Dissertação
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DIEGO PEREIRA BARBOZA
SOBRE VETORES DE ROTAÇÃO NO TORO
Maceió
2014
DIEGO PEREIRA BARBOZA
SOBRE VETORES DE ROTAÇÃO NO TORO
Dissertação de Mestrado na área de concentração de Sistemas Dinâmicos submetida em
21 de Fevereiro de 2014 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa
de Pós-Graduação em Matemática de Universidade Federal de Alagoas, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do grau de
mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Walter Teófilo Huaraca Vargas
Maceió
2014
3
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde, força, coragem e perseverança para que eu
pudesse concluir este trabalho e pelas pessoas que colocou no meu caminho.
Ao meu querido professor e amigo Walter, um profissional e um ser humano que dispensa
comentários, pela atenção, compreensão, paciência, que teve comigo nesta difícil jornada.
À toda minha família, em especial meus irmãos: Thiago, Diogo, Iêda e Igor que me deram
muita força, incentivo e momentos de descontração.
À minha mãe, Eva Elaine, que não mediu esforços para que eu pudesse concluir mais esta
etapa da minha vida.
Aos professores do IM-UFAL pelas disciplinas que lecionaram e, que com seus conhecimentos
contribuíram de forma decisiva para a minha formação.
Aos professores: Dr. Kleyber Mota da Cunha e Dr. Luis Guillermo Martinez Maza por si
mostrarem prestativos e disponíveis para fazerem à avaliação deste meu trabalho de dissertação,
fazendo parte da Banca Examinadora.
À algumas pessoas especiais que Deus colocou no meu caminho durante o realização desta
etapa, pelas horas de estudo, pelos momentos de descontração, pelo companheirismo, pelo
carinho e pelo apoio moral e humano: Abraão Mendes, Douglas Oliveira, Fabiane Paim, Joás
Rocha, Nayane Carvalho, Rogério Vitório e Tiago Novello.
Ao CNPq pelo suporte financeiro.
À todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para que este projeto pudesse
ser realizado.
Lista de Figuras
1.1
h(x) é uma conjugação topológica entre f e g. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2
-cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3
Caminhos homotópicos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.4
(R, π) é um espaço de recobrimento de S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.5
(R2 , π) é um espaço de recobrimento de T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.6
Homotopia entre as curvas f ◦ C e C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.7
Caminho C que une xi com yj e caminho C que une ui = F
vj = F
kj
(yi )−y1
, contrariando o fato de que C é conexo.
kj
kj
(xi )−xi
kj
com
. . . . . . . . . . . . .
68
3.8
Arcos poligonais αi e discos Di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.9
O vetor 0 pertence ao envoltório convexo dos vetores wi /mi sempre que wi /mi ∈
Ui com i = 1, 2, 3, 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.10 Anel essencial no toro T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
fj . . . . . . . . . . .
3.11 π −1 (Mj ) e as retas paralelas com a mesma inclinação de M
78
6
RESUMO
Um dos teoremas conhecidos de Poincaré afirma: Seja f um homeomorfismo do círculo
homotópico à identidade. Se p/q com mdc(p, q) = 1, é o número de rotação de f , então f
possui um ponto periódico de período q. Quando o conceito de número de rotação para um
homeomorfismo do círculo é generalizado para um homeomorfismo f : T2 → T2 homotópico à
identidade, o resultado é um subconjunto convexo do plano R2 , chamado conjunto de rotação
e denotado por ρ(F ) onde F é um levantamento de f .
O objetivo deste trabalho é provarmos o seguinte resultado devido a John Franks: Seja
f : T2 → T2 um homeomorfismo homotópico à identidade e F : R2 → R2 um levantamento de
f . Se o vetor 0 está no interior de ρ(F ), então F possui um ponto fixo. Com este resultado,
concluiremos que se v é um vetor de coordenadas racionais no interior de ρ(F ), então f tem
um ponto periódico.
ABSTRACT
One of the well know results of Poincaré state: Let f a homeomorphism of the circle
homotopic to the identity. If p/q, with mdc(p/q) = 1, is the rotation number of f , then there is
a periodic point for f whose is q. When the concept of rotations number, for a homeomorphism
of the circle homotopic to the identity, is generalized for torus homeomorphism f : T2 → T2
that are homotopic to the identity, it results in a convex subset of R2 , called rotation set and
is denoted by ρ(F ) where F is a lifting of f .
The objective of this work is prove the following resulted due to John Franks: Let f : T2 → T2
homeomorphism homotopic to the identity and F : R2 → R2 a lift of f . If the vector 0 is in the
interior of ρ(F ), then F has a fixed point. With this result, we conclude that if v is a vector of
rational coordinates in the interior of ρ(F ), then f has a periodic point.
Sumário
INTRODUÇÃO
9
PRELIMINARES
13
1.1
DINÂMICA TOPOLÓGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2
HOMOTOPIA E GRUPO FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3
ESPAÇOS DE RECOBRIMENTO E RECOBRIMENTO UNIVER-
1.4
SAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
NÚMERO E CLASSE DE NIELSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2 HOMEOMORFISMOS DA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA
38
2.1
ROTAÇÕES NO CÍRCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.2
NÚMERO DE ROTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3
A CLASSIFICAÇÃO DE POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.4
TEOREMA DE DENJOY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3 HOMEOMORFISMOS NO TORO T2
58
CONJUNTO DE ROTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
EXEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2
TEOREMA PRINCIPAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3
O CASO δ-TRANSITIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.4
O CASO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.1
3.1.1
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
83
10
INTRODUÇÃO
O conceito de número de rotação de um homeomorfismo homotópico à identidade no
círculo unitário foi introduzido por Henri Poincaré no ano de 1952 em [22]. A dinâmica desses
homeomorfismos é topologicamente simples e caracterizada pelo número de rotação.
Poincaré percebeu que, partindo de um ponto y ∈ S 1 qualquer, as médias dos deslocamentos
n
médios de suas órbitas F (x)−x
convergem para um mesmo número, independente de y. Este é
n
o número de rotação.
Quando o conceito de número de rotação é generalizado para a família de homeomorfismos
homotópicos à identidade do toro Tn , obtemos um subconjunto do espaço euclidiano chamado
conjunto de rotação. Estudando este conjunto, podemos obter informações sobre a dinâmica
destes homeomorfismos e principalmente sobre a existência de pontos periódicos, ver por
exemplo os trabalhos dos matemáticos J. Franks [5], [6], S. Zanata [25], M. Misiurewich e K.
Ziemian [16], [17], além de L. Jonker e L. Zhang [10].
A seguir, descreveremos o roteiro de nossa dissertação. No capítulo 1 veremos algumas
definições e resultados importantes que serão utilizados posteriormente. Dentre estes resultados,
iremos definir e provar algumas propriedades para os conceitos de transitividade por cadeia,
recobrimento universal e provar a existência de uma função de Lyapounov completa para
homeomorfismos de espaços métricos compactos em si próprios. Finalizando o capítulo 1,
veremos definição de classe e número de Nielsen para funções contínuas.
No capítulo 2, estudaremos a definição de número de rotação para um homeomorfismo
homotópico à identidade no círculo unitário, f : S 1 → S 1 , e estudaremos as principais
propriedades do número de rotação, em particular, provaremos que
Proposição. Seja f um homeomorfismo de S 1 homotópico à identidade. Então o número
de rotação de f é um número racional se, e somente se, f tem um ponto periódico.
Está proposição serve de critério para que o homeomorfismo f possua ou não ponto periódico.
Como corolário da demonstração desta proposição, iremos obter que f possui ponto fixo se, e
somente se, o número de rotação é 0.
11
Ainda no capítulo 2, estudaremos o Teorema de classificação de Poincaré e o Teorema de
Denjoy. Esses teoremas serão enunciados a seguir.
Teorema. (Classificação de Poincaré). Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo que preserva
orientação com número de rotação irracional. Então,
(1) Se f é topologicamente transitivo, então f é topologicamente conjugada à rotação Rτ (f ) .
(2) Se f não é topologicamente transitivo, então f tem a rotação Rτ (f ) como um fator
topológico, via uma aplicação h : S 1 → S 1 , não-invertível, contínua e monótona.
Teorema. (Denjoy). Se f : S 1 → S 1 , de classe C 1 , é um homeomorfismo que preserva
orientação com número de rotação τ = τ (f ) irracional e derivada de variação limitada, então
f é transitivo e portanto topologicamente conjugada à rotação Rτ .
No capítulo 3, definiremos o conjunto de rotação baseado em pontos, conjunto de rotação e
conjunto de rotação médio para homeomorfismos de Tn que são homotópicos à identidade e
veremos propriedades importantes que são semelhantes ao caso dos homeomorfismos de S 1 .
Entretanto, utilizaremos principalmente a definição de conjunto de rotação, que apresentaremos
a seguir.
Definição. Seja f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F : Rn → Rn
um levantamento de f ao recobrimento universal. O conjunto de rotação de F , ρ(F ), é o
conjunto de todos os pontos de acumulação do subconjunto de Rn :
n
F (xi ) − xi
n
+
| xi ∈ R , n ∈ Z
,
n
ou seja, v ∈ ρ(F ) se existe uma sequência xi ∈ Rn e ni ∈ Z+ com lim ni = ∞ tal que
F ni (xi ) − xi
= v.
i→∞
ni
lim
Esta definição é devido a M. Misiurewicz e K. Ziemian em [16] e, definido desde modo,
provaremos que o conjunto de rotação é sempre compacto e conexo.
O conjunto de rotação baseado em pontos de F é
ρp (F ) =
[
ρ(x, F ),
x∈Rn
onde ρ(x, F ) é o conjunto de todos os pontos limites da sequência
n
F (x)−x
n
∞
n=1
O conjunto de rotação médio de F é definido como
Z
n
ρm (F ) =
φdµ : µ é ergódica, f − invariante e µ(T ) = 1 ,
.
12
com a função φ : Tn → Tn definida por φ(x) = F (y) − y, onde y é qualquer ponto na fibra de
x no recobrimento.
Temos que ρm (F ) ⊂ ρp (F ) ⊂ ρ(F ), e que a envoltória convexa dos três conjuntos é sempre
a mesma. Este é um resultado de M. Misiurewich e K. Ziemian em [16]. Quando n = 2,
Misiurewich e Ziemian mostram, ainda em [16], que
Com(ρp (F )) = ρ(F ) = Com(ρm (F )),
onde Com(C) denota a casca convexa de um conjunto C. Esta é uma propriedade interessante
sobre o conjunto de rotação e mostra a convexidade de ρ(F ) quando f é um homeomorfismo
no toro T2 homotópico à identidade e F é um levantamento ao recobrimento universal.
Então, quando trabalhamos com o toro T2 , o conjunto de rotação é sempre compacto,
conexo e convexo. Isto diz que tais conjuntos serão apenas pontos, segmentos de retas ou
conjuntos com interior não vazio.
O resultado principal que estudaremos na dissertação, no capítulo 3, é um resultado devido
a John Franks em [5] e que enunciaremos a seguir.
Teorema. Seja f : T2 → T2 um homeomorfismo homotópico à identidade e seja F : R2 →
R2 um levantamento de f ao recobrimento universal. Suponha que v1 , v2 , v3 e v4 são pontos
extremais do conjunto convexo ρ(F ) (com pelo menos três deles distintos), e que 0 está no
interior do envoltório convexo desses vetores. Então F possui um ponto fixo.
Iniciaremos a demonstração deste resultado provando uma versão mais forte, provando o
seguinte teorema:
Teorema. Seja f : T2 → T2 um homeomorfismo homotópico à identidade e seja F : R2 →
R2 um levantamento de f ao recobrimento universal. Se para todo δ > 0 podemos encontrar
um subconjunto compacto, invariante e δ-transitivo, Λ ⊂ R(f ), tal que 0 pertence ao interior
do envoltório convexo de ρ(f, Λ), então existe um ponto fixo para f .
Como consequência destes teoremas, obteremos o próximo resultado, também devido a
John Franks.
Teorema. Suponha que f : T2 → T2 é um homeomorfismo homotópico à identidade e
F : R2 → R2 um levantamento ao recobrimento universal. Se v é um vetor de coordenadas
racionais no interior de ρ(F ), então existe um ponto p ∈ T2 tal que π(p) ∈ R2 é um ponto
periódico para f e
F n (p) − p
.
n→∞
n
v = lim
No final do Capítulo 3 apresentaremos, sem demonstração, alguns teoremas que estudam a
13
existência de pontos fixos para homeomorfismos f : T2 → T2 homotópicos à identidade cujos
conjuntos de rotação são segmentos de reta com inclinação irracional. Apresentaremos também
o teorema que garante a existência de conjuntos de rotação com interior não vazio e cujos
pontos extremais não necessariamente têm coordenadas racionais.
Este trabalho foi baseado no artigo de John Franks , intitulado Realizing rotation vectors
for torus homeomorphisms [5].
Algumas figuras, ilustrando a representação geométrica dos resultados, foram acrescentadas
com o intuito de facilitar a demonstração dos mesmos.
14
1 PRELIMINARES
1.1
DINÂMICA TOPOLÓGICA
Nesta seção daremos as definições e os principais resultados da dinâmica topológica e áreas
relacionadas, que serão usados ao longo da dissertação. Maiores detalhes podem ser encontrados
na extensa bibliografia existente, por exemplo, em [5], [11] e [18]. Alguns resultados, faremos
referências sem prová-los por se tratar de resultados clássicos.
Definição 1.1.1. Seja X um conjunto não vazio. Uma topologia em X é uma família τ de
subconjuntos de X tal que:
1. ∅, X ∈ τ .
2. A união de conjuntos de qualquer subfamília de τ pertence a τ .
3. A interseção dos conjuntos de toda subfamília finita de τ pertence a τ .
Um espaço topológico é um par (X, τ ) composto de um conjunto e uma topologia nesse conjunto.
Um subconjunto U de X é aberto, se U ∈ τ . Quando nos referimos ao espaço topológico (X, τ ),
dizemos que X está munido da topologia τ . Pela definição, sempre X e ∅ são abertos.
Exemplo 1.1.1. Considere o conjunto Rn . A coleção τ dado por: τ = {A ⊂ Rn : ∀ a ∈
A, ∃ > 0 com B (a) ⊂ A} é uma topologia sobre Rn , conhecida como a topologia usual de Rn .
Exemplo 1.1.2. Seja X um conjunto. Podemos definir uma topologia τ em X consistindo de
todos os subconjuntos U , tal que X − U é finito ou é o X todo. Também é uma topologia em
X a coleção de todos U ⊂ X, tal que X − U é enumerável ou é o X todo.
Definição 1.1.2. Seja (X, τ ) um espaço topológico. Um conjunto U ⊂ X é uma vizinhança
de um ponto x ∈ X, se U contém algum aberto que contenha x.
15
Definição 1.1.3. Uma métrica sobre um conjunto X é uma função d : X × X → R que associa
a cada par ordenado de elementos x, y ∈ X um número d(x, y) chamado a distância de x a y,
de modo que se tenha, para todos x, y, z ∈ X:
(a) d(x, x) = 0;
(b) Se x 6= y, então d(x, y) > 0;
(c) d(x, y) = d(y, x);
(d) d(x, z) = d(x, y) + d(y, z).
Um conjunto X munido de uma métrica d (fixada) é chamado espaço métrico.
Observação 1.1.1. Se X = (X, d) é um espaço métrico, existe uma topologia natural sobre
X, construída a partir da métrica d da seguinte forma:
τ = {A ⊂ X : ∀ a ∈ A, ∃ > 0 com B (a) ⊂ A},
onde, B (a) = {x ∈ X : d(x, a) < . Como definido, τ é uma topologia em X, dita a topologia
induzida pela métrica d.
Seja X um espaço topológico e seja ∼ uma relação de equivalência em X. Para cada x ∈ X,
a classe de equivalência de x é definida como [x] := {y ∈ X : x ∼ y}. O conjunto de todas as
classes de equivalência
X/ ∼:= {[x] : x ∈ X}
é chamado quociente de X pela relação de equivalência ∼.
Existe uma aplicação natural sobrejetiva π, chamada de aplicação quociente entre X e
X/ ∼ definida por:
π:X
→
X/ ∼
x 7→ [x].
Se (X, τ ) é um espaço topológico e ∼ é uma relação de equivalência em X, então podemos
munir X/ ∼ com uma topologia, chamada topologia quociente. Para este fim faremos uso da
próxima proposição.
Proposição 1.1.1. Seja (X, τ ) um espaço topológico e π : X → Y uma função sobrejetora
entre X e o conjunto Y . Então podemos definir uma topologia em Y da seguinte forma:
τY := {A ⊂ Y : π −1 (A) é aberto em X}.
16
A topologia τY é chamada de topologia co-induzida pela aplicação π. Se aplicarmos a
proposição acima à aplicação quociente π : X → X/ ∼, então a topologia co-induzida τX/∼ em
X/ ∼ por π é chamada de topologia quociente. O espaço topológico (X/ ∼, τX/∼ ) é chamado
de espaço quociente de X por ∼.
Os exemplos que apresentaremos a seguir serão particularmente importantes neste trabalho.
No primeiro, identificaremos o círculo unitário S 1 como um espaço quociente e no segundo
identificaremos o toro n-dimensional Tn como um espaço quociente.
Definição 1.1.4. Usualmente, definimos o círculo S 1 como o subconjunto de R2
S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1},
ou como o subconjunto de C
S 1 = {x ∈ C; |x| = 1} = {eiθ : θ ∈ R}.
É imediato verificar que ambas as definições são equivalente. O toro Tn é definido como o
produto cartesiano
Tn = S 1 × S 1 × . . . × S 1 , n-vezes.
Observação 1.1.2. Defina a seguinte relação de equivalência sobre R: dois números reais x e
y são equivalentes se eles diferem por um número inteiro, isto é
x ∼ y se e somente se x − y ∈ Z.
Vejamos que ∼ é, de fato, uma relação de equivalência em R, visto que
1. Dado x ∈ R, x − x = 0 ∈ Z;
2. Dados x, y ∈ R com x ∼ y, então y − x = −(x − y) ∈ Z, logo y ∼ x;
3. Dados x, y, z ∈ R com x ∼ y e y ∼ z, então x ∼ z ∈ Z, uma vez que x − z =
(x − y) + (y − z) ∈ Z.
Iremos representar o espaço quociente R/ ∼ por R/Z e denotar por π a projeção canônica
π:R →
x
R/Z
7→ x mod 1,
onde R/Z está munido da topologia quociente. A transformação logarítmica
e2πiθ 7→ θ
17
estabelece um homeomorfismo entre S 1 e R/Z. Desse modo, identificamos o círculo S 1 como o
espaço quociente R/Z,
S 1 = R/Z.
Observação 1.1.3. Na representação de S 1 como o espaço quociente R/Z, intuitivamente
estamos "enrolando"a reta infinitas vezes em torno do círculo, de forma que os números que
estão na mesma classe de equivalência
mod 1 estão sobrepostos.
Exemplo 1.1.3. De maneira análoga podemos definir a relação de equivalência ∼n em Rn
por: v ∼n w se e somente se v − w ∈ Zn . Logo, é possível mostrar que Tn = S 1 × S 1 × . . . × S 1
é homeomorfo a Rn /Zn = Rn / ∼.
Observação 1.1.4. Tanto o circulo S 1 como o toro Tn são espaços topológicos compactos,
isto é, toda cobertura enumerável de abertos possui uma subcobertura finita.
A seguir, apresentaremos algumas definições conhecidas da dinâmica topológica que iremos
usar neste trabalho.
Definição 1.1.5. Seja C(X) o espaço das funções contínuas f : X → X, com X é um espaço
topológico compacto metrizável. A topologia uniforme em C(X) é a topologia induzida pela
métrica do sup que é dada por:
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈X
Definição 1.1.6. Seja f : X → X uma aplicação contínua de um espaço topológico X em si
mesmo.
1. Se Y ⊂ X, então Y é chamado de conjunto invariante por f , se f (Y ) ⊂ Y . Quando
f (Y ) = Y , dizemos que Y é completamente invariante.
2. A órbita de um ponto x ∈ X é O(x) = {f n (x) : n > 0}. Claramente O(x) é um conjunto
invariante.
3. Um ponto x ∈ X tal que f (x) = x é chamado ponto fixo de f . O conjunto dos pontos
fixos para f é denotado por F ix(f ).
4. Um ponto x ∈ X é periódico se existe p > 0 tal que f p (x) = x. O menor p com esta
propriedade é chamado de período de x.
18
5. Se X é um espaço métrico compacto, o conjunto ω-limite de um ponto x ∈ X para f ,
ωf (x), é o conjunto dos pontos limites da órbita de x, isto é, y ∈ ωf (x) se, e só se,
f nk (x) → y para alguma sequência de inteiros nk → ∞. Analogamente, se f é invertível,
o conjunto α-limite de um ponto x ∈ X, αf (x), é o conjunto dos pontos y tais que existe
uma sequência mj de modo que f mj (x) → y a medida que mj → −∞.
6. Um ponto x ∈ X é chamado recorrente para f , se para todo > 0 existe n > 0 tal
que x ∈ ωf (x). Equivalentemente, Um ponto x é recorrente para f se para qualquer
vizinhança V de x existe n ∈ N tal que f n (x) ∈ V . Em particular, todo ponto periódico é
ponto recorrente.
Definição 1.1.7. Seja X um espaço métrico compacto e sem pontos isolados. Um homeomorfismo f : X → X é dito ser topologicamente transitivo se existir x ∈ X tal que sua órbita
Of (x) = {f n (x)}n∈Z seja densa em X.
Definição 1.1.8. Sejam X e Y dois espaços topológicos. Dizemos que f : X → X e g : Y → Y
são topologicamente conjugados se existe um homeomorfismo h : X → Y tal que h ◦ f = g ◦ h.
