ2 − ξ| ≥ |ξ2 | − |ξ| ≥ |ξ2 | ∼ |ξ1 |.
2
2
Z
dη
Daı́, J4 ≤ hξi2s−4d hξ1 i−4k−1
, que é limitado pois 2b > 1 e 2s ≤ 4k + 2.
2b
R hηi
hξi2s−4d hξ1 i−4k−1 ≤ hξi2s−4k−4d−1 .
Seguimos para estimar J5 :
Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB2
1
dξ
=
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d
Z
1
hξi2s hξ2 i−4k χB2
≤
dξ
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d

J5

Fazendo η = τ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 , temos que dη = 2(ξ2 + (a − 1)ξ)dξ. Ora,
1
1
como 0 < a < segue |a − 1| < 1 e assim |ξ2 + (a − 1)ξ| ≥ |ξ2 |.
2
2
Observe ainda que
|η|

= |τ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 |
= |λ2 + ((a − 1)ξ 2 − 2ξ22 + 2ξξ2 )|
≤ |λ2 | + |(a − 1)ξ 2 − 2ξ22 + 2ξξ2 | ≤ |τ2 + ξ2 | + 4|ξ2 |2
≤ c|λ2 |.

Com isso,

J5

hξi2s hξ2 i−4k−1
dη
hηi2d
hηi≤chλ2 i
Z
1
hξ2 imax{0,2s}−4k−1
1
≤
dη, pois |ξ| < |ξ2 |
2b
2d
hλ2 i
hηi
2
hηi≤chλ2 i
1
≤
hλ2 i2b

Z

hλ2 i2d
hλ2 i2b
≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−1 hλ2 i−2b+2d ≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−1−2b+2d .
≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−1

Resta analisar J6 . Lembre que

J6

Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB3
1
dξ2
=
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
Z
1
hξi2s hξ1 i−4k χB3
≤
dξ2 .
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
28

Fazendo η = τ1 + aξ 2 + ξ22 , temos que dη = 2ξ2 dξ2 . Ora,
|η|

= |τ1 + aξ 2 + ξ22 |
= |(λ1 ) + (aξ 2 + ξ22 − ξ12 )|
≤ c|λ1 |.

Usamos acima o fato de que |ξ1 | ∼ |ξ2 | donde obtemos:

J6

1
≤
hλ1 i2b

hξi2s hξ1 i−4k
dξ2
|ξ1 |hηi2d
hηi≤chλ2 i

Z

hλ1 i2d
hλ1 i2b
≤ hξ1 imax{0,2s}−4k−1−2b+2d .
≤ hξ1 imax{0,2s}−4k−1

Como 1/2 < b < 3/4 e 1/4 < d < 1/2 temos que −1 < −2b + 2d < 0 e daı́ podemos
tomar b e d de forma que 2s − 4k − 1 − 2b + 2d < 0 se s < 2k + 1.
Com isso finalizamos a demonstração deste caso.


1.5.2

Prova no caso: a > 1/2 ⇔ σ < 2

Este caso é um pouco mais delicado. Além de observar a relação de dispersão será
necessário um procedimento adicional, como veremos a seguir.
Como nas vezes anteriores, começamos analisando a relação de dispersão.

|λ − λ1 − λ2 | = |aξ 2 − ξ12 − ξ22 |
1
temos )
2
√
1 − 2a − 1
= 2|ξ2 − µa ξ| · |ξ2 − (1 − µa )ξ|, onde µa =
.
2

≥ |2ξ22 − 2ξξ2 + (1 − a)ξ 2 | ( usando a >

A relação de dispersão acima é nula em duas retas.
Agora, vamos definir as regiões Si .
29

De maneira análoga a escolha das regiões Ri na demonstração da Proposição (1.19),
no caso a > 1/2, iremos proceder fixando conjuntos que servirão de base para definir
os conjuntos Si .

B1 = {|ξ| ≤ 1} ⊂ R4 ,


1
2a − 1
B2 =
|ξ| ≥ 1, ξ2 − ξ >
|ξ| ⊂ R4 ,
2
4


2a − 1
B3 =
|ξ| ≥ 1, |(1 − a)ξ − ξ2 | >
|ξ| ⊂ R4 .
4
1
2a − 1
1
2a − 1
Note que se ξ2 − ξ ≤
|ξ| e ξ2 − ξ ≤
|ξ| e ainda |ξ| > 1 então
2
4
2
4




1
1
ξ2 − ξ + ((1 − a)ξ − ξ2 )
a−
|ξ| =
2
2


2a − 1
2a − 1
1
1
≤
|ξ| +
|ξ| =
a−
|ξ|.
4
4
2
2
A desigualdade acima é suficiente para concluir que a interseção dos conjuntos complementares a B1 , B2 e B3 é vazia, ou seja, R4 ⊂ B1 ∪ B2 ∪ B3 .
Considere agora
B3,1 = B3 ∩ {|λ| ≥ max{|λ1 |, |λ2 |}} ,
B3,2 = B3 ∩ {|λ2 | ≥ max{|λ1 |, |λ|}} ,
B3,3 = B3 ∩ {|λ1 | ≥ max{|λ|, |λ2 |}} .
Sejam S1 = B1 ∪ B2 ∪ B3,1 , S2 = B3,2 e S3 = B3,3 .
Para k ≥ 0 temos hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi−2κ logo:

(1.54)

(1.55)

(1.56)

1
J4 ≤
hλi2d
1
J5 ≤
hλ2 i2b

hξi2s−2κ χS1
dξ2 ,
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z

hξi2s−2κ χS2
dξ,
2
2
2d
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i

Z

1
J6 ≤
hλ1 i2b

hξi2s−2κ χS3
dξ2 .
2 2d
2
R hτ1 + aξ + ξ2 i

Z

30

Para concluir que J4 é limitado basta observar que a expressão definida em J4 é limitada, como vemos abaixo
Z
Z
1
hξi2s−2κ χB1
1
1
dξ2 ≤
dξ2 ≤ c;
2
2
2d
2
2b
2d
2 2b
hλi
hλi
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
1
hλi2d

Z

1
hξi2s−2κ χB2
dξ2 ≤
2
2
2b
hλi2d
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z

hξi2s−2κ−1
dξ2 ≤ c
hηi2b
R

1
hλi2d

Z

hξi2s−2κ χB3,1
1
dξ2 ≤
2
2
2b
hλi2d
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z

e
hξi2s−2κ−1
dξ2 ≤ c.
hηi2b
R

Para obter as estimativas acima usamos fortemente o fato de b > 1/2 e na última
inequação usamos o fato de que
1
ξ2 − ξ
2



1
= (1 − a)ξ − ξ2 + a −
ξ
2


1
≥
a−
|ξ| − |(1 − a)ξ − ξ2 |
2




1
1
1
2a − 1
|ξ|.
≥
a−
|ξ| −
a−
|ξ| =
2
2
2
4

Vamos agora estimar J5 tendo em vista que
η = τ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 = λ2 + (λ − λ1 − λ2 )
e dη = 2((1 − a)ξ − ξ2 )dξ, donde vem
1
hλ2 i2b

Z
hξi2s−2κ χB3,2
1
hξi2s−2κ−1
dξ ≤
dη
2
2
2d
hλ2 i2b hηi≤4h2 λi hηi2d
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i
1
≤
≤ c.
hλ2 i2b−2d

Z

Resta agora estimar (1.56), faremos isso de forma análoga a apresentada acima
Z
Z
1
hξi2s−2κ χS3
1
hξi2s−2κ−1
dξ
≤
dη
2
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
hλ1 i2b hηi≤4hλ1 i hηi2d
1
≤
≤ c.
hλ1 i2b−2d
Isso encerra o caso κ ≥ 0.
O caso κ < 0, será feito separando em subcasos:
31

(a) Suponha |ξ1 | ≤
|ξ1 | + |ξ| ≤

2
|ξ2 |: Então, hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξ2 i−4k . Além disso,|ξ2 | ≤
3

2|ξ2 |
+ |ξ|, daı́ |ξ2 | ≤ 3|ξ|. Portanto,
3

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
2
(b) Supondo |ξ2 | ≤ |ξ1 | temos o mesmo resultado, ou seja,
3
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
3
2
(c) Resta o caso, |ξ2 | < |ξ1 | < |ξ2 |.
3
2
2
3
5
5
(c.i) Se ξ1 , ξ2 ≥ 0 então ξ2 < ξ1 < ξ2 =⇒ ξ2 < ξ < ξ2 . Daı́,
3
2
3
2
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
−2
−3
−5
−5
ξ2 < −ξ1 <
ξ2 =⇒
ξ2 < −ξ <
ξ2 , com
(c.ii) Se ξ1 , ξ2 ≤ 0 então
3
2
3
2
3
isso |ξ2 | < |ξ|. Donde obtemos
5
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤ hξi2s−4k .
−2
−3
1
−1
(c.iii) Se ξ1 > 0 e ξ2 < 0 então
ξ2 < ξ1 <
ξ2 =⇒ ξ2 < ξ <
ξ2 , assim
3
2
3
2
1
|ξ| < |ξ2 |.
2
3
−1
1
2
ξ2 < −ξ < ξ2 , logo
(c.iv) Se ξ1 < 0 e ξ2 > 0 então ξ2 < −ξ1 < ξ2 =⇒
3
2
3
2
1
|ξ| < |ξ2 |.
2
Seja C ⊂ R4 o conjunto dos elemento do R4 que satisfazem uma das condições (a), (b),
(c.i) ou (c.ii), seja D = R4 \ C. Considere agora Ci = Si ∩ C e Di = Si ∩ D.
Analisando as restrições a Ci , obtemos:
1
hλi2d

Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χC1
1
hξi2s−4k χC1
dξ
≤
dξ2
2
2
2 2b
hλi2d R hτ + ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
hξi2s−4k−1
1
≤
dξ2
hλi2d R hηi2b
≤ c, pois 1/2 < b < 1 e s < 2κ + 1/2.

