Dissertação
dissertacao_2009_alex(1).pdf
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Estimativas de Strichartz e a
Equação Não Linear de Schrödinger
em Espaços Euclidianos.
Alex Santana dos Santos
Maceió
Fevereiro de 2009
Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Estimativas de Strichartz e a Equação Não Linear de
Schrödinger em Espaços Euclidianos.
Alex Santana dos Santos
Maceió
2009
1
Alex Santana dos Santos
Estimativas de Strichartz e a Equação Não Linear de
Schrödinger em Espaço Euclidianos
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas como parte
dos requisitos para obtenção do título de
Mestre em Matemática.
Orientador: Prof Dr. Adán José Corcho Fernández
Maceió
2009
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S237e
Santos, Alex Santana dos.
Estimativas de Strichartz e a equação não linear de Schrödinger em espaços
euclidianos / Alex Santana dos Santos. – Maceió, 2009.
83f.
Orientador: Adán José Corcho Fernández.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2009.
Bibliografia: f. 83.
1. Análise harmônica. 2. Estimativas de Strichartz. 3. Schrödinger,Equação de.
I. Título.
CDU: 517.955
3
O ideal seria que as pessoas amassem
da mesma forma que sabem ngir.
(Bob Marley)
4
À minha mãe Margarida e aos meus irmãos
Luiz Mateus e Marcos Santana.
5
Agradecimentos
• Primeiramente, agradeço ao Deus que acredito por ter sido a minha luz e a força que
precisei durante esta jornada, na qual estive distante de tudo e de todos que amo.
• Ao meu orientador, professor Adán Corcho, dedico meus agradecimentos. Sem dúvida,
foi a pessoa responsável pelo sucesso deste trabalho.
• Quero agradecer aos professores Ediel Azevedo e Carlos Mateus pelas críticas e sugestões
ao presente texto dissertativo, as quais foram fundamentais para melhorias e correções
do mesmo. Agradeço ao professor Francisco Vieira (Chico) pela leitura minunciosa e
correções do presente texto.
• Quero registrar os meus agradecimentos aos professores desta instituição que contribuíram
direta e indiretamente para minha formação matemática. Agradeço a todos os
funcionários do Instituto de Matemática da UFAL, em especial à Dona Maria, pela alegria,
pela disponibilidade e pelos eternos cafezinhos.
• Durante esses dois anos eu tive uma grande jóia ao meu lado, fundamental nos momentos
de alegria e de tristeza, e confesso que cinquenta por cento desse mestrado eu devo a ela.
Por isso, quero agradecer e dizer muito obrigado a Priscila Santos Ramos por tudo que
representa, nesses anos de convivência, pelo carinho e companheirismo. Sou eternamente
grato.
• Agradeço a todos meus os colegas (amigos) de turma pela receptividade. Em particular,
Arlyson, André, Carlos Alberto, Darliton, Daniel, Erikson, Everson, Fabio Boia, Marcius
e Leandro. Posso armar, com certeza, que tive verdadeiros irmãos aqui em Maceió.
• Quero agradecer a José Eduardo pela disponibilidade e por sua enorme paciência.
6
• Desejo agradecer a todos os meus amigos da Bahia que incentivaram e sempre
demonstraram amizade durante esses anos. Em especial, André (Gabeh), Luana,
Leonardo, Welton e Bruno. Quero registrar os meus agradecimentos a minha grande
amiga Karine, pois mesmo distante, sempre demonstrou amizade e carinho, mostrando
assim, o verdadeiro sentido da amizade.
• Por m, agradeço à Capes/Fapeal que foram responsáveis pelo nanciamento dos meus
estudos; com certeza, foram fundamentais para a conclusão desta dissertação.
7
Resumo
Neste trabalho estudaremos a boa colocação local e global para
equação não linear de Schrödinger, com dados iniciais em L2 (RN ),
a saber
α
iut (t, x) + ∆x u(t, x) = γ |u(t, x)| u(t, x)
u(x, 0) = ϕ(x) ∈ L2 (RN ),
x ∈ RN , t ∈ R.
onde u é uma função de valores complexos e α < N4 .
Palavras-chave: Análise Harmônica, Estimativas de Strichartz,
Equação de Schrödinger.
8
Abstract
In this work we will study local and global well-posedness to
Schrödinger nonlinear equation, with initial data in L2 (RN ), thatis
α
iut (t, x) + ∆x u(t, x) = γ |u(t, x)| u(t, x)
u(x, 0) = ϕ(x) ∈ L2 (RN ),
x ∈ RN , t ∈ R.
where u is a complex value function and 0 < α < N4 .
Keywords: Harmonic Analysis, Schrödinger's equation.
9
Sumário
Introdução
10
1 Preliminares e alguns tópicos de Análise Harmônica
13
1.1 Espaços Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Convoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Interpolação de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Transformada de Fourier em RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Transformada de Fourier em L1 (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Transformada de Fourier no espaço de Schwartz . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Distribuições Temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Os Espaços de Sobolev do tipo L2 (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 O grupo livre de Schrödinger
13
16
18
26
26
28
31
34
40
2.1 Propriedades do Grupo Livre de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 As estimativas de Strichartz
47
4 Teoria de existência de soluções locais e globais em L2 (RN )
55
4.1 Teoria local em L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Teoria local em H 1 (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Teoria global em L2 (RN ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2
Referências Bibliográcas
78
10
Introdução
O objetivo deste trabalho dissertativo é estudar o problema de Cauchy para a equação não
linear Schrödinger com dados iniciais em L2 (RN ), isto é,
(1)
α
iut (t, x) + ∆x u(t, x) = γ |u(t, x)| u(t, x)
u(x, 0) = ϕ(x) ∈ L2 (RN ),
x ∈ RN , t ∈ R,
onde u é uma função de valores complexos e α < N4 (baseado nas referências [3] e [7]). Temos
o caso crítico quando α = N4 e para consultas temos como refêrencias [3] e [7].
A equação (1) é chamada equação não linear de Schrödinger (NLS) devido ao físico austríaco
Erwin Schrödinger que publicou em 1926 quatro trabalhos nos quais desenvolveu a sua famosa
teoria: Mecânica Quântica Ondulatória.
O caminho usado em nosso trabalho para obter uma solução para o problema de Cauchy
(1) será encontrar um ponto xo para o operador
Z T
Φ(u)(t) = S(t)ϕ + iγ
S(t − s) |u(s)|α uds.
(2)
0
Esta equação tem sido o motivo de várias pesquisas, pois ela modela vários fenômenos
físicos: no caso unidimensional, a equação não linear de Schrödinger com não-linearidade
|u(t, x)|2 u(t, x) modela a propagação de ondas pacotes na teoria de ondas aquáticas.
Estudaremos a existência , unicidade e dependência contínua das soluções de seus dados
iniciais para o problema de Cauchy (1) (no sentido de Hadamard) e diremos que o problema
(1) é bem posto localmente. Veremos ainda que podemos estender estas três propriedades para
qualquer intervalo de tempo [−T, T ] e assim mostraremos que o problema de Cauchy (1) é bem
11
posto globalmente. Contudo, antes de mostrarmos estas propriedades necessitamos de alguns
resultados preliminares. Partindo deste pressuposto estruturamos nosso trabalho da seguinte
maneira:
No Capítulo 1, iremos estudar alguns tópicos de análise harmônica, nos quais
estabeleceremos algumas ferramentas importantes para a compreensão dos próximos capítulos.
Em seguida, faremos, no capítulo 2, o estudo do problema de Cauchy para a equação linear
de Schrödinger, a saber,
(
(3)
iut (t, x) + ∆x u(t, x) = 0
u(x, 0) = ϕ(x) ∈ L2 (RN ),
x ∈ RN , t ∈ R.
Consequentemente, obteremos uma família de soluções para o problema de Cauchy (3), a
qual denotaremos por S(t)ϕ, e mostraremos que esta família de soluções é um grupo unitário
em L2 . Além do mais, usando alguns resultados do capítulo 1, encontraremos a estimativa
fundamental para a equação de Schrödinger, a saber,
N
1
kS(t)ϕkLp0 ≤ (4iπ |t|)− 2 (1− p ) kϕkLp ,
a qual será usada para provar as famosas estimativas de Strichartz, no capítulo seguinte.
No capítulo 3, iremos estudar os efeitos regularizantes para a equação de Schrödinger, e
assim, provaremos as estimativas de Strichartz, que será o principal resultado para a obtenção
da teoria local e global em L2 (RN ). Inicialmente, as estimativas foram obtidas por Strichartz
como uma restrição da transformada de Fourier e foi generalizada por Ginibre e Velo em
1979. Recentemente, foi obtida uma generalização das estimativas de Strichartz em variedades
Riemannianas.
No capítulo 4 iremos inicialmente, mostrar que a solução para o problema de Cauchy (1)
satistaz a equação integral (2), sendo este resultado uma a aplicação do princípio de Duhamel.
Em seguida, provaremos a existência e unicidade de soluções locais com dados iniciais em
L2 (RN ), bem com a dependência contínua das soluções de seus dados iniciais. Para nalizar,
provaremos uma lei de conservação em L2 (RN ) , via aproximação de soluções em H 1 (RN ),
permitindo isto estender nossas soluções locais em L2 (RN ) à toda reta.
12
Capítulo 1
Preliminares e alguns tópicos de Análise
Harmônica
Neste capítulo introduziremos conceitos e resultados básicos da Análise Harmônica.
Estudaremos as propriedades principais do operador Transformada de Fourier que tem um
papel fundamental na teoria que será desenvolvida neste trabalho.
1.1
Espaços
Lp
Denição 1.1. Seja 1 ≤ p ≤ ∞ e X ⊂ RN . Denotaremos por Lp (X) o conjunto das funções
f : X −→ C mensuráveis, tais que
kf kLp =
Z
p
p1
|f (x)| dx
< ∞, se 1 ≤ p < ∞
X
inf {λ > 0 ; µ(A ) = 0} < ∞, se p = ∞,
λ
onde Aλ = {x ∈ X ; |f (x)| > λ} e µ denota a medida de Lebesgue em RN .
Denição 1.2. Sejam p, q ∈ [1, ∞]. Dizemos que p e q são conjugados quando
1 1
+ = 1.
p q
Denotaremos por p0 o conjugado de p. Além disso, dizemos que 1 e ∞ são conjugados.
13
(1.1)
Teorema 1.1 (Desigualdade de Hölder). Sejam 1 ≤ p ≤ ∞, X ⊂ RN , f ∈ Lp (X) e g ∈ Lp0 .
Então, f g ∈ L1 e vale a desigualdade
kf gkL1 ≤ kf kLp kgkLp0 .
Demonstração. Ver teorema 3.5 de [8] .
Corolário 1.1. Sejam 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ tais que
1
θ 1−θ
= +
.
r
p
q
Suponhamos que f ∈ Lp (X) ∩ Lq (X). Então, f ∈ Lr (X) e além disso, vale
kf kLr ≤ kf kθLp kf kL1−θ
q .
= 1 de onde 1p +
Demonstração. Notemos que, θrp + (1−θ)r
q
θr
Z
Z
r
= 1. Logo,
|f |θr |f |(1−θ)r dx
|f | dx =
X
1
q
(1−θ)r
X
Z
θrp Z
p
θr θr
|f |
≤
|f |
dx
X
Z
=
q
(1−θ)r (1−θ)r
(1−θ)r
q
dx
X
θrp Z
(1−θ)r
q
q
|f | dx
|f | dx
.
p
X
X
Elevando ambos os membros da desigualdade acima a potência 1r , obtemos o resultado esperado,
ou seja,
Z
r
|f | dx
r1
Z
≤
X
p
pθ Z
|f | dx
X
q
|f | dx
1−θ
q
.
X
Teorema 1.2. Os espaços Lp (X) com 1 ≤ p ≤ ∞ e X ⊂ RN são espaços de Banach.
Demonstração. Ver teorema 3.11 de [8] .
Teorema 1.3. O espaço L2 (X) é um espaço de Hilbert.
14
Demonstração. Ver teorema 3.11 de [8] .
Teorema 1.4. Sejam 1 ≤ p ≤ ∞ e X ⊂ RN . Se f ∈ Lp (X), então
Z
kf kLp = sup
f (x)g(x)dx; kg(x)kLp0 = 1 .
X
Demonstração. Ver teorema 1.3 de [2] .
Teorema 1.5 (Desigualdade de Minkowski). Sejam X, Y ⊂ RN e a função f : X × Y −→ C
mensuráveis. Então, para todo 1 ≤ p < ∞ vale a desigualdade
|f (x, y)| dy
X
p1
p
Z Z
Z Z
p
|f (x, y)| dx
≤
dx
p1
Y
dy.
X
Y
Demonstração. A armação é clara se p = ∞. Se p < ∞ fazemos F (x) = Y |f (x, y)| dy. Pelo
R
teorema de dualidade e pela desigualdade de Hölder, segue que
kF kLp0 =
x
sup
|f (x, y)| dy dx
g(x)
kgk p0 =1
Y
X
Lx
Z
Z
Z Z
=
|f (x, y)| g(x)dxdy
sup
kgk p0 =1
Y
Lx
X
Z
≤
sup
kgk p0 =1
Lx
Y
kf kLpx kgkLp0 dy
x
Z
=
Y
kf kLpx dy.
Deste modo,
|f (x, y)| dy
X
p1
p
Z Z
dx
Z Z
≤
Y
p
|f (x, y)| dx
Y
p1
dy.
X
Denotaremos por C0 (RN ) a coleção de todas as funções contínuas de suporte compacto.
Teorema 1.6. Seja 1 ≤ p < ∞. Então, C0 (RN ) é denso em Lp (RN ).
Demonstração. Ver o teorema 3.14 de [8] .
15
Denição 1.3. Sejam I ⊂ R e p, q ≥ 1. Denotamos por Lpt (I; Lqx (RN )) o espaço das funções
mensuráveis f : RN × I −→ C tais que
p1
Z
kf kLpt (I;Lqx (RN )) =
kf (·, t)kpLqx dt
I
< ∞.
Para facilitar a notação no caso em que I = [0, T ], com T > 0 ou I = R, denotaremos
por LpT Lqx e Lpt Lqx , respectivamente.
