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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Prova de Mestrado - 2020.1
P
P∞
1. Sejam ∞
n+1 an e
n+1 bn duas séries de termos positivos, e suponha que
an
< ∞.
n→∞ bn

0 < lim

Então, uma das seguintes alternativas ocorre: (i) ambas as séries convergem, (ii) ambas as
séries divergem.
Solução: Seja L = limn→∞ abnn , então existe n0 ∈ N tal que n > n0 tem-se
−L
< abnn − L < L2 , então para n > n0 tem-se
2

L
3L
bn < an <
bn .
2
2
Portanto o resultado segue do critério de comparação.
2. Seja f : R → R uma função periódica. Mostre que se lim f (x) existe, então f é uma função
x→∞

constante. Deduza que lim sen(x) não existe.
x→∞

Solução: Assuma que lim f (x) = L. Assuma que há a ∈ R tal que f (a) 6= L. Denote por
x→∞
.
o perı́odo de f e  = |f (a)−L|
2

Pela propriedade arquimediana de R, dado M real, existe
T
n ∈ N tal que a + nT > M . Pela definição de limite no infinito, para o  dado existe M real
tal que se x > M temos |f (x) − L| < . Usando x = a + nT no termo anterior deduzimos
uma contradição e logo f é constante igual a L. Para a segunda parte basta observar que a
função seno é periódica.
3. Sejam X ⊂ R e f : X → R uma função uniformemente contı́nua. Mostre que f leva
sequência de Cauchy em sequência de Cauchy. Em seguida apresente um exemplo de uma
função contı́nua que não verifica a tese da primeira parte do problema.
Seja {xn } sequência de Cauchy contida em X. Dado  positivo, existe, pela definição de
continuidade uniforme, δ positivo tal que
x, y ∈ X, |x − y| < δ implica |f (x) − f (y)| < .
Escolha n0 natural tal que n, m > n0 implica |xn −xm | < δ. Daı́ segue que {f (xn )} é Cauchy.
Para a segunda parte, considere X = (0, 1), f (x) = x1 e xn = n1 .
4. Seja f : R → R derivável, tal que f (0) = 0 e, para todo x ∈ R, vale [f (x)]2 = f 0 (x). Mostre
que f (x) = 0 para todo x ∈ R
Solução: Em primeiro lugar, observe que f é integrável. Se f não fosse identicamente nula,
então terı́amos:
f 0 (x)
= 1,
[f (x)]2
integrando ambos os membros da equação acima em relação a x, obtemos
1
f (x) = −
,
x+c
1

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onde c é uma constante. Observe que qualquer que seja a constante c, a função f admite
valores positivos e negativos. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo
Z x
Z x
0
f (t)dt =
[f (t)]2 dt ≥ 0,
f (x) = f (x) − f (0) =
0

0

um absurdo. Portanto, a única função satisfazendo as condições requeridas é a função
identicamente nula.
5. Sejam I = [a − δ, a + δ] e f : I → R tal que |f (y) − f (x)| ≤ k|y − x|, onde 0 ≤ k < 1. Se
|f (a) − a| ≤ (1 − k)δ, prove que existe um único x ∈ I com f (x) = x.
Solução: Note que, por definição, f é uma contração, como I é um intervalo fechado, então
pelo Teorema do Ponto fixo das Contrações, resta provar que f (I) ⊂ I. Com efeito, se x ∈ I
então
|f (x) − a| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a) − a| ≤ k|x − a| + (1 − k)δ ≤ kδ + (1 − k)δ = δ.
Portanto f (x) ∈ I.

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