Dissertação
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
Marcos Ranieri da Silva
O Teorema da Massa Positiva e a
Desigualdade de Penrose para gráficos
Maceió, Brasil
Março de 2013
Marcos Ranieri da Silva
O Teorema da Massa Positiva e a
Desigualdade de Penrose para gráficos
Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 25 de Março de 2013 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório
Maceió, Brasil
Março de 2013
O Teorema da Massa Positiva para gráficos
e a Desigualdade de Penrose
Marcos Ranieri da Silva
Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 25 de Março de 2013 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório (Orientador)
Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva
Prof. Dr. Abdênago Alves de Barros
Resumo
Nesta dissertação trataremos de variedades Riemannianas completas, assintoticamente planas,
que são gráficos suaves sobre Rn . Neste caso, apresentaremos uma prova elegante e direta para
o Teorema da Massa Positiva. Expressando sua curvatura escalar como um campo divergente,
mostraremos que a massa ADM da variedade pode ser expressa como uma integral sobre a variedade do produto da curvatura escalar e uma função potencial não-negativa. Como aplicação,
provaremos também a desigualdade de Penrose dando um limite inferior para a integral sobre o
bordo usando a desigualdade de Aleksandrov-Fenchel.
Palavras chave: teorema da massa positiva, desigualdade de Penrose, desigualdade de
Aleksandrov-Fenchel.
iii
Abstract
In this paper we will work with complete Riemannian manifolds, asymptotically flat, that are smooth graphics over Rn . In this case, we present an elegant and direct proof for the Positive Mass
Theorem. Expressing its scalar curvature as a divergent field, we will show that the ADM mass of
the manifold can be expressed as an integral over the manifold of the product of scalar curvature
and a nonnegative potential function. As an application, we will prove also the Penrose inequality
giving a lower bound for the boundary integral using the Aleksandrov-Fenchel inequality.
Keywords: Positive Mass Theorem, Penrose inequality, Aleksandrov-Fenchel inequality.
iv
Sumário
Introdução
vi
1 Preliminares
1.1 Variedades Assintoticamente planas e a massa ADM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemplos de Variedades Assintoticamente planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
2 Gráficos sobre o espaço euclidiano
12
2.1 Variedade de Schwarzschild como um gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Gráficos sobre o espaço euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Teoremas Principais
16
3.1 O Teorema da massa positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 A Desigualdade de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Apêndice
23
Referências Bibliográficas
27
Introdução
A formulação de Newton da gravitação foi, e continua sendo, uma teoria bem sucedida em fı́sica,
devido à sua habilidade para determinar a força exercida por um corpo em outro através da elegante
equação F = Gmr12m2 . Apesar do sucesso desta fórmula, surge uma questão que não foi resolvida
por Newton e ficou bastante tempo sem uma resposta satisfatória: Como é transferida a força
de gravidade de um objeto para outro? A teoria geral da relatividade, formulada por Einstein
em 1915, respondeu esta questão. A solução vem de um conjunto de equações que são quase tão
elegantes como a equação de Newton. A hipótese básica é que o espaço-tempo é uma variedade
Lorentziana de dimensão 4 (N 4 , g), sendo uma dimensão para o tempo e três para o espaço. Se
denotarmos por Ric o tensor curvatura de Ricci e R a curvatura escalar de g então (N 4 , g) satisfaz
a equação de Einstein,
1
Ric − R · g = 8πT,
2
onde T é chamado o tensor momento-energia do espaço-tempo. Esta equação mostra explicitamente que a gravidade é obtida da geometria do espaço-tempo. Em particular, a presença de
massa influência diretamente a geometria do espaço-tempo curvando-o. Podemos fazer uma analogia pensando uma folha infinita de borracha, a qual se distorce quando uma bola de boliche
é colocada sobre ela, onde a folha representa o ambiente do espaço-tempo e a bola de boliche
representa um objeto massivo. Se uma bola de golf é colocada na vizinhança da bola de boliche, a
bola de golf tende a gravitar ao redor da bola de boliche devido a curvatura da folha de borracha.
Isto é a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo. E a geometria do espaço-tempo é
influenciada diretamente na presença de um objeto massivo.
A teoria da relatividade geral, também tem alguns pontos delicados, um deles é definir a noção
de energia, pois no espaço-tempo vácuo ela pode ser não-trivial. Um palpite é adotar que sobre
tais circunstâncias a massa do universo está contida inteiramente em um domı́nio compacto. Isto
implicaria que os efeitos da gravidade tendem a decair próximo do infinito e assim a geometria
do espaço-tempo torna-se mais plana (ou seja, a métrica é assintoticamente plana). Na teoria
de relatividade geral, a curvatura escalar da métrica R(g) representa uma densidade de energia.
Inspirados por argumentos variacionais, os fı́sicos Arnowitt, Deser e Misner propuseram em [1], a
seguinte definição para a massa, conhecida como a massa ADM
Z X
1
(gij,i − gii,j )νj dSr .
(1)
mADM = lim
r→∞ 16π S
r i,j
Sob certas hipóteses do comportamento assintótico da métrica, pode-se mostrar que este limite
existe e, além disso, é um invariante geométrico [2]. A fim de que essa definição de massa seja
conveniente, devemos mostrar que se o espaço-tempo contém densidade de energia não-negativa,
vi
então a massa do espaço tempo deveria ser também não-negativa. De fato, isto é o que diz
exatamente o Teorema da Massa Positiva. Em [11] Shoen e Yau demonstraram-o através de um
belo argumento usando técnicas variacionais e a teoria de superfı́cies mı́nimas. A prova do Teorema
da Massa Positiva foi objeto de estudo de matemáticos e fı́sicos modernos e teve bastante influência
em geometria.
