Dissertação

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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Limitante Superior Extrı́nseco para o Primeiro
Autovalor do Laplaciano

José Ivan da Silva Santos

Maceió
2012

JOSÉ IVAN DA SILVA SANTOS

LIMITANTE SUPERIOR EXTRÍNSECO PARA O PRIMEIRO
AUTOVALOR DO LAPLACIANO

Dissertação de Mestrado, na área de concentração
de Geometria Diferencial submetida em 07 de
Março de 2012 à banca examinadora, designada
pelo Programa de Mestrado em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do grau de mestre
em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Henrique Batista da Silva.

Maceió
2012

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Fabiana Camargo dos Santos
S237l

Santos, José Ivan da Silva.
Limitante superior extrínseco para o primeiro autovalor do laplaciano / José
Ivan da Silva Santos. – 2012.
73 f.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2012.
Bibliografia: f. 73.
1. Isometria. 2. Imersão. 3. Laplaciano. 4. Primeiro autovalor. 5. Limitante
superior. I. Título.
CDU: 514.76

Aos meus pais Djesima Maria e
Antônio Artur.

“Bem sei eu que tudo podes, e que
nenhum dos teus propósitos pode ser
impedido” ...(Jó 42:2)

Agradecimentos
A Deus primeiramente, pois Ele permitiu o acontecimento de todos os meios necessários
para a conclusão desse trabalho. Ao Prof. Dr. Márcio Henrique Batista, Orientador, que
sempre se colocou a disposição quando surgiam as dúvidas, pela contribuição no meu desenvolvimento intelectual e também como profissional, pelo apoio motivacional e pelo amigo que
sempre soube ser e que com certeza sem o seu apoio esse trabalho teria sido mais difı́cil, a
você Prof. o meu muitı́ssimo obrigado.
A todos os professores do Instituto de Matemática da UFAL que contribuiram para eu
me tornar o que sou. Vocês me ensinaram mais que Matemática, me ensinaram também a
ser uma pessoa que sabe cumprir com seus deveres e lutar pelos objetivos, muito obrigado a
todos.
Agora, não por ordem de importância, gostaria de agradecer a Jaaresias Silva do Nascimento, Esposa e Companheira, que teve paciência e compreensividade para aguentar os
desabafos e aborrecimentos, a te sou grato.
A todos os colegas da turma de mestrandos de 2010 que com os quais me divertia e
principalmente pelas discussões matemáticas que fazı́amos.
A Fundação de Amparo e Pesquisa do Estado de Alagoas, FAPEAL, por proporcionar as
condições financeiras para a conclusão do meu curso de mestrado.

Resumo
Nesse trabalho descrevemos um resultado obtido por Ernst Heintze que melhora o seguinte
resultado devido a Reilly: seja M uma variedade Riemanniana n-dimensional imersa isometricamente em RN , N ≥ n, e λ1 (M ) o primeiro autovalor do operador laplaciano de M ,
então
Z
n
H 2 dM.
λ1 (M ) ≤
volM M
E. Heintze, em 1988, generalizou o resultado acima. Ele provou que:
Se M está imersa isometricamente em M̄ , onde KM̄ ≤ δ, então:
n R
H 2 dM , para δ ≥ 0;
(i) λ1 (M ) ≤ nδ +
volM M
(ii) λ1 (M ) ≤ nδ + n max H 2 ,

para δ < 0.

Além disso, se vale a igualdade em (i), então M é imersa minimamente em alguma esfera
geodésica.

Palavras chave: Isometria. Imersão. Laplaciano. Primeiro Autovalor. Limitante Superior.

Abstract
In this work we describe a result obtained by Ernst Heintze which improves the following
results due to Reilly: let M be a compact n-dimensional Riemannian manifold and λ1 (M ) is
the first eingenvalue of laplacian. If M is isometrically immersed in RN , N ≥ n, then
Z
n
H 2 dM.
λ1 (M ) ≤
volM M
E. Heintze, in 1988, generalized the above result. He proved that:
If M is isometrically imersed in M̄ , where, KM̄ ≤ δ, then:
n R
(i) λ1 (M ) ≤ nδ +
H 2 dM , para δ ≥ 0;
volM M
(ii) λ1 (M ) ≤ nδ + n max H 2 ,

para δ < 0.

Furthermore, if the equality in (i), then M is minimally immersed into some geodesic sphere.

Keywords: Isometry. Immersion. Laplacian. First Eigenvalue. Upper Bound.

Sumário
Introdução
1 Resultados Fundamentais de Geometria Riemanniana
1.1 Métrica Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Geodésicas e variedades completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Curvaturas e campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 A segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
13
13
14
17
19
24
26

2 Divergente, Gradiente, Hessiana e Laplaciano em variedade Riemanniana 28
2.1 Gradiente e Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2 Laplaciano e Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3 Limites Superiores Extrı́nsecos para λ1
3.1 Rayleigh e o método MinMax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Resultados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências Bibliográficas

44
44
48
69

Introdução
Esse trabalho tem como objetivo obter uma cota superior para o primeiro autovalor do
Laplaciano. Um autovalor é um número real λ tal que existe uma solução não trivial φ ∈
C 2 (M ) satisfazendo
∆φ + λφ = 0,
onde M é uma variedade fechada e conexa. No caso em que M é imersa isometricamente em
M̄ a estimativa é muito interessante, visto que a cota superior só depende essencialmente de
elementos extrı́nsecos a M , isto é, depende da forma como M é imersa em M̄ .
Os principais resultados desse trabalho foram obtidos por E. Heintze, tais resultados foram
parte do paper Extrinsic Upper Bounds for λ1 , publicado em 1988 no Math. Annalen.
O trabalho de Heintze é uma extensão do resulatado obtido por Reilly e publicado em 1977
intitulado On the first eigenvalue of the Laplacian for compact submanifolds of
Euclidean space, o qual afirma que: se M é uma variedade Riemanniana n-dimensional
compacta, conexa e imersa isometricamente em RN e λ1 (M ) é o primeiro autovalor do operador laplaciano de M , então
Z
n
H 2 dM.
λ1 (M ) ≤
volM M
Nas mesmas condições do Teorema de Reilly, trocando-se o RN por uma variedade Riemanniana completa M̄ com curvatura seccional KM̄ ≤ δ, Heintze obteve que:
n R
H 2 dM , para δ ≥ 0.
(Teorema 3.4)
(i) λ1 (M ) ≤ nδ +
M
volM
(ii) λ1 (M ) ≤ nδ + n max H 2 ,

para δ < 0;

(Teorema 3.8)

Além disso, se vale a igualdade em (i), então M é imersa minimamente em alguma esfera
geodésica.
Nas demonstrações dos Teoremas 3.4 e 3.8, uma das ferramentas que utilizaremos é
o Teorema de Rayleigh, Teorema 3.1, o qual afirma que, se f é uma
R função não nula
admissı́vel, isto é, f pertence ao espaço de Sobolev H 1 = W 1,2 (M ) com M f dM = 0, então
R
|grad f |2 dM
λ1 (M ) ≤ M R
.
f 2 dM
M
11

No Teorema de Rayleigh usaremos as funções

cδ (r) − c
sδ (r)
√
no caso δ > 0, onde
· xi e
r
δ

1 R
cδ (r)dM é constante, xi são as coordenadas normais de M̄ centrada em algum
volM M
ponto p0 ∈ M̄ e r = d(p0 , ·) é a distância a p0 .

c :=

Com o objetivo de deixar esse trabalho o mais completo possı́vel o organizamos em três
capı́tulos. No primeiro capı́tulo descrevemos os resultados fundamentais de Geometria Riemanniana, que são apresentados sem demonstração, pois podem ser facilmente encontrados
na literatura, e que imprescindivelmente nos auxilia no entendimento dos resultados tratados
nos capı́tulos seguintes. Ressaltamos que alguns conceitos básicos, como por exemplo, o conceito de espaço tangente e diferenciabilidade serão admitidos, o leitor pode consultar [5] ou
[11] para mais detalhes. No segundo capı́tulo definimos e obtemos as principais propriedades
do Gradiente, do Hessiano e do Laplaciano de uma função f : M → R, e do Divergente de
um campo de vetores em M . Apresentamos resultados como, por exemplo, o teorema de
comparação do hessiano da função distância.
Por fim, o último capı́tulo é dedicado as demonstrações dos Teoremas 3.4 e 3.8, para
os quais faremos alguns lemas que irá nos auxiliar nas demonstrações.

12

Capı́tulo 1
Resultados Fundamentais de
Geometria Riemanniana
Nesse capı́tulo apresentaremos os principais resultados de geometria Riemanniana que
utilizaremos no restante da dissertação. Nessa primeira seção definiremos os elementos que
utilizaremos e apresentamos alguns teoremas tais como o teorema de Hopf-Rinow, que nos
permite obter propriedades interessantes de variedades compactas.

1.1

Métrica Riemanniana

Iniciamos definindo o conceito de métrica Riemanniana, além disso escreveremos as métricas do espaço euclidiano Rn , da esfera Sn e do espaço hiperbólico real Hn em coordenadas
polares.
Definição 1.1 Uma métrica Riemanniana, ou estrutura Riemanniana, em uma variedade
diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um produto interno h , ip no espaço tangente Tp M que varia diferenciavelmente no seguinte sentido: Se
x : U ⊂ Rn → M é uma parametrização, ou sistema de coordenadas locais,
em torno
D
E de
∂
∂
∂
p, com x(x1 , . . . , xn ) = q ∈ x(U ) e ∂xi (q) = dx(0, . . . , 1, . . . , 0), então ∂xi (q), ∂xj (q) =
q

gij (x1 , . . . , xn ) é uma função diferenciável em U .
Ressaltamos que essa definição não depende da escolha do sistema de coordenadas.
Uma variedade diferenciável munida com uma métrica Riemanniana é chamada uma
variedade Riemanniana.
Definição 1.2 Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M → N é
chamado uma isometria se, para todo p ∈ M e u, v ∈ Tp M ,
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) .

(1.1)

Se f satisfaz (1.1) numa vizinhança de p, para todo p ∈ M , dizemos que M e N são
localmente isométricas.
13

Exemplo 1 Se M = Rn , é o espaço euclidiano de dimensão n, identificando ∂x∂ i com ei =
(0, . . . , 1, . . . , 0). A métrica é dada por hei , ej i = δij .
Exemplo 2 Seja f : M → M̄ uma imersão, ou seja, f é diferenciável e dfp : Tp M → Tf (p) M̄
é injetiva para todo p ∈ M . Se M̄ é uma variedade Riemanniana, então f induz uma métrica
Riemanniana em M por
hu, vip = hdfp (u), dfp (v)if (p) ,

u, v ∈ Tp M.

A métrica assim obtida é chamada de métrica induzida por f , e assim f é uma imersão
isométrica.
Seja Sn = {x ∈ Rn+1 ; x21 + . . . + x2n+1 = 1} a esfera unitária de Rn+1 . A métrica induzida
por Rn+1 em Sn é chamada métrica canônica de S n .
Exemplo 3 O semi-espaço do Rn dado por
Hn = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; xn > 0}
munido da métrica
gij (x1 , . . . , xn ) =

δij
x2n

é chamado de Espaço Hiperbólico.

1.2

Conexões

Um dos conceitos que ajuda a entender o comportamento das variedades Riemannianas
e nos auxilia no conhecimento de suas propriedades é o conceito de campos de vetores, que
tem a seguinte definição:
Definição 1.3 Um campo de vetores X em uma variedade diferenciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p ∈ M um vetor X(p) ∈ Tp M . Como aplicação, X
é uma aplicação de M no fibrado tangente T M . O campo é diferenciável se a aplicação
X : M → T M é diferenciável.
Se x : U ⊂ Rn → M é um sistema de coordenadas, é possı́vel escrever o campo X como
n
X

∂
,
∂xi
i=1
n o
onde cada ai : U → R é uma função em U e ∂x∂ i é a base associada a x. Consequentemente o campo X é diferenciável se, e somente se, as funções ai são diferenciáveis para toda
parametrização.
X(p) =

ai (p)

Denotaremos por X (M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C ∞ em M e por
D(M ) o anel das funções reais de classe C ∞ definidas em M .
14

Definição 1.4 Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação
∇ : X (M ) × X (M ) → X (M ),
que satisfaz para todos X, Y, Z ∈ X (M ) e todas f, g ∈ D(M ) as seguintes propriedades:
i) ∇(f X+gY ) Z = f ∇X Z + g∇Y Z.
ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z.
iii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y .
Proposição 1.1 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Então
existe uma única correspondência que associa a um campo vetorial V ao longo da curva
ao longo de c, denominado derivada
diferenciável c : I → M um outro campo vetorial DV
dt
covariante de V , tal que
D
(V + W ) = DV
+ DW
.
i) dt
dt
dt
D
ii) dt
(f V ) = df
V + f DV
,
dt
dt

onde W é um campo de vetores ao longo de c e f é uma função diferenciável em I.
iii) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X (M ), isto é, V (t) = Y (c(t)), então
DV
= ∇dc/dt Y .
dt
Demonstração. Ver [5], página 57.
Definição 1.5 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇. Um campo
= 0, para
de vetores X ao longo de uma curva c : I → M é chamado paralelo quando DX
dt
todo t ∈ I.
Definição 1.6 Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim ∇ e uma métrica
Riemanniana h , i. Dizemos que a conexão é compatı́vel com a métrica h , i, quando para toda
curva diferenciável c e quaisquer campos de vetores paralelos P e P 0 ao longo de c, tivermos
hP, P 0 i =const.. A conexão é dita simétrica quando
∇X Y − ∇Y X = [X, Y ],
para todo X, Y ∈ X (M ) e [X, Y ] := XY − Y X é o colchete de Lie.
Proposição 1.2 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatı́vel com
métrica se, e somente se, para quaisquer campos de vetores V e W ao longo de uma curva
diferenciável c : I → M tem-se

 

d
DV
DW
hV, W i =
, W + V,
, t ∈ I.
(1.2)
dt
dt
dt
15

Demonstração. Ver [5], página 59.
Corolário 1.3 Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana M é compatı́vel com a
métrica se, e somente se,
XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi,
para quaisquer X, Y, Z ∈ X (M ). Em particular se hY, Zi = 0, então
h∇X Y, Zi = −hY, ∇X Zi.

(1.3)

Demonstração. Ver [5], página 60.
Teorema 1.4 (Levi-Civita) Seja M uma variedade Riemanniana, então existe uma única
conexão afim ∇ em M que satisfaz:
a) ∇ é simétrica.
b) ∇ é compatı́vel com a métrica Riemanniana.
Demonstração. Ver [5], página 61.
A conexão dada pelo teorema acima é também conhecida como conexão Riemanniana.
Em um sistema de coordenadas (x, U ), as funções Γkij definidas em U por
∇Xi Xj =

n
X

Γkij Xk ,

k=1

onde Xi = ∂x∂ i , são chamadas os coeficientes da conexão ∇ em U ou sı́mbolos de Christoffel.
Um simples cálculo nos mostra que
1
Γlij =

n 
X
∂

2 k=1


∂
∂
gjk +
gki −
gij g kl ,
∂xi
∂xj
∂xk

(1.4)

onde (g kl ) é a inversa da matriz (gkl ), e usando a simetria da conexão, obtém-se que Γlij = Γlji .
Se M = Rn munido com a métrica hei , ej i = δij temos Γlij = 0 para quaisquer i, j, l =
1, . . . , n. Portanto
∇ei ej = Γlij el = 0.
(1.5)

16

1.3

Geodésicas e variedades completas

Agora definiremos o conceito de geodésica que dentre suas aplicações nos permite obter informações topológicas da variedade como mostra o Teorema de Ropf-Rinow. Sua importância
também é caracterizada pela propriedade de localmente minimizar distância entre dois pontos
da variedade.