Z

32

1
hλ2 i2b

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χC2
dξ
2
2d
2
R hτ2 + (a − 1)ξ − ξ2 + 2ξξ2 i

Z

1
hλ1 i2b

hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χC3
dξ2
hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
R

Z

Z
1
hξi2s−4k−1
≤
dη
hλ2 i2b hηi≤4hλ2 i hηi2d
1
≤
≤ c.
hλ2 i2b−2d

Z
1
hξi2s−4k−1
≤
dη
hλ1 i2b hηi≤4hλ1 i hηi2d
1
≤
≤ c.
hλ1 i2b−2d

Para analisar os casos restantes (que se resumem a assumir |ξ| <
vamos considerar então as regiões Di :

1
|ξ2 | e |ξ1 | ∼ |ξ2 |)
2

Iniciamos por estimar J4 .

1
hλi2d

Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χD1
1
hξi2s hξ1 i−4k χD1
dξ2 ≤
dξ2
2
2 2b
hλi2d R hτ + ξ22 − 2ξξ2 + ξ 2 i2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i
Z
1
hξi2s hξ1 i−2κ
≤
dη.
hλi2d R
hηi2b

Z

1
1
Ora, |ξ2 − ξ| ≥ |ξ2 | − |ξ| ≥ |ξ2 | ∼ |ξ1 |.
2
2
Z
dη
Daı́, J4 ≤ hξi2s−4d hξ1 i−4k−1
, que é limitado pois 2b > 1 e 2s ≤ 4k + 2.
2b
R hηi
hξi2s−4d hξ1 i−4k−1 ≤ hξi2s−4k−1−4d ≤ hξi1−4d .
A vez de J5 .
J5

Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB2
1
dξ
=
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d
Z
1
hξi2s hξ2 i−4k χB2
≤
dξ.
hλ2 i2b R hτ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 i2d

Fazendo η = τ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 , temos que dη = 2(ξ2 + (a − 1)ξ)dξ. Ora,
1
1
como 0 < a < , segue |a − 1| ≤ 1 e assim |ξ2 + (a − 1)ξ| ≥ |ξ2 |. Observe ainda
2
2
33

que
|η|

= |τ2 + (a − 1)ξ 2 − ξ22 + 2ξξ2 |
= |(λ2 ) + ((a − 1)ξ 2 − 2ξ22 + 2ξξ2 )|
≤ |λ2 | + |(a − 1)ξ 2 − 2ξ22 + 2ξξ2 | ≤ |τ2 + ξ2 | + 4|ξ2 |2
≤ c|λ2 |.

Com isso,

J5

hξi2s hξ2 i−4k−1
dη
hηi2d
hηi≤chλ2 i
Z
1
hξ2 imax{0,2s}−4k−1
1
≤
|ξ2 |
dη,
pois
|ξ|
<
hλ2 i2b hηi≤chλ2 i
hηi2d
2
Z

1
≤
hλ2 i2b

hλ2 i1−2d
hλ2 i2b
≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−1 hλ2 i1−2d−2b ≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−2 ,
≤ hξ2 imax{0,2s}−4k−1

pois 1 − 2b − 2d < −1/2.
Por fim, J6 . Lembre que
Z
hξi2s hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ χB3
1
dξ2
=
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d
Z
1
hξi2s hξ1 i−4k χB3
≤
dξ2 .
hλ1 i2b R hτ1 + aξ 2 + ξ22 i2d

J6

Fazendo η = τ1 + aξ 2 + ξ22 , temos que dη = 2ξ2 dξ2 . Ora,
|η|

= |τ1 + aξ 2 + ξ22 |
= |(λ1 ) + (aξ 2 + ξ22 − ξ12 )|
≤ c|λ1 |.

Usaremos abaixo o fato que |ξ1 | ∼ |ξ2 |, para obter que

J6

1
≤
hλ1 i2b

hξi2s hξ1 i−4k
dξ2
|ξ1 |hηi2d
hηi≤chλ2 i

Z

hλ1 i1−2d
hλ1 i2b
≤ hξ1 imax{0,2s}−4k−2 .
≤ hξ1 imax{0,2s}−4k−1

34

Com isso finalizamos a demonstração deste caso.


1.5.3

Prova no caso: a = 1/2 ⇔ σ = 2

Finalizaremos esta seção apresentando resultados para σ = 2. Como nas seção anteriores, temos que não é possı́vel aproveitar a relação de dispersão. Então tomemos
S1 = R4 e S2 = S3 = ∅.
Resta estimar J4 . Para tanto, assumimos inicialmente que κ ≥ 0 e assim hξ1 i−2κ hξ2 i−2κ ≤
hξi−2κ logo:
1
J4 ≤
hλi2d

hξi2s−2κ χS1
dξ2 .
2
2 2b
R hτ + ξ2 − 2ξξ2 + ξ i

Z

Assumindo que s ≤ κ e que b > 1/2 e d > 0 segue a limitação de J4 .

Observação 1.6 Encerramos a seção com um comentário equivalente ao da seção
anterior. Neste caso, observamos que a relação de dispersão gera um polinômio equivalente ao polinômio da seção anterior, isto é, obtemos um polinômio de grau dois na
variável ξ2 com coeficientes dependendo da variável ξ, ou seja,
p̃(ξ2 ) = 2ξ22 − 2ξξ + (1 − a)ξ 2 ,
observamos que o fato da constante positiva a está entre zero e meio implica que p̃ não
admite raı́zes reais e com isso podemos aproveitar o grau de p para ganhar regulari1
dade. Já no caso que a > , onde p̃ admite duas raı́zes reais diferentes foi possı́vel,
2
separando as raı́zes, aproveitar o grau de cada fator do polinômio p̃ fatorado. Por fim,
1
no caso a = temos uma raiz com multiplicidade dois e neste caso não foi possı́vel
2
aproveitar a relação de dispersão.

1.6

Prova dos Teoremas de Boa colocação Local

Nesta seção vamos provar, através do Teorema do Ponto Fixo de Banach, o resultado
de Boa colocação local. As condições de Boa colocação apresentadas no inicio da
35

Introdução deste trabalho, a saber: Existência, Unicidade e Dependência Contı́nua,
seguem da aplicação deste resultado bem como do fato de provarmos, ao longo da
demonstração abaixo, que a aplicação que associa os dados iniciais a solução é localmente Lipschitziana.
Passemos agora a demonstração deste resultado.
Vamos considerar o seguinte espaço de funções onde vamos buscar nossa solução:
n
o
1
s, 1 +µ
(1.57) Σµ := (u, v) ∈ X κ, 2 +µ × Xa 2 ; kukX κ, 21 +µ ≤ M1 , kvk s, 12 +µ ≤ M2 ,
Xa

onde 0 < µ  1 e M1 , M2 > 0 serão escolhidos abaixo.
Observamos inicialmente que Σµ é um espaço métrico completo com a norma:
k(u, v)kΣµ := kukX κ, 21 +µ + kvk s, 21 +µ .
Xa

Para (u, v) ∈ Σµ vamos definir as aplicações
Z t
(1.58)

Φ1 (u, v) = ψ1 (t)U (t)u0 − iψT (t)

U (t − t0 ) {θu(t0 ) − (u · v) (t0 )} dt0 ,

0

e
Z t

n
a 2 0 o 0
0
Ua (t − t ) αv(t ) −
u (t ) dt .
(1.59) Φ2 (u, v) = ψ1 (t)Ua (t)v0 − iψT (t)
2
0
0

1
1
− 2µ(κ, s, a) e b = + µ(κ, s, a)
2
2
satisfazem as condições das Proposições 1.1 e 1.2.
Vamos agora escolher µ < µ(κ, s, a) onde d =