Neste caso, iremos referir à transformação h, ou à sua existência, como conjugação.
Figura 1.1: h(x) é uma conjugação topológica entre f e g.
Em outras palavras, uma conjugação topológica significa que f difere de g por uma mudança
de coordenada. As conjugações são úteis pelo fato de preservarem propriedades dinâmicas tais
como: invariância, transitividade, etc.
Definição 1.1.9. Uma transformação g : Y → Y é um fator (ou fator topológico) de f : X →
X se existir uma transformação contínua sobrejetora h : X → Y tal que h ◦ f = g ◦ h. A
transformação h diz-se uma semi-conjugação.
Agora iremos ver um resultado que usaremos na prova do nosso teorema principal. Antes,
vejamos uma definição.
Definição 1.1.10. Considere Ω ⊂ Rn um aberto limitado. C k (Ω, Rn ) representa o espaço das
funções k-vezes continuamente diferenciáveis em Ω, isto é, o espaço das funções contínuas em
19
Ω que possuem todas as derivadas até ondem k, sendo restrições de funções contínuas definidas
em Ω.
Proposição 1.1.2. Considere Ω ⊂ Rn um aberto limitado e f ∈ C 1 (Ω, Rn ). Se b é um valor
regular de f , então o conjunto f −1 ({b}) é finito.
Demonstração. Se x ∈ f −1 ({b}), temos que Jf 6= 0, então pelo Teorema da Aplicação Inversa
f é um difeomorfismo de uma vizinhança U de x sobre uma vizinhança de V de b, isto
é, f |U : U → f (U ) = V é um difeomorfismo. Além disso, f −1 ({b}) é um fechado em Ω,
consequentemente f −1 ({b}) é um fechado e limitado em Rn , pois f −1 ({b}) ⊂ Ω. Portanto,
f −1 ({b}) é um compacto. Para cada x ∈ f −1 ({b}), considere a bola Brx (x) ⊂ Ux . Assim
[
f −1 ({b}) ⊆
Br (x),
x∈f −1 ({b})
e desde que {Br (x)} é uma cobertura por abertos para o compacto f −1 ({b}), pelo teorema de
Borel-Lebesgue podemos extrair uma subcobertura finita de maneira que
f −1 ({b}) ⊂
k
[
Brj (xj ).
j=1
Como Br (x) ⊂ Ux e f : Ux → f (Ux ) é um difeomorfismo com b ∈ f (Ux ), temos que f −1 ({b}) é
finito, ou seja, f −1 ({b}) = {ξ1 , ξ2 , ξ3 , . . . ξk } com Jf (ξi ) 6= 0 para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , k}.
Nesse trabalho, estaremos interessados em trabalhar com espaços topológicos X e Y que
sejam, de certa forma, "iguais". A noção de igualdade entre espaços topológicos é um conceito
de topologia que estabeleceremos na próxima definição.
Definição 1.1.11. Sejam X e Y espaços topológicos. Um homeomorfismo f : X → Y é uma
bijeção contínua cuja função inversa f −1 seja contínua. Se f é um homeomorfismo entre os
espaços X e Y , utilizamos a notação X ∼
= Y . A função f é um homeomorfismo local se para
cada x ∈ X existe um aberto U ⊂ X contendo x tal que V = f (U ) é um aberto em Y e a
restrição f |U é um homeomorfismo de U sobre V .
Exemplo 1.1.4. Sejam R2n e Cn ambos com a topologia usual. Então R2n ∼
= Cn para todo
n ≥ 1. De fato, se z ∈ C, então z = x + iy, onde x, y ∈ R. Por outro lado, Cn =
R × R × . . . × R (2n)-vezes. Definamos:
f : C × C × ... × C → R × R × ... × R
(z1 , z2 , . . . , zn ) → (x1 , y1 , x2 , y2 , . . . , xn , yn ).
Claramente f é um homeomorfismo. Logo R2n ∼
= Cn .
20
No que segue, iremos considerar (X, d) um espaço métrico compacto, com a topologia
induzida pela métrica d em X e f : X → X um homeomorfismo.
Definição 1.1.12. Uma -cadeia de x0 a xn para f é uma sequência finita de pontos {xi }ni=0
em X, tal que d(f (xi ), xi+1 ) < para 0 ≤ i ≤ n − 1. Quando x0 = xn , dizemos que a -cadeia
é periódica. Um ponto x é dito recorrente por cadeia se para todo > 0 existe uma -cadeia de
x a x. Denotamos por R(f ) o conjunto dos pontos recorrentes por cadeia de f .
Figura 1.2: -cadeia.
Exemplo 1.1.5. Dado > 0, se x é um ponto recorrente para f , então existe um n >
0 de modo que d(f n (x), x) < . Então, x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x) é uma -cadeia de x a
f n−1 (x) para f . Em particular, se x é um ponto periódico de período n, então a -cadeia
x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x) é uma -cadeia periódica, chamada -cadeia trivial. No caso em que
f = Id, temos que R(f ) = X.
Proposição 1.1.3. O conjunto R(f ) é compacto e completamente invariante por f .
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o conjunto R(f ) é fechado. De fato, seja xn ∈ R(f )
com xn → x. Como f é contínua em x, dado > 0, existe δ0 > 0 tal que
d(f (x), f (y)) <
se d(x, y) < δ0 .
2
Tomando δ = min{δ0 , /2} podemos escolher n > 0 tal que xn ∈ Bδ (x). Seja xn = y1 , . . . , yk =
xn uma /2-cadeia de xn a xn . A sequência x = z1 , . . . , zk = x onde yi = zi para 2 ≤ i ≤ k − 1
e tal que
d(f (zi ), zi+1 ) = d(f (yi ), yi+1 ) < ∀ 2 ≤ i ≤ k − 1,
d(f (z1 ), z2 ) = d(f (x), y2 ) ≤ d(f (x), f (xn )) + d(f (xn ), y2 ) < + <
2 2
21
e
d(f (zk−1 ), zk ) = d(f (yk−1 ), x) ≤ d(f (yk−1 ), f (yk )) + d(f (yk ), x) <
+ < .
2 2
Logo x = z1 , . . . , zk = x é uma -cadeia de x a x, assim x ∈ R(f ). Portanto, R(f ) é fechado.
Em particular, como X e compacto, temos que R(f ) é compacto.
Vejamos agora que R(f ) é invariante por f , isto é, f (R(f )) = R(f ). De fato, seja x ∈ R(f ),
vamos mostrar que f (x) ∈ R(f ). Dado > 0, como R(f ) é compacto, a função contínua f é
uniformemente contínua em R(f ). Logo, existe δ0 tal que
d(f (x), f (y)) < se d(x, y) < δ0 , ∀ x, y ∈ R(f )
e considere x = x1 , . . . , xn = x uma δ-cadeia de x a x com δ = min{δ0 , /2}. Afirmamos que
f (x) = y1 , . . . , yn = f (x) onde yk = xk+1 para 2 ≤ k ≤ n − 1, é uma δ-cadeia de f (x) a f (x).
De fato, temos que
d(f (y1 ), y2 ) = d(f (f (x)), x3 ) ≤ d(f (f (x)), f (x2 )) + d(f (x2 ), x3 ) <
+ < ,
2 2
d(f (yk ), yk+1 ) = d(f (xk+1 ), xk+2 ) < ∀ 2 ≤ k ≤ n − 2
e
d(f (yn−1 ), yn ) = d(f (x), f (x)) = 0 < .
Logo f (x) ∈ R(f ) e f (R(f )) ⊂ R(f ). De modo análogo prova-se que f −1 (R(f )) ⊂ R(f ) e
assim, fica provado a igualdade f (R(f )) = R(f ).
Outra propriedade importante do conjunto R(f ) é que podemos definir uma relação de
equivalência em R(f ), como veremos nas definições 1.1.13 e 1.1.14.
Definição 1.1.13. Para δ > 0 fixo, dizemos que x e y ∈ R(f ) são δ-equivalentes se existe uma
δ-cadeia de x para y e uma de δ-cadeia de y para x, neste caso usaremos a notação x ∼δ y.
Um conjunto compacto Λ ⊂ R(f ), invariante por f , é δ-transitivo se para quaisquer x, y ∈ Λ, x
é δ-equivalente a y.
A relação x ∼δ y define uma relação de equivalência em R(f ). De fato, dados x, y ∈ R(f ) as
propriedades de reflexividade e simetria são facilmente verificadas. Para verificar a propriedade
de transitividade, basta ver que podemos conectar duas δ-cadeias para obter uma nova δ-cadeia.
Definição 1.1.14. Dado δ > 0 fixo, chamamos de componentes δ-transitivas de R(f ) as
classes de equivalências resultantes ao quocientar R(f ) pela relação de equivalência x ∼δ y.
22
Quando não exigimos que δ > 0 seja fixo na Definição 1.1.14, podemos definir uma outra
relação de equivalência ∼ em R(f ) por x ∼ y se para cada δ > 0 existe uma δ-cadeia em R(f )
de x a y e também existe uma δ-cadeia de y a x.
Definição 1.1.15. Chamamos componentes transitivas por cadeia as classes de equivalência
em R(f ) obtidas pela relação de equivalência ∼ definida anteriormente.
Lema 1.1.1. Dado δ > 0 e um homeomorfismo f : X → X de um espaço métrico compacto,
então existe um número finito de componentes δ-transitivas.
Demonstração. Uma componente δ-transitiva é a união de componentes transitivas por cadeia.
Suponhamos que existam x e y em componentes δ-transitivas distintas satisfazendo d(x, y) <
δ/4. Como x ∈ R(f ), existe uma δ/4-cadeia de x a x, x = x1 , . . . , xn−1 , xn = x. Além disso,
d(f (xn−1 ), y) ≤ d(f (xn−1 ), xn ) + d(xn , y) ≤ δ,
ou seja, temos uma δ-cadeia de x à y. Analogamente podemos encontrar uma δ-cadeia de y à
x. Portanto a distância entre duas componentes δ-transitivas distintas deve ser maior que δ/4.
Portanto, se existisse um número infinito de componentes δ-transitivas, então existiria uma
quantidade infinita de subconjuntos, cada um a uma distância pelo menos δ/4 dos outros
conjuntos. Isto é impossível visto que X é compacto.
Corolário 1.1.1. As componentes δ-transitivas de R(f ) são compactas e invariantes.
Demonstração. Se Λ é uma componente δ-transitiva e x ∈ Λ, então existe xk ∈ Λ tal que
d(x, xk ) < δ/4. Então, pelo lema que acabamos de ver, xk e x estão em Λ. Portanto as
componentes δ-transitivas são fechadas. Sendo R(f ) compacto, temos que as componentes
também são compactas. Além disso, são invariantes visto que os pontos que podem ser
conectados com x por uma δ-cadeia, também podem ser conectados com f (x) pela definição
de cadeia.
A seguir, definiremos o conceito de função de Lyapounov completa para um homeomorfismo
de um espaço métrico compacto. Usaremos o conceito de tal função na demonstração dos Teoremas 3.4.1 e 3.4.2. No Teorema 1.1.1 provaremos a existência desta função para homeomorfismo
de um espaço métrico compacto.
Definição 1.1.16. Seja f : X → X um homeomorfismo de um espaço métrico compacto. Uma
função de Lyapounov completa para f é uma função contínua g : X → R satisfazendo:
23
1. Se x ∈
/ R(f ), então g(f (x)) < g(x).
2. Se x, y ∈ R(f ), então g(x) = g(y) se, e somente se x ∼ y, isto é, x e y estão na mesma
componente transitiva por cadeia.
3. g(R(f )) é um subconjunto compacto nunca-denso de R.
Definição 1.1.17. Se A ⊂ X é um subconjunto compacto e existe uma vizinhança aberta U
T
de A tal que f (U ) ⊂ U e n≥0 f n (U ) = A, então A é chamado um atrator de f e U uma
vizinhança de isolamento de A.
Se V = X − U e A∗ =
T
n≥0 f
−n
(V ), então A∗ é um atrator para f −1 com vizinhança de
isolamento V .
Definição 1.1.18. Se A é um atrator, então o atrator A∗ , como nas considerações anteriores,
é chamado o repulsor dual para A.
Com o objetivo de provar o Teorema 1.1.1, que garante a existência de uma função de
Lyapounov completa para qualquer homeomorfismo f : X → X, com X um espaço métrico
compacto, veremos alguns lemas auxiliares.
Lema 1.1.2. Seja f : X → X um homeomorfismo com X um espaço métrico compacto. Valem
as seguintes afirmações:
(a) As vizinhanças de isolamento de atratores disjuntos são disjuntas.
(b) O conjunto dos atratores disjuntos de f é enumerável.
∗ ∞
(c) Se {An }∞
n=1 são os atratores de f e {An }n=1 são os respectivos repulsores duais, então
R(f ) =
∞
\
(An ∪ A∗n ).
n=1
(d) Sejam x e y ∈ R(f ). Então x e y estão na mesma componente transitiva por cadeia se,
e somente se, não existe nenhum atrator que contenha a x cujo repulsor dual contenha a
y e vice-versa.
Demonstração. Considere em X a topologia induzida pela métrica de X.
(a) Sejam U e U 0 as vizinhanças de isolamento de atratores A e A0 e suponhamos por
absurdo que U ∩ U 0 =
6 ∅. Como U e U 0 são abertos, então U ∩ U 0 é aberto. Além disso, U ∩ U 0
é compacto. Logo
∅=
6
\
n≥0
f n (U ∩ U 0 ) ⊂
\
n≥0
f n (U ) = A
24
e
\
f n (U ∩ U 0 ) ⊂
n≥0
\
f n (U 0 ) = A0 .
n≥0
∗
Contradizendo a hipótese de que A ∩ A = ∅.
(b) Seja B = {Vn }∞
n=1 uma base enumerável para a topologia de X. Dado qualquer atrator
A com vizinhança de isolamento U , temos que U é a união enumerável de conjuntos da base B.
Sendo A um compacto, existe uma quantidade finita de Vi , digamos Vi1 . . . Vik , de modo que
A ⊂ Vi1 ∪ . . . ∪ Vik ⊂ U . Então
\
\
f n (U ) = A =
f n (Vi1 ∪ . . . ∪ Vik ) = A.
n≥0
n≥0
Além disso, como vizinhanças de isolamentos de atratores disjuntos são disjuntas por (a), não
poderia existir uma quantidade maior de atratores disjuntos do que elementos em B.
T
∗
(c) Provemos primeiro a inclusão R(f ) ⊂ ∞
n=1 (An ∪ An ). Para isto, mostremos que se
x∈
/ A ∪ A∗ para algum atrator A então x ∈
/ R(f ). Se U é a vizinhança de isolamento para um
atrator A e x ∈
/ A ∪ A∗ então x ∈ U ou x ∈ V . Suponhamos que x ∈ U visto que o outro caso
é análogo. Como x ∈
/ A então x ∈
/ f n (U ) para algum n. Seja m o menor dos n satisfazendo
x∈
/ f n (U ), então x ∈ f m−1 (U ) − f m (U ).
Escolha um 0 de modo que qualquer 0 -cadeia começando em x = x1 tenha x3 ∈ f m+1 (U ).
Considerando
1 = d(f m−1 (U ) − f m (U ), f m+1 (U )),
(1.1)
tomemos
=
1
min{1 , 0 }.
2
(1.2)
Afirmamos que não existe uma -cadeia de x a x visto que uma tal cadeia não pode conectar
um ponto de f m+1 (U ) com um ponto de f m−1 (U ) − f m (U ). Isto porque f m+2 (U ) ⊂ f m+1 (U )
e como x3 ∈ f m+1 (U ) teremos que f (x3 ) ⊂ f m+1 (U ). Além disso, por 1.1 e 1.2 teremos que
B(f (x3 ), ) ∩ {f m−1 (U ) − f m (U )} = ∅. Então, se x ∈
/ A ∩ A∗ , então x ∈
/ R(f ).
T∞
Vamos agora provar a inclusão n=1 (An ∪ A∗n ) ⊂ R(f ). Suponhamos por absurdo que
T
∗
exista x ∈ ∞
/ R(f ), logo existe um 0 de tal modo que não existe uma
n=1 (An ∪ An ) tal que x ∈
0 cadeia periódica para x. Representemos por Ω(x, ) o conjunto de todos os y ∈ X tal que
existe uma -cadeia de x para y e seja V = Ω(x, ). Este conjunto é aberto e f (V ) ⊂ V visto
que se z ∈ f (V ), existe z0 ∈ V tal que d(f (z), f (z0 )) < 0 e, portanto, uma 0 -cadeia de x para
z0 produz uma 0 -cadeia de x para f (z). Teremos que
\
f n (V ) = A
n≥0
25
é um atrator com vizinhança de isolamento V .
Visto que estamos supondo como hipótese que x ∈
T∞
∗
∗
n=1 (An ∪ An ), então x ∈ A ou x ∈ A .
Agora, como estamos assumindo que não existe uma 0 -cadeia periódica para x, então x ∈
/ A.
Por outro lado,
ωf (x) = {pontos de acumulação de {f n (x)}n≥0 }
(1.3)
deve está contido em V . Logo, se x ∈ A∗i , como A∗i é fechado e invariante, teríamos que
ωf (x) ⊂ A∗i , chegando em uma contradição.
(d) Suponhamos primeiro que x, y ∈ R(f ) estão na mesma componente transitiva por
cadeias e suponhamos também que x ∈ A, com A um atrator. Mostremos que y ∈ A.
Inicialmente, pelo item (c), temos que y ∈ A ∪ A∗ . Por outro lado, se U é uma vizinhança
de isolamento de A,
d(X − U, f (U )) > ,
(1.4)
para algum > 0. Logo, não existe nenhuma /2-cadeia de pontos de U para pontos de X − U .
Desse modo, não pode existir nenhuma /2-cadeia entre pontos de A e A∗ , visto que A ⊂ U e
A∗ ⊂ X − U . Logo y ∈ A.
Para provar a recíproca, suponhamos que existam dois pontos x, y ∈ R(f ) tais que x ∈ A,
com A um atrator, se e somente, se y ∈ A. Dado um > 0, seja V = Ω(x, ) o conjunto dos
pontos que podem se conectar com x com uma -cadeia. Como x ∈ R(f ) então x ∈ V . Como
em (b), V é uma vizinhança de isolamento de um atrator A0 e como x ∈ A0 ∪ A∗0 , então x ∈ A0 .
Por hipótese, y ∈ A0 ⊂ V , ou seja, x pode-se conectar com y por uma -cadeia.
Analogamente, se prova que y pode conectar com x por uma -cadeia , e como isto vale
para todo > 0, x e y estão na mesma componente transitiva por cadeias.
Lema 1.1.3. Existe uma função contínua g : X → [0, 1] tal que g −1 (0) = A, g −1 (1) = A∗ e
seja estritamente decrescente nas órbitas dos pontos de X − (A ∪ A∗ ).
Demonstração. Defina a função g0 : X → [0, 1] como:
g0 (x) =
d(x, A)
.
d(x, A) + d(x, A∗ )
Sendo g0 (X) = [0, 1] garantimos que existe
g1 (x) = sup{g0 (f n (x)) : n ≥ 0}.
Então g1 : X → [0, 1] e g1 (f (x)) ≤ g1 (x) para todo x.
26
Vejamos que g1 (x) é contínua. Seja lim xi = x ∈ A, então lim g1 (xi ) = 0, e vale o análogo
para A∗ . Isto nos diz que g1 é contínua nos pontos de A ∪ A∗ . Seja N = U − f (U ) e
r = inf{g0 (x); x ∈ N }, com U uma vizinhança de isolamento de A∗ . Como f n (N ) ⊂ f n (N )
T
e n≥0 f n (N ) = A então existe um n0 tal que g0 (f n (x)) ⊂ [0, r/2] para todo x ∈ N , quando
n > n0 . Então, para todo x ∈ N , temos
g1 (x) = max{g0 (f n (x)), 0 ≤ n ≤ n0 }.
Então g1 é contínua em N e em X − (A ∪ A∗ ), visto que
∞
[
f n (N ) = X − (A ∪ A∗ ).
n=−∞
Finalmente, definamos
g(x) =
∞
X
g1 (f n (x))
n=0
2n+1
.
Esta função e decrescente ao longo das órbitas dos pontos de X − (A ∪ A∗ ) e contínua porque a
série e uniformemente convergente e g1 é contínua. Além disso, g −1 (0) = A, g −1 (1) = A∗ . Logo
g satisfaz as hipóteses do lema.
Teorema 1.1.1. Seja f : X → X um homeomorfismo com X um espaço métrico compacto,
então existe uma função de Lyapounov completa para f .
Demonstração. Os Lemas 1.1.2 e 1.1.3 garantem que existem uma quantidade enumerável
de atratores An e, para cada n, existe uma função contínua gn : X → [0, 1] que satisfaz:
gn−1 (0) = An , gn−1 (1) = A∗n e que seja estritamente decrescente nas órbitas dos pontos de
X − (An ∪ A∗n ). Considere agora
g(x) =
∞
X
gn (x)
n=1
3n
.
(1.5)
Mostraremos que g é uma função de Lyapounov completa para f . Inicialmente, como a série
(1.5) tem os termos positivos e podemos limitá-la superiormente por uma p-série convergente,
então a série (1.5) converge uniformemente para g, logo g é contínua. Além disso, se x ∈ R(f )
então x ∈ An ∪ A∗n para todo n e portanto, os valores de gn (x) só podem ser 0 ou 1, ou seja, a
expressão ternária de g(x) pode ser escrita unicamente com 0 ou 2. Logo g(x) ∈ C, onde C é
conjunto de Cantor. Agora, veja que
1. Se x ∈
/ R(f ) exite algum Ai tal que x ∈
/ Ai ∪ A∗i e g(f (x)) ≤ g(x).
