Padrão de Resposta Doutorado.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Instituto de Matemátia
Programa de Pós graduação em Matemática

Padrão de Resposta – Seleção de Doutorado

1. Sim. Tome B = B(a; r) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Se x, y ∈ B então
|x − a| < r e |y − a| < r. Para qualquer t ∈ [0, 1], temos que:

|(1 − t)x + ty − a| = |(1 − t)(x − a) + t(y − a)| ≤ (1 − t)|x − a| + t|y − a| < r.
Justificamos de maneira análoga no caso de uma bola fechada B̄[a; r].
2. Seja x0 ∈ X. Por f (X) ser discreto, existe ϵ > 0 tal que
B(f (x0 ), ϵ) ∩ f (X) = f (x0 ).

(1)

Por f ser contínua, existe δ > 0 de modo que, x ∈ B(x0 , δ) ⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ), ϵ).
Disso e da Equação (1), segue-se que f é constante em B(x0 , δ).
3. Como T não é identicamente nula, existe v ∈ Rm de modo que |T (v)| = a > 0. Como
T é linear, para todo n ∈ N é válido que |T (nv)| = na. Assim T não é limitada.
Para a segunda parte, considere c = max{|T e1 |, ..., |T em |}. Se o conjunto X ⊂ Rm é
P
limitado então existe k > 0 tal que,
|xi | ≤ k para todo x = (x1 , ..., xm ) ∈ X. Donde
P
P
P
|T (x)| = | xi T ei | ≤ |xi ||T ei | ≤ c |xi | ≤ ck. Portanto TX : X → Rn é limitada.
4. Como f é contínua e f (0, t) = 0 para todo t ∈ [a, b], para cada t ∈ [a, b] existe uma
vizinhança aberta Vt ⊂ Rm da origem e um número ϵt > 0 tais que f (Vt × (t − ϵt , t +
ϵt )) ⊂ U. Os conjuntos Vt × (t − ϵt , t + ϵt ) são abertos em Rm × R e formam uma
cobertura para o compacto {0} × [a, b] (pois (0, t) ∈ Vt × (t − ϵt , t + ϵt ), para cada
t ∈ [a, b]). Assim existem t1 , . . . , tk ∈ [a, b] tais que
{0} × [a, b] ⊂

k
[
j=1

Vtj × (tj − ϵtj , tj + ϵtj ).

(2)

T
Defina V = kj=1 Vtj . Então V é uma vizinhança aberta da origem em Rm (interseção
finita de abertos contendo a origem). Afirmamos que f (V × [a, b]) ⊂ U . De fato,
se (v, s) ∈ V × [a, b] então segue de (2) que existe j0 ∈ 1, . . . , k tal que (0, s) ∈
Vtj0 × (tj0 − ϵtj0 , tj0 + ϵtj0 ). Consequentemente s ∈ (tj0 − ϵtj0 , tj0 + ϵtj0 ) e f (v, s) ∈
f (V × (tj0 − ϵtj0 , tj0 + ϵtj0 )) ⊂ f (Vtj0 × (tj0 − ϵtj0 , tj0 + ϵtj0 )) ⊂ U.
5. Fazendo a mudança de variáveis h(r, θ) = (r cos θ, rsen θ) temos | det h′ (r, θ)| = r e
consequentemente
Z Z
e
B(0,R)

−x2 −y 2

Z R Z 2π
d(x, y) =
0

0

2

2

re−r = π(−e−R + 1).