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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Doutorado 2024.2
1. Seja X ⊂ Rm . Uma aplicação f : X → Rn diz-se localmente constante quando para cada
x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f restrita a B é constante. Prove que, toda
aplicação contı́nua f : X → Rn cuja imagem f (X) é um conjunto discreto, é localmente
constante.
2. Seja T : Rm → Rn uma transformação linear. Prove que se T ̸= 0 então T não é uma
aplicação limitada. Se X ⊂ Rm é uma conjunto limitado, prove que a restrição TX : X → Rn
de T ao conjunto X é uma aplicação limitada.
3. Seja f : U → Rm de classe C k (k ≥ 1) no aberto U ⊂ Rm . Se a ∈ U é tal que f ′ (a) : Rm →
Rm é invertı́vel então existe uma bola aberta B = B(a; δ) ⊂ U tal que a restrição f |B é um
difeomorfismo sobre um aberto V , com f (a) ∈ V ? Em caso afirmativo justifique com uma
demonstração, em caso negativo com um contra-exemplo.
4. Seja ∧ o produto vetorial em R3 . Para todo v ∈ R3 e todo caminho f : [a, b] → R3 integrável,
prove que
Z
Z
b

b

[v ∧ f (t)]dt = v ∧
a

f (t)dt.
a

5. Prove que o conjunto das matrizes ortogonais (n × n) é um conjunto compacto.
Respostas:
Q1- Seja x0 ∈ X. Por f (X) ser discreto, existe ϵ > 0 tal que
B(f (x0 ), ϵ) ∩ f (X) = f (x0 ).

(1)

Por f ser contı́nua, existe δ > 0 de modo que, x ∈ B(x0 , δ) ⇒ f (x) ∈ B(f (x0 ), ϵ). Disso e
da Equação (1), segue-se que f é constante em B(x0 , δ).
Q2- Se |T (v)| = a > 0 então |T (nv)| = na. Assim T não é limitada. Tomando
P c = max{|T e1 |, ..., |T em |}.
Se o conjunto X ⊂ Rm é limitado então
existe
k
>
0
tal
que,
P
P
P|xi | ≤ k para todo
x = (x1 , ..., xm ) ∈ X. Donde |T (x)| = | xi T ei | ≤
|xi ||T ei | ≤ c |xi | ≤ ck. Portanto
n
TX : X → R é limitada.
Q3- Sim. Justificativa: Podemos admitir que existe δ > 0 tal que B̄ = B[a; δ] ⊂ U e que f |B̄ é
injetiva, assim f : B → f (B) é um homeomorfismo. Note que f ′ (x) depende continuamente
de x. Também sabemos que f ′ (a) é invertı́vel, donde podemos supor que, para todo x ∈ B
temos f ′ (x) : Rm → Rm é invertı́vel. Agora basta mostrar que f (B) ⊂ Rm é aberto e o
resultado segue.
Q4- Seja P = {t0 = a, t1 , t2 , ..., tk = b} uma partição de [a, b]. Usando propriedade do produto
vetorial, a soma de Riemann do caminho v ∧ f (t) é dada por
k
k
X
X
(ti − ti−1 )(v ∧ Mi ) =
(v ∧ (ti − ti−1 )Mi ),
i=1

i=1

onde Mi = f (ti ). Fazendo a norma da partição P tender a zero, obtemos que
Rb
v ∧ a f (t)dt.
1

Rb
a

[v ∧f (t)]dt =

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Q5- Seja Mn o conjunto das matrizes n por n. Defina a aplicação contı́nua f : Mn → Mn , dada
por f (A) = AAT . Como o conjunto das matrizes ortogonais é formado por f −1 (Id ), segue
que tal conjunto é fechado. A limitação segue do fato de que em uma matriz ortogonal, suas
colunas formam um conjunto ortonormal.

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