D dγ
=
Definição 1.7 Uma curva parametrizada γ : I → M é uma geodésica em t0 ∈ I se dt
dt
0 no ponto t0 . Se γ é geodésica em todo t ∈ I, dizemos que γ é uma geodésica.
Se γ : I → M é uma geodésica, então por (1.2)




d dγ dγ
D dγ dγ
,
=2
,
= 0,
dt dt dt
dt dt dt
ou seja, o comprimento do vetor tangente é constante.
Proposição 1.5 Dado p ∈ M , existem uma vizinhança V de p em M , um número ε > 0 e
uma aplicação C ∞ , γ : (−2, 2) × U → M , U = {(q, w) ∈ T M ; q ∈ V, w ∈ Tp M, |w| < ε} tal
que t → γ(t, q, w) , t ∈ (−2, 2), é a única geodésica de M que no instante t = 0 passa por q
com velocidade w, para cada q ∈ V e cada w ∈ Tp M , com |w| < ε.
Demonstração. Ver [5], página 72.
Sejam p ∈ M e U ⊂ T M o aberto dado pela proposição acima. A aplicação exp : U → M
dada por


v
,
exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ |v|, q,
|v|
está bem definida e é chamada aplicação exponencial em U . É fácil observar que exp é
diferenciável.
Por simplicidade, utilizaremos a restrição da exp a um aberto do Tq M , como
expq : Bε (0) ⊂ Tq M → M,
onde expq (v) = exp(q, v) e Bε (0) é a bola aberta centrada na origem do Tq M e raio ε. Além
disso, prova-se que existe um ε > 0 tal que expq : Bε (0) ⊂ Tq M → M é um difeomorfismo
sobre um aberto de M .
Como consequência temos que a aplicação exponencial satisfaz o seguinte resultado:
Lema 1.1 (Gauss) Sejam p ∈ M e v ∈ Tp M tal que expp v esteja definida. Seja w ∈
Tp M ≈ Tv (Tp M ). Então
hd(expp )v (v), d(expp )v (w)i = hv, wi.
Demonstração. Ver [5], página 77.

17

Definição 1.8 Se expp é um difeomorfismo em uma vizinhança V da origem do Tp M ,
expp V = U é chamada de vizinhança normal de p. Se Bε (0) é tal que Bε (0) ⊂ V , chamamos
expp Bε (0) = Bε (p) de bola normal, ou geodésica, de centro p e raio ε. Pelo Lema de Gauss, a
fronteira de uma bola normal é uma hipersuperfı́cie em M ortogonal as geodésicas que partem
de p, ela é chamada de esfera normal, ou geodésica, e será denotada por Sε (p).
Definição 1.9 Sejam p, q ∈ M , a distância d(p, q) é o ı́nfimo dos comprimentos de todas as
curvas cp,q , onde c é uma curva diferenciável por partes ligando p a q.
Agora veremos que localmente as geodésicas minimizam distância.
Proposição 1.6 Sejam p ∈ M , U uma vizinhança normal de p, e B ⊂ U uma bola normal
de centro p. Seja γ : [0, 1] → B um segmento de geodésica com γ(0) = p. Se c : [0, 1] → M é
qualquer curva diferenciável por partes ligando γ(0) a γ(1), então l(γ) ≤ l(c) e se a igualdade
vale então γ([0, 1]) = c([0, 1]).
Demonstração. Ver [5], página 79.
Agora trataremos de alguns conceitos globais ligados as variedades Riemannianas. Inicialmente definiremos a noção de completude de uma variedade, e também enunciaremos o
teorema de Hopf-Rinow que tem como consequência imediata que toda variedade compacta
é completa.
Definição 1.10 Uma variedade Riemanniana M é dita completa, ou geodesicamente completa, se para todo p ∈ M , a aplicação exponencial está definida para todo v ∈ Tp M , equivalentemente as geodésicas γ(t) que partem de p estão definidas para todo t ∈ R.
Teorema 1.7 (Hopf-Rinow) Seja M uma variedade Riemanniana e seja p ∈ M . As
seguintes afirmações são equivalentes
a) expp está definida em todo o Tp M .
b) Os limitados e fechados de M são compactos.
c) M é completa como espaço métrico.
d) M é geodesicamente completa.
Além disso, cada uma das afirmações acima implica que
e) Para todo q ∈ M existe uma geodésica γ ligando p a q com l(γ) = d(p, q).
Demonstração. Ver [5], página 163.
Corolário 1.8 Se M é compacta, então M é completa.
18

Demonstração. Como todo espaço métrico compacto é completo, a conclusão segue da parte
(c) do teorema.
O próximo resultado, devido a Nash, nos dá uma importante caracterização das variedades
Riemannianas completas, mais precisamente:
Teorema 1.9 (Nash) Se M n é uma variedade Riemanniana completa, então ela pode ser
imersa isometricamente em RN , para algum N ≥ n.
Demonstração. Ver [8].
Sejam M uma variedade Riemanniana completa e p ∈ M . Considere γ : [0, ∞) → M
uma geodésica normalizada (isto é, |γ 0 (t)|=1) com γ(0) = p. sabemos que para t > 0
suficientemente pequeno,
d(γ(0), γ(t)) = t,
isto é, γ([0, t]) é uma geodésica minimizante. Além disso, é fácil ver que, se γ([0, t1 ]) não é
minimizante, então o mesmo acontece para t > t1 . Por continuidade, o conjunto dos números
t > 0 para os quais d(γ(0), γ(t)) = t é da forma [0, t0 ] ou [0, ∞). No primeiro caso, γ(t0 ) é
chamado o ponto mı́nimo de p ao longo de γ; no último caso diz-se que o ponto mı́nimo não
existe.
Definimos o lugar dos pontos mı́nimos de p, “cut locus”de p, denotado por Cut(p), como
sendo o conjunto de todos os pontos mı́nimos de p ao longo de todas as geodésicas que partem
de p.

1.4

Curvaturas e campos de Jacobi

Sem dúvida a curvatura é um dos conceitos mais presentes em geometria Riemanniana, e
entre suas diversas aplicações ela mede intuitivamente o quanto uma variedade Riemanniana
deixa de ser euclidiana.
Definição 1.11 A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência
que associa a cada par X, Y ∈ X (M ) uma aplicação R(X, Y ) : X (M ) → X (M ) dada por
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z,
onde Z ∈ X (M ) e ∇ é a conexão Riemanniana de M .
Definição 1.12 Dados um ponto p ∈ M e um subespaço bidimensional σ ⊂ Tp M , o número
real
(x, y, x, y)
,
K(x, y) =
|x ∧ y|2
é chamado curvatura seccional de M no ponto p com respeito a σ, onde x, y é uma base de
σ, (x, y, x, y) = hR(x, y)x, yi e |x ∧ y|2 = |x|2 |y|2 − hx, yi2 .
19

Proposição 1.10 O número
K(x, y) =

(x, y, x, y)
|x ∧ y|2

não depende da escolha dos vetores x, y ∈ σ.
Demonstração. Ver [5], página 105.
Lema 1.2 A curvatura seccional de Rn é identicamente nula.
Demonstração. Pela definição de curvatura seccional é suficiente mostrarmos que, para
quaisquer X, Y, Z ∈ X (Rn ) tem-se que R(X, Y )Z ≡ 0.
n
n
n
X
X
X
Se Z =
zi ei , X =
xi e i , Y =
yi ei , onde e1 , . . . , en é a base canônica de Rn ,
i=1

i=1

i=1

então
∇X Z = ∇X

n
X

zi ei =

i=1

=
=

n
X

zi ∇X ei +

i=1
n
X

n
X

X(zi )ei

i=1

zi xj ∇ej ei +

n
X

X(zi )ei

i=1

i,j=1
n
X

X(zi )ei ,

i=1

onde a última igualdade é devida a (1.5). Analogamente,
∇Y ∇X Z =

n
X

Y (X(zi ))ei ,

i=1

e
∇[X,Y ] Z =

n
X

[X, Y ](zi )ei

i=1

portanto
R(X, Y )Z = ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z
n
n
n
X
X
X
=
Y (X(zi ))ei −
X(Y (zi ))ei +
[X, Y ](zi )ei
i=1

=−

n
X

i=1

[X, Y ](zi )ei +

i=1

n
X
i=1

20

i=1

[X, Y ](zi )ei = 0.

Lema 1.3 Sejam M uma variedade Riemanniana e p ∈ M . Defina uma aplicação trilinear
e : Tp M × Tp M × Tp M → Tp M por
R
e
hR(X,
Y, Z)W, Zi = hX, W ihY, Zi − hY, W ihX, Zi,
para todo X, Y, Z, W ∈ Tp M . Então M tem curvatura seccional constante igual a K0 se, e
e onde R é a curvatura de M .
somente se R = K0 R,
Demonstração. Ver [5], página 107.
Uma Variedade Riemanniana completa M de curvatura seccional constante é chamada
de forma espacial.
Definição 1.13 Seja γ : [0, a] → M uma geodésica de M . Um campo de vetores J ao longo
de γ é um campo de Jacobi se satisfaz a equação de Jacobi
D2 J
+ R(γ 0 (t), J(t))γ 0 (t) = 0,
2
dt

∀ t ∈ [0, a].

Os exemplos triviais de campos de Jacobi ao longo de γ(t) são γ 0 (t) e tγ 0 (t).
Agora veremos algumas das propriedades dos campos de Jacobi, dentre as quais, um
campo de Jacobi nos permite saber onde a aplicação expp deixa de ser um difeomorfismo
local.
Exemplo 4 Sejam M uma variedade Riemanniana de curvatura seccional constante K,
γ : [0, a] → M uma geodésica normalizada em M e J um campo de Jacobi ao longo de γ,
normal a γ 0 . Então
R(γ 0 , J)γ 0 = KJ.
De fato, pelo Lema 1.3, para todo campo de vetores T ao longo de γ tem-se
hR(γ 0 , J)γ 0 , T i = K(hγ 0 , γ 0 ihJ, T i − hγ 0 , T ihJ, γ 0 i)
= KhJ, T i.
Assim a equação de Jacobi tem a forma
D2 J
+ KJ = 0,
(1.6)
dt
e é fácil ver que, se w(t) é um campo paralelo ao longo de γ com hγ 0 , w(t)i = 0 e |w(t)| = 1

√

sen(t
K)


√
w(t),
se K > 0,



K
J(t) = t w(t),
se K = 0,
√



senh(t −K)


√
w(t), se K < 0,

−K
é solução de (1.6) com condições iniciais J(0) = 0 e J 0 (0) = w(0).
21

Lema 1.4 Seja γ : [0, a] → M uma geodésica. Então um campo de Jacobi J ao longo de γ
com J(0) = 0 é dado por
J(t) = d(expp )tγ 0 (0) (tJ 0 (0)),

t ∈ [0, a].

Demonstração. Ver [5], página 126.
Com a definição seguinte teremos outras relações entre os campos de Jacobi e a aplicação
exponencial, mais precisamente, como encontrar as singularidades da aplicação exponencial:
Definição 1.14 Seja γ : [0, a] → M uma geodésica. dizemos que o ponto γ(t0 ) é conjugado
de γ(0) ao longo de γ, t0 ∈ (0, a], se existe um campo de Jacobi J ao longo de γ, não
identicamente nulo, com J(0) = 0 = J(t0 ). O número máximo de tais campos linearmente
independentes é a multiplicidade do ponto conjugado γ(t0 ).
Proposição 1.11 Suponha que γ(t0 ) é o ponto mı́nimo de p = γ(0) ao longo da geodésica
γ : [0, a] → M . Então:
a) ou γ(t0 ) é o primeiro ponto conjugado de p ao longo de γ,
b) ou existe uma geodésica γ̄ 6= γ que liga p a γ(t0 ) com l(γ̄) = l(γ).
E a recı́proca é também verdadeira.
Demonstração. Ver [5], página 267.
Corolário 1.12 Seja M uma variedade Riemanniana completa. Se p ∈ M e q ∈ M \Cut(p),
então existe uma única geodésica minimizante ligando p a q, e q não é conjugado a p ao longo
da mesma.
Demonstração. Seja γ : [0, a] → M uma geodésica minimizante tal que γ(0) = p e γ(a) = q.
Suponhamos que p se liga q por duas geodésicas minimizantes ou que q é conjugado de p ao
longo de γ. Pela recı́proca da Proposição 1.11, existe t0 ∈ (0, a] tal que γ(t0 ) é o ponto
mı́nimo de p ao longo de γ. Como q ∈
/ Cut(p), devemos ter que t0 < a, mas assim γ não é minimizante em (0, a].
Teorema 1.13 (Rauch) Sejam γ : [0, a] → M n e γ̄ : [0, a] → M̄ n+k , k ≥ 0, geodésicas com
a mesma velocidade, e sejam J e J¯ campos de Jacobi ao longo de γ e γ̄, respectivamente,
satisfazendo
i) γ̄(t) não é conjugado a γ̄(0), ∀ 0 < t ≤ a;
¯ = 0,
ii) J(0) = J(0)

hJ 0 (0), γ 0 (0)i = J¯0 (0), γ̄ 0 (0) , |J 0 (0)| = J¯0 (0) ;

iii) KM̄ (x̄, γ̄ 0 (t)) ≥ KM (x, γ 0 (t)),
onde K(x, y) é a curvatura seccional segundo o plano gerado por x, y. Então
22

¯ 0 ) = |J(t0 )|, então
a) J¯ ≤ |J|, além disso, se para algum t0 ∈ (0, a], tem-se J(t
KM̄ (x̄, γ̄ 0 (t)) = KM (x, γ 0 (t)),
para todo t ∈ [0, a].
|J|2
¯ para todo t ∈ (0, a].
b) hJ 0 , Ji ≥ ¯ 2 hJ¯0 , Ji
|J|
Demonstração. Faremos a demonstração apenas do item (b), uma demonstração do item
(a) é encontrada em [5], página 238.
Para mostrarmos o item (b), observamos primeiro que, como γ̄(t) não é conjugado a γ̄(0)
¯ 6= 0 em (0, a]. Defina f (t) = |J(t)|2 e f¯(t) = |J(t)|
¯ 2 em (0, a],
ao longo de γ̄, temos que J(t)
¯
assim f 0 (t) = 2hJ 0 (t), J(t)i e f¯0 (t) = 2hJ¯0 (t), J(t)i,
agora basta mostrarmos que
f¯0 (t0 )
f 0 (t0 )
≥ ¯
.
f (t0 )
f (t0 )
Por (2.7)
hJ 0 , Ji(t0 )
f 0 (t0 )
=
= It0
2f (t0 )
|J(t0 )|2