27
2. Sejam x e y ∈ R(f ). Para que seja g(x) = g(y) é necessário que gn (x) = gn (y) para
todo n. Por outro lado, como gn (x) ∈ {0, 1} e gn (y) ∈ {0, 1}, então g(x) = g(y) se, e
somente se, não existe n tal que x ∈ An e y ∈ A∗n . Usando novamente o Lema 1.1.2, isto
é equivalente a x e y estarem na mesma componente transitiva por cadeia.
3. Como g é contínua, g(x) ≥ 0 para todo x e R(f ) é compacto, segue que g(R(f )) é
compacto e g(X) não é denso em R.
Portanto, g é uma função de Lyapounov completa para f .
O próximo teorema fornece uma caracterização para a decomposição de R(f ) em componentes δ-transitivas via uma função de Lyapounov completa e será parte fundamental na
demonstração do Teorema 3.4.1, o principal teorema deste trabalho.
Teorema 1.1.2. Dado δ > 0 e um homeomorfismo de um espaço compacto f : X → X,
existe uma função de Lyapounov completa g : X → R para f e valores regulares para g,
c0 < c1 < c2 < . . . < cn tal que se Λi = R(f ) ∩ g −1 ([ci−1 , c1 ]), então {Λi }, 1 ≤ i ≤ n, são as
componentes δ-transitivas de f .
Demonstração. Sejam Λ1 , . . . , Λn as componentes δ-transitivas para f . Vamos ordena-lás de
tal forma que se i < j então não existe δ-cadeia de Λi para Λj . Isto é possível porque não pode
existir "ciclo"de Λi ’s com cada um possuindo uma δ-cadeia para o outro e o último tendo uma
δ-cadeia com o primeiro.
Seja Ui o conjunto dos z ∈ X tal que existe uma δ-cadeia de Λi para z. Temos que
Ui é aberto. Além disso f (Ui ) ⊂ Ui , porque se z ∈ U i , então existe um z0 ∈ Ui tal que
d(f (z), f (z0 )) < δ e, consequentemente, uma δ-cadeia de x para z0 resulta em uma δ-cadeia
x = x1 , x2 , . . . , xk , z0 , f (z) de x para f (z).
Consideremos
Ai =
\
n≥0
f n (U i ) e A∗i =
\
f −n (X − Ui ).
n≥0
Teremos que Ai e, A∗i são um par de atrator repulsor e Λi ⊂ Ai . Usando o resultado do Lema
1.1.3, teremos que existe uma função contínua gi : X → [0, 1] tal que Ai = gi−1 (0), A∗i = gi−1 (1)
e gi (f (x)) < gi (x) para todo x ∈ X − (Ai ∪ A∗i ). Se i < j, como não existe uma δ-cadeia de Λi
a Λj , então Λj ⊂ A∗i . Assim gi (Λj ) = 1.
n
X
Seja h(x) =
2i gi (x) e note que h(f (x)) ≤ h(x) para todo x ∈ X. Para x ∈ R(f ) =
i=1
S
Λi , h(x) é um número par inteiro entre 0 e 2n+1 . Também note que h(x) = h(y) se, e
28
somente se, gi (x) = gi (y) para todo i. Então, se x ∈ Λi , y ∈ Λj , i < j, então h(x) 6= h(y) pois
gi (x) 6= gj (y). Agora, se g0 : X → [0, 1] é uma função de Lyapounov completa para f , então
g(x) = g0 (x) + h(x) é a função desejada, visto que
1. Se x ∈
/ R(f ) então g(f (x)) < g(x) porque h(f (x)) ≤ h(x) e g0 (f (x)) ≤ g0 (x).
2. Se x e y ∈ R(f ) então g(x) = g(y) se, e somente se, x ∼ y. Porque se x ∼ y então x e
y estão na mesma componente δ-transitiva, logo g0 (x) = g0 (y) e h(x) = h(y), portanto
g(x) = g(y). Por outro lado, se x y, podemos supor que x ∈ Λi e y ∈ Λj com i < j,
então |h(x) − h(y)| > 1 e |g0 (x) − g0 (y)| < 1. Consequentemente, g(x) 6= g(y).
3. g(R(f )) é um subconjunto compacto e nunca denso em R, porque g0 (x) cumpre esta
condição e se x ∈ R(f ), h(x) é um número par entre 0 e 2n+1 .
Seja {km 2lm , m = 1, ..., n} o conjunto dos valores assumidos por h(x) em R(f ), ordenados
de modo crescente. Seja j tal que Λi ⊂ h−1 (kj 2lj ), como g0 (R(f )) ⊂ [0, 1] então
Λi = R(f )∩g −1 ([kj 2lj , kj 2lj + 1]).
Observação 1.1.5. Vejamos que, em R(f ), a função h definida no Teorema 1.1.2 assume um
número inteiro entre 0 e 2n+1 com n correspondendo ao número de componentes δ-transitivas
de R(f ). Se R(f ) tem n componentes δ-transitivas, veja que
1. Se ∆1 ⊂ Ai para 1 ≤ i ≤ n, então gi (∆1 ) = 0 para 1 ≤ i ≤ n. Logo h(∆1 ) = 0.
2. Se ∆1 ⊂ A∗i para 2 ≤ i ≤ n, então g1 (∆1 ) = 0 e gi (∆1 ) = 1 para 2 ≤ i ≤ n. Logo
h(∆1 ) = 2n+1 − 4.
Ou seja, existem configurações em que h pode assumir 0 ou 2n+1 − 4 em R(f ). Note que
2n+1 − 4 é o valor máximo assumido por h em R(f ), uma vez que, se x ∈ R(f ), pelos menos
um dos gi = 0.
A última proposição desta seção terá uma grande importância na demonstração do Teorema
3.4.1, antes desta proposição, necessitamos da próxima definição.
Definição 1.1.19. Dado um espaço topológico X e uma função contínua f : X → X, dizemos
que um ponto x0 é não-errante se, para qualquer vizinhança V de x0 , tivermos f n (V ) ∩ V 6= ∅
para algum n ≥ 1. Caso contrário chamaremos x0 de ponto errante. Denotaremos o conjunto
de todos os pontos não-errantes por Ω(f ).
29
Proposição 1.1.4. Seja X um espaço topológico e f : X → X uma função contínua. Então,
temos que Ω(f ) ⊂ R(f ).
Demonstração. Seja x ∈ Ω(f ) e > 0. Observe que podemos, por continuidade, escolher
uma vizinhança N ⊂ B (x) de x tal que f (N ) ⊂ Bδ (f (x)). Como x é não-errante, existe
k > 0 tal que N ∩ F k (N ) 6= ∅. Seja y ∈ N ∩ f k (N ) e considere y, y1 , y2 , . . . sua órbita. Como
y1 ∈ f (N ) ⊂ B (f (x)) e yk ∈ B (x), então
d(f (x), y1 ) < e d(f (yk−1 ), x) = d(yk , x) < .
Logo x, y1 , . . . , yk−1 , x é uma -cadeia recorrente para x, ou seja, x ∈ R(f ).
O Teorema 1.1.3 devido a J. Oxtoby e o Teorema 1.1.4 devido a J. von Nagy, que enunciaremos a seguir, podem ser encontrados em [20] e [18], respectivamente.
Teorema 1.1.3. Seja U um aberto do plano, sejam F1 , . . . , Fn subconjuntos disjuntos e finitos
de U e sejam D1 , . . . Dn discos abertos e disjuntos. Então existem arcos poligonais disjuntos
A1 , . . . An tais que Fj ⊂ Aj ⊂ Dj ∩ U com j = 1, . . . n se, e somente se, cada Fj está
completamente contido em apenas uma componente conexa de Dj ∩ U .
Teorema 1.1.4. Seja F um subconjunto limitado e fechado do plano com diâmetro d > 0.
√
Existe um disco D de diâmetro mínimo que contem F , e este diâmetro é no máximo 2d/ 3.
Encerraremos esta seção enunciando alguns resultados clássicos que utilizaremos neste
trabalho, sem demonstrá-los, pois as demonstrações fogem do objetivo do trabalho.
Teorema 1.1.5 ( Teorema do ponto fixo de Brouwer). Seja D a bola unitária fechada em Rn e
f : D → D uma função contínua com f (D) ⊂ D. Então existe um ponto fixo x, fixo f , em D.
Observação 1.1.6. O conjunto D pode ser substituído por qualquer outro conjunto fechado,
limitado, convexo e homeomorfo ao disco.
O Proposição 1.1.5 obtida por Brouwer será utilizado na demonstração do Teorema Principal
e pode ser encontrada nos trabalhos de Brown em [3] e Fathi em [4].
Proposição 1.1.5 (Brouwer). Se f : R2 → R2 é um homeomorfismo que preserva orientação
e possui um ponto periódico, então f tem um ponto fixo.
Os Teoremas 1.1.6 e 1.1.7 podem ser encontrados em diversos livros como por exemplo em
[11] e [21], respectivamente.
30
Teorema 1.1.6 (Teorema Ergódico de Birkhoff). Seja (X, <, µ) um espaço de medida e
T : X → X uma transformação que preserva medida µ, com µ(X) < ∞. Seja f ∈ L1 (µ),
então o seguinte limite existe:
n−1
1X
b
f (x) = lim
f (T k (x)),
n→∞ n
k=0
para µ quase todo ponto em X. Se além disso µ for ergódica para T ,
Z
1
f dµ = fb,
µ(X) X
para µ quase todo ponto em X.
Definição 1.1.20. Sejam (X, <, µ) um espaço de medida e T : X → X uma transformação
contínua. Uma medida µ é invariante por T se
µ(E) = µ(f −1 (E)) para todo conjunto mensurável E ⊂ M.
Teorema 1.1.7. Seja T : X → X é uma transformação contínua em um espaço métrico
compacto X. Então, para cada µ ∈ M (T ) temos µ(Ω(T )) = 1, onde M (T ) o conjunto das
medidas invariantes sobre T .
1.2
HOMOTOPIA E GRUPO FUNDAMENTAL
Definição 1.2.1. Sejam f, g : X → Y duas aplicações contínuas entre espaços topológicos X
e Y . Dizemos que f e g são homotópicas se existe uma aplicação contínua F : X × I → Y ,
onde I = [0, 1], tal que F (x, 0) = f (x) e F (x, 1) = g(x), para todo x ∈ X. A aplicação F é
chamada de homotopia entre f e g.
Uma homotopia entre f e g é uma família a um parâmetro de funções contínuas entre Xe Y ,
isto é, para cada t ∈ I a função ft : X → Y é contínua, onde ft (x) = H(x, t). Intuitivamente,
a homotopia deforma continuamente f em g. Usaremos a notação f ' g para simplificar que
f é homotópica a g.
Exemplo 1.2.1. Seja Y ⊂ E, onde E é um espaço vetorial normado. Dadas a funções
contínuas f, g : X → Y , suponha que para todo x ∈ X, o segmento de reta [f (x), g(x)] =
{tf (x) + (1 − t)g(x) : t ∈ [0, 1]}, está contido em Y . Então f ' g. De fato, basta definir
F (x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) para obter uma homotopia F : X × I → Y entre f e g, chamada
homotopia linear. Em particular, cada função contínua f : X → E é homotópica a função
constante 0, pela homotopia F (x, t) = (1 − t)f (x).
31
Exemplo 1.2.2. Dados duas funções contínuas f, g : X → S 1 , se f (x) 6= −g(x) para todo
x ∈ X, então f ' g. De fato, pelas condições tem-se que (1 − t)f (x) + tg(x) 6= 0 para todo
t ∈ I e para todo x ∈ X. Então obtemos uma homotopia F : X × I → S 1 , entre f e g, tomando
F (x, t) =
(1 − t)f (x) + tg(x)
.
|(1 − t)f (x) + tg(x)|
Em particular, se f : S 1 → S 1 satisfaz f (x) 6= −x para todo x ∈ S 1 , então f é homotópico a
função identidade Id : S 1 → S 1 .
Vamos, a partir de agora, considerar um caso particular do conceito geral de homotopia.
Estudaremos homotopias de caminhos. Dedicaremos atenção especial aos caminhos fechados.
Definição 1.2.2. Um caminho num espaço topológico X é uma aplicação contínua α : I =
[0, 1] → X. Dizemos que dois caminhos α, β : I → X com extremos fixos, isto é, com
α(0) = β(0) e α(1) = β(1), são homotópicos se existe uma homotopia F : I × I → X tal
que dados quaisquer s, t ∈ I, então F (s, 0) = α(s), F (s, 1) = β(s), F (0, t) = α(0) = β(0)
e F (1, t) = α(1) = β(1). No caso em que α e β são curvas fechadas, ou seja, quando
α(a) = α(1) = β(0) = β(1) = x0 , usamos a notação α ' β.
Figura 1.3: Caminhos homotópicos.
Exemplo 1.2.3. Seja X um subconjunto convexo de uma espaço vetorial normado. Se
α, β : I → Y são caminhos fechados com mesmas extremidades, então α ' β. Com efeito,
basta definir H : I × I → X ponto F (s, t) = (1 − t)α(s) + tβ(s). Vê-se que F é um homotopia
entre α e β. Essa homotopia é dita homotopia linear.
Sejam α, β : I → X caminhos tais que o fim de α coincide com a origem de β, ou seja,
α(1) = β(0), I = [0, 1]. Definimos o produto α ∗ β : I → X, também conhecido como
justaposição de caminhos, como sendo o caminho que consiste em percorrer primeiro α e depois
β, isto é,
(α ∗ β)(t) =
α(2t), se 0 ≤ t ≤ 1/2
β(2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1.
(1.6)
32
O caminho inverso de α : I → X é, por definição, o caminho α−1 : I → X, dado por
α−1 = α(1 − s), 0 ≤ s ≤ 1.
Podemos verificar, a partir das definições acima e usando (1.6), que tanto a homotopia
quanto a homotopia com extremos fixos são relações de equivalência, isto é, satisfazem as
propriedades de reflexão, simetria e transitividade.
Lema 1.2.1. Seja X um espaço topológico. Se f : X → X é homotópico à identidade
Id : X → X, então a composição f k : X → X é homotópico à identidade, k ∈ N.
Demonstração. Seja F : X ×[0, 1] → X uma homotopia entre f e Id(x) tal que F (x, 0) = Id(x)
e F (x, 1) = f (x), então a composição H = f ◦ F : X × [0, 1] → X é uma aplicação contínua
satisfazendo H(x, 0) = f (x) e H(x, 1) = f 2 (x), ou seja, H(x, t) é uma homotopia entre f e
f 2 . Então, por transitividade, f 2 é homotópico à Id. Procedendo de modo análogo, f k é
homotópico à Id.
Usamos a notação [α] para designar a classe de homotopia do caminho α e a notação
π1 (X, x0 ) para designar o conjunto das classes de homotopias de caminhos fechados α : I → X
tais que α(0) = α(1) = x0 . O ponto x0 é chamado de ponto base de π1 (X, x0 ).
Dados [α], [β] ∈ π1 (X, x0 ) temos que (α ∗ β)(0) = (α ∗ β)(1) = x0 . Logo α ∗ β é um caminho
em X, fechado em x0 . Então [α ∗ β] ∈ π1 (X, x0 ).
Definição 1.2.3. Em π1 (X, x0 ) denotemos e definamos o seguinte produto por:
π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 )
([α], [β]) 7→ [α] · [β] = [α ∗ β].
Para uma demonstração do próximo teorema, consultar o Livro Introdução à Topologia
Algébrica, em [23].
Teorema 1.2.1. π1 (X, x0 ), com o produto definido na Definição 1.2.3, é um grupo, chamado
grupo fundamental com ponto base x0 .
Uma questão natural que surge na definição de grupo fundamental é a seguinte: dados
x0 , x1 ∈ X que relação existe entre π1 (X, x0 ) e π1 (X, x1 )? Quando o espaço X é conexo por
caminhos, pode-se provar que π1 (X, x0 ) ' π1 (X, x1 ), isto é, os grupos π1 (X, x0 ) e π1 (X, x1 )
são isomorfos. Mas precisamente, cada classe de homotopia [β] de caminhos β : I → X com
β(0) = x0 e β(1) = x1 induz um isomorfismo
Φβ : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1 )
[α] 7→ βαβ −1 .
33
Neste caso diremos que a definição de grupo fundamental não depende do ponto base escolhido
e usamos a notação π1 (X). Quando, além disso, o grupo fundamental do espaço X é trivial,
isto é, π1 (X) = 0, temos a definição:
Definição 1.2.4. Um espaço topológico X diz-se simplesmente conexo quando é conexo por
caminhos e π1 (X) = 0, ou seja, quando seu grupo fundamental for trivial.
Exemplo 1.2.4. Todo conjunto convexo, por exemplo os conjuntos Rn , são simplesmente
conexos. De fato, em Rn , todos os caminhos são homotópicos, basta considerar homotopias
lineares. Em particular, todos os caminhos fechados são homotópicos ao caminho constante
α(x) = x0 , para todo x ∈ Rn , logo
π1 (Rn , x0 ) = {[ex0 ]} ∼
= {0},
com ex0 : I → X, ex0 (x) = x0 .
Observação 1.2.1. Um espaço topológico X é contrátil se a função identidade Id : X → X é
homotópica a uma função contante c(x) = x0 . Se X é contrátil, então é simplesmente conexo.
Se X é Y são simplesmente conexos, então X × Y é simplesmente conexo.
1.3
ESPAÇOS DE RECOBRIMENTO E RECOBRIMENTO UNIVERSAL
e espaços topológicos e π : X
e → X uma função contínua. Um aberto V ⊂ X é
Sejam X, X
dito vizinhança distinguida se
π −1 (V ) =
[
Uα ,
α
e cada um dos quais se
onde {Uα : α ∈ Λ} é uma reunião de abertos dois a dois disjuntos de X,
aplica por π homeomorficamente sobre V .
Definição 1.3.1. Uma aplicação de recobrimento (ou simplesmente um recobrimento) é uma
e → X contínua, sobrejetora e tal que todo x ∈ X possui uma vizinhança distinguida.
função π : X
e π) é chamado espaço de recobrimento do espaço X e, para cada x ∈ X, o conjunto
O par (X,
π −1 (x) chama-se fibra sobre x.
e → X é um homeomorDa definição acima, temos que uma aplicação de recobrimento p : X
e sobre X.
fismo local de X
Exemplo 1.3.1. Seja π : R → S 1 dada por π(x) = e2πix = (cos(2πix), sen(2πix)), x ∈ R.
Assim, (R, π) é um recobrimento de S 1 . Além disso, todo subintervalo aberto de S 1 pode ser
visto como uma vizinhança distingida.
34
ℝ
s
1
Figura 1.4: (R, π) é um espaço de recobrimento de S 1 .
e π1 ) e (Ye , π2 ) recobrimentos de X e Y , respectivamente. Então
Observação 1.3.1. Sejam (X,
e × Ye , π1 ×π2 ) é um espaço de recobrimento de X ×Y , sendo a aplicação π1 ×π2 definida como
(X
(π1 × π2 )(x, y) = (π1 (x), π2 (y)) a aplicação de recobrimento. Agora, se U e V são vizinhanças
distinguidas de x ∈ X e y ∈ Y , então U × V é uma vizinhança distinguida de (x, y) ∈ X × Y .
Exemplo 1.3.2. Como o toro T2 = S 1 × S 1 , temos que um recobrimento é R × R = R2 . Em
geral Rn é um recobrimento do toro Tn = S 1 × S 1 × . . . × S 1 .
ℝ2
⟶
π
T2
Figura 1.5: (R2 , π) é um espaço de recobrimento de T2 .
e π) um espaço de recobrimento de X.
Teorema 1.3.1. Seja X um espaço topológico e (X,
Então X tem a topologia quociente em relação a π.
Demonstração. Podemos verificar facilmente que π é uma aplicação aberta. Além disso, π é
e
uma aplicação contínua, logo U ⊂ X é aberto se, e somente se π −1 é aberto em X.
35
e → X um recobrimento e f : Y → Xuma aplicação contínua.
Definição 1.3.2. Seja π : X
e é um levantamento de f se π ◦ fe = f.
Dizemos que fe : Y → X
e e0 ) → (X, x0 ) com π(e0 ) = x0 e
Consideremos agora um espaço de recobrimento π : (X,
uma aplicação contínua f : Y → X e f (y0 ) = x0 . Veremos no próximo teorema uma condição
para que f posso ser levantada.
Para uma demonstração do Teorema 1.3.2 e do Corolário 1.3.1, ver os Lemas 3.1 e 3.2,
encontrados no livro Algebraic Topology: An Introduction, [15].
e e0 ) → (X, x0 ) com π(e0 ) = x0
Teorema 1.3.2. Seja uma aplicação de recobrimento π : (X,
e uma aplicação contínua f : (Y, yo ) → (X, x0 ). Suponhamos que Y é simplesmente conexo e
e de f tal que
localmente conexo por caminhos. Então existe um único levantamento fe : Y → X
fe(y0 ) = e0 .
e e0 ) → (X, x0 ) e π 0 : (X
e 0 , e0 ) → (X, x0 ) dois recobrimentos de
Corolário 1.3.1. Sejam π : (X,
0
e eX
e 0 são simplesmente conexos e localmente conexos por caminhos. Então existe
X tais que X
e e 0 ) → (X
e 0 , e00 ) tal que o diagrama abaixo comuta:
um único homeomorfismo h : (X,
Com esses resultados, podemos definir o recobrimento universal de um espaço.
e → X é um recobrimento universal se X
e
Definição 1.3.3. Dizemos que o recobrimento π : X
for simplesmente conexo e localmente conexo por caminhos.