Várias extensões e aplicações do Teorema da Massa Positiva foram obtidas desde a publicação
da prova de Schoen e Yau. Mais tarde, Witten [14] conseguiu uma simples prova do Teorema da
massa positiva em dimensão três usando spinors, enquanto Bartnik [2] extendeu este resultado para
variedades spin de dimensão arbitrária. Miao [8] provou o Teorema da massa positiva para o caso
onde a métrica torna-se C 1 através de uma hipersuperfı́cie. Já Wang [13] considerou variedades
assintoticamente hiperbólicas e mostrou a positividade de um invariente que pode ser interpretrado
como a massa total. Em 2011, Lam [7] obteve uma prova elegante e direta para variedades do
tipo gráficos, a qual apresentaremos neste trabalho. O Teorema da Massa Positiva também tem
sido muito usado para estabelecer outros resultados paralelos em geometria. Por exemplo, Shoen
usou o Teorema da Massa Positiva extensivamente no seu trabalho o qual completou a prova do
problema de Yamabe [10], onde ele tentou encontrar uma métrica ḡ de curvatura escalar constante
na classe conforme de uma métrica dada g em uma variedade fechada M . Recentemente, Bray
[3] usou o Teorema da massa positiva para provar a desigualdade Riemanniana de Penrose, que
afirma que uma variedade Riemanniana (M 3 , g) com curvatura escalar
q não-negativa, massa m e
|Σ|
, valendo a igualdade se
|Σ| denotando a área da superfı́cie mı́nima exterior, então m ≥
16π
(M, g) é isométrica ao fim exterior da variedade de Schwarzchild exterior a superfı́cie mı́nima.
Neste trabalho apresentaremos a solução de Lam do Teorema da Massa Positiva Riemanniana
para variedades do tipo gráficos em dimensão n bem como uma demonstração da desigualdade
Riemanniana de Penrose neste caso.
vii
Capı́tulo 1
Preliminares
1.1
Variedades Assintoticamente planas e a massa ADM
O objetivo principal desta dissertação é estudar a massa total (massa ADM) de uma variedade
assintoticamente plana que é um gráfico sobre o espaço euclidiano. Nesta seção, iremos definir
claramente estes conceitos. Grosseiramente falando, uma variedade Riemanniana n-dimensional
(M n , g) é dita assintoticamente plana se fora de um conjunto compacto K ⊂ M n , M n é difeomorfa
ao complementar da bola unitária fechada B̄ e que sua métrica g decai suficientemente rápido para
a métrica euclidiana plana no infinito. Mais precisamente:
Definição 1.1.1 Uma variedade Riemanniana (M n , g) é dita assintoticamente plana se ela satisfaz as seguintes condições:
1. existe um conjunto compacto K ⊂ M n e um difeomorfismo Φ : E = M n \K → Rn \B̄. Em
particular, E = M n \K é um conjunto conexo.
2. a métrica g = gij (x)dxi dxj na carta coordenada (x1 , x2 , ..., xn ) em E definida por Φ, satisfaz
as seguintes propriedades:
gij (x) = δij + O(|x|−p )
|x||gij,k (x)| + |x|2 gij,kl (x)| = O(|x|−p )
|R(x)| = O(|x|−q ),
(1.1)
(1.2)
(1.3)
para todo i, j, k, l = 1, 2, ..., n. Onde gij,k = ∂k gij e gij,kl = ∂k ∂l gij são as derivadas coordenadas da ij-componente da métrica, q > n e p > (n − 2)/2 são constantes e R(x) é a curvatura
escalar de g no ponto x.
O conjunto E = M n \K é chamado o fim da variedade assintoticamente plana. Analogamente,
dizemos que (M n , g) tem um número finito l de fins, se M n \K é a união disjunta de componentes
conexas (fins) N1 , ..., Nk , onde cada Ni é difeomorfo a Rn \B̄, e em cada fim Ni e difeomorfismo
Φi : Rn → B̄, a métrica g definida na carta coordenada dada por Φi satisfaz as condições acima.
A menos de menção contrária, trataremos apenas de variedades assintoticamente planas com um
único fim. Para uma variedade assintoticamente plana podemos definir sua massa ADM por:
8
Definição 1.1.2 A massa ADM de uma variedade completa assintoticamente plana (M n , g) é
definida por
Z X
n
1
mADM = lim
(gij,i − gii,j )νj dSr ,
(1.4)
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r i,j
onde ωn−1 é o volume da esfera unitária de dimensão n − 1, Sr é a esfera de raio r, ν é o vetor
normal exterior a Sr e dSr é o elemento de área de Sr na carta coordenada.
Os fı́sicos Arnowitt, Deser e Misner [1] foram os primeiros a propor esta definição em n = 3
para descrever a massa total em um sistema gravitacional isolado. Generalizamos suas definições
de massa ADM para qualquer dimensão n ≥ 3 escolhendo a constante correta em frente a integral.
Destacamos também que a massa ADM independe da escolha das coordenadas assintoticamente
planas [2]. Nós frequentemente escreveremos mADM (M n , g) = mADM = m se a variedade e sua
métrica correspondente, estiverem bem entendidas. Além disso, iremos utilizar no trabalho a
convenção do somatório de Einstein para somar sobre ı́ndices repetidos. Portanto iremos escrever
Z
1
(gij,i − gii,j )νj dSr .
(1.5)
m = lim
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
1.2
Exemplos de Variedades Assintoticamente planas
1. O exemplo mais simples de variedade assintoticamente plana é o espaço euclidiano Rn com
a métrica canônica g = δ. Como δij,k = 0 para todo i, j e k, sua massa ADM mADM = 0.
Iremos ver mais tarde que o espaço euclidiano está ligado ao caso rı́gido do Teorema da
Massa Positiva.
2. Seja (M n , g), com n ≥ 3, uma variedade assintoticamente plana, então conseguimos construir uma classe de variedades assintoticamente planas usando uma mudança conforme de
métricas. Dizemos que uma métrica ḡ é conforme a métrica g se
4
ḡ = u(x) n−2 g,
(1.6)
para alguma u(x) ∈ C ∞ (M n ) positiva. Note que a escolha do expoente é conveniente uma
vez que ela simplifica a transformação da curvatura escalar. De fato, se R(g) e R(ḡ) são as
curvaturas escalares de g e ḡ respectivamente. Então através de um cálculo direto obtemos
n+2
4(n − 1)
− n−2
R(ḡ) = u
−
∆g u + R(g)u .
