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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Prova de Mestrado - 2020.1
1. Prove que existe um número real b > 0 tal que b2 = 2.
Solução: Considere os conjuntos X = {x ∈ ;x ≥ 0, x2 < 2}, então este conjunto é não vazio e
limitado superiormente. Mostre que X não tem elemento máximo. Agora defina o conjunto
y = {x ∈ ;x ≥ 0, x2 > 2}. Então este conjunto é não vazio e limitado inferiormente. Mostre
que este conjunto não tem elemento mı́nimo. Além disso, note que se x ∈ X e y ∈ Y , então
x < y. Usando esses fatos mostre que o número b = sup X, satisfaz a condição b2 = 2
2. Se {an }n∈N converge para a, mostre que {σn }n∈N , onde σn = a1 +a2n+···an também converge
para a.
Solução: Como {an } converge, segue que a mesma é limitada, digamos, |an | ≤ k, para todo
n. Além disso, existe n0 ∈ N tal que |an − a| ≤ 2 , se n > n0 . Seja n1 tal que nk ≤ 2 , se
n > n1 . Seja n2 = max{n0 , n1 }. Use esses fatos, junto com a desigualdade triangular para
mostrar que dado n > n2 , tem-se |σn − a| ≤ . Isso prova o resultado.
3. Encontre todas as funções contı́nuas f : R → R que satisfazem f (x + y) = f (x) + f (y).
Solução: Como f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), segue que f (0) = 0. Dado n um número
natural, tem-se que f (n) = f (1 + · · · 1) = nf (1) e f (1) = f ( n1 + · · · + n1 ) implica que
f ( n1 ) = n1 f (1). Usando esses fatos pode-se mostrar que para qualquer número racional q
tem-se f (q) = qf (1). Além disso, dado q racional f (0) = f (q − q) = f (q) + f (−q), logo
f (−q) = −f (q) = −qf (1). Pela continuidade de f tem-se que para qualquer a real vale
f (a) = af (1). Logo todas as funções que satisfazem as propriedades do enunciado, são da
forma f (x) = bx, onde b é um número real fixado.
4. Seja f : I → R uma função de classe C 1 em um intervalo aberto I tal que sua derivada não
é limitada. Mostre que f não é Lipschitz. Dê um exemplo de uma tal função.
Solução: Com efeito, suponha que f é Lipschitz, isto é, existe um c > 0 tal que
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀x, y ∈ I,
neste caso é fácil mostrar que |f 0 (x)| ≤ c em I. Contrariando a hipótese.
√
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Exemplo de tal função: f : (0, ∞) → R dada por f (x) = x. Verifique que f 0 (x) = √ é
2 x
ilimitada.
5. Suponha que f : I → R é uma função diferenciável, onde I é um intervalo aberto. Prove que
vale o Teorema do Valor Intermediário para f 0 : I → R (mesmo que f 0 não seja contı́nua).
Solução: Seja [a, b] ⊂ I, assuma, sem perda de generalidade, que f 0 (a) < f 0 (b). Seja λ
um número real tal que f 0 (a) < λ < f 0 (b), Considere a função g(x) = f 0 (x) − λx. Então
g 0 (a) < 0 e g 0 (b) > 0. Consequentemente, g atinge seu mı́nimo global em [a, b] em um ponto
x0 do intervalo (a, b). Portanto, g 0 (x0 ) = 0, ou seja, f 0 (x0 ) = λ.

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