Gabarito__doutorado_2026_2_.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Instituto de Matemátia
Programa de Pós graduação em Matemática

Gabarito da Prova de Seleção de Doutorado

1. Seja f : Rn → R uma função contínua satisfazendo f (tx) = t f (x), quando t ≥ 0 e
x ∈ Rn . Mostre que, se f (y) < 0, para cada y ∈ S n−1 , então existe a > 0 tal que
f (x) ≤ −a∥x∥,

para cada x ∈ Rn .

Solução: Como f é contínua e a esfera é compacta, existe A na esfera tal que f (y) ≤
f (A) < 0, para todo ponto
 esfera. Definamos a := −f (A) > 0, por outro lado
 na
x
observe que f (x) = ∥x∥f ∥x∥ para todo x ̸= 0. Daí f (x) ≤ −a∥x∥ para todo x ̸= 0.
Por fim, note que f (0) = 0 e logo verifica a mesma desigualdade.
2. Prove que duas normas quaisquer no espaço Rn são equivalentes.
Solução: Basta mostrar que toda norma em Rn é equivalente à norma da soma.
Seja {e1 , . . . , em } a base canônica de Rm . Para todo x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm , pela
desigualdade triangular,
∥x∥ =

m
X
i=1

xi e i ≤

m
X

|xi | ∥ei ∥ ≤ C∥x∥1 ,

i=1

onde C := max1≤i≤m ∥ei ∥. Por outro lado, o conjunto S := {x ∈ Rm : ∥x∥1 = 1} é
compacto e a aplicação x 7→ ∥x∥ é contínua. Portanto, existe uma constante c > 0 tal
que ∥x∥ ≥ c, ∀x ∈ S. Dado x ̸= 0, definindo y = x/∥x∥1 ∈ S, obtemos
∥x∥ = ∥x∥1 ∥y∥ ≥ c∥x∥1 .
Concluímos que
c∥x∥1 ≤ ∥x∥ ≤ C∥x∥1 ,

∀x ∈ Rm ,

o que prova a equivalência entre ∥ · ∥ e ∥ · ∥1 .
3. Seja X ⊂ Rn um conjunto aberto e conexo. Mostre que X é conexo por caminhos.

Solução: Seja X ⊂ Rn aberto e conexo. Fixe x0 ∈ X e defina
Y = {x ∈ X | existe um caminho contínuo em X ligando x0 a x}.
Claramente x0 ∈ Y , logo Y ̸= ∅. Mostraremos que Y é aberto e fechado em X. Como
X é conexo, teremos Y = X, e portanto X é conexo por caminhos.
Y é aberto em X: Tome y ∈ Y . Como X é aberto, existe r > 0 tal que a bola aberta
B(y, r) ⊂ X. Para qualquer z ∈ B(y, r), o segmento de reta de y a z está contido em
B(y, r) (pois a bola é convexa). Concatenando o caminho de x0 a y (que existe por
y ∈ Y ) com esse segmento, obtemos um caminho de x0 a z inteiramente contido em
X. Logo z ∈ Y e, portanto, B(y, r) ⊂ Y . Assim, Y é aberto.

X \ Y é aberto: Tome w ∈ X \ Y (não existe caminho de x0 a w). Como X é aberto,
existe ε > 0 com B(w, ε) ⊂ X. Se houvesse u ∈ B(w, ε) ∩ Y , então existiria caminho
de x0 a u; o segmento de reta de u a w está em B(w, ε) ⊂ X, e a concatenação daria
um caminho de x0 a w, contradizendo w ∈
/ Y . Logo B(w, ε) ⊂ X \ Y . Assim, X \ Y é
aberto.
Temos X = Y ∪ (X \ Y ), união disjunta de dois abertos em X. Como X é conexo e
Y ̸= ∅, segue que X \ Y = ∅, ou seja, Y = X. Portanto todo ponto de X pode ser
ligado a x0 por um caminho em X, mostrando que X é conexo por caminhos.
4. Seja (fn ) uma sequência de funções contínuas definidas em C = [0, 1]d ⊂ Rd . Suponha
que fn → f uniformemente em C. Mostre que
Z
fn =

lim

n→∞

Z
f.

C

C

Solução: Seja ε > 0 arbitrário. Da convergência uniforme, existe N ∈ N tal que, para
todo n ≥ N e para todo x ∈ C,
|fn (x) − f (x)| < ε.
Então, para n ≥ N ,
Z

Z
fn −

C

Z
(fn − f ) ≤

f =
C

Z

C

Z
|fn − f | ≤

C

ε dx = ε.
C

Segue-se o desejado.
5. Sejam U ⊂ Rn um aberto e f : U → R uma função de classe C 2 . Prove que, se a ∈ U
2
é um ponto de mínimo local de f então a matriz hessiana Hf (a) = [ ∂x∂ ∂fx (a)](i,j) é
i
j
semidefinida positiva (isto é, ⟨Hf (a)v, v⟩ ≥ 0, para cada v ∈ Rn ).

Solução: Como U é aberto existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ U. Dado v ∈ Rn \ {0} defina
r
r
r
φ(t) = f (a + tv), para |t| < |v|
. Note que φ é de classe C 2 em (− |v|
, |v|
). Ademais,
como a é ponto de mínimo local de f temos que t = 0 é mínimo local de φ. Logo,
φ′ (0) = 0 e φ′′ (0) ≥ 0.Por outro lado, da regra da cadeia:
′

φ (t) =

n
X
∂f
j=1

∂xj

(a + tv) vj

n X
n
X
∂ 2f
e φ (t) =
(a + tv) vi vj .
∂xi ∂xj
j=1 i=1
′′

Aplicando t = 0 temos
⟨Hf (a)v, v⟩ =

n X
n
X
∂ 2f
(a) vi vj = φ′′ (0) ≥ 0.
∂x
∂x
i
j
j=1 i=1