(1.7)
(n − 2)
Se (M n , g) é assintoticamente plana, então (M n , ḡ) também será uma variedade assintoticamente plana quando u(x) satisfizer condições adequadas de decaimento. Em particular,
(M n , ḡ) é assintoticamente plana se
u(x)
ui
ujk
∆g u
→
=
=
=
1 quando x → ∞
O(|x|−p−1 )
O(|x|−p−2 )
O(|x|−q )
para alguma constante p > 21 e q > 3.
9
m
3. Como um caso particular do exemplo 2, seja (M 3 , g) = (R3 \ {0}, u4 δ) com u = 1 + 2r
, onde
p
2
2
2
m é uma constante positiva e r = x + y + z é a distância euclidiana do ponto (x, y, z)
à origem. Então a variedade resultante,
m 4
3
3
δ ,
(1.8)
(M , g) = R \{0}, 1 +
2r
é uma variedade assintoticamente plana. Ela é chamada a variedade de Schwarzschild tridimensional. Nós mostraremos no capı́tulo 2 que ela pode ser isometricamente mergulhada
em uma parábola de rotação no R4 .
Como R = 0 para a métrica euclidiana e ∆u = 0, a equação (1.7) implica que a variedade de
Schwarzschild tem curvatura escalar identicamente nula. Além disso, a esfera Sm/2 = {x ∈
R3 \{0}; |x| = m/2} é uma superfı́cie mı́nima em (M 3 , g). De fato, como g = u(x)4 δ então a
curvatura média H da esfera em relação a g satisfaz
1
H= 2
u
2 4 ∂u
+
r u ∂r
.
(1.9)
Com efeito, o vetor normal à esfera em relação a métrica g é
N (x) =
x
xi
xi
= 2
=
∂i ,
|x|g
u (x)|x|
u2 (x)r
(1.10)
pois |x|2g = u(x)4 |x|2 . Como a curvatura média H é dada pelo divergente do campo normal,
se denotarmos por g = det(gij ) podemos encontrar H usando
1 ∂ xi √
g
H = √
g ∂xi u2 r
1 ∂ xi 4
u
= 6
u ∂xi r
x x ∂
1
i
i
4 ∂
4
= 6 u
+
(u )
u
∂xi r
r ∂xi
∂r
r
−
x
i
∂xi
1
+ xi xi ∂ (u4 )
= 6 u4
2
u
r
r r ∂r
1 4 1 x2i
x2i 3 ∂u
u
=
− 3 + 2 4u
6
r
r
r
∂r
2
1 4 3 r
∂u
=
u
− 3 + 4u3
6
r r
∂r
1 2 4 ∂u
= 2
+
,
u
r u ∂r
onde usamos que
∂r
= ∂xi r
∂xi
10
e
∂
xi ∂
=
.
∂xi
r ∂r
(1.11)
Em particular, se tomarmos r = m/2 teremos
∂u
m
m
= − 2 e ru = (1 + )r = m.
∂r
2r
2r
Substituindo na equação 1.11 encontramos
1 2 4 m
H = 2
−
u
r u 2r2
2m
1 2
−
= 2
u
r r.ru
= 0.
Logo H = 0 se r = m/2. Além disso, a variedade de Schwarzschild tem dois fins, com uma
reflexão simétrica em relação a esfera mı́nima Σ = Sm/2 . Iremos de agora em diante nos
referir ao fim exterior da variedade Scharzschild, dado por
m 4
3
R \Bm/2 , 1 +
δ ,
2r
(1.12)
como a variedade exterior de Schwarzschild. Esta é agora uma variedade completa assintoticamente plana com um fim que tem um bordo mı́nimo.
Usando a definição, calcularemos a massa ADM da variedade exterior de Schwarzschild
m 4
) δ):
(M 3 , g) = (R3 \Bm/2 , (1 + 2r
mADM (g) =
=
=
=
=
Z
1
(gij,i − gii,j )νj dSr .
lim
r→∞ 16π S
r
Z
1
m 3 m xi
xj xj
lim
4 1+
− 2
δij −
dSr
r→∞ 16π S
2r
2r
r
r r
r
Z
1
m 3 m
lim
1+
− 2 (−2)dSr
r→∞ 4π S
2r
2r
r
1
m 3 m
lim
1+
4πr2
r→∞ 4π
2r
r2
m.
Ou seja, a massa ADM da variedade exterior de Schwarzschild é precisamente a constante
positiva m.
11
Capı́tulo 2
Gráficos sobre o espaço euclidiano
Neste capı́tulo, iremos estudar variedades assintoticamente planas que são gráficos suaves sobre
Rn . Começaremos discutindo o fato que a variedade de Schwarzschild pode ser isometricamente
mergulhada no R4 como uma parábola rotacional, e que seu fim exterior pode ser expresso como
um gráfico de uma função suave. Continuaremos o estudo de variedades que são gráficos de funções
no Rn em geral e obteremos uma fórmula que expressa a curvatura escalar de tais variedades como
o divergente de um campo de vetores.
2.1
Variedade de Schwarzschild como um gráfico
Já mostramos que a variedade tridimensional de Schwarzchild é uma variedade assintoticamente
plana, além disso, ela é conforme ao R3 \{0} e pode ser expressa por
m 4
3
δ ,
(2.1)
R \{0}, 1 +
2r
onde
p m é uma constante positiva (vimos que m é de fato a massa ADM da variedade), r =
x2 + y 2 + z 2 é a distância do ponto (x, y, z) à origem em R3 e δ é a métrica canônica do espaço
euclidiano. Mostraremos que a variedade de Schwarzschild pode ser isometricamente mergulhada
em uma parábola rotacional em R4 como o conjunto dos pontos D = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; r =
w2 /8m + 2m}. Explicitamente, a inversa do mergulho isométrico acima é dado por
φ : {r =
w2
+ 2m} ⊂ R4 → R3 \ {0}
8m
m −2
(x, y, z).