Observação 1.3.2. O corolário acima, nos diz que dois recobrimentos universais de um mesmo
espaço são homeomorfos. Por este motivo, sempre que um espaço X possuir um recobrimento
universal, nos referimos a ele como o recobrimento universal de X.
e π1 ) e (Ye , π2 ) recobrimentos universais de X e Y respectivaObservação 1.3.3. Sejam (X,
e × Ye é um espaço de recobrimento universal de X × Y , sendo a aplicação
mente. Então X
π1 × π2 , como definida na observação 1.1.5, a aplicação de recobrimento.
Exemplo 1.3.3. Se X é simplesmente conexo, então qualquer recobrimento universal de X é
homeomorfo a X.
Exemplo 1.3.4. O recobrimento π : R → S 1 dado por π(x) = e2πi é um recobrimento universal
de S 1 . Pela Observação 1.3.3 o recobrimento R2 de T2 é um recobrimento universal de T2 .
36
1.4
NÚMERO E CLASSE DE NIELSEN
Ao longo desta seção X denotará uma subvariedade de dimensão m compacta de Rn
e U ⊂ X denotará um aberto em X. Seja f : U → X uma aplicação, lembremos que
F ix(f ) = {x ∈ U |f (x) = x} denota o conjunto dos pontos fixos que é um conjunto fechado em
X.
Se f : X → X é uma função contínua com finitos pontos fixos, podemos dar uma definição
de índice de um ponto fixo e índice de um aberto da seguinte maneira.
Definição 1.4.1. Seja x0 um ponto fixo e U um aberto homeomorfo a uma bola B tal que x0
é o único ponto fixo em U . Para todo x ∈ ∂B, f (x) 6= x e podemos definir
v(x) =
f (x) − x
.
kf (x) − xk
Temos que v : ∂B → S m−1 é uma função contínua. Então, o índice de um ponto fixo, I(f, x0 ),
de f em x0 como
I(f, x0 ) = deg(v),
onde deg(v) := v∗n (1), com v∗n : Hn (X, Z) → Hn (X, Z) o homomorfismo induzido em Z.
Definição 1.4.2. Seja U um aberto sem pontos fixos em seu bordo e x1 , . . . , xh os pontos fixos
no interior de U . Definimos o índice de um aberto U como
I(f, U ) =
h
X
I(f, xi ).
i=1
Uma demonstração para o próximo Lema pode ser obtida em [9].
Lema 1.4.1. Seja B = B(x0 , ) ⊂ R2 a bola unitária no espaço euclidiano e seja f : B → R2
uma função contínua satisfazendo f (B) ⊂ B. Então I(f, B) = 1. Em particular, f tem um
ponto fixo.
Daremos uma definição de índice que estende a definição anterior no sentido de que não
necessita que a quantidade de pontos fixos seja finita. No entanto, daremos esta definição de
forma axiomática, ou seja, o índice será uma função que satisfaz uma série de propriedade.
Podemos usar esta definição visto que R. Brown prova a existência de uma tal função em [2].
Definição 1.4.3. Chamaremos de C 0 ao conjunto de todos os pares (f, U ) com f : X → X
uma função contínua e U ⊂ X aberto que não contém pontos fixos de f em seu bordo.
37
Definição 1.4.4. Definimos o índice como uma função i : C 0 → Q que satisfaz as seguintes
propriedade:
• Axioma 1 (Local): Se (f, U ) ∈ C 0 e existe g tal que g(x) = f (x) para todo x ∈ U , então
I(f, U ) = I(g, U ).
• Axioma 2 (Homotopia): Se F : X × I → X é um homotopia e definirmos ft (x) = H(x, t).
Se (ft , U ) ∈ C 0 para todo t, então
I(f0 , U ) = I(f1 , U ).
• Axioma 3 (Aditividade): Seja (f, U ) ∈ C 0 e sejam U1 , . . . , Us uma família de subconjuntos
S
abertos e disjuntos de U e tal que f (x) 6= x para todo x em [U − sj=1 Uj ], então
I(f, U ) =
s
X
I(f, Uj ).
j=1
• Axioma 4 (Normalização): Para toda função contínua f : X → X temos que
I(f, X) = L(f )
Onde L(f ) é o número de Lefschetz, definido em [2].
Observação 1.4.1. Se f : X → X é uma aplicação contínua e α : I → X é um caminho em
X, vemos que a composta f ◦ α : I → X também é um caminho em X.
Definição 1.4.5. Dada uma aplicação f : X → X tal que F ix(f ) 6= ∅. Dois pontos fixos
x, y ∈ F ix(f ) são Nielsen equivalentes (como pontos fixos de f ) se existe uma curva C :
[0, 1] → X, C(0) = x, C(1) = y tal que f ◦ C ∼ C relativamente aos pontos extremos.
Figura 1.6: Homotopia entre as curvas f ◦ C e C.
Observação 1.4.2. Isto produz uma relação de equivalência em F ix(f ) e as classes de
equivalências são chamadas classes (de pontos fixos) de Nielsen de f .
38
Encerraremos esta seção apresentando algumas definições e resultados importantes para o
capítulo 3, mais especificamente, importantes para a demonstração to Teorema 3.4.1.
Definição 1.4.6. Seja f : X → X uma função contínua. Para cada classe de Nielsen Γ da
função f , definimos o índice de Γ, I(f, Γ), como I(f, Γ) := I(f, U ) onde U é um aberto de X
tal que Γ ⊂ U e U ∩ F ix(f ) = Γ,
A próxima proposição diz que o índice de uma classe de Nielsen está bem definido
Proposição 1.4.1. Seja Γ uma classe de Nielsen de f . A definição de I(f, Γ) não depende
da escolha do aberto U .
Demonstração. Sejam U e V como na Definição 1.4.6. Como U ∩ F ix(f ) = V ∩ F ix(f ) = Γ,
então f (x) 6= x para x ∈ U − (U ∩ V ). Portanto, pelo axioma da aditividade na Definição
1.4.4, teremos que I(f, U ) = I(f, U ∩ V ). Um raciocínio análogo nos permite provar que
I(f, U ) = I(f, U ∩ V ).
Definição 1.4.7. Uma classe de Nielsen é dita essencial se seu índice é não nulo, isto é, Γ é
essencial se I(f, Γ) 6= 0.
Para X uma subvariedade compacta de Rn e f : X → X uma função contínua, a próxima
definição nos fornece um inteiro não negativo N (f ) que chamaremos de número de Nielsen de
f . O número de Nielsen será uma cota inferior para a quantidade de pontos fixos de f .
Definição 1.4.8. O número de Nielsen de f é definido como
N (f ) := #{Γ| I(f, Γ) 6= 0}.
Ou seja, o número de Nielsen é, simplesmente, o número de classes de Nielsen essenciais.
Observação 1.4.3. Por definição, N (f ) é um inteiro não negativo. Como cada classe de
Nielsen contém pelo menos um ponto fixo para f , temos que existe pelo menos N (f ) pontos
fixos de f em X.
Exemplo 1.4.1. A função identidade Id : T2 → T2 satisfaz F ix(Id) = T2 , logo existe apenas
uma classe de Nielsen. Neste caso I(Id, Γ) = I(Id, T2 ). Pelo axioma da normalização na
Definição 1.4.4 temos que I(Id, T2 ) = L(Id). Logo, pelo Exemplo 4.1.3 em [9], N (Id) =
L(Id) = χ(T2 ) = 0, onde χ(T2 ) é a característica de Euler de T2 .
Teorema 1.4.1. Sejam f, g : X → X duas funções contínuas e homotópicas, então
N (f ) = N (g).
39
2 HOMEOMORFISMOS DA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA
Neste capítulo, estudaremos alguns resultados sobre homeomorfismos do círculo que são
homotópicos à identidade. Para isso, precisamos de alguns resultados sobre os levantamentos
ao recobrimento universal desses homeomorfismos. Um conceito de grande importância é o
número de rotação, o qual serve de critério para a existência de pontos periódicos das aplicações
do círculo.
2.1
ROTAÇÕES NO CÍRCULO
Definição 2.1.1. Seja α ∈ [0, 1], uma rotação de ângulo 2πα é a aplicação
Rα :
S1
→
S1
e2πit 7→ Rα (e2πit ) = e2πi(t+α) .
Em notação aditiva, temos que Rα (x) = x + α (mod 1). Então, as iteradas de uma rotação
são respectivamente
Rαn (x) = Rnα (x) ou Rαn (x) = x + nα
(mod 1).
Proposição 2.1.1. Se α é um número racional, então a órbita de qualquer ponto x ∈ S 1 , pela
aplicação Rα é periódica.
Demonstração. Suponha que α = p/q, onde q e p são primos relativos. Seja O+ (x) =
{Rαn (x), n ∈ N} a órbita positiva de x. Mostremos que o conjunto O+ (x) é finito e O+ (x) =
{x, Rα (x), Rα2 (x), ..., Rαq−1 (x)}. De fato, como
p
Rαq (x) = Rqα (x) = e2πi(t+qα) = e2πi(t+q q ) = e2πi(t+p) = e2πit = x,
temos que a afirmação segue. De modo análogo, a órbita negativa O− (x) = {Rα−n (x), n ∈ N} é
finita. Consequentemente, O(x) = O+ (x) ∪ O− (x) é finita.
Proposição 2.1.2. Se α é irracional, então não existe uma órbita periódica para Rα .
40
Demonstração. Pode-se mostrar isto por contradição supondo que existe uma órbita periódica.
Se existe órbita periódica, então existe x ∈ S 1 e k ∈ Z tal que x = e2πit = e2πi(t+kα) , o que
k∗
∗
∗
implica kα = k , onde k ∈ Z, daí α = , logo α é racional. Isto é um absurdo visto que, por
k
definição, α é irracional.
Definição 2.1.2. Uma aplicação f : X → X diz-se minimal se a órbita Of (x) = {f n (x)}n∈Z
de qualquer ponto x ∈ X é densa em X ou ainda se não contém subconjuntos invariantes
próprios.
Proposição 2.1.3. Se α é irracional então a rotação Rα é minimal.
Demonstração. Seja A ⊂ S 1 o fecho de uma órbita de x ∈ S 1 . Se a órbita não é densa, o
complementar S 1 \A é um conjunto aberto e não vazio, constituído por intervalos disjuntos.
Seja I o maior desses intervalos (ou um dos maiores, se existir mais de um com o mesmo
comprimento). Como as rotações preservam o comprimento de qualquer intervalo, as iteradas
Rαn (I) não se intersectam, pois caso contrário S 1 \A teria um intervalo maior. Como α é
irracional, nenhum iterado de I pode coincidir, caso contrário um extremo x de uma iterada
de I repetir-se-ia e teríamos
x + kα = x (mod 1),
com kα = l inteiro e α = l/k seria racional. Sendo assim os intervalos de Rαn (I) são todos disjuntos e de igual comprimento, mas isso é impossível por que a circunferência tem comprimento
finito e a soma dos comprimentos de intervalos disjuntos não pode exceder o comprimento da
circunferência.
Corolário 2.1.1. Se α ∈ R \ Q, então os únicos conjuntos compactos invariantes de Rα são
os triviais, isto é, S 1 e ∅.
Demonstração. Sejam Λ um conjunto Rα -invariante e x ∈ Λ. Como ORα (x) ⊂ Λ temos que
ORα (x) ⊂ Λ. Como ORα (x) = S 1 , temos que S 1 ⊂ Λ = Λ, visto que Λ é fechado. Logo, S 1 = Λ
pois a inclusão contrária é óbvia.
2.2
NÚMERO DE ROTAÇÃO
Nesta seção iremos tratar de um conceito de extrema importância à teoria subsequente,
que é o conceito de número de rotação para homeomorfismos em S 1 = R \ Z que sejam
homotópicos à identidade. Tal conceito foi apresentado primeiramente por Poincaré em [22].
41
Mostraremos nas proposições 2.2.4 e 2.2.5, entre outras propriedades, que o número de rotação
independe do ponto x ∈ S 1 e que as propriedades dos homeomorfismos variam de acordo com
sua racionalidade ou não.
O número de rotação mede o deslocamento médio de pontos no recobrimento. Este
deslocamento médio é feito considerando-se partes finitas da órbita de um determinado ponto
no recobrimento e depois tomando-se o limite.
Definição 2.2.1. Seja f : S 1 → S 1 uma aplicação contínua e seja π : R → S 1 a aplicação de
recobrimento. Uma função F : R → R tal que f ◦ π = π ◦ F é dita um levantamento de f , isto
é, o seguinte diagrama comuta
Observe que a aplicação π não é um conjugação topológica entre F e f visto que π não é
injetiva. Entretanto podemos afirmar que F e f são semi-conjugadas.
Como exemplo importante no estudo dos homeomorfismos de S 1 temos as rotações Rα , α ∈
[0, 1], que podem ser pensadas como os "rebaixamentos"das translações
Tα : R → R
x 7→ x + α,
isto é, Rα ◦ π = π ◦ Tα . A próxima proposição mostra que dado uma aplicação contínua em S 1
existe um levantamento para f .
Proposição 2.2.1. Seja f : S 1 → S 1 uma aplicação contínua e seja π : R → S 1 a aplicação
de recobrimento. Então existe uma aplicação contínua F : R → R tal que f ◦ π = π ◦ F .
Demonstração. Sejam p e q ∈ S 1 , com f (p) = q. Então p = π(x0 ) para algum x0 ∈ R e
q = f (p) = π(y0 ) para algum y0 ∈ R. Tomemos F (x0 ) = y0 . Como a função f é contínua,
dado um 0 < < 1/2, existe 0 < δ < 1/2 tal que se |x − x0 | = |π(x) − π(x0 )| ≤ δ ≤ 1/2, então
|f (π(x)) − f (π(x0 ))| = |f (π(x)) − π(y0 )| ≤ ≤ 1/2. Portanto para cada x ∈ [x0 − δ, x0 + δ]
existe um único y ∈ [y0 − , y0 + ] tal que π(y) = f (π(x0 )). Definimos então F (x) = y para
todo x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] que é contínua por construção. Utilizamos os mesmos argumentos
42
para p = [x0 + δ] e para p = [x0 − δ] estendemos a função para [x0 − 2δ, x0 + 2δ], uma vez que
f é uniformemente contínua, pois S 1 é compacto e f é contínua. Assim, repetindo o processo,
estendemos a função F para toda a reta.
Lema 2.2.1. Seja f : S 1 → S 1 uma aplicação contínua, se F é um levantamento de f , então
F (x + 1) − F (x) é um inteiro que independe de x e do levantamento.
Demonstração. Temos π(F (x+1)) = f (π(x+1)) = f (π(x)) = π(F (x)). Logo F (x+1)−F (x) ∈
Z e consequentemente, por continuidade, é independente de x. Se F0 for outro levantamento
de f então π(F0 (x)) = f (π(x)) = π(F (x)). Desse modo, F0 − F é uma função contínua com
valores inteiros, ou seja, F0 − F é constante, pois caso contrário existiriam x e y ∈ R tais que
(F0 − F )(x) 6= (F0 − F )(y). Logo, pelo teorema do valor intermediário, existiria um z ∈ R
tal que (F0 − F )(z) ∈ R − Z, o que contradiz o fato de (F0 − F )(x) ∈ Z para todo o x ∈ R.
Concluímos que F0 (x + 1) − F0 (x) = F (x + 1) − F (x).
Como consequência deste lema, um levantamento para f é único a menos da adição de uma
constante inteira e podemos encontrar todos os levantamentos de f a partir de um levantamento
fixo, isto é, dado um levantamento F para f , os infinitos levantamentos de f são da forma
G = F + k, com k ∈ Z.
Definição 2.2.2. Se f : S 1 → S 1 é uma aplicação contínua e F é um levantamento de f ,
então F (x + 1) − F (x) é chamado de grau de f . Denotaremos o grau de f por deg(f ).
Observação 2.2.1. Pelo Lema 2.2.1 temos que o deg(f ) não depende do levantamento e
também não depende do ponto x, por isso, o deg(f ) é uma propriedade da aplicação f .
Observação 2.2.2. Se deg(f ) = 1, então F (x + k) − F (x) = k para qualquer k ∈ Z. De fato,
dado k ∈ Z+ .
F (x + k) = F (x + (k − 1)) + 1
= F (x + (k − 2)) + 2
..
.
= F (x) + k,
No caso em que k ∈ Z− basta verificar que F (x−1)−F (x) = −1 e chegamos a F (x+k)−F (x) =
k de maneira análoga. Vamos mostrar agora que também vale Gn (x) = F n (x) + nk para n
43
inteiro positivo, com G = F + k outro levantamento de f . Com efeito, supondo que isso seja
verdade para todo inteiro maior ou igual a 1 e menor do que n, então
Gn (x) = Gn−1 (G(x))
= F n−1 (G(x)) + (n − 1)k
= F n−1 (F (x) + k) + (n − 1)k
= F n−1 (F (x)) + k + (n − 1)k
= F n + nk,
o que prova nossa afirmação.
Lembremos que na Definição 1.1.5 a topologia uniforme em C(S 1 ) é a topologia induzida
pela métrica do sup que é dada por:
d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈S 1
Com a topologia uniforme em C(S 1 ), vejamos no próximo lema uma importante propriedade
do grau.
Lema 2.2.2. O grau é contínuo e, consequentemente, localmente constante na topologia
uniforme.
Demonstração. Seja g : S 1 → S 1 uma função contínua e de modo que d(g, f ) < 1/4 na topologia
uniforme. Considere os levantamentos F, G de f, g respectivamente. Seja ϕ(x) = G(x) − F (x).
Para x ∈ [0, 1] tem-se
G(x + 1) − ϕ(x + 1) = F (x + 1) = F (x) + deg(f ) = G(x) + deg(f ) − ϕ(x).
Logo
1
|G(x + 1) − G(x) − deg(f )| < .
(2.7)
2
Como g é uma função na circunferência, G(x + 1) − G(x) é um inteiro e consequentemente,
pela equação 2.7, tem que ser igual a deg(f ).
Proposição 2.2.2. Sejam f, g : S 1 → S 1 aplicações contínuas. Se f e g são homotópicas,
então deg(f ) = deg(g).
Demonstração. Seja F (x, t) : S 1 × I → S 1 uma homotopia entre f e g com F (x, 0) = f (x) e
F (x, 1) = g(x). Como S 1 × I é um subconjunto compacto de R2 , então F é uniformemente
contínua. Logo, dado = 1/4, existe δ > 0 tal que,
|F (x, t) − F (x, t0 )| <
1
4
44
com t, t0 quaisquer em [0,1] satisfazendo |t − t0 | < δ, .
Finalmente, usando o Lema 2.2.2, ft (x) = F (x, t) e ft0 (x) = F (x, t0 ) tem o mesmo grau.
Usando isto, podemos decompor o intervalo [0, 1] em uma quantidade finita de subintervalos de
comprimento δ/2 e usar a transitividade da homotopia para concluir que f e g tem o mesmo
grau.
Corolário 2.2.1. Seja f : S 1 → S 1 contínua. Se f é homotópica à identidade então deg(f ) =
1.
Demonstração. Basta ver que a identidade tem grau 1 e usar a proposição anterior.
Corolário 2.2.2. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo. Então, f n ◦ π = π ◦ F n , ou seja, F n
é um levantamento de f n para qualquer n ∈ N. Além disso, se f é homotópico à identidade,
então f n é homotópico à identidade.
Demonstração. De fato,
f n ◦ π = f n−1 ◦ f ◦ π
= f n−1 ◦ π ◦ F
= f n−2 ◦ f ◦ π ◦ F
= f n−2 ◦ π ◦ F 2
..
.
= π ◦ F n.
Como f é homotópico à identidade, temos que F (x + 1) = F (x) + 1 para todo x ∈ R2 .
Suponhamos, como hipótese de indução, que F m (x + 1) = F m (x) + 1 para algum m ∈ N. Então
F m+1 (x + 1) = F (F m (x + 1)) = F (F m (x) + 1) = F m+1 (x) + 1.
Assim, por indução, F n (x + 1) = F n (x) + 1 para todo n ∈ N. Logo o grau de f n é 1.
Consequentemente, f n é homotópico à identidade.
Proposição 2.2.3. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo homotópico à identidade, então todo
levantamento F de f é estritamente crescente.
Demonstração. Sendo f homotópico à identidade, deg(f ) = 1 . Como F : R → R um
homeomorfismo, F é crescente ou decrescente. Escolhamos um levantamento F de modo que
45
F (1) ∈ [0, 1). Como deg(f ) = 1, então F (x + 1) − F (x) = 1 para todo x ∈ R, em particular,
para x = 0 e x = −1 temos
F (1) − F (0) = 1 e F (0) − F (−1) = 1.
Portanto, F (1) − F (−1) = 2, ou seja, F (−1) = F (1) − 2. Como 0 ≤ F (1) < 1, segue que
F (−1) ≤ −1. Daí, F (−1) < F (1), e deste modo F não pode ser decrescente, pois é um
homeomorfismo de R. Portanto F é crescente. Como qualquer levantamento de f difere de
F apenas pela soma de um inteiro, concluímos que todo levantamento de f é uma função
crescente.
Corolário 2.2.3. Seja f : S 1 → S 1 é um homeomorfismo homotópico à identidade, então para
todo levantamento F de f vale que |F n (x) − F n (y)| < 1, sempre que |x − y| < 1.
Demonstração. Vejamos que
y < x + 1 ⇒ F n (y) < F n (x + 1) = F n (x) + 1 ⇒ F n (y) − F n (x) < 1
e
x < y + 1 ⇒ F n (x) < F n (y + 1) = F n (y) + 1 ⇒ F n (x) − F n (y) < 1.
Portanto, |F n (x) − F n (y)| < 1, para todo x ∈ N.
