Tese
Giovane(2).pdf
Documento PDF (734.8KB)
Documento PDF (734.8KB)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL
GIOVANE FERREIRA SILVA
FATORES DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Maceió
2016
GIOVANE FERREIRA SILVA
FATORES DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-graduação em Matemática UFBA-UFAL
da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor
em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Krerley Irraciel Martins
Oliveira
Maceió
2016
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S586f
Silva, Giovane Ferreira.
Fatores de medidas Gibbs seqüenciais / Giovane Ferreira Silva. – 2016.
48f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.
Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2011.
Bibliografia: f. 46-48.
1. Medida Gibbs seqüencial. 2. Shift total. 3. Aplicação fator 1-bloco.
4. Decaimento exponencial esticado. 5. Decaimento polinomial. 6. Variação
Somável.I. Título.
CDU: 519.24
À minha família
AGRADECIMENTOS
À CAPES pelo suporte financeiro ao longo de todo o curso de Doutorado.
À minha esposa Regina, pelo companheirismo durante essa jornada. Aos meus filhotes Giovane
Jr e Giovana, razões do meu viver.
À minha mãe e ao meu pai pela vida, pelos incentivos... Aos meus irmãos Júnior, Flávia e Bris.
Ao meu orientador Krerley pelas motivações, encorajamentos e atenção para comigo e minha
família.
Ao Renaud pelos conselhos, atenção e receptividade no tempo em que estive em Brest.
Ao professores Ali Tahzibi, Ali Golmakani, Rafael Lucena e Nivaldo Muniz pela participação
em minha banca. Ao professor Yuri Lima pelas várias sugestões dadas para a melhoria da escrita
desta tese.
Aos professores da UFAL e UFBA, pela atenção e motivação durante esses anos. Em especial
ao Paulo Varandas por ter lido essa tese e ter dado várias sugestões.
Aos professores do DEMAT, pelo incentivo e encorajamento. Dando destaque à Vanessa e ao
Nivaldo pela revisão e sugestões dadas para a melhora deste trabalho.
Aos meu colegas de doutorado que compartilharam comigo todos esses anos.
E à todos que participaram diretamente e indiretamente na para que essa etapa de concretizasse.
RESUMO
Definimos uma noção fraca de medidas de Gibbs, que chamamos de medidas Gibbs sequenciais. Essas medidas são apropriadas para o estudo de dinâmica não-uniformemente hiperbólica.
Extendemos os resultados anteriores de Kempton e Pollicot (POLLICOTT; KEMPTON, 2011),
Ugalde e Chazottes (CHAZOTTES; UGALDE, 2011). Mostramos que a imagem de uma aplicação fator 1-bloco de uma medida Gibbs sequencial é também Gibbs sequencial, com a mesma
sequência de Gibbs. Obtemos algumas estimativas sobre a regularidade do potencial da medida
imagem.
Palavras-chaves: Medida Gibbs Sequencial; Shift Total; Aplicação Fator 1-bloco; Decaimento
Exponencial Esticado; Decaimento Polinomial; Variação Somável.
ABSTRACT
We define a weaker notion of Gibbs measures, that we call sequential Gibbs measures. These
measures are suitable for the study of non-uniform hyperbolic dynamics. Extending previous results of Kempton and Pollicot (POLLICOTT; KEMPTON, 2011), Ugalde and Chazottes (CHAZOTTES; UGALDE, 2011), we show that the images of one block factor maps of a sequential
Gibbs measure is also a sequential Gibbs measure, with the same Gibbs sequence. We obtain
some estimates on the regularity of the potential of the image measure.
Keywords: Sequential Gibbs Measure; Full Shift; One Block Factor Map; Stretched Exponential Decay; Polinomial Decay; Summable Variations.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 PRELIMINARES E NOTAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Definição de Medida Gibbs Sequencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Demonstração do Teorema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Definição do Potencial ψ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 O potencial ψ2 está bem definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Demonstração do Teorema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Decaimento Exponencial Esticado Local . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Decaimento Polinomial Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Variação Somável Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Modulo da Continuidade de ψ2 (Prova do Teorema B) . . . . . . . . . .
4 EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.1 Medida Conforme e Medida Gibbs Sequencial . . . . . . . . . . . . . .
4.0.2 Medida Gibbs Não-lacunar e Medida Gibbs Sequencial . . . . . . . . .
4.0.3 Medida de Gibbs Fraca e Medida Gibbs Sequencial . . . . . . . . . . .
5 EXTENSÃO, APLICAÇÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . . . . . . . . . .
2
8
12
12
15
16
20
27
27
28
29
29
31
31
35
38
42
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2
1 INTRODUÇÃO
Apesar de suas bases serem lançadas no século XIX, o estudo da Mecânica Estatística
de Reticulados só começou no final dos anos 60 com a introdução do conceito de medida de
Gibbs nas obras de Dobrushin, Lanford e Ruelle ((DOBRUSCHIN, 1968), (LANFORD; RUELLE, 1969)). Um pouco mais tarde, essas medidas desempenharam um papel fundamental
no desenvolvimento de uma subárea da Teoria ergódica, conhecida como Formalismo Termodinâmico. Sinai, Ruelle, Bowen, Walters, entre outros autores, introduziram na década de 70
algumas noções emprestadas da Mecânica Estatística e produziram vários resultados interessantes e profundos para transformações hiperbólicas e expansoras.
Posteriormente, vários trabalhos aplicaram este formalismo em muitos tópicos que ainda
são objetos de intensa investigação, tais como: Dimensão de Repulsores (Conformes) Invariantes, Distribuição de pontos e órbitas periódicas, Existência de medidas invariantes absolutamente contínuas com respeito à medida de Lebesgue, apenas para mencionar alguns tópicos.
Para introduzir a noção de medida de Gibbs em Teoria Ergódica, iremos considerar um
shift unilateral total Σ em um alfabeto finito de símbolos, uma aplicação deslocamento σ : Σ → Σ
e um potencial φ : Σ → R. Dizemos que µ é uma medida de Gibbs com respeito à φ se existem
constantes K > 0 e P tais que para cada x = x0 x1 · · · ∈ Σ e cada n ∈ N temos que:
K −1 ≤
µ [x0 x1 . . . xn−1 ])
≤ K,
n
eφ (x)−nP
(1.1)
i
onde φ n (x) = ∑n−1
i=0 φ ( f (x)) e [x0 x1 . . . xn−1 ] := {y = y0 y1 · · · ∈ Σ; yi = xi , para i = 0, . . . , n − 1}.
Essas medidas são estados de equilíbrio para potenciais Hölder contínuos, isto é, elas maximiR
zam a expressão hµ (σ ) + φ dµ, sob todas as medidas invariantes por σ .
Observe que o potencial φ não é único, pois ν é também uma medida de Gibbs para
cada potencial cohomólogo da forma φ + u ∘ σ − u com u ∈ L∞ (Σ).
Um problema interessante surge quando consideramos uma aplicação sobrejetiva π :
{1, . . . , k1 } → {1, . . . , k2 }, que algumas vezes é chamada de amalgamação e a estendemos para
uma aplicação Π : Σ1 → Σ2 , onde Σ1 = {1, ..., k1 }N e Σ2 = {1, ..., k2 }N , de tal forma que
Π(x1 x2 ...) = π(x1 )π(x2 )....
Ugalde , Chazottes ((CHAZOTTES; UGALDE, 2011)) e Kempton, Pollicott ((POLLICOTT; KEMPTON, 2011)) provaram que se µ é uma medida de Gibbs para um potencial
regular ψ1 em Σ1 , então a medida pushforward ν = µ ∘ Π−1 é uma medida de Gibbs para
algum potencial regular(pode ser com menos regularidade) ψ2 em Σ2 . Mais precisamente, a
n-ésima variação de uma função ψ1 : Σ1 → R é definida por varn (ψ1 ) = sup{|ψ1 (z) − ψ1 (w)| :
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
3
d(w, z) ≤ 2−n }. A continuidade (uniforme) da função ψ1 corresponde à varn (ψ1 ) → 0 quando
n → ∞ e a Hölder continuidade corresponde à existência de constantes C > 0 e θ ∈ (0, 1) tal que
varn (ψ1 ) < C θ n , para n ≥ 1. Dizemos que ψ1 is exponencial esticada, se existem constantes
t
C > 0, t ∈ (0, 1) e θ ∈ (0, 1) tais que varn (ψ1 ) < C θ n , para n ≥ 1. Resumimos abaixo alguns
dos resultados que estão em ((POLLICOTT; KEMPTON, 2011),(CHAZOTTES; UGALDE,
2011), (VERBITSKIY, 2011)):
1. (POLLICOTT; KEMPTON, 2011; CHAZOTTES; UGALDE, 2011) Se ψ1 é contínuo,
então ν é uma medida de Gibbs para algum potencial contínuo ψ2 .
2. (VERBITSKIY, 2011) Se ψ1 é Hölder contínuo, então ν é uma medida de Gibbs para
algum potencial Hölder contínuo ψ2 .
3. (POLLICOTT; KEMPTON, 2011) Se ψ1 é exponencial esticada(com t = 21 ), então ψ2
pode ser escolhido exponencial esticada.
4. (POLLICOTT; KEMPTON, 2011) Se ∑n≥1 nd+1 varn (ψ1 ) < +∞ para algum d ≥ 0, então
ψ2 é tal que ∑n≥1 nd varn (ψ2 ) < +∞.
Em (KEMPTON, 2011), Kempton considera o mesmo problema para o caso de subshifts.
Ele generaliza os resultados acima(1,3 e 4) e prova o resultado 2 para uma classe de potenciais.
Mais detalhes são dados no Capítulo 5.
O problema que é tratado nesta tese é de maior importância para o estudo dos Processos
Ocultos de Markov(POM) que tem sido o foco de intensa pesquisa por causa do grande número
de aplicações em Matemática Pura e Aplicada(Teoria da Informação, Teoria de Probabilidade e
Sistemas Dinâmicos, por exemplo) e em outras áreas, tais como biologia e Computação. O POM
consiste de um formalismo markoviano que é frequentemente usado para modelar contextos que
são governados por um processo markoviano embutido, cuja dinâmica não pode ser diretamente
observada, ou seja, é usado para modelar a fonte que gera os sinais observados que está oculta a
quem o observa. Os sinais observáveis são enviados pelo processo markoviano, que evolui com
o tempo, através das transições de seus estados. Esse formalismo também é útil para a análise da
natureza dessa fonte podendo assim prever observações futuras. Para mais detalhes sobre POM,
sugerimos (JUANG, 1984), (EPHRAIM; MERHAV, 2002), (BOYLE; PETERSEN, 2011) e
(VERBITSKIY, 2011).
A seguir, enunciaremos com mais detalhes os resultados que foram citados anteriormente e que se encontram nos trabalhos de Chazottes, Ugalde((CHAZOTTES; UGALDE,
2003), (CHAZOTTES; UGALDE, 2011)), Kempton, Pollicott((POLLICOTT; KEMPTON, 2011))
e Kempton((KEMPTON, 2011)).
4
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
Seja Π : Σ1 → Σ2 uma amalgamação entre dois shifts totais Σ1 e Σ2 sobre alfabetos
finitos A e B, respectivamente. Seja µψ1 uma medida de Gibbs σ1 -invariante para um potencial
ψ1 : Σ1 → R. Em particular, a imagem ν = µψ1 ∘ Π−1 será uma medida σ2 -invariante.
Abaixo, enunciamos o teorema principal de (CHAZOTTES; UGALDE, 2011).
Teorema 1.1. Seja Π : Σ1 → Σ2 uma aplicação amalgamação e ψ1 : Σ1 → R um potencial
Hölder contínuo. Então, a medida µψ1 ∘ Π−1 é uma medida de Gibbs com suporte Σ2 , para um
potencial ψ2 : Σ2 → R tal que
√
varn (ψ2 ) ≤ De−c n
para algum c, D > 0 e todo n ∈ N.
Além disso, este potencial ψ2 : Σ2 → R é normalizado e é dado por
µψr ∘ Π−1 [z0 ...zn−1 ]
ψ2 (z) = lim lim log
r→∞ n→∞
µψr ∘ Π−1 [z1 ...zn−1 ]
onde ψr é a (r + 1)-simbolo aproximação de ψ.
Se ψ é localmente constante, então para todo n
varn (ψ2 ) ≤ Cθ n
onde θ ∈ (0, 1), e C > 0.
Observação 1.1. Um potencial contínuo (r + 1)-símbolos ψ1 : Σ1 → R significa que existe um
r ∈ N tal que
ψ1 (x) = ψ1 (y) sempre que x j = y j , 0 ≤ j ≤ r.
Posteriormente, nos trabalhos em (POLLICOTT; KEMPTON, 2011) e (KEMPTON,
2011) os resultados de (CHAZOTTES; UGALDE, 2011) são generalizados. A hipótese de Hölder continuidade é removida. Em contraste, quando ψ1 possui variação somável, ψ2 também
possui. O caso de preservar Hölder continuidade é mais delicado. Em (VERBITSKIY, 2011),
Verbitsky prova isso para o caso do shift total e em (KEMPTON, 2011), Kempton prova para
uma classe de potenciais no caso do subshift de tipo finito. Para o caso geral, isto é um problema
em aberto. Daremos os detalhes abaixo.
Teorema 1.2 (Corolário 3.4, (POLLICOTT; KEMPTON, 2011)). Se µψ1 é uma medida de
Gibbs para ψ1 , então existe um potencial ψ2 : Σ2 → R tal que ν = µψ1 ∘ Π−1 é uma medida de
Gibbs para ψ2 .
Em adição, temos os seguintes teoremas sobre a regularidade do potencial da medida
projetada.
5
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
d+1 var (ψ ) <
Teorema 1.3 (Teorema 5.1, (POLLICOTT; KEMPTON, 2011)). Seja d ≥ 0. Se ∑∞
n 1
n=0 n
∞ então
∞
∑ nd varn(ψ2) < ∞.
n=0
Teorema 1.4 (Teorema 5.3, (POLLICOTT;
KEMPTON, 2011)). Assuma que exista c1 > 0 e
√
n
0 < θ1 < 1 tal que
varn (ψ1 ) ≤ c1 θ1 , para todo n ≥ 0. Então existe c2 > 0 e 0 < θ2 < 1 tal que
√
n
varn (ψ2 ) ≤ c2 θ2 , para todo n ≥ 0.
Em (YAYAMA, 2016), Yayama considera um caso mais geral do que o encontrado em
(POLLICOTT; KEMPTON, 2011). Ela considera dois subshifts unilaterais (Σ1 , σ1 ), (Σ2 , σ2 ),
onde Σ1 satisfaz a propriedade de especificação e Π : Σ1 → Σ2 é uma aplicação fator. Seja µ
a única medida de Gibbs para a sequência de potenciais contínuos quase aditivo com variação
−1 é a única medida de Gibbs invariante
limitada F = {log fn }∞
n=1 em Σ1 . Ela mostra que µ ∘ Π
para uma sequência de funções contínuas G = {log gn }∞
n=1 em Σ2 . E quando (Σ1 , σ1 ) é um shift
total, G e µ podem ser caracterizadas usando pressão relativa. E G é uma generalização da
funções contínuas encontras em (POLLICOTT; KEMPTON, 2011).