Lpt (I; Lqx (RN ))
Teorema 1.7. Seja f : RN × I −→ C. Então
Z +∞ Z
kf kLpt (R;Lqx ) = sup
−∞
RN
f (x, t)g(x, t)dtdx; kgkLp0 (R;Lq0 ) = 1 .
t
x
A demonstração é análoga à do teorema 1.4.
1.1.1
Convoluções
Consideremos f, g ∈ L1 RN . Denotaremos por convolução de f e g a função denida por:
Z
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy.
RN
(1.2)
Uma observação importante a ser feita é que a integral em (1.2) existe. De fato, pelo teorema
R
de Fubini temos que a função y −→ RN f (x − y)g(y)dy pertence a L1 (RN ), para todo x fora
de um conjunto de medida nula. Além disso, temos que
Z
kf ∗ gkL1 =
Z
f (x − y)g(y)dy dx
N
ZR
≤
RN
Z
|f (x − y)g(y)| dy
Z
dy |g(y)|
|f (x − y)| dx
dx
N
ZR
=
RN
RN
RN
= kf kL1 kgkL1 .
Teorema 1.8. A convolução de funções mensuráveis quando denidas, tem as seguintes
propriedades algebricas:
1. f ∗ g = g ∗ f
16
2. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
3. (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h.
Demonstração. Ver torema 1.3 do capítulo 9 de [5].
Teorema 1.9. Sejam f ∈ L1 (RN ) e g ∈ Lq (RN ), então f ∗ g ∈ Lq (RN ) e, além disso, vale a
desigualdade
(1.3)
kf ∗ gkLq ≤ kf kL1 kgkLq .
Demonstração. Sejam q ∈ [1, ∞) e p o seu conjugado. Então,
1
1
(1.4)
|f (x − y)g(y)| = |f (x − y)| p |f (x − y)| q |g(y)| .
Agora, integrando (1.4) em relação à variável y , segue que
Z
|f ∗ g| =
f (x − y)g(y)dy
ZR
N
1
≤
1
|f (x − y)| p |f (x − y)| q |g(y)| dy
RN
p1 Z
Z
q
|f (x − y)| dy
≤
|f (x − y)| |g(y)| dy
RN
1q
,
RN
onde usamos a desigualdade de Hölder para obter a última desigualdade acima. Novamente,
integrando em relação a variável x e elavando à potência q , obtemos
Z
q
pq Z
Z
|f (x − y)| dy
RN
Z
Z
q
q
p
= kf kL1
|g(y)| dy
Z
|f ∗ g| dx ≤
RN
q
RN
RN
RN
|f (x − y)| dx
RN
= kf kLp 1 kf kL1 kgkqLq
= kf kqL1 kgkqLq .
Portanto,
kf ∗ gkLq ≤ kf kL1 kgkLq ,
como desejavamos mostrar.
17
|f (x − y)| |g(y)|q dydx
No caso em que f ∈ Lp (RN ) e g ∈ Lq (RN ), então f ∗ g ∈ Lr (RN ) onde 1r = 1q + p1 − 1, para
todo p, q ∈ [1, ∞). Este resultado é conhecido como Desigualdade de Young e sua demosntração
faremos na proxima seção.
1.2
Interpolação de Operadores
Seja H um espaço de Hilbert e A um subespaço vetorial de H . Denotamos por B(A, H) a
coleção de todos os operadores limitados T : A −→ H munido da seguinte norma:
kT k = inf {C > 0; kT f k ≤ C kf k , ∀f ∈ A}
Teorema 1.10. Sejam H um espaço de Hilbert e A um subespaço vetorial de H . Então,
1. (B(A, H), k·k) é um espaço de Banach.
kT f k
= sup kT f k
f 6=0 kf k
kf k=1
2. kT k = sup
∀ T ∈ B(A, H)
3. O operador T ∈ B(A, H) admite uma única extensão T ∈ B(A, H), onde A é o fecho de
A em H . Além disso,
kT k = T .
Demonstração. Ver o teorema 2.10.1 e 2.10.2 de [6].
Teorema 1.11 (Teorema das Três Linhas). Seja F uma função contínua e limitada denida
na faixa
S = {z = x + iy /0 ≤ x ≤ 1} ,
tal que F é analítica no interior de S . Se para cada y ∈ R
|F (iy)| ≤ M0 e |F (1 + iy)| ≤ M1 ,
então, para todo z = x + iy ∈ S , segue-se que
|F (x + iy)| ≤ M01−x M1x .
Antes da demonstração iremos enunciar o seguinte lema.
18
Lema 1.1. Sejam F satisfazendo as hipóteses do teorema anterior e S um retângulo compacto.
Se |F (z)| ≤ 1 para todo z ∈ ∂S , então para todo z ∈ S tem-se que |F (z)| ≤ 1 .
Demonstração. Ver lema 3.10 de [4]
Demonstração. (Prova do teorema 1.11) Sem perda de generalidade podemos supor que
M0 , M1 > 0. Considerando a função F (z)/M01−z M1z , reduzimos nossa demonstração ao caso em
que M0 = M1 = 1. Deste modo, segue que
|F (iy)| ≤ 1 e |F (1 + iy)| ≤ 1.
Queremos mostrar que |F (z)| ≤ 1 para todo z ∈ S . Primeiramente, suponhamos que
lim F (x + iy) = 0,
|y|→∞
uniformemente, para 0 ≤ x ≤ 1. O resultado segue do lema anterior, pois neste caso exite
y0 > 0 tal que |F (x + iy)| ≤ 1 para |y| ≥ y0 , ou seja, |F (x + iy)| ≤ 1 na fronteira do retângulo
com vertices
iy0 , 1 + iy0 , −iy0 , 1 − iy0 .
Logo, o lema garanti a estimativa no interior do retângulo.
No caso geral, consideraremos a função
2
Fn (z) = F (z)e(z −1)/n
∀n ∈ N
Mostraremos que Fn converge uniformemente para 0 em 0 ≤ x ≤ 1. Com efeito,
2
2
|Fn (z)| = |F (x + iy)| e−y /n e(x −1)/n
2
≤ |F (x + iy)| e−y /n −→ 0,
uniformemente, quando |y| −→ ∞, em 0 ≤ x ≤ 1, com |F (iy)| ≤ 1 e |F (1 + iy)| ≤ 1.
Portanto, segue da armação acima que |Fn (z)| ≤ 1. Fazendo n −→ ∞, obtemos
|F (z)| ≤ 1
19
∀ z ∈ S.
Teorema 1.12 (Riesz-Thorin). Sejam X ⊂ RN , Y ⊂ RN , p0 6= p1 , q0 6= q1 e seja
T ∈ B(Lp0 (X), Lq0 (Y )) ∩ B(Lp1 (X), Lq1 (Y )) com
kT f (x)kLq0
kT f (x)kLq1
e M1 = sup
kf kLp0
kf kLp1
f 6=0
f 6=0
M0 = sup
Então, T ∈ B(Lpθ (X), Lqθ (Y )) com a norma Mθ tal que
Mθ ≤ M01−θ M1θ ,
onde
1
1−θ
1
1
1−θ
1
=
+
;
=
+
pθ
p0
p1 qθ
q0
q1
θ ∈ (0, 1).
Demonstração. Usaremos os seguintes resultados em nossa demonstração, denotando por
Z
hh, gi =
h(y)g(y)dν(y).
Y
Pelo argumento de dualidade, segue que
khkLq = sup {|hh, gi| : kgkLq0 = 1}
e
kT kp,q = sup {|hT f, gi| : kgkLq0 = kf kLp = 1} ,
(1.5)
onde p1 + p10 = 1 = 1q + q10 .
No caso em que p, q = ∞ o resultado é imediato. Por outro lado, se p < ∞ e q 0 < ∞,
podemos assumir que f, g são funções simples de suporte compacto, isto é,
f (x) =
X
aj XAj (x) e g(x) =
X
j
bj XBk (x),
k
onde os Aj são disjuntos para todo j e os Bk são disjuntos para todo k . E, além disso,
kf kpθ = kgkq0 = 1.
θ
20
Consideremos agora 0 ≤ Rez ≤ 1 e denamos
1
1−z
z
1
1−z
z
=
+
e
=
+
p(z)
p0
p1
q(z)
q0
q1
ϕ(z) = ϕ(x, z) =
X
pθ
pθ
|aj | p(z) eiarg(aj ) p(z) XAj (x)
j
X
ψ(z) = ψ(x, z) =
|bk |
0
qθ
q(z)
pθ
eiarg(bk ) p(z) XBk (x).
k
Notemos que, ϕ(z) = ϕ(x, z) ∈ Lpj , onde j = 0, 1. De fato,
p
p
|ϕ(z)|
X
=
|aj |
pθ
p(z)
iarg(aj )
e
XAj (x)
j
X
=
|aj |
pθ
p(z)
!p
eiarg(aj ) XAj (x)
j
=
X
pθ
|aj | p(Rez) p XAj (x),
j
onde usamos fortemente o fato de que os conjuntos Aj são disjuntos . Portanto,
Z
p
p1
|ϕ(z)| dx
=
X
=
X
|aj |
pθ
p
p(z)
Z
XAj (x)dx
j
X
X
|aj | p(Rez) p µ(Aj ) < ∞.
pθ
j
Assim, a função ϕ(z) = ϕ(x, z) ∈ Lpj , onde j = 0, 1. Analogamente, mostra-se que
0
ψ(z) = ψ(x, z) ∈ Lqj , onde j = 0, 1. Logo, T ϕ(z) ∈ Lqj , onde j = 0, 1. Claramente, notamos
0
que ϕ0 (z) ∈ Lpj , ψ 0 (z) ∈ Lqj e (T ϕ)0 (z) ∈ Lqj para 0 ≤ Rez ≤ 1.
Denamos a função
F (z) = hT ϕ(z); ψ(z)i .
Logo, F é limitada, contínua em 0 ≤ Rez ≤ 1 e é analítica em seu interior. Mostraremos
que F satistaz as hipóteses do teorema das três linhas. De fato,
21
p0
p0
|ϕ(it)|
X
=
|aj |
pθ
p(it)
e
iarg(aj )
XAj (x)
j
X
=
pθ
|aj | p(it) p0 XAj (x).
j
Por outro lado,
1 − it
it
+ pθ p0
p0
p1
pθ p0 it
= pθ − itpθ +
p1
p0
= pθ + itpθ −1 +
.
p1
pθ
p0 = pθ p0
p(it)
Portanto,
|ϕ(it)|p0 =
X
=
X
pθ
|aj | p(it) p0 XAj (x)
j
p
pθ +itpθ −1+ p0
|aj |
1
XAj (x)
j
!p θ
X
=
|aj | XAj (x)
.
j
Assim,
Z
kϕ(it)kp0 =
p0
|ϕ(it)| dx
p1
0
X
! p1
!p θ
Z
X
=
X
|aj | XAj (x)
j
! ppθ p0
Z
=
X
0
dx
X
0
|aj | XAj (x)
j
22
p1
0
dx
.
Claramente,
kϕ(it)kp0 =
Z
p 0
p1
dx
0
X
pθ
|f | p0
=
=
|f |
pθ
p0
p0
pθ /p0
kf kpθ = 1.
Similarmente,
pθ
kϕ(1 + it)kp1 = |f | p1
p1
= kf kppθθ /p1 = 1
e
kψ(it)kq0 = kψ(1 + it)kq0 = 1.
0
1
Daí, usando a desigualdade de Hölder e as hipóteses do teorema, obtemos que
|F (it)| = |hT ϕ(it); ψ(it)i|
Z
=
T ϕ(it)ψ(it)dν(y)
ZY
≤
|T ϕ(it)ψ(it)| dν(y)
Y
= kT ϕ(it)ψ(it)|kL1
≤ kT ϕ(it)kLq kψ(it)kLq0
≤ M0
e
|F (1 + it)| = |hT ϕ(1 + it); ψ(1 + it)i|
≤ kT ϕ(1 + it)kLq1 kψ(1 + it)kLq10
≤ M1 .
Observamos que ϕ(θ) = f , ψ(θ) = g e F (θ) = hT f, gi. Assim, pelo teorema das três linhas
temos que
|hT f, gi| ≤ M01−θ M1θ .
Tomando o supremo e usando (1.5), temos o resultado desejado, ou seja,
23
Mθ ≤ M01−θ M1θ ,
onde
1
1−θ
1
1
1−θ
1
=
+
;
=
+
pθ
p0
p1 q θ
q0
q1
θ ∈ (0, 1).
Aplicaremos o teorema de interpolação de Riesz-Thorin para demonstrar a desigualdade de
Young.
Teorema 1.13 (Desigualdade de Young). Sejam p, q ∈ [1, ∞) com 1q + p1 ≥ 1. Se f ∈ Lp (RN )
e g ∈ Lq (RN ), então f ∗ g ∈ Lr (RN ), onde 1r = 1q + p1 − 1. Além disso,
(1.6)
kf ∗ g|kLr ≤ kf kLp kgkLq .
Demonstração. Seja g ∈ Lq (RN ) e denamos o operador
Z
T f (x) = (f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy
RN
Provamos em (1.3) que o operador T : L1 −→ Lq é limitado, ou seja,
kT f kLq ≤ kf kL1 kgkLq .
Donde, concluimos que
kT f kLq
≤ kgkLq .
f 6=0 kf kL1
kT k0 = sup
Por outro lado, vemos que
Z
|T f (x)| =
f (x − y)g(y)dy
RN
Z
≤
|f (x − y)g(y)| dy
RN
Z
≤
q0
10 Z
q
|f (x − y)| dy
|g(y)| dy
RN
RN
= kf kLq0 kgkLq .
24
q
1q
Portanto,
kT f (x)kL∞ ≤ kf kLq0 kgkLq .
Logo,
kT f (x)kL∞
≤ kgkLq .
kf kLq0
f 6=0
kT k1 = sup
Em outras palavras, o operador T : Lq −→ L∞ é limitado. Dessa maneira, o toerama de
Riesz-Thorin nos assegura que o operador T : Lp (RN ) −→ Lr (RN ) é limitado tal que
0
kT kθ ≤ kT k01−θ kT kθ1
θ
≤ kgk1−θ
Lq kgkLq
= kgkLq ,
onde
1
1−θ
θ
θ
=
+ 0 =1−
p
1
q
q
e
1−θ
1
θ
1
1 1
=
+0= + 1−
− 1 = + − 1.
r
q
q
q
q p
Portanto,
kT f kLr = kf ∗ gkLr ≤ kf kLp kgkLq .