De acordo com o Lema 1.3, com b0 = −d e as Proposições 1.1 e 1.2 temos

kΦ1 (u, v)kX κ, 21 +µ

kΦ2 (u, v)k s, 21 +µ
Xa



≤ c0 ku0 kH k + c1 T µ θ kukX κ,− 21 +2µ + kuvkX κ,− 12 +2µ


≤ c0 ku0 kH k + c1 T µ θ kukX κ, 21 +µ + kukX κ, 21 +µ kvk s, 12 +µ
Xa


≤ c0 ku0 kH k + c1 T µ θM1 + M1 M2 ,


a 2
≤ c0 kv0 kH s + c2 T α kvk s,− 21 +2µ +
u
s,− 1 +2µ
Xa
Xa 2
2


a
≤ c0 kv0 kH s + c2 T µ α kvk s, 12 +µ + kuk2X κ, 12 +µ
Xa

2
a
≤ c0 kv0 kH s + c2 T µ αM2 + M12 .
2
µ

36



Definindo M1 = 2c0 ku0 kH k e M2 = 2c0 kv0 kH s teremos que


M1
µ
kΦ1 (u, v)kX κ, 21 +µ ≤
+ c1 T θM1 + M1 M2
2
e



a 2
M2
µ
kΦ2 (u, v)k s, 21 +µ ≤
+ c2 T αM2 + M1 .
Xa
2
2

Então (Φ1 (u, v), Φ2 (u, v)) ∈ Σµ para


1
1
M2
µ
(1.60)
T ≤ min
.
,
2
c1 (θ + M2 ) c2 (αM2 + a2 M12 )
Similarmente teremos que

kΦ1 (u, v) − Φ1 (ũ, ṽ)kX κ, 12 +µ ≤ c3 (M1 , M2 )T

µ




ku − ũkX κ, 21 +µ + kv − ṽk s, 21 +µ ,
Xa

e
kΦ2 (u, v) − Φ2 (ũ, ṽ)k s, 12 +µ ≤ c4 (M1 , M2 )T
Xa

µ




ku − ũkX κ, 21 +µ + kv − ṽk s, 21 +µ .
Xa

Posto isto, segue que

 

(1.61)
Φ1 (u, v), Φ2 (u, v) − Φ1 (ũ, ṽ), Φ2 (ũ, ṽ)

≤
Σµ

Para
1
T ≤ min
4
µ



1
1
,
c3 (M1 , M2 ) c4 (M1 , M2 )

1
k(u, v) − (ũ, ṽ)kΣµ .
2


.

Portanto, a aplicação Φ1 × Φ2 : Σµ −→ Σµ é uma contração, e via o Teorema do Ponto
Fixo existe uma única solução para o problema de Cauchy para T satisfazendo (1.60)
e (1.61).
Por (1.61) temos que a aplicação dado solução é localmente Lipschitz.

A demonstração acima para o resultado de boa colocação local foi exposta apenas para
o caso p = q = 1. Vamos discutir o que ocorre nos demais casos na seção 1.7.
37

1.7

Comentários finais

Finalizamos este capı́tulo discutindo sobre os casos restantes para os sinais de p e q, ou
seja:
Caso p = q = −1. Quando mudamos os sinais de p e q estamos modificando os grupos associados as equações dos sistemas o que vai interferir diretamente nas relações
de dispersões. Tais relações foram essenciais para a definição das regiões que permitem
o uso dos Lemas 1.4 e 1.5. Trocando os sinais de p e q temos que (1.23) escreve-se
(
τ = τ1 + τ2 ξ = ξ1 + ξ2
(1.62)
ρ = τ − ξ 2 , ρ1 = τ1 + ξ12 , ρ2 = τ2 − aξ22 .
Daı́, segue que (1.33) adota a mesma forma
|ρ − ρ1 − ρ2 | = | − ξ 2 − ξ12 + aξ22 | = |ξ 2 + ξ12 − aξ22 |,
ou seja, não interfere nos resultados obtidos. O mesmo ocorre modificando (1.47).
Concluı́mos assim que para p = q = −1 vale de forma similar a teoria local desenvolvida para o caso p = q = 1.
Casos (p, q) = (1, −1) ou (p, q) = (−1, 1). Se fixarmos p = 1 e q = −1 temos
que (1.23) transforma-se em
(
τ = τ1 + τ2 , ξ = ξ1 + ξ2 ,
(1.63)
ρ = τ + ξ 2 , ρ1 = τ1 − ξ12 , ρ2 = τ2 − aξ22 .
Com isso, a relação de dispersão (1.33) satisfaz
|ρ − ρ1 − ρ2 | = ξ 2 + ξ12 + aξ22 > ξ 2 + ξ12 ,
para qualquer valor positivo de a. Isso nos diz que a Proposição 1.1 sempre vale para
|κ| − 1 < s.
Por outro lado, as relações (1.40) adotam, neste caso, a forma
(
τ = τ1 + τ2 , ξ = ξ1 + ξ2 ,
(1.64)
ρ = τ − aξ 2 , λ1 = τ1 + ξ12 , λ2 = τ2 + ξ22
e a nova forma de (1.47) é dada por
λ1 + λ2 − λ = ξ12 + ξ22 + aξ 2 > ξ12 + ξ22
38

para todo a > 0, o que nos garante a validade da Proposição 1.2 nos casos em que

s < min κ + 1, 2κ + 1 .
Resumindo, no caso (p, q) = (1, −1) a teoria local vale sempre que

|κ| − 1 < s < min κ + 1, 2κ + 1 .
O mesmo vale para o caso (p, q) = (−1, 1). As observações aqui feitas completam o
estudo do sistema (1) para quaisquer sinais de p e q.
Observação 1.7 Notamos também que nos casos p = q = ±1 e p = −q = ±1 a lei de
conservação em L2 × L2 não muda, isto é,
Z
|u(x, t)|2 + 2σ|v(x, t)|2 dx = E[u, v](0).
E[u, v](t) =
R

Portanto, os resultados globais não mudam com a mudança de sinais de p e q.

39

2

Resultados Globais

Este capı́tulo é dedicado ao estudo da teoria da boa colocação global para o Problema
de Cauchy (1), logo estamos interessados em soluções definidas em em todo tempo
tempo positivo, ou seja, estudaremos o modelo:



i∂t u + p∂x2 u − θu + uv = 0,



u2
(2.1)
iσ∂t v + q∂x2 v − αv +
= 0,

2



u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x).

x ∈ R,

t ≥ 0,

Consideraremos os dados iniciais em espaços de Sobolev com a mesma regularidade e
com ı́ndices negativos, isto é, (u0 , v0 ) ∈ H s (R) × H s (R) com s < 0.
Um objetivo importante no estudo das equações de evolução da Fı́sica-Matemática é a
obtenção da estabilidade de certos tipos de soluções especiais. Nesse caso, é essencial
ter resultados de boa colocação global, ou seja, a extensão da boa colocação local a
todo intervalo de tempo positivo.
Lembramos que para qualquer dado inicial (u0 , v0 ) ∈ L2 (R)×L2 (R) a lei de conservação
(2.2)

E(u, v)(t) = kuk2L2 + 2σ kvk2L2

nos permite estender os resultados locais obtidos no Capı́tulo 1 a todo intervalo de
tempo [0, T ]. Usaremos este fato como ponto de partida para poder estender as soluções
locais obtidas com ı́ndices negativos a tempo positivo e obter o principal resultado deste
capı́tulo, o qual estabelecemos a seguir.
Teorema 2.1 Seja (u0 , v0 ) ∈ H s (R) × H s (R). As soluções locais obtidas no Teorema
1.1 para o Problema de Cauchy (2.1) podem ser estendidas a todo intervalo de tempo
41

positivo 0 ≤ t ≤ T , preservando todas as propriedades da teoria local, em cada uma
das seguintes situações:
(a) −1/2 ≤ s ≤ 0

quando σ > 2,

(b) −1/4 ≤ s ≤ 0 quando 0 < σ < 2.

Para obter o resultado acima vamos seguir as ideias apresentadas em [8], [11], [12] e
[24]. Nas próximas seções deste capı́tulo vamos apresentar alguns resultados preliminares e antes de provar o resultado principal vamos revisitar a boa colocação local num
novo ambiente funcional.

2.1

Resultados Preliminares

Nesta seção apresentaremos alguns resultados clássicos referentes ao método-I que utilizamos neste capı́tulo.
Sejam s ≤ 0 e N > 1 fixado. Vamos definir o operador multiplicador de Fourier
(
(2.3)

−s
Id
u(ξ), m(ξ) =
N u(ξ) = m(ξ)b

|ξ| < N,

1,
N

−s

s

|ξ| , |ξ| ≥ 2N

onde m é uma função suave e monótona.
Afim de simplificar a notação usaremos, a menos que seja mencionado o contrário, a
notação I = IN−s para o operador multiplicador de Fourier.
Passemos agora a apresentar resultados relacionados com este operador.
Lema 2.1 O operador I aplica H s (R) 7−→ L2 . Além disso, o operador I comuta com
operadores diferenciais e Iu = Iu. Ou seja,
(a) kI(u)kL2 ≤ cN −s kukH s ,
(b) P (D)I(u) = I (P (D)u),
onde P é um polinômio e D =

d
é o operador diferencial.
idx
42

Demonstração: Note que podemos decompor u ∈ H s da seguinte forma
∨
u = χ|ξ|<N u
b + χ|ξ|>N u
b = u1 + u2 ,
∨
∨
onde u1 = χ|ξ|<N u
b e u2 = χ|ξ|>N u
b . Note também que para Iu1 = u1 e da
desigualdade de Plancherel
kIu1 kL2 =

d1
Iu

L2

= kub1 kL2
=

hξi−s χ|ξ|≤N (ξ)hξis u
b(ξ) L2

≤ N s kukH s .
Resta estimar Iu2 .

kIu2 kL2 =

d2
Iu
2
 L s
|ξ|
ub2
≤ c
N
L2
−s
s
≤ cN khξi ub2 kL2
≤ c0 N −s ku2 kH s
≤ c0 N −s kukH s .

