Padrao Resposta Mestrado.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Padrão de Resposta - Mestrado

Q1- Considere uma sequência real (xn )n∈N com 0 < xn < 1 e 4(xn+1 − xn+1 xn ) ≥ 1, para todo n.
Mostre que:
1
(a) Para todo n vale xn ≤
;
4(1 − xn )
(b) (xn ) é monótona;
(c) (xn ) é convergente. Determine seu limite.
Solução: ( Assunto: Sequências)
(a) Observe que 4x2n − 4xn + 1 = (2xn − 1)2 e o item segue;
1
≤ xn+1 e assim é monótona;
(b) Observe que xn ≤ 4(1−x
n)
(c) Toda sequência limitada e monónota é convergente. Seu limite l satisfaz 4l(1 − l) = 1 e logo
l = 1/2.
Q2- Apresente um exemplo de uma função f : R → R que não é contínua em ponto nenhum, porém
|f | é contínua em todo ponto. Justifique cuidadosamente.
Solução: (Assunto: Continuidade)
Considere f (x) = −1 se x ∈ Q e f (x) = 1 se x ∈ R \ Q.
Q3- Sejam f, g : [0, 1] → [0, ∞) funções contínuas tais que sup f = sup g. Mostre que existe x0 tal que
f (x0 ) = g(x0 ).
Solução: (Assunto: Propriedades de funções contínuas)
Como [0, 1] é compacto e f e g são compactos, existem c e d em [0, 1] tais que f (c) = sup f
e g(d) = sup g. Se c = d, acabou. Assuma que c < d. Defina h(x) = f (x) − g(x). Daí,
h(c) = sup f − g(c) ≥ 0 e h(d) = f (d) − sup g ≤ 0. Como [c, d] é conexo, pelo Teorema do Valor
Intermediário, existe x0 ∈ [c, d] tal que h(x0 ) = 0.
Q4- Sejam f e g polinômios reais de grau k. Assuma que existem a > 0 e C > 0 tais que
|f (x) − g(x)| ≤ C|x|k+1 ,
para todo x com |x| ≤ a. Mostre que f = g.
Solução: (Assunto: Fórmula de Taylor)
Segue da desigualdade que as derivadas de f e g na origem são iguais para j = 0, . . . , k e daí
concluí-se a igualdade.
p
Q5- Mostre que a função f : [0, 1] → R definida por f (x) = x sen(x) + 3x é integrável. Em seguida
R1
verifique que 0 ≤ 0 f (x) dx ≤ 4/5.
Solução: (Assunto:
Propriedades da Integral)
p
Seja f (x) = x sen(x) + 3x. Observe que f é integrável pois é contínua. Além disso, f ≥ 0 em
R1
[0, 1] e portanto 0 f (x) dx ≥ 0. Note também, sen(x) ≤ x para todo x ≥ 0 (basta analisar as
R1
R1
√
derivadas). Então f (x) ≤ x x + 3x = 2x3/2 . Daí 0 f (x) dx ≤ 2 0 x3/2 dx = 4/5.
1