Denição 1.4. Seja 0 < α < N . O potencial de Riesz de ordem α, denotado por Iα é deinido
por
Z
Iα f (x) = Cα
f (y)
N −α
RN |x − y|
dy
(1.7)
onde Cα = π− 2 2−α Γ(N/2 − α/2)/Γ(α/2).
N
Teorema 1.14 (Hardy-Littlewood-Sobolev). Sejam 0 < α < N e 1 ≤ p < q < ∞, com
1
= p1 − Nα .
q
1. Se f ∈ LP (RN ), então a integral (1.7) é absolutamente convergente para algum x ∈ RN .
2. Se p > 1, então kIα f (x)kLq ≤ C kf kLp .
Demonstração. Ver teorema 2.18 de [7].
25
1.3
Transformada de Fourier em
RN
Nesta seção, iremos estudar os principais resultados para o operador Transformada de
Fourier, os quais terão uma grande importância para a compreensão e desenvolvimento dos
próximos capítulos.
1.3.1
Transformada de Fourier em
L1 (RN )
Denição 1.5. Seja f : RN −→ C pertencente a L1 (RN ). A Transformada de Fourier de f é
a aplicação fˆ = F(f ) : RN −→ C dada por:
−N/2
fˆ (ξ) = (2π)
Z
f (x) e−iξ.x dx,
(1.8)
xi ξi .
(1.9)
RN
onde x = (x1 , x2 , ..., xn ) ; ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ RN e
x.ξ =
n
X
i=1
Teorema 1.15. Seja fˆ a Transformada de Fourier de f ∈ L1 (RN ). Então,
1. f −→ fˆ dene uma Transformação linear, satisfazendo
fˆ
−n
L∞
≤ (2π) 2 kf kL1 .
2. fˆ é contínua
3. Vale o lema de Riemann-Lebesgue, isto é, lim fˆ(ξ) = 0.
|ξ|→∞
4. Se fh (x) = f (x + h), então
ih.ξ
d
ih.ξ f ) = fb(ξ − h).
ˆ
(f
e (e[
h )(ξ) = f (ξ)e
Demonstração. Ver teorema 1.1 do capítulo 9 de [5].
O resultado a seguir mostrará a relação entre a convolução e a Transformada de Fourier.
26
Teorema 1.16. Sejam f , g ∈ L1 . Então,
N
(f ∗ g)b (ξ) = (2π) 2 fˆ(ξ)ĝ(ξ).
(1.10)
Demonstração. Sabemos que se f, g ∈ L1 , então f ∗ g ∈ L1 (RN ). Logo, podemos calcular a
Transformada de Fourier da convolução.
−N/2
Z
(f ∗ g)b (ξ) = (2π)
RN
−N/2
Z
= (2π)
(f ∗ g) (x) e−iξ.x dx
Z
−iξ.x
f (x − y)g(y)dy.
e
dx
RN
RN
Daí,
−N/2
Z
Z
(f ∗ g)b (ξ) = (2π)
g(y)dy
−N/2
Z
Z
= (2π)
e−iξ.(x+y−y) f (x − y)dx
Z
−iξ.y
e−iξ.(x−y) f (x − y)dx
g(y)e
dy
g(y)dy
RN
−N/2
e−iξ.x f (x − y)dx
RN
RN
Z
= (2π)
RN
RN
−N/2
N/2 ˆ
(2π) f (ξ) (2π)
= (2π)N/2 fˆ(ξ)ĝ(ξ).
= (2π)
RN
N/2
ĝ(ξ)
Consideremos agora a função f : R −→ R, dada por:
(
f (x) =
1, se x ∈ [−1, 1]
0, se x ∈
/ [−1, 1]
Claramente, f ∈ L1 (R). Portanto, podemos calcular a sua Transformada de Fourier e não
é dicil vericar que é dada por:
(
fˆ(ξ) =
(2π)−N/2 sinξ ξ , se ξ 6= 0
(2π)−N/2
, se ξ = 0
Entretanto, fˆ ∈
/ L1 (R). Concluímos que, em geral, nem sempre podemos recupera a função
27
f através da Transformada de Fourier, isto é, uma vez conhecida a Transformada de Fourier
de uma dada função em L1 (RN ), não garantimos que exista uma aplicação que seja a inversa
da Transformada de Fourier. Este fato indica que devemos estudar a Transformada de Fourier
em subespaços de L1 (RN ) nos quais possamos denir uma aplicação que seja inversa para a
Transformada de Fourier. Para maiores informações e exemplos ver seção 9.1 de [5].
1.3.2
Transformada de Fourier no espaço de Schwartz
Vimos que nem sempre f ∈ L1 (RN ) implica que fˆ ∈ L1 (RN ). Uma das grandes aplicações
da Transformada de Fourier é reduzir o grau de diculdade de um dado problema e depois
apresentar a solução. Contudo, faz-se necessário obtermos uma inversa para a Transformada
de Fourier. Estudaremos a Transformada de Fourier em espaços nos quais podemos denir uma
aplicação inversa da Transformada de Fourier. Para maiores referências consultar [2] e [5]
Algumas Notações e Denições: Seja N o conujunto dos números naturais e NN =
N
× ... × N}. Se α ∈ NN , α = (α1 , α2 , ..., αN ) é chamado de multi-índices. Além disso,
| × N {z
N
dados x ∈ RN e α multi-índices, denimos
|α| =
N
X
xα = xα1 1 · xα2 2 · .... · xαNN .
(1.11)
α1
α2
αN
∂
∂
·
· ... ·
.
∂x2
∂xN
(1.12)
αj
;
j=1
α
∂ =
∂
∂x1
Denição 1.6 (Espaço de Schwartz). Denotamos por S(RN ), a coleção de todas as aplicações
f : RN −→ C tais que f ∈ C ∞ (RN ) e
kf kα,β = sup xα ∂ β f (x) < ∞.
x∈RN
(1.13)
Denimos a toplogia do espaço de Schwartz S(RN ) como sendo a familia das semi-normas
dadas em (1.13).
Teorema 1.17. Seja f ∈ C ∞ (RN ). Então, f ∈ S(RN ) se, e somente se,
lim xα ∂ β f (x) = 0,
|x|→∞
28
∀ α, β ∈ N N .
Demonstração. Ver teorema 1.11 de [2].
Proposição 1.1. O espaço de Schwartz S(RN ) é denso em Lp (RN ).
Demonstração. Ver teorema 1.12 de [2].
Denição 1.7. Dizemos que uma seqüência {fk } em S(RN ) converge para f ∈ S(RN ) quando
∀ α, β ∈ NN .
lim kfk − f kα,β = 0
k→∞
Quando nos referirmos à denição precedente, usaremos a seguinte notação
S
fk → f.
L
S
f . Então, fk → f .
Lema 1.2. Sejam p ∈ [1, ∞] e fk →
p
Demonstração. Ver Lema 5.1 do capítulo 9 de [5].
A transformada de Fourier de uma função f ∈ S(RN ) é denida igualmente à fórmula
estabelecida em (1.8).
Teorema 1.18. Se f ∈ S(RN ), então fˆ ∈ S(RN ) e valem as fórmulas:
a) (−i)|α| (∂ α f ) ˆ (ξ) = ξ α fˆ(ξ).
b) (−i)|α| (xα fˆ )(ξ) = (∂ α fˆ )(ξ).
Demonstração. Ver teorema 2.2 e 2.3 de [2].
−|ξ|2
Lema 1.3. Seja a ∈ C/ {0}, com Re(a) ≥ 0 e g(x) = e−a|x| . Então, ĝ(ξ) = e 4a (2a)− 2 .
2
N
Demonstração. Ver lema 2.1 de [2].
Teorema 1.19 (Fórmula de Inversão). Sejam f, g ∈ S(RN ), então fb ∈ S(RN ). Por
consequência, vale a fórmula de inversão, ou seja,
−N/2
Z
fˆ(x)eiξ.x dξ
f (x) = (2π)
RN
e, além disso,
Z
Z
f ĝ =
RN
RN
29
fˆg.
(1.14)
Demonstração. Ver teorema 2.4 de [2].
Denamos o operador fˇ = F −1 : S(RN ) −→ S(RN ) como segue:
fˇ = (2π)−N/2
Z
f (ξ)eiξ.x dξ.
RN
(1.15)
Observemos que fˇ está bem denido, pois S(RN ) ⊂ L1 (RN ) e eiξ.x é limitada. Assim, pela
fórmula de inversão temos que
f (x) = (fˆ)ˇ(ξ).
De maneira simples podemos mostrar que
f (x) = (fˇ)ˆ(x).
Assim, o operador Transformada F : S(RN ) −→ S(RN ) é limitado e bijetor. O próximo
resultado é conhecido como a identidade de Parserval em S(RN ).
Teorema 1.20. Sejam f, g ∈ S(RN ). Então,
Z
hf, gi =
Z
f (x)g(x)dx =
RN
D
E
ˆ
ˆ
f (ξ)ĝ(ξ)dξ = f , ĝ .
RN
Equivalentemente,
kf kL2 = fˆ
L2
.
Demonstração. Ver teorema 2.3 do capitulo 9 de [5].
De forma geral, dada uma f ∈ L2 a Transformada de Fourier denida em (1.8) não faz
sentido. Por exemplo,
(
0 se x ∈ (−∞, 1]
f (x) =
−1
x , se (1, +∞).
Claramente, f ∈ L2 (RN ), mas não pertence a L1 (RN ). No entanto, utilizando alguns
resultados podemos denir a Transformada de Fourier em L2 (RN ). Usando a proposição 1.1,
obtemos que S(RN ) é denso em L2 (RN ) e utilizando a identidade de Parserval vemos que
o operador Transformada de Fourier e sua inversa satisfazem as hipóteses do toerema 1.10,
portanto podemos estender o operador transformada para um operador em L2 (RN ).
30
Denição 1.8. Dada f ∈ L2 (RN ) e {fn } qualquer seqüência em S(RN ) tal que fn −→ f em
L2 (RN ), segue que
lim fˆn = fˆ e
lim fˇn = fˇ,
n→∞
n→∞
onde o limite é visto no sentido de L2 (RN ).
Teorema 1.21. Transformada de Fourier em L2 (RN ) é denida como a única extensão da
transformada em S(RN ) a L2 (RN ).
Demonstração. Ver teorema 2.7 de [2].
1.3.3
Distribuições Temperadas
Na seção precedente observamos que o espaço de Schwartz possui propriedades interessantes
referentes a Transformada de Fourier e de forma natural estenderemos estes conceitos para as
chamadas funções generalizadas ou distribuições Temperadas.
Denição 1.9. Dizemos que o operadores T : S(RN ) −→ C é uma distribuição temperada, se
1. T é um operador linear
S
2. T é contínuo, isto é, se ϕk →
0, então T ϕk −→ 0 quando k −→ ∞.
Denotaremos por S 0 (RN ) a coleção de todas as distribuições temperadas. Em outras
palavras, S 0 (RN ) é o dual topológico do espaço de Schwartz. Vamos considerar alguns exemplos
importantes para o estudo da teoria das distribuições.
Primeiramente, os elementos de Lp onde 1 ≤ p ≤ ∞ denem distribuições temperadas
através da fórmula
Z
Tf (ϕ) =
f ∈ Lp (RN ),
f (x)ϕ(x)dx,
RN
De fato, usando a desigualdade de Hölder temos,
Z
|Tf (ϕ)| =
f (x)ϕ(x)dx
RN
Z
≤
|f (x)ϕ(x)| dx
RN
≤ kf kLp kϕkLp ,
31
ϕ ∈ S(RN ).
onde p1 + 1q = 1. Usando o lema 1.2 temos o resultado desejado.
Um outro exemplo bem conhecido é a distribuição δ de Dirac centrada no ponto x ∈ RN ,
denida por
ϕ ∈ S(RN ).
δx (ϕ) = ϕ(x),
Facilmente, podemos vericar que δ de Dirac centrada no ponto x ∈ RN é linear. Além
disso, temos que
|δx (ϕ)| ≤ kϕkL∞ .
onde δ é contínua. Logo, δ é uma distribuição.
Denição 1.10. Sejam {Tk } uma seqüência em S 0 (RN ) e T ∈ S 0 (RN ). Dizemos que {Tk } é
convergente para T quando
∀ ϕ ∈ S(RN ).
lim Tk (ϕ) = T (ϕ)
k→∞
Quando estivermos de agora em diante nos referindo à denição acima escreveremos,
S0
Lp
Tk → T . Esta noção de convergência é muito fraca. De fato, sejam fk ∈ Lp (RN ) e fk → f .
Usando a desigualdade de Hölder obtemos,
Z
|Tfk (ϕ) − Tf (ϕ)| =
(fk − f )(x)ϕ(x)dx
RN
Z
≤
|(fk − f )(x)| |ϕ(x)| dx
RN
≤ kfk − f kLp kϕ(x)kLq ,
onde p1 + 1q = 1. Fazendo k −→ ∞, vemos que Tfk −→ Tf , visto que ϕ(x) ∈ S(RN ).
Logo, mostramos que a aplicação f ∈ Lp (RN ) −→ Tf ∈ S 0 (RN ) é contínua e ainda injetiva.
Portanto, podemos identicar Lp (RN ) como um subconjunto de S 0 (RN ). Passaremos a denotar
os elementos de S 0 (RN ) com a notação usual de funções f, g . Iremos adotar a seguinte notação
f (ϕ) = hf, ϕi ,
f ∈ S 0 (RN )
ϕ ∈ S(RN ).
(1.16)
Em particular, se f ∈ Lp (RN ) com 1 ≤ p < ∞, escrevemos
Z
hf, ϕi =
f (x)ϕ(x)dx
RN
32
ϕ ∈ S(RN ).
(1.17)
Agora, deniremos a derivida, a convolução e a Transformada de Fourier de uma distribuição
temperada. Para maiores informações consulte a seção 7 do capítulo 9 de [5] e seção 4 do
capítulo 1 de [2].