A próxima proposição irá mostrar que existe um número de rotação para qualquer levantamento de um homeomorfismo do círculo que preserva orientação e que este independe do
ponto inicial. Antes disso, consideremos o seguinte lema.
Lema 2.2.3. Se uma sequência (an )n∈N satisfaz am+n ≤ an + am+k + L para todos m, n ∈ N e
algum k e L ∈ Z, então existe o limite
lim
an
∈ R ∪ −∞.
n
Demonstração. Comecemos por observar que an+k ≤ an + a2k + L e portanto
an+m ≤ an + am+k + L ≤ an + am + a2k + 2L = an + am + L0
Então, a2 ≤ a1 + a1 + L0 e a3 ≤ a2 + a1 + L0 ≤ 3a + 1 + 2L0 . Consequentemente, por indução,
an ≤ na1 + (n − 1)L0 . Logo
an
(n − 1) 0
≤ a1 +
L ≤ a1 + L 0 .
n
n
46
Isto mostra que a sequência (an )n∈N é limitada superiormente e mostra também que
an
∈ R ∪ −∞.
n→∞ n
a = lim inf
Tomando agora b, c ∈ R que satisfaçam a < b < c, então existe n tal que an /n < b e
n > 2L0 /(c − b). Se l > n e satisfaz l(c − b) > 2 maxr≤an ar , temos
ank+r
ank + ar + L0
kan + ar + kL0
k
ar kL0
al
=
≤
≤
≤ an +
+
l
l
l
l
l
l
l
0
0
c−b L
c−b c−b
an ar L
+
+
<b+
+
<b+
+
=c
≤
n
l
n
2
n
2
2
Desse modo, o lim sup an é menor que c. Como tomamos c arbitrário satisfazendo a < c, temos
que lim inf an = lim sup an . Isto conclui a demonstração.
Proposição 2.2.4. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo homotópico à identidade e F : R → R
um levantamento de f . Então o limite
1 n
(F (x) − x)
n→∞ n
τ (F ) = lim
existe para todo x ∈ R, é independente de x e está definido a menos de um inteiro, isto é, se F
e G forem levantamentos de f então τ (F ) − τ (G) ∈ Z.
Demonstração. Provemos primeiro a independência de x. Como f é um homeomorfismo
homotópico à identidade, então F (x + 1) = F (x) + 1 e dados x, y ∈ [0, 1), usamos o Corolário
2.2.3 para obter |F (x) − F (y)| < 1. Consequentemente,
1 n
1
1
2
(F (x) − x) − (F n (y) − y) ≤ (|F n (x) − F n (y)| + |x − y|) < .
n
n
n
n
Assim,
F n (x) − x
F n (y) − y
= lim
.
n→∞
n→∞
n
n
lim
Desse modo, quando os limites existirem serão iguais.
Para provar a existência, tomemos x ∈ R e sejam xn = F n (x), an := xn − x e k := [an ] = an
(mod 1). Então
am+n = F m+n (x) − x
= F m (xn ) + F m (x + k) − F m (x + k) + x − x + k − k + xn − xn − x
= (F m (x + k) − (x + k)) + (xn − x) + (F m (xn ) − F m (x + k)) − (xn − x − k)
≤ am + an + 1.
47
Pois F m (y) − F m (z) ≤ 1 quando y − z ≤ 1 e xn − x − k = an − [an ] ≥ 0. Agora, como
F n (x) − x
an
=
n
n
n−1
1 X i+1
=
(F (x) − F i (x))
n i=0
bn =
n−1
1X
=
(F (xi ) − xi )
n i=0
≥
min F (y) − y,
0≤y≤1
a sequência (bn )n∈N é limitada inferiormente e portanto o Lema 2.2.3 mostra que existe o limite
de bn .
Finalmente, se F e G são levantamentos distintos do mesmo f : S 1 → S 1 , então τ (F ) −
τ (G) ∈ Z. De fato, pela Observação 2.2.2, Gn (x) = F n (x) + nk. Desse modo,
Gn (x) − x
n→∞
n
F n (x) + nk − x
= lim
n→∞
n
F n (x) − x
nk
= lim
+ lim
n→∞
n→∞ n
n
= τ (F ) + k.
τ (G) =
lim
Logo, τ (F ) − τ (G) = k ∈ Z
Definição 2.2.3. Seja f um homeomorfismo do círculo homotópico à identidade e seja F um
levantamento de f . O número τ (f ) = π(τ (F )) diz-se o número de rotação de f .
Observe que a Proposição 2.2.4 garante que o número τ (f ) existe e está bem definido. Além
disso, segue da mesma proposição que o τ (f ) independe de x.
Exemplo 2.2.1. Entre os tipos mais simples de homeomorfismos de S 1 que são homotópicos
à identidade podemos citar as rotações. Seja α ∈ [0, 1) e considere a rotação Rα em S 1 .
Lembremos que a órbita de um ponto x ∈ S1 pela rotação Rα é
ORα (x) = {x + nα
(mod 1) : n ≥ 0}.
Considere um levantamento R̃α (x) = x + α + k. Se α é um número racional, α = p/q com p e
q primos entre si, então qα = p ∈ Z, e neste caso a órbita ORα (x) é periódica com período q.
Quando α é irracional, já mostramos que não existem órbitas periódicas e mostramos que a
48
órbita de qualquer ponto é densa em S 1 . Em ambos os casos,
Rαn (x) − x
(mod 1)
n→∞
n
x + αn + kn − x
= lim
(mod 1)
n→∞
n
= α + k (mod 1)
τ (Rα ) =
lim
= α.
A próxima proposição mostra como o conceito de número de rotação serve de critério para a
existência de pontos periódicos para um homeomorfismo f : S 1 → S 1 homotópico à identidade.
Saberemos se f possui pontos fixos e se f possui ou não possui pontos periódicos via o número
de rotação de f .
Proposição 2.2.5 (Poincaré). Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo de S 1 homotópico à
identidade. Então τ (f ) ∈ Q se, e somente se, f tem um ponto periódico.
p
∈ Q, com p e q primos
q
entre si. Mostraremos que f tem um ponto periódico de período q. A definição de τ implica
Demonstração. Seja F um levantamento de f e suponha que τ (f ) =
que
(F m )n (x) − x
(mod 1)
n→∞
n
F mn (x) − x
(mod 1)
= m lim
n→∞
mn
= mτ (f ) (mod 1),
τ (f m ) =
lim
para todo m ∈ N. Logo
τ (f q ) = p
(mod 1) = 0,
visto que o número de rotação está definido a menos de inteiro. Assim, é suficiente mostrar
que se τ (f q ) = 0 então f q tem um ponto fixo.
Suponhamos por absurdo que f q não tem ponto fixo, consequentemente, F q (x) − x ∈
/Z
para todo x ∈ R, uma vez que F q (x) − x ∈ Z implica que
f q (π(x)) = π ◦ F q (x) = π(n + x) = π(x),
ou seja, π(x) é um ponto fixo de f q . Escolhemos o levantamento F de maneira que F q (0) ∈ [0, 1).
Assim, pelo teorema do valor intermediário 0 < F q (x) − x < 1. Como a função F q − Id é
contínua em [0, 1], os seus mínimos e máximos são atingidos e portanto existe δ > 0 tal que
0 < δ ⩽ F q (x) − x ⩽ 1 − δ < 1.
(2.8)
49
Pela periodicidade de F q − Id, esta estimativa verifica-se para todo x ∈ R. Em particular
podemos tomar x = F i (0) na equação 2.8 para obter
δ ≤ F q+i (0) − F i (0) ≤ 1 − δ.
Tomando i = 0, q, . . . , (n − 1)q para n ∈ N, temos
δ ≤ F q (0) ≤ 1 − δ
δ ≤ F 2q (0) − F q (0) ≤ 1 − δ
..
.
δ ≤ F nq (0) − F (n−1)q (0) ≤ 1 − δ.
Agora, somamos todos os termos para obter
nδ ⩽ F qn (0) ⩽ (1 − δ)n,
ou
(F q )n (0)
δ⩽
⩽ 1 − δ.
n
Fazendo n → ∞, obtemos τ (f q ) > 0, o que é um contradição. Portanto, f q tem um ponto fixo,
donde f tem um ponto periódico de período q.
Reciprocamente, se f tiver um ponto periódico π(x) de período q, então π(x) = f q (π(x)) =
π(F q (x)). Logo F q (x) − x = p ∈ Z. Assim, para n ∈ N temos
n−1
F nq (x) − x
1 X q iq
p
np
=
= .
(F (F (x)) − F iq (x)) =
nq
nq i=0
nq
q
Logo, fazendo n → ∞ temos que τ (f ) ∈ Q.
Corolário 2.2.4. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo de S 1 homotópico à identidade. Então
τ (f ) ∈ R/Q se, e somente se f não tem um ponto periódico.
Corolário 2.2.5. Se f é um homeomorfismo do círculo que é homotópico à identidade, então
ρ(f ) = 0 se, e somente se, f tem um ponto fixo.
Embora já conseguirmos dizer se um homeomorfismo homotópico à identidade f : S 1 → S 1
possui uma órbita periódica, não podemos afirmar que todas as órbitas de f são periódicas,
como acontece com as rotações quando existe uma órbita periódica. Mas, como um resultado
interessante nesse caminho, temos a proposição:
Proposição 2.2.6. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo que homotópico à identidade com
número de rotação racional. Então todas as órbitas que são periódicas tem o mesmo período.
50
Demonstração. Se τ (f ) = p/q, onde p e q são primos entre si, necessitamos de mostrar que
para qualquer ponto periódico π(x) existe um levantamento F de f para o qual F q (x) = x + p,
donde teremos f q (π(x)) = π(F q (x)) = π(x + p) = π(x). Se π(x) for periódico e F for um
levantamento, então F r (x) = x + s com r, s ∈ Z e
k+
p
F nr (x) − x
ns
s
= τ (F ) = lim
= lim
= .
n→∞
n→∞ nr
q
nr
r
Podemos tomar F tal que k = 0, de forma que s = mp e r = mq. Agora, se F q (x) − p > x,
então pela monotonia de F
F 2q (x) − 2p = F q (F q (x) − p) − p ≥ F q (x) − p > x
e, por indução, F r (x) − s = F mq (x) − mp > x, contradizendo o fato de que F r (x) = x + s.
Logo, F mq (x) − mp ≤ x.
De forma análoga, podemos mostrar que F r (x) − s < x quando F q (x) − p < x. Portanto
F q (x) = x + p, ou seja, π(x) é um ponto periódico de período q.
O próximo resultado examina a dependência do número de rotação relativamente à transformação quando esta varia na topologia uniforme.
Proposição 2.2.7. O número de rotação é contínuo na topologia uniforme, ou seja, é contínua
na topologia uniforme a aplicação f 7→ τ (f ).
Demonstração. Sejam τ (f ) = τ e p0 /q 0 , p/q ∈ Q tais que p0 /q 0 < τ < p/q. Escolhermos um
levantamento F de f que satisfaz τ (F ) = τ (f ) = τ. Veja que vale F q (x) − x < p para todo
x. De fato, caso contrário teríamos F q (x) − x ≥ p para algum x ∈ R e, consequentemente,
F 2q (x) ≥ F q (x) + p ≥ x + 2p. Por indução, podemos ver que F nq − x ≥ np para todo n ∈ N.
Mas isto contradiz nossa escolha de p/q, pois teríamos
F nq (x) − x
p
≥ .
n→∞
nq
q
τ = lim
A função F q − Id é periódica e contínua, logo atinge o seu máximo e mínimo. Assim, existe
δ > 0 tal que F q (x) < x + p − δ, para todo x ∈ R. Desse modo, todo homeomorfismo F
q
suficientemente próximo de F na topologia uniforme satisfaz F (x) − x < p para todo x ∈ R.
Consequentemente, τ (f ) < p/q, onde f é o homeomorfismo da circunferência que se levanta a
F.
Um argumento análogo envolvendo p0 /q 0 mostra que τ (f ) > p0 /q 0 para f um homeomorfismo
suficientemente próximo de f na topologia uniforme. Isto completa a demonstração.
51
2.3
A CLASSIFICAÇÃO DE POINCARÉ
Nesta seção teremos como objetivo estudar o comportamento possível das órbitas de
homeomorfismos da circunferência. Mais especificamente, dados um homeomorfismo f : S 1 →
S 1 e x ∈ S 1 , estudaremos a órbita de x quando τ (f ) ∈ Q ou τ (f ) ∈ R \ Q. Isto permite uma
descrição dos homeomorfismos da circunferência a menos de uma semi-conjugação monótona.
Definição 2.3.1. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo. Dizemos que f preserva a orientação
quando dados x, y ∈ S 1 com x < y tivermos f (x) < f (y), com a ordem natural do círculo no
sentido anti-horário.
Dado qualquer homeomorfismo f do círculo, devemos ter que deg(f ) = ±1. Assim, se o
homeomorfismo f é crescente, isto é, preserva orientação, seu grau deve ser 1. No que segue
neste capítulo, por comodidade, consideraremos homeomorfismos f : S 1 → S 1 que preservam
orientação.
A próxima proposição diz que as órbitas periódicas de um homeomorfismo f da circunferência
que preserva orientação se comportam como as da rotação da circunferência com o mesmo
número de rotação, isto é, se o número de rotação de f for τ e, considerando a rotação Rτ ,
tivermos x0 = y0 , xn = f n (x0 ), yn = Rτn (y0 ) e os índices i, j e k são tais que
yi < yj < yk ,
então também temos
xi < xj < xk .
Proposição 2.3.1. Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo que preserva orientação, com
número de rotação racional τ (f ) = p/q, onde p e q primos entre si. Então, para qualquer ponto
periódico x ∈ S 1 , a ondem de {x, f (x), f 2 (x), . . . , f q−1 (x)} é a mesma ondem do conjunto
{0, p/q, 2p/q, . . . (q − 1)p/q}, o qual é a órbita de 0 pela rotação Rτ .
Demonstração. Considere x ∈ S 1 um ponto periódico para f e i ∈ {0, 1, . . . q − 1} o primeiro
número de modo que f i (x) seja o primeiro ponto a direita de x na órbita de x. Agora, se
existisse f l (x) ∈ (f i (x), f 2i (x)), então l > i e f l−i (x) ∈ (x, f i (x)) contradizendo a escolha de i.
Então f 2i (x) deve ser o primeiro ponto a direita de f i (x). Desse modo, os pontos da órbita de
x estão ordenados da seguinte forma: x, f i (x), f 2i (x), . . . , f (q−1)i (x).
Temos que f i (x) transforma cada intervalo da forma [f ki (x), f (k+1)i (x)] no seu sucessor e
existem exatamente q destes subintervalos, então podemos tomar um levantamento F̃ de f i
52
satisfazendo F̃ q (x̃) = x̃ + 1, com x̃ ∈ π −1 (x). Como f q (x) = x, existe um levantamento F (x)
de f (x) com F q (x̃) = x̃ + p. Como F i é um levantamento de f i , existe algum k ∈ Z tal que
F i (x) = F̃ (x) + k. Assim,
x̃ + ip = F qi (x̃) = (F̃ + k)q (x̃) = F̃ q (x̃) + qk = x̃ + 1 + qk.
Portanto, ip = 1 + qk. Logo, i é o único número entre 0 e q tal que ip ≡ 1(mod q). Como os
pontos do conjunto
p 2p
(q − 1)p
0, , , . . . ,
q q
q
estão ordenados como os pontos do conjunto
ip 2ip
(q − 1)ip
0, ,
,...,
,
q q
q
então o teorema está demonstrado.
Consideraremos agora o caso em que o número de rotação de um homeomorfismo em S 1
é irracional. O primeiro passo no sentido de obtermos uma classificação neste caso consiste
em mostrar que as órbitas de uma transformação da circunferência f com número de rotação
τ (f ) ∈ R \ Q estão ordenadas como as da rotação Rτ (f ) por τ (f ). A proposição que segue
apresenta alguma semelhança ao resultado anterior no caso das rotações racionais em que as
órbitas periódicas estão ordenadas como as órbitas da rotação correspondente.
Proposição 2.3.2. Seja F : R → R um levantamento de um homeomorfismo que preserva
orientação f : S 1 → S 1 com número de rotação τ = τ (F ) ∈ R\Q então para n1 , n2 , m1 , m2 ∈ Z
ex∈R
n1 τ + m1 < n2 τ + m2 se e só se
F n1 (x) + m1 < F n2 (x) + m2 .
Demonstração. Comecemos por observar que dados n1 , n2 , m1 , m2 ∈ Z, a expressão p(x) =
F n1 (x) + m1 − F n2 (z) − m2 nunca muda de sinal. De fato, por continuidade de p, uma mudança
de sinal implica a existência de z ∈ R tal que F n1 (z) + m1 − F n2 (z) − m2 = 0 e, portanto,
π(F n1 (z)) = π(F n2 (z)) ⇔ f n1 (π(z)) = f n2 (π(z)).
(2.9)
Agora, se n2 > n1 então f n2 −n1 (f n1 (π(z))) = f n1 (π(z)). Logo f n1 (π(z)) seria um ponto
periódico para f , mas isto contradiz o fato de f não ter pontos periódicos. De forma análoga
obtemos uma contradição quando n1 > n2 . Em particular o sinal de p(x) é independente de x.
Suponhamos agora que F n1 (0) + m1 < F n2 (0) + m2 . Com y := F n2 (0) tal é equivalente
a F n1 −n2 (y) − y < m2 − m1 . Tal como antes, esta desigualdade verifica-se para todo y, em
53
particular para y = 0 temos que F n1 −n2 (0) < m2 − m1 . Por outro lado, para y = F n1 −n2 (0),
temos
F 2(n1 −n2 ) (0) < (m2 − m1 ) + F n1 −n2 (0)
< 2(m2 − m1 ).
Pelo princípio de indução, concluímos que para todo n ∈ N, vale
F n(n1 −n2 ) (0) < n(m2 − m1 ).
Se n1 − n2 > 0, então
F n(n1 −n2 ) (0)
n(m2 − m1 )
m2 − m1
< lim
=
,
n→∞ n(n1 − n2 )
n→∞ n(n1 − n2 )
n1 − n2
τ = lim
com a desigualdade estrita, visto que τ ∈ R \ Q. Portanto
n1 τ + m1 < n2 τ + m2 .
Verifica-se facilmente que o mesmo resultado ocorre para o caso em em n2 − n1 > 0.
Provemos agora a implicação no sentido contrário. De modo idêntico, F n1 (0) + m1 >
F n2 (0) + m2 implica que n1 τ + m1 > n2 τ + m2 e a desigualdade nunca ocorre em qualquer
dos lados, visto que τ ∈ R \ Q e f (x) não tem órbitas periódicas. Fica assim provada a
proposição.
Neste ponto, temos a seguinte pergunta: quando é que uma transformação da circunferência
é conjugada a uma rotação? No caso de um número de rotação racional, tal é raramente o
caso: como todas as órbitas de uma rotação racional são periódicas com o mesmo período,
qualquer mudança de coordenadas irá produzir novamente uma transformação apenas com
órbitas periódicas, uma transformação f , de fato, tal que f q = Id. Logo, o fato de que f possui
número de rotação racional não implica que todas as órbitas sejam periódicas, embora as que
sejam periódicas tenham o mesmo período.
Essa restrição não está presente no caso de um número de rotação irracional e existe uma
íntima relação com as rotações irracionais, como veremos no Teorema 2.3.1.
Se f e g são topologicamente conjugadas e a órbita de algum x por f não visita um
certo aberto, então a órbita do ponto correspondente por g também não irá visitar o aberto
correspondente. Em outras palavras, cada órbita densa de um sistema corresponde a uma
órbita densa do outro sistema.
54
Como sabemos, rotações irracionais possuem todas as órbitas densas. Desse modo, podemos
concluir que sistemas topologicamente conjugados a rotações irracionais precisam ter todas
as suas órbitas densas. Um exemplo, devido a Denjoy, mostra a existência de difeomorfismos
f : S 1 → S 1 com número de rotação irracional arbitrário e sem órbitas densas, o que mostra
que nem todo homeomorfismo com número de rotação irracional tem que ser conjugado a uma
rotação irracional.
Teorema 2.3.1 (Classificação de Poincaré). Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo que preserva
orientação com número de rotação irracional.
(1) Se f é teologicamente transitivo, então f é topologicamente conjugada à rotação Rτ (f ) .
(2) Se f não é topologicamente transitivo, então f tem a rotação Rτ (f ) como um fator
topológico, via uma aplicação h : S 1 → S 1 , não-invertível, contínua e monótona.
Demonstração. Escolhermos um levantamento F : R → R de f e sejam τ = τ (f ), x ∈ R fixo e
B := {F n (x) + m}n,m∈Z o levantamento total da órbita de π(x) ∈ S 1 . Definamos
H:B → R
F n (x) + m 7→ nτ + m.
A Proposição 2.3.2 implica que esta transformação é monótona. Notemos que H(B) é denso em
R, uma vez que τ é irracional e assim, pela Proposição 2.1.3, a função n 7→ nτ +m(mod 1) n ∈ N
é densa em [0, 1] .
Escreva R̃τ : R → R, x 7→ x + τ , onde R̃τ é um levantamento de Rτ , então H ◦ F = R̃τ ◦ H
em B, visto que
H ◦ F (F n (x) + m) = H(F n+1 (x) + m) = (n + 1)τ + m
e
R̃τ ◦ H(F n (x) + m) = R̃τ (nτ + m) = (n + 1)τ + m.