Como consequência de tudo isso, algumas questões surgem. Uma delas é a seguinte:
Pergunta:
Se µψ1 é uma versão mais fraca de medida de Gibbs. Sob quais condições a medida
−1
∘ Π , suportada em um shift total(ou subshift) também é Gibbs ou uma versão mais fraca
µψ1
de medida de Gibbs? O potencial associado à medida µψ1 ∘ Π−1 “herda” a mesma regularidade
do potencial ψ1 associado à medida µψ1 ?
Em geral, o estudo de medidas de Gibbs requer alguma forma de hiperbolicidade e
quando consideramos aplicações não-uniformemente expansoras, mesmo a existência de tais
medidas é em geral um problema em aberto. O que queremos aqui é exatamente abordar o
contexto de transformações não-uniformemente expansoras.
Para tentar entender a dinâmica de um conjunto mais amplo dessas transformações,
Oliveira e Viana((OLIVEIRA; VIANA, 2008)) introduziram a noção de medida de Gibbs nãolacunar(veja também (VARANDAS; VIANA, 2010) e (RAMOS; VIANA, 2015)). Essas medidas são tais que para quase todo ponto x existe uma subsequência ni (x) de números naturais
que satisfazem (1.1) e tal que ni+1 /ni → 1. Elas são relacionadas com as medidas de Gibbs
fracas introduzidas por Yuri(veja (YURI, 1999)), no sentido que o quociente em (1.1) cresce
subexponencialmente: existe uma constante P e uma sequência de funções positivas Kn (x) tal
6
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
que para quase todo x = x0 x1 · · · ∈ Σ temos que lim 1/n log Kn (x) = 0 e para cada n ∈ N temos:
Kn (x)−1 ≤
µ [x0 x1 . . . xn−1 ])
≤ Kn (x).
n
eφ (x)−nP
(1.2)
Nesta tese, introduzimos a noção de medida Gibbs sequencial para um potencial ψ :
Σ → R. Isto significa que existem constantes K > 0 e P ∈ R, tal que em µ-q.t.p. x existe uma
sequencia (nk (x))k satisfazendo
K −1 ≤
µ[x j ...xni −1 ]
≤K
ψ ni − j (σ j (y))−(ni − j)P
(1.3)
e
para cada para cada y ∈ σ − j ([x j ...xni −1 ]) e 0 ≤ j ≤ ni − 1.
Os resultados que obtemos aqui são uma contrapartida não-uniforme dos resultados
em (POLLICOTT; KEMPTON, 2011) para potenciais com muito menos regularidades e mais
adequado para o estudo de sistemas dinâmicos não-uniformemente hiperbólico. Os principais
resultados são os seguintes:
Teorema A. Seja µ uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ1 : Σ1 → R. Se ψ1 é contínuo em µ-q.t.p. e Π é uma aplicação fator 1-bloco regular com respeito à µ, então a medida
ν := µ ∘ Π−1 em Σ2 também é uma medida Gibbs sequencial para um potencial contínuo em
ν-q.t.p. ψ2 : Σ2 → R.
Teorema B. Seja µ uma medida Gibbs sequencial para um potencial ψ1 : Σ1 → R contínuo em
n (z)
µ-q.t.p. Assuma que em ν-q.t.p. z ∈ Σ2 temos lim supk→∞ kk < +∞ e que existe uma função
positiva decrescente fz : N → R tal que lim supk→∞ fz (k)k < +∞ e para cada 1 ≤ j ≤ nk temos
que
var j (ψ1 , Π−1 (σ nk − j (z))) < fz ( j).
Então, dado γ < 1, existem constantes 0 < α < 1 e C > 0 tal que
vark (ψ2 , z) < C max{α k
1−γ
, fz ([kγ ])k}.
A estratégia da demonstração do Teorema A consiste primeiramente em definir uma
sequência de funções auxiliares uk,w (z), onde w ∈ Σ1 e z ∈ Σ2 , que estão inteiramente relacionadas com o potencial ψ1 . O potencial ψ2 estará bem definido se a sequência uw,k (·) convergir em
ν-q.t.p. A parte crucial da demonstração do Teorema A é justamente provar essa convergência.
Para isso, definimos uma sequência de intervalos Λk (z) = minw uw,k (z), maxw′ , uw′ ,k (z) e provamos que ela forma uma sequencia de intervalos encaixados. Posteriormente provamos que
o comprimento
n destes intervaloso converge para zero. Isso é feito mostrando que a sequência
u (z)
λk (z) = sup u w,k
: w, w′ ∈ Σ1 (quociente dos extremos do intervalo Λk (z)) converge para 1.
′ (z)
w ,k
Capítulo 1. INTRODUÇÃO
7
Para a demonstração do Teorema B, usaremos o fato que módulo da continuidade de
log λk dá uma estimativa para o módulo da continuidade de vark (ψ2 , z). Usaremos a regularidade
de ψ1 µ-q.t.p. para estimar o módulo da continuidade de log λk .
Como exemplo e aplicação principal incluímos estados de equilíbrio para o shift construído em (HOFBAUER, 1977) e imagens de medidas Gibbs não-lacunares de difeomorfismos
locais para potenciais Hölder contínuos estudados em (OLIVEIRA; VIANA, 2008).
Esta tese é organizada da seguinte forma: No Capítulo 2 citaremos alguns resultados e
notações que serão usadas neste trabalho. No Capítulo 3 definimos as medidas Gibbs sequenciais e demonstramos os resultados principais desta tese. Como corolários temos que decaimento polinomial local, decaimento exponencial esticado local e variação somável local são
preservadas pelo potencial da medida projetada. No Capítulo 4 estudamos a relação das medidas Gibbs sequenciais com as medidas Gibbs não-lacunares((OLIVEIRA; VIANA, 2008),
(VARANDAS; VIANA, 2010)), com as medida de Gibbs fracas para um potencial, segundo
Yuri((YURI, 1999)), e com as medidas de Gibbs fracas para uma sequência de potenciais assintóticos, segundo Iommi-Yayama((IOMMI; YAYAMA, )). Damos condições para que uma medida conforme(auto-medida do Operador de Ruelle-Perron-Frobenius) seja uma medida Gibbs
sequencial. E consideramos um exemplo em que a medida Gibbs sequencial é um estado de
equilíbrio para um potencial contínuo. E no Capítulo 5 discutimos uma possível aplicação dos
resultados no contexto de dimensão em sistemas dinâmicos, mas especificamente, no estudo da
convergência da dimensão de uma medida Gibbs sequencial para um produto torcido T = ( f , g)
definido no toro Tn , semelhante ao que foi feito em (LEPLAIDEUR; SAUSSOL, 2012). E também há um comentário sobre uma extensão dos resultados desta tese para o caso do subshift.
E por fim, comentamos sobre perspectivas futuras e problemas em abertos relacionados aos
resultados desta tese.
8
2 PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Seja AN = ΣA um shift sob um alfabeto finito A = {1, 2, ..., k1 }. Tais sequências são
denotadas por x = (xi )i∈N , ou por x = x0 x1 x2 ..., onde cada xi ∈ A. Um bloco ou palavra sob A é
concatenação de símbolos de A.
Seja a matriz M : A × A → {0, 1}. Chamamos de subshift ΣA (M), o conjunto de ΣA como
sendo o conjunto de todas as palavras permitidas(admissíveis), ou seja,
ΣA (M) = {(x j )∞j=0 : Mx j x j+1 = 1, para j ∈ N}
Se todas as palavras são admissíveis, dizemos que o subshift ΣA (M) = ΣA é um shift total. E se o conjunto formado pelas palavras não admissíveis for finito, dizemos que ΣA (M) é um
subshift do tipo finito. A dinâmica que consideraremos em ΣA (M) é a aplicação deslocamento
σ : ΣA (M) → ΣA (M) que associa cada sequência x à sequência y = σ (x) cuja i-ésima coordenada é yi = xi+1 . Chamamos também de shift de Markov topológico unilateral(ΣA (M), σ )(ou
simplesmente shift de Markov) ao conjunto ΣA (M) juntamente com a aplicação σ .
Chamamos de cilindro o conjunto [w] = [w0 w1 ...wn−1 ] = {x ∈ Σ : x0 = w0 ...xn−1 =
wn−1 }.
Dado θ ∈ (0, 1). A distância entre duas sequências x e y é dada por
d(x, y) = θ N(x,y) .
onde N(x, y) = mink≥0 {xk ̸= yk } ∪ {+∞}.
A métrica d gera uma topologia em ΣA (M). ΣA (M) é compacto, pois #A < ∞. A σ álgebra gerada pelos conjuntos abertos coincide com a gerada pelos cilindros.
O seguinte teorema dá uma fórmula para a pressão topológica, veja (WALTERS, ) e
(OLIVEIRA; VIANA, ) para mais detalhes.
Teorema 2.1 (Princípio Variacional). Seja f uma transformação contínua de um espaço métrico compacto X e g ∈ C(X, R). Então, a pressão topológica de g é dada por
Z
Pf (g) = sup{hµ ( f ) +
gdµ : µ ∈ M f }
onde hµ ( f ) é a entropia de Kolmogorov-Sinai. Em particular, para g = 0 temos que a
entropia topológica htop ( f ) é o supremo sobre todas as medidas de probabilidade da entropia
de Kolmogorov-Sinai.
9
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Em (BOWEN, 1970), Bowen mostra que a entropia topológica de um Axioma A é
igual à taxa de crescimento do número de órbitas periódicas. Isto foi estendido para a pressão
topológica e foi mostrado que o resultado vale para várias classes de sistemas dinâmicos, em
particular para shifts de Markov.
Teorema 2.2. Seja (ΣA (M), σ ) um shift de Markov topologicamente mixing sobre um alfabeto
finito e g ∈ C(ΣA (M), R). Então
!
1
Pσ (g) = lim log
n→∞ n
∑
gn (x)
e
.
x∈Σ: σ n (x)=x
Observação 2.1. Denotaremos ΣA (M) = AN simplesmente por Σ, quando não houver confusão
em relação ao alfabeto A.
Abaixo damos a definição de medida de Gibbs.
Definição 2.1. Chamamos uma medida µ em Σ de medida de Gibbs para uma função ψ : Σ → R
se existem constantes C > 0 e P(ψ) tal que
C−1 ≤
µ[x0 ...xn−1 ]
≤C
n
eψ (x)−nP(ψ)
k
para todo x ∈ Σ, onde ψ n (x) := ∑n−1
k=0 ψ(σ (x)) e [x0 ...xn−1 ] = {y ∈ Σ : y0 ...yn−1 = x0 ...xn−1 }.
Como consequência da definição acima é que cada potencial ψ associado à medida de
Gibbs µ é contínuo. Ruelle prova em (RUELLE, 1968) que se A é finito e (Σ, σ ) é topologicamente mixing, então existe uma única medida de Gibbs associada a cada potencial Hölder
contínuo ψ : Σ → R. Além disso, cada medida de Gibbs é também um estado de equilíbrio para
ψ, definido como segue:
Definição 2.2. Chamamos a medida µ ∈ Mσ de um estado de equilíbrio para ψ se
Z
hµ ( f ) +
Z
ψdµ = sup{hν (σ ) +
Σ
ψdν : ν ∈ Mσ ,
Σ
Z
ψdν > −∞}
Σ
Quando A é infinito, é bem possível que certos potenciais Hölder contínuos não tenham
um estado de equilíbrio ou/e uma medida de Gibbs. Para garantir a existência de uma medida
de Gibbs, hipóteses adicionais são assumidas. Um delas é a seguinte:
Definição 2.3. Seja A um alfabeto infinito. Um potencial ψ : ΣA (M) → R é dito somável se
satisfaz a condição
∑ esupx∈[a] ψ(x) < ∞
a∈A
10
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
Denotamos por SM o conjunto de todas as funções somáveis ψ : ΣA (M) → R que satisfazem a condição adicional ∑∞
n=1 varn (ψ) < ∞.
Dizemos que a matriz M é finitamente primitiva se existe um inteiro N e um conjunto
finito C ⊂ A tal que para cada a, b ∈ A podemos encontrar ( j1 ... jn ) ∈ CN tal que o cilindro
[a j1 ... jn b] ⊆ ΣA (M) é não vazio. R. D. Mauldin e M. Urbański demonstram o seguinte teorema
(veja [(MAULDIN; URBANSKI, b; MAULDIN; URBANSKI, a)]):
Teorema 2.3 ((MAULDIN; URBANSKI, b; MAULDIN; URBANSKI, a)). Se ψ ∈ SM e M é
finitamente primitiva, então P(ψ) é finita e ψ possui uma única medida de Gibbs invariante
µψ .
Nota-se que, enquanto cada ψ ∈ SM possui pressão finita e possui uma medida de Gibbs
invariante, em alguns casos, esta medida pode ter entropia infinita e, portanto, não é um estado
de equilíbrio. No entanto, Mauldin e Urbański foram capazes de mostrar o seguinte:
Proposição 2.1. Seja ψ ∈ SM e suponha que a condição adicional
∑ sup |ψ(x)|esupx∈[a] ψ(x) < ∞
a x∈[a]
vale. Então a medida invariante µψ satisfaz hµψ < ∞,
equilíbrio.
R
|ψ|dµψ < ∞ e µψ é um estado de
Em (BOWEN, 1975), Bowen considera subshifts do tipo finito unilaterais Σ e o conjunto
F (Σ) ⊂ C(Σ) de todas funções que são Hölder contínuas com respeito a uma certa métrica. Para
ψ ∈ F (Σ), ele prova a existência e unicidade de um estado de equilíbrio µ(Teorema 1.7) que é
uma medida de Gibbs(Teorema 1.16).
Em (HOFBAUER, 1977), Hofbauer considera o mesmo problema para funções que não
são Hölder contínuas. Ele dá informações acerca da unicidade e não unicidade de estados de
equilíbrio e condições para que o estado de equilíbrio seja uma medida de Gibbs. Mais detalhes
serão dados posteriormente na Seção 4.0.1.
Dadas duas sequências de números reais (ak )k≥1 e (bk )k≥1 . Dizemos que ak ≈ bk se
existe constantes K1 , K2 > 0 tal que
K1 ≤
ak
≤ K2 , para todo k ≥ 1.
bk
A definição abaixo de variação pontual e variação em um conjunto serão úteis para dar
uma estimativa para a regularidade do potencial ψ2 no Teorema B.
Definição 2.4. Dado um alfabeto finito A e o espaço shift associado Σ = AN . Definimos n-ésima
variação de ψ em x = x0 x1 ...xn ..., por
11
Capítulo 2. PRELIMINARES E NOTAÇÕES
varn (ψ, x) = sup{|ψ(x) − ψ(w)| : w ∈ Cn (x)}.
onde, Cn (x) = [x0 ...xn−1 ] = {w ∈ Σ : w0 ...wn−1 = x0 ...xn−1 }. E a variação de ψ : Σ → R no
conjunto K ⊂ Σ por
varn (ψ, K) := sup varn (ψ, x).
x∈K
Seja (ΣA , σ1 ) e (ΣB , σ2 ) dois subshifts sobre os alfabetos finitos A e B, respectivamente.