Denição 1.11 (Derivada). Sejam α ∈ N N e f ∈ S 0 (RN ). A derivada ∂ α f de f é o funcional
∂ α f : S(RN ) −→ C
ϕ 7−→ (−1)|α| f (∂ α ϕ).
Denição 1.12. Sejam ϕ ∈ S(RN ) e T ∈ S 0 (RN ). A convolução de T com ϕ é a aplicação
T ∗ ϕ : S(RN ) −→ C
dada por
T ∗ ϕ(φ) = T (ϕ ∗ φ),
∀ φ ∈ S(RN ).
Denição 1.13. Seja f ∈ S 0 (RN ). A Transformada de Fourier de f é a distribuição temperada
F(f ) = fˆ dada por
fˆ(ϕ) = f (ϕ̂)
∀ ϕ ∈ S(RN )
e a Transformada inversa de f , denotada por F −1 (f ) = fˇ é dada por
fˇ(ϕ) = f (ϕ̌).
Teorema 1.22. A aplicação F : S 0 (RN ) −→ S 0 (RN ) é um isomorsmo.
Demonstração. Ver o teorema 2.8 de [2].
Vamos agora estabelecer a relação entre a derivada e a Transformada de Fourier em S 0 (RN ),
mas antes denamos a coleção Q(RN ) das funções pertecentes a C ∞ (RN ), de crescimento lento,
isto é, φ ∈ Q(RN ) quando φ ∈ C ∞ (RN ) e, para todo α ∈ NN , existe uma constante C(α) e um
número natural n(α) tais que
|∂ α φ(x)| ≤ C(α)(1 + |x|2 )n(α)
∀ x ∈ RN .
Denição 1.14. Sejam T ∈ S 0 (RN ) e φ ∈ Q(RN ). Denimos a distribuição φT , chamada de
33
produto da distribuição T com a função φ, por
φT (ϕ) = T (φϕ),
∀ ϕ ∈ S(RN ).
Teorema 1.23. Seja f ∈ S 0 (RN ). Denotamos por xα f o produto da função φ(x) = xα com a
distribuição temperada f . Então,
1. (∂ α f )b= i|α| ξ α fˆ;
2. ∂ α (fˆ) = (−i)|α| (xα f )ˆ.
Demonstração. Ver teorema 2.9 de [2].
1.3.4
Os Espaços de Sobolev do tipo
L2 (RN )
Nesta seção introduziremos os conceitos clássicos dos Espaços de Sobolev do tipo L2 (RN ),
de ordem s ∈ R, mediante a Transformada de Fourier em S 0 (RN ). Os espaços de Sobolev serão
denotados por H s (RN ).
Denição 1.15. Seja s ∈ R. Os Espaços de Sobolev de ordem s são subconjuntos de S 0 (RN )
dados por
n
o
s
H s (RN ) = f ∈ S 0 (RN ) : ∧s f (ξ) = (1 + |ξ|2 ) 2 fˆ ∈ L2 (RN )
(1.18)
com norma k·ks denida por
kf kH s = k∧s f kL2 =
Z
2
(1 + |ξ| ) fˆ(ξ) dξ
2 s
RN
21
.
(1.19)
Observemos que se s ≥ s0 , então H s (RN ) ⊆ H s (RN ). Com efeito, seja f ∈ H s (RN ).
0
Provaremos que f ∈ H s (RN ), isto é, kf kH s0 < ∞. Notemos que, s ≥ s0 implica que
s0
s
(1 + |ξ|2 ) 2 ≤ (1 + |ξ|2 ) 2 . Vemos que,
0
kf k2H s0
Z
2
0
(1 + |ξ|2 )s fˆ(ξ) dξ
=
N
ZR
≤
2
(1 + |ξ|2 )s fˆ(ξ) dξ
RN
= kf k2H s < ∞.
34
Logo, H s (RN ) ⊆ H s (RN ).
0
Teorema 1.24. Os Espaços de Sobolev H s (RN ) são espaço de Hilbert quando
Z
hf, giH s =
(1 + |ξ|2 )s fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ.
RN
(1.20)
Proposição 1.2. Sejam s, s0 ∈ R. Então,
1. H s (RN ) b= L2 (RN , (1 + |ξ|2 )s dx).
2. O dual topológico de H s (RN ) é isometricamente isomorfo a H −s (RN ).
Demonstração. (Ver proposição 8.1 do capítulo 9 de [5].)
Teorema 1.25. Seja m ∈ N. Então, f ∈ H m (RN ) se, e somente se, ∂ α f ∈ L2 (RN ) para todo
multi-índice |α| ≤ m, onde as derivadas são calculadas no sentido das distribuições.
Demonstração. Primeiramente, se f ∈ H m (RN ), então ∂ α f ∈ L2 (RN ), isto é, k∂ α f kL2 < ∞.
De fato, usando o teorema (1.23), segue que
(∂ α f )b= i|α| ξ α fˆ.
Por outro lado,
|ξ|α = |ξ1α1 . . . ξnαn |
α1
αn
≤ (1 + |ξ|2 ) 2 . . . (1 + |ξ|2 ) 2
|α|
≤ (1 + |ξ|2 ) 2 .
Assim, para |α| ≤ m, segue que
k∂ α f k2L2 = k(∂ α f )bk2L2
Z
=
|(∂ α f (x))b|2 dx
N
ZR
2
ξ α fˆ(ξ) dξ
=
N
ZR
2
=
|ξ|2α fˆ(ξ) dξ.
RN
35
Portanto,
k∂
α
f k2L2
Z
2
(1 + |ξ|2 )|α| fˆ(ξ) dξ
≤
N
ZR
2
(1 + |ξ|2 )m fˆ(ξ) dξ
≤
RN
= kf kH m < ∞.
Deste modo, ∂ α f ∈ L2 (RN ).
Reciprocamente, suponhamos agora que ∂ α f ∈ L2 (RN ) para todo α ∈ N tal que |α| ≤ m.
Aplicando o teorema binomial, obtemos
2 m
(1 + |ξ| )
fˆ(ξ)
m
X
2
=
2
cj |ξ|2j fˆ(ξ) .
j
Notemos que
m
X
cj |ξ|2j fˆ(ξ)
2
2
é uma combinação linear de ξ α fˆ(ξ) . Portanto, estas funções
j
são integráveis devido às hipóteses feitas no teorema (1.23). Logo,
Z
kf kH m =
2
(1 + |ξ|2 )m fˆ(ξ) dξ
RN
Z
=
RN
m
X
2
cj |ξ|2j fˆ(ξ) 2 < ∞.
j
Assim, f ∈ H m (RN )
Teorema 1.26 (Imersão de Sobolev). Seja s > n2 . Então, H m (RN ) pode ser imerso
continuamente em C∞ (RN ) (a coleção das funções contínuas de RN em C que tendem a zero
quando |x| → ∞) e vale a desigualdade
kf kL∞ ≤ (2π)
−n
2
Z
kf kH s
2 −s
(1 + |ξ| )
RN
36
21
.
(1.21)
Demonstração. Seja f ∈ H s (RN ). Primeiramente, mostraremos que fˆ ∈ L1 . Com efeito,
Z
kf kL1 =
fˆ(ξ) dξ
N
ZR
=
(1.22)
(1 + |ξ|2 )−s/2 (1 + |ξ|2 )s/2 fˆ(ξ) dξ
RN
Z
2 −s
≤
12 Z
(1 + |ξ| ) dξ
RN
2
(1 + |ξ| ) fˆ(ξ) dξ
2 s
21
RN
Z
= kf kH s
(1 + |ξ|2 )−s
21
< ∞.
RN
Aplicamos a desigualdade de Hölder em (1.22). Portanto, usando a desigualdade análoga do
item (1) do teorema (1.15) para transformada inversa, obtemos
n
≤ (2π)− 2 fˆ
L1
L∞
Z
21
2 −s
−n
≤ (2π) 2 kf kH s
(1 + |ξ| )
.
kf kL∞ =
(fˆ)ˇ
RN
Comentários: Para maiores informações consultar [3].
1. Denotaremos por W m,p o espaço das funções u : RN −→ C tal que Dα u ∈ Lp (RN ) no
sentido das distribuições, para todo multi-indíce α com |α| ≤ m, munido da norma
X
kukW m,p =
kDα ukLp .
|α|≤m
Teorema 1.27 (Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg). Sejam 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ e j, m
números inteiros tal que 0 ≤ j ≤ m. Se
1
j
= +θ
p
n
1 m
−
r
n
37
+
1−θ
q
para algum θ ∈ mj , 1 , então existe C = C(n, m, j, θ, q, r) tal que
θ
X
kDα uk ≤ C
|α|=j
X
kDα uk kuk1−θ
Lq
|α|=m
para todo u ∈ S(RN ).
Demonstração. Consultar a demonstração em [1].
2. Em particular, se u ∈ H m (RN ) e v ∈ L2 , então
Z
hu, viH m ,H −m =
u(x)v(x)dx.
RN
(1.23)
3. Em particular, denido o operador linear continuo ∆ : H 1 −→ H −1 , a forma linear
∆u ∈ H −1 em H 1 é denida por
Z
h∆u, viH −1 ,H 1 =
∇u(x)∇v(x)dx.
RN
(1.24)
Antes de nalizar este capítulo deniremos o seguinte operador. Dado > 0, o operador J
em H −1 (RN ) é denido por
J u = (I − ∆)−1 u.
(1.25)
Logo, se u ∈ H −1 (RN ), então u = J u ∈ H 1 (RN ) é a única solução de
u − ∆u = u.
(1.26)
Proposição 1.3. Sejam λ > 0, u ∈ H 1 (RN ) e f ∈ H −1 (RN ), satisfazendo −∆u + λu = f . Se
f ∈ Lp (RN ), para algum p ∈ [1, ∞), então u ∈ Lp (RN ) e vale a seguinte desigualdade
λ kukLp ≤ kf kLp .
Demonstração. Ver a proposição (1.5.1) de [3].
Em geral, vale kJ f kX ≤ kf kX , onde X = H 1 (RN ), H −1 (RN ) ou Lp (RN ) onde p ∈ [1, ∞).
Em particular, J pode ser estendido continuamente para algum operador B(X) com norma
38
kJ f kX ≤ 1. Além do mais, temos o seguinte resultado:
Proposição 1.4. Se X é algum dos seguintes espaços H 1 (RN ), H −1 (RN ) ou Lp (RN ), onde
p ∈ [1, ∞), então
1. hJ f, giX,X ∗ = hf, J giX,X ∗ ,
∀ f ∈ X, g ∈ X ∗
2. J f −→ f em X quando −→ 0 para todo f ∈ X
3. Se f é limitada em X quando −→ 0, então (J f − f ) −→ 0 em X quando −→ 0.
Demonstração. Ver a proposição (1.5.2) de [3].
39
Capítulo 2
O grupo livre de Schrödinger
Neste capítulo iremos estudar o problema de Cauchy para equação linear de Schrödinger,
dada por:
(
iut + ∆x u = 0
u(x, 0) = ϕ(x).
(2.1)
Nosso objetivo será encontrar o grupo livre de Schrödinger e estudar as suas propriedades as
quais serão de suma importância para obtermos as estimativas de Strichartz e, por consequência,
para o estudo da boa colocação do problema de Cauchy da equação não-linear de Schrödinger
nos espaços L2 (RN ).
Sejam ϕ ∈ S(RN ) e u ∈ C ∞ (R; S(RN )). Aplicando a transformada de Fourier em (2.1),
obtemos
(
iût − 4π 2 |ξ|2 û = 0
û(ξ, 0) = ϕ̂(ξ).
(2.2)
Assim, reduzimos o problema de equações diferenciais parcias a um problema de Cauchy para
equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Por outro lado, a solução de (2.2) é dada
por:
2
2
û(t) = e−i4π |ξ| t C.
40
(2.3)
Usando a condição de valor inicial em (2.3) temos que
2
2
(2.4)
û(t) = e−i4π |ξ| t ϕ̂(·).
Daí, aplicando a transformada inversa de Fourier encontramos uma família de soluções do
problema (2.1) dada por:
2
2
u(t) = (e−i4π |ξ| t ϕ̂)ˇ(·)
(2.5)
ou, equivalentemente,
(2.6)
u(t) = (e−it∆ )ϕ(·).
Para maior comodidade denotaremos por S(t) = e−it∆ o operador livre de Schrödinger.
Assim, (2.6) é expressado por:
u(t) = S(t)ϕ(·).
(2.7)
2.1
Propriedades do Grupo Livre de Schrödinger
Faremos agora um breve estudo das propriedades do operador S(t). Primeiramente, notemos
que
2
2
F(S(t)ϕ)(ξ) = e−i4π |ξ| t ϕ̂(ξ)
(2.8)
Teorema 2.1. A família de operadores {S(t)} é um grupo unitário de operadores em L2 (RN ),
ou seja,
1. ∀ t ∈ R ; S(t) : L2 (RN ) −→ L2 (RN ) é uma isometria, isto é,
kS(t)f kL2 (RN ) = kf kL2 (RN )
∀f ∈ L2 (RN ).
2. S(t)S(s) = S(t + s) com S(t)−1 = S(−t) = S(t)∗ .
3. S(0) = I .
4. Para cada f ∈ L2 (RN ) tem-se que a função φf : R −→ L2 (RN ) denida por φf = S(t)ϕ
é uma aplicação contínua, isto é, φf descreve uma curva em L2 (RN ) .
Observação 2.1. Notemos que à medida em que f é mais regular, isto é, f ∈ C 2k temos que
φf ∈ C k−1 (baseado em ∂t φf = ∆φf ).
41
Demonstração.
1. Seja f ∈ L2 (RN ). Então, utilizando a igualdade de Plancherel
kS(t)f k2L2 =
2
2
(e−i4π |ξ| t fˆ)ˇ
−i4π 2 |ξ|2 t
=
e
=
fˆ
L2
fˆ
L2
L2
= kf kL2 .
Portanto, o operador S(t) : L2 (RN ) −→ L2 (RN ) é uma isometria.
2. Basta observar que,
S(t + s)f =
−i4π 2 |ξ|2 (t+s) ˆ
f ˇ
e
2
2
2
2
e−i4π |ξ| t e−i4π |ξ| s fˆ ˇ
n
h
i o
2
2
2
2
= e−i4π |ξ| t e−i4π |ξ| s fˆ ˇ ˆ ˇ.