Provamos assim que I aplica H s em L2 como também o primeiro item do lema.
A demonstração do segundo item dohlema seguei aplicando a transformada
h de Fourier
i∨ e
∨

∨
∧ ∨
d
\
observando que (P (D)I(u))
= P (ξ)I(u) = [m(ξ)P (ξ)b
u] = I(P (D)u) =
I(P (D)u).
O método-I consiste em baixar a regularidade do resultado de boa colocação local
modificando a energia associada ao sistema em questão. Para fazer isto não é necessário
efetuar os cálculos em cada par de ı́ndices de Sobolev no espaço H s × H s , isto decorre
do seguinte
Lema 2.2 Sejam α0 > 0 e n ≥ 1. Suponha que Z, X1 , . . . , Xn são espaços de Banach
invariantes por translação e T um operador n-linear invariante por translação tal que
I1−α T (u1 , . . . , un ) Z ≤ c

n
Y
j=1

43

I1−α uj Xj ,

para todo u1 , . . . , un , 0 ≤ α ≤ α0 . Então,
IN−α T (u1 , . . . , un ) Z ≤ c

n
Y

IN−α uj Xj ,

j=1

para todo u1 , . . . , un , 0 ≤ α ≤ α0 e N ≥ 1. As constantes não dependem de N .
Para ver uma prova do resultado acima o leitor pode consultar o Lema 12.1 de [10].
Observamos que o operador dado solução desempenha o papel do operador n-linear.
Lema 2.3 Sejam f e g pertencentes a X 0,1/2 . A desigualdade

Dx1/2 f · g L2 ≤ c kf kX 0,1/2 kgkX 0,1/2 ,
x,t
 
é verdadeira se |ξ2 |  |ξ1 | para cada |ξ1 | ∈ supp fb e |ξ2 | ∈ supp (b
g ). Além disso,
esta estimativa é válida se f e/ou g são trocadas por suas conjugadas no lado esquerdo
da desigualdade.
Demonstração: Esta é uma estimativa Strichartz refinada do tipo considerado em [4].
É o suficiente para mostrar que se f e g são soluções da equação de Schrödinger livre,
2

2

que é f = eit∂x φ e g = eit∂x ψ, então

(2.4)
Dx1/2 f · g L2 ≤ c kφkL2 kψkL2 ,
x,t

d
b
onde Dx é o operador satisfazendo D
x f (ξ) = hξif (ξ). Se usarmos agora a dualidade e a nmudança de variável ξ1 + ξ2 =o z e |ξ1 |2 + |ξ2 |2 = r, assumindo que
R ≥ max max{supp(fb)}, max{supp(b
g )} , então o lado esquerda da desigualdade
(2.4) é limitado por
Z
sup

b 1 )ψ(ξ
b 2 )dξ1 dξ2
R1/2 F (ξ1 + ξ2 , |ξ1 |2 + |ξ2 |2 )φ(ξ

kF kL2 ≤1

Z
≤

sup

R1/2 F (z, r)

kF kL2 ≤1

H(z, r)
dzdr,
R

onde H(z, r) denota o produto de φb e ψb nas novas variáveis. Note que a mudança
de variável introduzida acima gera um Jacobiano da ordem de R. Agora, utilizando
a desigualdade de Cauchy-Schwartz e alterando novamente as variáveis para ξ1 e ξ2
obtemos a desigualdade (2.4).
A demonstração acima esta baseada na demonstração do Lema 7.1 de [9].
Observação 2.1 O Lema 2.3 ainda é válido substituindo X 0,1/2 por Xa0,1/2 em uma ou
em ambas as funções efetuando ligeiras modificações na demonstração acima.
44

2.2

O Teorema de Boa Colocação Local Revisitado

Nesta seção vamos analisar o sistema modificado.
Temos que o sistema (2.1) aplicado ao operador I é dado por

 i∂t Iu + p∂x2 Iu − θIu + I (uv)
=0
.

1
 iσ∂t Iv + q∂x2 Iv − αIv + I u2 = 0
2

(2.5)

Vamos citar aqui um Lema que será utilizado na demonstração do teorema de boa
colocação local e, em seguida refazer as estimativas bilineares.
Lema 2.4 Sejam −1/2 < b0 ≤ b < 1/2, s ∈ R, a > 0 e 0 < T < 1 temos que
0

kψT (t)ukX s,b0 ≤ cT b−b kukXas,b .

(2.6)

a

Demonstração: Uma demonstração deste resultado pode ser vista em [15].

Lema 2.5 Considere 1/4 < d. Sejam b1 , b2 ∈ R tais que (b1 , b2 ) =


1
+, 0 . Então
(b1 , b2 ) =
2


1
0, + ou
2

ku · vkX 0,−d ≤ ckukX 0,b1 · kvkXa0,b2 .

(2.7)

Demonstração: Sem perda de generalidade, vamos provar apenas o caso b2 = 0 e
1
b1 = + . Seguindo as ideias da Proposição 1.1 temos que
2

kuvkX 0,−d ≤ kukX 0,b1 kvkX 0,b1

1
hτ2 + aξ22 i2b2

Z

1

2 2b1
hτ + ξ 2 i2d
R2 hτ1 − ξ1 i

dξdτ

.
L∞
ξ ,τ
2

2

Resta a limitação do último fator do lado direito da desigualdade acima. Usando o
Lema 1.13 e o Lema 1.14 temos que
Z

1

2 2b1
hτ + ξ 2 i2d
R2 hτ1 − ξ1 i

Z
dξdτ ≤

1

2
2
2d
R2 hτ2 + 2ξ + ξ2 − 2ξξ2 i

De maneira análoga provamos o Lema 2.6.
45

dξdτ ≤ c.


Lema 2.6 Considere 1/4 < d. Sejam b1 , b2 ∈ R tais que (b1 , b2 ) =


1
(b1 , b2 ) =
+, 0 . Então
2
(2.8)


1
0, + ou
2

kuwkXa0,−d ≤ ckukX 0,b1 · kwkX 0,b2 .

Observação 2.2 Os resultados acima independem do valor de a.
Agora, vamos revisitar o teorema de ponto fixo para encontrar o melhor expoente para
δ o que será bastante útil para o argumento final que consiste em estender a solução
para qualquer intervalo de tempo.
Proposição 2.1 O Problema de Cauchy (2.5) é localmente bem posto em L2 × L2 com
uma única solução no intervalo de tempo [0, δ] para algum δ ≤ 1 satisfazendo
(2.9)


− 43 +
δ ∼ kIu0 kL2x + kIv0 kL2x
.

Demonstração: Vamos considerar o seguinte espaço de funções onde vamos buscar
nossa solução:
n
o
1
0, 1 +µ
(2.10) Σµ := (Iu, Iv) ∈ X 0, 2 +µ × Xa 2 ; kukX 0, 21 +µ ≤ M1 , kvk 0, 12 +µ ≤ M2 ,
Xa

onde 0 < µ  1 e M1 , M2 > 0 serão escolhidos abaixo.
Observamos inicialmente que Σµ é um espaço métrico completo com a norma:
k(Iu, Iv)kΣµ := kukX 0, 12 +µ + kvk 0, 12 +µ .
Xa

1
1
Vamos agora escolher µ onde d = − + e b = + satisfazem as condições dos Lemas
4
2
2.7 e 2.6.
De acordo com o Lema 1.3, com b0 = −d e os Lemas 2.7 e 2.6 temos

kΦ1 (u, v)kX 0,b

≤ c0 ku0 kL2x + c1 T 1−b−d (θ kukX 0,−d + kuvkX 0,−d )


≤ c0 ku0 kL2x + c1 T 1−b−d θT b+d kukX 0,b + kukX 0,0 kvkXa0,b


1−b−d
b+d
b
≤ c0 ku0 kL2x + c1 T
θT
kukX 0,b + T kukX 0,b kvkXa0,b


≤ c0 ku0 kL2x + c1 T 1−d θ kukX 0,b + kukX 0,b kvkXa0,b .
46

Analogamente,



a
≤ c0 kv0 kL2x + c2 T 1−d α kvkXa0,b + kuk2X 0,b .
2

kΦ2 (u, v)kXa0,b

Seguindo os mesmos argumentos da prova do teorema de Boa colocação concluı́mos
que vale o Teorema do Ponto Fixo para
T 1−d ≤

1
min
4

(

1
1
,
kIu0 kL2x kIv0 kL2x

)
,

isto é,

T

3
−
4



∼ kIu0 kL2x + kIv0 kL2x

−1

.

Portanto o tempo de existência deve satisfazer a desigualdade acima, ou seja,



T ∼ kIu0 kL2x + kIv0 kL2x

− 43 +

.

Sabemos, agora, que o tempo de existência é δ = (kIukL2 + kIvkL2 )−4/3 .

2.3

Leis quase conservadas em L2

Vamos considerar a energia E associada ao sistema (2.5)
E(Iu, Iv) = kIuk2L2 + 2σ kIvk2L2 .

(2.11)

Teorema 2.2 O funcional energia (2.11) tem derivada com respeito ao tempo dada
por:
d
E(Iu, Iv) = 2Im
dt

Z


(I(uv) − IuIv)) Iudx + 2Im

47

Z

2

I(u ) − (Iu)

2




Ivdx .