Dizemos que ΣB é um fator de ΣA se, existe uma aplicação contínua e sobrejetiva Π : ΣA → ΣB
tal que Π ∘ σ1 = σ2 ∘ Π. A aplicação Π é chamada de uma aplicação fator. Além disso Π é
chamado uma aplicação fator 1-bloco se existe uma aplicação π : A → B tal que
Π(x) = (π(xi ))∞
i=1
onde x = x0 x1 x2 ... ∈ ΣA
12
3 RESULTADOS
3.1
Definição de Medida Gibbs Sequencial
Agora, daremos a definição de uma classe de medidas chamadas medidas Gibbs sequenciais que incluem como exemplos as medidas de Gibbs, segundo Bowen, e as medidas Gibbs
não-lacunares.
Definição 3.1. Dizemos que uma medida µ é uma medida Gibbs sequencial para um potencial ψ : Σ → R se existem constantes K > 0 e P ∈ R, e um conjunto G ⊂ Σ com µ(G) = 1,
tal que dado x ∈ G existe um sequência n1 (x) < n2 (x) < n3 (x) < · · · tal que para cada y ∈
σ − j ([x j ...xni −1 ]) temos
K −1 ≤
µ[x j ...xni −1 ]
≤K
ψ ni − j (σ j (y))−(ni − j)P
(3.1)
e
onde 0 ≤ j ≤ ni − 1.
A subsequência maximal (ni (x))i que satisfaz a Desigualdade (3.1) é chamada de sequência de tempos Gibbs sequencial de x. Chamaremos simplesmente de tempo Gibbs de x. Note
que se ni (x) é um tempo Gibbs de x então para n ≤ ni (x), ni (x) − n é um tempo Gibbs de σ n (x).
A definição de medidas Gibbs sequenciais depende das constantes K e P. Nesta tese,
assumiremos que essas constantes são fixadas e, por causa da notação e claridade não mencionaremos essa dependência.
Se denotarmos por G = {x ∈ Σ : x possui infinitos tempos Gibbs}, provaremos que P é
unicamente determinado pela pressão PG (ψ) de ψ com respeito à G.
Para definir PG (ψ), denotamos por Cn o conjunto de todos os cilindros de comprimento
n. Consideramos a família mα (·, ψ, N) de medidas exteriores definidas por
mα (G, ψ, N) = inf ∑ e−αn(C)+supC ψ
n(C) (x)
U C∈U
,
onde o ínfimo é tomado sobre todas as coberturas abertas U ⊂ ∪n≥N Cn de G e n(C) é o comprimento de C. Então, podemos tomar o limite
mα (G, ψ) = lim mα (G, ψ, N)
N→∞
e definir
PG (ψ) = inf{α ∈ R; mα (G, ψ) = 0}.
13
Capítulo 3. RESULTADOS
Prova-se(Proposição 1.2 de (PESIN, 1997)) que PG (ψ) também é dada por
PG (ψ) = sup{α ∈ R; mα (G, ψ) = ∞}.
Para mais detalhes, veja Seção 11, Capítulo 4 de (PESIN, 1997). Agora, provaremos que
Proposição 3.1. Se ψ admite uma medida Gibbs sequencial µ, então P = PG (ψ) é o único
número P que satisfaz a Equação (3.1). Além disso, se µ é uma medida invariante e ergódica
R
temos PG (ψ) = hµ ( f ) + ψ dµ.
Demonstração. De fato, assuma que µ é uma medida Gibbs sequencial com constantes K e P
satisfazendo a Equação (3.1). Para a primeira parte, denote por Gn a coleção de todos os cilindros
C = [x0 . . . xn−1 ] tal que n é um tempo Gibbs para algum x ∈ C. Fixado k, pela definição de G
temos que Uk = ∪n>k Gn é uma cobertura aberta de G e
Vk =
[
{[x0 . . . xn−1 ] ∈ Gn : [x0 . . . xl−1 ] ∈
/ Gl , for k ≤ l < n}
n>k
é uma partição aberta de G. Para cada γ > P temos que
mγ (G, ψ, k) ≤ ∑ e−γn(C)+supC ψ
n(C) (x)
=
C∈Vk
−(γ−P)n(C)
=e
∑ e−Pn(C)+supC ψ
n(C) (x)
≤ Ke−(γ−P)k ∑ µ(C).
C∈Vk
C∈Vk
Sendo ∑C∈Vk µ(C) ≤ 1, fazendo k → ∞, temos que mγ (G, ψ) = 0 e P ≥ PG (ψ).
Para a outra desigualdade temos, que para cada γ < P e dado ε > 0, existe uma cobertura
de G, U ⊂ ∪n≥k Cn , tal que
mγ (G, ψ, k) + ε ≥ ∑ e−γn(C)+supC ψ
n(C) (x)
∑ e−γn(C)+supC ψ
≥
C∈U
n(C) (x)
C∈U j
onde U j = ∪n> j Gn ⊆ U e j ≥ k. Então
mγ (G, ψ, k) + ε ≥ e−(γ−P)n(C) ∑ e−Pn(C)+supC ψ
n(C) (x)
C∈V j
≥ K −1 e−(γ−P)k ∑ µ(C)
C∈V j
Sendo 0 < β < ∑C∈V j µ(C) ≤ 1, fazendo k → ∞(que implica j → ∞), temos que mγ (G, ψ) = ∞
e P ≤ PG (ψ).
R
Agora, provaremos que PG (ψ) = hµ ( f ) + ψ dµ para uma medida Gibbs sequencial
invariante e ergódica. Observe que pela fórmula de entropia local de Brin-Katok temos que
para µ-q.t.p. x ∈ G, se ni (x) é a sequência de tempos Gibbs de x então
1
hµ ( f ) = − lim log µ([x0 . . . xni −1 ]) = PG (ψ) −
ni
Z
ψ dµ.
14
Capítulo 3. RESULTADOS
Como a constante P é unicamente definida, a chamamos de pressão da medida Gibbs
sequencial µ.
De acordo com a Proposição 3.2 abaixo, não há perda de generalidade em assumir que
P = 0 na Equação (3.1).
Proposição 3.2. A medida µ é uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ com constante
P se, e somente se, µ é uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ − P com constante
zero.
Demonstração. Se µ é uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ com constante P,
então
ni − j
j
µ[x j ...xni −1 ] ≈ eψ (σ (y))−(ni − j)P
para cada y ∈ σ − j ([x j ...xni −1 ]) e tempo Gibbs ni com 0 ≤ j ≤ ni − 1.
Defina o potencial ψ̃ := ψ − P. Note que,
ψ̃ ni − j (σ j (y)) = (ψ − P)ni − j (σ j (y)) = ψ ni − j (σ j (y)) − (ni − j)P
Então,
µ[x j ...xni −1 ] ≈ eψ̃
ni − j (σ j (y))
Provando uma parte. A recíproca segue de maneira análoga.
Sejam Σ1 = ΣA e Σ2 = ΣB dois shifts totais em alfabetos finitos A e B, respectivamente.
Sejam σ1 e σ2 suas aplicações deslocamentos, respectivamente.
Definição 3.2. Dizemos que uma aplicação fator 1-bloco Π : Σ1 → Σ2 é regular com respeito à
medida Gibbs sequencial µ em Σ1 , se existe um conjunto de medida total C ⊂ G ⊂ Σ1 tal que
dado x ∈ C então Π−1 (Π(x)) ⊂ G e n1 (x) = n1 (y), se y ∈ Π−1 (Π(x)).
Suponha que µ é uma medida tal que µ(F) = 1 ⇒ µ(σ −1 (F)) = 1 para todo F ⊆ Σ1 .
A Proposição 3.3 abaixo nos diz que em µ-q.t.p. se Π(x) = Π(y) então temos que a sequência
de tempos Gibbs de x e y é a mesma.
Proposição 3.3. Existe um conjunto Ĉ ⊂ C, µ(Ĉ) = 1, tal que dado x, y ∈ Ĉ, com Π(x) = Π(y),
então nk (x) = nk (y), para cada k ≥ 1.
n
(x)
Demonstração. Sendo nk (x) = n1 (σ1 k−1 (x)) e Π regular com respeito à µ então podemos
definir D = Π(∩k≥0 σ1−k (C)) ⊆ Σ2 satisfazendo
ν(D) = ν(Π(∩k≥0 σ1−k (C))) = µ(∩k≥0 σ1−k (C)) = 1
15
Capítulo 3. RESULTADOS
isto é, D ⊂ Σ2 é um conjunto de medida total em relação à medida ν = µ ∘ Π−1 tal que Ĉ :=
Π−1 (D) ⊂ C e dado x, y ∈ Ĉ, com Π(x) = Π(y) então nk (x) = nk (y), para cada k ≥ 1.
Observação 3.1. Se Π é regular, não há perda de generalidade em assumir que Ĉ = G. Então
Π(G) = D.
3.2
Demonstração do Teorema A
Nesta seção iremos enunciar e demonstrar o Teorema A.
Teorema A. Seja µ uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ1 : Σ1 → R. Se ψ1 é contínuo em µ-q.t.p. e Π é uma aplicação fator 1-bloco regular com respeito à µ, então a medida
ν := µ ∘ Π−1 em Σ2 também é uma medida Gibbs sequencial para um potencial contínuo em
ν-q.t.p. ψ2 : Σ2 → R.
Abaixo, discutiremos uma forma natural para produzir medidas Gibbs sequenciais. A
função de primeiro tempo Gibbs n1 : G → R possui alguma informação à cerca do crescimento
da função nk . De fato, a proposição abaixo retrata isso.
R
Proposição 3.4. Se µ é uma medida Gibbs sequencial ergódica tal que n1 dµ < ∞, então para
µ-q.t.p. x ∈ Σ1 , existe b(x) tal que para cada k ≥ 0 temos que nk (x) ≤ bk.
Demonstração. Seja G o conjunto dos pontos que possuem infinitos tempos Gibbs. Podemos
definir g : G → G por
g : G → G, g(x) = σ n1 (x) (x),
R
Sendo n1 dµ < ∞, usando o Teorema 1.1 de (ZWEIMÜLLER, 2005) temos que existe
uma medida g-invariante ergódica µg absolutamente contínua com respeito à µ. Além disso, se
Gk é o subconjunto de pontos x ∈ G tal que n1 (x) = k então podemos caracterizar esta medida
definindo
∞
µ(B) = ∑ ∑ µg (σ −n (B) ∩ Gk ),
(3.2)
n=0 k>n
para cada conjunto mensurável B ⊂ Σ1 . Então, pelo Teorema Ergódico de Birkhoff aplicado ao
sistema (g, µg ), temos que para µg -q.t.p. x
1 k−1
lim ∑ n1 (g j (x)) =
k→∞ k j=0
Z
n1 dµg .
k−1
Observe que nk (x) = ∑ n1 (g j (x)). Consequentemente, temos que
j=0
nk (x)
1 k−1
lim
= lim ∑ n1 (g j (x)) =
k→∞ k
k→∞ k j=0
Z
n1 dµg ,
(3.3)
16
Capítulo 3. RESULTADOS
e isto finaliza a prova.
3.2.1
Definição do Potencial ψ2
Nesta seção, construiremos o potencial ψ2 do Teorema A, obtido como o limite de
uma sequência de funções. As explicações abaixo nos darão uma motivação de como será essa
construção.
Sendo µ uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ1 , então existe uma constante
K > 0 tal que
K −1 ≤
µ[x j ...xni −1 ]
n −j
ψ1 i
e
(σ j (y))
≤K
para 0 ≤ j ≤ ni − 1.
Fixado j = 0, então
K −1 ≤
µ[x0 ...xni −1 ]
ni
eψ1 (y)
≤K
Seja z ∈ Π(G) = D ⊂ Σ2 , onde Π é a aplicação fator 1-bloco regular da Definição 3.2.
Tomando a soma sobre todos x0 ...xni −1 que são projetados em z, temos
K −1
ni
∑
eψ1 (x) ≤
x=x0 ...xni −1
∑
µ[x0 ...xni −1 ] = ν[z0 ...zni −1 ]
x0 ...xni −1
ni
≤ K
∑
eψ1 (x)
x=x0 ...xni −1
Se pudermos encontrar uma constante positiva C e uma função ψ2 tal que em ν-q.t.p.
z ∈ Σ2 tenhamos
C−1
ni
∑
ni
eψ1 (x) ≤ eψ2 (z) ≤ C
x=x0 ...xni −1
ni
∑
eψ1 (x)
x=x0 ...xni −1
Então, combinado as duas desigualdades anteriores, teríamos
K −1 ν[z0 ...zni −1 ]
K
≤
≤ −1
ni
C
C
eψ2 (z)
(3.4)
17
Capítulo 3. RESULTADOS
Isto faria de ψ2 um potencial para ν.
Pode-se aplicar as mesmas ideias para x1 ...xni −1 pois ni − 1 é tempo Gibbs de σ1 (x),
então teríamos
C−1
ni −1
∑
eψ1
(σ1 (x))
ni −1
≤ eψ2
(σ2 (z))
ni −1
≤C
x=x1 ...xni −1
∑
eψ1
(σ1 (x))
x=x1 ...xni −1
ni −1
Então, dividindo por eψ2
(σ2 (z)) na Equação 3.4 temos
ni
ni
ψ (x)
ψ (x)
C−1 ∑x=x0 ...xni −1 e 1
C ∑x=x0 ...xni −1 e 1
ψ2 (z)
≤ −1
ni −1 ′ ≤ e
ni −1 ′
C ∑′
C ∑′
eψ1 (x )
eψ1 (x )
x =x1 ...xni −1
x =x1 ...xni −1
Nosso objetivo é usar essas equações, fazendo i → ∞, para definir um potencial ψ2
em ν-q.t.p. z ∈ Σ2 . Para isso definimos a sequência de funções abaixo e investigaremos sua
convergência.
Definição 3.3. Dado k ∈ N e w ∈ Σ1 , definimos uw,k : D ⊆ Σ2 → R por
nk +1
uw,k (z) =
∑x=x0 ...xnk eψ1
nk
(xw)
′
∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x w)
,
onde ∑x=x0 ...xn representa a soma sobre todas palavras finitas x = x0 x1 . . . xnk tal que π(xi ) = zi ,
k
para i = 0, ..., nk e xw = x0 ...xn w0 w1 ....
Mostraremos que a sequência uw,k (·) converge em ν-q.t.p. z ∈ Σ2 e o limite não depende
da escolha de w.
Proposição 3.5. O limite u(z) := limk→∞ uw,k (z) está bem definido e não depende de w.
A Proposição 3.5 é o ponto central da prova do Teorema A. Iremos deixar a demonstração para a Subseção 3.2.2. Por enquanto assumiremos a veracidade da Proposição, e iremos
provar que ν = µ ∘ Π−1 é uma medida Gibbs sequencial para ψ2 = log u. Mas primeiramente,
provaremos o seguinte lema.