φ(x, y, z, w) =
1+
2r
3
Note que a imagem da superfı́cie mı́nima
p Sm/2 = {x ∈ R \ {0}; |x| = m/2}, pelo mergulho
isométrico, é S2m = {(x, y, z, 0) ∈ R4 ; x2 + y 2 + z 2 = 2m}. Além disso, a variedade exterior
de Schwarzschild corresponde aos pontos tal que w ≥ 0. Logo, resolvendo para w, vemos que
a variedade exterior tridimensional de Schwarzschild
é o gráfico de uma função esfericamente
p
3
simétrica f : R \B̄2m → R dado por f (r) = 8m(r − 2m).
12
2.2
Gráficos sobre o espaço euclidiano
Se f : Rn → R é uma função suave, então o gráfico de f é uma hipersuperfı́cie em Rn+1 . Além
disso temos o seguinte resultado
Proposição 2.2.1 Seja f : Rn → R uma função suave e seja
M n = {(x1 , ..., xn , f (x1 , ..., xn )) ∈ Rn+1 ; (x1 , ..., xn ) ∈ Rn }
o gráfico de f . Se M n está munida com a métrica g induzida da métrica plana do Rn+1 então
(M n , g) é isométrico a (Rn , δ + df ⊗ df ), onde δ é a métrica plana do Rn .
Demonstração. Sejam x = (x1 , ..., xn ) um ponto em Rn e (x, xn+1 ) ∈ Rn+1 . Mostraremos
que a aplicação
F : (Rn , δ + df ⊗ df ) → (M n , g)
x 7→ (x, f (x))
(2.2)
(2.3)
é uma isometria. Como f é suave por hipótese, F é claramente uma função suave. Além
disso, F é um difeomorfismo cuja inversa é a projeção canônica π : (M n , g) → (Rn , δ + df ⊗ df )
definida por π(x, f (x)) = x. Vamos verificar agora que o difeomorfismo F é uma isometria, ou
seja, F ∗ g = δ + df ⊗ df . Por definição do pullback F ∗ ,
∂
∂
∂
∂
∗
,
= g F∗ i , F∗ j
(F g)
∂xi ∂xj
∂x
∂x
para todo i, j = 1, ..., n. Se φ ∈ C ∞ (M n , g) então
(F∗
∂
∂
∂
)φ =
(φ ◦ F ) =
(φ(x, f (x)))
i
i
∂x
∂x
∂xi
!
n+1
X
∂φ ∂xk
=
∂xk ∂xi
k=1
!
n
X
∂φ ∂f
∂φ ∂xk
+
=
∂xn+1 ∂xi
∂xk ∂xi
k=1
!
n
X
∂φ ∂f
∂φ
=
+
δ
k ki
∂xn+1 ∂xi
∂x
k=1
∂
∂f ∂
=
+
φ.
∂xi ∂xi ∂xn+1
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Disto,
∂
∂
∂
=
+ fi n+1 ,
i
i
∂x
∂x
∂x
n+1
onde fi = ∂i f . Como g é a métrica induzida do R , temos
F∗
13
(2.9)
g
∂
∂
, j
i
∂x ∂x
= δij para 1 ≤ i, j ≤ n + 1
e
∂
∂
∂
∂
∂
∂
g =
F∗ i , F∗ j =
+ fi n+1 , j + fj n+1
∂x
∂x
∂xi
∂x
∂x
∂x
= δij + fi fj .
(2.10)
Observação: 2.2.1 Pela proposição 2.2.1, de agora em diante iremos nos referir a
(M n , g) = (Rn , δ + df ⊗ df )
como o gráfico da função f . Mais geralmente, se Ω ⊂ Rn é um aberto limitado com bordo suave
Σ = ∂Ω, então o gráfico de uma função f , definida em Rn \Σ, munido com a métrica induzida g do
Rn+1 é uma variedade completa com bordo f (Σ) e isométrica à (Rn \Ω, δ + df ⊗ df ). Estudaremos
tais variedades na última seção.
A seguir, calcularemos a curvatura escalar de um gráfico e o expressaremos como o divergente
de um campo de vetores.
Proposição 2.2.2 Seja (M n , g) = (Rn , δ + df ⊗ df ) o gráfico de uma função suave f : Rn → R.
Então a curvatura escalar de (M n , g) pode ser expressa por
fii fj − fij fi
,
(2.11)
R = div
1 + |∇f |2
onde a norma de ∇f é tomado em relação a métrica canônica do Rn .
Demonstração. De fato, pela equação de Gauss e usando o fato da curvatura escalar do espaço
euclidiano é nula, temos que
hR(X, Y )Z, W i = hα(X, Z), α(Y, W )i − hα(X, W ), α(Y, Z)i,
(2.12)
onde α é a segunda forma do gráfico. Aplicando a equação acima em um referencial ortonormal,
encontramos
hR(ei , ej )ei , ej i = hα(ei , ei ), α(ej , ej )i − hα(ei , ej ), α(ei , ej )i.
(2.13)
Logo, a curvatura escalar do gráfico será
R=
X
(Aii Ajj − Aji Aij ),
(2.14)
i,j
onde A = (Aij ) é o operador forma do gráfico. Mas Aji = hA∂i , ∂j i = −hdN (∂i ), ∂ji. Como o
campo normal ao longo do gráfico é:
1
N = −p
(∇f, −1).
1 + |∇f |2
Obtemos
14
(2.15)
Aij = ∂j
Mas
Aii Ajj =
fi
fi
=
,
w
w j
onde w =
p
1 + |∇f |2 .
fi
fj
fi fj
fj fi
= ∂j
−
.
w i w j
w iw
w w ij
(2.16)
"
#
f
f
fj fi
i
j
j i
−
.