J
J
,
|J(t0 )| |J(t0 )|


= It0 (J1 , J1 )

(1.7)

e
 ¯

¯ 0)
J¯
hJ¯0 , Ji(t
J
f¯0 (t0 )
¯ ¯
= It0
= ¯
(1.8)
¯ 0 )| , |J(t
¯ 0 )| = It0 (J1 , J1 ),
|J(t0 )|2
|J(t
2f¯(t0 )
J¯
J
e J¯1 = ¯
. Escolha campos ortogonais e paralelos e1 , . . . , en ao longo de
onde J1 =
|J(t0 )|
|J(t0 )|
γ|[0,t0 ] e ē1 , . . . , ēn+k ao longo de γ̄|[0,t0 ] , com e1 = γ 0 , e2 (t0 ) = J1 (t0 ) e ē1 = γ̄ 0 , ē2 (t0 ) = J¯1 (t0 ).
Para V = βi (t)ei (t) campo diferenciável por partes ao longo de γ, defina
φ(V ) = βi (t)ēi (t)
campo diferenciável ao longo de γ̄. Então φ(J1 ) = 0 = J¯1 (0) e
J1 (t0 ) = e2 (t0 ) ⇒ φ(J1 )(t0 ) = ē2 (t0 ) = J¯1 (t0 ),
assim, pelo Lema do Índice (Teorema 2.5),
It0 (φ(J1 ), φ(J1 )) ≥ It0 (J¯1 , J¯1 ).
Mas para todos os campos V, W diferenciáveis por partes ao longo de γ, tem-se
hφ(V ), φ(W )i = hV, W i e φ(V )0 = φ(V 0 ),
23

(1.9)

donde
Z t0
It0 (J1 , J1 ) =
Z0 t0
≥

[hJ10 , J10 i − |γ 0 ∧ J1 |2 KM (J1 , γ 0 )]dt
[hφ(J1 )0 , φ(J1 )0 i − |γ̄ 0 ∧ φ(J1 )|2 KM̄ (φ(J1 ), γ̄ 0 )]dt]

0

= It0 (φ(J1 ), φ(J1 )).

(1.10)

Segue de (1.7), (1.8), (1.9) e (1.10) que
f 0 (t0 )
f¯0 (t0 )
¯
¯
= It0 (J1 , J1 ) ≥ It0 (φ(J1 ), φ(J1 )) ≥ It0 (J1 , J1 ) = ¯ ,
2f (t0 )
2f (t0 )
isto é,

f¯0 (t0 )
f 0 (t0 )
≥ ¯
f (t0 )
f (t0 )

ou

|J|2 ¯0 ¯
hJ , Ji ≥ ¯ 2 hJ , Ji.
|J|
0

Observação 1.14 A igualdade vale se, e somente se, KM̄ (x̄, γ̄ 0 (t)) = KM (x, γ 0 (t)) e vale a
igualdade em (1.9).

1.5

Coordenadas polares

Nessa seção escreveremos as métricas do Rn , de Sn−1 e do Hn em coordenadas polares as
quais precisaremos futuramente.
Com esse objetivo, sejam
x : U ⊂ Rn−1 → S n−1
(u1 , . . . , un−1 ) → x(u1 , . . . , un−1 )
parametrização e
γ(r, u1 , . . . , un−1 ) := expp (rx(u1 , . . . , un−1 )),
então
γr = d(expp )q (x(u1 , . . . , un−1 ))


∂x
γui = d(expp )q r
∂ui
24

logo
hγr , γr i = d(expp )q (x(u1 , . . . , un−1 )), d(expp )q (x(u1 , . . . , un−1 ))
= hx(u1 , . . . , un−1 ), x(u1 , . . . , un−1 )i = 1.



∂x
hγr , γui i = d(expp )q (x(u1 , . . . , un−1 )), d(expp )q r
∂ui


∂x
= x(u1 , . . . , un−1 ), r
= 0.
∂ui

(1.11)

(1.12)

onde q = rx(u1 , . . . , un−1 ) e as igualdades (1.11) e (1.12) são devidas ao Lema de Gauss.
Finalmente,





∂x
∂x
γui , γuj = d(expp )q r
, d(expp )q r
,
(1.13)
∂ui
∂uj


∂x
Observe que, para cada i fixado, Ji (r) = d(expp )q r ∂u
é um campo de Jacobi dado pelo
i
Lema 1.4, e pelo exemplo 4


em Rn .
r w(r),
J(r) = sen(r)w(r),
em Sn−1 .


senh(r)w(r), em Hn .
Portanto, para o Rn
γui , γuj = hr wi (r), r wj (r)i
= r2 hwi (r), wj (r)i = r2 δij .
donde
2

ds :=

n
X

gij dui duj = dr2 + r2 dω 2 ,

i,j=1

onde dω 2 é a métrica canônica de S n−1 .
Para a esfera Sn−1
γui , γuj = hsen(r) wi (r), sen(r) wj (r)i
= sen2 (r)hwi (r), wj (r)i = sen2 (r) δij ,
donde
ds2 = dr2 + sen2 (r) dω 2 .

25

Para Hn
γui , γuj = hsenh(r) wi (r), senh(r) wj (r)i
= senh2 (r)hwi (r), wj (r)i = senh2 (r) δij ,
donde
ds2 = dr2 + senh2 (r) dω 2 .

1.6

A segunda forma fundamental

Sejam M n e M̄ n+k , k ≥ 0, variedades Riemanniana e f : M → M̄ uma imersão isométrica,
então para cada p ∈ M o produto interno em Tp M̄ decompõe Tp M̄ na soma direta
Tp M̄ = df (Tp M ) ⊕ (df (Tp M ))⊥ ,
Por simplicidade de notação identificamos df (Tp M ) com Tp M onde (Tp M )⊥ é o complemento
ortogonal de Tp M em Tp M̄ e p é identificado com f (p).
¯ e se X e Y são campos locais de
Denotaremos a conexão Riemanniana de M̄ por ∇,
vetores em M , e X̄, Ȳ são extensões locais em M̄ , de df (X) e df (Y ), definimos
¯ X̄ Ȳ )T ,
∇X Y := (∇
¯ X̄ Ȳ )T denota a componente tangencial de ∇
¯ X̄ Ȳ .
onde (∇
Proposição 1.15 Seja f : M n → M̄ n+k uma imersão isométrica. Então para X, Y ∈ X (M )
¯ X̄ Ȳ )T
∇X Y = (∇
é a conexão Riemanniana de M .
¯ X̄ Ȳ )T é uma conexão em M , sejam X, Y, Z ∈
Demonstração. Para mostrarmos que (∇
X (M ), g, h ∈ D(M ) e X̄, Ȳ , Z̄ ∈ X (M̄ ), ḡ, h̄ ∈ D(M̄ ) suas extensões em M̄ , respectivamente.
Então,
¯ (ḡX̄+h̄Ȳ ) Z̄)T
∇(gX+hY ) Z = (∇
¯ X̄ Z̄ + h̄∇
¯ Ȳ Z̄)T
= (ḡ ∇
¯ Ȳ Z̄)T
¯ X̄ Z̄)T + (h̄∇
= (ḡ ∇
= g∇X Z + h∇Y Z

¯ X̄ (Ȳ + Z̄))T
∇X (Y + Z) = (∇
¯ X̄ Ȳ + ∇
¯ Ȳ (Z̄)T
= (∇
¯ X̄ Ȳ )T + (∇
¯ Ȳ (Z̄)T
= (∇
= ∇X Y + ∇X Z
26

¯ X̄ (ḡ Ȳ ))T
∇X (gY ) = (∇
¯ X̄ Ȳ + X̄(ḡ)Ȳ )T
= (ḡ ∇
¯ X̄ Ȳ )T + (X̄(ḡ)Ȳ )T
= (ḡ ∇
= g∇X Y + X(g)Y
Agora mostraremos a simetria e a compatibilidade com a métrica de M , induzida por f .
Com efeito,
∇X Y − ∇Y X = (∇X̄ Ȳ − ∇Ȳ X̄)T = [X̄, Ȳ ]T = [X, Y ],
onde a última igualdade é devida a (Proposição 13.4 de [9]). Para a compatibilidade, temos
XhY, Zi = X̄hȲ , Z̄i
¯ X̄ Ȳ , Z̄i + hȲ , ∇
¯ X̄ Z̄i
= h∇
¯ X̄ Ȳ )T + (∇
¯ X̄ Ȳ )⊥ , Zi + hY, (∇
¯ X̄ Z̄)T + (∇
¯ X̄ Z̄)⊥ i,
= h(∇
¯ X̄ Z̄)⊥ i = 0, temos
¯ X̄ Ȳ )⊥ , Zi = hY, (∇
como h(∇
¯ X̄ Ȳ )T , Zi + hY, (∇
¯ X̄ Z̄)T i
XhY, Zi = h(∇
= h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi.
¯ X̄ Ȳ )T é compatı́vel com a métrica de M .
Portanto, pelo Corolário 1.3 (∇
Definição 1.15 Sejam f : M → M̄ uma imersão e X, Y campos locais definidos em U ⊂ M .
A aplicação α : X (U ) × X (U ) → X (U )⊥ dada por
¯ X̄ Ȳ − ∇X Y,
α(X, Y ) = ∇
é chamada a segunda forma fundamental da imersão f , onde X (U )⊥ é o conjunto dos campos
diferenciáveis em U normais a f (U ), que o identificamos com U .
¯ X̄ Ȳ − ∇X Y é bilinear e simétrica.
Proposição 1.16 A aplicação α(X, Y ) = ∇
Demonstração. Ver [5], página 140.
→
−
Definição 1.16 O traço da segunda forma fundamental, tr α =: H , é chamado de vetor
−
1 →
curvatura média e H := | H | é chamada de curvatura média de M , onde n é a dimensão
n
de M . Quando H ≡ 0 diz-se que a imersão f : M → M̄ é mı́nima.
O seguinte resultado, devido a Gauss, relaciona as geometrias intrı́nseca e extrı́nseca:
Teorema 1.17 (Gauss) Sejam p ∈ M e x, y vetores ortonormais de Tp M . Então
KM (x, y) − KM̄ (x, y) = hα(x, x), α(y, y)i − |α(x, y)|2
Demonstração. Ver [5], página 143.
27

Capı́tulo 2
Divergente, Gradiente, Hessiana e
Laplaciano em variedade Riemanniana
Nesse capı́tulo trabalharemos com o gradiente, o laplaciano e o hessiano de funções
definidas em variedade e com o divergente de campos de vetores em variedades, onde discutiremos alguns resultados relevantes, os quais serão utilizados nessa dissertação.

2.1

Gradiente e Divergente

Sejam M uma variedade Riemanniana e p ∈ M . Considere uma função f de classe C 1
definida numa vizinhança de p e ξ ∈ Tp M . Definimos a derivada direcional de f em p na
direção de ξ, denotada por ξ(f ), por
ξ(f ) = (f ◦ ω)0 (0),
onde ω(t) é um caminho em M satisfazendo ω(0) = p e ω 0 (0) = ξ. A aplicação de Tp M → R
dada por ξ → ξ(f ) é linear. Além disso, para funções f, h ∈ C 1 temos
ξ(f + h) = ξ(f ) + ξ(h);
ξ(f h) = ξ(h)f + f ξ(h).

Definição 2.1 Dada uma função f ∈ C k , k ≥ 1 sobre M , o gradiente de f , denotado por
gradf , é um campo de vetores sobre M definido pela seguinte relação
hgradf, ξi = ξ(f ),
para todo ξ ∈ T M .
Para funções f, h ∈ C 1 temos
grad (f + h) = grad f + grad h;
grad (f h) = h grad f + f grad h.
28

Proposição 2.1 Seja f : M → R uma função suave. Dados p ∈ M e ξ ∈ Tp M , seja
ω : (−ε, ε) → M um caminho em M tal que ω(0) = p e ω 0 (0) = ξ. Então
hgrad f, ξi =

d
(f ◦ ω)(t)
.
dt
t=0

Além disso, se p é ponto de máximo ou de mı́nimo local para f , então grad f (p) = 0.
Demonstração. A afirmação
hgrad f, ξi =

d
(f ◦ ω)(t)
,
dt
t=0

é a definição de derivada direcional.
Para a segunda parte, suponha que p é ponto de máximo ou de mı́nimo para f . Então
existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que f (p) ≥ (f (q)) para todo q ∈ U . Seja ξ ∈ Tp M e
ω : (−ε, ε) → U tal que ω(0) = p e ω 0 (0) = ξ, então f ◦ ω tem um máximo ou um mı́nimo
em 0. Portanto
d
hgrad f, ξi = (f ◦ ω)(t)
= 0.
dt
t=0
Como ξ ∈ Tp M é arbitrário, temos que grad f (p) = 0.
Proposição 2.2 Seja Ep = {v ∈ Tp M ; expp (tv) ∈ M \Cut(p), ∀ 0 ≤ t ≤ 1}, então expp :
Ep → M \Cut(p) é um difeomorfismo.
Demonstração. Obviamente expp (Ep ) = M \Cut(p). Seja q ∈ M \Cut(p), então pelo
corolário 1.12 existe uma única geodésica minimizante γ(t) = expp (tv) normalizada ligando
p = γ(0) a q = γ(1) e q não é conjugado a p ao longo de γ. Portanto v ∈ Tp M não é
ponto crı́tico da expp e, portanto é um difeomorfismo local sobre M \Cut(p). Agora, basta
mostrarmos que expp é injetiva. Suponha que existam v, w ∈ Ep , tais que γ(t) = expp (tv)
e γ̄(t) = expp (tw) ligam p a q = γ(1) = γ̄(1). Como q ∈
/ Cut(p) segue que ao menos
uma dentre γ̄ e γ, digamos γ, não é minimizante até q. Assim, existe 0 < t0 < 1 tal que
γ(t0 ) = expp (t0 v) ∈ Cut(p), contradizendo o fato de v pertencer a Ep .
Teorema 2.3 Seja γ : [0, a] → M \ Cut (p) uma geodésica normalizada partindo de p. Então
grad r(γ(t)) = γ 0 (t), ∀ 0 < t ⩽ a,
onde r(q) = d(p, q) é a função distância a partir de p. Além disso, |grad r| = 1.
Demonstração. Primeiro observamos que, se r : M \Cut(p) → R+ é a função distância a
partir de p, então a função r ◦ expp : Ep → R+ é dada por
(r ◦ expp )(v) = d(p, expp (v)) = |v|,
29