=
Assim,
n
o
2
2
e−i4π |ξ| t [S(s)f ] ˆ ˇ
S(t + s)f =
= S(t) ◦ S(s)(f ).
Logo, S(t + s) = S(t)S(s). Além disso, aplicando a igualdade de Plancherel, temos
Z
hS(t)f, giL2 =
=
=
=
=
=
2
2
(e−i4π |ξ| t fˆ)ˇg(x)dx
N
ZR
2
2
e−i4π |ξ| t fˆ g(x) ˇdx
N
ZR
−i4π 2 |ξ|2 t ˆ
e
f ĝ(x)dx
N
ZR
2
fˆ ei4π2 |ξ| t ĝ(x) dx
N
ZR
2
f ei4π2 |ξ| t ĝ(x) ˆdx
N
ZR
2
f ei4π2 |ξ| t ĝ(x) ˇdx
RN
= hf, S(−t)giL2 .
42
(2.9)
Portanto,
S(t)∗ = S(−t).
3. S(0) = I . De fato,
2
2
e−i4π |ξ| .0 fˆ ˇ
= fˆ ˇ= f.
S(0)f =
(2.10)
4. Mostraremos agora que φf (t) é contínua em L2 (RN ). De fato,
lim kφf (t) − φf (τ )kL2 = lim kS(t)f − S(τ )f kL2
t→τ
t→τ
2
2
2
2
= lim e−i4π |ξ| (t) fˆ ˇ− e−i4π |ξ| (τ ) fˆ ˇ
t→τ
L2
2
2
2
2
= lim e−i4π |ξ| (t) fˆ − e−i4π |ξ| (τ ) fˆ ˇ
2
t→τ
h
i L
2
2
2
2
= lim
e−i4π |ξ| (t) − e−i4π |ξ| (τ ) fˆ ˇ
t→τ
L2
= 0,
onde a última igualdade decorre do teorema da convergência dominada.
Além disso, segue de (2.8) que
|F(S(t)ϕ)(x)| =
=
2
2
2
2
e−i4π |ξ| t ϕ(x)
b
e−i4π |ξ| t |ϕ(x)|
b
= |ϕ(x)|
b
,
para todo t ∈ R e x ∈ RN . Portanto, ∀ s, t ∈ R, obtemos que
Z
kS(t)ϕkH s =
s
1 + |ξ|2 2 |F(S(t)ϕ)(ξ)| dξ
N
ZR
=
RN
s
1 + |ξ|2 2 |ϕ(ξ)|
b
dξ = kϕk
b Hs .
Desta maneira, sendo S(RN ) denso em H s (RN ) para todo s ∈ R, podemos estender a família
43
de soluções {S(t)} para todo t ∈ R a um grupo unitário em H s (RN ).
O teorema seguinte caracterizará grupos unitários de operadores. Este resultado permitirá
estendermos o grupo livre Schrödinger para os espaços de Hilbert.
Teorema 2.2. (M.H Stone) A família de operadores {T (t)}, t ∈ R, denida no espaço
de Hilbert H , é um grupo unitário se, e somente se, existe um operador auto-adjunto A,
densamente denido em H , tal que
(2.11)
T (t) = eitA .
Mas, precisamente, denotado por D(A) o domínio do operador A (o qual é denso em H ), se
f ∈ D(A), então
T (t)f − f
= iAf.
t→o
t
(2.12)
lim
Demonstração. Ver teorema 4.5 de [7]
Lema 2.1. Dado t 6= 0, dena Kt sendo a aplicação dada por:
Kt (x) =
1
4itπ
N2 Z
N2
i|x|2
e 4t .
(2.13)
Então, S(t)ϕ = Kt ∗ ϕ, isto é ,
S(t)ϕ =
1
4itπ
e
i|x−y|2
4t
ϕ(y)dy
RN
(2.14)
∀t 6= 0 e ∀ ϕ ∈ S(RN ).
Demonstração. Ver exemplo 1.26 de [7].
Proposição 2.1. Sejam p ∈ [2; ∞] e t 6= 0. Então, S(t) : Lp0 (RN ) −→ Lp (RN ) é contínuo e
vale a desigualdade
1
1
kS(t)ϕkLp (RN ) ≤ (4π |t|)−N ( 2 − p ) kϕkLp0 (RN ) .
(2.15)
0
∀ ϕ ∈ Lp (RN )
Demonstração. Seja ϕ ∈ S(RN ). Utilizando o lema precedente e a desigualdade de Young,
obtemos que
44
kS(t)ϕkL∞ = kKt ∗ ϕkL∞
≤ kKt (x)kL∞ kϕ(x)kL1
=
N
i|x|2
(4itπ)− 2 e 4t
kϕ(x)kL1
(2.16)
L∞
=
N
(4itπ)− 2 kϕ(x)kL1 .
Portanto,
N
kS(t)ϕkL∞ ≤ (4itπ)− 2 kϕkL1 .
(2.17)
Logo, o operador S(t) : L1 (RN ) −→ L∞ (RN ) é limitado e sua norma é dada por:
kS(t)k0 = sup
N
kS(t)ϕkL∞
≤ (4itπ)− 2 .
kϕkL1
(2.18)
Por outro lado, o teorema 2.1, diz que o operador S(t) : L2 (RN ) −→ L2 (RN ) é limitado,
com norma
kS(t)ϕkL2
kS(t)k1 = sup
= 1.
(2.19)
kϕkL2
Assim, pelo teorema de interpolação de Riesz-Thorin, obtemos que o operador S(t) :
0
Lp (RN ) −→ Lp (RN ) é limitado e, além disso ,
kS(t)kp ≤ kS(t)k1−θ
kS(t)kθ1
0
N
= 11−θ (4π |t|)− 2 θ
N
(2.20)
= (4π |t|)− 2 θ ,
onde
1
= 1−θ
+θ
p0
2
e
1
= 1−θ
p
2
∀ θ ∈ (0, 1).
Observamos que,
1
= p1 + θ
p0
⇒
45
1
− p1 = θ
p0
.
Segue por (2.20) que
N
kS(t)ϕkLp ≤ (4iπ |t|)− 2 θ kϕkLp
= (4iπ |t|)
−N
2
1
− p1
p0
kϕkLp0 .
(2.21)
Por outro lado, obtemos
1
+ p1 = 1
p0
⇒
1
= 1 − p1
p0
.
Logo,
N
1
kS(t)ϕkLp0 ≤ (4iπ |t|)− 2 (1− p ) kϕkLp .
(2.22)
Este resultando é conhecido como a estimativa fundamental para a equação de Schrödinger
e será utilizada no capítulo seguinte para provarmos as estimativas de Strichartz.
46
Capítulo 3
As estimativas de Strichartz
Neste capítulo, estudaremos os efeitos regularizantes para a equação de Schrödinger.
Inicialmente, deniremos o conceito de par admissível e em seguinda, provaremos as estimativas
de Strichartz.
Denição 3.1. Dizemos que o par (q, r) é admissível se,
2
=N
q
e
2≤r≤
(3.1)
2N
.
N −2
(3.2)
1 1
−
2 r
Para N ≥ 3 xado, temos o seguinte segmento de reta no qual podemos localizar os pares
admissiveis.
47
Observação 3.1. Notemos que, em (3.2), se N = 1, temos que 2 ≤ r ≤ ∞. No caso N = 2
em (3.2), temos que 2 ≤ r < ∞
Observação 3.2. Se (q, r) é algum par admissível, então 2 ≤ q ≤ ∞. Observamos que (∞, 2)
é admissível.
Observação 3.3. Nossa demonstração das estimativas de Strichartz excluirá os pontos
extremos, isto é, r 6= N2N−2 , pois no caso em que r = N2N−2 a provas das estimativas são mais
delicadas e foram demonstradas por Keel e Tao. Para maiores informações, consultar [3].
Teorema 3.1 (Estimativas de Strichartz). As seguintes propriedades são válidas:
1) Para todo ϕ ∈ L2 (RN ) a função t −→ S(t)ϕ pertence
Lq (R, Lr (RN )) ∩ C(R, L2 (RN ))
Além disso, existe C tal que
∀ϕ ∈ L2 (RN ).
kS(t)ϕkLq (R,Lr (RN )) ≤ C kϕkL2
(3.3)
2) Sejam I um intervalo de R, J = I¯ e t0 ∈ J . Se (q, r) é um par admissível e f ∈
Lq (I, Lr (RN )), então a função t −→ θf (t), ∀ t ∈ I denida por
0
0
Z t
S(t − s)f (s)ds.
θf (t) =
to
pertence a Lq (I, Lr (RN )). Além disso, existe uma constante C independente de I tal que
kθf (t)kLq Lrx ≤ C kf kLq0 Lr0 ∀ϕ ∈ L2 (RN ), q, q 0 6= 2.
T
T
x
(3.4)
3) Se (q, r) é um par admissível e f ∈ Lq (I, Lr (RN )), então, a função θf (t) pertence a
0
0
C(I, L2 (RN )) e vale a seguinte desigualdade
kθf kL∞ L2x ≤ C kf kLq0 Lr0 .
T
T
x
Demonstração. Dividiremos a demonstração em alguns passos, para maior comodidade.
Inicialmente, provaremos as propriedade 2 e 3. Por conveniência, assumiremos que I = [0, T )
48
para algum T ∈ (0, ∞) e t0 = 0. A prova é a mesma para o caso geral. Iremos denir o
operador φf ( onde t ∈ (0, T )) o qual auxiliará em nossa demonstração.
Z t
S(t − τ )f (τ )dτ
φf (s) =
∀s ∈ [0, T ).
(3.5)
0
Passo 1: Prova de 2). Para todos (q, r) pares admissíveis, as aplicações φf e θf são contínuas
em Lq (I, Lr (RN )) −→ Lq (I, Lr (RN )). De fato, faremos a prova somente para o operador θf ,
pois, para o operador φf , a demonstração é similar.
0
0
Seja f ∈ Lq (I, Lr (RN )), então
0
0
kθf kLrx =
r1
r
Z t
Z
S(t − s)f (s)ds dx
RN
Z t Z
r
r1
|S(t − s)f (s)| dx
≤
dt
RN
0
Z t
kS(t − s)f (s)kLrx ds
=
0
Z t
≤
Z0 t
=
Z0
=
(3.6)
0
1
(3.7)
1
(|t − s|)−N ( 2 − r ) kf kLr0 ds
2
(|t − s|)− q kf kLr0 ds
2
X[0,T ) (|t − s|)− q kf kLr0 ds ≤ Iα (kf (s)kLr0 ).
(3.8)
(3.9)
R
Usamos em (3.6) a desigualdade de Minkowski, em seguida aplicamos em (3.7) a estimativa
fundamental (proposição 2.1) e α = − 2q + 1 .
Vericaremos agora, que (3.9) satisfaz as hipóteses do teorema de Hardy-LittlewoodSobolev, para α = − 2q +1 (ver teorema 1.14). De fato, da observação (3.2) temos que 2 ≤ q ≤ ∞,
logo 0 ≤ α ≤ 1. Por outro lado, temos que
1
1
2
+ 0 =1=α+ .
q q
q
Daí,
1 2
1
− = − 0 + α =⇒
q q
q
49
1
1
− = − 0 + α =⇒
q
q
1
1
= 0 − α.
q
q
Portanto, Iα (f (s)) é um potencial de Riesz (ver denição 1.4) em relação à variável temporal
satisfazendo às hipóteses do teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev para N = 1 e α = − 2q + 1.
Logo,
kθf kLq Lrx ≤ kIα (kf (s)kLr0 )kLq
T
T
(3.10)
≤ C kf kLq0 Lr0 .
T
x
Logo,
(3.11)
kθf kLq Lrx ≤ C kf kLq0 Lr0 .
T
T
x
para todo par admissível (q, r).
Passo 2: Prova de 3). Para todo par (q, r) admissível, a aplicação θf é contínua em
0
0
0
q0
L (I, Lr (RN )) −→ C(I, L2 (RN )). De fato, seja f ∈ Lq (I, Lr (RN ), então
kθf (t)k2L2
Z t
Z t
0
0
=
=
=
=
S(t − τ )f (τ )dτ
S(t − s)f (s)ds,
=
Z
Z t
0
0
.
L2
Z t
S(t − s)f (s)ds S(t − τ )f (τ )dτ dx
RN 0
0
Z Z tZ t
S(t − s)f (s)S(t − τ )f (τ )dτ dsdx
RN 0
0
Z tZ tZ
S(t − s)f (s)S(t − τ )f (τ )dxdτ ds
0
0
RN
Z tZ t
(S(t − s)f (s), S(t − τ )f (τ ))L2 dτ ds.
Agora, aplicando as propriedades do grupo livre de Schrödinger, obtemos
kθf (t)k2L2
Z tZ t
=
(f (s), S ∗ (t − s) [S(t − τ )f (τ )])L2 dτ ds
Z0 t Z0 t
(f (s), S(−t + s) [S(t − τ )f (τ )])L2 dτ ds.
=
0
0
50
Segue que
kθf (t)k2L2
Z tZ t
(f (s), S(s − τ )f (τ ))L2 dτ ds
Z t
Z t
=
f (s),
S(s − τ )f (τ )dτ
ds
0
0
L2
Z t
(f (s), φf (s))L2 ds
=
0
Z tZ
=
f (s)φf (s)dxds.
=
0
0
0
RN
Aplicando a desigualdade de Hölder em relação à variável espacial, segue que
kθf (t)k2L2
Z t
≤
0
kf (s)kLrx0 kφf (s)kLrx ds
≤ kf kLq0 Lr0 kφf (s)kLq Lrx
(3.12)
≤ kf kLq0 Lr0 C kf kLq0 Lr0
(3.13)
T
T
T
x
x
T
x
= C kf k2Lq0 Lr0 .
T
x
Aqui, para obtermos (3.13), utilizamos a desigualdade de Hölder em relação ao tempo e
aplicamos em (3.14) a estimativa do item 2 do teorema. Logo, tomando o supremo em relação
à variável tempo, obtemos o resultado desejado:
kθf kL∞ L2x ≤ C kf kLq0 Lr0 .