Lema 3.1. Existe uma constante C > 0, dependendo somente de ψ1 , tal que para cada w, w′ ,
para a sequência de temos Gibbs (ni (x))i≥1 e 0 ≤ l ≤ ni , temos
ni −l+1
eψ1
ni −l+1
eψ1
(σ l (xw))
(σ l (xw′ ))
≤C
18
Capítulo 3. RESULTADOS
Demonstração. Note que na definição de medida Gibbs sequencial, temos para cada escolha w,
w′ e x = x0 ...xni (com 0 ≤ l ≤ ni ),
ni −l+1
K1 eψ1
(σ l (xw))
ni −l+1
≤ µ[xl ...xni ] ≤ K2 eψ1
(σ l (xw′ ))
Assim,
ni −l+1
eψ1
(σ l (xw))
n −l+1 l
ψ1 i
(σ (xw′ ))
≤
e
K2
=C
K1
Corolário 3.1. Com as mesmas hipóteses do Lema 3.1, temos que existe uma constante C > 0,
dependendo somente de ψ1 , tal que para cada ni e 0 ≤ l ≤ ni , temos
ni −l+1
∑x=xl ...xni eψ1
n −l+1
∑x=xl ...xni
i
eψ1
(xw)
(xw′ )
≤C
Demonstração. A demonstração segue trivialmente do fato elementar de que se abii ≤ C, com
ai , bi ∈ R+ e i = 1, ..., k, então
∑kj=1 a j
≤ C.
∑kj=1 b j
Podemos agora definir o potencial para ν.
Definição 3.4. Definimos o potencial ψ2 : D ⊆ Σ2 → R por ψ2 (z) := log u(z).
O obstáculo principal é mostrar que o potencial ψ2 está bem definido. Seguiremos as
mesmas linhas de (POLLICOTT; KEMPTON, 2011) para provarmos o Teorema A. Suponha,
por um momento, que a Proposição 3.5 seja verdadeira. Temos o seguinte lema:
Lema 3.2. A medida ν = µ ∘ Π−1 é uma medida Gibbs sequencial para o potencial ψ2 (z) =
log u(z).
Demonstração. Fixemos n ≥ 1. Podemos escrever
n
ψ2n+1 (z) = ∑ log u(σ i (z)) = lim log uw,k (z) + ... + lim log uw,k (σ n (z))
k→∞
i=0
k→∞
Sendo nk (z) − l um tempo Gibbs de σ l (z), para 1 ≤ l ≤ nk , podemos escolher uma
sequência (ilk )k≥1 , tal que nil (σ l (z)) = nk (z) − l. Consequentemente, dado n
k
19
Capítulo 3. RESULTADOS
n
n
uw,i0 (z) (z) · ... · uw,ik (σ n (z)) (σ (z) =
k
nk +1
nk
∑x=x0 ...xnk eψ1 (xw) ∑x=x1 ...xnk eψ1 (xw)
= lim log
·
· ...
nk ′
nk ′
k→∞
∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x w) ∑x′ =x2 ...xnk eψ1 (x w)
nk −n+1
nk +1
ψ
(xw)
ψ
(xw)
1
1
e
∑
∑x=xn ...xnk e
= lim log x=x0 ...xnk
·
n −n
nk −n ′
k→∞
ψ1 k (xw)
ψ1
(x w)
′
e
e
∑x =xn+1 ...xnk
∑x=xn+1 ...xnk
ψ2n+1 (z) = lim log
k→∞
Note que da mesma forma, para 1 ≤ l ≤ n, temos
ψ2n−l+1 (σ l (z)) = lim log
k→∞
nk −l+1
∑x=xl ...xnk eψ1
(xw)
n −n
∑x=xn+1 ...xnk
k
eψ1
(xw)
(3.5)
Além disso, para nk > ni e 0 ≤ l ≤ ni podemos escrever
nk −l+1
eψ1
∑
(xw)
ni −l+1
=
x=xl ...xnk
∑
eψ1
∑
n −ni
(xxw) ψ1 k
e
(xw)
x=xl ...xni x=xni +1 ...xnk
Pelo Corolário 3.1, para 0 ≤ l ≤ ni temos
nk −l+1
eψ1
∑
(xw)
ni −l+1
≤C
x=xl ...xnk
eψ1
∑
′
nk −ni
(x′ w)
∑
eψ1
(xw)
,
x=xni +1 ...xnk
x =xl ...xni
e também segue do Corolário 3.1 que
nk −l+1
C−1 ·
∑
′
n −l+1 ′
ψ1 i
(x w)
e
≤
∑x=xl ...xnk eψ1
(xw)
n −n
ψ1 k i (xw)
≤C·
∑x=xni +1 ...xnk e
x =xl ...xni
∑
′
ni −l+1 ′
(x w)
eψ1
x =xl ...xni
Fazendo k → ∞ e usando a Equação 3.5, temos
C−1 ·
ni −l+1
∑
′
eψ1
(x′ w)
ni −l+1
≤ eψ2
(σ l (z))
≤C·
x =xl ...xni
ni −l+1
∑
′
eψ1
(x′ w)
x =xl ...xni
E então
ni −l+1
eψ2
(σ l (z))
≈
ni −l+1
∑
′
eψ1
(x′ w)
x =xl ...xni
Sendo µ uma medida Gibbs sequencial para ψ1 , existe uma constante K > 0, tal que
para cada x ∈ Π−1 (z) ∩ G e uma sequência (ni (x))i≥1 ,
20
Capítulo 3. RESULTADOS
ni +1−l
K −1 eψ1
(σ l (x))
ni +1−l
≤ µ1 ([xl ...xni ]) ≤ Keψ1
(σ l (x))
.
para 0 ≤ l ≤ ni . Adicionando sobre todas as palavras x ∈ G que são projetadas em z, temos
K1
ni −l+1
∑
′
eψ1
(x′ w)
≤
∑ µ([xl ...xni ])
xl ...xni
x =xl ...xni
ni −l+1
≤ K2
eψ1
∑
′
(x′ w)
x =xl ...xni
então,
ni −l+1
eψ1
∑ µ([xl ...xni ]) ≈ ′ ∑
xl ...xni
x =xl ...xni
ν([zl ...zni ]) =
∑ µ([xl ...xni ]) ≈ eψ2
(x′ w)
Portanto,
ni −l+1
(σ l (z))
xl ...xni
para cada 0 ≤ l ≤ ni , provando que ν é uma medida Gibbs sequencial de σ2 : D ⊆ Σ2 → Σ2 para
o potencial ψ2 : D ⊆ Σ2 → R.
3.2.2
O potencial ψ2 está bem definido
Nesta seção, provaremos que ψ2 está bem definido. Daremos algumas definições que
nos ajudarão nesse propósito.
Definição 3.5. Seja k ∈ N e z ∈ D. Definimos o intervalo fechado
uw′ ,k (z) .
Λk (z) := min uw,k (z), max
′
w
w
Dado k ∈ N e z ∈ D. Definimos
uw,k (z)
′
: w, w ∈ Σ1 .
λk (z) := sup
uw′ ,k (z)
Dizemos que a sequência de intervalos In é monotonicamente encaixada se temos
I0 ⊇ I1 ⊇ ... ⊇ In ⊇ ...
No próximo lema, mostraremos que a sequência (Λk (z))k≥1 é monotonicamente encaixada. Então, a existência de ψ2 em ν-q.t.p. z ∈ Σ2 corresponde à convergência para zero do
comprimento de (Λk (z)). Isso é feito mostrando a convergência para 1(em ν-q.t.p.) da sequência λk (z).
21
Capítulo 3. RESULTADOS
Lema 3.3. A sequência de intervalos (Λk (z))k≥1 é monotonicamente encaixada.
Demonstração. Dado z ∈ D, observe que
nk+1 +1
uw,k+1 (z) =
∑x=x0 ...xnk+1 eψ1
nk+1
∑x′ =x1 ...xnk+1 eψ1
(xw)
(x′ w)
nk +1
=
∑x=x0 ...xnk ∑x=xnk +1...xnk+1 eψ1
n
(xxw) eψ1 k+1
−nk
nk+1 −nk
nk
∑x′ =x1 ...xnk ∑x=xnk +1...xnk+1 eψ1 (xxw) eψ1
nk +1
≤ max
∑x=x0 ...xnk eψ1
x
(xw)
(xw)
(xxw)
nk
′
∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x xw)
≤ max uxw,k (z)
x
≤ max
uw′ ,k (z)
′
w
Por outro lado, para um dado x
min
uw′ ,k (z) ≤ min uxw,k (z)
′
xw
w
nk +1
= min
xw
∑x=x0 ...xnk eψ1
nk
(xxw)
′
∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x xw)
nk +1
≤
∑x=x0 ...xnk ∑x=xnk +1...xnk+1 eψ1
n
(xxw) eψ1 k+1
nk
nk+1 −nk
∑x′ =x1 ...xnk ∑x=xnk +1...xnk+1 eψ1 (xxw) eψ1
nk+1 +1
=
∑x=x0 ...xnk+1 eψ1
nk+1
∑x′ =x1 ...xnk+1 eψ1
−nk
(xw)
(xw)
(xw)
(x′ w)
= uw,k+1 (z)
Lema 3.4. Para ν-q.t.p. z ∈ Σ2 temos que λ0 (z) ≥ λ1 (z) ≥ ... ≥ λn (z) ≥ λn+1 (z) ≥ ... ≥ 1.
Demonstração. Das desigualdades do Lema 3.3, para w, w′ ∈ Σ1 , temos
uw,k+1 (z)
≤ sup
uw′ ,k+1 (z) v,v′ ∈Σ1
uv,k (z)
uv′ ,k (z)
= λk (z)
Tomando o supremo sobre w, w′ ∈ Σ1 , temos λk+1 (z) ≤ λk (z).
22
Capítulo 3. RESULTADOS
Agora, mostraremos que λk (z) → 1 para ν-q.t.p. z ∈ Σ2 . Essa parte é bastante técnica.
Para facilitar as notações, iremos definir um vetor de probabilidade de coordenadas(para cada
escolha x) Pk, i (x, w). Seja ni < nk um tempo Gibbs de z e palavras x0 ... xni que se projetam em
z. Dado x = xni +1 ...xnk , definimos
nk
Pk, i (x, w) =
∑x=x1 ...xni eψ1 (xxw)
nk
′
∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x w)
O vetor de probabilidade (Pk, i (x, w)) nos permite expressar a função uw,k em termos da
função uw,i , para i < k. De fato, temos que
Lema 3.5. Seja ni < nk tempos Gibbs de z ∈ D. Então, temos que
uw,k (z) =
uxw,i (z)Pk,i (x, w).
∑
x=xni +1 ... xnk
onde a soma é sob todas as palavras x0 , ... , xnk que se projetam em z0 , ... , znk .
Demonstração. Pela definição, o numerador de uw,k (z) é
nk +1
∑
eψ1
x=x0 ... xnk
(xw)
ni +1
=
∑
∑
eψ1
n −ni
(xxw) ψ1 k
e
(xw)
(3.6)
x=x0 ... xni x=xni +1 ... xnk
Além disso, podemos reescrever o lado direito da Equação (3.6) como
=
∑
x=xni +1 ... xnk
ni +1
(xxw)
n
ψ1 i (x′ xw)
∑x=x0 ...xni eψ1
∑x′ =x1 ... xni e
|
{z
∑
′
e
n −ni
eψ1 k
(xw)
(3.7)
x =x1 ... xni
}|
uxw,i (z)
n
ψ1 i (x′ xw)
{z
∑x′ =x1 ... xn
i
}
nk ′
eψ1 (x xw)
nk
Então, dividindo ambos os membros da Equação (3.7) por ∑x=x1 ... xn eψ1 (x w), temos
k
uw,k (z) =
∑
uxw,i (z) · Pk,i (x, w)
x=xni +1 ... xnk
Corolário 3.2.
∑x=xni +1 ... xnk uxw,i (z)Pk,i (x, w)
uw,k (z)
=
uw′ ,k (z) ∑x=xn +1 ... xn uxw′ ,i (z)Pk,i (x, w′ )
i
k
23
Capítulo 3. RESULTADOS
Demonstração. Segue diretamente do Lema 3.5.
Lema 3.6. Existe c > 0 tal que para cada ni < nk tempo Gibbs de z, x = xni +1 ...xnk que se
projetam em z = zni +1 ...znk e w, w′ temos
Pk,i (x, w)
≥c
Pk,i (x, w′ )
Demonstração. Sendo que xxw e xxw′ coincide em nk locais e pela propriedade Gibbs em (3.1)
temos
nk
eψ1 (xxw)
n
k
′
eψ1 (xxw )
≤ K2 · K1−1
Podemos escrever
nk
nk
′ ′
∑x=x1 ...xni eψ1 (xxw) ∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x w )
Pk,i (x, w)
·
=
nk
nk ′
′
Pk,i (x, w′ )
∑x=x1 ...xni eψ1 (xxw ) ∑x′ =x1 ...xnk eψ1 (x w)
≤ (K2 · K1−1 )2
Para finalizar a prova do Lema 3.6, basta tomar
c=
1
.
(K2 · K1−1 )2
Lema 3.7. Com as mesmas notações do Lema 3.6 temos
n
n −n
uxw,i (z)
2 k
var (ψ ,Π−1 (σ2 k (z)))
≤ e ∑n=nk −ni n 1
uxw′ ,i (z)
Demonstração. Considerando primeiramente o numerador, temos
ni +1
∑x=x0 ...xni eψ1 (xxw)
numerador(uxw,i (z))
=
ni +1
′
numerador(uxw′ ,i (z)) ∑
eψ1 (xxw )
x=x0 ...xni
e comparando termo a termo, vemos que σ j (xxw) e σ j (xxw′ ) coincide em nk − ni + (ni − j)
locais, e então para cada escolha de x,
ni +1
eψ1
n +1
i
eψ1
(xxw)
(xxw′ )
nk
≤ e∑n=nk −ni
n −n
varn (ψ1 ,σ1 k
(x))
nk
≤ e∑n=nk −ni
n −n
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
24
Capítulo 3. RESULTADOS
Somando sobre todas escolhas de x e fazendo um calculo idêntico para o denominador o lema
estará demonstrado.
Corolário 3.3.
n
n −n
uxwmax ,i (z)
var (ψ ,Π−1 (σ2 k (z)))
2 k
≤ e ∑n=nk −ni n 1
uxwmin ,i (z)
onde wmax e xwmin são concatenações xw que maximizam e minimizam, respectivamente, uxw,i (z).
Lema 3.8 (Lema chave). Seja (ni )i≥1 a sequência de tempos Gibbs de z. Para k ≥ i, temos
2
n −n
nk
λk (z) ≤ c · e ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
+ (1 − c)λi (z)
(3.8)
Demonstração. Suponha que para k ≥ i
λi (z) = max
x
uxwmax ,i (z)
uxwmin ,i (z)
!
2
n −n
nk
≤ e ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
.