Ai Aj = ∂i
w j w
w w ij
(2.17)
Analogamente
Logo, substituindo essas expressões em 2.14 temos
( "
#
)
fi fj
fj fi
fi
fj
fj fi
R =
∂j
−
− ∂i
−
w iw
w w ij
w j w
w w ij
ij
X X
fj fi
fi fj
−
=
∂j
w iw
w iw
j
i
X X fii fj − fij fi
=
∂j
.
w2
j
i
X
(2.18)
Definição 2.2.1 Dizemos que uma função suave f : Rn → R é assintoticamente plana quando
seu gráfico é assintoticamente plano. De acordo com a definição 1.1.1, se denotarmos por fi a
i-ésima derivada parcial de f , então f será assintotocamente plana quando
fi (x) = O(|x|−p/2 )
|x||fij (x)| + |x|2 |fijk (x)| = O(|x|−p/2 ),
no infinito para algum p > (n − 2)/2.
15
(2.19)
(2.20)
Capı́tulo 3
Teoremas Principais
Neste capı́tulo expressaremos a massa ADM de um gráfico (M n , g) = (Rn , δ + df ⊗ df ) de uma
função suave assintoticamente plana f : Rn → R como a integral sobre a variedade do produto de
sua curvatura escalar R por uma função potencial positiva, obtendo assim, o Teorema da massa
positiva.
3.1
O Teorema da massa positiva
Teorema 3.1.1 (O teorema da massa positiva para gráficos) Seja (M n , g) = (Rn , δ + df ⊗
df ) o gráfico de uma função f : Rn → R assintoticamente plana com curvatura escalar R ≥ 0.
Então a massa ADM de (M n , g) é
Z
1
1
R
dVg ,
(3.1)
m=
2(n − 1)ωn−1 M n 1 + |∇f |2
onde ∇f denota o gradiente de f na métrica plana, |∇f | sua norma com respeito a métrica plana
e dVg é o elemento de volume em (M n , g). Em particular, R ≥ 0 implica m ≥ 0. Além disso, a
massa m = 0 se e somente se (M n , g) é isométrico ao espaço euclidiano Rn .
Demonstração. Por definição, a massa ADM de (M n , g) = (Rn , δ + df ⊗ df ) é
Z
1
m = lim
(gij,i − gii,j )νj dSr
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
Z
1
= lim
(fii fj + fij fi − 2fij fi )νj dSr
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
Z
1
= lim
(fii fj − fij fi )νj dSr .
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
Usando a hipótese do gráfico ser assintoticamente plano, a função 1/(1 + |∇f |2 ) tende a 1 quando
r → ∞. Portanto, nós podemos reescrever a massa como
Z
1
1
(fii fj − fij fi )νj dSr .
(3.2)
m = lim
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S 1 + |∇f |2
r
16
Agora, aplicando o teorema de Gauss-Green na integral acima e usando a proposição 4.0.1,
temos
m =
=
=
=
Z
1
fii fk − fik fi
lim
div
dVδ
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 B
1 + |∇f |2
r
Z
1
fii fk − fik fi
div
dVδ
2(n − 1)ωn−1 Rn
1 + |∇f |2
Z
1
RdVδ
2(n − 1)ωn−1 Rn
Z
1
1
R
dVg ,
2(n − 1)ωn−1 M n 1 + |∇f |2
pois
dVg =
p
p
det gdVδ = 1 + |∇f |2 dVδ .
Além disso, se (M n , g) é isométrico ao espaço euclidiano, então R é identicamente nula e pela
expressão acima a massa m também será. Reciprocamente, se a massa m = 0 então como R ≥ 0,
temos que obrigatoriamente R é nula. Portanto, como o gráfico é assintoticamente plano, a função
f tende a uma constante C no infinito, ou seja, o gráfico de f tende a um hiperplano. Além disso, f
satisfaz a EDP elı́ptica R = 0 usando o prı́ncipio do máximo [5], podemos tomar uma bola B ⊂ Rn
suficientemente grande tal que |f (x) − C| < , conclui-se que f é constante e (M n , g) é isométrico
ao Rn com a métrica canônica plana.
Proposição 3.1.1 Se (M n , g) é o gráfico de uma função suave esfericamente simétrica f = f (r)
em Rn , então a massa ADM de (M n , g) é não-negativa mesmo sem a hipótese da curvatura escalar
não-negativa.
Demonstração. Seja fr = ∂f /∂r a derivada radial de f . Usando a regra da cadeia, as derivadas
coordenadas de f satisfazem:
xi
r
δi j x i x j
xi x j
= frr 2 + fr
− 3 .
r
r
r
fi = fr
fij
Como o vetor normal exterior é νj = xj /r, temos
x2i
1 x2i
xj xj
= frr 2 + fr
− 3
fr
r
r
r
r r
2
2 2
2 2
x i xj
xj
xi xj
= frr fr 4 + fr2
−
r
r3
r5
= frr fr ,
fii fj νj
17
e
fij fi νj
xi xj
xi x j
xi x j
δij
= frr 2 + fr
− 3
fr
r
r
r
r r
2 2
2 2
xi xj
xi xj
δij xi xj
= frr fr 4 + fr2
− 5
3
r
r
r
2
2f
= frr fr − r .
r
Usando este fato junto com a definição de massa ADM de (M n , g) temos
m =
=
=
=
Z
1
lim
(gij,i − gii,j )νj dSr
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
Z
1
(fii fj + fij fi − 2fij fi )νj dSr
lim
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
Z r
1
(fii fj − fij fi )νj dSr
lim
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
Z
1
2fr2
lim
dSr ≥ 0.
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S
r
r
Uma consequência deste fato e do Teorema da massa positiva é que não existem funções suaves
assintoticamente planas e esfericamente simétricas em Rn cujos gráficos tem curvatura escalar
negativa em todo ponto.
3.2
A Desigualdade de Penrose
A desigualdade de Penrose Riemanniana pode ser vista como uma generalização do Teorema da
Massa Positiva. Se (M n , g) é um gráfico de uma função assintoticamente plana com curvatura
escalar não-negativa que tem bordo mı́nimo Σ então
1
m≥
2
|Σ|
ωn−1
n−2
n−1
,
onde |Σ| é o n − 1 volume de Σ e ωn−1 é o volume da esfera unitária.