T
T
x
(3.14)
Passo 3: Prova de 1). Queremos mostrar que, para qualquer par (q, r) admissível, temos
que
kS(t)ϕkLq (R,Lr (RN )) ≤ C kϕkL2
∀ϕ ∈ L2 (RN ).
Inicialmente, consideremos os operadores
Z
S(t − s)f (s)ds
δf (t) =
R
e
51
∀t ∈ [0, T ).
(3.15)
Z
Γf (t) =
(3.16)
∀t ∈ [0, T ).
S(−t)f (t)dt
R
Notemos que, pelo passo 1, o operador δf (t) : Lq (I, Lr (RN )) −→ Lq (I, Lr (RN )) é limitado, ou
seja,
kδf (t)kLq Lrx ≤ C kf kLq0 Lr0 ,
(3.17)
t
0
0
t
x
para qualquer par admissível (q, r).
Além disso, podemos mostrar de forma análoga ao passo 2 e utilizando (3.18) que o operador
0
0
Γf (t) : Lq (R, Lr (RN )) −→ C(R, L2 (RN )) é limitado e satisfaz
(3.18)
kΓf (t)kL2 ≤ C kf kLq0 Lr0 .
t
x
Daí, segue que
Z
Z
hS(t)ϕ(·), ψ(t)iL2 dt
=
R
hϕ(·), S(−t)ψ(t)iL2 dt
Z Z
ϕ(·)S(−t)ψ(t)dxdt
R RN
Z Z
ϕ(·)S(−t)ψ(t)dtdx
RN R
Z
ϕ(·)Γψ (t)dx .
R
=
=
=
RN
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schawarz e utilizando (3.19), temos que
Z
hS(t)ϕ(·), ψ(t)iL2 dt
=
hϕ(·), Γψ (t)iL2
R
≤ kϕkL2 kΓψ (t)kL2
(3.19)
≤ kϕkL2 kψkLq0 Lr0 .
(3.20)
t
x
O resultado, segue do fato de que
Z t
kS(t)ϕkLq Lrx = sup
T
(S(t)ϕ, ψ)L2 dt ;
0
52
ψ ∈ Cc∞ (R, RN );
kψkLq0 Lr0 = 1 .
T
x
Portanto,
kS(t)ϕkLq Lrx ≤ kϕkL2 .
T
Corolário 3.1. Sejam (q0 , p0 ), (q1 , p1 ) pares admissíveis. Então, ∀ T > 0 vale a seguinte
estimativa
(3.21)
kφf (t)kLq1 (I,Lp1 (RN )) ≤ C kf kLq00 (I,Lp00 (RN )) .
Demonstração. Pela hipótese, os pontos
(q0 , p0 ), (q1 , p1 ) estão contidos no segmento entre
N
; 1
com p(N ) = ∞, se N = 1, 2. Caso contrário,p(N ) = N2N
,
P = (0, 1/2) e Q = N4 − 2p(N
) p(N )
−2
se N ≥ 3. Portanto, sem perda de generalidade, podemos supor que p0 ∈ [2, p1 ). Logo,
aplicando a desigualdade de Hölder, obtemos
Z T
kφf (t)kLq0 Lpx0 =
T
0
Z T
≤
0
≤
desde que,
q1
0
kφf (t)kqL0p0 dt
q1
q (1−θ)
kφf (t)kL02
kφf (t)kqL0pθ1 dt
(1−θ)
sup kφf (t)kL2
[0,T ]
Z T
0
0
q1
0
kφf (t)kqL0pθ1 dt
,
(∗)
1
θ
1−θ
=
+
,
p0
p1
2
isto é,
θ=
p1 (2 − p0 )
.
p0 (2 − p1 )
Por outro lado, usando o fato de que (q0 , p0 ), (q1 , p1 ) são pares admissíveis, sabemos que
N
N
2
N
N
2
=
−
e
=
− .
q0
2
p0
q1
2
p1
53
Obtemos que
N
p0
p1
=
=
.
4
q0 (p0 − 2)
q1 (p1 − 2)
Assim,
q0
p0 (2 − p1 )
1
=
= .
q1
p1 (2 − p0 )
θ
Portanto,
q1 = q0 θ.
Segue de (∗) que
kφf (t)kLq0 Lpx0 ≤
T
=
(1−θ)
kφf (t)kL∞ L2x
T
Z T
kφf (t)kL∞ L2x
qθ
kφf (t)kqL1p1 dt
0
(1−θ)
T
1
kφf (t)kLq1 Lpx1
.
θ
.
T
Agora, aplicando as estimativas dois e três do teorema 3.1 de Strichartz, segue que
(1−θ)
θ
≤ C kf k q10 p01
kf k q10 p01
kφf (t)kLq0 Lpx0
T
LT Lx
LT Lx
= kf k q10 p01 .
LT Lx
Para nalizar a prova, usando o arguemento de dualidade, obtemos a desigualdade desejada
kφf (t)kLq1 (I,Lp1 (RN )) ≤ C kf kLq00 (I,Lp00 (RN )) .
(3.22)
As estimativas do teorema 3.1 podem ser generalizadas para vários espaços envolvendo
derivadas. Por exemplo, sejam (p0 , q0 ) e (p1 , q1 ) pares admissíveis. Para todo m ≥ 0, segue que
kS(t)ϕkLq W m,r ≤ C kϕkH m
(3.23)
kφf (t)kLq0 (I,W m,p0 ) ≤ C kf kLq10 (I,W m,p01 ) .
(3.24)
T
e
54
Capítulo 4
Teoria de existência de soluções locais e
globais em L2(RN )
Neste capítulo, faremos o estudo da boa colocação para problema de Cauchy da equação
não linear de Schrödinger com dados iniciais em L2 (RN ):
(
iut + ∆x u = γ |u|α u
u(x, 0) = ϕ(x)
γ∈R
x ∈ RN , t ∈ R,
(4.1)
onde S(t) é o grupo livre de Schrödinger.
Salietamos que u é solução de (4.1) se, e somente se, u satisfaz a equação integral
Z t
u(t) = S(t)ϕ + iγ
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds.
(4.2)
0
Este resultado é conhecido como Princípio de Duhamel. Vejamos a prova desta armação.
Seja f (t) = γ |u(t)|α u(t). Denamos
w(s) = S(t − s)u(s)
Então,
w(s + h) − w(s) = S(t − s − h)u(s + h) − S(t − s)u(s).
Segue que
55
S(t − s − h)u(s + h) − S(t − s − h + h)u(s)
w(s + h) − w(s)
=
h
h
S(t − s − h)u(s + h) − S(t − s − h)S(h)u(s)
=
h
S(t − s − h)u(s + h) − S(t − s − h)u(s)
=
h
S(t − s − h)u(s) − S(t − s − h)S(h)u(s)
+
h
u(s + h) − u(s)
S(h)u(s) − u(s)
= S(t − s − h)
−
.
h
h
Fazendo h −→ 0, temos que
u(s + h) − u(s)
−→ ∂s u(s).
h
Além do mais, pelo teorema 2.2, segue que
S(h)u(s) − u(s)
−→ i∆u.
h
Logo,
w0 (s) = S(t − s) (∂s u(s) − i∆u)
= iS(t − s)f (s).
Portanto, integrando ambos os membros de 0 a τ , onde τ ∈ [0, t). Obtemos,
Z τ
0
Z τ
S(t − s)f (s)ds.
w (s)ds = i
0
0
Daí,
Z τ
S(t − τ )u(τ ) − S(t)u(0) = i
S(t − s)f (s)ds.
0
Fazendo τ −→ t, temos que
56
Z t
S(t − s)f (s)ds.
S(0)u(t) − S(t)u(0) = i
0
Portanto,
Z t
u(t) = S(t)ϕ + iγ
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds.
0
Armação 4.1. Sejam α < N4 e (q, r) um par admisível tal que r = α + 2 e q = 4(α+2)
. Então,
αN
k|u|α ukLrx0 = kukα+1
Lrx .
Demonstração. De fato,
Z
α
r0
α
10
r
(|u| |u|) dx
k |u| ukLrx0 =
RN
Z
(α+1)r0
|u|
=
10
r
dx
RN
Z
|u|
=
α+1
r
r−1
r−1
r
dx
RN
Z
|u|
=
r−1
r
r−1
α+1
r
dx
RN
Z
r
α+1
r
|u| dx
=
RN
kukα+1
Lrx .
=
Armação 4.2. Sejam α, q e r satisfazendo as hipóteses da armação anterior. Então,
Nα
k |u|α ukLq0 Lr0 ≤ T (1− 4 ) kukα+1
Lq Lrx .
T
T
x
Demonstração. Com efeito,
57
Z T
α
k |u|
k |u| ukLq0 Lr0 =
x
T
α
0
Z T
=
0
q10
q0
ukLr0 dt
x
q10
(α+1)q 0
dt
1. kukLrx
.
q
Aplicando a desigualdade de Hölder em relação à variável temporal com p = q−(1+α)q
0 e
q
0
p = (1+α)q0 , segue que
k |u|α ukLq0 Lr0 ≤
T
(Z
T
x
0
Z T
=
0
= T
)1
1− α+1
α+1
q 0 Z T
q 0 q0
q
q
q
(α+1)q 0 (α+1)q
0
1dt
dt
kukLrx
(4.3)
0
q10 − α+1
α+1
Z T
q
q
q
1dt
kukLrx dt
1
− α+1
q
q0
0
kukα+1
Lq Lrx
T
α+1
1
= T (1− q − q ) kukα+1
Lq Lrx
T
α+1
1
= T (1− q − q ) kukα+1
Lq Lrx
T
α+2
= T (1− q ) kukα+1
Lq Lrx
T
Nα
= T (1− 4 ) kukα+1
Lq Lrx .
T
Armação 4.3. Sejam α, q e r satisfazendo as hipóteses das armações anteriores. Então,
Nα
k |u|α u − |v|α vkLq0 Lr0 ≤ CT (1− 4 ) kukαLq Lrx + kvkαLq Lrx ku − vkLq Lrx .
T
T
x
T
T
Lema 4.1. Seja g : C −→ C denida por:
g(z) = |z|α z.
Então,
| |z1 |α z1 − |z2 |α z2 | ≤ C (|z1 |α + |z2 |α ) |z1 − z2 |
Demonstração. De fato, façamos a prova para α − 1 < 0, pois para o caso contrário a prova é
58
análoga. Suponhamos, sem perda de generalidade, que |z1 | < |z2 |. Portanto,
| |z1 |α z1 − |z2 |α z2 | = | |z1 |α z1 − |z2 |α z1 + |z2 |α |z1 − z2 ||
≤ |z2 |α |z1 − z2 | + |z1 | | |z1 |α − |z2 |α |
Aplicando o teorema do valor médio com θ ∈ (0, 1), obtemos
| |z1 |α z1 − |z2 |α z2 | ≤ |z2 |α |z1 − z2 | + |z1 | α ((1 − θ) |z1 | + θ |z2 |)α−1 | |z1 | − |z2 | |
≤ |z2 |α |z1 − z2 | + |z1 | α |z1 |α−1 |z1 − z2 |
≤ |z1 − z2 | (|z1 |α + |z2 |α )
Façamos agora a prova da armação (4.3).
Demonstração. Aplicando o lema anterior, temos que
α
α
α
α
k |u| u − |v| vkLrx0 ≤ C k |u| |u − v|kLrx0 + k |v| |u − v|kLrx0 . (∗)
α+2
. Logo, r10 = 1r + r11 , onde r1 = αr . Portanto,
Por outro lado, r = α + 2 implica que r0 = α+1
aplicando a desigualdade de Hölder,
(4.4)
k |u|α |u − v|kLrx0 ≤ k |u|α kLrx1 ku − vkLrx
=
kukαLrx ku − vkLrx .
Analogamente,
k |v|α |u − v|kLrx0 ≤ k vkαLrx ku − vkLrx .
Segue que
α
k |u| |u − v|kLq0 Lr0 =
T
x
≤
Z T
0
Z T
0
α
k |u| |u − v|kLrx0
q0
0
q0
k |u|kαq
Lrx ku − vkLrx
q10
dt
q10
dt
.
q
Agora, aplicando a desigualdade de Hölder em relação à variável temporal, com p = (α+1)q
0 e
59
q
p0 = q−(1+α)q
0 , obtemos
Z T
α
k |u| |u − v|kLq0 Lr0 ≤
T
1.
x
0
Z T
≤
0
= T
0
q0
k |u|kαq
Lrx ku − vkLrx
q10
dt
(4.5)
Z T
q10 − α+1
(α+1)
q
q
q
αq
(α+1)
α+1
kukLrx ku − vkLrx dt
1dt
0
1− N4α
Z T
kuk
0
αq
α+1
Lrx
ku − vk
q
(α+1)
Lrx
(α+1)
q
dt
.
(4.6)
Novamente, utilizando a desigualdade de Hölder com p = α+1
e p0 = α + 1, segue que
α
k |u|α |u − v|kLq0 Lr0
T
x
αq T
1q
T
Z
Z
q
αq α+1
. α
.α+1
dt ku − vkLα+1
dt
≤ T 1−N α/4 kukLα+1
r
r
x
x
0
0
Nα
= T 1− 4
= T
1− N4α
Z T
αq Z T
1q
q
q
kukLrx dt
ku − vkLrx dt
0
0
α
kukLq Lrx ku − vkLq Lrx .
T
T
Logo,
(4.7)
Nα
k |u|α |u − v|kLq0 Lr0 ≤ T 1− 4 kukαLq Lrx ku − vkLq Lrx .
T
T
x
T
Semelhantemente,
(4.8)
Nα
k |v|α |u − v|kLq0 Lr0 ≤ kvkαLq Lrx T 1− 4 ku − vkLq Lrx .
T
T
x
T
Portanto, utilizando (4.7) e (4.8) em (∗) temos que
α
α
k |u| u − |v| vkLq0 Lr0 ≤ CT
T
(1− N4α )
x
60
kukαLq Lrx + kvkαLq Lrx
T
T
ku − vkLq Lrx .
T
4.1
Teoria local em
L2
Nesta seção estudaremos a boa colocação local para o problema de Cauchy (4.1) com dados
iniciais em L2 (RN ).