Então, pelo Lema 3.4, (λk (z))k é decrescente e temos que
λk (z) ≤ λi (z) = cλi (z) + (1 − c)λi (z)
2
nk
≤ c · e ∑n=nk −ni
n −n
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
+ (1 − c)λi (z).
Agora se assumimos que
λi (z) = max
x
uxwmax ,i (z)
uxwmin ,i (z)
!
2
nk
> e ∑n=nk −ni
n −n
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
.
Pelo Corolário 3.2, temos
∑x=xni +1 ...xnk uxwmax ,i (z)Pk,i (x, wmax )
uwmax ,k (z)
=
uwmin ,k (z)
∑x=xni +1 ...xnk uxwmin ,i (z)Pk,i (x, wmin )
Para simplificar a notação, iremos fixar z e enumerar o conjunto I de todas as possíveis
escolhas x ∈ Π−1 (z). Então, a soma ∑x=xn +1 ...xn pode ser denotada pela soma ∑l∈I .
i
k
Seja P1 o vetor de probabilidade Pk,i (x, wmax ) e P2 o vetor Pk,i (x, wmin ). Também denote
por V1 o vetor (uxwmax ,i (z)) e V2 o vetor (uxwmin ,i (z)), onde x é escolhido sobre I . Se al e bl
representa o l-ésimo termo de V1 e V2 , respectivamente, e I é o vetor de |I | coordenadas e com
1 em todas as suas coordenadas. Então, podemos resumir a igualdade acima como
25
Capítulo 3. RESULTADOS
uwmax ,k (z)
P1 ·V1
cP1 ·V1 + (1 − c)P1 ·V1
=
=
uwmin ,k (z)
P2 ·V2 cP1 ·V2 + (P2 − cP1 ) ·V2
(3.9)
onde o sinal · é representa o produto interno em R|I | .
2
n −n
nk
Pelo Lema 3.7, al ≤ bl e ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
n −n
nk
2
(z)))
P1 ·V1 ≤ e ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
para cada l. Assim,
(z)))
P1 ·V2 .
Portanto, na Equação (3.9) temos
nk
−1
nk −n
var (ψ ,Π (σ2
(z)))
2
uwmax ,k (z)
ce ∑n=nk −ni n 1
P1 ·V2 + (1 − c)P1 ·V1
≤
uwmin ,k (z)
cP1 ·V2 + (P2 − cP1 ) ·V2
2
≤
n −n
nk
ce ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
P1 ·V2 + (1 − c)P1 · I maxl al
cP1 ·V2 + (P2 − cP1 ) · I minl bl
Provaremos o seguinte lema:
nk
2
n −n
var (ψ ,Π−1 (σ k
(z)))
2
Lema 3.9. Pondo α1 = ce ∑n=nk −ni n 1
I maxl al e β2 = (P2 − cP1 ) · I minl bl . Então αβ 1 < αβ 2 .
1
P1 · V2 , β1 = cP1 · V2 , α2 = (1 − c)P1 ·
2
Demonstração.
α2 β1 = cP1 ·V2 (1 − c)P1 · I max al
l
n −n
n
−1
k
k
2 ∑n=n
−n varn (ψ1 ,Π (σ2
≥ ce
k
i
(z)))
P1 ·V2 (1 − c)P1 · I min bl
l
nk
n −n
2 ∑n=n
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k (z)))
k −ni
≥ ce
P1 ·V2 (P2 − cP1 ) · I min bl = α1 β2
l
x1
x2
cx1 + x2
x1 + x2
<
implica
>
, para todo c ∈ (0, 1) e
y1
y2
cy1 + y2
y1 + y2
números reais positivos x1 , x2 , y1 e y2 . Usando o Lema 3.9, temos que
É um fato elementar que
nk
−1
nk −n
2
var (ψ ,Π (σ2
(z)))
uwmax ,k (z)
ce ∑n=nk −ni n 1
P1 · I minl bl
≤
+
uwmin ,k (z)
cP1 · I minl bl + (P2 − cP1 ) · I minl bl
(1 − c)P1 · I maxl al
+
cP1 · I minl bl + (P2 − cP1 ) · I minl bl
26
Capítulo 3. RESULTADOS
Como P1 e P2 são vetores de probabilidade, então 1 = P1 · I = P2 · I. Dividindo por minl bl , temos
2
n −n
nk
uwmax ,k (z)
≤
uwmin ,k (z)
(z)))
i (ai )
+ (1 − c) max
mini (bi )
c + (1 − c)
2
n −n
nk
= ce ∑n=nk −ni
2
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
ce ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
n −n
nk
resultando que λk (z) ≤ ce ∑n=nk −ni
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
(z)))
+ (1 − c)
maxi (ai )
mini (bi )
+ (1 − c)λi (z), como desejávamos.
Corolário 3.4. Em ν−q.t.p. z ∈ Σ2 , a sequência (λk (z))k converge para 1.
Demonstração. Para k > i, temos nk −ni = (nk −nk−1 )+(nk−1 −nk−2 )+...+(ni+1 −ni ) ≥ k −i.
Em particular, n2k − nk ≥ k. Pelo Lema 3.8, temos
2
nk
n −n
λ2k (z) ≤ c e ∑n=nk −ni
λ2k (z) − λk (z) ≤ c e
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k
(z)))
nk
n −n
2 ∑n=n
varn (ψ1 ,Π−1 (σ2 k (z)))
k −ni
+ (1 − c) λk (z)
− cλk (z)
Sendo que ψ1 é contínua, segue que
nk
−1 (σ n (z)))
2
e∑n=0 varn2k −n (ψ1 ,Π
n2k
≤ e∑n=n2k −nk
varn (ψ1 )
→ 1, quando k → ∞.
Como a sequência (λk (z))k é decrescente,
lim λk (z) ≤ 1.
k→∞
Pelo Lema 3.4, temos que limk→∞ λk (z) ≥ 1 e, portanto, limk→∞ λk (z) = 1.
Para finalizar a prova do resultado principal desta seção, provaremos o seguinte lema:
Lema 3.10. Para ν−a.e. z ∈ Σ2 o limite u(z) = limk→∞ uw,k (z) existe e ψ2 (z) := log(u(z)) é
contínua.
Demonstração. Para a existência do limite é suficiente usar o fato que λk (z) → 1 em ν−q.t.p.
z ∈ Σ2 .
Agora, provaremos a continuidade. Seja (ni )i≥1 a sequência de tempos Gibbs de z e n
tal que n ≥ nk (note que k ≤ n). Seja z′ ∈ [z0 ...zn ]. Pela definição de medida Gibbs sequencial,
temos que Λk (z) = Λk (z′ ). E o fato da sequência (Λn (z))n ser monotonicamente encaixada,
ambos u(z) e u(z′ ) estão no intervalo Λk (z). Portanto,
uw,k (z)
uw,k (z)
u(z)
≤ sup
= sup
= λk (z)
′
u(z′ )
w,w′ ∈Σ1 uw′ ,k (z )
w,w′ ∈Σ1 uw′ ,k (z)
27
Capítulo 3. RESULTADOS
Então
| log(u(z)) − log(u(z′ ))| ≤ log λk (z)
isso implica que ψ2 = log u é contínuo em z ∈ Σ2 . Portanto, como λk (z) → 1 é ν-q.t.p. então ψ2
é contínuo em ν- q.t.p. z ∈ Σ2 .
3.3
Demonstração do Teorema B
Nesta seção iremos enunciar e demonstrar o Teorema B.
Seja µ uma medida Gibbs sequencial para um potencial ψ1 contínuo em µ-q.t.p., Π
uma aplicação fator 1-bloco regular e ν = µ ∘ Π−1 a medida Gibbs sequencial do potencial ψ2
construído no Teorema A e nk (z) a sequência de tempos Gibbs de z ∈ Σ2 . Estudamos o módulo
da continuidade de ψ2 em um ponto z com respeito ao módulo da continuidade de ψ1 em Π−1 (z)
para uma classe de medidas Gibbs sequenciais.
Teorema B. Seja µ uma medida Gibbs sequencial para um potencial ψ1 : Σ1 → R contínuo
n (z)
em µ-q.t.p. Suponha que para ν-q.t.p. z ∈ Σ2 temos que lim supk→∞ kk < +∞ e que existe
uma função positiva decrescente fz : N → R tal que lim supk→∞ fz (k)k < +∞ e que para cada
1 ≤ j ≤ nk temos
var j (ψ1 , Π−1 (σ nk − j (w))) < fz ( j).
Então, dado γ < 1, existem constantes α ∈ (0, 1) e C > 0 tal que
vark (ψ2 , w) < C max{α k
1−γ
, fz ([kγ ])k},
.
Nas próximas subseções demonstraremos alguns corolários dos Teoremas A e B.
3.3.1
Decaimento Exponencial Esticado Local
Corolário A. (Decaimento exponencial esticado local): Suponha que existam constantes Γ1 , 0 <
β1 < 1 e θ1 ∈ (0, 1) tal que para cada w ∈ D = Π(G), se nk (w) é a sequência de tempos Gibbs
de w e para 1 ≤ j ≤ nk tivermos para k suficientemente grande
β
var j (ψ1 , Π−1 (σ nk − j (w)) < Γ1 θ1 j 1 .
Então, podemos escolher ψ2 de tal forma que ν é uma medida Gibbs sequencial para
ψ2 e que existam constantes θ2 ∈ (0, 1), Γ2 > 0 e 0 < β2 < 1 tais que para ν-q.t.p. w ∈ Σ2 temos
28
Capítulo 3. RESULTADOS
β
vark (ψ2 , w) < Γ2 θ2 k 2 .
β
Demonstração. No Teorema B, pomos fw ( j) = Γ1 · θ1 j 1 . Então, para γ < 1, temos
vark (ψ2 , w) < C max{α k
1
γ
[k0 ]β1
Seja k0 tal que θ := θ1 k0
1−γ
γ β
, Γ1 θ1 [k ] 1 k}
< 1 e β < 1 tal que [kγ ]β1 ≥ kβ . Então, para k ≥ k0 , temos
vark (ψ2 , w) < C max{α k
1−γ
β
, Γ1 θ β } < Γ2 θ2k 2
onde θ2 = max{α, θ } e β2 = max{1 − γ, β }.
3.3.2
Decaimento Polinomial Local
Corolário B. (Decaimento Polinomial Local): Suponha que existam constantes Γ1 > 0 e r > 2
tal que para cada w ∈ D, cada tempo Gibbs nk (w) de w e para cada 1 ≤ j ≤ nk temos
var j (ψ1 , Π−1 (σ nk − j (w))) < Γ1 j−r .
Então, podemos escolher ψ2 de tal forma que ν é uma medida Gibbs sequencial para
ψ2 e que existe uma constante Γ2 > 0 tal que para cada s < r − 1 e para ν-q.t.p. w ∈ Σ2 temos
vark (ψ2 , w) < Γ2 k−s .
Demonstração. No Teorema B, pomos fw (k) = Γ1 k−r . Então,
vark (ψ2 , w) < C max{α k
1−γ
, Γ1 [kγ ]−r k} ≤ C Γ1 [kγ ]−r k
Podemos escolher λ < 1 tal que [kγ ] > kλ para cada k. De fato,
kγ·λ − 1 ≤
kγ − 1 [kγ ]
≤ λ
kλ
k
Então
vark (ψ2 , w) < C Γ1 k1−λ r < C Γ1 k−s
Para finalizar a prova, basta por Γ2 = C Γ1 .
29
Capítulo 3. RESULTADOS
3.3.3
Variação Somável Local
Corolário C. (Variação Somável Local) Suponha que exista d > 0 tal que para cada w ∈ D e
cada tempo Gibbs nk de w, temos
∑ kd+1vark (ψ1, Π−1(w)) < ∞
k≥1
Então, podemos escolher ψ2 de tal forma que ν é uma medida Gibbs sequencial para
ψ2 satisfazendo ∑ kd vark (ψ2 , w) < ∞ para ν-q.t.p. w ∈ Σ2 .
n≥1
Demonstração. Seja γ = 1 − β , como na prova do
fw (k) = var 1γ (ψ1 , Π−1 (w)). Então, pelo Teorema B, temos
Teorema
B.
Definimos
[k ]+1
vark (ψ2 , w) < C max{α k
1−γ
≤ C max{α k
1−γ
Obviamente, ∑ kd α k
1−γ
, k var
1
[[kγ ] γ ]+1
(ψ1 , Π−1 (w))}
, k vark (ψ1 , Π−1 (w))}
< ∞. Então, juntamente com a hipótese, temos
k≥1
∑ kd vark (ψ2, w) < ∞.
k≥1
3.3.4
Modulo da Continuidade de ψ2 (Prova do Teorema B)
Aqui daremos a prova do Teorema B. A estratégia é dar uma estimativa para log λk .
Demonstração do Teorema B:
Tomando k0 (x) tal que k ≥ k0 (x) implica nk (x) ≤ bk. Assim, temos que
var[bk] (ψ2 , z) ≤ varnk (ψ2 , z) ≤ log λk ,
(3.10)
onde [x] denota o maior inteiro menor ou igual a x. Daí, segue diretamente que o módulo da
continuidade de log λk dá uma estimativa para o módulo da continuidade de vark (ψ2 , z).
Para estimar log λk , observamos que dado k > k0 e l ≥ 2, para cada 2 ≤ i ≤ l temos que
nik − n(i−1)k ≥ k e que nik ≤ bik ≤ blk. Logo, pelo teste da integral para séries, temos que
30
Capítulo 3. RESULTADOS
nik
∑
−1
var j (ψ1 , Π
j=nik −n(i−1)k
n −j
(σ2 ik (z)))
nik
≤
∑ var j (ψ1, Π−1(σ2nik − j (z)))
j=k
≤ fz (k)nik ≤ fz (k)blk.
(3.11)
Pelo Lema 3.8, para ν-q.t.p. z ∈ Σ2 , para cada k > k0 (z) e i = 2, . . . , l:
n
ik
2 ∑ j=n
−n
λik (z) ≤ ce
ik
(i−1)k
n −j
var j (ψ1 ,Π−1 (σ2 ik
(z)))
+ αλ(i−1)k (z).
Assim, usando a Equação (3.11):
λik (z) ≤ ce2 fz (k)blk + αλ(i−1)k (z).
Multiplicando por α l−i em ambos os lados, temos
α l−i λik (z) ≤ cα l−i e2 fz (k)blk + α l−i+1 λ(i−1)k (z)
Adicionando todas as equações acima e cancelando respectivamente os termos, temos que:
l
λlk (z) ≤ c ∑ α l−i e2 f (k)blk + α l−1 λk (z) ≤ e2 fz (k)bkl + α l−1 λk (z).
(3.12)
i=2
Tome l = ωk acima, para k ≥ k0 . Dividindo por e2 fz (k)bkωk e usando que λk → 1, log(1 +
x) ≈ x para x suficientemente pequeno, temos que para k suficientemente grande que
log λωk k ≤
1
α
2
( 2b f (k)k )ωk λk + 2b fz (k)ωk k ≤ α ωk + 2b fz (k)ωk k.
z
α e
α
(3.13)
Dado n ∈ N suficientemente grande e 0 < γ < 1, definimos β = 1 − γ e consideramos
β
kn
n = [n ]. Assim, para cada n maior do que algum n0 , temos que wn kn ≤ n e
log λωn kn ≥ log λn . Pela Equação (3.13) e (3.10) temos que para z existe n0 (z) tal que para
cada n > n0 (z):
= [nγ ] e ω
log λn ≤ log λωn kn ≤
como queríamos demonstrar.