Para provar tal desigualdade, mostraremos alguns resultados auxiliares e faremos algumas
considerações:
Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto e limitado (mas não necessariamente convexo), com bordo
suave Σ = ∂Ω. Se f : Rn \Ω → R é uma função suave assintoticamente plana, então o gráfico de
f (M n , g) é uma variedade assintoticamente plana com bordo f (Σ) suporemos também que cada
componente conexa f (Σ) está em um conjunto de nı́vel de f . Pela proposição (2.2.1) e observação
(2.2.1), nos referiremos a (M n , g) = (Rn \Ω, δ + df ⊗ df ) como o gráfico de f .
Se denotarmos por H e H0 as curvaturas médias de f (Σ) em (M n , g) e em Rn , respectivamente,
podemos relacioná-las por
18
1
H=p
H0 .
1 + |∇f |2
(3.3)
Note que H0 é também a curvatura média de Σ. A equação (3.3) implica que se |∇f (x)| → ∞
quando x → Σ, então f (Σ) é uma superfı́cie mı́nima exterior de (M n , g), pois H ≡ 0 em Σ.
Graficamente, isto significa que f é vertical ao longo do bordo.
Com tais considerações, veremos que a prova do teorema a seguir é muito similar a do Teorema
da Massa Positiva, a diferença é que quando aplicamos o teorema da divergência conseguimos um
termo extra referente ao bordo.
Teorema 3.2.1 Seja Ω ⊂ Rn um subconjunto aberto e limitado (não necessariamente conexo) e
Σ = ∂Ω. Se f : Rn \Ω → R é uma função suave assintoticamente plana tal que cada componente
conexa de f (Σ) está em um conjunto de nı́vel de f e |∇f (x)| → ∞ quando x → Σ. Então a massa
ADM do gráfico de f é
Z
Z
1
1
1
Rp
H0 dΣ,
(3.4)
dVg +
m=
2(n − 1)ωn−1 M n
2(n − 1)ωn−1 Σ
1 + |∇f |2
onde H0 é a curvatura média de Σ em (Rn \Ω, δ)
Demonstração. Podemos escrever a massa de (M n , g) por
Z
1
1
m = lim
(fii fj − fij fi )νj dSr .
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S 1 + |∇f |2
r
A diferença aqui é quando aplicamos o teorema de Stokes, obtemos a integral extra do bordo.
Z
1
1
m = lim
(fii fj − fij fi )νj dSr
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S 1 + |∇f |2
r
Z
1
1
div
(fii fj − fij fi ) dVδ
=
2(n − 1)ωn−1 Rn \Ω
1 + |∇f |2
Z
1
1
−
(fii fj − fij fi )νj dΣ,
2(n − 1)ωn−1 Σ 1 + |∇f |2
onde tecnicamente nós não poderı́amos usar o Teorema de Stokes em todo Rn pois |∇f (x)| → ∞
quando x → ∂Ω = Σ. Porém, faremos um leve abuso de notação e mostraremos que as integrais
impróprias convergem. Disto
Z
1
1
m =
Rp
dVg
2(n − 1)ωn−1 M n
1 + |∇f |2
Z
1
1
−
(fii fj − fij fi )νj dΣ.
2(n − 1)ωn−1 Σ 1 + |∇f |2
O vetor normal exterior a Σ é ν = ∇f /|∇f |. Considerando Σ como uma superfı́cie fechada em
(Rn , δ) denotaremos ∆f o Laplaciano de f em com respeito a métrica plana e ∆Σ f o Laplaciano
de f restrito a Σ. Seja H f o hessiano de f e H0 a curvatura média de Σ com respeito a métrica
plana. Iremos usar a seguinte fórmula bem conhecida que relaciona os dois laplacianos:
19
∆f = ∆Σ f + H f (ν, ν) + H0 (ν · ∇f )
1
∇f
f
=
H ∇f,
+ H0 |∇f |,
|∇f |
|∇f |
(3.5)
onde ∆Σ f = 0 pois f é constante em Σ (f (Σ) está em um conjunto de nı́vel de f). Além disso
1
(fii fj − fij fi )νj
1 + |∇f |2
∇f
1
f
(∆f )|∇f | − H ∇f,
=
1 + |∇f |2
|∇f |
1
1
∇f
∇f
f
f
=
H ∇f,
+ H0 |∇f | |∇f | − H ∇f,
1 + |∇f |2
|∇f |
|∇f |
|∇f |
2
|∇f |
=
H0 ,
1 + |∇f |2
−
(3.6)
onde substituı́mos a equação 3.5 em 3.6. Portanto,
Z
1
1
Rp
dVg
m =
2(n − 1)ωn−1 M n
1 + |∇f |2
Z
1
1
(fii fj − fij fi )νj dΣ
−
2(n − 1)ωn−1 Σ 1 + |∇f |2
Z
1
1
=
dVg
Rp
2(n − 1)ωn−1 M n
1 + |∇f |2
Z
|∇f |2
1
H0 dΣ
+
2(n − 1)ωn−1 Σ 1 + |∇f |2
Z
Z
1
1
1
=
Rp
dVg +
H0 dΣ.
2(n − 1)ωn−1 M n
2(n − 1)ωn−1 Σ
1 + |∇f |2
Observação: 3.2.1 Como f (Σ) está em um conjunto de nı́vel de f , ela é a mesma superfı́cie Σ
transladada verticalmente, Logo, podemos expressar a massa ADM como
Z
Z
1
1
1
m=
Rp
dVg +
H0 dΣ.
2(n − 1)ωn−1 M n
2(n − 1)ωn−1 f (Σ)
1 + |∇f |2
20
Denotaremos por Ωi , i = 1, ..., k as componentes conexas do conjunto aberto limitado Ω. No
caso em que cada Ωi é convexo, podemos obter um limite inferior para a integral do bordo no
teorema 3.2.1. Para fazer isto, precisaremos do seguinte lema, que faz uso de um caso especial da
desigualdade de Aleksandrov-Fenchel [9].