Demonstração: Usaremos as identidades
acima
Z
Z para calcular a derivada da energia.
Usando também o seguinte fato

d
E(Iu, Iv) =
dt
Z

Z

f · ∂x2 f =

|∂x f |2 obtemos:

Z

Z

Z

∂t Iu · Iu +

Iu · ∂t Iu + 2σ ∂t Iv · Iv + 2σ Iv · ∂t Iv
Z


2
=i
I(uv) − θIu + r∂x Iu · Iu − i Iu · I(uv) − θIu + r∂x2 Iu
Z
Z


2
2
+i
I(u ) − αIv + s∂x Iv · Iv − i Iv · I(u2 ) − αIv + s∂x2 Iv
Z
Z
Z
Z
2
= i I(uv) · Iu + ir |∂x Iu| − i Iu · I(uv) − ir |∂x Iu|2
Z
Z
Z
Z
2
2
2
+ i I(u ) · Iv + is |∂x Iv| − i Iv · I(u ) − is |∂x Iv|2
Z
Z
= i I(uv) · Iu − i Iu · I(uv)
Z
Z
2
+ i I(u ) · Iv − i Iv · I(u2 )
Z

Z

2
I(uv) · Iu + 2Im
= −2Im
Iv · I(u )
Z

Z

= −2Im
(I(uv) − IuIv) · Iu − 2Im
IuIv · Iu

Z
+2Im
Iv · I(u2 )
Z

Z

2
2
(I(uv) − IuIv) · Iu + 2Im
= −2Im
I(u ) − (Iu) · Iv .

Agora estimaremos a diferença entre a energia modificada final no tempo δ e a energia
modificada inicial no tempo zero. Tal estimativa afirma o quanto tem crescido a energia
ao longo do tempo. Como a energia modificada está associada aos dados iniciais do
Problema de Cauchy, se esta energia modificada tiver um crescimento controlado de
alguma forma pelos dados iniciais será possı́vel aplicar novamente o argumento de
ponto fixo tomando como dados iniciais o ponto final da solução obtido anteriormente.
Vemos como este controle ocorre nas Proposições que encerram esta seção.

Usando o teorema fundamental do cálculo temos que
48

Z δ Z


E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0) = 2Im
(I(uv) − IuIv)) Iudx dt
0

Z δ Z

2
2
I(u ) − (Iu) Ivdx dt
+2Im
0

Z δ
(I(uv) − IuIv) ; Iu
= 2Im
dt
0
L2

Z δ

2
2
dt
I(u ) − (Iu) ; Iv
+2Im
0
L2

Z δ
∧ c
(I(uv) − IuIv) ; Iu
= 2Im
dt
0
L2

Z δ

2
2 ∧ c
I(u ) − (Iu)
+2Im
; Iv
dt.
0

L2

Observe que,

c ∗ Iv
c
· v − Iu
(I(uv) − IuIv)∧ = m(ξ)ud


b ∗ vb − m(·)u
b ∗ (m(·)b
= m(ξ)u
v)
Z 

b(ξ1 )b
b(ξ1 ) m(ξ2 )b
=
m(ξ)u
v (ξ2 ) − m(ξ1 )u
v (ξ2 ) dξ1
!
b(ξ1 ) m(ξ2 )b
m(ξ) m(ξ1 )u
v (ξ2 )
b(ξ1 ) m(ξ2 )b
=
− m(ξ1 )u
v (ξ2 ) dξ1
m(ξ1 )m(ξ2 )


Z
m(ξ)
b(ξ1 ) m(ξ2 )b
− 1 dξ1
=
m(ξ1 )u
v (ξ2 )
m(ξ1 )m(ξ2 )


Z
m(ξ)
−
m(ξ
)m(ξ
)
1
2
c 1 ) Iv(ξ
c 2)
=
Iu(ξ
dξ1 .
m(ξ1 )m(ξ2 )
Z

Facilmente, temos

I(u2 ) − (Iu)2

∧

c ∗ Iu
c
= m(ξ)ub2 − Iu
= m(ξ)b
u∗u
b − (m(·)b
u) ∗ (m(·)b
u)

Z 
=
m(ξ)b
u(ξ1 )b
u(ξ2 ) − m(ξ1 )b
u(ξ1 ) m(ξ2 )b
u(ξ2 ) dξ1


Z
m(ξ) − m(ξ1 )m(ξ2 )
c
c
=
Iu(ξ1 ) Iu(ξ2 )
dξ1 .
m(ξ1 )m(ξ2 )
49

Portanto,
Z δ


Z δZ
c
(I(uv) − IuIv) ; Iu
dt =

Z

∧

0

L2

0

c 1 ) Iv(ξ
c 2 ) Iu(ξ)M
c
Iu(ξ
(ξ, ξ1 )dξ1 dξ dt,

Rξ

de forma análoga obtemos que

Z δZ
Z δ

2
2 ∧ c
; Iv
dt =
I(u ) − (Iu)
0

L2


onde M (ξ, ξ1 ) =

0

Rξ

Rξ1

Z
c 1 ) Iu(ξ
c 2 ) Iv(ξ)M
c
Iu(ξ
(ξ, ξ1 )dξ1 dξ dt.
Rξ1


m(ξ) − m(ξ1 )m(ξ2 )
.
m(ξ1 )m(ξ2 )

Observamos que fixados N > 1, |ξ1 | ∼ N1 e |ξ2 | ∼ N2 temos que:
(i) Se 2|ξ1 | ≤ |ξ2 | e 2|ξ1 | ≤ N então |M (ξ, ξ1 )| .

N1
;
N2

(ii) Se 2|ξ2 | ≤ |ξ1 | e 2|ξ2 | ≤ N então |M (ξ, ξ1 )| .

N2
;
N1

N1
;
N
N2
(iv) Se 2|ξ2 | ≤ |ξ1 | e |ξ2 | ≥ 2N então |M (ξ, ξ1 )| .
e
N
 2
N1
.
(v) Se |ξ1 | ∼ |ξ2 | & N então |M (ξ, ξ1 )| .
N

(iii) Se 2|ξ1 | ≤ |ξ2 | e |ξ1 | ≥ 2N então |M (ξ, ξ1 )| .

Pela simetria das variáveis é suficiente verificarmos apenas as afirmações (i), (iii) e (v).
Usaremos o fato que m0 (ξ) = −N |ξ|−2 .
No primeiro caso, como |ξ1 |  N temos que m(ξ1 ) = 1, daı́,
|M (ξ, ξ1 )| =

m(ξ1 + ξ2 ) − m(ξ2 )
m0 (ξ2 )|ξ1 |
N1
∼
.
.
m(ξ2 )
m(ξ2 )
N2

1
Já para verificarmos o item (iii) precisamos observar antes que |ξ2 | ≤ |ξ1 +ξ2 | ≤ 2|ξ2 |
2
e com isso,
m(ξ1 + ξ2 ) − m(ξ1 )m(ξ2 )
m(ξ2 )

N |ξ1 + ξ2 |−1 − N |ξ2 |−1 N |ξ1 |−1
N |ξ2 |−1
|ξ2 |
N
=
−
|ξ1 + ξ2 | |ξ1 |
N
≤2−
∼ 1.
|ξ1 |
=

50

Logo, (iii) segue facilmente da observação que M (ξ, ξ1 ) ∼

N1
1
=
.
m(ξ1 )
N

O último caso, (v), segue do fato que
= N |ξ1 + ξ2 |−1 − N 2 |ξ1 |−1 |ξ2 |−1


1
N
∼N
−
2|ξ1 | |ξ1 |2
N |ξ1 | − 2N
∼ 1.
=
2|ξ1 |
|ξ1 |

m(ξ1 + ξ2 ) − m(ξ1 )m(ξ2 )

1
∼
Portanto, M (ξ, ξ1 ) ∼
m(ξ1 )m(ξ2 )



N1
N

2
.

Considerando
Z δZ

Z
c 1 ) Iv(ξ
c 2 ) Iu(ξ)M
c
Iu(ξ
(ξ, ξ1 )dξ1 dξ dt

L1 = 2Im

(2.12)

0

Rξ

Rξ1

e
Z δZ

Z

L2 = 2Im

(2.13)

c 1 ) Iu(ξ
c 2 ) Iv(ξ)M
c
Iu(ξ
(ξ, ξ1 )dξ1 dξ dt,
0

Rξ

Rξ1

obtemos,
|E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0)| = |L1 + L2 |.
Proposição 2.2 Para σ > 2 e s ≥ −1/2 temos
(2.14)

1

1

|E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0)| ≤ N − 2 δ 2 kI(u)k2X 0, 12 + kI(v)kX 0, 21 + .