1−γ
2 nβ −1
2
α
+ 2b fz ([nγ ])n ≤ 2 · α n + 2b fz ([nγ ])n,
α
α
(3.14)
31
4 EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
4.0.1
Medida Conforme e Medida Gibbs Sequencial
Podemos nos perguntar sobre a existência de medidas Gibbs sequenciais. Veremos que
uma candidata natural para medida Gibbs sequencial é a automedida do operador de RuellePerrón-Frobenius(operador RPF). De fato, denotando por C (Σ) o conjunto das funções reais
contínuas em Σ. O operador de Ruelle-Perrón-Frobenius Lψ : C (Σ) → C (Σ) associado à ψ ∈
C (Σ) é definido por
Lψ φ (z) := ∑ eψ(y) φ (y).
y∈σ −1 (z)
Observe que para n ∈ N temos
Lψn φ (z) =
n
∑−n
y∈σ
eψ (y) φ (y)
(z)
Este operador preserva o cone de funções positivas C(Σ)+ . Além disso, podemos restringir o operador dual Lψ* ao cone (C(Σ)+ )* . Se identificarmos o cone (C(Σ)+ )* com o espaço
das medidas finitas e positivas M (Σ), pelo Teorema de Riesz o operador Lψ* é definido por:
Lψ* : M (Σ) → M (Σ)
ν ↦→ Lψ* (ν) : C (Σ) → R
φ ↦→ Lψ* (ν)(φ ) =
Z
Lψ (φ )dν
Σ
Como o cone C(Σ)+ é normal e λ = r(Lψ ) = r(Lψ* ) > 0 (raio espectral de Lψ* ), a versão para operadores não-compactos do Teorema de Krein-Rutman((EDMUNDS A. J. B. POTTER, 1972, Teorema 1)) garante que r(Lψ* ) é um autovalor de Lψ* com autovetor ν ∈ M (Σ).
Consequentemente,
Lψ* ν = r(Lψ* ) · ν
Essas medidas são chamadas de medidas conformes para ψ.
Proposição 4.1. Seja ν ∈ M (Σ) uma medida conforme para ψ ∈ C (Σ). Então para n ∈ N e
y ∈ σ − j ([x j , ..., xn−1 ]), com 0 ≤ j < n, temos que se log r(Lψ ) = P
e−varn− j (ψ
n− j , σ j (x))
≤
ν([x j , ..., xn−1 ])
ψ n− j (σ j (y))−(n− j)P
e
≤ evarn− j (ψ
n− j , σ j (x))
(4.1)
32
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Demonstração. Para todo [x j , ..., xn−1 ] e y ∈ σ − j ([x j , ..., xn−1 ]), com 0 ≤ j < n, temos
Z
ν([x j , ..., xn−1 ]) =
1[x j ,...,xn−1 ] dν
−(n− j)
Z
= λ −(n− j)
Z
= λ
n− j
Lψ
1[x j ,...,xn−1 ] dν
1[x j ,...,xn−1 ] (σ j (y))eψ
∑
n− j (σ j (y))
dν(x)
σ j (y)∈σ −(n− j) (x)
≤ λ −(n− j) evarn− j (ψ
n− j , σ j (y))
eψ
n− j (σ j (y))
onde log r(Lψ ) = λ . Similarmente,
λ −(n− j) e−varn− j (ψ
n− j , σ j (y))
eψ
n− j σ j (y))
≤ ν([x j , ..., xn−1 ])
Então,
e−varn− j (ψ
n− j , σ j (y))
≤
ν([x j , ..., xn−1 ])
n− j
j
≤ evarn− j (ψ , σ (y))
ψ n− j (σ j (y))−(n− j)P
e
onde podemos tomar P = log λ .
Para nos auxiliar à demonstração de como as medidas conformes e as medidas Gibbs
sequenciais se relacionam, definiremos a seguinte sequência de funções:
n−1
ξn (x) = sup { ∑ |ψ(σ j (x)) − ψ(σ j (y))|}
(4.2)
y∈Cn (x) i=0
A Proposição abaixo nos dá uma condição para que uma medida conforme ν seja uma
medida Gibbs sequencial.
Proposição 4.2. Dada uma medida conforme ν tal que lim infn→∞ ξn (x) ≤ C em ν-q.t.p. x ∈ Σ,
para alguma constante C > 0, então ν é uma medida Gibbs sequencial.
Demonstração. Observe que varn (ψ n , x) ≤ ξn (x) e ξn− j (σ j (x)) ≤ ξn (x), para cada 0 ≤ j ≤ n.
Então,
varn− j (ψ n− j , σ j (x)) ≤ ξn− j (σ j (x)) ≤ ξn (x)
Pela hipótese, em ν-q.t.p. x ∈ Σ existe uma sequência ni (x) tal que ξni (x) ≤ C. Então,
pela Equação (4.1), temos que para cada ni (x)
e−C ≤ e−varni − j (ψ
ni − j , σ j (x))
≤
ν([x j ...xni −1 ])
ni − j
j
≤ evarni − j (ψ , σ (x)) ≤ eC .
ψ ni − j (σ j (y))−(ni − j)P
e
E isto finaliza a demonstração da proposição.
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
33
Um caso especial do operador RPF é quando ψ = log g, onde g ∈ G = {g ∈ C (Σ) : g >
0 e ∑y∈σ −1 (x) g(y) = 1, ∀x}. Então, Llog g φ (x) = ∑y∈σ −1 (x) g(y)φ (y).
Teorema 4.1 (Ledrappier, (LEDRAPPIER, 1974)). Seja g ∈ C (Σ) e ν ∈ M (Σ). São equivalentes:
* ν = ν;
1. Llog
g
2. ν ∈ Mσ (Σ) e ν é um estado de equilíbrio para log g.
A medida ν que satisfaz as condições do Teorema 4.1 são chamadas de g-medidas.
Para mais detalhes, veja (KEANE, 1972). Note que para uma g-medida ν, temos hν (σ ) +
R
log g dν = 0
Corolário 4.1. Se ν é uma g-medida e lim infn→∞ ξn (x) ≤ C em ν-q.t.p. x ∈ Σ, para alguma
constante C > 0, então ν é uma medida Gibbs sequencial invariante e é um estado de equilíbrio
para o potencial log g.
Demonstração. Para a demonstração, basta combinar a Proposição 4.2 e o Teorema 4.1.
Em (BOWEN, 1975), Bowen trata da condição de Ruelle-Perron-Fobenius(condição
RPF) dada na definição abaixo.
Definição 4.1. Dizemos que o operador de Ruelle-Perrón-Frobenius Lφ : C (ΣA ) → C (ΣA )
associado à φ ∈ C (ΣA ) satisfaz a condição de RPF se existem λ > 0, h ∈ C(ΣA ) com h positivo
e ν ∈ M(ΣA ) tal que Lφ h = λ h, Lφ* ν = λ ν, ν(h) = 1 e para cada ψ ∈ C(ΣA ) a sequência
λ −m Lφm ψ converge uniformemente para ν( f )h.
Bowen(veja (BOWEN, 1975)) mostra que se φ é Hölder contínuo com relação a uma
certa métrica em ΣA então Lφ satisfaz a condição RPF. Como consequência, λ = eP(φ ) , ν e h
são únicos e a medida µ := µ( f ) = ν(h f ) é uma medida de Gibbs e invariante pela aplicação
deslocamento. Ele também mostra que µ é o único estado de equilíbrio para φ .
Em (HOFBAUER, 1977), Hofbauer considera o mesmo problema de existência e unicidade de estados de equilíbrio mas agora para uma classe de funções que não são Hölder
contínuas. Ele caracteriza as funções dessa classe que satisfazem a condição RPF, que admitem medidas de Gibbs e que possuem unicidade de seus estados de equilíbrio. Ele também dá
condições para que não haja unicidade dos estados de equilíbrio. Daremos os detalhes agora.
O Teorema 4.2 abaixo relaciona a condição RPF com a unicidade de estados de equilíbrio.
Teorema 4.2 ((HOFBAUER, 1977), pág. 225). Seja φ satisfazendo a condição RPF. Então
µ = νh é o único estado de equilíbrio para φ .
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
34
Retrataremos aqui um exemplo em que as medidas Gibbs sequenciais são estados de
equilíbrio para potenciais que são apenas contínuos. O exemplo se encontra em (HOFBAUER,
1977) e o descreveremos agora.
Exemplo 4.1. Seja A = {1, ..., n}, o shift ΣA = ∏∞
n=0 {1, 2, ..., n}, M0 = ΣA ∖[1]0 , onde [1]0 =
{x ∈ ΣA : x0 = 1} e Mk = {x ∈ ΣA : xi = 1 for 0 ≤ i ≤ k − 1, xk ̸= 1} para k = 1, 2, .... Então
os conjuntos Mk juntamente com ponto 1111... formam uma partição de ΣA . Seja (ak ) uma
sequência de números reais com lim ak = 0. Seja sk = a0 + ... + ak . Definimos g ∈ C(ΣA ) por
g(x) = ak for x ∈ Mk e g(11...) = 0.
Note que g é contínua por que
varn (g) = ak → 0, quando k → ∞
Abaixo, enunciamos alguns dos teoremas em (HOFBAUER, 1977).
1
sk
Teorema 4.3 ((HOFBAUER, 1977), página 226). Se ∑∞
k=0 e > n−1 , então g satisfaz a condição RPF.
Teorema 4.4 ((HOFBAUER, 1977), página 230). A função g possui uma medida de Gibbs se,
e somente se, ∑∞
k=0 ak é convergente.
O teorema abaixo dá um exemplo da não-unicidade de estados de equilíbrio para uma
classe de funções g.
Teorema 4.5 ((HOFBAUER, 1977),página 236). Se g satisfaz
∞
sk
∞
∑ e = 1 e ∑ (k + 1)esk < ∞.
k=0
k=0
Então g possui dois estados de equilíbrio.
Reproduzimos abaixo uma tabela, semelhante à encontrada na página 239 em (HOFBAUER, 1977), que resume os resultados do artigo.
35
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
1
sk
∑∞
k=0 e > n−1
1
sk
∑∞
k=0 e = n−1
∑∞
k=0 ak < ∞
∑∞
k=0 ak = ∞
sk
∑∞
k=0 (k + 1)e < ∞
sk
∑∞
k=0 (k + 1)e = ∞
1
sk
∑∞
k=0 e < n−1
g satisfaz
a
condição
RPF
g admite
um medida de
Gibbs
g possui
um único
estado de
equilíbrio
sim
sim
sim
não
sim
sim
não
não
não
não
não
sim
não
não
sim
Neste mesmo contexto, iremos examinar um caso quando a função g possui uma medida
Gibbs sequencial.
∞
sk
Pelo Teorema 4.3 e 4.4, se ∑∞
k=0 e > 1 e ∑k=0 ak = ∞ então a medida µ não é uma medida de Gibbs para g. Mas a Proposição 4.3 abaixo diz que µ é uma medida Gibbs sequencial.
Proposição 4.3. µ é uma medida Gibbs sequencial com a função de primeiro tempo Gibbs n1
integrável
Demonstração. Seja a sequência (ξn (·))n como na Equação 4.2. Na demons-tração do Teorema
4.3 em (HOFBAUER, 1977) Hofbauer prova que µ({1}) = 0, isto é, que µ ̸= δ111··· . E como
existe uma constante L > 0 tal que
L
−1
· ν({1}) ≤
Z
{1}
hdν = µ({1}) ≤ L · ν({1})
(4.3)
então ν({1}) = 0. Logo, em ν-q.t.p. x, existe uma sequência (nk (x))k tal que σ nk (x) ∈ M0 e
então ξnk +1 (x) = 0. Logo, lim infk→∞ ξk (x) = 0 e pela Proposição 4.2 ν é uma medida Gibbs
sequencial e pela Equação 4.3 µ também é uma medida Gibbs sequencial.
Note agora que a função primeiro tempo Gibbs n1 de µ é menor ou igual ao tempo
de primeiro retorno à M0 . Logo, pelo Lema de Kǎc, temos que a função n1 é integrável com
respeito à µ.
4.0.2
Medida Gibbs Não-lacunar e Medida Gibbs Sequencial
Nesta subseção, iremos dar um exemplo que mostra que as medidas Gibbs não-lacunares
são exemplos particulares de medidas Gibbs sequenciais. As medidas Gibbs não-lacunares são
estados de equilíbrio para potenciais Hölder contínuos[(OLIVEIRA; VIANA, 2008),(VARANDAS; VIANA, 2010), (RAMOS; VIANA, 2015)] de difeomorfismos locais C1 . Discutiremos o
cenário de (OLIVEIRA; VIANA, 2008).
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
36
Seja f : M → M um difeomorfismo local C1 , M uma variedade riemanniana compacta
d-dimensional, satisfazendo as condições (H1) e (H2) listadas abaixo.
(H1) Existem naturais p ≥ 1 e q ≥ 0, uma família R = {R1 , ..., Rq , Rq+1 , ..., Rq+p } de
conjuntos abertos dois a dois disjuntos cujo fecho possui diâ-metro finito e que cobre toda a
variedade M, tal que
/
∙ f |(Ri ∪R j ) é injetivo sempre que Ri ∩ R j ̸= 0;
∙ se f (Ri ) ∩ R j ̸= 0,
/ então f (Ri ) ⊃ R j e portanto f (Ri ) ⊃ R j ;
∙ existe um natural N > 1 tal que f N (Ri ) = M para cada i.
(H2) Existe λ1 , λ2 > 1, com λ2 suficientemente próximo de 1, tal que
∙ ‖D f (x)−1 ‖−1 ≥ λ1 para cada x ∈ Rq+1 ∪ ... ∪ Rq+p
∙ ‖D f (x)−1 ‖−1 ≥ λ2−1 para cada x ∈ R1 ∪ ... ∪ Rq
(H3) φ é Hölder contínuo e sup φ − inf φ < log deg( f ) − log q.
Para cada natural n ≥ 1, chamamos de cilindro de comprimento n a cada conjunto nãovazio da forma
Rn = Rn [i0 , ..., in−1 ] = {y ∈ Ri0 ∩ f −1 (Ri1 ) ∩ ... ∩ f −n+1 (Rin−1 )}
Seja Rn a família de todos os cilindros de comprimento n.
A noção de tempos hiperbólicos é importante para o estudo das medidas Gibbs nãolacunares. Essa noção foi introduzida por Alves((ALVES, 2000)) e posteriormente desenvolvida
em (ALVES et al., 2000).
Definição 4.2. Seja λ > 0 fixado. Dizemos que n ∈ N é um tempo hiperbólico para x ∈ M se
n−1
∏ ‖D f ( f j (x))−1‖−1 ≤ e2σ (n−k)
j=k
para cada 0 ≤ k ≤ n − 1.