Teorema 4.1. Sejam γ ∈ C, α < N4 e r = α + 2. Consideremos (q, r) um par admisível e
ϕ ∈ L2 (RN ). Então, existem T = T (kϕkL2 ) > 0, M = M (kϕkL2 ) > 0 e uma única solução u
para o problemade Cauchy (4.1) tal que
(4.9)
kukLq Lrx ≤ M.
T
Demonstração. Existência: Mostraremos, de fato, que existem soluções para o problema de
Cauchy (4.1) com dados iniciais em L2 (RN ). Para isto, basta considerar o operador integral Φ
para (4.1), ou seja,
Z
t
(4.10)
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds.
Φ(u) = S(t)ϕ + iγ
0
Desejamos encontrar um ponto xo para Φ, isto é,
Φ(u) = u.
Assim, denamos para T > 0 e M > 0, a bola,
n
o
E = u ∈ Lq [0, T ]; Lr (RN ) ∩ C [0, T ], L2 (RN ) : kukLq Lrx ≤ M .
T
(4.11)
Logo, (E, DE ) é um espaço métrico completo munido da métrica
DE (u, v) = ku − vkLq Lrx .
T
Mostraremos que Φ(u) ∈ E , para todo u ∈ E , e ainda mais, que Φ é uma contração. Com
efeito, seja u ∈ E , então
Z t
kφ(u)kLq Lrx =
T
S(t)ϕ + iγ
0
61
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds
.
LqT Lrx
Aplicando as estimativas de Strichartz e a armação 4.2, obtemos
Z t
kφ(u)kLq Lrx ≤ k|S(t)ϕkLq Lrx + |γ|
T
T
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds
LqT Lrx
0
α
≤ C0 kϕkL2 + C1 |γ| k |u| ukLq0 Lr0
T
x
(4.12)
Nα
≤ C0 kϕkL2 + C1 T (1− 4 ) kukα+1
Lq Lrx
T
≤ C0 kϕkL2 + C1 T
(1− N4α )
M
α+1
.
Escolhendo M = 2C0 kϕkL2 e T > 0 com
Nα
C1 T (1− 4 ) M α+1 ≤
temos que
kφ(u)kLq Lrx ≤
T
M
,
2
M
M
+
= M.
2
2
(4.13)
Portanto, φ(u) ∈ E .
Sejam agora u, v ∈ E . Aplicando a estimativa de Strichartz, segue que
Z T
kΦ(u) − Φ(v)kLq Lrx = |γ|
T
S(t − s) (|u|α u − |v|α v) (s)ds
LqT Lrx
0
α
α
≤ C k |u| u − |v| vkLq0 Lr0
T x
Nα
α
≤ CT (1− 4 ) kukLq Lrx + kvkαLq Lrx ku − vkLq Lrx
T
T
T
(4.14)
Nα
≤ CT (1− 4 ) M α ku − vkLq Lrx .
T
Tomando T satisfazendo (4.13) e a condição
Nα
1
CT (1− 4 ) M α ≤ .
2
Segue que
kΦ(u) − Φ(v)kLq Lrx ≤
T
1
ku − vkLq Lrx ,
T
2
isto é, Φ(u) é uma contração. Logo, pelo teorema do ponto xo de Banach garantimos que existe
u ∈ LqT Lrx tal que Φ(u) = u em E . Portanto, com este argumento mostramos a existência de
solução para o problema de Cauchy (4.1).
62
Unicidade
Sejam u, v ∈ LqT Lrx soluções de (4.1) no intervalo [0, T ). Mostraremos que u ≡ v .
Denamos, θ(τ ) = ku(τ ) − v(τ )kLqτ Lrx , onde 0 ≤ τ ≤ T . Observemos que
θ(0) = ku(0) − v(0)kLqτ Lrx
= kϕ(x) − ϕ(x)kLqτ Lrx = 0.
Vamos supor que θ(t) > 0 ∀ t 6= 0 e denir
t0 = inf {t ∈ [0, T ] / θ(t) > 0} .
Notemos que o gráco de θ é o que está esboçado acima, pois θ é contínua. De fato, seja
tn −→ t0 .
θ(tn ) =
≤
ku − vkLrx X[0,tn ] (tn )
ku − vkLrx
LqT
.
Aplicando o teorema da convergência dominada, obtemos
63
LqT
lim θ(tn ) =
n→∞
lim ku − vkLrx X[0,tn ] (tn )
n→∞
=
ku − vkLrx lim X[0,tn ] (tn )
=
ku − vkLrx X[0,t0 ] (t0 )
n→∞
LqT
LqT
LqT
= θ(t0 ).
Portanto, a função θ é contínua.
Por consequência, u(t0 , x) = v(t0 , x) = ψ(x). Então, denindo ũ(t) = u(t + t0 ) e
ṽ(t) = v(t + t0 ), onde ũ, ṽ são respectivamente soluções de
(
iũ + ∆x ũ = γ |ũ|α ũ
ũ(x, t0 ) = ψ(x)
(4.15)
iṽ + ∆x ṽ = γ |ṽ|α ũ
ṽ(x, t0 ) = ψ(x).
(4.16)
e
(
Assim, procedendo de forma análoga a (4.14), obtemos
Nα
kũ − ṽkLq Lrx ≤ Cδ (1− 4 ) kũkαLq Lrx + kṽkαLq Lrx kũ − ṽkLq Lrx ,
δ
δ
δ
δ
onde δ ∈ [0, T − t0 ].
Denamos agora
θ̃(δ) = kũkαLq Lrx + kṽkαLq Lrx .
δ
δ
Claramente, θ̃ é contínua pelos mesmos motivos que θ. Assim, podemos tomar δ > 0 tal que
θ̃(δ) < 1, pois θ̃(0) = 0. Segue que
Nα
kũ − ṽkLq Lrx ≤ Cδ (1− 4 ) kũ − ṽkLq Lrx .
δ
δ
64
Escolhendo δ > 0 menor possível, caso necessário, tal que
Nα
1
Cδ (1− 4 ) ≤ ,
2
temos que
kũ − ṽkLq Lrx ≤
δ
1
kũ − ṽkLq Lrx .
δ
2
Logo,
kũ − ṽkLq Lrx = 0.
δ
Portanto,
0 = kũ − ṽkLq Lrx = ku − vkLq
r
t0 +δ Lx
δ
= θ(t0 + δ).
Logo, θ(t0 + δ) = 0 o que é uma contradição, pois denimos t0 como o menor dos t tal que
θ(t) > 0. Portanto, θ(t) = 0 para todo t ∈ [0, T ), ou seja, u ≡ v .
Teorema 4.2. Sejam γ ∈ C, α < N4 e r = α + 2. Consideremos (q, r) um par admisível e
ϕ ∈ L2 (RN ). Então,
1. ∃ T ∗ (ϕ) > 0 e uma única solução maximal u em [0, T ∗ ) tal que u ∈ LqT Lrx , ∀ T < T ∗
2. Alternativa de explosão: uma das duas possibilidades abaixo ocorre
• T ∗ = ∞, isto é, temos uma solução global ou
• T ∗ < ∞ e lim∗ ku(t)kL2 = ∞, isto é, temos uma explosão em tempo nito.
t→T
3. (Dependência Contínua ) Seja T < T ∗ . Então, existem δ > 0 e C > 0 tais que se
kϕ − ψkL2 < δ , então T ∗ (ψ) > T e vale
ku − vkL∞ L2x + ku − vkLq Lrx ≤ C kϕ − ψkL2 .
T
T
Demonstração. Faremos a demonstração de forma sucinta.
1) Basta denir T ∗ = sup {T > 0 / ∃ u ∈ LqT Lrx solução de (4.1)}
2) Vamos supor que T ∗ < ∞ tal que ∃ tn −→ T ∗ e M > 0 tal que
ku(tn )kL2 ≤ M
65
Considerando ψn = u(tn ), obtemos que kψn kL2 ≤ M . Seja vn (t) uma solução de (4.1) com
dado inicial ψn . Notemos que vn (t) está bem denida em [0, T (M )), pelo teorema (4.1).
Consideremos
(
u(t),
se t < tn
ũn (t) =
vn (t − tn ), se tn ≤ t < tn + T (M ).
Temos que ũn (t) é solução de (4.1) em [0, tn + T (M )). Usando o fato de que tn −→ T ∗ , então
existe n0 > 1 tal que tn0 + T (M ) > T ∗ . Logo, ũn0 (t) é uma solução em [0, tn0 + T (M )), o que
é uma contradição, pois o intervalo [0, T ∗ ) é maximal. Portanto,
T ∗ = ∞ ou
T ∗ < ∞ e lim∗ ku(t)kL2 = ∞.
t→T
3) Provaremos agora a dependência contínua das soluções de seus dados iniciais.
Sejam T < T ∗ e M = 2 sup ku(t)kL2 .
0≤t≤T
Considerando ψ ∈ L2 tal que kψkL2 ≤ M , obtemos do teorema 4.1 que existem K(M ) > 0,
T (M ) > 0 e uma única solução v de (4.1) vericando
v(0, x) = ψ(x) e kvkLq
T (M )
Lrx ≤ K(M ).
Podemos considerar ψ1 e ψ2 tais que kψj kL2 ≤ M , onde j = 1, 2 e v1 , v2 são soluções de
66
(4.1) em [0, T (M )], com dados iniciais ψ1 e ψ2 respectivamente. Agora, aplicando Strichartz e
a desigualdade (4.14), obtemos que
kv1 − v2 kL∞
T (M )
L2x
≤ kS(t)(ψ1 − ψ2 )kL∞ L2x
T (M )
Z T
+ |γ|
S(t − s) (|v1 |α v1 − |v2 |α v2 ) (s)ds
L∞
L2
T (M ) x
0
≤ C0 kψ1 − ψ2 kL2x + P kv1 − v2 kL∞
T (M )
(4.17)
L2x
Nα
onde P = C1 T (M )(1− 4 ) K(M )α . Ainda,
1− N4α
kv1 − v2 kLq Lrx .
r ≤ CT (M )
L
x
T (M )
T (M )
kv1 − v2 kLq
Portanto,
kv1 − v2 kL∞
T (M )
L2x
+ kv1 − v2 kLq Lrx ≤ C0 kψ1 − ψ2 kL2x +
T (M )
0
+ P kv1 − v2 kL∞ L2x + kv1 − v2 kLq Lrx .
T (M )
T (M )
onde P 0 = Cα,M T (M )1− 4 .
Nα
Escolhendo T (M ) suentemente pequeno tal que Cα,M T (M )1− 4 ≤ 12 , obtemos que
Nα
kv1 − v2 kL∞
T (M )
L2x + kv1 − v2 kLqT (M ) Lrx ≤ 2C0 kψ1 − ψ2 kL2x
(∗)
em [0, T (M )].
Vimos que soluções de (4.1) denidas no mesmo intervalo com dados inicias diferentes, têm
uma certa dependência contínua dos dados inciais. Agora, provaremos a dependência contínua
das soluções para intervalos diferentes com dados inicias próximos.
Fixemos agora a solução u de (4.1) em [0, T ]. Escolhendo A = max {1, 2C0 }, existe n ∈ N
M
tal que T ≤ nT (M ). Em seguida, denimos δ = 2A
n . Sendo u solução em [0, T ], temos
ku(0)kL2 = kϕkL2 ≤
67
M
.
2
Assim, tomando ψ tal que kψ − ϕkL2 ≤ δ , então kψkL2 ≤ kϕkL2 + δ . Logo,
kψkL2 ≤
M
+ δ ≤ M.
2
Portanto, pelo teorema (4.1), existe uma solução v com dado inicial ψ no intervalo [0, T (M )].
Considerando o intervalo [0, Tn ], onde u e v são soluções de (4.1) com dados iniciais ϕ e ψ
respectivamente, vale a seguinte desigualdade (∗):
ku − vkL∞ L2x + ku − vkLq
T /n
T /n
Além do mais,
Lrx ≤ A kψ − ϕkL2x .
T
M
u
≤
n L2
2
pela denição de M . Assim,
T
v
=
n L2
T
T
T
v
+ u
−u
n
n L2
n L2
M
≤ A kψ − ϕkL2 +
2
M
≤ M.
≤ Aδ +
2
Denimos, então
e
T
ϕ̃ = u
,
n
T
ũ(t) = u t +
n
T
ψ̃ = v
n
,
T
ṽ(t) = v t +
n
onde ũ(t) e ṽ(t) são soluções com dados inicias ϕ̃, ψ̃ respectivamente em [0, T /n].
Equivaletemente, signica dizer que u, v estão denidas em [T /n, 2T /n] e satifaz a desigualdade
ku − vkL∞
2T /n
L2x + ku − vkLq2T /n Lrx ≤ A
2
kψ − ϕkL2x .
(4.18)
Repetindo o mesmo argumento n vezes, podemos denir ui solução em [(i − 1) Tn , i nt ], onde
68
i = 1, 2, 3, ..., n, tal que
kui − vkL∞
iT /n
i
L2x + kui − vkLqiT /n Lrx ≤ A kψ − ϕkL2x .
Assim, pela unicidade podemos redenir u tal que
u |[(i−1) T ,i t ] = ui .
n
n
Logo,
ku − vkL∞ L2x + ku − vkLq Lrx ≤ C kψ − ϕkL2x
T
T
Portanto, as soluções de (4.1) dependem continuamente dos dados iniciais.
4.2
Teoria local em
H 1(RN )
Nesta seção mostraremos a existência de soluções para o problema de Cauchy (4.1) com
dados iniciais em H 1 (RN ). Isto será útil no estudo das soluções globais em L2 (RN ), pois
necessitamos da existência de soluções em H 1 (RN ) para podermos aproximar soluções em
L2 (RN ) atráves de soluções em H 1 (RN ), no momento de obtermos quantidades conservadas.
Teorema 4.3. Seja α < N4−2 . Então, se ϕ ∈ H 1 (RN ), existem T = T (kϕkH 1 ) > 0 e uma única
solução u da equação integral (4.2) no intervalo [0, T ], com
u ∈ C([0, T ], H 1 (RN )) ⊂ Lq ([0, T ], W 1,r (RN ))
4(α+2)
onde r = NN(α+2)
, q = α(N
e W 1,r (RN ) denota o espaço das funções f ∈ Lr (RN ) com
+α
−2)
derivadas de ordem 1 no sentido das distribuições. Mais ainda, a aplicação u0 −→ u(t) é
localmente Lipschitz.