Lema 3.2.1 Se Σ é uma superfı́cie convexa em Rn com curvatura média H0 e área |Σ|, então
1
2(n − 1)ωn−1
Z
1
H0 dΣ ≥
2
Σ
|Σ|
ωn−1
n−2
n−1
.
(3.7)
Demonstração. Seja Σ ⊂ Rn uma superfı́cie convexa com curvaturas principais κ1 , ..., κn−1 .
Definimos
σj (κ1 , ...., κn−1 ) =
n−1
j
−1
X
κi1 · · · κij
(3.8)
1≤i1 <···<ik ≤n−1
a j-ésima função simétrica normalizada em κ1 , ..., κn−1 para j = 1, ..., n − 1. Em particular,
σ0 (κ1 , ..., κn−1 ) = 1
n−1
1 X
1
H0
σ1 (κ1 , ..., κn−1 ) =
κi =
n − 1 i=1
n−1
σn−1 (κ1 , ..., κn−1 ) =
n−1
Y
κi .
i=1
A k-ésima quermassintegral Vk de Σ é definida por
Z
Vk =
σk (κ1 , ..., κn−1 ).
(3.9)
Σ
Um caso especial da desigualdade de Aleksandrov-Fenchel diz que, para 0 ≤ i < j < k ≤ n − 1,
Vjk ≥ Vik−j Vkj−i .
(3.10)
Em particular, tomando i = 0, j = 1, k = n − 1,
1
V1n−1 ≥ V0n−2 Vn−1
.
Mas,
Z
σ0 (κ1 , ..., κn−1 ) = |Σ|
V0 =
ZΣ
V1
Vn−1
Z
1
=
σ1 (κ1 , ..., κn−1 ) =
H0
n−1 Σ
ZΣ
=
σn−1 (κ1 , ..., κn−1 ) = ωn−1 ,
Σ
21
(3.11)
onde na última igualdade temos que o produtório das curvaturas principais é o determinante da
diferencial da aplicação de Gauss e assim a integral sobre Σ dá exatamente a área algébrica da
aplicação de Gauss na esfera, para o nosso caso, como a aplicação cobre a esfera uma vez, obtemos
a área da esfera ωn−1 . De (3.11) temos
1
n−1
Z
n−1
H0
≥ |Σ|n−2 ωn−1
Σ
Z
1
n−2
1
n−1
H0 ≥ |Σ| n−1 ωn−1
n−1 Σ
n−2
Z
1
1 |Σ| n−1
,
H0 ≥
2(n − 1)ωn−1 Σ
2 ωn−1
pois
1
n−2
n−1
ωn−1
= ωn−1 ω − n−1 =
ωn−1
n−2
.
n−1
ωn−1
A seguir, mostraremos a desigualdade de Penrose para gráficos em Rn com bordo convexo.
Teorema 3.2.2 (Desigualdade de Penrose para gráficos com bordo convexo) Com as mesmas hipóteses do Teorema 3.2.1 junto com a hipótese adicional que cada componente conexa Ωi
de Ω é convexa e Σi = ∂Ωi , então
n−2
m≥
k
X
1 |Σi | n−1
i=1
2
ωn−1
1
+
2(n − 1)ωn−1
Z
1
Rp
dVg .
1 + |∇f |2
Mn
Em particular,
n−2
R ≥ 0 implica m ≥
k
X
1 |Σi | n−1
2
i=1
ωn−1
.
Demonstração. Com efeito, usando o teorema (3.2.1) e o lema (3.2.1), temos que
Z
1
1
m = lim
(fii fj − fij fi )νj dSr
r→∞ 2(n − 1)ωn−1 S 1 + |∇f |2
r
Z
Z
1
1
1
=
H0 dΣ +
Rp
dVg
2(n − 1)ωn−1 Σi
2(n − 1)ωn−1 M n
1 + |∇f |2
n−2
Z
k
X
1 |Σi | n−1
1
1
Rp
≥
+
dVg .
2 ωn−1
2(n − 1)ωn−1 M n
1 + |∇f |2
i=1
22
Capı́tulo 4
Apêndice
Uma outra forma de calcular a curvatura escalar de um gráfico é:
Proposição 4.0.1 Seja (M n , g) = (Rn , δ + df ⊗ df ) o gráfico de uma função suave f : Rn → R.
Então a curvatura escalar de (M n , g) pode ser expressa por
fii fj − fij fi
R = div
,
(4.1)
1 + |∇f |2
onde a norma de ∇f é tomado em relação a métrica canônica do Rn .
Demonstração. Como a métrica gij = δij + fi fj é uma perturbação da identidade, é natural
pensarmos que a sua inversa também seja. De fato, multiplicando a expressão da métrica por g jk
e somando em j temos
δik = gij g jk = δij g jk + g jk fj fi
δik = g ik + g jk fj fi ,
(4.2)
(4.3)
g ik = δik − g jk fj fi .
(4.4)
logo,
Agora multiplicando a última expressão por fi e somando em i temos
g ik fi = fk − g jk fj |∇f |2 .
Como i e j são indı́ces de soma então
(1 + |∇f |2 )g jk fj = fk
fk
.
g jk fj =
1 + |∇f |2
(4.5)
(4.6)
Substituindo (4.6) em (4.4), encontramos uma expressão para a inversa g ij :
g ij = δ ij −
fi fj
.
1 + |∇f |2
23
(4.7)
Em posse de (4.7), vamos calcular a curvatura escalar R de (M n , g) usando sua expressão em
coordenadas locais:
R = g ij (Γkij,k − Γkik,j + Γlij Γkkl − Γlik Γkjl ).
(4.8)
Por outro lado, sabemos que os sı́mbolos de Christofell de (M n , g) são:
Γkij =
=
=
=
=
1 km
g (gjm,i + gim,j − gij,m )
2
1 km
g (fji fm + fj fmi + fij fm + fi fmj − fim fj − fi fjm )
2
1
fk fm
δkm −
2fij fm
2
1 + |∇f |2
fij fk |∇f |2
fij fk −
1 + |∇f |2
fij fk
.