é diferenciável em Ep \ 0.
Agora seja γ(t) = expp (tv), 0 ≤ t ≤ a e q = γ(t0 ). Se w ∈ Tp M , com w ⊥ γ 0 (t0 ) =
d(expp )t0 v (v), pela Proposição 2.2 expp é um difeomorfismo e, portanto d(expp )t0 v é isomorfismo, assim existe um W ∈ Tv (Tp M ) tal que d(expp )t0 v (W ) = w e pelo Lema de Gauss
0 = hγ 0 (t0 ), wi = hd(expp )t0 v (v), d(expp )t0 v (W )i = hv, W i.
Consideremos α : (−ε, ε) → Ep tal que |α(s)| = t0 , α(0) = t0 v e α0 (0) = W . Então pela
unicidade da geodésica minimizante que liga expp (α(s)) a p tem-se que
r(expp (α(s)) = t0 ,
e daı́ temos
0 = hgrad r(q), d(expp )t0 v W i = hgrad r(q), wi.
Como a igualdade acima vale para todo w ⊥ γ 0 (t0 ), segue que grad r(q) é um múltiplo de
γ 0 (t0 ). Por outro lado r(γ(t)) = t para 0 ≤ t ≤ a, temos
hgrad r(γ(t)), γ 0 i = 1,

∀ 0 < t ≤ a,

e daı́ grad r(γ(t)) = γ 0 (t) para 0 < t ≤ a. Além disso, sendo γ normalizada temos
|grad r| = |γ 0 | = 1.
Agora escreveremos o gradiente em função da métrica de M . Assim, se x : U ⊂ Rn → M
é uma carta, a ela estão associados n campos de vetores coordenados, que denotaremos por
∂j , j = 1, . . . , n, que formam uma base do Tp M . Assim, se ξ ∈ Tp M podemos escrever
ξ=

n
X

aj ∂ j ,

j=1

e portanto
ξ(f ) =

n
X

aj ∂j (f ),

j=1

onde ∂j (f ) é a derivada direcional de f na direção de ∂j .
Dada uma métrica Riemanniana, sejam
gjk = h∂j , ∂k i,

G = (gjk ),
−1

g = det G,

G

30

= (g jk ),

(2.1)

onde j, k = 1, . . . , n. Então
hgradf, ξi = ξ(f ) =

n
X

aj ∂j (f ) =

j=1

=

n
X

aj gjk g kl ∂l (f )

j,k,l=1
n
X

aj h∂j , ∂k ig kl ∂l (f )

j,k,l=1

=

* n
X

aj ∂j ,

j=1

*
=

ξ,

n
X

n
X

+
(g kl ∂l (f ))∂k

k,l=1

+
(g kl ∂l (f ))∂k

.

k,l=1

Portanto,

grad f =

n
X

g kl ∂l (f )∂k .

(2.2)

k,l=1

Se a base ∂j , j = 1, . . . , n, de Tp M for ortonormal o grad f pode também ser expresso por
grad f =

n
X

∂k (f )∂k .

(2.3)

i=1

Com efeito, g kl = δkl em (2.2).
Definição 2.2 Dado o campo de vetores X ∈ C k , k ≥ 1, sobre M , a divergência de X
denotada por divX, é a função definida por
(divX)(p) := traço (Y → ∇Y X(p)),
onde ∇ é a conexão Riemanniana de M .
Para f ∈ C k , k ≥ 1, e campos de vetores X, Y ∈ C k , k ≥ 1, temos
div(X + Y ) = divX + divY ;
div(f X) = f divX + hgrad f, Xi.

(2.4)

Lema 2.1 Sejam M uma variedade Riemanniana imersa em M̄ e X um campo de vetores
em M̄ , denote por X T e X ⊥ as componentes tangente e normal de X, com respeito a M ,
então
D→
E
−
divM X = divM X T + H , X ,
→
−
onde H é o vetor curvatura média.
31

Demonstração.
divM X = divM (X T + X ⊥ )
= divM X T + divM X ⊥
n
X
T
¯ e X ⊥ , ei i
= divM X +
h∇
i
= divM X T +

i=1
n
X

¯ e ei , X ⊥ i
h−∇
i

i=1

= divM X T −

n
X

hα(ei , ei ), X − X T i

Di=1
E
→
−
= divM X − H , X
T

2.2

Laplaciano e Hessiana

Definição 2.3 Para toda função f ∈ C k , k ≥ 2, sobre M o laplaciano de f , denotado por
∆f , é definido por
∆f := div(grad f ).
Para funções f e h temos
div(h(grad f )) = h∆f + hgrad h, grad f i;
∆(f + h) = ∆f + ∆h;
∆(f h) = h(∆f ) + 2hgrad f, grad hi + f (∆h).
Definição 2.4 Seja f : M n → R uma função de classe C 2 . A hessiana de f é a forma
bilinear e simétrica Hessf : X (M ) × X (M ) → D(M ), definida para X, Y ∈ X (M ) por
Hessf (X, Y ) = X(Y (f )) − ∇X Y (f ).
A simetria e bilinearidade da hessiana segue das propriedades da conexão Riemanniana de
M . De fato, a simetria da hessiana segue da simetria da conexão,
∇X Y (f ) − ∇Y X(f ) = [X, Y ](f ) = X(Y (f )) − Y (X(f )),
assim
Hessf (X, Y ) = X(Y (f )) − ∇X Y (f ) = Y (X(f )) − ∇Y X(f ) = Hessf (Y, X).
32

Para a bilinearidade, temos
Hessf (X + Z, Y ) = (X + Z)(Y (f )) − ∇X+Z Y (f )
= X(Y (f )) + Z(Y (f )) − ∇X Y (f ) − ∇Z Y (f )
= (Hessf )p (X, Y ) + (Hessf )p (Z, Y );

Hessf (X, Y + Z) = X((Y + Z)(f )) − ∇X (Y + Z)(f )
= X(Y (f )) + X(Z(f )) − ∇X Y (f ) − ∇X Z(f )
= Hessf (X, Y ) + Hessf (X, Z).
Sabemos que a toda forma bilinear simétrica B : E × E → R está associado um operador
auto-adjunto A tal que
B(a1 , a2 ) = hA(a1 ), a2 i,
onde E é um espaço vetorial com produto interno de dimensão finita, em particular o operador
auto-adjunto associado a forma hessiana é o operador hessiano
(Hessf )p : Tp M → Tp M.
Agora veremos que regra define o operador (Hessf )p . Com efeito, para X, Y ∈ X (M ) quaisquer
h(Hessf )p (X), Y i = Hessf (X, Y )
= X(Y (f )) − ∇X Y (f )
= X(hY, grad f i) − ∇X Y (f )
= X(hY, grad f i) − h∇X Y, grad f i
= h∇X Y, grad f i + hY, ∇X grad f i − h∇X Y, grad f i
= hY, ∇X grad f i ,
portanto
(Hessf )p (X) = ∇X gradf (p).

(2.5)

Lema 2.2 Seja f : M → R uma função suave. Se γ : (−ε, ε) → M é uma geodésica em M ,
então
d2
(Hessf )γ(t) (γ 0 (t), γ 0 (t)) = 2 (f ◦ γ)(t).
dt

33

Demonstração. Basta observar que
(Hessf )γ(t) (γ 0 (t), γ 0 (t)) = h∇γ 0 (t) grad f, γ 0 (t)i


d
Dγ 0 (t)
0
= hgrad f, γ (t)i − grad f,
dt
dt
d
= hgrad f, γ 0 (t)i
dt
d2
= 2 (f ◦ γ)(t).
dt

A última igualdade é devida a Proposição 2.1.
Lema 2.3 Se f : M n → R é uma função de classe C 2 . Então
∆f = tr(Hess)p .
Demonstração. Seja {e1 , . . . , en } uma base em Tp M , então
n
X
tr(Hessf )p =
h(Hessf )p (ei ), ei i

=

i=1
n
X

h∇ei grad f, ei i

i=1

= div(grad f ) = ∆f.

Agora, com objetivo de demonstrarmos o teorema de comparação do hessiano, definiremos
a forma do ı́ndice de uma geodésica.
Seja γ : [0, a] → M n uma geodésica. Indicaremos por V(0, a) = V o espaço vetorial
formado por campos vetoriais V ao longo de γ, diferenciáveis por partes e tais que V (0) =
V (a) = 0.
Definição 2.5 A forma do ı́ndice de γ é a forma bilinear simétrica Ia definida em V por
Z a
Ia (V, W ) =
(hV 0 , W 0 i − hR(γ 0 , V )γ 0 , W i)dt.
(2.6)
0

Em particular se J ∈ V é um campo de Jacobi ao longo de γ, então
Ia (J, J) = hJ 0 , Ji(a).

34

(2.7)

De fato,
Z a
Ia (J, J) =

(hJ 0 , J 0 i − hR(γ 0 , J)γ 0 , Ji)dt

0

Z a
=

(hJ 0 , J 0 i + hJ 00 , Ji)dt

Z0 a

d 0
hJ , Jidt
0 dt
= hJ 0 , Ji(a).

=

Proposição 2.4 Sejam M n uma variedade Riemanniana completa e γ : [0, a] → M uma
geodésica normalizada partindo de p e que não intersecta o Cut(p). Se 0 < t0 ≤ a e X ∈
Tγ(t0 ) M é ortogonal a γ 0 (t0 ), então
(Hess r)γ(t0 ) (X, X) = hJ 0 , Ji(t0 ),

(2.8)

onde J é o campo de Jacobi ao longo de γ tal que J(0) = 0 e J(t0 ) = X.
Demonstração. Como o Cut(p) é fechado em M , podemos tomar uma geodésica α :
(−ε, ε) → M \ Cut(p) tal que α(0) = γ(t0 ) e α0 (0) = X. Sendo α geodésica temos pelo
Lema 2.2 que
(Hess r)γ(t0 ) (X, X) = (r ◦ α)00 (0).
(2.9)
Seja β = ((expp )|Ep )−1 ◦ α : (−ε, ε) → Ep e φ : (−ε, ε) × [0, t0 ] → M \ Cut(p) a variação da
geodésica γ|[0,t0 ] dada por


t
β(s) ,
φ(s, t) = expp
t0
com campo variacional, de Jacobi, J. De φ(s, 0) = p para todo s temos J(0) = 0; de
(s, t0 )|s=0 = α0 (0) = X. Como X ⊥ γ 0 (t0 ), segue que J ⊥ γ 0
φ(s, t0 ) = α(s), temos J(t0 ) = ∂φ
∂s
ao longo de γ e consequentemente hJ 0 , γ 0 i = 0.
Por outro lado, sendo E : (−ε, ε) → R o funcional energia de φ (ver [5] pág. 214), segue
que
Z t0
∂φ
(r ◦ α)(s) = l(φs ) =
(s, t) dt
∂t
0
!1/2
Z t0
2
√
∂φ
≤ t0
(s, t) dt
∂t
0
√
= t0 E(s)1/2 ,
onde na segunda igualdade usamos o fato de φs estar parametrizada proporcionalmente ao
comprimento de arco. Portanto,
√
t0
0
(r ◦ α) (s) = l(φs ) =
E(s)−1/2 E 0 (s)
2
35

e

√
√
t0
t0
−3/2 0
2
(r ◦ α) (s) = −
E(s)
E (s) +
E(s)−1/2 E 00 (s).
4
2
Pela a fórmula da primeira variação da energia (ver [5] pág. 215)

Z t0 
Dγ 0
1 0
J,
E (0) = −
dt + hJ, γ 0 i|t00 = 0,
2
dt
0
00

(2.10)

uma vez que J ⊥ γ 0 . Logo, aplicando a fórmula da segunda variação da energia (ver [5] pág.
218) em (2.10), obtém-se
√
t0
00
(r ◦ α) (0) =
E(0)−1/2 E 00 (0)
√2
√

t0
t0
=
.
. 2 It0 (J, J) + hJ 0 , γ 0 i|t00
2 r(γ(t0 ))
= It0 (J, J) = hJ 0 , Ji(t0 ).
Logo por (2.9)
(Hess r)γ(t0 ) (X, X) = hJ 0 , Ji(t0 ).

Teorema 2.5 (Lema do Índice) Sejam M n uma variedade Riemanniana e γ : [0, a] → M
uma geodésica tal que para todo t ∈ (0, a] γ(t) não é conjugado a γ(0) ao longo de γ. Se V
é um campo diferenciável por partes e J um campo de Jacobi ao longo de γ, com V (0) =
J(0) = 0 e V (t0 ) = J(t0 ) para t0 ∈ (0, a], então
It0 (V, V ) ≥ It0 (J, J),
além disso, ocorre a igualdade se, e somente se, V (t) = J(t) para todo t ∈ [0, a].
Demonstração. Se J é o espaço vetorial dos campos de Jacobi ao longo de γ com J(0) = 0,
então a dim J = n, pelo isomorfismo
J → Tγ(0) M
J 7→ J 0 (0).
Como para J ∈ J tem-se hJ, γ 0 i(t) = hJ 0 (0), γ 0 (0)it, segue que hJ, γ 0 i ≡ 0 ⇔ hJ 0 (0), γ 0 (0)i =
0. Podemos então tomar uma base {J1 , . . . , Jn−1 , Jn = tγ 0 (t)} de J , tal que hJi , γ 0 i ≡ 0 para
1 ≤ i ≤ n − 1. Sejam α1 , . . . , αn−1 ∈ R tais que
J=

n−1
X
i=1

36

αi Ji .

Como γ(t) não é conjugado a γ(0) ao longo γ, para 0 < t ≤ a, temos que {J1 (t), . . . , Jn−1 (t)}
é base do (span{γ 0 (t)})⊥ ⊂ Tγ(t) M , para t ∈ (0, a]. Mas
Ji (t) = (d expγ(0) )tγ 0 (0) tJi0 (0) = t (d expγ(0) )tγ 0 (0) Ji0 (0) = tAi (t),
|
{z
}
Ai (t)

com Ai (0) = Ji0 (0) e An (t) = γ 0 (t), de modo que {A1 (t), . . . , An−1 (t)} é base do (span{γ 0 (t)})⊥
⊂ Tγ(t) M , para 0 ≤ t ≤ a. Segue que existem funções β1 , . . . , βn : [0, a] → R, diferenciáveis
por partes tais que βi (0) = 0 para 1 ≤ i ≤ n e
n
X

V (t) =

βi (t)Ai (t), ∀ t ∈ [0, a].

i=1

Mas para 0 ≤ i ≤ n e 0 ≤ t ≤ a, temos
Z t
Z 1
Z 1
0
0
βi (s)ds =
βi (tτ )tdτ = t
βi0 (tτ )dτ ,
βi (t) =
0
0
}
| 0 {z
bi (t)

onde cada bi é diferenciável por partes em [0, a], assim
V (t) =

n
X

bi (t)Ji (t), ∀ t ∈ [0, a]

i=1

e observe que
V (t0 ) = J(t0 ) ⇒ bi (t0 ) = αi , ∀ i ∈ [1, n].

0

0

Como It0 (J, J) = hJ , Ji(t0 ) e V =

n
X

(2.11)

(b0i Ji + bi Ji0 ) onde V for diferenciável, temos

i=1

Z t0
It0 (V, V ) =

[hV 0 , V 0 i − hR(γ 0 , V )γ 0 , V i]dt

0

=

n Z t0
X
i,j=1

=

0

n Z t0
X
i,j=1

[hb0i Ji + bi Ji0 , b0j Jj + bj Jj0 i − hbi R(γ 0 , Ji )γ 0 , bj Jj i]dt
| {z }
−Ji00

[|b0i Ji |2 + hb0i Ji , bj Jj0 i + hbi Ji0 , b0j Jj i + hbi Ji0 , bj Jj0 i + hbi Ji00 , bj Jj i]dt.