Afirmação. H tem uma extensão contínua para o fecho B de B. De fato, se y ∈ B então
existe uma sequência {xn }n∈N ⊂ B tal que y = lim xn . Queremos, portanto, definir H(y) :=
n→∞
lim H(xn ). Para mostrar que lim H(xn ) existe e não depende da escolha de uma sequência
n→∞
n→∞
aproximando y, observemos primeiro que os limites
lim inf H(xn ), lim sup H(xn )
n→∞
n→∞
55
existem e são independentes da sequência, pois H é monótona. Por outro lado, se estes limites
forem diferentes, então R \ H(B) contém um intervalo o que contradiz a densidade de H(B).
Portanto, se y ∈ B e xn → y, com {xn }n∈N ⊂ B, então
H(y) := lim H(xn )
n→∞
define uma extensão contínua de H em B. Isto termina a prova da afirmação.
Finalmente, podemos facilmente estender H para R. Primeiro, note que H : B → R é
monótona e sobrejetora. De fato, seja y ∈ R. Como H(B) é denso em R, existe uma sequência
{H(xn )} com {xn } ⊂ B limitada (pela monotonicidade de H), tal que lim H(xn ) = y. Logo
existe {xnk } convergente, e como o B é fechado, lim xnk = x ∈ B. Assim H(x) = lim H(xnk ) =
y. Consequentemente, H(B) = R.
Assim, a única opção para definir H nos intervalos complementares a B é fazer H constante
nesses intervalos, escolhendo a constante igual aos valores nos extremos do intervalo. Temos
então uma função H : R → R não decrescente tal que H ◦ F = Rτ ◦ H e, para z ∈ B, vale
H(z + 1) = H(F n (x) + m + 1) = nτ + m + 1 = H(z) + 1.
Veja que esta propriedade continua válida para z ∈ R. Por isso, garantimos a existência de
uma semi-conjugação h : S 1 → S 1 de modo que
h ◦ f = Rτ ◦ h.
Para concluir o teorema, observamos que no caso transitivo nós começamos com uma órbita
densa, logo B = R e h : S 1 → S 1 é um homeomorfismo.
2.4
TEOREMA DE DENJOY
O teorema de Denjoy dá uma condição suficiente para que um homeomorfismo do círculo
seja conjugado a uma rotação.
Definição 2.4.1. Diz-se que f : [a, b] → R tem uma variação limitada se sua variação total
for finita, isto é, se
V ar(f ) = sup
n
X
|f (xk ) − f (xk−1 )| < ∞
k=1
onde o supremo é tomado sobre todas as partições a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
(2.10)
56
Exemplo 2.4.1. Toda função lipschitziana é de variação limitada. Qualquer função f :
[a, b] → R (f ∈ C 1 ) tem variação limitada. De fato, como f 0 : [a, b] → R é contínua, existe
k > 0 tal que |f 0 (x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b], assim, |f (xk ) − f (xk−1 )| ≤ k|xk − xk−1 |.
Observação 2.4.1. Se uma função contínua f : [0, 1] → R tem variação limitada e inf |f | > 0,
então a função log |f | : [0, 1] → R também tem variação limitada. De fato,
V ar(log |f |) = sup
n
X
|log |f (xi )| − log |f (xi−1 )||
i=1
n
X
|f (xi )|
|f (xi−1 )|
i=1
n
X
|f (xi )| − |f (xi−1 )|
= sup
log 1 +
|f (xi−1 )|
i=1
= sup
≤ sup
log
n
X
|f (xi )| − |f (xi−1 )|
i=1
|f (xi−1 )|
n
X
1
≤
sup
||f (x1 )| − |f (xi−1 )||
inf |f |
i=1
n
X
1
≤
sup
|f (x1 ) − f (xi−1 )|
inf |f |
i=1
≤
1
V ar(f ).
inf |f |
Teorema 2.4.1 ( Denjoy). Se f : S 1 → S 1 , de classe C 1 , é um homeomorfismo que preserva
orientação com número de rotação τ = τ (f ) irracional e derivada de variação limitada, então
f é transitivo e portanto topologicamente conjugada à rotação Rτ
A ideia da prova desse resultado consiste em admitir que f não seja transitivo e assim
encontrar uma família In de uma infinidade de intervalos disjuntos em S 1 , de modo que, pelo
fato de V ar(f 0 ) < ∞, existam subcoleções de tais intervalos para os quais vale a seguinte
estimativa:
l(Ink ) ≥ K,
onde K é uma constante maior que zero e l(In ) é o comprimento de um intervalo qualquer
desta família. É óbvio que
X
l(In ) ≤ 1.
n
Então teremos uma contradição e f deverá ser transitivo.
Lema 2.4.1. Se f : S 1 → S 1 for um homeomorfismo com número de rotação irracional, então
para x0 ∈ S 1 existem infinitos n ∈ N tais que os intervalos f k ((x0 , f −1 (x0 ))) são disjuntos para
0 ≤ k < n.
57
Demonstração. Escrevamos xk = f k (x0 ), I = (x0 , x−n ). A afirmação envolve apenas a ordenação da órbita de x0 . Visto que f ou é conjugada ou semi-conjugada a uma rotação irracional,
podemos assumir que f é uma rotação irracional. Neste caso é claro que a afirmação se verifica
para todos os n ∈ N tais que para a < k < n nenhum xk pertence a I. Mas como a órbita de
x0 é densa e portanto tem uma subsequência que converge para x0 , existem infinitos n nas
condições desejadas.
Lema 2.4.2. Seja X = S 1 e Y ⊂ X. Suponhamos que f : X → X e tal que f |Y é de classe C 1
com f 0 de variação limitada e inf |f 0 | > 0 em Y . Seja V < ∞ a variação de ϕ : x 7→ log |f 0 (x)|.
Se I ⊂ Y for um intervalo tal que I, f (I), . . . , f n (I) são intervalos disjuntos dois a dois em Y
e x, y ∈ I então
exp(−V ) ≤
|(f n )0 (x)|
≤ exp(V ).
|(f n )0 (y)|
Demonstração.
0
V = V ar(log |f |) ≥
≥
n−1
X
|ϕ(f k (x)) − ϕ(f k (y))|
k=0
n−1
X
ϕ(f k (x)) −
log
n−1
Y
|f 0 (f k (x))| ·
k=0
n 0
=
log
ϕ(f k (y))
k=0
k=0
=
n−1
X
n−1
Y
!
|f 0−1 (f k (y))|
k=0
|(f ) (x)|
.
|(f n )0 (x)|
A afirmação obtém-se aplicando exponenciais.
Lema 2.4.3. Se f não é conjugada a uma rotação, I é um intervalo no complementar de
E = ω(x) e n é como no Lema 2.4.1 então, para todo x ∈ I
exp(−V ) ≤ (f n )0 (x).(f −n )0 (x) ≤ exp(V ).
Demonstração. O conjunto E = ωf (x) não é denso em S 1 . Logo o complementar de E em S 1
é a união disjunta de intervalos abertos. Se I = (a, b) é um desses intervalos, então o conjunto
{f n (I)} está em E c e vale que f n (I) ∩ f m (I) = ∅ para todo n, m ∈ Z, com n 6= m. De fato,
se tivéssemos f n (I) ∩ f m (I) 6= ∅ para n, m ∈ Z, então o intervalo B = f n (I) ∩ f m (I) satisfaz
f n−m (B) = B. Logo a continuidade de f implica que a função f n−m : B → B teria um ponto
fixo, contradizendo a hipótese de τ ser irracional. Então, dado n como no Lema 2.4.1, podemos
aplicar o Lema 2.4.2, com y = f −n (x), observando que, pela regra da cadeia,
(f −n ◦ f n )0 (y) = 1 ⇒ (f −n )0 (x) · (f n )0 (y) = 1.
58
Demonstração. (Do Teorema 2.4.1). Suponhamos que f não seja conjugado a uma rotação.
Tomemos um intervalo I ⊂ E c , E = ωf (x0 ) com x0 ∈ S 1 . Então, dado x ∈ I, a definição de
comprimento e o Lema 2.4.3 implicam que
n
l(f (I)) + l(f
−n
Z
Z
|(f ) (x)|dx +
(I)) =
ZI
=
≥
n 0
|(f −n )0 (x)| dx
I
(|(f n )0 (x)| + |(f −n )0 (x)|) dx
ZI p
|(f n )0 (x)||(f −n )0 (x)| dx
ZI p
≥
exp(−V ) dx
I
=
para infinitos n ∈ N. Mas isto contradiz
l(I) · e−V /2
P
Teorema 2.3.1, f é conjugada à rotação Rτ .
l(f n (I)) ≤ 1. Portanto, f é transitivo e, pelo
59
3 HOMEOMORFISMOS NO TORO T
2
Este capítulo é dedicado à prova do Teorema Principal desta dissertação, o qual foi obtido
por John Franks em [5] e estabelece o seguinte.
Teorema Principal. Sejam f : T2 → T2 um homeomorfismo homotópico à identidade
e F : R2 → R2 um levantamento de f . Suponha que v1 , v2 , v3 e v4 são pontos extremais do
conjunto convexo ρ(F ) (com pelo menos três deles distintos), e que 0 está no interior da do
envoltório convexo desses vetores. Então F possui um ponto fixo.
Na Seção 3.2.1, provaremos uma versão mais simples deste Teorema, onde o conjunto
de rotação ρ(F ) é substituído por um conjunto compacto, invariante por f e δ-transitivo,
Λ ⊂ R(f ). Os conceitos de levantamento e conjunto de rotação serão apresentados na Seção
3.1. Finalmente, na seção 3.2.2, apresentaremos a prova do resultado acima.
3.1
CONJUNTO DE ROTAÇÃO
Nesta seção estudaremos um conceito que generaliza o número de rotação de um homeomorfismo homotópico à identidade do S 1 para homeomorfismo homotópico à identidade do
toro T2 . O conjunto obtido é um subconjunto do plano com a propriedade de ser convexo,
conexo e fechado, chamado de conjunto de rotação.
No capítulo 2 vimos que o número de rotação para homeomorfismos homotópicos à identidade do S 1 serve de critério para decidir se um homeomorfismo possui ou não um ponto
periódico. Vimos também que se este número é 0, então o homeomorfismo possui ponto fixo.
Demonstraremos na seção 3.4 um teorema similar devido a John Franks para homeomorfismos
homotópicos à identidade no T2 , no caso em que o vetor 0 pertence ao interior do conjunto de
rotação a ser definido.
A princípio, iremos apresentar algumas propriedades para homeomorfismos f : Tn → Tn
homotópicos à identidade, mas iremos priorizar o nosso trabalho para o caso em que n = 2. O
motivo se deve ao fato de que a teoria de pontos fixos é muito desenvolvida para homeomorfismos
60
do plano (que serão os levantamentos dos homeomorfismos do toro que iremos estudar). Além
disso,existem propriedades para o conjunto de rotação, como por exemplo convexidade, que
podem não ser válidas quando n > 2.
Lembremos que um levantamento de um homeomorfismo f : Tn → Tn ao recobrimento
universal Rn é um homeomorfismo F : Rn → Rn tal que f ◦ π = π ◦ F com, π : R2 → T2 a
projeção canônica. Se F1 é um levantamento de f , então F2 = F1 − z com z ∈ Zn é um outro
levantamento de f . De fato, basta ver que
π(F2 (x)) = π(F1 (x) + z) = π(F1 (x)) = f (π(x)).
Além disso, como F1 e F2 são funções contínuas, então F1 − F2 : Rn → Zn é uma função
contínua e, portanto, é uma função constante. Desse modo, todos os levantamentos de f são
da forma F + z com z ∈ Zn e F um levantamento de f .
Se f : Tn → Tn é um homeomorfismo homotópico à identidade, provaremos na proposição
3.1.1 que todo levantamento F : Rn → Rn comuta com uma translação. Antes, lembremos que
pelo Exemplo 1.2.1, quaisquer duas funções contínuas no Rn são homotópicas. Em particular,
qualquer levantamento de f é homotópico a função Id.
Proposição 3.1.1. Sejam f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e
F : Rn → Rn um levantamento ao recobrimento universal. Então, para todo k ∈ Zn ,
F (x + k) = F (x) + k.
Demonstração. Observemos primeiro que sendo F um levantamento de f , então para todo
x ∈ Rn , podemos escrever F (x + v) = F (x) + k(x, v), ∀ v ∈ Zn e k : Rn × Zn → Zn , pois pela
definição de levantamento, temos que,
π(F (x)) = f (π(x)) = f (π(x + v)) = π(F (x + v)).
Então k é uma função contínua que assume valores em Zn . Além disso, fixado v e variando x,
k é uma função constante: k(x, v) = k(y, v) para quaisquer x, y ∈ Rn e v ∈ Zn .
Como f é homotópico à identidade, existem ft : Tn → Tn que variam continuamente com
t ∈ [0, 1], tal que f0 = Id, f1 = f e para cada t consideramos um levantamento Ft . Então,
podemos escrever
Ft (x + v) = Ft (x) + k(t, x, v).
Tal como antes, k é uma função contínua com respeito a t e assume valores em Zn , desso modo,
temos que k só depende de v. Então, escreveremos apenas k(v). Logo, para todo t ∈ [0, 1],
Ft (x + v) = Ft (x) + k(v).
61
Finalmente, considere a função identidade Id = F0 em Rn , que é um levantamento da
função identidade do toro. Desse modo,
x + v = Id(x + v) = F0 (x + v) = F0 (x) + k(v) = Id(x) + k(v) = x + k(v),
ou seja, v = k(v) para qualquer t uma vez que é constante com respeito a t. Se tomarmos
outro levantamento G de f , teremos que G(x) = F (x) + c para algum c ∈ Zn e para todo
x ∈ Rn . Além disso,
G(x + v) = F (x + v) + c = F (x) + v + c = G(x) + v.
Logo, F (x + k) = F (x) + k para todo k ∈ Zn e para todo levantamento de f .
Corolário 3.1.1. Sejam f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F :
Rn → Rn um levantamento ao recobrimento universal. Então, para todo k ∈ Zn ,
F n (x + k) = F n (x) + k.
Demonstração. Iremos provar por indução. Para n = 1 o resultado segue pela Proposição
3.1.1. Assumindo como hipótese de indução que o resultado vale para n > 1, ou seja, que
F n (x+k) = F n (x)+k, veja que F n+1 (x+k) = F n ◦F (x+k) = F n (F (x)+k) = F n (F (x))+k =
F n+1 (x) + k. Logo, por indução, F n (x + k) = F n (x) + k para todo n ∈ N.
Com o intuito de tentarmos generalizar a noção de número de rotação definido no capítulo
2, surgiram as definições de conjunto de rotação, conjunto de rotação baseado em pontos e
conjunto de rotação médio para homeomorfismo no toro Tn que sejam homotópicos à identidade.
A ideia principal para estudar e definir os conjuntos de rotação é considerar um levantamento
F : Rn → Rn ao recobrimento universal e usar este levantamento para analisar o deslocamento
de um ponto x ∈ Tn no recobrimento.
A primeira generalização do número de rotação é a definição 3.1.1. No entanto, vamos usar
principalmente a definição 3.1.2.
Definição 3.1.1. Seja f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F : Rn →
Rn um levantamento. Dado x ∈ Rn , seja ρ(F, x) o conjuntos de todos os pontos de acumulação
de
F n (x) − x
+
|n∈Z
.
n
O conjunto de rotação baseado em pontos de F , denotado por ρp (F ), é definido como
ρp (F ) =
[
x∈Rn
ρ(F, x).
62
Observação 3.1.1. Quando n = 1 o conjunto ρp (F ) coincide com o número de rotação. Como
vimos na Proposição 2.2.4, o número de rotação para homeomorfismos do círculo que sejam
homotópicos à identidade não dependo do x ∈ S 1 . Contudo, para n ≥ 2, ρ(F, x) pode depender
de x, ver exemplo 3.1.3.
Definição 3.1.2. Seja f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F : Rn →
Rn um levantamento. O conjunto de rotação de F , ρ(F ), é o conjunto de todos os pontos de
acumulação do subconjunto de Rn :
n
F (xi ) − xi
n
+
,
| xi ∈ R , n ∈ Z
n
ou seja, v ∈ ρ(F ) se existe uma sequência xi ∈ Rn e ni ∈ Z+ com lim ni = ∞ tal que
F ni (xi ) − xi
= v.
i→∞
ni
lim
Sejam f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F : Rn → Rn um
levantamento de f . Para definirmos o conjunto de rotação médio de F iremos utilizar a função
auxiliar φ : Tn → Rn definida por φ(x) = F (y) − y, onde y ∈ π −1 (x). Veja que φ está bem
definida, isto é, não depende de y ∈ π −1 (x) pois F comuta com as translações por vetores de Zn e,
portanto, F (y+z) = F (y)+z com z ∈ Zn . Logo F (y+z)−(y+z) = F (y)+z−(y+z) = F (y)−y
com z ∈ Zn , ou seja, como os vetores de π −1 (x) diferem por um vetor de Zn , a função φ não
depende de y ∈ π −1 (x).
Denotamos por M (f ) o espaço da medidas de probabilidades f -invariantes em Tn e
denotemos por ME (f ) o subespaço das medidas ergódicas por f . Se µ ∈ ME (f ) então, como µ
é f -invariante e ergódica para f , o teorema ergódico de Birkhoff, assegura que
n−1
1X
φ(f k (x)) →
lim
n→∞ n
k=0
Z
φdµ, µ − qtp.
(3.11)
Por outro lado, para π(y) = x,
n−1
n−1
1X
1 X k+1
F n (y) − y
k
φ(f (x)) =
(F (y) − F k (y)) =
.
n k=0
n k=0
n
Portanto, por (3.11) e (3.12), para µ-quase todo x ∈ Tn , se y ∈ π −1 (x) concluímos que
Z
F n (y) − y
lim
→ φdµ,
n→∞
n
R
ou seja, φdµ ∈ ρp (F ) para todo µ ∈ ME (f ).
(3.12)
63
Definição 3.1.3. Seja f : Tn → Tn um homeomorfismo homotópico à identidade e F : Rn →
Rn um levantamento. O conjunto de rotação médio de F é o conjunto
Z
ρm (F ) =
φdµ : µ ∈ ME (f ) .
Observação 3.1.2. Segue diretamente das definições 3.1.1, 3.1.2 e 3.1.3 que para homeomorfismo homotópicos à identidade no toro Tn valem as inclusões
ρm (F ) ⊂ ρp (F ) ⊂ ρ(F ).
Em [16], M. Misiurewich e K. Ziemian mostram um resultado interessante relacionando as
definições 3.1.1, 3.1.2 e 3.1.3 quando n = 2. Este resultado será enunciado na Proposição 3.1.2.
Antes, vejamos a definição de envoltório convexo e vértice de um conjunto.
Definição 3.1.4. Dado um conjunto C qualquer, o menor conjunto convexo que contém
C é denominado envoltório convexo. Em outras palavras, o envoltório convexo de C é a
intersecção de todos os conjuntos convexos que contém C. Denotaremos o envoltório convexo
de C por Conv(C). Todo ponto p ∈ C tal que não existem p1 , p2 ∈ C, p1 6= p2 , que satisfaçam
p = αp1 + (1 − α)p2 , α ∈ (0, 1) é denominado ponto extremo ou vértice.
Uma propriedade interessante sobre o conjunto de rotação ρ(F ), com F um levantamento
de um homeomorfismo homotópico à identidade f : T2 → T2 , é a convexidade de tal conjunto,
ou seja, para todo x e y em ρ(F ) e 0 ≤ t ≤ 1, temos tx + (1 − t)y ∈ ρ(F ). Para a demonstração
deste resultado consultar [16].
A prova da seguinte proposição pode ser achada em [16].
Proposição 3.1.2. Seja F : R2 → R2 um levantamento de um homeomorfismo homotópico à
identidade em T2 , então
Conv(ρp (F )) = ρ(F ) = Conv(ρm (F )).
Observação 3.1.3. J. Llibre e R. Mackay mostraram em [14] um exemplo para o toro T3 em
que Conv(ρp (F )) 6= ρ(F ). Este é mais um dos motivos pelo qual estudaremos apenas o toro
T2 . Em [16], para qualquer levantamento F de um homeomorfismo homotópico à identidade,
vale que
Conv(ρ(F )) = Conv(ρm (F )).
Logo, com a Observação 3.1.2, tem-se
Conv(ρp (F )) = Conv(ρ(F )).
64
No que segue, apresentaremos apenas resultados para homeomorfismos homotópicos à
identidade no toro T2 , embora alguns desses resultados, como por exemplo o Lema 3.1.2 e a
Proposição 3.1.3, possam ser generalizados para homeomorfismos homotópicos à identidade no
toro Tn .
Lema 3.1.1. Seja F um levantamento de um homeomorfismo homotópico à identidade f :
T2 → T2 , então os pontos extremais de ρ(F ) pertencem a ρ(F, x), com x ∈ π −1 (Ω(f )).
Demonstração. O Teorema 1.1.7 afirma que para cada µ ∈ M (f ) temos que µ(Ω(f )) = 1, isto
é, µ-quase todo ponto de T2 é não-errante, então
Z
[
φdµ ∈
ρ(F, x), x ∈ π −1 (Ω(f )).
Usando isto e a proposição 3.1.2,
ρ(F ) = Conv
n[
o
ρ(F, x), x ∈ π (Ω(f )) .
−1
Por outro lado, como ρ(F, x) ⊂ ρ(F ) para todo x ∈ T2 , segue o resultado desejado.
A próxima proposição mostra que o ρ(F ) é fechado e nos fornece uma caracterização para
este conjunto.
Proposição 3.1.3. Temos que ρ(F ) =
\ [
Kk (F ), onde Kk (F ) =
n≥1 k≥n
F k (x) − x
2
|x∈R .
k
Em particular, ρ(F ) é fechado.
Demonstração. Devemos mostrar duas inclusões:
1. ρ(F ) ⊂
T
n≥1
S
k≥n Kk (F ).