Demonstração: É suficiente estimar L1 e L2 . Observamos ainda que L1 e L2 são
equivalentes. Neste caso, nos restringiremos a estimar L1 . Para 2|ξ1 | ≤ |ξ2 | e 2|ξ1 | ≤ N
N1
temos que |M (ξ, ξ1 )| .
. Segue-se então, pelos Lemas 2.3 e 2.4, que
N2

|L1 |

≤

≤

N1
N2

1/2

N1
N2

1/2

c 1 ) · Iv(ξ
c 2)
Dx1/2 Iu(ξ
−1/2

N3

c
Iu

X 0,1/2+

L2

c
Iv

c
Iu

X 0,1/2+

≤ N −1/2 δ 1/2 kI(u)k2X 0, 21 + kI(v)kX 0, 21 + .
51

L2

c
δ 1/2 Iu

X 0,1/2+

O caso (ii), isto é, 2|ξ2 | ≤ |ξ1 | e 2|ξ2 | ≤ N , segue pela simetria das variáveis.
Na demonstração dos casos (iii) e (iv) quando s = −1/2, temos que |M (ξ, ξ1 )| .
 1/2
N1
N

|L1 |

≤

≤

N1
N

1/2

N1
N

1/2

c 1 ) · Iv(ξ
c 2)
Dx1/2 Iu(ξ
−1/2

N3

c
Iu

X 0,1/2+

L2

c
Iv

c
Iu

L2

X 0,1/2+

c
δ 1/2 Iu

X 0,1/2+

≤ N −1/2 δ 1/2 kI(u)k2X 0, 21 + kI(v)kX 0, 21 + .
Para o último caso, temos |M (ξ, ξ1 )| .
|ξ1 | ≤ 2|ξ| e, com isso

|L1 |

N1
quando |ξ1 | ∼ |ξ2 | & N assim, segue que
N

N1
c 1 ) · Iv(ξ
c 2)
c
Dx1/2 Iu(ξ
Iu
N
L2
L2
N1 −1/2 c
c
c
Iu 0,1/2+ Iv
δ 1/2 Iu
≤
N1
0,1/2+
N
X
X
X 0,1/2+
2
−1 1/2
≤ N δ kI(u)kX 0, 21 + kI(v)kX 0, 12 + .
≤

O que encerra a demonstração.
Seguindo os mesmos argumentos apresentados acima prova-se a seguinte
Proposição 2.3 Para 0 < σ < 2 e s ≥ −1/4 temos
(2.15)

1

1

|E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0)| ≤ N − 4 δ 2 kI(u)k2X 0, 12 + kI(v)kX 0, 21 + .

Demonstração: Análoga a anterior.

2.4

Prova do Teorema de Boa Colocação Global

Nesta seção demonstraremos o Teorema 2.1. Dadas as condições iniciais do problema
de Cauchy (2.1) (u0 , v0 ) ∈ H s × H s temos que
kI(u0 )kL2 ≤ cN −s kkH s e kI(v0 )kL2 ≤ cN −s kv0 kH s .
52

Aplicando o resultado de boa colocação local da Proposição 2.1, vemos que existe
solução única no intervalo de tempo [0, δ], onde δ ∼ N −4s/3 e verifica-se também que
kI(u)kX 0, 21 + + kI(v)kX 0, 12 + ≤ cN −s .
1
Para σ > 2 e s ≥ − , usando a Proposição 2.2, temos
2
1

1

|E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0)| ≤ N − 2 δ 2 N −3s .
Devemos provar agora que para cada T > 0 podemos estender nossa solução para o
intervalo [0, T ], para isso é suficiente aplicarmos o Teorema de boa colocação local 2.1
até atingirmos este intervalo, ou seja, T /δ vezes. Se a energia modificada não crescer
mais do que a inicial para este número de interações podemos concluir que o resultado
é estendido até o intervalo [0, T ], isto é, devemos ter:

(2.16)

|E(Iu, Iv)(δ) − E(Iu, Iv)(0)|

T
 E(Iu0 , Iv0 ).
δ

Portanto, é suficiente que
(2.17)

1

1

N − 2 δ 2 N −3s

1
1
T
 N −2s ou N − 2 δ − 2 N −3s T  N −2s .
δ

2s
1
≤ −2s, pois δ −1/2 ∼ N 2s/3 . Verifica-se que para
Daı́ concluı́mos que − − 3s +
2
3
qualquer s ≥ −1/2 podemos estender a solução a qualquer intervalo de tempo tomando
N suficientemente grande.
A demonstração do outro caso segue de forma similar.

O Teorema demonstrado nesta seção nos diz que a solução do problema de Cauchy
estende-se globalmente no tempo nos segmentos que ligam os pontos (0, 0) e (−1/2, −1/2)
no caso σ > 2 e (0, 0) e (−1/4, −1/4) no caso 0 < σ < 2.

53

3

Resultados de Má
colocação

Neste capı́tulo vamos estabelecer alguns resultados de má colocação para o problema
de Cauchy (3.1) abaixo, com ênfase no caso σ = 1.


i∂t u + p∂x2 u − θu + uv = 0


1
(3.1)
iσ∂t v + q∂x2 v − αv + u2 = 0,
t ∈ [−T, T ], x ∈ R,

2



u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x),
(u0 , v0 ) ∈ H κ (R) × H s (R),
onde u e v são funções que assumem valores complexos.
Na primeira seção deste capı́tulo apresentamos a noção de má colocação explorada
neste trabalho. Encerraremos o capı́tulo apresentando os resultados obtidos neste trabalho e na penúltima seção discutimos sobre os tipos de contraexemplos a serem explorados.

3.1

Teoria Geral de Má Colocação

Um Problema de Cauchy é dito bem colocado, no sentido dado por Jacques Hadamard,
se ele tem as seguintes propriedades:
(a) Existe uma solução;
(b) A solução é única;
(c) Dependência contı́nua do dado inicial (O comportamento da solução dificilmente
muda quando há uma ligeira mudança na condição inicial).
O resultado apresentado neste trabalho inicia-se observando o Teorema de CauchyKowalevsky do qual segue que a aplicação dado-solução do Problema de Cauchy em
55

questão deve ser analı́tica vista como aplicação entre espaços de Banach, usaremos este
fato para provar que a aplicação dado-solução não é C 2 na origem.
Dada uma equação dispersiva em sua forma geral
i∂t u = φ(−i∂x )u + f (u),

(3.2)

onde φ é uma função que assume valores reais e f é alguma função não linear. O
Problema de Cauchy (3.2) com dado inicial u(0) = ϕ é reescrito, pelo Principio de
Duhamel, na forma integral como a seguinte equação integral
Z t
U (t − s)f (u(s))ds,

u(t) = U (t)ϕ − i

(3.3)

0

onde U (t) = exp(−itφ(−i∂x )) é o grupo unitário que resolve a equação linear associada.
Assim, assumindo a existência de uma solução local para a equação integral (3.3),
dado uma condição inicial ϕ ∈ H s (R), podemos associar uma única solução u(t, x) ∈
C([−T, T ]; H s (R)) dada pela expressão (3.3) que satisfaz a equação diferencial (3.2)
no sentido forte. Posto isto, dado qualquer elemento de H s (R) associamos uma única
solução da equação (3.2) que no instante t = 0 coincide com o elemento de H s (R)
fixado. Em geral, temos definido uma aplicação entre dois espaços de Banach, a saber
Z t
s
s
U (t − s)f (u(s))ds.
Φ : H (R) −→ C([−T, T ]; H (R)), Φ(ϕ) = U (t)ϕ − i
0

No nosso caso estamos interessados em um sistema de equações e assim se denotarmos
por X = H κ (R)×H s (R) e por Y = C([−T, T ]; H κ (R))×C([−T, T ]; H s (R)) teremos
como aplicação solução Φ : X −→ Y, Φ(ϕ, ψ) = (u(t), v(t)).
Fixados (ϕ, ψ) ∈ X. Seja G : R −→ X dada por G(γ) = (γϕ, γψ). Agora, considere
H : R −→ Y definido como H = ϕ ◦ G. Então,
DH(γ) = DΦ(G(γ)) ◦ DG(γ) .
| {z } | {z } | {z }
L(R;Y )

L(X;Y )

L(R;X)

Temos ainda que


D2 H(γ) = D2 Φ(G(γ)) ◦ DG(γ), DG(γ) + DΦ(G(γ)) ◦ D2 G(γ) .
| {z } |
{z
} |
{z
}
{z
} |
B(R×R;Y )

B(X×X;Y )

L(R;X)×L(R;X)

56

L(X;Y )◦B(R×R;X)

Ora, D2 G(γ) ≡ 0 e assim

D2 H(γ)(α, β) = D2 Φ(G(γ)) DG(γ)(α), DG(γ)(β)

= D2 Φ(G(γ)) G(α), G(β) .
Daı́, D2 Φ(0) ((ϕ, ψ), (ϕ, ψ)) = D2 H(0)(1, 1).
Neste trabalho vamos mostrar que a aplicação solução não é C 2 na origem, ou seja,
vamos mostrar que D2 Φ(0) é não limitado como aplicação bilinear. Para demonstrar
este fato exibiremos sequências (ϕn , vn ) ∈ X tais que
(3.4)

k(ϕn , vn )kX ≤ c e

D2 Φ(0) (ϕn , vn ), (ϕn , vn )

n→∞


Y

−→ ∞.

Como k(f, g)kY = supt kf kH κ (R) + supt kgkH s (R) , é suficiente mostrarmos que
kf kH κ (R) + kgkH s (R) ≥ c(t)nθ , onde θ > 0.
Para γ = 0 obtemos a segunda derivada de Frechét da aplicação dado solução:

∂γ2 u(γ; t, x)
∂γ2 v(γ; t, x)

Z t
= −2i
γ=0

Z0 t
= −2i

γ=0


U (t − s) U (s)ϕ(x) · Ua (s)ψ(x) ds e
2
Ua (t − s) U (s)ϕ(x) ds.

