CÓDIGO: MATD36

DISCIPLINA: Exame de Qualificação

TIPOS: Escrito e Oral

EXAME DE QUALIFICAÇÃO ORAL:

O Exame de Qualificação da Área Principal abrangerá uma área de concentração do Programa, distinta da área considerada no Exame de Qualificação de Segunda Área.

EXAME DE QUALIFICAÇÃO ESCRITO:

O conteúdo do Exame de Qualificação de Segunda Área será composto por uma lista de quinze tópicos previamente divulgados pelo colegiado, baseados nas ementas de duas disciplinas de ementa fixa do programa, dos quais serão sorteados dois tópicos no início da prova.

ANÁLISE FUNCIONAL

1) Teoremas de Hahn-Banach real, complexo e geométrico.
2) Teoremas da Aplicação aberta e do gráfico fechado.
3) Topologias fracas e o teorema de Banach-Alaoglu.
4) A representação de Riesz em espaços de Hilbert e o adjunto de Hilbert. Representação em espaços pré-hilbertianos.
5) Espaços reflexivos e compacidade seqüencial.
6) Operadores compactos em espaços de Hilbert: operadores de posto finito, de Hilbert-Schmidt e densidade.
7) Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos

TEORIA ESPECTRAL

1) Espectro e Componentes  Espectrais. Espaços Invariantes Associados. Semicontinuidade de Componentes Espectrais e continuidade de Espaços Associados.
2) Teorema Espectral: Cálculo funcional contínuo e mapeamento espectral para operadores auto-adjuntos e normais.
3) Teorema Espectral: Projeções espectrais. Critério de Weyl. Espectros essencial e discreto.
4) Teorema Espectral para operadores Normais: Forma Multiplicativa. Dedução da forma Multiplicativa a partir do Cálculo Funcional contínuo e vice-versa.
5) Teorema Espectral para operadores normais limitados: Cálculo Funcional Mensurável.
6) Operadores Fechados e Fecháveis. Critérios. Teorema Espectral para operadores ilimitados auto-adjuntos.
7) Grupos fortemente Contínuos e o Teorema de Stone.
8) Transformada de Fourier no R^n e Funções de Operador Laplaciano. Espaços de Sobolev.