Seja v ∈ ρ(F ). Precisamos mostrar que v ∈
S
k≥i Kk (F ) para todo i ≥ 1. Fixemos i ≥ 1.
Como v ∈ ρ(F ), dado > 0, existe ni > i e xi ∈ R2 tal que
kv − wi k < , onde wi =
F ni (xi ) − xi
.
ni
Mas por definição de Kk (F ), wi ∈ Kni (F ) e portanto wi ∈
S
k≥i Kk (F ).
2.
T
i≥1
S
S
k≥i Kk (F ).
Logo v ∈
k≥i Kk (F ) ⊂ ρ(F ).
Seja v ∈
T
i≥1
S
k≥i Kk (F ). Então para todo i ≥ 1, v ∈
vi ∈
S
k≥i Kk (F ) e portanto existe
1
Kk (F ) tal que kv − vi k < .
i
k≥i
[
65
Como vi ∈
S
F
2
k≥i Kk (F ), existe xi ∈ R e ni ≥ i tais que vi =
ni (x )−(x )
i
i
ni
. Porém vi → v
quando i → ∞. Logo v ∈ ρ(F ).
Como ρ(F ) é a intersecção de conjuntos fechados, então ρ(F ) é fechado.
Observação 3.1.4. O fato de (F k − Id) ser uma função Z2 -periódica implica que ρ(F ) pode
ser obtido a partir das médias feitas com pontos x ∈ I 2 , onde I = [0, 1]. Isto segue do seguinte
lema:
F k (x) − x
2
, x ∈ I , onde I = [0, 1]. Em particular, os
Lema 3.1.2. Temos que Kk (F ) =
k
conjuntos Kk (F ) e ρ(F ) são compactos.
Demonstração. Como f (x) é homotópico à identidade, podemos fazer uso do Corolário 3.1.1 e
ver que
F k (x + l) − (x + l) = F k (x) + l − x − l = F k (x) − x, ∀ l ∈ Z2 .
Então, dados x e k escolhemos l ∈ Z2 de forma que y := x + l ∈ I 2 e consequentemente
F k (y) − y
F k (x) − x
=
.
k
k
Segue então que o conjunto Kk (F ) e compacto para todo k. Portanto, como a intersecção de
compactos é compacto, ρ(F ) é compacto.
A Proposição 3.1.4 esclarece a relação existente entre os conjunto de rotação de levantamentos
de f e mostra a relação que existe entre ρ(F n ) e ρ(F ).
Proposição 3.1.4. Dados um levantamento F de um homeomorfismo f : T2 → T2 homotópico
à identidade, n ∈ N e p ∈ Z2 . Temos
(a) ρ(F + p) = ρ(F ) + p.
(b) ρ(F m ) = mρ(F ).
Demonstração. Prova de (a). Consideremos {zk } ⊂ R2 e {mk } ⊂ N com mk → ∞ quando
k → ∞. Então
F mk (zk ) − zk
F mk (zk ) − zk
⇔ v + p = lim
+p
k→∞
k→∞
mk
mk
F mk (zk ) + mk p − zk
⇔ v + p = lim
k→∞
mk
mk
(F + p) (zk ) − zk
⇔ v + p = lim
.
k→∞
mk
v = lim
66
Consequentemente,
v ∈ ρ(F ) ⇔ v + p ∈ ρ(F + p).
Prova de (b). Mostremos as duas inclusões ρ(F m ) ⊂ mρ(F ) e mρ(F ) ⊂ ρ(F m ).
1. ρ(F m ) ⊂ mρ(F ). Seja v ∈ ρ(F m ). Queremos ver que v/m ∈ ρ(F ). Como v ∈ ρ(F m ),
existem nk e zk com tais que
(F m )nk (zk ) − zk
F mnk (zk ) − zk
= lim
,
k→∞
k→∞
nk
nk
v = lim
isto implica que
v
(F m )nk (zk ) − zk
= lim
.
m k→∞
mnk
Consequentemente, v/m ∈ ρ(F ).
2. mρ(F ) ⊂ ρ(F m ). Se v ∈ ρ(F ), então existem zk e nk tais que
F nk (zk ) − zk
→ v.
k→∞
nk
lim
Para cada nk , existem lk e rk com 0 ≤ rk < m, de modo que podemos escrever nk =
mlk + rk , e concluir que lk → ∞ quando nk → ∞. Provaremos que
F nk (zk ) − zk F mlk (zk ) − zk
→ 0, k → ∞.
−
nk
mlk
De fato, como
F nk (zk ) − zk F mlk (zk ) − zk
≤
−
nk
mlk
F nk (zk ) − zk F mlk (zk ) − zk
F nk (zk ) − zk F nk (zk ) − zk
−
+
−
=
nk
mlk
mlk
mlk
1
1
F rk (F mlk (zk )) − F mlk (zk )
kF nk (zk ) − zk k
−
+
=
(nk ) (mlk )
mlk
F nk (zk ) − zk
rk
rk F rk (F mlk (zk )) − F mlk zk )
+
,
nk
(mlk )
(mlk )
rk
rk
e | (ml
| → 0, basta observamos pelo Lema 3.1.2 que
k)
F rk (F mlk (zk )) − F mlk (zk )
rk
está limitado. Desse modo, teremos que
(F m )lk (zk ) − zk
→ mv.
lk
Logo mρ(F ) ⊂ ρ(F m ).
67
Apesar de simples, as propriedades na Proposição 3.1.4 são úteis e serão usadas no restante
da dissertação, por exemplo, na demonstração do Teorema 3.4.2.
Teorema 3.1.1. Se F : R2 → R2 é um levantamento de f : T2 → T2 , então o conjunto de
rotação ρ(F ) é conexo.
Demonstração. Suponhamos que ρ(F ) não é conexo. Como ρ(F ) é compacto, existem A e B
compactos com A ∩ B = ∅ e ρ(F ) = A ∪ B. Logo existem vizinhanças abertas U, V de A, B
respectivamente tais que U e V são compactos, disjuntos e ρ(F ) ⊂ U ∪ V . Em particular
δ = d(U , V ) > 0.
Tomemos v e w elementos de A e B respectivamente. Segue da definição de ρ(F ) que
existem sequências de inteiros ni , kj e sequências de pontos xi , yj tais que
F ni (xi ) − xi
i→∞
ni
v = lim
F kj (yi ) − yi
.
j→∞
ki
w = lim
e
Seja z ∈ R2 . Como K1 (F ) é compacto, existe M tal que kF (t) − tk ≤ M , para todo t ∈ R2 .
Então, fazendo t = F n (z) temos o seguinte
F n+1 (z) − z F n (z) − z
−
n+1
n
≤
≤
≤
≤
≤
≤
F (t) − z F (t) − z
F (t) − z t − z
−
+
−
n+1
n
n
n
1
1
F (t) − t
−
+
(F (t) − z)
n+1 n
n
1
1
1
+ kF (t) − tk
kF (t) − zk
−
n+1 n
n
1
1
M
kF (t) − zk
−
+
n n+1
n
1
M
kF (t) − zk +
n(n + 1)
n
1
F (t) − z
+M .
n
n+1
Como kF n+1 (z) − zk ≤ kF n (z) − F n−1 (z)k + · · · + kF (z) − (z)k ≤ (n + 1)M , então voltando
novamente para t = F n (z), temos que, para quaisquer n ≥ 1 e z ∈ R2 :
n+1
2M
F n+1 (z) − z F n (z) − z
F
(z) − z
1
−
≤
+M ≤
.
n+1
n
n
n+1
n
n
Provaremos agora que existe N tal que F (z)−z
∈ U ∪ V , para todo n ≥ N e z ∈ R2 .
n
S
De fato, como ρ(F ) ⊂ U ∪ V , existe N tal que n ≥ N temos k≥n Kn ⊂ U ∪ V . Assim,
68
∀ n ≥ N, Kn ⊂ U ∪ V , e portanto
n
F (z) − z
2
: z ∈ R ⊂ U ∪ V, ∀n ≥ N.
n
Fixemos i satisfazendo as seguintes condições:
ni
2M
F (xi ) − xi
< δ, ni ≥ N e
∈ U.
ni
ni
(3.13)
Seja j tal que
kj ≥ ni e
F kj (yj ) − yj
kj
∈ V.
(3.14)
Uma vez que i satisfaz 3.13, temos que, para todo n ≥ ni
F n+1 (xi ) − xi F n (xi ) − xi
2M
2M
−
≤
≤
< δ = d(U , V ).
n+1
n
n
ni
n
Então, F (xin)−(xi ) ∈ U para todo n ≥ ni . Em particular, como kj ≥ ni , ui = F
usando 3.14, temos que vj =
F kj (yj )−yj
kj
kj
(xi )−xi
kj
∈U e
∈V.
Se C é um caminho que liga xi e yj então C =
1
(F kj − Id)
kj
(C) é um caminho que liga
ui a vj . Assim, como kj ≥ N , por Kk ⊂ U ∪ V , teríamos C ⊂ U ∪ V . Dessa forma C ∩ U
e C ∩ V formariam uma cisão de C, o que contraria o fato de C ser conexo. Logo ρ(F ) é
conexo.
A
B
Figura 3.7: Caminho C que une xi com yj e caminho C que une ui = F
F kj (yi )−y1
kj
kj
(xi )−xi
kj
com vj =
, contrariando o fato de que C é conexo.
Observação 3.1.5. Como os subconjuntos convexos e conexos de R2 são pontos, retas ou
conjuntos com interior não vazio, ρ(F ) só pode ser um ponto, um segmento de reta ou possuir
interior não vazio.
Observação 3.1.6. O exemplo citado na Observação 3.1.3 também mostra que ρ(F ) pode
não ser convexo para F um levantamento de um homeomorfismos homotópico à identidade
f : T3 → T3 .
69
3.1.1
EXEMPLOS
A seguir, apresentaremos exemplos de homeomorfismos que têm como conjunto de rotação,
respectivamente, um ponto, um segmento de reta ou possuir interior não vazio. No primeiro
exemplo, trabalharemos com as translações em R2 e iremos mostrar que o conjunto de rotação
é um único ponto de R2 . No segundo exemplo, veremos um homeomorfismo cujo conjunto de
rotação é um segmento de reta. No terceiro exemplo, construiremos um homeomorfismo F de
modo que ρ(F ) tenha interior não vazio.
Exemplo 3.1.1. Considere a translação F (x) = x+v em R2 , v ∈ R2 . Veja que F n (x) = x+nv
n
e, calculando o quociente F n−Id , teremos que
F n (x) − x
= v, ∀ n ∈ N.
n
Dessa forma, ρ(F, x) = {v} para todo x ∈ R2 . Como ρp (F ) = ∪x ρ(F, x), segue que
ρp (F ) = ∪x {v} = v.
Para calcularmos ρ(F ), observe que Kk (F ) = {v} e, usando o Proposição 3.1.3, temos
ρ(F ) = ∩n≥1 ∪k≥nKk (F )
= ∩n≥1 {v}
= {v}.
Exemplo 3.1.2. Vejamos um homeomorfismo cujo conjunto de rotação seja um segmento de
reta. Considere o homeomorfismo F (x, y) = (x + cos(2πy), y). Dado z = (x, t) ∈ R × {t}, veja
que
(x + n cos(2πt), t) − (x, t)
F n (x, t) − (x, t)
=
n
n
= (cos(2πt), 0).
Logo ρ(F, z) = {cos(2πt), 0}. Desse modo, ρp (F ) = [−1, 1] × {0}. Consequentemente,
ρ(F ) = conv(ρp (F )) = conv([−1, 1] × {0}) = [−1, 1] × {0}.
Este exemplo é devido a Françoes Béguin e pode ser encontrado em [1].
Exemplo 3.1.3. Vamos construir um homeomorfismo para o qual ρ(F ) = [0, 1]2 . Considere
G(x, y) = (x + φ(y), y),
H(x, y) = (x, y + ϕ(x)),
onde φ, ϕ : R → [0, 1] são funções contínuas e periódicas com período 1 satisfazendo φ(t) =
ϕ(t) = 0 em t ∈ Z e φ(t) = ϕ(t) = 1 se t ∈ 1/2 + Z. Para F = H ◦ G, vejamos que
70
F ((0, 0)) = (0, 0), F
F
=
1
,1
2
,F
e
1 1
,
=
2 2
3 3
,
2 2
1
,0
2
0, 21
= 1, 12
.
k
Vamos calcular o quociente F k−Id para cada (x, y) anterior. Para (0, 0) temos que
F k (0, 0) − (0, 0)
= (0, 0).
k
Portanto, ρ(F, (0, 0)) = (0, 0). Agora, observe que F 2 21 , 0 = 12 , 2 , F 3 12 , 0 = 12 , 3 e,
usando indução, F k 12 , 0 = 21 , k , de modo que
F k 21 , 0 − 21 , 0
= (0, 1).
k
Logo ρ F, 12 , 0 = (0, 1). Procedendo da mesma maneira, obtemos ρ F, 0, 12 = (1, 0) e
ρ F, 12 , 21 = (1, 1). Desta forma,
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} ⊂ ρp (F ).
Como ρ(F ) é convexo, segue que [0, 1]2 ⊂ ρ(F ). Por outro lado, se F (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ) então
0 ≤ x1 − y1 ≤ 1 e 0 ≤ x2 − y2 ≤ 1. Consequentemente, ρ(F ) ⊂ [0, 1]2 . Isto completa a
demonstração de que
ρ(F ) = [0, 1]2 .
Este exemplo também é devido a Françoes Béguin e pode ser encontrado em [1].
Observação 3.1.7. Em [12], J. Kwapisz provou que qualquer polígono convexo D de extremos
racionais é conjunto de rotação para um levantamento F de um homeomorfismos homotópico à
identidade f : T2 → T2 .
3.2
TEOREMA PRINCIPAL
A prova do Teorema Principal será feita em duas etapas. Na primeira etapa, provaremos o
Teorema para o caso δ-transitivo, ou seja, provaremos uma versão mais forte do Teorema. Na
segunda etapa, provaremos o caso geral usando o caso δ-transitivo.
3.3
O CASO δ-TRANSITIVO
Nesta seção, iremos apresentar resultados que permitam demonstrar o Teorema 3.3.1.
Assumiremos que f : T2 → T2 é um homeomorfismo homotópico à identidade e F : R2 → R2 é
71
um levantamento de f . Lembremos que R(f ) denota o conjunto dos pontos recorrentes por
cadeia para f , conforme a Definição 1.1.12 do capítulo 1.
Definição 3.3.1. Seja Λ ⊂ T2 um subconjunto compacto invariante de R(f ) e seja F um
levantamento de f . Denotamos por ρ(F, Λ) os pontos de acumulação do conjunto
n
F (x) − x
, π(x) ∈ Λ e n > 0 .
n
Teorema 3.3.1. Se para todo δ > 0 podemos encontrar um subconjunto compacto, invariante
e δ-transitivo, Λ ⊂ R(f ), tal que 0 pertence ao interior do envoltório convexo de ρ(F, Λ), então
existe um ponto fixo para F .
Queremos demonstrar o Teorema 3.3.1 a partir dos lemas que iremos apresentar a seguir.
A demonstração deste Teorema será apresentada no Corolário 3.3.1. O Lema 3.3.1 será usado
na demonstração do Lema 3.3.2 e o Lema 3.3.3 será usado na demonstração do Lema 3.3.4.
Lema 3.3.1. Sejam x, y ∈ R2 . Se U é um aberto que contém o segmento xy = {tx + (1 − t)y :
t ∈ [0, 1]} , então existe h : R2 → R2 um homeomorfismo homotópico à identidade tal que
h(x) = y e h |U c ≡ Id.
Demonstração. Seja φt (p) = p + t(y − x) o fluxo associado ao campo de vetores constante
v(p) = y − x em R2 . Como U é aberto e xy ⊂ U , considere V um aberto que satisfaz
xy ⊂ V ⊂ V ⊂ U e tome, pela partição da unidade, uma função γ : R2 → [0, 1] que seja
diferenciável, γ|V = 1 e γ|U c = 0. Definamos o campo de vetores
u : R2 → R2
p 7→ γ(p)v(p)
e tomemos o fluxo ϕt associado a este campo. Definamos h = ϕ1 . Temos que h é uma função
contínua, logo é homotópico à identidade pelo Exemplo 1.2.1 , h(x) = ϕ1 (x) = φ1 (x) = y e
h|U c = ϕ1 |U c = Id visto que o campo u é identicamente nulo em U c .
Lema 3.3.2. Se F não tem pontos fixos, então existe um > 0 tal que não existe -cadeia
periódica para F .
Demonstração. Seja
δ = min |F (x) − x|.
x∈R
Note que este mínimo é assumido visto que, pelo Lema 3.1.2, podemos considerá-lo sobre os
x que estejam no domínio fundamental compacto [0, 1] × [0, 1] para π. Além disso, como F
72
não tem pontos fixos, este mínimo é maior que 0. Vamos supor por absurdo que para todo
> 0 exista uma -cadeia periódica para F . Consideremos então x = x1 , x2 , . . . , xn = z uma
-cadeia periódica com = δ/8.
Agora, unimos os pontos de xi para F (xi−1 ), i = 1, 2, . . . , n, com arcos poligonais αi de
modo que estes não se intersectam e de modo que o diâmetro de cada um destes arcos seja
menor que δ/4, ver Teoremas 1.1.3 e 1.1.4. Nestas condições, podemos considerar pequenos
discos de modo que αi ⊂ Di e Di ∩ Dj = ∅ quando i 6= j.
Figura 3.8: Arcos poligonais αi e discos Di .
Usando o Lema 3.3.1 em cada segmento das poligonais e compondo os homeomorfismos
nas vizinhanças Di conseguimos uma pertubação G de F que satisfaz:
1. F (x) = G(x) para todo x ∈ R2 −
S
i Di ;
2. kF (x) − G(x)k ≤ δ/4, ∀x ∈ R2 ;
3. G(xi−1 ) = xi .
Agora, G tem um ponto periódico, a saber o ponto z. Logo pela Proposição 1.1.5 temos
que G te um ponto fixo p. Então
kF (p) − pk ≤ kF (p) − G(p)k + kG(p) − pk < δ.
Que é impossível, pela forma como definimos δ.
Observação 3.3.1. Nos Teoremas 3.3.1 e 3.4.1 usaremos a seguinte versão do Lema 3.3.2:
se para todo > 0 existe -cadeia periódica para F , então F tem ponto fixo.
Nos Lemas 3.3.3 e 3.3.4 a seguinte observação será útil.
73
Observação 3.3.2. Qualquer translação de uma δ-cadeia por um vetor de coordenadas inteiras
resulta em uma outra δ-cadeia. De fato, como (F − Id)(x) é Z2 -periódica, se z = z1 , . . . , zn = w
é uma δ-cadeia para F e r ∈ Z2 , então z + r = z1 + r, . . . , zn + r = w + r é uma δ-cadeia de z + r
a w + r para F pois kF (zi + r) − (zi+1 + r)k = kF (zi ) − zi+1 k < δ. Ou seja, podemos transladar
uma δ-cadeia por um vetor de coordenadas inteiras de modo a obter uma nova δ-cadeia.
Lema 3.3.3. Suponha que Λ é um subconjunto compacto invariante e δ-transitivo de R(f )
e seja F um levantamento de f . Então existe uma constante K > 0 tal que para qualquer
x0 , y0 ∈ Λ, x ∈ π −1 (x0 ) existe uma δ-cadeia para F de x para algum ponto y ∈ π −1 (y0 ) com
kx − yk < K.
Demonstração. Fixemos ω ∈ π −1 (Λ) e seja Qn o conjunto dos z ∈ Λ tal que existe uma δ-cadeia
para f de π(ω) para z com tamanho no máximo n. Temos que Qn é aberto, visto que, se
π(ω) = x1 , x2 . . . , xn = z é uma δ-cadeia, então
d(F (xn−1 ), z) = δ1 < δ.
Desse modo, se tomarmos = (δ − δ1 )/2, teremos que
d(F (xn−1 ), x) ≤ d(F (xn−1 ), z) + d(x, z) < δ1 + < δ,
para todo x ∈ B(z, ) e, portanto, Qn é aberto. Também temos que
Λ=
[
Qn
n≥1
e pela compacidade de Λ, existe N de modo que QN = Λ. Isto implica que para todo
y0 ∈ Λ existe uma δ-cadeia de π(ω) para y0 de comprimento inferior a N . Levantando
isto a R2 , começando em ω, obtemos uma δ-cadeia de ω para algum y 0 ∈ π −1 (y0 ). Seja
P = supR2 kF (v) − vk. Como uma δ-cadeia de w para y 0 tem tamanho no máximo N , segue-se
que
ky 0 − ωk < C1 = N (P + δ).
(3.15)
Um argumento similar mostra que dado x0 ∈ Λ existe um x0 ∈ π −1 (x0 ) com uma δ-cadeia
de x0 para ω e kx0 − ωk < C2 para alguma constante independente de x0 . Juntando isto,
obtemos uma δ-cadeia de x0 para y 0 com ky 0 − x0 k < K = C1 + C2 .
Finalmente, seja x ∈ π −1 (x0 ) qualquer, teremos que x − x0 é um vetor de coordenadas
inteiras. Transladando a δ-cadeia pelo vetor x − x0 , obtemos uma δ-cadeia de x a um ponto y,
onde y = y 0 + (x − x0 ) satisfaz π(y) = y0 e ky − xk = ky 0 − x0 k < K.
74
Lema 3.3.4. Seja Λ ⊂ R(f ) um subconjunto compacto, invariante e δ-transitivo para algum
δ > 0. Se 0 pertence ao interior do envoltório convexo de ρ(F, Λ), então existe uma δ-cadeia
periódica para F .