1 + |∇f |2
(4.9)
Logo, temos:
Γkij,k =
1
1 + |∇f |2
fij fk +
k
1
(fijk fk + fij fkk ),
1 + |∇f |2
1
1
(fikj fk + fik fkj ),
fik fk +
2
1 + |∇f | j
1 + |∇f |2
fij fl
fkl fk
fij flk fk fl
l
k
Γij Γkl =
,
=
1 + |∇f |2
1 + |∇f |2
(1 + |∇f |2 )2
fik fl
fjl fk
fik fjl fk fl
l
k
Γik Γjl =
,
=
2
2
1 + |∇f |
1 + |∇f |
(1 + |∇f |2 )2
Γkik,j =
Subtraindo a segunda expressão da primeira,
Γkij,k − Γkik,j =
1
1 + |∇f |2
fij fk −
k
1
1 + |∇f |2
fik fk +
j
1
(fij fkk − fik fkj )
1 + |∇f |2
Além disso, usando o fato que (1 + |∇f |2 )j = (1 + fl2 )j = 2fl flj , então
1
(1 + |∇f |2 )j
2fl flj
=
−
=−
.
2
2
2
1 + |∇f | j
(1 + |∇f | )
(1 + |∇f |2 )2
Analogamente,
1
1 + |∇f |2
=−
k
Logo podemos expressar 4.10 por
24
2fk flk
.
(1 + |∇f |2 )2
(4.10)
Γkij,k − Γkik,j = −
2fij flk fk fl
2fik fjl fk fl
fij fkk − fik fkj
+
+
.
2
2
2
2
(1 + |∇f | )
(1 + |∇f | )
1 + |∇f |2
(4.11)
Usando 4.11 em 4.8, obtemos
fij flk fk fl
fik fjl fk fl
fij fkk − fik fkj
−
R = g
+
+
(1 + |∇f |2 )2 (1 + |∇f |2 )2
1 + |∇f |2
(fij flk − fik fjl )
ij (fij fkk − fik fkj )
= −g ij
f
f
+
g
.
k
l
(1 + |∇f |2 )2
1 + |∇f |2
ij
(4.12)
Analisaremos cada parcela da equação 4.12 separadamente, na última parcela temos que
g (fij fkk − fik fkj ) =
δij −
ij
fi fj
1 + |∇f |2
2
= (fii fkk − fik
)−
(fij fkk − fik fkj )
fi fj
(fij fkk − fik fkj ).
1 + |∇f |2
(4.13)
Já a primeira parcela de 4.12,
ij
g (fij flk − fik fjl )fk fl
=
δij −
fi fj
1 + |∇f |2
(fij flk − fik fjl )fk fl
= (fii flk − fik fil )fk fl −
fi fj fk fl
(fij flk − fik fjl )
1 + |∇f |2
= (fkk fji − fki fk j)fi fj .
(4.14)
(4.15)
Onde no primeiro termo da equação 4.14 trocamos i por k, k por i e l por j. Já o segundo termo
é simétrico quando somamos sobre i, j, k e l, logo se anula. Logo substituindo 4.13 e 4.15 em 4.12
obtemos uma interessante fórmula para a curvatura escalar de (M n , g), a saber,
R=
fii fkk − fik fik
2fi fj
−
(fij fkk − fik fkj ).
2
1 + |∇f |
(1 + |∇f |2 )2
(4.16)
Agora vamos tentar escrever a curvatura escalar R como um campo divergente de vetores.
Primeiro perceba que
(2fij fj )
1
1
−
fkk fi =
fkk fi =
fii fk .
(4.17)
(1 + |∇f |2 )2
1 + |∇f |2 i
1 + |∇f |2 k
Analogamente,
(2fkj fj )
fki fi = −
(1 + |∇f |2 )2
1
1 + |∇f |2
fki fi .
Logo, a expressão para a curvatura escalar em 4.16, transforma-se em
fii fkk − fik fik
1
R=
+
(fii fk − fik fi ).
1 + |∇f |2
1 + |∇f |2 k
25
(4.18)
k
(4.19)
Por outro lado,
(fii fk − fik fi )k = fiik fk + fii fkk − fikk fi − fik fik = fii fkk − fik fik .
Portanto,
(fii fk − fik fi )k
1
R =
(fii fk − fik fi )
+
1 + |∇f |2
1 + |∇f |2 k
fii fk − fik fi
=
1 + |∇f |2 k
fii fk − fik fi
= div
.
1 + |∇f |2
26
Referências Bibliográficas
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Relativity. Physical Review Letters; Vol. 122, 997 - 1006, (1961).
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Applied Mathematics; Vol. 39, No. 5, 661 - 693, (1986).
[3] Bray, H. L.; Proof of the Riemannian Penrose Inequality using the Positive Mass Theorem.
Journal of Differential Geometry; Vol. 59, 177 - 267, (2001).
[4] Do Carmo, M. P.;Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 4a edição,
2008.
[5] Evans, L. C.; Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence,
1998.
[6] Huang, L-H., Wu, D. Hypersurfaces with nonnegative scalar Curvature. arXiv: 1102.5749v2.
[7] Lam, M.-K. G: The Graphs Cases of the Riemannian Positive Mass Theorem and Penrose
Inequalities in All Dimensions. arXiv:1010.4256v1.
[8] Miao, P.; Positive Mass Theorem on Manifolds admitting Corners along a Hypersurface. Advances in Theoretical and Mathematical Physics; Vol. 6, 1163 - 1182, (2002).
[9] Schneider, R.; Convex Bodies: the Brumm-Minkowski theory. Cambridge University Press,
1993.
[10] Schoen, R. M.; Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature.
Journal of Differential Geometry; Vol. 20, 479 - 495, (1984).
[11] Schoen, R. M., Yau S.-T.; On the Proof of the Positive Mass Conjecture in General Relativity.
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