Dizemos que Rn ⊂ Rn é um cilindro hiperbólico se n é um tempo hiperbólico para cada
ponto x ∈ Rn .
Seja H o conjunto de pontos x ∈ M que pertence ao fecho de algum cilindro hiperbólico
Rn para infinitos valores n1 (x) < ... < nk (x) < ... de n. Em (OLIVEIRA; VIANA, 2008), temos
os seguintes resultados.
37
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Teorema 4.6 (Teorema A, (OLIVEIRA; VIANA, 2008)). Existe alguma medida de probabilidade ν tal que Lφ* ν = λ ν. Além disso, ν(H) = 1 e supp(ν) = H.
Dizemos que uma função h : M → (0, 1) é Hölder contínua por partes se existe uma
partição finita de M tal que h é Hölder contínua em cada um de seus átomos.
Teorema 4.7 (Teorema B, (OLIVEIRA; VIANA, 2008)). Existe uma função Hölder contínua
por partes h : M → (0, 1), afastada de zero e infinito, tal que Lφ h = λ h e µ = hν é uma medida
não-lacunar para φ , invariante e ergódica por f .
Teorema 4.8 (Teorema C, (OLIVEIRA; VIANA, 2008)). A aplicação f possui um único estado
de equilíbrio para o potencial φ e o estado de equilíbrio é uma medida Gibbs não-lacunar.
Note que a partição de Markov Rn da condição (H1) não é uma partição geradora.
Porém, os autores em (OLIVEIRA; VIANA, 2008) mostram que a partição de Markov Rn é
geradora para H.
Seja Σ = {1, ..., q, q + 1, ..., q + p}N . Podemos definir a aplicação invertível π : H → Σ,
satisfazendo π ∘ f |H = σ |G ∘ π, onde π(x) é o itinerário de x com respeito à partição R definida
por Ri = Ri ∩ H e σ |G é o deslocamento em G. Seja Ri (x) o elemento da partição que contem o
ponto x. Considere a medida push-foward η = µ ∘ π −1 em Σ. Então, η(G) = 1, onde G = π(H)
e η é uma medida Gibbs sequencial para o potencial φ := φ ∘ π −1 . De fato, pelo Teorema 4.8,
µ é uma medida Gibbs não-lacunar para φ . Então, existem constantes P(φ ) ∈ R e K > 0 tal que
para cada x ∈ H
n
−1
≤K
n
eφ k (x)−nk P(φ )
onde (nk (x))k = (nk )k é a sequência de tempos hiperbólicos de x.
K
≤
µ(R k (x))
Então, para π(x) = x = x0 x1 ... ∈ G ⊆ Σ, temos
η([x0 ...xnk −1 ])
eφ
nk
(x)−nk P(φ )
µ(π −1 ([x0 ...xnk −1 ])
µ(Rnk (x))
=
n
−1 n
eφ k (x)−nk P(φ )
e(φ ∘π ) k (x)−nk P(φ )
≤ K
=
Usando o fato que se nk é tempo hiperbólico de x então nk − j também é tempo hiperbólico de f j (x) para cada 0 ≤ j < nk , temos
η([x j ...xnk −1 ])
eφ
nk − j
(σ j (x))−(nk − j)P(φ )
Similarmente, para 0 ≤ j < nk , temos
≤K
38
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
η([x j ...xnk −1 ])
eφ
nk − j
(σ j (x))−(nk − j)P(φ )
≥ K −1
provando assim que η é uma medida Gibbs sequencial para φ .
4.0.3
Medida de Gibbs Fraca e Medida Gibbs Sequencial
Uma sequência de funções contínuas Φ := (φn )n é assintoticamente aditiva em Σ se para
cada ε > 0 existe uma função contínua ψε tal que
1
lim sup ‖φn − ψεn ‖ < ε
n→∞ n
onde ‖ · ‖ é a norma do supremo.
A noção clássica de medidas de Gibbs foi generalizada por Yuri((YURI, 1999)) para
potenciais no cenário não-uniformemente expansor. Essas medidas são mais adequadas para o
estudo de potenciais com menos regularidades e para uma classe mais ampla de sistemas dinâmicos. Tecnicamente, a principal diferença entre os dois conceitos é que, para medidas de
Gibbs temos um controle uniforme sobre a medida dos cilindros enquanto que para medidas de
Gibbs fracas esse controle não é uniforme. Em (IOMMI; YAYAMA, ), Iommi e Yayama generalizaram a noção dada por Yuri para uma sequência de potenciais assintoticamente aditivos.
Daremos os detalhes abaixo.
Definição 4.3. Uma medida de probabilidade µ é chamada de medida de Gibbs fraca para o
potencial ψ : Σ → R se existe uma constante P ∈ R e uma sequência de números reais positivos
Kn satisfazendo
log Kn
= 0,
n→∞
n
tal que, para cada n ∈ N, cada cilindro [x0 ...xn−1 ] e cada y ∈ [x0 ...xn−1 ] temos
lim
µ([x0 ...xn−1 ])
1
≤
≤ Kn
n
Kn
eψ (y)−nP
(4.4)
E a medida µ é chamada de medida de Gibbs fraca para uma sequência assintoticamente aditiva Φ := (φn )n em Σ se para cada n ∈ N, cada cilindro [x0 ...xn−1 ] e cada y ∈
[x0 ...xn−1 ] temos
(Kn )−1 ≤
µ([x0 ...xn−1 ])
eφn (y)−nP
≤ Kn
(4.5)
Proposição 4.4. Seja (ξ (·))n a sequência da Equação (4.2). Se limn→∞ (1/n)ξn (x) = 0 em todo
ponto, então cada medida conforme é uma medida de Gibbs fraca, no sentido de Yuri.
39
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Demonstração. Seguindo os mesmos passos da demonstração da Proposição 4.2, temos que
n
e− supx ξn (x) ≤ e−ξn (x) ≤ e−varn (ψ , y) ≤
varn (ψ n , y)
≤ e
ν([x0 , ..., xn−1 ])
n
eψ (y)−nP
≤ eξn (x) ≤ esupx ξn (x)
Para finalizar a demonstração da proposição, basta tomar Kn := esupx ξn (x) .
Observação 4.1. Observe que ξn é uma sequência subaditiva de funções não negativas, ou
seja, ξn+m (x) ≤ ξn (x) + ξm (σ n (x)) para todo x e n, m ∈ N, então pelo Teorema Subaditivo Ergódico de Kingman(veja (OLIVEIRA; VIANA, ), Teorema 3.3.3), temos que a sequência (1/n)ξn
converge em q.t.p. para uma função ξ ≥ 0 e
Z
1
ξ dµ = inf
n≥1 n
Z
ξn dµ.
R
Se infn≥1 (1/n) ξn dµ = 0, temos que ξ = 0 q.t.p. Então, se definimos a sequência Kn (x) :=
eξn (x) , a Equação (4.4) é satisfeita e a sequência (1/n) log Kn (x) → 0 em q.t.p.
A próxima Proposição, relaciona as medidas Gibbs sequenciais com as medidas de
Gibbs fracas segundo Iommi-Yayama.
Seja G o conjunto de pontos que possuem infinitos tempos Gibbs.
Proposição 4.5. Se µ é uma medida Gibbs sequencial e a função n1 é integrável, então existe
uma sequência assintoticamente aditiva Φ = (φn )n em um conjunto de medida total G′′ tal que
para todo x ∈ G′′ e para todo n ∈ N, temos
Kn−1 (x) ≤
µ([x0 ...xn−1 ])
≤ Kn (x)
eφn (x)−nP
(4.6)
onde a sequência Kn (x) satisfaz limn→∞ log Knn (x) = 0.
Demonstração. Como µ é Gibbs sequencial, então existem constantes K > 0 e P, e um conjunto
G ⊂ Σ com µ(G) = 1, tal que dado x ∈ G então existe alguma sequência n1 (x) < n2 (x) < n3 (x) <
· · · tal que
K −1 ≤
µ[x j ...xnk −1 ]
nk − j (σ j (x))−(n − j)P ≤ K
ψ
k
e
para 0 ≤ j ≤ nk − 1.
Se nk (x) ≤ n ≤ nk+1 (x), definimos uma sequência de funções em G
φ̃n (x) := (nk+1 (x) − nk (x))(max |ψ|)
40
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
Note que
µ([x0 ...xnk+1 −1 ]) ≤ µ([x0 ...xn−1 ]) ≤ µ([x0 ...xnk −1 ])
Note ainda que
|ψ n (x) − ψ nk (x) + φ̃n (x)| ≤ (n − nk ) max |ψ| + (nk+1 − nk ) max |ψ|
≤ αk n max |ψ|
onde αk (x) =
nk+1 (x)−nk (x)
nk (x)
.
Então,
ψ nk (x) − αk n max |ψ| ≤ ψ n (x) + φ̃n (x) ≤ αk n max |ψ| + ψ nk (x)
Analogamente,
|ψ n (x) − ψ nk+1 (x) + φ̃n (x)| ≤ αk n max |ψ| ⇒
ψ nk+1 (x) − αk n max |ψ| ≤ ψ n (x) + φ̃n (x) ≤ αk n max |ψ| + ψ nk+1 (x)
Então, para x ∈ [x0 ...xn−1 ], obtemos
µ([x0 ...xn−1 ])
ψ n (x)+φ̃n (x)−nP
e
µ([x ...x
])
≤
0
nk −1
ψ nk (x)−αk n max |ψ|−nP
≥
µ([x0 ...xnk+1 −1 ])
nk+1
ψ
(x)+αk n max |ψ|−nP
e
e
µ([x0 ...xnk −1 ]) nαk max |ψ|+(n−nk )P
=
·e
n
eψ k (x)−nk P
µ([x0 ...xnk −1 ]) nαk (max |ψ|+|P|)
≤
·e
n
eψ k (x)−nk P
≤ Ken αk (max |ψ|+|P|)
Similarmente,
µ([x0 ...xn−1 ])
ψ n (x)+φ̃n (x)−nP
e
µ([x0 ...xnk −1 ])
1
· n α max |ψ|+(n −n)P
nk+1
(x)−n
ψ
P
k+1
k+1
e k
e
µ([x0 ...xnk+1 −1 ])
1
≥
· n α (max |ψ|+|P|)
nk+1
ψ
(x)−n
P
k
k+1
e
e
−1 −n αk (max |ψ|+|P|)
≥ K e
=
Pondo Kn (x) := K · en αk (x)(max |ψ|+|P|) , temos que
41
Capítulo 4. EXEMPLOS DE MEDIDAS GIBBS SEQUENCIAIS
log Kn (x)
log K
= lim
+ (max |ψ| + |P|) · lim αk (x)
n→∞
n→∞
k→∞ n
n
lim
Como a função n1 é integrável então αk (x) → 0 para todo x ∈ G′ , onde µ(G′ ) = 1 (veja
Lema 4.6 (OLIVEIRA; VIANA, 2008)). E como n → ∞ implica que k → ∞, temos que Kn (x)
possui crescimento subexponencial, ou seja
lim
n→∞
log Kn (x)
=0
n
em µ-q.t.p. x.
Definimos a sequência φn (x) := φ̃n (x) + ψ n (x) em G′′ = G ∩ G′ . Provaremos que (φn )n
é uma sequência assintoticamente aditiva em G′′ .
1
1
lim sup |φn (x) − ψ n (x)| = lim sup |φ̃ (x)|
n→∞ n
n→∞ n
≤ max |ψ| lim sup αk (x) = 0.
n→∞
Aplicando a norma do supremo no conjunto G′′ , temos que (φn )n é assintoticamente
aditiva.
Logo, para cada x ∈ G′′ , temos
Kn−1 (x) ≤
Finalizando a prova da Proposição.
µ([x0 ...xn−1 ])
≤ Kn (x)
eφn (x)−nP
(4.7)
42
5 EXTENSÃO, APLICAÇÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS
É possível com as mesmas ideias usadas no caso do shift total, estender os resultados
para o caso do subshift de tipo finito semelhante ao que aparece em (KEMPTON, 2011). Iremos
escrever o contexto no qual, possivelmente, isso poderá ser feito.
Sejam os alfabetos A = {1, ..., k1 } e B = {1, ..., k2 }. Seja Π : Σ1 → Σ2 uma aplicação
fator 1-bloco, onde Σ1 é um subshift de tipo finito e Σ2 é um subshift.
Definição 5.1. Dizemos que uma aplicação fator 1-bloco Π : Σ1 → Σ2 é regular com respeito
a uma medida Gibbs sequencial µ em Σ1 , se existe um conjunto de medida total C ⊂ G ⊂ Σ1 ,
com respeito à µ, tal que dado x ∈ C então Π−1 (Π(x)) ⊂ G e n1 (x) = n1 (y), se y ∈ Π−1 (Π(x)).
Denotamos por An (E) o conjunto de valores xn das sequências x em E ⊂ Σ1 .
Hipótese. Seja Π : Σ1 → Σ2 uma aplicação fator 1-bloco e µ uma medida em Σ1 . Assumimos
que existe um número natural N e um conjunto de medida total F ⊂ Σ2 , em relação à ν :=
µ ∘ Π−1 , tal que para cada z ∈ F, temos que as seguintes condições que são satisfeitas em Σ1 :
1. Se An {x ∈ Σ1 : xn+m = j, Π(x) = z} é não-vazio para cada m > N, então An {x ∈ Σ1 :
xn+m = j, Π(x) = z} = An {x ∈ Σ1 : Π(x) = z};
2. An {x ∈ Σ1 : π(xn−N )...π(xn+N ) = zn−N ...zn+N } = An {x ∈ Σ1 : Π(x) = z}.
Note que a condição 1, é uma condição de mixing nas fibras Π−1 (z), isto significa que se
existe uma sequência x, x′ ∈ Π−1 (z) então para cada n e m > N existe uma sequência y ∈ Π−1 (z)
′
com y1 = x1 , ..., yn = xn e yn+m = xn+m
, ..., y j = x′j , ... para todo j > n + m.
Proposição 5.1. Seja uma aplicação fator 1-bloco Π : Σ1 → Σ2 regular com respeito a uma
medida Gibbs sequencial µ em Σ1 . Então existe uma conjunto de medida total E, em relação
à µ, tal que dado x, y ∈ E ⊂ Σ1 com Π(x) = Π(y), então nk (x) = nk (y) para cada k ≥ 1 e as
Condições 1 e 2 são satisfeitas em E.
Demonstração. A demonstração é semelhante à da Proposição 3.3. Com efeito,
Sendo nk (x) = n1 (σ nk−1 (x) (x)), µ uma medida invariante e Π regular com respeito à µ
então podemos definir D = Π(∩k≥0 σ −k (A)) ⊆ Σ2 satisfazendo
ν(D) = ν(Π(∩k≥0 σ −k (A))) = µ(∩k≥0 σ −k (A)) = 1
43
Capítulo 5. EXTENSÃO, APLICAÇÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS
isto é, D ⊂ Σ2 é um conjunto de medida total em relação à ν. Então, D ∩ F tem medida total
em Σ2 , em relação ν tal que E := Π−1 (D ∩ F) ⊂ A e dado x, y ∈ E, com Π(x) = Π(y) então
nk (x) = nk (y), para cada k ≥ 1 e a Condição 1 e 2 são satisfeitas em E.