Demonstração. Como por hipótese 0 pertence ao envoltório convexo de ρ(f, Λ), então existem
v1 , v2 , v3 , v4 ∈ ρ(f, Λ) (ver Teorema 11 em [8]), com pelo menos três deles distintos, de modo
que 0 pertence ao interior do envoltório convexo gerado por esses vetores. Escolha vizinhanças
Ui de vi em R2 tão pequenas de modo que se vi0 ∈ Ui , 0 é também um ponto interior do
envoltório convexo de v10 , v20 , v30 e v40 .
Fixe z0 ∈ Λ e z ∈ π −1 (z0 ). Agora, pelo Lema 3.3.3 e pelo fato de v1 ∈ ρ(f, Λ) nos podemos
achar x ∈ R2 e ni > i satisfazendo:
1. limi→∞ F
ni (x)−x
ni
= v1 ;
2. Existe uma δ-cadeia de z para x e kx − zk < K;
3. Existe uma δ-cadeia de F ni (x) para zi0 ∈ π −1 (z0 ) e kF ni (x) − zi0 k < K.
Observamos que se juntarmos a δ-cadeia de z a x, com o segmento de órbita de x a F ni (x) e
a δ-cadeia de F ni (x) a zi0 teremos uma δ-cadeia de z para zi0 . Além disso, usando desigualdade
triangular, (1), (2) e (3) implicam que
zi0 − z
= v1 .
n→∞
ni
lim
Escolha i suficientemente grande tal que
zi0 − z
∈ U1
ni
e, para esse i, chamemos w1 = zi0 − z e m1 = ni , de modo que existe uma δ-cadeia de z para
z + w1 e w1 /m1 ∈ U1 . Por construção, note que π(zi0 ) = π(z) = z0 , logo w1 é um vetor de
coordenadas inteiras.
Com um processo similar podemos construir w2 , m2 , w3 , m3 e w4 , m4 com propriedades
análogas.
Como 0 pertence ao envoltório convexo de w1 /m1 , w2 /m2 , w3 /m3 , w4 /m4 e os vetores
w1 , w2 , w3 e w4 são inteiros, é possível resolver
Aw1 + Bw2 + Cw3 + Dw4 = 0
com A, B, C e D inteiros positivos.
75
0
Figura 3.9: O vetor 0 pertence ao envoltório convexo dos vetores wi /mi sempre que wi /mi ∈ Ui
com i = 1, 2, 3, 4.
Usando a Observação 3.3.2, transladamos a δ-cadeia que vai de z para z + w1 com o vetor de
coordenadas inteiras w1 para obtermos uma δ-cadeia de z + w1 para z + 2w1 . Isto nos fornece
uma δ-cadeia de z até z + 2w1 . Repetindo esse procedimento A vezes, obtemos uma δ-cadeia
de z para z + Aw1 . Com o mesmo raciocínio, obtemos uma δ-cadeia de z para z + Bw2 . Nesta
última cadeia, nos transladamos pelo vetor de coordenadas inteiras Aw1 e conectamos com a
cadeia de z a z + Aw1 obtendo então uma δ-cadeia de z para z + Aw1 + Bw2 .
De modo análogo, podemos obter uma δ-cadeia de z para z + Aw1 + Bw2 + Cw3 + Dw4 .
Como z + Aw1 + Bw2 + Cw3 + Dw4 = z, temos uma δ-cadeia periódica de z para z, como
queríamos demonstrar.
Finalmente, demonstraremos o Teorema 3.3.1 com o próximo corolário.
Corolário 3.3.1 (Prova do Teorema 3.3.1).
Demonstração. Pelo Lema 3.3.4, veja que dado δ > 0, o homeomorfismo f possui uma δ-cadeia
periódica. No entanto, como isto vale para qualquer δ, a Observação 3.3.1 que segue do Lema
3.3.2 garante que F tem um ponto fixo. Portanto, isto conclui a demonstrado o Teorema
3.3.1.
3.4
O CASO GERAL
Como antes, iremos assumir que f : T2 → T2 é um homeomorfismo homotópico à identidade
e F : R2 → R2 um levantamento de f . Teremos como objetivo provar que se 0 pertence ao
interior do conjunto de rotação ρ(F ) então F tem um ponto fixo. Como corolário, obteremos
76
que se v pertencem ao interior de ρ(F ) e tem as coordenadas racionais então existe um ponto
periódico x ∈ T2 com a propriedade de que
F q (x0 ) − x0
lim
= v,
n→∞
q
onde x0 é algum ponto tal que π(x0 ) = x e q é o menor período de x. Estes resultados são
devidos a John Franks em [5].
Teorema 3.4.1. Suponha que v1 , v2 , v3 e v4 são pontos extremais do conjunto convexo ρ(F )
(com pelo menos três deles distintos), e que 0 está no interior do envoltório convexo desses
vetores. Então F possui um ponto fixo.
Demonstração. Como cada vi é um ponto extremal de ρ(F ), com i = 1, . . . 4, usamos o Lema
3.1.1 para garantir a existência de um ponto não-errante para f , xi ∈ T2 tal que, se x ∈ π −1 (xi ),
então
F n (x) − x
= vi .
n→∞
n
lim
Para provarmos que F tem um ponto fixo é suficiente, pela Obervação 3.3.1 mostrar que,
para cada δ > 0, existe uma δ-cadeia periódica pra F .
Dado δ > 0, para mostrarmos que existe uma δ-cadeia periódica pra F , consideremos a
decomposição em partes δ-transitivas de R(f ) = Λ1 ∪ Λ2 ∪ . . . ∪ Λn , que é uma decomposição
finita pelo Lema 1.1.1 e mostraremos que existe um Λj da descomposição e pontos yi ∈ Λj tais
que se y ∈ π −1 (yi ) temos que
F n (y) − y
.
n→∞
n
vi = lim
Então, lembrando que as partes da decomposição de R(f ) são compactas e invariantes
devido o corolário 1.1.1, teremos, via Lema 3.3.4, que F tem uma δ-cadeia periódica. Como
isto vale para todo δ, chegaremos ao resultado desejado.
Dado δ > 0, considere g : T2 → R uma função de Lyapounov completa garantida pelo
Teorema 1.1.2. Escolhemos uma aproximação diferenciável g0 : T2 → R de g com valores
regulares c1 < c2 < . . . < cn tal que, a variedade com bordo Mi = g0−1 ((−∞, c1 ]) satisfaz
(1) f (Mi ) ⊂ int Mi ;
(2) Λi ⊂ Mi − Mi−1 .
Seja Ni a variedade Mi − Mi−1 . Então T2 =
S
Ni e Ni ∩ Nj é um conjunto finito de círculos se
S
j = i + 1 ou j = i − 1 e vazio caso contrário. Estes círculos são as componentes de i g0−1 (ci ).
77
Lembremos que um círculo no toro T2 é dito essencial quando não é homotópico a um
S
ponto. Pela definição de Mj , se houver um círculo essencial em i g0−1 (ci ) este deve estar no
bordo de uma variedade Mj para algum j.
Provaremos agora que nenhum dos círculos de
S
−1
i g0 (ci ) é essencial.
Isto resulta das
Afirmações 1 e 2 que seguem.
Afirmação 1. Se C é um círculo essencial no bordo de uma variedade do toro, Mj , então
deve haver outro círculo essencial no bordo de Mj que seja homotópico à C. De fato, se houvesse
só um círculo essencial em Mj , poderíamos considerar Mj0 como sendo a união de Mj com
os discos interiores dos círculos não essenciais, de modo que o único bordo de Mj0 é o circulo
essencial C.
Se escrevermos o toro como S 1 × S 1 , então podemos pensar em C como os pontos {(0, x) :
x ∈ S 1 }. Seja (x0 , y 0 ) ∈ Mj0 c e consideremos os conjuntos:
• C 0 = {(x, y 0 ) | x ∈ S 1 };
• C10 = C 0 ∩ Mj0 c ;
• C20 = C 0 ∩ (Mj0 − C).
Como Mj0 é fechado então C10 é um aberto em C 0 e como C é o bordo de Mj0 , C20 também é
um aberto relativo de C. Modificando um pouco C 0 de modo que asseguremos que C20 e C10
sejam não vazios e que C 0 ∩ C = (0, y 0 ) (isto é possível porque em qualquer vizinhança de
(0, y 0 ) existem pontos de Mj0 − C), teremos que os pontos de C 0 que não estão em C formam
um conjunto desconexo, implicando que C 0 ∩ C seria mais de um ponto. Chegamos a uma
contradição.
Afirmação 2. Cada componente conexa de
S
−1
2
i g0 (ci ) é bordo de um único disco em T . Se
um desses círculos é essencial, então para algum j com 1 ≤ j ≤ n, Mj é um anel essencial em
fj uma componente conexa de π −1 (Mj ). Usando que
T2 (possivelmente com buracos). Seja M
fj ) ⊂ M
fj .
f (Mi ) ⊂ int Mi consideremos um levantamento F0 de f que satisfaça F0 (M
78
Figura 3.10: Anel essencial no toro T2 .
fj é um tira infinita em R2 , talvez com buracos, e podemos considerar
Observemos que M
fj está contida entre duas restas k e l com inclinação p/q. Seja v um extremo de ρ(F0 ),
que M
pelo Lema 3.1.1, existe x ∈ R2 tal que
F0n (x) − x
.
n→∞
n
v = lim
Podemos supor que v =
6 0, caso contrário, não estaríamos nas hipóteses do teorema. Como
v 6= 0,
lim kF0n (x) − xk = +∞.
n→∞
0
(3.16)
~
fj .
Figura 3.11: π −1 (Mj ) e as retas paralelas com a mesma inclinação de M
fj , então F n (x) ∈ M
fj para todo n > 0. Provaremos que v tem
Se x ∈ R(f ) e x ∈ M
0
fj . De fato, se v não tem inclinação p/q,
inclinação p/q, isto é, tem a mesma inclinação que M
então v · k ⊥ 6= 0. Logo, existe n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0 ,
(F0n (x) − x) · k ⊥ 6= 0,
ou seja, F0n (x) − x não é paralelo a reta k para n ≥ n0 . Por outro lado, por 3.16, existe n > 0
tal que F0n (x) não pertence à faixa delimitada pelas retas k e l. Isto contradiz ao fato de
fj ) ⊂ M
fj . Portanto, v é está contido em uma reta de inclinação p/q.
F0n (M
79
fj , teremos que x ∈ Λi para algum i > j. Como os Λi são invariantes,
Se x ∈ R(f ) e x ∈
/M
fj ), que estará contida entre translações paralelas
podemos tomar uma componente de π −1 (Λ
fj . Podemos repetir o raciocínio
fj . Seja F um levantamento de f tal que F (Λ
fj ) ⊂ Λ
de M
fj e obter que todo vetor de ρp (F0 ) dos pontos de R(f ) estão em retas com
que fizemos em M
inclinação p/q.
Recordando que qualquer outro levantamento de f é da forma F = F0 + w com w ∈ Z2 ,
também podemos concluir que todo vetor de ρp (F ) dos pontos de R(f ) estão em retas com
inclinação p/q. Usando novamente o Lema 3.1.1, os pontos extremais de ρ(F ) estão em retas
com inclinação p/q, contradizendo a hipótese de 0 pertencer ao interior do envoltório convexo
de ρ(F ). Isto completa a prova da Afirmação 2.
Continuando com a prova do teorema, como cada círculo de
−1
i g0 (ci ) é não essencial,
S
temos que cada um deles limita um único disco. O complementar da união desses discos é o
interior de um único dos Ni , digamos que seja Nj . Enumeraremos os discos limitados pelos
S
círculos de i g0−1 (ci ) da seguinte forma.
Di ⊂ Mj−1
∀i|1≤i≤s
Di * Mj
∀ i | s < i ≤ r.
e
Então
f (Di ) ⊂
s
[
Dk
∀i|1≤i≤s
k=1
e
f −1 (Di ) ⊂
r
[
Dk
∀ i | s < i ≤ r.
k=s+1
Consideraremos agora um ponto x ∈ π −1 (x1 ) tal que
F n (x) − x
.
n→∞
n
v1 = lim
Nós iremos mostrar que se x1 não está em Λj , então existe outro ponto y1 ∈ Λj de modo que,
quando y ∈ π −1 (y1 ),
F n (y) − y
.
n→∞
n
v1 = lim
Como podemos provar o mesmo para v2 , v3 e v4 , teremos completado a prova do teorema.
Se x1 ∈ Nj , então x1 ∈ Λj . De fato, sendo x1 um ponto não-errante temos pela Proposição
1.1.4 que x1 ∈ R(f ). Consequentemente x1 ∈ Λj visto que Λj ⊂ Nj e Λj ⊂ R(f ).
80
Afirmação 3. Se x1 ∈
/ Nj , então x1 ∈ Dp para 1 ≤ p ≤ r e existem q ∈ N, w ∈ Z2 e F um
levantamento de f tais que G := F q − w possui um ponto fixo z0 e
F n (x) − x
F nq (z0 ) − z0
w
= lim
= .
n→∞
n→∞
n
nq
q
v1 = lim
(3.17)
De fato, se x1 ∈ Dp para 1 ≤ p ≤ s, então existe q > 0 tal que f q (Dp ) ⊂ Dp (x1 é recorrente e
S
f (Di ) ⊂ sn=1 Dn ). Se D ⊂ R2 é um levantamento de Dp e contém a x, então F q (D) ⊂ D + w
para algum vetor de coordenadas inteiras w. Se definirmos G = F q − w então G(D) ⊂ D e,
pelo Teorema do ponto fixo de Brouwer, G tem um ponto fixo z0 . Além disso, por indução,
Gn (x) = F nq (x) − nw
(3.18)
e
F nq (x) − x = Gn (x) − x + nw.
Desse modo, como G(D) ⊂ D,
Gn (x) − x
nw
w
F nq (x) − x
= lim
+ lim
= .
n→∞
n→∞ nq
n→∞
nq
n
q
lim
Por outro lado, como z0 é um ponto fixo para G, a equação 3.18 implica que
F nq (z0 ) − z0
w
lim
= .
n→∞
nq
q
Portanto
F nq (x) − x
F nq (z0 ) − z0
w
= lim
= .
n→∞
n→∞
nq
nq
q
v1 = lim
(3.19)
Se x1 ∈ Dp e s < p ≤ r, então um argumento similar aplicado a f −1 fornece um ponto z0 de G
com as mesmas propriedades, completando a prova da afirmação 3.
Finalmente, queremos achar um ponto fixo y1 para f q que esteja em Nj e que satisfaça
F n (y) − y
n→∞
n
v1 = lim
(3.20)
para y ∈ π −1 (y1 ). Então para este ponto fixo, teremos que a δ-cadeia periódica
y1 , f (y1 ), . . . , f q (y1 ) = y1
mostra que y1 ∈ Λj e satisfaz a igualdade em 3.20. A existência deste ponto y1 segue das
Afirmações 4 e 5 que seguem.
Afirmação 4. Se xi ∈
/ Nj , então f q tem um porto fixo em (Nj ). Inicialmente, veja que a
soma dos índices do pontos fixos de f q em qualquer classe de Nielsen é 0, isto é, N (f q ) = 0.
Isto segue do fato de f q é homotópico à identidade Id pelo Lema 1.2.1. Então, como a função
81
Id : T2 → T2 tem número de Nielsen N (Id) = 0 pelo Exemplo 1.4.1, o Teorema 1.4.1 garante
que N (f q ) = 0, ou seja, a soma dos índices do pontos fixos de f q em qualquer classe de Nielsen
é 0.
Como estamos supondo que xi ∈
/ Nj então x ∈ Dp para 1 ≤ p ≤ r, iremos considerar pontos
na classe de Nielsen do ponto π(z0 ) onde z0 é um ponto fixo de G mencionado anteriormente.
Qualquer ponto na classe de Nielsen de π(z0 ) que não está em Nj , está em algum Di , com um
fi , ou G−1 (D
fi . Logo, o Lema 1.4.1 assegura que
fi tal que, ou G(D
fi ) ⊂ D
fi ) ⊂ D
levantamento D
o índice de cada um desses pontos fixos em Di será 1. Assim, o índice do conjunto de pontos
fixos na classe de Nielsen de π(z0 ) que não estão em Nj é positivo (o disco Dk contribui com
pelo menos +1). Isto implica que deve haver um ponto fixo y1 ∈ Nj para f q na mesma classe
de Nielsen que π(z0 ), concluindo a Afirmação 4
Afirmação 5. Se f q tem um ponto fixo y1 ∈ Nj , então y ∈ π −1 (y1 ) é ponto fixo para G e
F n (y) − y
.
n→∞
n
v1 = lim
(3.21)
Considere os pontos π(z0 ) e y1 que estão na mesma classe de Nielsen de f q . Veja que dois
pontos p1 e p2 estão na mesma classe de pontos fixos de Nielsen se qualquer levantamento
que deixe fixo as pré imagens por π de um, também deixa fixo as pre imagens por π do outro.
De fato, como dois pontos fixos p1 e p2 de f q são Nielsen equivalentes se existe uma curva
C : [0, 1] → T2 , C(0) = p1 , C(1) = p2 tal que f q ◦ C ∼ C. Isto implica, em particular, que
f q (p1 ) = p1 e f q (p2 ) = p2 . Logo, se F é um levantamento de f q que fixa as pré-imagens por π
de p1 , então F também deixa fixo as pré-imagens por π de p2 .
Então, como π(z0 ) e y1 estão na mesma classe de Nielsen de f q . Logo, como G fixa as
pré-imagens por π de π(z0 ), então G fixa também as pré-imagens de π −1 (y1 ) por π, ou seja,
G(y) = y para y ∈ π −1 (y1 ). Além disso, a igualdade 3.21 em segue da Afirmação 3.
Teorema 3.4.2. Se v é um vetor de coordenadas racionais no interior de ρ(f ), então existe
um ponto p ∈ R2 tal que π(p) ∈ T2 é um ponto periódico para f e
F n (p) − p
.
n→∞
p
v = lim
Demonstração. Suponha v = (r/q, s/q) com o máximo divisor comum entre r, s e q igual a 1.
Se definirmos G(x) = F q (x) − (r, s), a ideia é mostra que um ponto fixo p de G(x) satisfaz
F q (x) = p + (r, s) e teremos o resultado desejado.
82
Temos que ρ(G) = qρ(F ) − (r, s) e portanto 0 está no interior de ρ(G), visto que
(r/q, s/q) está no interior de ρ(F ). Como ρ(F ) é fechado e convexo, existem pontos extremais v1 , v2 , v3 , v4 ∈ ρ(G) tais que 0 está no interior do envoltório convexo desses vetores.
Segue da Teorema 3.4.1 que G possui um ponto fixo p. Portanto,
f q (π(p)) = π(F q (p)) = π(p + (r, s)) = π(p).
Encerraremos esta dissertação apresentando alguns dos principais resultados posteriores ao
Teorema 3.4.2 que garantem a existência de pontos periódicos para homeomorfismo homotópicos
à identidade no toro T2 via o conjunto de rotação.
O próximo teorema, obtido em [17], é divido a M. Misiurewicz e K. Ziemian e generaliza
o Teorema 3.4.2 no caso em que um ponto em int(ρ(F )) não possui ao menos uma das
coordenadas racional.
Teorema 3.4.3. Suponha que F : R2 → R2 é um levantamento do homeomorfismo homotópico
à identidade f : T2 → T2 e suponha que (a, b) ∈ int(ρ(F )). Então exite um conjunto compacto
X ⊂ T2 , invariante por f , de modo que, para todo x ∈ X,
F n (y) − y
= (a, b), ∀ y ∈ π −1 (x).
n→∞
n
ρ(x, F ) = lim
Se (a, b) ∈ Q2 , então X pode ser escolhido com uma órbita periódica.
Em [17], também é provado o seguinte teorema.
Teorema 3.4.4. Seja F : R2 → R2 um levantamento de um homeomorfismo homotópico à
identidade no toro T2 . A função ρ : F 7→ {espaço de todos os conjuntos compactos de R2 }
com a métrica de Hausdorff é contínua para todo F com int(ρ(F )) 6= ∅.
O Teorema 3.4.4 e a Observação 3.1.7 implicam que existem conjuntos convexos com
os pontos extremos que não sejam racionais e que sejam conjuntos de rotação de F , com
F : R2 → R2 um levantamento de um homeomorfismo homotópico à identidade no toro T2 .
Com respeito a existência de pontos periódicos, quando o conjunto de rotação tem interior
vazio, temos o próximo teorema devido a Franks em [6].
Teorema 3.4.5. Seja um homeomorfismo que preserva área f : T2 → T2 homotópico à
identidade e seja F : R2 → R2 é um levantamento de f . Se ρ(F ) for um segmento de reta
83
e v ∈ ρ(F ) é um vetor com coordenadas racionais, então existe um ponto p ∈ R2 tal que
π(p) ∈ T2 é um ponto periódico para f e
F n (p) − p
v = lim
.
n→∞
n
(3.22)
Quando assumirmos que o conjunto de rotação ρ(F ) é um segmento de reta e falarmos que
ele tem inclinação irracional, estaremos nos referindo ao coeficiente angular da reta que contém
ρ(F ).
Ainda sobre a existência de pontos periódicos para homeomorfismos homotópicos à identidade, quando o conjunto de rotação é um segmento de reta com inclinação irracional, podemos
citar o próximo teorema de L. Jonker e L. Zhang em [10].
Teorema 3.4.6. Suponha que f : T2 → T2 é um homeomorfismo do toro homotópico à
identidade e F : R2 → R2 um levantamento de f . Suponha que ρ(F ) é um segmento de reta
com inclinação irracional e contém um ponto com coordenadas racionais v = (r/q, s/q). Então
f tem um ponto periódico cujo período é q.
84
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