0

Obtemos assim que
(3.5)




D Φ(t) (ϕ, ψ), (ϕ, ψ) = ∂γ2 u(γ; t, x)
2

γ=0

, ∂γ2 v(γ; t, x)



.

γ=0

No que se segue será de grande valia o seguinte:
Lema 3.1 Seja g(t, z) =
g(t, z) ∼
= t.

eitz − 1
, com 0 < t < 1. Neste caso, se |z| ≤ 3 então
iz

Uma variação importante deste lema é o fato de podermos supor que |ta| ≤ 3 e com
isso teremos como resultado que g(t, z) ∼
= t.
cos(ta) − 1 + i sin(ta)
sin(ta)
Demonstração: Iniciamos por observar que g(t, a) =
=t
−
ia
ta
cos(ta) − 1
i
.
a
57

sin(ta)
cos(ta) − 1
tende a 1 enquanto que
tende
ta
a
a zero, isso implica que g(t, a) tende a t quando |a| tende a zero.

Quando |a| tende a zero teremos que

Quando |a| = 3 teremos que 0, 04 <

sin(3)
sin(3t)
1 − cos(3t)
≤
≤ 1 e que 0 ≤
≤
3
3t
3

1 − cos(3)
< 0, 7. Isso nos permite dizer, por continuidade, que g(t, a) sempre estará
3
próximo a t, na verdade estará próximo a ct, onde 0 < c ≤ 1 com c dependendo de a.

3.2

Segunda Derivada aplicada a funções elementares

De um modo geral, tomaremos como dados iniciais do Sistema (3.1) funções elementares da forma
ϕn (x) = n

α

Z

eixξ dξ.

An

É fácil ver que ϕ
cn (ξ) = nα χAn (ξ), e para verificar que ϕn ∈ H κ (R) basta observar que
2

kϕn k2H κ (R) =

(1 + |ξ|2 )κ/2 ϕ
cn L2 (R)
Z
=
(1 + |ξ|2 )κ n2α χAn (ξ)dξ
R Z
(1 + |ξ|2κ )dξ
≤ cn2α
An
2α

≤ cn (1 + sup{An }2κ )|An | ,
onde, |An | representa a medida de An .
Por exemplo, para obtermos um sequência de funções limitadas em H κ (R) basta to1
marmos An = [n, n + ]. Neste caso, o sup{An } ≤ 2n e |An | = n−1 . Assim,
n
kϕn kH κ (R) ≤ nα+κ−1/2 .

Se, An = [cn − d, cn + d] então sup{An } ≤ 2cn e |An | = 2d. Donde obtemos,
kϕn kH κ (R) ≤ nα+κ .

58

De um modo geral, se tomarmos como ponto de partida as funções elementares podemos encontrar uma expressão geral e, nesta perceberemos como a relação de dispersão
interfere na obtenção de resultados para mostrar que a forma bilinear associada ao fluxo
não é C 2 na origem.
α

Z
e

Considere ϕn (x) = n

ixξ

β

Z

eixξ dξ.

dξ e ψn (x) = n

An

Bn

Desse modo, temos
∂γ2 u(γ; t, x)

Z t
γ=0

(ϕn , ψn ) = −2i


U (t − s) U (s)ϕ(x) · Ua (s)ψn (x) ds.

0

2
Ora, como sabemos que U\
(s)ϕn (ξ) = e−isξ nα χAn (ξ) e de forma análoga, temos uma
−isaξ 2 β
U\
n χB (ξ), então, segue que
a (s)ψn (ξ) = e
n

h

i∧x
U (t − s) U (s)ϕ(x) · Ua (s)ψn (x)
(ξ)


=n

2
(s)ϕn ∗ U\
= e−i(t−s)ξ U\
a (s)ψn (ξ)

α+β −i(t−s)ξ 2

Z

e

2

2

eis(ξ−z) e−ias z χAn (ξ − z) χBn (z)dz

R

= nα+β e−itξ
= nα+β e−itξ

2

Z

2

ZBn

eis(ξ +(ξ−z) −az ) χAn (ξ − z)dz
2

2

2

eis(ξ +ξ1 −aξ2 ) χAn (ξ1 )dξ2 .
2

2

2

Bn

Note que ξ = ξ1 + ξ2 .
De maneira análoga concluı́mos que:
2
\
= e−ia(t−s)ξ U\
(s)ϕn ∗ U
(s)ϕ(ξ)

[Ua (t − s) (U (s)ϕ(x) · U (s)ϕ(x))]∧x (ξ)
2

Z

2

2

= n2α e−ia(t−s)ξ
e−is(ξ−z) e−isz χAn (ξ − z) χAn (z)dz
Z R
2
2
2
2
= n2α e−iatξ
eis(aξ −(ξ−z) −z ) χAn (ξ − z)dz
ZAn
2
2
2
2
= n2α e−iatξ
eis(aξ −ξ1 −ξ2 ) χAn (ξ1 )dξ2 .
An

O nosso interesse consiste em calcular
59

∂γ2 u(γ; t, x)

γ=0


= hξi ∂γ2 u(γ; t, x)
κ

(ϕn , ψn )
Hκ

= hξi

κ

Z t

γ=0

∧x
(ϕn , ψn )
L2ξ


U (t − s) U (s)ϕ(x) · Ua (s)ψ(x) ds

∧x

0

L2

Z t

∧x 
κ
U (t − s) U (s)ϕ(x) · Ua (s)ψ(x)
= hξi
ds
0
L2
Z
Z t
2
2
2
2
e−itξ
eis(ξ +ξ1 −aξ2 ) χAn (ξ1 )dξ2 ds
= nα+β hξiκ
0

α+β

=n

Bn

L2

Z t

Z

eis(ξ +ξ1 −aξ2 ) ds χAn (ξ1 )dξ2
Bn 0
|
{z
}

κ −itξ 2

hξi e

2

2

2

ga (t,ξ,ξ2 )

Z

= nα+β

hξi2κ e

−itξ 2

= nα+β

!1/2

2

ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

Bn

Rξ

Z

L2

Z

hξi2κ

!1/2

2

Z
ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

.

Bn

Rξ

Agora para a outra segunda derivada obtemos:

∂γ2 v(γ; t, x)

γ=0

s



= hξi

(ϕn , ψn )

∂γ2 v(γ; t, x)

Hs
s

Z t

= hξi

∧x
γ=0

(ϕn , ψn )
L2ξ

2
Ua (t − s) U (s)ϕ(x) ds

0

= hξis
= n2α

L2

Z t

∧x 
ds
Ua (t − s) U (s)ϕ(x) · U (s)ϕ(x)
0
L2
Z t
Z
2
2
2
2
hξis
e−iatξ
eis(aξ −ξ1 −ξ2 ) χAn (ξ1 )dξ2 ds
0

=n

2α

∧x

An

s −iatξ 2

Z

Z t

L2

eis(aξ −ξ1 −ξ2 ) ds χAn (ξ1 )dξ2
An 0
{z
}
|

hξi e

2

2

2

ha (t,ξ,ξ2 )

= n2α

Z

hξi2s e−iatξ

= n2α

!1/2

2

ha (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

An

Rξ

Z

2

L2

Z

hξi2s

ha (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2
An

Rξ

60

!1/2

2

Z

dξ

Em resumo, temos:
(3.6)
∂γ2 u(γ; t, x)

γ=0

Z

= nα+β

(ϕn , ψn )
Hκ

hξi2κ

!1/2

2

Z
ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

Bn

Rξ

e
(3.7)
∂γ2 v(γ; t, x)

γ=0

= n2α

(ϕn , ψn )
Hs

Z

hξi2s

!1/2

2

Z
ha (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

An

Rξ

onde

(3.8)

ga (t, ξ, ξ2 ) =

eit(ξ +ξ1 −aξ2 ) − 1
ds =
i (ξ 2 + ξ12 − aξ22 )
2

Z t
e

is(ξ 2 +ξ12 −aξ22 )

0

2

2

e

Z t
(3.9)

ha (t, ξ, ξ2 ) =

eit(aξ −ξ1 −ξ2 ) − 1
ds =
.
i (aξ 2 − ξ12 − ξ22 )
2

is(aξ 2 −ξ12 −ξ22 )

e
0

2

2

Os resultados obtidos aqui afirmam que fixado t > 0 a aplicação dado-solução não é
Frechét duas vezes diferenciável.