0

Por outro lado
d
hbi ji0 , bj Jj i = hb0i ji0 + bi ji00 , bj Jj i + hbi ji0 , b0j Jj + bj Jj0 i
dt
= hb0i ji0 , bj Jj i + hbi ji00 , bj Jj i + hbi ji0 , b0j Jj i + hbi ji0 , bj Jj0 i
37

Donde
It0 (V, V ) =

n Z t0 
X
i,j=1

|b0i Ji |2 + hb0i Ji , bj Jj0 i − hb0i ji0 , bj Jj i +

0


d
0
hbi ji , bj Jj i dt
dt

Agora afirmamos que
hJi0 , Jj i = hJi , Jj0 i, para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ n e t ∈ [0, a].
De fato, sendo φ(t) = hJi0 , Jj i − hJi , Jj0 i temos φ(0) = 0 e
φ0 (t) = hJi00 , Jj i − hJi , Jj00 i = −hR(γ 0 , Ji )γ 0 , Jj i + hJi , R(γ 0 , Jj )γ 0 i = 0,
logo φ ≡ 0. Segue de (2.11) e da afirmação acima que
It0 (V, V ) =
≥
=

n Z t0
X

|b0i Ji |2 dt +

0

i=1
n
X

n Z t0
X
d
i,j=1

0

dt

hbi Ji0 , bj Jj idt

(2.12)

hbi Ji0 , bj Jj i|t00

i,j=1
n
X

hαi Ji0 (t0 ), αj Jj (t0 )i

i,j=1

= It0 (J, J).
Para a igualdade, é imediato de (2.12) que devemos ter b0i (t) = 0 para t ∈ (0, t0 ] onde V for
diferenciável. Portanto, bi (t) = αi para t ∈ [0, t0 ] por continuidade, logo
V (t) = αi Ji (t) = J(t), ∀ t ∈ [0, t0 ].

Teorema 2.6 (Comparação do Hessiano) Sejam M n e M̄ n variedades Riemannianas
completas e γ : [0, a] → M e γ̄ : [0, a] → M̄ geodésicas normalizadas que não intersectam
respectivamente Cut (γ(0)) e Cut (γ̄(0)). Se
KM (γ 0 (t), X) ⩽ KM̄ (γ̄ 0 (t), X̄),
para todo t ∈ [0, a], X ∈ Tγ(t) M e X̄ ∈ Tγ̄(t) M̄ , unitários e ortogonais respectivamente a γ 0 (t)
e γ̄ 0 (t), e r e r̄ são respectivamente as funções distância em M e M̄ a partir de γ(0) e γ̄(0).
Então para 0 < t ⩽ a,
(Hess r)γ(t) (X, X) ≥ (Hess r̄)γ̄(t) (X̄, X̄).
Além disso, vale a igualdade se e só se KM (γ 0 (t), X) = KM̄ (γ̄ 0 (t), X̄).
38

Demonstração. Fixe 0 < t0 ≤ a. Pela Proposição 2.4, temos
(Hess r)γ(t0 ) (X, X) = hJ 0 , Ji(t0 ),
onde J é o campo de Jacobi ao longo de γ tal que J(0) = 0 e J(y0 ) = X. Em particular
hJ, γ 0 i = 0 em [0, t0 ]. Analogamente
¯ 0 ),
(Hess r̄)γ̄(t0 ) (X̄, X̄) = hJ¯0 , Ji(t
¯ = 0 e J(t
¯ 0 ) = X̄, com hJ,
¯ γ̄ 0 i = 0 em
onde J¯ é o campo de Jacobi ao longo de γ̄ tal que J(0)
[0, t0 ]. Como γ̄ não encontra o Cut(γ̄(0)) em (0, t0 ], segue que γ̄(t) não é conjugado a γ̄(0)
ao longo de γ̄, para t ∈ (0, t0 ]. Portanto, pela parte (b) do teorema de Rauch
|J(t0 )|2 ¯0 ¯
(Hess r)γ(t0 ) (X, X) = hJ 0 , Ji(t0 ) ≥ ¯
hJ , Ji(t0 )
|J(t0 )|2
|X|2
=
(Hess r̄)γ̄(t0 ) (X̄, X̄)
|X̄|2
= (Hess r̄)γ̄(t0 ) (X̄, X̄).
Pela Observação 1.14, do teorema de Rauch, a igualdade vale se e só se KM (γ 0 (t), X) =
KM̄ (γ̄ 0 (t), X̄).
Teorema 2.7 Seja Rn munido com a métrica g, que pode ser escrita em coordenadas polares
como
dr2 + f 2 (r)dw2
onde f é uma função suave, dw2 é a métrica canônica sobre Sn−1 e r(x) = d(x, 0), onde d é
a função distância. Então para x = rw, r > 0, w ∈ Sn−1 ,
Hess r(x) =

f 0 (r)
(g − dr ⊗ dr)
f (r)

além disso,
∆r(x) = (n − 1)

f 0 (r)
.
f (r)

∂
Demonstração. Usando que as curvas r → rw são geodésicas para w fixado e que ∂r
é o
campo velocidade, então pela definição de hessiana


∂ ∂
∂ ∂
∂
Hess r
,
=
(r) − ∇ ∂
(r)
(2.13)
∂r
∂r ∂r
∂r ∂r
∂r
∂
(1) = 0
=
∂r

39

∂
Se X é um campo ortogonal a ∂r
, então






∂
∂
∂
∂
, X = Hess r X,
=X
(r) − ∇X (r),
Hess r
∂r
∂r
∂r
∂r

pela Proposição 2.3 grad r =

∂
e, portanto
∂r
∂
∇X (r) =
∂r



∂ ∂
∇X ,
∂r ∂r


,

ainda pela Proposição 2.3


∂ ∂
,
∂r ∂r



∂ ∂
,
∂r ∂r



= 1,

assim,

0=X



∂ ∂
= 2 ∇X ,
.
∂r ∂r

∂
,
∂r

 

∂
∂ ∂
Hess r
, X = ∇X ,
= 0.
∂r
∂r ∂r

Portanto, quando X é ortogonal a

(2.14)

Agora consideremos os campos de vetores X e Y que são tangentes ao conjunto de nı́vel
r = c, onde c é uma constante positiva. Então X(r) = Y (r) = 0 e


∂
Hess r(X, Y ) = −∇X Y (r) = − ∇X Y,
.
∂r
Como Y é ortogonal a

∂
, temos por (1.3) que
∂r


∂
Hess r(X, Y ) = Y, ∇X
.
∂r




∂
∂
∂
Seja
, para i = 1, . . . , n−1, campos de vetores coordenados sobre Sn−1 e
=
∂xi
∂xn
∂r
o campo normal a superfı́cie r = c. Então para 1 ≤ i, j ≤ n − 1,
+

 
 *X
X
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Hess r
,
=
,∇ ∂
=
Γsjn
,
=
Γsjn gsi ,
(2.15)
∂xj ∂x
∂xi ∂xj
∂xi
∂x
∂x
i
s
i
s
s
40

onde Γsjn , são os sı́mbolos de Christoffel dados por
1
Γsjn =

X ∂

2

Como gni =

D

∂
, ∂
∂r ∂xi

E


∂
∂
gnk +
gkj −
gjn g ks .
∂xj
∂xn
∂xk

k

= 0 para todo = 1, . . . , n − 1, temos

1
Γsjn =

X ∂

2



∂xn

k

gkj g ks .

como g(r, w) = dr2 + f (r)2 dw2 , temos que
g ks = f −2 (dw2 )ks e

∂
∂
gkj =
gkj = 2f f 0 (dw2 )kj .
∂xn
∂r

Portanto
Γsjn =

X f0
k
0

=

f

(dw2 )kj (dw2 )ks

f
δsj
f

Voltando a (2.15), temos que

Hess r

∂
∂
,
∂xi ∂xj

Por linearidade, se X e Y são ortogonais a



X f0

δsj gsi
f
s


f0
∂
∂
=
,
.
f ∂xi ∂xj

=

∂
, temos
∂r

Hess r(X, Y ) =

f0
g(X, Y ).
f

Agora sejam X e Y campos de vetores quaisquer, os quais podemos escrever como
∂
,
∂r
∂
Y = Y1 + β
∂r

X = X1 + α

onde X1 e Y1 são ortogonais a

∂
, consequentemente
∂r
41

(2.16)



∂
g X,
=α e
∂r


∂
g Y,
= β.
∂r
Pela linearidade da hessiana e as equações (2.13), (2.14) e (2.16) temos




∂
∂
+ αHess r
, Y1 +
Hess r(X, Y ) = Hess r(X1 , Y1 ) + βHess r X1 ,
∂r
∂r


∂ ∂
+ αβHess r
,
∂r ∂r
= Hess r(X1 , Y1 )
f0
= g(X1 , Y1 )
f


f0
∂
∂
= g X − α ,Y − β
f
∂r
∂r







0
∂ ∂
f
∂
∂
=
, Y + αβg
,
g(X, Y ) − βg X,
− αg
f
∂r
∂r
∂r ∂r
f0
= [g(X, Y ) − αβ]
f


 

f0
∂
∂
=
g(X, Y ) − g X,
g Y,
f
∂r
∂r
0
f
= (g(X, Y ) − dr ⊗ dr(X, Y )).
f
Para a segunda parte temos que,


 

n
X
f0
∂
∂
f0
∆r(x) = tr(Hess r(x)) =
g(ei , ei ) − g ei ,
g ei ,
= (n − 1) ,
f
∂r
∂r
f
i=1
onde e1 , . . . , en =

∂
é uma base ortonormal.
∂r

Em particular, tomando a métrica dr2 + s2δ (r)dw2 , onde sδ é solução do sistema
(
y 00 + δy = 0
y(0) = 0, y 0 (0) = 1
temos que
Hess r(X, Y ) =

s0δ (r)
(g(X, Y ) − dr ⊗ dr(X, Y ))
sδ (r)
42

(2.17)

e

s0 (r)
∆rδ (x) = (n − 1) δ
= Hess rδ (ei , ei ),
sδ (r)

onde rδ é a função distância na variedade Mδ de curvatura seccional constante δ.

43

Capı́tulo 3
Limites Superiores Extrı́nsecos para λ1
Nesse capı́tulo provaremos o resultado principal dessa dissertação, que é uma generalização
do teorema de Reilly. No entanto, começaremos mostrando dois métodos de calcular os
autovalores do laplaciano, conhecidos como quociente de Rayleigh e o princı́pio do MinMax,
para os quais dedicamos a primeira seção.

3.1

Rayleigh e o método MinMax

Seja L2 (M ) o espaço das funções mensuráveis f sobre M tal que
Z
|f |2 dM < +∞.
M

Sobre L2 (M ) temos o produto interno usual, e a norma induzida, respectivamente dados por
Z
(f, g) :=
f h dM, kf k2 = (f, f )
M

para quaisquer f, h ∈ L2 (M ).
Nosso interesse é no seguinte problema de autovalores:
Problema fechado de autovalores: Seja M uma variedade Riemanniana compacta,
sem bordo e conexa. Determine todos os números reais λ tais que exista uma solução não
trivial, isto é, uma função não nula φ ∈ C 2 (M ) satisfazendo a EDP
∆φ + λφ = 0.

(3.1)

Os números λ são chamados de autovalores do laplaciano e o espaço vetorial das soluções
de (3.1) para um dado autovalor λ é chamado de autoespaço. Os elementos de cada autoespaço são chamados de autofunções.
Daqui em diante, por simplicidade, não usaremos o elemento de volume dM , no contexto
ficará implı́cito o seu uso.
44

Observe que, se φ satisfaz (3.1), então
R

|grad φ|2
≥ 0.
φ2
M

MR

λ=

De fato, multiplicando (3.1) por φ e integrando obtemos
R
Z
φ∆φ
R
(φ∆φ + λφ2 ) = 0 ⇒ λ = − M
φ2
M
M
como M não tem bordo, obtemos pela fórmula de Green
Z
Z
(f ∆h + hgrad f, grad hi) =
M

hν(f ),

(3.2)

(3.3)

∂M

onde ν denota o campo unitário normal exterior sobre ∂M , que
Z
Z
|grad φ|2 ,
φ∆φ = −
M

M

substituindo em (3.2), obtemos
R
λ=

|grad φ|2
.
φ2
M

MR

Agora para campos de vetores contı́nuos X, Y em M , definimos o produto interno
Z
(X, Y ) =
hX, Y idM,
M

com norma
2

Z

kXk =

|X|2 dM.

(3.4)

M

Identificaremos L2 (M ) como o conjunto dos campos de vetores mensuráveis sobre M (isto
é, campos de vetores cujas funções coeficientes, em uma carta, são mensuráveis) para os quais
a integral (3.4) é finita. Com o produto interno e a norma definidos acima, L2 (M ) é um
espaço de Hilbert.
Definição 3.1 Se f ∈ L2 (M ) dizemos que Y ∈ L2 (M ) é uma derivada fraca de f se
(Y, X) = −(f, divX)
para todo campo X com suporte compacto sobre M .
Lema 3.1 Se f é uma função de classe C 1 sobre uma variedade Riemanniana M e X é um
campo também de classe C 1 e com suporte compacto sobre M , então
(grad f, X) = −(f, divX).
45

Demonstração. Pela equação (2.4) temos que
Z
Z
Z
div(f X) =
f divX +
hgrad f, Xi,
M

M

M

R
mas pelo teorema da divergência M div(f X) = 0, logo
Z
Z
(grad f, X) =
hgrad f, Xi = −
f divX = −(f, divX).
M

M

Vamos denotar por H(M ) o subespaço de L2 (M ) (referido como o espaço de Sobolev, pois
é possı́vel mostrar que quando ∂M = ∅, H(M ) coincide com o espaço de Sobolev W 1,2 (M ))
consistindo das funções em L2 (M ) que possuem derivada fraca. Sobre H(M ) definimos o
produto interno
(f, h)1 = (f, h) + (grad f, grad h)
com norma associada,

kf k21 = kf k2 + kgrad f k2 .