Demonstração. Denamos,
E = u ∈ C([0, T ], H 1 (RN )) ⊂ Lr ([0, T ], W 1,r (RN ) : kukT < R
69
onde
Z T
kukT = sup kukH 1 +
[0,T ]
0
1q
ku(t)kqLrx + k∇u(t)kqLrx dt
Mostremos que o operador Φ : E −→ E
Z t
Φ(u) = S(t)ϕ + iγ
S(t − s) |u(s)|α u(s)ds.
0
é uma contração . De fato, usando a desigualdade de Hölder, obtemos que
k |u|α ∇ukLrx0 ≤ C k |u|α kLlx k∇ukLrx
= C kukαLαl
k∇ukLrx ,
x
onde r10 = 1l + 1r .
Além disso, pela desigualdade de Gagliardo-Nirenberg para p = αl, θ = 1, m = 1, j = 0
temos que
kukαLαl
≤ k∇ukLrx
x
e
k |u|α ∇ukLrx0 ≤ C k∇ukα+1
Lrx ,
onde αl1 = 1r − N1 , ou seja, 1l = αr − Nα . Por outro lado,
1
1
1
1 1
2
= 0 − =1− − =1−
l
r
r
r r
r
Portanto,
α
2
α
N +α
α
−
= 1 − =⇒ =
r
N
r
r
N (α + 2)
Assim,
k |u|α ukW 1,r0 ≤ C kukα+1
W 1,r
70
(∗)
Agora, mostraremos que Φ(u) ∈ E . Com efeito,
Z T
kΦ(u)kT = sup kΦ(u)kH 1 +
[0,T ]
0
1q
kΦ(u)kqLrx + k∇Φ(u)kqLrx dt
Z T
≤ sup kΦ(u)kH 1 +
[0,T ]
0
(Φ(u)kLrx + k∇Φ(u)kLrx
q
1q
dt
= kΦ(u)kL∞ H 1 + kΦ(u)kLq W 1,r
T
T
Notemos que, utilizando a desigualdade triangular e as estimativas de Strichartz, obtemos que
Z T
kΦ(u)kL∞ H 1 ≤ kS(t)ϕkL∞ H 1 +
T
T
S(t − s).γ |u|α uds
1
L∞
T H
0
α
≤ C kϕkH 1 + C k |u| ukLq0 W 1,r0 .
T
Além disso,
Z T
kΦ(u)kLq W 1,r ≤ kS(t)ϕkLq W 1,r +
T
T
S(t − s).γ |u|α uds
LqT W 1,r
0
≤ C kϕkH 1 + C k |u|α ukLq0 W 1,r0 .
T
Logo,
kΦ(u)kT ≤ C kϕkH 1 + C k |u|α ukLq0 W 1,r0
T
Z T
q10
q0
α
k|u| ukW 1,r0 dt
= C kϕkH 1 + C
0
Aplicando (∗) na desigualdade acima, temos que
Z T
kΦ(u)kT ≤ C kϕkH 1 +
0
(α+1)q 0
|ukW 1,r
q10
dt
Agora, fazendo cálculos análogos da armação 4.2, obtemos que
kΦ(u)kT ≤ kϕkH 1 + T δ kukα+1
Lq W 1,r
T
71
onde δ = 1 − α+2
= 1 − α(N4−2) . Escolhendo R = 2C kϕkH 1 , obtemos que
q
kΦ(u)kT ≤ kϕkH 1 + T δ kukα+1
T
α+1
R
R
≤
+ CT δ
2
(2C)α+1
≤ R,
desde que, T seja sucientemente pequeno tal que
CT δ
Rα
1
≤
α+1
(2C)
2
Assim, Φ : E −→ E é um operador bem denido. Prosseguindo de forma análoga ao
teorema 4.1 podemos vericar que Φ é uma contração, logo, pelo teorema do ponto xo, existe
uma solução u tal que Φ(u) = u. A dependência contínua segue análogamente da demonstração
do teorema 4.2
4.3
Teoria global em
L2(RN )
Observamos que, os resultados da seção 4.1 mostraram a boa colocação local em L2 (RN )
para o problema de Cauchy (4.1). Uma pergunta a ser feita: Será que existem soluções globais
em L2 (RN ) ? A resposta é sim. O teorema seguinte mostrará essa armação.
Teorema 4.4. Sejam γ ∈ R e u satisfazendo os teoremas (4.1) e (4.2). Então,
ku(t, x)kL2 = kϕ(x)kL2 ∀ t ∈ [0, T ∗ )
Antes da prova do teorema iremos mostrar que a solução para o problema (4.1) pode ser
aproximada por soluções com dados iniciais em H 1 (RN ), pois soluções neste espaço são mais
regulares. Denamos o seguinte operador.
Dado > 0, o operador J é denido em H −1 (RN )
J u = (I − ∆)−1 u
(4.19)
com domínio em H −1 (RN ) . Além disso, para g(u) = γ |u|α u, deni-se g (u ) = J g(J u). Logo,
72
pelo teorema 4.1, existe T = T (kϕkL2 ) e u = J u em [0, T ] tal que
(
i (u )t + ∆x u = g (u )
u (x, 0) = ϕ(x).
(4.20)
onde J u ∈ LqT Lrx e (q, r) são admissíveis. Daí, segue o seguinte fato:
0
H 1 (RN ) ,→ Lr (RN ) ⇒ Lr (RN ) ,→ H −1 (RN )
assim,
0
0
0
g(J u ) ∈ LqT Lrx ,→ LqT Hx−1
e
0
g = J g(J u ) ∈ LqT Hx1 .
Portanto,
(
0
i (u )t + ∆x u = g (u ) = f ∈ LqT Hx1
u (x, 0) = ϕ(x) ∈ H 1 (RN ).
(4.21)
Observemos que, se u é solução de
(
iut + ∆x u = f (t, x)
u(x, 0) = 0.
(4.22)
então, u ∈ C(R, L2 (RN )). De fato, usando a estimativa de Strichartz temos que
kukL∞
2 ≤ C kf k q 0 r 0 ,
L L
t Lx
t
0
x
onde (q, r) são admissíveis e f ∈ Lqt Lrx .
0
0
Consideremos uma seqüência fn ∈ Cc∞ (R, RN ) tal que fn −→ f em Lqt Lrx . Dena
0
Z t
S(t − s)fn (s, x)ds
un = i
0
Assim, pela estimativa de Strichartz temos que un ∈ C(R, L2 (RN )). Aplicando novamente a
73
estimativa de Strichartz,
Z t
=
ku − un kL∞
2
t Lx
S(t − s)(fn − f )(s, x)ds
i
2
L∞
t Lx
0
≤ C kfn − f kLq0 Lr0 −→ 0.
t
x
Portanto, un −→ u. Logo, u ∈ C(R, L2 (RN )).
Agora, podemos provar o teorema 4.4.
Demonstração. Inicialmente, provaremos o resultado para u solução de (4.21) em um intervalo
sucientemente pequeno. Notemos que sendo u solução de (4.21), temos a seguinte equação
(4.23)
i (u )t + ∆x u = g (u )
Multiplicando ambos os membros da equação por iu , obtemos
i (u )t iu + iu ∆x u = iu g (u )
(4.24)
Integrando a equação acima encontramos
Z
Z
RN
i (u )t iu dx +
Z
∆x u iu dx =
RN
g (u )iu dx
(4.25)
c dx
ĝ (u )iu
(4.26)
RN
Agora, aplicando a identidade de Plancherel
Z
RN
Z
c dx +
i (û )t iu
RN
Z
c
[
∆
x u iu dx =
RN
Assim,
Z
1
2 c
2 i (û )t (1 + |ξ| )iu dx +
RN 1 + |ξ|
Z
1
2 c
[
2 ∆x u (1 + |ξ| )iu dx
N 1 + |ξ|
ZR
1
2 c
=
2 ĝ (u )(1 + |ξ| )iu dx
RN 1 + |ξ|
Tomando a parte real da igualdade acima, obtemos
hi (u )t , iu iH −1 ,H 1 + h∆x u , iu iH −1 ,H 1 = hg (u ), iu iH −1 ,H 1
74
Observemos que
h∆x u , iu iH −1 ,H 1 = −i h∇u , ∇u iL2 = i k∇u k2L2
Além disso,
hg (u ), iu iH −1 ,H 1 = hJ g(J u ), iu iH −1 ,H 1
= hg(J u ), iJ (u )iH −1 ,H 1
Z
=
|γ| |J (u )|α J (u )(−i)J (u )dx
RN
Z
= −i |γ|
|J (u )|α+2 dx.
RN
Portanto,
1d
1
ku k2L2 =
2 dt
2
Z
=
Z
d
|u |2 dx
RN dt
|u | (u )t dx
N
RZ
= −
iu i(u )t dx
RN
= − hi (u )t , iu iH −1 ,H 1
= hi∆x u , iu iH −1 ,H 1 − hg (u ), iu iH −1 ,H 1
Z
2
|J (u )|α+2 dx.
= −i k∇u kL2 + i |γ|
RN
Logo,
Z
1d
2
2
α+2
ku kL2 + i k∇u kL2 − |γ|
|J (u )|
dx = 0
2 dt
RN
e olhando para a parte real, obtemos
1d
ku (t, x)k2L2 = 0
2 dt
75
Então,
(4.27)
ku (t, x)kL2 = ku (0, x)kL2 = kϕ(x)kL2
Mostraremos que u −→ u quando −→ 0 em L∞ (I, L2 (RN )). Notemos que
Z t
(4.28)
S(t − s)g (u )ds.
u = S(t)ϕ + i
0
Assim,
Z t
S(t − s) (g(u) − g (u )) ds.
(4.29)
ku − u kL∞ L2x ≤ C kg(u) − g (u )kLq0 Lr0
(4.30)
ku − u kLq Lrx ≤ C kg(u) − g (u )kLq0 Lr0
(4.31)
u − u = i
0
Aplicando Strichartz, temos que
T
T
x
e
T
T
x
Desta maneira, temos que
(4.32)
ku − u kL∞ L2x + ku − u kLq Lrx ≤ C kg(u) − g (u )kLq0 Lr0
T
T
T
x
Por outro lado,
kg(u) − g (u )kLq0 Lr0 = kg (u ) − g (u) + g (u) − J (g(u)) + J (g(u)) − g(u)kLq0 Lr0
T
x
T
≤ kg (u ) − g (u)|k
0
LqT Lrx0
+ kg (u) − J (g(u))k
x
0
LqT Lrx0
+ kJ (g(u)) − g(u)kLq0 Lr0
T
x
= I + II + III.
Iremos calcular cada uma das normas precedentes. Aplicando a armação (4.3), temos que
Nα
I = kg (u ) − g (u)|kLq0 Lr0 ≤ CT (1− 4 ) ku kαLq Lrx + kukαLq Lrx ku − ukLq Lrx
T
T
x
76
T
T
Tomando T sucientemente pequeno tal que
1
Nα
CT (1− 4 ) ku kαLq Lrx + kukαLq Lrx ≤ ,
T
T
2
segue que
I = kg (u ) − g (u)kLq0 Lr0 ≤
T
x
1
ku − ukLq Lrx
T
2
(4.33)
Por outro lado, J (u) −→ u quando −→ 0, pela proposição 1.4. Portanto, pelo teorema
da convergência dominada
II = kg (u) − J (g(u))kLq0 Lr0
T
kJ (g(J u) − J (g(u))kLq0 Lr0
=
x
T
x
kJ (g(J u) − g(u))kLq0 Lr0
=
T
x
→0
−→ 0
Mais ainda,
→0
III = kJ (g(u)) − g(u)kLq0 Lr0 −→ 0
T
x
Seja a = II + III , então
kg(u) − g (u )kLq0 Lr0 ≤
T
x
1
ku − ukLq Lrx + a
T
2
para T sucientemente pequeno. Logo,
ku − u kL∞ L2x + ku − u kLq Lrx ≤
T
T
1
ku − ukLq Lrx + a
T
2
Fazendo −→ 0 obtemos que u −→ u.
Portanto, pela equação (4.27) temos que
ku(t, x)kL2 = kϕ(x)kL2
(4.34)
para T sucientemente pequeno.
Finalmente, no caso geral em que ϕ ∈ L2 (RN ). Iremos aproximar ϕ ∈ L2 (RN ) por seqüência
77
L2
ϕn ∈ H 1 (RN ), ou seja, ϕn −→ ϕ, pois H 1 (RN ) é denso em L2 (RN ).
Consideremos un solução de (4.1) com dados iniciais ϕn . Assim, pela densidade, temos que
L2
un −→ u. Então,
kun (t, x)kL2 =
kϕn (x)kL2
n−→∞
ku(t, x)kL2 =
n−→∞
ϕ( x) L2
para T sucientemente pequeno. Aplicando o mesmo argumento de extensão usado para
dependência contínua, obtemos
ku(t, x)kL2 = kϕ(x)kL2
∀ t ∈ [0, T ∗ ).
Portanto, a existência global de soluções segue da alternativa de explosão. Finalmente,
podemos estender as soluções locais para soluções globais.
78
Referências Bibliográcas
[1] A. Friedman; Partial Dierential Equations,Holt, Rinehart and Winston, New York,1976.
[2] Cardoso, David C. S.; O Problema de Cauchy para o Sistema de Gross-Pitaevskii,
Dissertação de Mestrado, Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas,
Maceió-AL, 2005.
[3] Cazenave, Thierry; Semilinear Schrödinger Equation, American Mathematical Society,
2003
[4] Conway, J. B., Functions of One Complex Variable I - Second Edition. Springer-Verlag,
1978.
[5] Iório, Rafael ; Iório, Valéria de Magalhães; Equações Diferenciais Parciais: Uma
introdução, Projeto Euclides, Rio de Janeiro,1988.
[6] Kreyszig, E.; Introductory Functional Analysis with Applications., John Wiley e Sons, New
York, 1978
[7] Linares, Felipe; Ponce, Gustavo; Introduction to Nonlinear Dispersive Equations,
Publicações Matemáticas, Impa, Rio de Janeiro,2a edição 2006.
[8] Rudin, Walter; Real and Complex Analysis, TMH Edition, New York, 2a edição, 1974.
79
