Padrão de Resposta Mestrado_Retificado.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Instituto de Matemátia
Programa de Pós graduação em Matemática

Padrão de Resposta (Retificado)– Seleção de Mestrado

1. Seja (sn )n∈N uma sequência em S. É suficiente provarmos que essa sequência possui
uma subsequência convergente. Pela definição de S, existem duas sequências (xn )n∈N
e (yn )n∈N em X de modo que xn + yn = sn para todo n ∈ N. Por X ser compacto,
(xn )n∈N possui uma subsequência convergente (xnk )k∈N , digamos, convergindo para
a ∈ X. O mesmo é válido para a sequência (ynk )k∈N . Para não carregar a notação,
não vamos gerar uma nova sequência de índices, vamos supor que a própria (ynk )k∈N é
convergente, converge para b ∈ X. Logo, a sequência (snk )k∈N é convergente e converge
para um ponto de S, o ponto a + b.
2. (a) Seja f : X → R, com X ⊂ R, e seja a ∈ X. Dizemos que f é contínua em a se,
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, para todo x ∈ X,
|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
Diz-se que f : X → R é uma funão contínua quando f é contínua em todos os pontos
de a ∈ X.
(b) Dado ε > 0. Como g é contínua em b, existe η > 0 tal que
|y − b| < η ⇒ |g(y) − g(b)| < ε.
Como f é contínua em a, existe δ > 0 tal que
|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < η.
Logo, se |x − a| < δ, então
|g(f (x)) − g(f (a))| < ε.
Assim, o resultado segue.

3. Continuidade em 0.
Sabemos que | sin(1/x)| ≤ 1. Daí, |f (x)| = |x2 sin(1/x)| ≤ x2 .
Como limx→0 x2 = 0, segue pelo Teorema do Confronto que
 
1
lim x sin
= 0.
x→0
x
2

Como f (0) = 0, conclui-se que f é contínua em 0.
Derivabilidade em 0.
Note que, para h ̸= 0, vale que
f (0 + h) − f (0)
h2 sin(1/h)
=
= h sin(1/h).
h
h
Também note que
lim h sin(1/h) = 0.

h→0

Portanto, f ′ (0) = 0. Ou seja, f é derivável em x = 0.
4. Primeiro note que, como f é derivável, ela é contínua em todo intervalo fechado contido
em (c, +∞). Agora fixe n0 ∈ N tal que c < n0 . Para cada n ≥ n0 , pelo Teorema do
Valor Médio, existe xn ∈ (n, n + 1) tal que f (n + 1) − f (n) = f ′ (xn ). Como n < xn
para todo n > n0 , temos xn → +∞. Combinando isso com lim f ′ (x) = b, obtemos
x→+∞

lim f ′ (xn ) = b. Portanto,

n→+∞

b = lim f ′ (xn ) = lim [f (n + 1) − f (n)] = a − a = 0.
n→+∞

n→+∞

5. Sim pois
Z 2
(x − 1)f (x − 1)

2



Z 1
(x − 1)f (x − 1)

dx =

0

Z0 1

2



dx +


(x − 1)f (x − 1)2 dx

Z1 2


(x − 1)f (x − 1) dx −
(−x + 1)f (−x + 1)2 dx
1
Z0 0
Z −1


=
uf u2 du +
vf v 2 dv
−1
0
Z 0
Z 0


=
uf u2 du −
vf v 2 dv = 0
=

−1


2

Z 2

−1

em que na terceira igualdade foram usadas as mudanças de variáveis u = x − 1 e
v = −x + 1.