(3.5)

É também conhecido que H(M ) é o completamento de
{f ∈ C ∞ (M ) : kf k1 < +∞}
na métrica induzida por (3.5). Além disso, como ∂M (quando não vazia) é C ∞ , temos que
C ∞ (M̄ ) é denso em H(M ) na métrica dada. No problema fechado de autovalores, H(M ) é
também conhecido como o espaço das funções admissı́veis.
Sobre H(M ) vamos considerar a forma bilinear simétrica, conhecida como integral de
Dirichlet ou da energia, dada por
D[f, h] = (grad f, grad h)

(3.6)

para f, h ∈ H(M ).
Lema 3.2 No problema fechado de autovalores , se φ ∈ C 2 (M ) é uma autofunção e f ∈
C ∞ (M ), então
(∆φ, f ) = −D[φ, f ].
Demonstração. Basta observar que sendo M compacto sem bordo, então da equação (3.3)
Z
Z
Z
(f ∆φ + hgrad f, grad φi) = 0 ⇒
f ∆φ = −
hgrad f, grad φi,
M

M

46

M

isto é

Z

Z
f ∆φ = −

(∆φ, f ) =
M

hgrad f, grad φi = −D[f, φ].
M

Agora temos todos os elementos necessários para o teorema de Rayleigh, que enunciamos
visando o problema fechado de autovalores:
Teorema 3.1 (Rayleigh) Seja M n uma variedade Riemanniana e considere o problema
fechado de autovalores tendo espaço de funções admissı́veis H(M ) e autovalores
λ1 ≤ λ2 . . . ,

(3.7)

onde cada autovalor é repetido o número de vezes igual a sua multiplicidade. Então para toda
f ∈ H(M ), f 6= 0, temos
D[f, f ]
λ1 ≤
,
(3.8)
kf k2
com igualdade se, e somente se, f é uma autofunção de λ1 . Se {φ1 , φ2 , . . .} é uma base
ortonormal de L2 (M ) tais que φj é uma autofunção de λj para cada j = 1, 2, . . . , então para
f ∈ H(M ), f 6= 0, satisfazendo
(f, φ1 ) = . . . = (f, φk−1 ) = 0,

(3.9)

temos a desigualdade
λk ≤

D[f, f ]
kf k2

(3.10)

com igualdade se, e somente se, f é uma autofunção de λk .
Demonstração. Ver [4], página 16.
Teorema 3.2 (Minmax) Dados v1 , . . . , vk−1 ∈ L2 (M ), seja


D[f, f ]
µ = inf
,
kf k2
onde f percorre os subespaços (exceto a origem) de funções em H(M ) ortogonais a v1 , . . . ,
vk−1 . Então para o problema de autovalores dado em (3.7) temos
µ ≤ λk .
Claramente, se v1 , . . . , vk−1 são ortogonais, com cada vi sendo autofunção de λi , i = 1, . . . , k−
1, então µ = λk .
Demonstração. Ver [4], página 17.

47

3.2

Resultados principais

Nessa última seção trabalharemos com os resultados que envolvem diretamente o primeiro
autovalor do laplaciano, λ1 . Nosso principal objetivo é provar os Teoremas 3.4 e 3.8. Para
isso provaremos alguns lemas técnicos que tornará a demonstração dos teoremas citados mais
didática. Iniciamos com uma pequena introdução do resultado obtido por Reilly:
seja M uma variedade Riemanniana n-dimensional compacta, conexa e imersa isometricamente em RN e λ1 (M ) o primeiro autovalor do operador laplaciano de M , Reilly mostrou
que
Z
n
λ1 (M ) ≤
H 2,
volM M
−
→
−
1 →
onde H = | H | é a curvatura média, H = tr α é o vetor curvatura média e α é a segunda
n
forma fundamental de M em RN . O resultado de Reilly melhora a seguinte estimativa, devida
a Bleecker e Weiner [1]
Z
n
λ1 (M ) ≤
|α|2 dM.
volM M
Que pode ser comprovada assim,
!2
2
n
n
X
X
1
1
α(ei , ei ) ≤
|α(ei , ei )|
nH 2 =
n i=1
n i=1
≤

n
X

|α(ei , ei )|2

i=1

≤

n
X

|α(ei , ej )|2 = |α|2 ,

i,j=1

onde a segunda desigualdade é devida a Cauchy-Schwarz e e1 , . . . , en é uma base ortonormal
do espaço tangente.
Como acima mencionado nosso objetivo nessa dissertação é estender a desigualdade de
Reilly para outros espaços M̄ , isto será feito de varias maneiras, por exemplo:
Teorema 3.3 Se M̄ é compacto então, existe c ∈ R tal que
Z
n
λ1 (M ) ≤ c +
H2
volM M
para toda variedade M compacta, conexa e imersa isometricamente em M̄ .
Demonstração. A prova segue de uma combinação da desigualdade de Reilly com o teorema
de Nash, Teorema 1.9. Por Nash temos que M̄ está imersa isometricamente num espaço
euclidiano RN . Consequentemente, M está imersa isometricamente em RN , assim
Z
n
e 2,
λ1 (M ) ≤
H
volM M
48

e é a curvatura média de M em RN . Se α̃, αM̄ denotam as segundas formas fundaonde H
mentais de M e M̄ em RN , respectivamente, então α̃ = α + αM̄ , onde α é a segunda forma
fundamental de M em M̄ . Com efeito, se α denota a segunda forma fundamental de M em
M̄ , então por definição para X, Y ∈ X (M ), X1 , Y1 suas extensões a M̄ , respectivamente, e
X 0 , Y 0 extensões a RN de X1 , Y1 , respectivamente e denotando por C a conexão Riemanniana
de RN temos que:
α̃(X, Y ) = CX 0 Y 0 − ∇X Y
α(X, Y ) = ∇X1 Y1 − ∇X Y
αM̄ (X1 , Y1 ) = CX 0 Y 0 − ∇X1 Y1 .
Portanto,
α(X, Y ) + αM̄ (X1 , Y1 ) = CX 0 Y 0 − ∇X Y = α̃(X, Y ),

(3.11)

e consequentemente
n

n

i=1

i=1

X
→
−
→
− X
H1 =
α̃(ei , ei ) = H +
αM̄ (ei , ei ),
→
−
onde H1 é o vetor curvatura média de M em RN e e1 , . . . , en é uma base ortonormal do
espaço tangente. Assim,
−
1
e 2 = 1 |→
H
H
|
=
1
n2
n2

*
+
n
n
→
− X
→
− X
H+
αM̄ (ei , ei ), H +
αM̄ (ei , ei )
i=1

i=1

* n
1 X

− →
−
1 →
= 2hH, Hi + 2
n
n
= H2 +

αM̄ (ei , ei ),

i=1

n
X

+
αM̄ (ei , ei )

i=1

2
+ 2
n

*
+
n
→
− X
H,
αM̄ (ei , ei )
i=1

2

n
X

1
α (ei , ei ) ,
n i=1 M̄

pois αM̄ (ei , ei ) é perpendicular a M̄ , consequentemente
*
+
n
→
− X
H,
αM̄ (ei , ei ) = 0,
i=1

assim
1
λ1 (M ) ≤
n volM

Z
M

n
X

2

n
αM̄ (ei , ei ) +
volM
i=1

Z

n
H ≤c+
volM
M
2

Z

H2

M

onde c := maxν∈S M̄ |αM̄ (ν, ν)| e S M̄ denota o fibrado tangente unitário. Isto completa a prova
do teorema.
O primeiro dos objetivos principais dessa dissertação é mostrar a seguinte extensão da
desigualdade de Reilly:
49

Teorema 3.4 Se KM̄ ≤ δ para algum δ ≥ 0 e se além disso M está em uma bola convexa
π
de raio r ≤ 4√
quando δ > 0, então
δ
Z
n
λ1 (M ) ≤ nδ +
H 2.
volM
Se vale a igualdade, então M é imersa minimamente em alguma esfera geodésica.
Para mostrarmos um caso particular do Teorema 3.4, vamos usar os dois resultados
seguintes:
Teorema 3.5 Duas variedades Riemannianas compactas 2-dimensional são homeomorfas
se, e somente se, elas têm a mesma caracterı́stica de Euler e são ambas orientáveis ou não
orientáveis.
Demonstração. Ver [10], página 33.
Teorema 3.6 Seja M uma superfı́cie de Riemann orientada de gênero g com área A. Então
λ1 ≤ 8π(g + 1)A−1 .
Demonstração. Ver [12], página 4.
Agora para n = 2, temos o seguinte caso particular do Teorema 3.4:
Proposição 3.7 Seja M homeomorfa a S2 e KM̄ ≤ δ para algum δ ∈ R. Então
Z
2
H 2.
λ1 (M ) ≤ 2δ +
volM M
Demonstração. Sendo M homeomorfa a S2 , segue que M tem dimensão 2, pelo Teorema
de Invariância da dimensão, e pelo Teorema 3.5 M e S2 têm a mesma caracterı́stica de
Euler e consequentemente o mesmo gênero g = 0. Usando o Teorema 3.6 temos
λ1 (M ) ≤

8π(g + 1)
8π
=
,
volM
volM

usando o teorema de Gauss-Bonnet
8π
2
λ1 (M ) ≤
=
volM
volM

Z
KM ,
M

onde KM denota a curvatura seccional de M .
Tendo M dimensão 2, então temos duas curvaturas principais k1 e k2 . Agora, observamos
que
0 ⩽ (k1 − k2 )2 = k12 − 2k1 k2 + k22
50

e portanto,
2k1 k2 ≤ k12 + k22 .
Mas,
(k1 + k2 )2 = k12 + 2k1 k2 + k22 ≥ 4k1 k2
logo,
(k1 + k2 )2
k1 k2 ≤
=
4



k1 + k2
2

2
.

Pelo teorema de Gauss KM (x, y) − KM̄ (x, y) = hα(x, x), α(y, y)i − |α(x, y)|2 , temos
KM (x, y) − KM̄ (x, y) ≤ hα(x, x), α(y, y)i = k1 k2

2
k1 + k2
≤
= H 2.
2
Portanto
KM (x, y) ≤ KM̄ (x, y) + H 2 ≤ δ + H 2 .
Logo
2
λ1 (M ) ≤
volM

Z

(δ + H 2 )
M Z
2
= 2δ +
H 2.
volM M

Nosso resultado mais geral quando δ < 0 é o seguinte:
Teorema 3.8 Se KM̄ ≤ δ para algum δ < 0 e M está em uma bola convexa, então
λ1 (M ) ≤ nδ + n max H 2 .

Agora, seja sδ a solução de
y 00 + δy = 0

(3.12)

com y(0) = 0, y 0 (0) = 1 e ponha cδ := s0δ . Então, c0δ = −δsδ e c2δ + δs2δ = 1. Para comprovar
esta última igualdade seja f (t) = (cδ (t))2 + δ(sδ (t))2 , então
f 0 (t) = 2cδ (t)c0δ (t) + 2δsδ (t)s0δ (t)
= −2δs0δ sδ + 2δs0δ sδ = 0,
51

portanto f é constante, e

f (0) = (cδ (0))2 + δ(sδ (0))2
= (s0δ (0))2 + δ(sδ (0))2
= 1,
pois s0δ (0) = 1 e sδ (0) = 0.
sδ (r)
1 R
cδ (r) − c
√
no caso δ > 0, onde c :=
·xi e
cδ (r) é constante, como
r
volM M
δ
funções teste no quociente de Rayleigh onde xi são as coordenadas normais de M̄ centrada
em algum ponto p0 ∈ M̄ e r = d(p0 , ·) é a distância a p0 . Assuma , que M está numa bola
π
se δ > 0. Em particular cδ ≥ 0. Seja
convexa em torno de p0 de raio menor ou igual 4√
δ
X := sδ (r)grad r, onde o gradiente é tomado em M̄ . Como, |grad r| = 1 temos
Vamos usar

|X|2 = s2δ (r)hgrad r, grad ri = s2δ (r),

logo
Z

2
Z X
n 
sδ (r)
xi
|X| = λ1 (M )
r
M
M i=1
2
Z X
n 


s
(r)
δ
 ,
gradM
x
≤
i


r
M i=1

s2δ (r) = λ1 (M )

λ1 (M )
M

Z

2

(3.13)

e a desigualdade é pelo quociente de Rayleigh.
No caso δ > 0
(cδ (r) − c)2
λ1 (M )
≤
δ
M
Z

Z

1
|gradM cδ (r)|2 .
δ
M

(3.14)

Aqui gradM denota o gradiente em M , isto é, a componente tangente do gradiente em M̄ .
Note, que grad cδ = −δX, com efeito
grad cδ (r) = grad s0δ (r)
= s00δ (r)grad r
= −δsδ grad r
= −δX,
e consequentemente gradM cδ = −δX T onde T denota a parte tangente.
52

Pelo teorema de Rayleigh, as desigualdades (3.13) e (3.14) são válidas apenas se
Z
Z
cδ (r) − c
sδ (r)
√
xi = 0.
=
r
δ
M
M
Com esse objetivo definimos
Z Z r(y,f (x))
1
δ
Pf (y) =
sδ (t)dtdx,
volM M 0
onde f : M → Br (p) ⊂ M̄ é uma imersão isométrica da variedade compacta M numa bola
convexa de M̄ e r(y, f (x)) é a função distância de y a f (x).
Para a próxima proposição, relembramos algumas definições:
Definição 3.2 Uma função g : R → R é chamada convexa se para todo a < b e s ∈ (0, 1)
temos
g((1 − s)a + sb) ≤ (1 − s)g(a) + sg(b).
A função g é chamada estritamente convexa se a desigualdade é estrita. Uma função f sobre
uma variedade Riemanniana M é (estritamente) convexa se para toda geodésica não trivial
γ : [0, 1] → M a função f ◦ γ é (estritamente) convexa. Um subconjunto A ⊂ M é chamado
convexo se para quaisquer p, q ∈ A existe uma única geodésica normalizada γ em M ligando
p a q com γ ⊂ A.
π
, então Pfδ tem um único
Proposição 3.9 Se KM̄ ≤ δ e B é a bola convexa de raio r ≤ 4√
δ
ponto mı́nimo em B, além disso, esse ponto mı́nimo está no interior de B.