Em (KEMPTON, 2011), temos o seguinte exemplo:
Exemplo 5.1. Considere o espaço shift σ : Σ1 → Σ1 associado à matriz de transição
1
1
M=
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
e projeção π dos símbolos de Σ1 em um shift total de dois símbolos dado por
π(1) = a, π(2) = π(3) = π(4) = b.
̸ A1 {x : π(x1 ) = b} = {2, 3, 4}. Também vemos
Então, {2} = A1 {x : π(x1 x2 ) = ba} =
que x1 = 3 torna impossível que x2 = 3, mas nenhum restrição há nos possíveis valores de
x3 , x4 , .... Assim, a Hipótese falha para N = 0. Pondo N = 1, temos que é satisfeita.
Iremos dar um exemplo inspirado em (KEMPTON, 2011) que mostra que as condições
da Hipótese são necessárias.
Exemplo 5.2. Considere a aplicação deslocamento σ : Σ1 → Σ1 associado à matriz de transição
1 1 1 0
1 1 0 1
M=
1
0
1
0
0 1 0 1
Seja ψ1 : Σ1 → R uma função limitada tal que P(ψ1 ) = 0. Considere a aplicação fator 1-bloco
regular Π : Σ1 → Σ2 para uma medida Gibbs sequencial µ com π(1) = 1, π(2) = 2 e π(3) =
π(4) = 3. Suponhamos que µ ∘ Π−1 = ν é uma medida Gibbs sequencial para um potencial
ψ2 : Σ2 → R. Assuma adicionalmente que ni + 1 é tempo Gibbs de x = 2 3...3
|{z} xni +1 xni +2 ... e de
′
′
x′ = 1 3...3
|{z} xni +1 xni +2 .... Então, para w ∈ Σ2 , temos
ni
ni
ni +1
Keψ2 (23...3w) ≥ ν[23...3] = µ[24...4] ⇒
ni
µ[24...4]
µ[24...4]
eψ2 (3...3w) ≥
≥
Keψ2 (23...3w) Kesupz {ψ2 (z)}
De maneira análoga,
Capítulo 5. EXTENSÃO, APLICAÇÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS
44
ni +1
(13...3w) ≤ ν[13...3] = µ[13...3] ⇒
ni
µ[13...3]
µ[13...3]
eψ2 (3...3w) ≤
≤
K −1 eψ2 (13...3w) K −1 einfz {ψ2 (z)}
K −1 eψ2
n
i
z}|{
µ[2 4...4]
Se µ é tal que K 2 evar0 (ψ2 ) <
, por exemplo se µ é uma medida de Bernoulli com
µ[1 3...3
|{z}]
ni
µ[3] < µ[4] e ni for suficientemente grande, então
ni
ni
z}|{
z}|{
ni
ni
ψ2 (3...3 w) < ψ2 (3...3 w)
para cada w. Assim ψ2ni não está definido em [3...3] que é um conjunto de medida positiva.
Logo, existe um conjunto de medida positiva tal que ν não satisfaz a Desigualdade 3.1, e então
ν não é uma medida Gibbs sequencial para ψ2 .
Em (LEPLAIDEUR; SAUSSOL, 2012) os autores tratam de um análogo do Teorema
Central do Limite para a flutuação do logaritmo da medida da bola de raio indo para zero, onde
a medida µψ1 em questão é o único estado de equilíbrio para um potencial Hölder contínuo
ψ1 : T2 → R de um difeomorfismo C1+α ou um produto-torcido expansor T : T2 → T2 , dado
por T (x, y) = ( f (x), g(x, y). Eles discutem o caso não-conforme, isto é, quando há expoentes de
Lyapunov diferentes.
Neste contexto é bem conhecido a existência de uma partição de Markov. E eles usam
a conjugação com um shift total e usam os resultados em (POLLICOTT; KEMPTON, 2011)
ou (CHAZOTTES; UGALDE, 2011). Mais precisamente, eles consideram uma partição, que
não é de Markov, Rn formado pela coleção das componentes conexas de T −n (T2 ∖S0 ), onde
S0 = {(x0 ×T)∪(T×{y0 })}. A partição Rn induz uma partição Pn em T formada pela coleção
das componentes conexas de f −n (T∖{x0 }). Veja a figura abaixo .
A estratégia da prova do teorema principal é trocar a bola B((x, y), ε) por um cilindro“dinâmico” Cn(ε) ((x, y), ε). Usando o fato que T preserva as fibras, medir o cilindro Cn(ε) ((x, y), ε)
Capítulo 5. EXTENSÃO, APLICAÇÃO E PERSPECTIVAS FUTURAS
45
com µψ1 (que é uma medida de Gibbs) de ψ1 para um n(ε) suficientemente grande, é equivalente à medir com a medida invariante νψ2 = µψ1 ∘ Π−1 que é também uma medida de
Gibbs de f para um potencial ψ2 , pelos resultados em (POLLICOTT; KEMPTON, 2011)
ou (CHAZOTTES; UGALDE, 2011). Trocando a expressão log µ(Cn(ε) ((x, y), ε)) pela soma
Sn(ε) (ψ1 − ψ2 ∘ Π)(x, y) + Sm(ε) (ψ2 ∘ Π)(x, y) onde Sn é a soma de Birkhoff usa-se argumentos
de probabilidades para concluir o teorema principal.
Aqui, surgem algumas questões:
Questão 1: O mesmo resultado é verdade no cenário não-uniformemente expansor? Em
algumas situações, a medida µψ em questão não é uma medida de Gibbs e sim uma medida
Gibbs não-lacunar(medida Gibbs sequencial). É bem possível que o mesmo método usado em
(LEPLAIDEUR; SAUSSOL, 2012) juntamente com os resultados desta tese possam ser usados
para responder essa questão, mas somente se T possui uma partição de Markov geradora, como
no caso em (OLIVEIRA; VIANA, 2008). Outra questão que surge é se o mesmo resultado é
verdade para o caso em que T não possui uma partição de Markov.
Questão 2: Na Subseção 4.0.1, temos um exemplo de uma medida Gibbs sequencial que
é o único estado de equilíbrio para um potencial que não é Hölder contínuo. Em que contexto do
cenário não-uniformemente expansor, temos unicidade do estado de equilíbrio para potenciais
que não são Hölder contínuos?
46
REFERÊNCIAS
ALVES, J. {SRB} measures for non-hyperbolic systems with multidimensional expansion.
Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure, v. 33, n. 1, p. 1–32, 2000.
ISSN 0012-9593. Disponível em: <http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/
S0012959300001014>. Citado na página 36.
ALVES, J.; BONATTI, C.; VIANA, M. Srb measures for partially hyperbolic systems whose
central direction is mostly expanding. Inventiones mathematicae, v. 140, n. 2, p. 351–398,
2000. ISSN 1432-1297. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/s002220000057>. Citado
na página 36.
BOWEN, R. Topological entropy and axioma a. In Global Analysis (Proc. Sympos. Pure
Math., Vol. XIV, Berkeley, Calif., 1968), , PAGES = 23-41, 1970. Citado na página 9.
BOWEN, R. Equilibrium states and the ergodic theory of anosov diffeomorphisms. Lecture
Notes in Math, Springer-Verlag, Berlin and New York, v. 270, n. 2, p. 197–224, 1975. Citado 2
vezes nas páginas 10 e 33.
BOYLE, M.; PETERSEN, K. Hidden markov processes in the context of symbolic
dynamics. In: MARCUS, B.; PETERSEN, K.; WEISSMAN, T. (Ed.). Entropy of Hidden
Markov Processes and Connections to Dynamical Systems. Cambridge University
Press, 2011. p. 5–71. ISBN 9780511819407. Cambridge Books Online. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511819407.002>. Citado na página 3.
CHAZOTTES, J.; UGALDE, E. On the preservation of gibbsianness under symbol
amalgamation. In: MARCUS, B.; PETERSEN, K.; WEISSMAN, T. (Ed.). Entropy of
Hidden Markov Processes and Connections to Dynamical Systems. Cambridge University
Press, 2011. p. 72–97. ISBN 9780511819407. Cambridge Books Online. Disponível em:
<http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511819407.003>. Citado 7 vezes nas páginas 8, 9, 2, 3,
4, 44 e 45.
CHAZOTTES, J.-R.; UGALDE, E. Projection of markov measures may be gibbsian. Journal
of Statistical Physics, Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers, v. 111, n. 5-6,
p. 1245–1272, 2003. ISSN 0022-4715. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1023/A%
3A1023056317067>. Citado na página 3.
DOBRUSCHIN, P. L. The description of a random field by means of conditional probabilities
and conditions of its regularity. Theory of Probability & Its Applications, v. 13, n. 2, p.
197–224, 1968. Citado na página 2.
EDMUNDS A. J. B. POTTER, C. A. S. D. E. Non-compact positive operators. Proceedings
of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The
Royal Society, v. 328, n. 1572, p. 67–81, 1972. ISSN 00804630. Disponível em:
<http://www.jstor.org/stable/78083>. Citado na página 31.
EPHRAIM, Y.; MERHAV, N. Hidden markov processes. IEEE Transactions on Information
Theory, v. 48, n. 6, p. 1518–1569, Jun 2002. ISSN 0018-9448. Citado na página 3.
Referências
47
HOFBAUER, F. Examples for the nonuniqueness of the equilibrium state. Transactions of the
American Mathematical Society, v. 228, n. 2, p. 223–241, 1977. Citado 5 vezes nas páginas 7,
10, 33, 34 e 35.
IOMMI, G.; YAYAMA, Y. Week gibbs measures as gibbs measures for asymptotically additive
sequences. preprint. Citado 2 vezes nas páginas 7 e 38.
JUANG, B. H. On the hidden markov model and dynamic time warping for speech recognition
x2014; a unified view. AT T Bell Laboratories Technical Journal, v. 63, n. 7, p. 1213–1243,
Sept 1984. ISSN 0748-612X. Citado na página 3.
KEANE, M. Strongly mixingg-measures. Inventiones mathematicae, v. 16, n. 4, p. 309–324,
1972. ISSN 1432-1297. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01425715>. Citado na
página 33.
KEMPTON, T. Factors of gibbs measures for subshifts of finite type. Bulletin of
the London Mathematical Society, v. 43, n. 4, p. 751–764, 2011. Disponível em:
<http://blms.oxfordjournals.org/content/43/4/751.abstract>. Citado 4 vezes nas páginas 3, 4,
42 e 43.
LANFORD, O.; RUELLE, D. Observables at infinity and states with short range correlations in
statistical mechanics. Communications in Mathematical Physics, Springer-Verlag, v. 13, n. 3,
p. 194–215, 1969. ISSN 0010-3616. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF01645487>.
Citado na página 2.
LEDRAPPIER, F. Principe variationnel et systèmes dynamiques symboliques. Zeitschrift
für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, v. 30, n. 3, p. 185–202, 1974. ISSN
1432-2064. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1007/BF00533471>. Citado na página 33.
LEPLAIDEUR, R.; SAUSSOL, B. Central limit theorem for dimension de gibbs measures em
hyperbolic dynamics. Stochastics and Dynamics, v. 12, n. 02, p. 1150019, 2012. Disponível
em: <http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219493712003675>. Citado 3 vezes
nas páginas 7, 44 e 45.
MAULDIN, R. D.; URBANSKI, M. Gibbs states on the symbolic space over an infinite
alphabet. Israel J. Math, v. 125. Citado na página 10.
MAULDIN, R. D.; URBANSKI, M. Graph directes markov systems: geometria and dynamics
of limit sets. Cambridge University Press, v. 148. Citado na página 10.
OLIVEIRA, K.; VIANA, M. Foundations of ergodic theory. Cambridge Studies in Advanced
Mathematics, v. 151. Citado 2 vezes nas páginas 8 e 39.
OLIVEIRA, K.; VIANA, M. Thermodynamical formalism for robust classes of potentials and
non-uniformly hyperbolic maps. Ergodic Theory and Dynamical Systems, v. 28, p. 501–533,
2008. Citado 7 vezes nas páginas 5, 7, 35, 36, 37, 41 e 45.
PESIN, Y. Dimension theory in dynamical systems: Contemporary views and applications.
University Of Chicago Press, v. 311, 1997. Citado na página 13.
POLLICOTT, M.; KEMPTON, T. Factors of gibbs measures for full shifts. In: MARCUS, B.;
PETERSEN, K.; WEISSMAN, T. (Ed.). Entropy of Hidden Markov Processes and Connections
to Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2011. p. 246–257. ISBN 9780511819407.
Referências
48
Cambridge Books Online. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511819407.
009>. Citado 10 vezes nas páginas 8, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 44 e 45.
RAMOS, V.; VIANA, M. Equilibrium states for hyperbolic potentials. preprint, 2015. Citado
2 vezes nas páginas 5 e 35.
RUELLE, D. Statistical mechanics of a one-dimensional lattice gas. Comm. Math. Phys.,
Springer, v. 9, n. 4, p. 267–278, 1968. Disponível em: <http://projecteuclid.org/euclid.cmp/
1103840801>. Citado na página 9.
VARANDAS, P.; VIANA, M. Existence, uniqueness and stability of equilibrium states
for non-uniformly expanding maps. Annales de l’Institut Henri Poincare (C) Non
Linear Analysis, v. 27, n. 2, p. 555 – 593, 2010. ISSN 0294-1449. Disponível em:
<http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S029414490900095X>. Citado 3 vezes nas
páginas 5, 7 e 35.
VERBITSKIY, E. Thermodynamics of hidden markov processes. In: MARCUS, B.;
PETERSEN, K.; WEISSMAN, T. (Ed.). Entropy of Hidden Markov Processes and
Connections to Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2011. p. 258–272. ISBN
9780511819407. Cambridge Books Online. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1017/
CBO9780511819407.010>. Citado 2 vezes nas páginas 3 e 4.
WALTERS, P. An introduction to ergodic theory. Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, v. 79. Citado na página 8.
YAYAMA, Y. On factors of gibbs measures for almost additive potentials. Ergodic Theory
and Dynamical Systems, v. 36, p. 276–309, 2 2016. ISSN 1469-4417. Disponível em:
<http://journals.cambridge.org/article_S0143385714000509>. Citado na página 5.
YURI, M. Thermodynamic formalism for certain nonhyperbolic maps. Ergodic Theory
and Dynamical Systems, v. 19, p. 1365–1378, 10 1999. ISSN 1469-4417. Disponível em:
<http://journals.cambridge.org/article_S0143385799141695>. Citado 3 vezes nas páginas 5,
7 e 38.
ZWEIMÜLLER, R. Invariant measures for general(ized) induced transformations. Proceedings
of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, v. 133, n. 8, p. pp.
2283–2295, 2005. ISSN 00029939. Disponível em: <http://www.jstor.org/stable/4097869>.
Citado na página 15.