3.3

Resultados de má-colocação

Fixados os resultados básicos para a Teoria de má-colocação passemos a apresentar os
nossos resultados.
Proposição 3.1 No caso 0 < σ < 1/2, com σ 6= 1. O operador dado-solução não é
1
C 2 na origem se s < − .
2
Demonstração: Afim de facilitar a notação adotamos a = 1/σ.
√
√
1
1 − 2a − 1
1 + 2a − 1
Como a ≥ , temos que ga (t, ξ, ξ2 ) = 2(ξ − ξ2
)(ξ − ξ2
).
2
2
2
√
√
1 − 2a − 1
1 + 2a − 1
Seja µ =
, logo 1 − µ =
(Como a 6= 1 temos que µ 6= 1).
2
2
61

,






1
n
1
n
Considere agora An = n, n +
e Bn = − −
, − , nesse caso
2n
µ 2µn µ
α = 1/2 − κ e β = 1/2 − s então se (ξ − ξ2 ) ∈ An e ξ2 ∈ Bn o que nos dá
1
1
≤ ξ − (1 − µ)ξ2 ≤
e
4n
4n




1
1
1
1
−
≤ ξ − µξ2 ≤ n 2 −
+ .
n 2−
µ
4µn
µ
2n
−

Portanto |ξ 2 + ξ12 − aξ22 | ≤ 3 e segue do Lema 3.1 temos que ga (t, ξ, ξ2 ) ∼
= t.
Daı́,

D2 Φ(0) (ϕn , ψn ), (ϕn , ψn ) H κ ×H s
= n1−κ−s

≥ ∂γ2 u(γ; t, x)
Z

Z

Z

ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

!1/2

2

Z

hξi2κ

tχAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

Bn

hξi2κ

!1/2

2

Z
χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

Bn

Rξ

Z n(1− 1 )+ 1
µ

1
1− µ

n(

∼
= tn1−κ−s n−1

!1/2

2

Rξ

∼
= tn1−κ−s

Hκ

Bn

Rξ

∼
= tn1−κ−s

(ϕn , ψn )

Z

hξi2κ

= n1−κ−s

γ=0

n

hξi2κ

1
− µn

)

µ

n(

1dξ2

dξ

Bn

Z n(1− 1 )+ 1
1
1− µ

!1/2

2

Z

n

!1/2
hξi2κ dξ

1
− µn

)

≥ tn−κ−s nκ−1/2 = n−1/2−s .
µ−1
1
1
=
6= 0, ∀a ≥ .
µ
µ
2
Isto encerra a demonstração desta Proposição.

Note que 1 −

O resultado afirma que para 0 < σ < 2 a regularidade do segundo dado inicial deve ser
maior que meio para se obter boa colocação local.
O nosso foco será agora o caso σ = 1 onde foi possı́vel obter resultamos melhores
provando que os resultados obtidos neste caso são Sharp.
Proposição 3.2 No caso σ = 1. O operador dado-solução não é C 2 na origem se
1
s < − − k.
2
62

Demonstração: Tome a = 1/σ. Como a = 1, temos que ga (t, ξ, ξ2 ) = 2ξ(ξ − ξ2 ).
1
Considere agora An = [n, n + ], e Bn = −An , nesse caso α = 1/2 − k e β = 1/2 − s
n
então se (ξ − ξ2 ) ∈ An e ξ2 ∈ Bn então
−

1
1
≤ξ≤
e |ξ 2 + ξ12 − ξ22 | ≤ 3.
n
n

Portanto,

D2 Φ(0) (ϕn , ψn ), (ϕn , ψn ) H k ×H s
= n1−k−s

= ∂γ2 u(γ; t, x)
Z

∼
= tn1−k−s

ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

hξi2k

tχAn (ξ − ξ2 )dξ2

Z

Z

hξi2k

χAn (ξ − ξ2 )dξ2
Bn

Z 1

Z −n

n

hξi2k

1
−n

2

1dξ2
1
−n− n

Z 1

n

dξ
!1/2

2

Rξ

∼
= tn1−k−s n−1

dξ

!1/2

2

Z
Bn

∼
= tn1−k−s 

!1/2

2

Rξ



Hk

Bn

Rξ

= n1−k−s

(ϕn , ψn )

Z

hξi2k

Z

γ=0

dξ

1/2
dξ 

!1/2
hξi2k dξ

1
−n

≥ tn−κ−s n−1/2 = n−1/2−s−κ .
Para s < −κ −

1
o fluxo não é C 2 .
2

Proposição 3.3 No caso a = 1. O operador dado-solução não é C 2 na origem se
1
s < − + κ.
2
Demonstração: Como a = 1, temos que ga (t, ξ, ξ2 ) = 2ξ(ξ − ξ2 ). Considere agora
1 1
1
An = [− , ], e Bn = [n, n+ ]. Assim α = 1/2 e β = 1/2−s então se (ξ −ξ2 ) ∈ An
n n
n
e ξ2 ∈ Bn obtemos
n−

1
2
≤ξ ≤n+
e |ξ 2 + ξ12 − ξ22 | ≤ 3.
n
n

Portanto,
63


D2 Φ(0) (ϕn , ψn ), (ϕn , ψn ) H κ ×H s
= n1−s

= ∂γ2 u(γ; t, x)

Z

hξi2κ

=n

∼
= tn1−s

ga (t, ξ, ξ2 )χAn (ξ − ξ2 )dξ2

2κ

dξ

tχAn (ξ − ξ2 )dξ2
Bn

Z

Z

hξi2κ

!1/2

2

Z

hξi

dξ
!1/2

2

χAn (ξ − ξ2 )dξ2

dξ

Bn

Rξ

Z n+ 2

n

hξi2κ

1
n− n

∼
= tn1−s n−1

!1/2

2

Rξ

∼
= tn1−s 

Hκ

Bn

Z



(ϕn , ψn )

Z

Rξ
1−s

γ=0

2

Z 1

1dξ2
1
−n

Z n+ 2

n

1/2

n

dξ 

!1/2
hξi2κ dξ

1
n− n

≥ tn−s n−1/2+κ = n−1/2−s+κ .
Para s < κ −

1
o fluxo não é C 2 .
2
s

κ
s = |κ| − 1

Figura 3.1: Região onde a Proposição
1.1 não é válida assumindo σ = 1
Proposição 3.4 No caso σ = 1. O operador dado-solução não é C 2 na origem se
1
s > 2κ + .
2
64

Demonstração: Tome como dados iniciais do Sistema (3.1) (ϕn , ψn ) ∈ H κ (R) ×
H s (R), onde ψn (x) ≡ 0 e
Z −n

ϕn (x) = n1/2−κ

eixξ dξ +

−n−1/n

Z +1/n

!
eixξ dξ

0


É fácil ver que ϕ
cn (ξ) = n1/2−κ χ[−n−1/n,−n] (ξ) + χ[0,+1/n] (ξ) .
Vamos mostrar agora que
∂γ2 v(γ; t, x)

≥ c(t)ns−(2κ+1/2)
γ=0 H s (R)

Iniciamos por escrever ϕn (x) = ϕn,1 (x) + ϕn,2 (x), onde
Z −n
1/2−κ
ϕn,1 (x) = n
eixξ dξ
−n−1/n

e
ϕn,2 (x) = n

1/2−κ

Z 1/n

eixξ dξ,

0

Desta forma, podemos escrever
Z t

0

2

0

Z t

0

2

U (t − t ) (U (t )ϕn (x)) dt =
U (t − t0 ) (U (t0 ) [ϕn,1 (x) + ϕn,2 (x)]) dt0
0
0
Z t
Z t
2
2
0
0
0
=
U (t − t ) (U (t )ϕn,1 (x)) dt +
U (t − t0 ) (U (t0 )ϕn,2 (x)) dt0
|0
{z 0
}
A(t,x)

Z t

U (t − t0 ) (U (t0 )ϕn,1 (x)U (t0 )ϕn,2 (x)) dt0 .
0
{z
}

+2
|

B(t,x)

Assim, é suficiente provar que
2

∂γ2 v(γ; t, x)

=

s

Z t

hξi

γ=0 H s (R)

0

0

≤

0

∧x 2

U (t − t ) (U (t )ϕn (x)) dt
0

=

2

2
hξis (A(t, x) + B(t, x))∧x L2 (R)
Z
2
2s b
b

hξi

A(t, ξ) + B(t, ξ) dξ
Z
2
2
2s b
b ξ) dξ
= hξi A(t, ξ) dξ + hξi2s B(t,
RZ
R
b ξ)B(t,
b ξ)dξ.
+2 hξi2s A(t,
R

Z

R

65

L2 (R)

Observando isto, é nos basta provar que
hZ
i1/2
2
b ξ) dξ
hξi2s B(t,
≥ c(t)ns−(2κ−1/2) ,
R

ou seja,
∧x 2 !1/2
Z t
dξ
hξi2s
U (t − t0 )U (t0 )ϕn,1 (x) · U (t0 )ϕn,2 (x)dt0
≥ c(t)ns−(2κ−1/2) ,

Z
R

0

d
d
Seja agora An = [−n − 1/n, −n] e Bn = [0, 1/n]. Logo, φ
n,1 = χAn e φn,2 = χBn .
Agora vamos calcular a Transformada de Fourier com respeito a variável espacial x,


 ∧x
(ξ)
U (t − t ) U (t)ϕn,1 (x) U (t)ϕn,2 (x) dt0
0
Z t
Z
0 2
2
2
1−2κ
−itξ 2
∼
e
eit (ξ −ξ1 −ξ2 ) χBn (ξ2 )dξ1 dt0
=n

Z t

0

0

An

Como, ξ = ξ1 + ξ2 temos que ξ 2 − ξ12 − ξ22 = 2ξ1 ξ1 . Agora usando o fato que ξ1 ∈ An
e ξ2 ∈ Bn temos que 2ξ1 ξ2 ≤ 2 e com isso,

∂γ2 v(γ; t, x)

γ=0

1−2κ

(ϕn , ψn )

Z
Rξ

≤ tn−2κ

Z −n+1/n
−n−1/n

≤ tn−2κ+s+1/2 .

66

!1/2

2

Z

hξi

= tn
Hs

2s

χBn (ξ2 )dξ1
An

!1/2
hξi2s dξ

dξ

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