Demonstração. Primeiramente calcularemos o gradiente de Pfδ . Como
Z Z r(y,f (x))
1
δ
Pf (y) =
sδ (t)dtdx,
volM M 0
usando o teorema fundamental do cálculo com a regra da cadeia e coordenadas normais com
y = expp (y1 , . . . , yn ) e f (x) = expp (f1 (x), . . . , fn (x)) temos
!1/2
n
X
r = r(y, f (x)) =
(yi − fi (x))2
.
i=1

Pela equação (2.3) grad Pfδ (y) =

n
X

∂i (Pfδ (y))∂i , assim temos que

i

1
volM

Z

1
volM

Z

1
=
volM

Z

∂i (Pfδ (y)) =

=

sδ (r)
M

sδ (r)
M

1
2
1
2

n
X

! 12 −1
(yi − fi (x))2

∂i

i=1
n
X

n
X

!
(yi − fi (x))2

i=1

!− 12
(yi − fi (x))2

i=1

sδ (r)
(yi − fi (x))dx.
r
M
53

2(yi − fi (x))dx

dx

Portanto,
grad Pfδ (y) =

n
X
i

1
volM
Z

1
=
volM

Z

sδ (r)
(yi − fi (x))dx∂i
r
M
n

sδ (r) X
(yi − fi (x))∂i dx.
r
M
i

Identificando os vetores

n
X

yi ∂i e

n
X

i

fi (x)∂i como pré-imagem da expy temos que

i
n
X

yi ∂i = exp−1
y (y) = 0

i

e
n
X

fi (x)∂i = exp−1
y (f (x)).

i

Portanto,
grad Pfδ (y) = −

1
volM

Z

sδ (r)
exp−1
y (f (x))dx.
r
M

Agora, pela compacidade de B, temos que Pfδ tem pelo menos um ponto mı́nimo em B.
Sendo
Pfδ (y) =

1
volM

Z Z r(y,f (x))
sδ (t)dtdx,
M

0

seja
Z r(y,f (x))
Ef (x) (y) :=

sδ (t)dt.
0

Então
grad Ef (x) (y) = sδ (r(y, f (x))). grad r(y, f (x))
sδ (r(y, f (x)))
=−
exp−1
y (f (x)).
r(y, f (x))

54

Agora, para X, Y ∈ X (M̄ ) temos pela equação (2.5) e por (iii) da definição de conexão
que
HessEf (x) (X, Y ) = h∇X grad Ef (x) , Y i
= h∇X sδ (r)grad r, Y i
= hsδ (r)∇X grad r + X(sδ (r))grad r, Y i
= sδ (r)h∇X grad r, Y i + X(sδ (r))hgrad r, Y i
= sδ (r)Hessr + hgrad sδ (r), Xihgrad r, Y i
= sδ (r)Hessr + s0δ (r)hgrad r, Xihgrad r, Y i
s0 (r)
≥ sδ (r) δ (hX, Y i − hgrad r, Xihgrad r, Y i) + s0δ (r)hgrad r, Xihgrad r, Y i
sδ (r)
0
= sδ (r)hX, Y i,
onde a desigualdade é devida ao teorema de comparação do hessiano, Teorema 2.6, e a
equação (2.17).
Agora sejam γ uma geodésica normalizada em B e φ(t) = Ef (x) (γ(t)), então
φ0 (t) = hgrad Ef (x) (γ(t)), γ 0 (t)i
e por (1.2)
00

φ (t) =




D
0
grad Ef (x) (γ(t)), γ (t) ,
dt

mas pelo item (iii) da Proposição 1.1
φ00 (t) = h∇γ 0 (t) grad Ef (x) (γ(t)), γ 0 (t)i
= HessEf (x) (γ(t))(γ 0 (t), γ 0 (t))
≥ s0δ (r)hγ 0 (t), γ 0 (t)i = cδ > 0,
portanto Ef (x) é estritamente convexa em B, consequentemente Pfδ também é, pois se γ é
uma geodésica normalizada em B, então ψ(t) = Pfδ (γ(t)) é tal que
Z
1
00
φ00 (t)dx ≥ 0.
ψ (t) =
volM M
Agora seja ȳ o ponto mı́nimo de Pfδ em B, observamos inicialmente que ȳ ∈
/ ∂B, pois na
∂B o campo
Z
1
sδ (r)
δ
grad Pf (y) = −
exp−1
y (f (x))dx
volM M r
aponta para dentro de B (observe que sδr(r) é sempre positivo em B) e portanto o grad Pfδ não
se anula na ∂B, logo ȳ está no interior de B. Para a unicidade, como ψ 00 (t) > 0 isso significa
55

que ψ 0 (t) é estritamente crescente, e portanto ψ 0 (t) anula-se em um único ponto para o qual
temos ȳ como ponto mı́nimo de Pfδ .
O ponto mı́nimo dado pela Proposição 3.9 é chamado de centro de massa de M em M̄ .
R sδ (r)
R
√
=
Lema 3.3 M cδ (r)−c
· xi = 0.
M r
δ
R
1
Demonstração. Sendo c = volM
c (r) constante, temos
M δ
Z
Z
(cδ (r) − c) =
cδ (r) − c. volM
M
M
Z
Z
1
cδ (r) −
cδ (r). volM = 0.
=
volM M
M
Para a segunda integral, temos pela Proposição 3.9 que Pfδ tem um único ponto mı́nimo
ȳ no interior de B e pela Proposição 2.1 grad Pfδ (ȳ) = 0. Assim tomando um sistema de
coordenadas normais (y1 , . . . , yn ) = exp−1
ȳ (y) em ȳ, obtemos
Z
sδ (r)
1
δ
exp−1
0 = grad Pf (ȳ) = −
ȳ (f (x))dx
volM M r
Z
sδ (r)
1
(f1 (x), . . . , fn (x))dx
=−
volM M r
onde r é a distância de f (x) a ȳ. Portanto
Z
sδ (r)
fi (x)dxi = 0.
r
M
Como fi (x) é identificado com xi , temos
Z
sδ (r)
xi dxi = 0.
r
M
O primeiro resultado que usaremos diretamente na demonstração dos Teoremas 3.4 e
3.8 é o seguinte
(i) divM X ≥ n · cδ ,
D →
−E
(ii) divM X T ≥ n · cδ + X, H .

Lema 3.4

Se KM ≡ δ, então vale a igualdade em (i) e em (ii).
Demonstração.
56

(i) Seja p ∈ M e e1 , . . . , en ∈ Tp M uma base ortonormal. Agora, observe que
divM X = divM (sδ grad r) = sδ divM (grad r) + hgrad sδ , grad ri
= sδ divM (grad r) + hs0δ grad r, grad ri
= sδ divM (grad r) + cδ |grad r|2 .
Mas,
divM (grad r) =

n
X

¯ e grad r, ei i
h∇
i

i=1

=

n
X

Hessr(ei , ei ) ≥ Hessrδ (e¯i , e¯i )

(3.15)

i=1

=
=

n
X
cδ (rδ )
i=1
n
X

sδ (rδ )

(he¯i , e¯i i − hgrad rδ , e¯i ihgrad rδ , e¯i i)

(3.16)

cδ (rδ )
(1 − hgrad rδ , e¯i i2 )
s
(r
)
i=1 δ δ

= (n − |grad rδ |2 )

cδ (rδ )
,
sδ (rδ )

onde a primeira desigualdade é devida ao teorema de comparação do hessiano, Teorema 2.6, a igualdade (3.16) é devida ao Teorema 2.7 e rδ é a função distância r
sobre a forma espacial de curvatura seccional δ. Portanto,
divM X ≥ cδ (rδ )(n − |grad rδ |2 ) + cδ (rδ )|grad r|2 = ncδ .

(3.17)

(ii) Usando o Lema 2.1
→
−E
divM X = divM X + X, H
D →
−E
≥ n · cδ + X, H .
D

T

Se KM ≡ δ, então temos igualdade em (3.15), pelo Teorema 2.6 e, consequentemente vale a
igualdade em (3.17) e em (ii).
As provas dos Teoremas 3.4 e 3.8 são inspiradas na prova de Reilly (o caso M̄ = Rn )
que essencialmente consiste em usar as funções coordenadas de Rn como funções teste no
quociente de Rayleigh e aplicar a fórmula de Minkowski. De fato, pelo teorema de Rayleigh,
Teorema 3.1
Z
Z
2
λ1 (M ) ·
f ≤
|grad f |2 ,
M

M

57

R
para toda função suficientemente suave f com M f = 0. Assim se 0 é o centro de massa de
M ⊂ Rn e xi são as funções coordenadas, então
Z
Z X
Z X
n
n
2
2
λ1
|X| = λ1
xi ≤
|gradM xi |2 = n · volM,
(3.18)
M

M i=1

M i=1

onde X é o campo de vetores posição. Sendo M̄ = Rn temos que KRn ≡ 0, pelo Lema 1.2,
e a equação (3.12) se torna y 00 = 0 cuja solução satisfazendo as condições iniciais é s0 = t,
assim c0 = 1. As desigualdades do Lema 3.4 se tornam igualdades, isto é divM X = nc0 = n
e
D→
E
−
divM X = divM X T − H , X
daı́,
Z
n volM =

Z D
E
→
−
H,X ,
divM X −

Z

T

divM X =
M

M

M

pelo teorema da divergência, a primeira parcela do lado direito da segunda igualdade acima
é nula, logo
Z D
E
→
−
H,X
(3.19)
n volM = −
M
Z
→
−
≤
| H ||X|
M

a equação (3.19) é conhecida como fórmula de Mikowski, assim
2
Z
→
−
2
| H ||X|
(n volM ) ≤
M
Z
Z
→
− 2
≤
|H|
|X|2
MZ
M
Z
2
2
=n
H
|X|2
M

M

multiplicando por λ1 e usando (3.18) obtemos,
Z
Z
2
2
2
λ1 (n volM ) ≤ n
H λ1
|X|2
M
M
Z
3
= n volM
H2
M

simplificando obtemos,
n
λ1 ≤
volM

Z

H 2.

M

O próximo lema é uma generalização da fórmula de Minkowski (Note, que cδ ≡ 1 se
δ = 0). Segue integrando (ii) do Lema 3.4 e pela a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
58

R D →
R
R
−E
Lema 3.5 M cδ ≤ − n1 M X, H ≤ M Hsδ , se KM ≡ δ a igualdade vale na primeira
desigualdade.
→
−
Demonstração. Como X T ⊥ H , então pelo teorema da divergência e (ii) do Lema 3.4
temos,
Z D
Z
Z
Z D
−E
→
−E
T →
T
0=
X ,H =
divM X ≥
ncδ +
X, H
(3.20)
∂M

M

M

M

portanto,
Z D
→
−E
1
cδ ⩽ −
X, H
n M
M
Z D
→
−E
1
X, H
⩽ −
n
Z M
→
−
1
⩽
|X|| H |
n
Z M
Hsδ .
=

Z

(3.21)

M

Se KM ≡ δ, então vale a igualdade em (ii) do Lema 3.4, logo vale a igualdade em (3.20), e
consequentemente temos a igualdade em (3.21).
R
R
R
2
Lema 3.6 δ M X T ≥ n M c2δ − n M Hsδ cδ .
Demonstração. Se δ = 0 a desigualdade se reduz ao Lema 3.5, pois neste caso cδ = 1,
consequentemente
Z
Z
1⩽
M

Hsδ ,
M

que é o Lema 3.5 para δ = 0. Se δ 6= 0, X T = gradM f onde f = − 1δ cδ , então pela fórmula
de Green, temos
Z
Z
Z
Z
T 2
T
δ
|X | = −δ
f ∆f =
−δf divM X =
cδ divM X T
M
M
M
Z M
Z
D →
−E
2
≥n
cδ +
cδ X, H
ZM
ZM
→
−
≥n
c2δ −
cδ |X| | H |
M
ZM
Z
2
=n
cδ − n
Hsδ cδ ,
M

M

pelo Lema 3.4 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

59

2
n 
X


s
(r)
δ
 + δ|X T |2 ≤ n.
gradM
x
Lema 3.7
i


r
i=1

Demonstração. Seja v := d(expp0 )q (ṽ) ∈ Tp M̄ ortogonal ao grad r, onde ṽ ∈ Tp0 M̄ ,
q = rγ 0 (0) com γ = expp0 uma geodésica normalizada. Pelo Lema 1.4, v = J(r) =
ṽ
d(expp0 )q (rJ 0 (0)), onde J 0 (0) =
, é um campo de Jacobi ao longo da geodésica γ tal que
|ṽ|
hJ, γ 0 i = 0. Como KM̄ ≤ δ, então na forma espacial de curvatura seccional δ o campo de
Jacobi é dado por Jδ (r) = sδ (r)w(r) com hγδ0 (r), w(r)i = 0 para todo r, e w é um campo
paralelo e unitário conforme o Exemplo 4.
Agora observamos que, J e Jδ satisfazem as hipóteses do Teorema 1.13 (Rauch): observando que J é linear, vem que J(0) = 0, por sua vez Jδ (0) = sδ (0)w(0) = 0, lembre
que sδ (0) = 0, assim J(0) = Jδ (0) = 0 e Jδ0 (0) = s0δ (0)w(0) = w(0), logo 0 = hJ, γ 0 i =
hγδ0 (0), w(0)i = hγδ0 (0), Jδ0 (0)i pois s0δ (0) = 1, finalmente, sendo w unitário temos
1 = |w(0)| = |Jδ0 (0)| = |J 0 (0)| .
Portanto, pelo Teorema 1.13
|Jδ (r)|2 ≤ |J(r)|2 ,
por outro lado, |Jδ (r)|2 = s2δ (r) e usando o Lema de Gauss |J(r)|2 =

r2
r2
2
2
|ṽ|
=
2
2 |v| , logo
|ṽ|
|ṽ|

s2δ (r) 2
|ṽ| ≤ |v|2 .
r2

(3.22)

Para o que segue, seja U o aberto de M̄ no qual está definida
exp−1
p0 : U → Tp0 M̄
u → (x1 (u), . . . , xn (u)).
Seja πi a projeção sobre a i-coordenada, então para v = d(expp0 )q (ṽ)
n
X

hgrad xi , vi hgrad xi , wi =

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X
i=1
n
X

v(xi )w(xi )
d(expp0 )q (ṽ(xi ))d(expp0 )q (w̃(xi ))
ṽ(xi ◦ expp0 )w̃(xi ◦ expp0 )

i=1

=
=

n
X
i=1
n
X

−1
ṽ(πi ◦ exp−1
p0 ◦ expp0 )w̃(πi ◦ expp0 ◦ expp0 )

πi (ṽ)πi (w̃) = hṽ, w̃i.

i=1

60

(3.23)

Agora, se tomarmos v = w temos
n

s2δ (r) X
s2δ (r) 2
2
hgrad
x
,
vi
=
|ṽ| ≤ |v|2 ,
i
2
2
r i=1
r

(3.24)

observe que a desigualdade (3.24) vale se v ⊥ grad r.
Por outro lado, sabemos que se γ(t) = expp0 (tw̃), então
γ 0 (t) = d(expp0 )tw̃ (w̃) = grad r(γ(t))
pelo Teorema 2.3. Tomando w = grad r com v ⊥ grad r e usando o Lema de Gauss em
(3.23) temos que
n
X

hgrad xi , vi hgrad xi , grad ri = hṽ, w̃i

i=1

= hd(expp0 )tw̃ (ṽ), d(expp0 )tw̃ (w̃)i
= hv, grad ri = 0,
isto é,
n
X

hgrad xi , vi hgrad xi , grad ri = 0.

(3.25)

i=1

Em particular tomando v = w = grad r em (3.23) temos
n
X

hgrad xi , grad ri2 = hw̃, w̃i = 1,

(3.26)

i=1

onde d(expp0 )q (w̃) = grad r.
Como r(expp0 (v)) = |v|, então
2

r(u) =

exp−1
p0 (u)

=

n
X

2

xi (u)ei

=

i=1

n
X

x2i ,

i=1

portanto,
2

grad r =

n
X

grad x2i ⇒ 2rgrad r =

i=1

n
X

2xi grad xi

i=1

logo
rgrad r =

n
X
i=1

61

xi grad xi .

(3.27)

Agora seja
n
X


gradM

i=1

sδ (r)
xi
r

2
= I,

então
n
X
sδ (r)

 2 2
sδ (r)
gradM xi + xi gradM
I=
r
r2
i=1
"



 2#

n
X
s
(r)
s2δ (r)
s
(r)
s
(r)
δ
δ
δ
=
xi gradM xi , gradM
+ x2i gradM
|gradM xi |2 + 2
2
r
r
r
r
i=1
*
+


2

n
n
X
sδ (r)
s2δ (r)
sδ (r) X
sδ (r)
2
2
=
+ r gradM
|gradM xi | + 2
xi gradM xi , gradM
2
r
r
r
r
i=1
i=1
na segunda parcela da última igualdade, usando (3.27) obtemos,
I=

n
X
s2 (r)
δ

i=1

r2




2

sδ (r)
sδ (r)
2
.
|gradM xi | + 2sδ (r) gradM r, gradM
+ r gradM
r
r
2

Mas

gradM

sδ (r)
r



rgradM sδ (r) − sδ (r)gradM r
r2
rcδ (r)gradM r − sδ (r)gradM r
=
r2
rcδ (r) − sδ (r)
gradM r
=
r2
=

logo,
2 
2
sδ (r)
rcδ (r) − sδ (r)
gradM
=
|gradM r|2
r
r2
e



sδ (r)
rcδ (r) − sδ (r)
=
|gradM r|2 .
gradM r, gradM
2
r
r
Consequentemente


I=

n
X
s2 (r)
δ

i=1

r2

|gradM xi |2 +

Como
δ XT

2rsδ (r)cδ (r) − 2s2δ (r)
(rcδ (r) − sδ (r))2
2
|grad
r|
+
|gradM r|2 .
M
r2
r2
2

= δ |sδ (r)gradM r|2 = δs2δ (r) |gradM r|2 ,

fazendo,
n
X
i=1


gradM

sδ (r)
xi
r

2

62

+ δ XT

2

=J

vem que
J =

n
X
s2 (r)
δ

i=1

r2

2rsδ (r)cδ (r) − 2s2δ (r)
|gradM xi | +
|gradM r|2 +
r2
2



rcδ (r) − sδ (r)
r

2

|gradM r|2 +

+ δs2δ (r) |gradM r|2
"
#
2

n
2
s2δ (r) X
2rs
(r)c
(r)
−
2s
(r)
rc
(r)
−
s
(r)
δ
δ
δ
δ
δ
= 2
|gradM xi |2 +
+ δs2δ (r) |gradM r|2
+
r i=1
r2
r
n

s2 (r) X
= δ2
|gradM xi |2 +
r i=1


2rsδ (r)cδ (r) − 2s2δ (r) + r2 c2δ (r) − 2rcδ (r)sδ (r) + s2δ (r) + r2 δs2δ (r)
|gradM r|2 ,
+
2
r


n
2
2
2
sδ (r) X
r (cδ (r) + δs2δ (r)) − s2δ (r)
2
= 2
|gradM xi | +
|gradM r|2
2
r i=1
r


n
s2 (r) X
s2 (r)
= δ2
|gradM xi |2 + 1 − δ 2
|gradM r|2
r i=1
r
logo,


n
n
s2δ (r)
s2δ (r) X X
2
hgrad xi , ej i + 1 − 2
|gradM r|2
J = 2
r i=1 j=1
r


n
s2δ (r)
s2δ (r) X
∗ 2
(hgrad xi , λgrad ri + hgrad xi , µen i) + 1 − 2
≤n−1+ 2
|gradM r|2
r i=1
r
onde e1 , . . . , en ∈ Tp M é uma base ortonormal tal que en = λgrad r + µe∗n está na direção do
gradM r com hgrad r, e∗n i = 0, consequentemente λ2 + µ2 = 1 e hen , grad ri = λ, e a primeira
parcela da desigualdade acima é devida a (3.24), pois como ei ⊥ en para todo i = 1, . . . , n−1
e en está na direção de gradM r segue que ei ⊥ grad r para todo i = 1, . . . , n − 1.
Como
en =

gradM r
|gradM r|

temos
hgradM r, grad ri = λ|gradM r|
mas
hgradM r, grad ri = hgradM r, gradM r + (grad r)⊥ i = |gradM r|2
63

assim
|gradM r| = λ ⇒ |gradM r|2 = λ2 .
Portanto,


n
s2δ (r) X
s2δ (r)
∗ 2
J ≤n−1+ 2
(hgrad xi , λgrad ri + hgrad xi , µen i) + 1 − 2
λ2
r i=1
r
n

s2 (r) X 2
[λ hgrad xi , grad ri2 + 2λµhgrad xi , grad rihgrad xi , e∗n i+
=n−1+ δ 2
r i=1


s2δ (r)
2
∗ 2
+ µ hgrad xi , en i ] + 1 − 2
λ2
r
como e∗n é ortogonal ao grad r, então por (3.25)
hgrad xi , grad rihgrad xi , e∗n i = 0
s2 (r)

e usando (3.26) na primeira parcela do somatório obtemos λ2 δr2 ; usando (3.24), a última
parcela do somatório é menor ou igual a µ2 . Portanto,


2
s2δ (r)
2
2 sδ (r)
+µ + 1− 2
J ≤n−1+λ
λ2 = n.
r2
r

Lema 3.8 Se δ ≤ 0, então
Z

Z

Z
s δ cδ ≤

sδ
M

s2δ

Z

M

M

cδ .
M

Demonstração. Primeiro observamos que de c2δ = 1 − δs2δ , temos que
Z
Z
Z
Z
2
2
2
sδ
cδ =
sδ
(1 − δs2δ )
M
M
M
M
2
Z
Z
2
2
= volM
sδ − δ
sδ ,
M

(3.28)

M

e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz
Z  21 Z
 12
Z
2
sδ ⩽
1
sδ
M

M

M

logo
2

Z
sδ

Z
⩽ volM

M

M

64

s2δ .

(3.29)

Agora,
Z

2

Z
sδ

M

s δ cδ

2 Z

Z
=

2

sδ

M

s δ cδ

M

M

2 Z

Z

2
|sδ cδ |

sδ

⩽
M

M

2 Z

Z

Z

sδ
c2δ
M
M
M
2 Z
2
2 Z
Z
Z
2
2
sδ
sδ − δ
sδ
sδ
= volM
M
M
M
M

Z
 ! Z
Z
Z

≤

s2δ

2

s2δ

≤

2

2

(volM ) − δ

sδ

≤

M

M

s2δ

M

2
cδ

.

M

Observe que na segunda igualdade usamos (3.28) e na terceira
desigualdade
usamos (3.29),
R
R
enquanto a última desigualdade é uma consequência de M f ≤ M |f |, onde f : M → R2 é
p
dada por f (p) = (1, |δ|sδ (r)). De fato,
Z
p
p Z
(1, |δ|sδ (r)) = (volM, |δ|
sδ (r))
M
M
s
2
Z
= (volM )2 + |δ|
sδ (r)
M
s
2
Z
= (volM )2 − δ
sδ (r)
M
Z q
⩽
1 + |δ| s2δ (r)
Z
ZM q
2
1 − δsδ (r) =
cδ (r)
=
M

M

logo,
2

2 Z
2
sδ (r) ⩽
cδ (r) .

Z

(volM ) − δ
M

M

Agora, depois dessa preparação iniciamos com as provas dos Teoremas 3.4 e 3.8:
Demonstração. Se δ = 0, então cδ = 1 e o Lema 3.7 se reduz a
n
X

s2 (r)
gradM δ xi
r
i=1
65

2

≤ n.

Usando (3.13) temos,
Z
λ1 (M )
M

Z X
n

2

s2 (r)
gradM δ xi
r
M
Z
Z i=1
n = n volM = n
cδ
≤

s2δ (r) ≤

M

M

pelo Lema 3.5
Z

Z
Z
n
≤n
Hsδ =
cδ
Hsδ
volM M
M
M
Z
2
n
≤
Hsδ
volM
M
Z
Z
n
2
≤
H
s2δ ,
volM M
M
onde a última desigualdade é devida a Cauchy-Schwarz . Portanto,
Z
n
λ1 (M ) ≤
H 2.
volM M
R
1
√
Se δ > 0 usaremos sδr(r) xi e cδ (r)−c
,
com
c
:=
c (r), como funções teste. Então,
volM M δ
δ
2
2
T 2
usando que |gradM cδ (r)| = δ |X | , ( 3.13) e ( 3.14), temos
 Z X
Z
Z 
n
2
sδ (r)
1
(cδ (r) − c)2
2
gradM
xi +
|gradM cδ (r)|2
λ1 (M )
≤
sδ (r) +
δ
r
δ
M
M
M i=1
pelo Lema 3.7
Z
≤

T 2

Z

(n − δ|X | ) +
M

δ|X T |2 = n volM.

M

Agora observe que
 Z
Z 
δs2δ (r) + c2δ (r) − 2cδ (r)c + c2
(cδ (r) − c)2
2
sδ (r) +
=
δ
δ
M
ZM
1 − 2cδ (r)c + c2
=
δ
ZM
Z
2
1+c
2c
=
−
cδ (r)
δ
δ M
M
1 + c2
2c2
=
volM −
volM
δ
δ
1 − c2
=
volM.
δ
66

Portanto,
λ1 (M )(1 − c2 ) ≤ nδ.
Agora


1
(1 − c ) 1 +
δvolM
2

Z
H

2



M

Z
c2
H −c −
H2
δvolM M
M
Z
2
Z
1
1
2
=1+
cδ −
H −
δvolM M
(volM )2
M
Z
2 Z
1
cδ
H2
−
δ(volM )3
M
M
1
=1+
δvolM

Z

1
≥1+
δvolM

Z

2

2

pelo Lema 3.5
1
H −
(volM )2
M
2 Z
Z
1
cδ
H2
−
δ(volM )3
M
M
2

2

Z
Hsδ

−

M

(3.30)

por Cauchy-Schwarz

(1 − c ) 1 +
2

1
δvolM

Z

Z



H

2



M

Z
Z
Z
1
1
2
2
H −
H
s2δ −
≥1+
δvolM M
(volM )2 M
M
Z
Z
1
−
c2
H 2,
(3.31)
δ(volM )2 M δ M

logo


1
(1 − c ) 1 +
δvolM
2

Portanto

H
M

2




Z
Z
1
1
1
2
2
H
≥1+
−
s −
c
δvolM
(volM )2 M δ δ(volM )2 M δ
M


Z
Z
1
1
2
2
2
=1+
H
−
(δs + cδ )
δvolM
δ(volM )2 M δ
M


Z
1
1
2
=1+
H
−
volM ) = 1.
δvolM
δ(volM )2
M


λ1 (M ) ≤ nδ 1 +

Z

1
δvolM

2

Z
H
M

2



n
= nδ +
volM

Z

H 2.

M

Se vale a igualdade, então na demonstração acima todas as desigualdades se tornam
igualdades, em particular, a igualdade em (3.30) implica igualdade no Lema 3.5 e por
→
−
Cauchy-Schwarz temos que X = sδ grad r é múltiplo de H , o vetor curvatura média de M
em M̄ , isso implica que gradM r = 0.
67

Agora seja f : M → R definida por f (x) = 12 r(x)2 , então para Y ∈ X (M ) temos


1 2
Yf =Y
r
2
1
= . 2. r. Y (r)
2
equivalentemente
hgradM f, Y i = rhgradM r, Y i
assim
gradM f = rgradM r = 0
logo, f é constante em M , e isso significa que M está contida em uma esfera. Agora, seja
S a esfera de M̄ tal que M ⊂ S. Sejam α a segunda forma fundamental de M em M̄ , αS
a segunda forma fundamental de M em S e ᾱ a segunda forma fundamental de S em M̄ .
Analogamente como feito para obter (3.11) obtemos que
α = αS + ᾱ
e observe que αS ∈ T S e ᾱ ∈ T S⊥ , consequentemente, se e1 , . . . , en ∈ Tp M é uma base
ortonormal, então
→
−
→
−
η = HS + H,

(3.32)
n

X
→
−
→
−
→
−
onde H S é o vetor curvatura média de M em S e H =
ᾱ(ei , ei ), e é claro que H S ∈ T S
i=1

→
−
→
−
e H ∈ T S⊥ . No entanto, sendo H múltiplo de X = sδ (r)grad r que é ortogonal a T S segue
que η ≡ 0 e, portanto M é mı́nima em S.
Agora se δ < 0, observamos primeiro que de c2δ + δs2δ = 1, obtemos
Z
Z
2
δ
sδ = volM −
c2δ .
M

M

Novamente, usando ( 3.13) temos
Z
Z X
n
2
s2 (r)
2
λ1 (M )
sδ (r) ≤
gradM δ xi
r
M
M i=1
pelo Lema 3.7
Z
≤

T 2

Z

(n − δ|X | ) = n volM − δ
M

M

68

|X T |2

pelo Lema 3.6
Z

Z

c2δ + n

Hsδ cδ
≤ n volM − n
M
M


Z
Z
2
cδ + n
Hsδ cδ
= n volM −
M
M
Z
Z
2
= nδ
sδ + n
Hsδ cδ
M
M
Z
Z
2
s δ cδ
≤ nδ
sδ + n max H
M

M

pelo Lema 3.8
R
cδ
s2δ + n max H
≤ nδ
s2δ × RM
s
M
M
M δ
Z

Z

pelo Lema 3.5
Z
≤ nδ
ZM
≤ nδ
ZM
= nδ

s2δ + n max H

Z

s2δ ×

M

s2δ + n(max H)2

Z

s2δ

Z M
s2δ + n max H 2
s2δ .

M

M

Portanto,
λ1 (M ) ≤ nδ + n max H 2 ,
e assim fica provado o resultado.

69

R
Hsδ
RM
s
M δ

Referências Bibliográficas
[1] Bleecker, D., Weiner, L.: Extrinsic bounds on λ1 of ∆ on a compact manifold. Comment.
Math. Helv. 51, 601-609. 1976
[2] Bredon, G. Graduate Texts in Mathematics, Topology and Geometry. New York:
Springer-Verlag, vol 139. 1993.
[3] Chow, B; Lu, P; Ni, L. Hamilton’s Ricci Flow. Beijing: Science Press, vol 77. 2006.
[4] Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry. New York, Academic Press, 1984.
[5] do Carmo, M.P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 4a
edição, 2008.
[6] Escobar, J. F., Topics in PDE’s and Differential Geometry, XII Escola de Geometria
Diferencial, Goiânia, Ed.da UFG, 2002.
[7] Heintze, E. Extinsic Upper Bounds for λ1 , in: Periodical issue/ Mathematics Annalen,
14, 389-402, 1988.
[8] Nash, J. The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math., 63, 20-63,
1956.
[9] Lee, J.Graduate Texts in Mathematics, Introduction to Smooth Manifolds. Seatle,
Springer, v. 218. 2000.
[10] Massey, Willian S. Algebraic Topology: An Introcuction, Graduate texts in Mathematics
56, New York, Springer-Verlag, 1977.
[11] Mishchenko, A. Fomenko, A. A Course of Differential Geometry and Topology, Mir
Publishers Moscow, 1988.
[12] Yang, P.,Yau, S.T. Eigenvalues of the Lapalacian of Compact Riemann Surfaces and
Minimal Submanifolds. Ann. Scuola Norm. Pisa 7, 55-63, 1980.

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