padrão de resposta mestrado .pdf
Documento PDF (116.4KB)

Exibir conteúdo Baixar

                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Prova de Mestrado
1. (a) Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card X = n} . Prove que Pn é enumerável.
Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável.
Solução: Veja que todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável e que
Pn pode ser visto como subconjunto de N × · · · × N (n cópias de N). Finalmente, veja
que Pf = ∪n∈N Pn .
(b) Prove que o conjunto P(N) de todos os subconjuntos de N é não enumerável.
Solução: Veja que há uma correspondência entre P(N) e o conjunto das aplicações
de N no conjunto {0, 1}. Proceda por contradição, ou seja, suponha que seja possı́vel
enumerar e construa uma função diferente de todas as anteriores.
2. Prove que toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Solução: Prove inicialmente que toda sequência monótona limitada é convergente e depois
mostre que em uma sequência limitada podemos extrair subsequência monótona.
3. Seja f : [0, 1] → R contı́nua tal que f (0) = f (1) e seja n um número natural. Prove que
existe x ∈ [0, n1 ] tal que f (x) = f (x + n1 ).
Solução: Suponha o contrário, isto para todo x tem-se f (x + n1 ) 6= f (x). Afirmamos que
ou f (x + n1 ) > f (x) para todo x ∈ [0, 1] ou f (x + n1 ) < f (x) para todo x ∈ [0, 1]. Com
efeito, caso exita a e b em [0, 1) tal que f (a + n1 ) > f (a) e f (b + n1 ) < f (b) o Teorema do
valor intermediário aplicado na função h(x) = f (x + n1 ) − f (x) no intervalo [a, b] garante a
existência de um c ∈ (a, b) tal que h(c) = f (c + n1 ) − f (c) = 0, uma contradição. Agora,
assuma sem perda de generalidade que f (x + n1 ) > f (x). Então
f (0) < f (1 +

1
2
) < f (1 + ) < · · · < f (1),
n
n

gerando uma contradição, pois por hipótese f (0) = f (1).
4. Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua, a < b. Mostre que existe c ∈ (a, b) tal que
Z b
1
f (x)dx = f (c).
b−a a
A conclusão ainda é verdadeira se f for apenas uma função integrável?
Solução: Como f é continua em um compacto, existem
m = inf{f (x); x ∈ [a, b]} e M = sup{f (x); x ∈ [a, b]}.
Rb
Com isso é fácil obter m(b − a) ≤ a f (x)dx ≤ M (b − a), o que implica em
Z b
1
m≤
f (x)dx ≤ M.
b−a a
O teorema do valor intermediário garante a existência de c ∈ [a, b] tal que
Z b
1
f (x)dx = f (c).
b−a a
1

Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Se retirarmos a hipótese de continuidade a conclusão não vale. Para isso, considere

1, 0 ≤ x ≤ 1,
f (x) =
0, 1 ≤ x ≤ 2.
Note que
1
b−a

Z b

1
f (x)dx = .
2
a

Porém f (x) 6= 12 qualquer que seja x ∈ [0, 2].
5. Defina conjunto de medida nula. Sejam a < b e f : [a, b] → R uma função positiva, isto
é, f (x) > 0, para todo x ∈ [a, b]. Mostre que existe α > 0 tal que o conjunto X = {x ∈
[a, b]; f (x) ≥ α} não tem medida nula.
Solução: Definição: Um subconjunto X
S ⊂ R tem medida nula se, para todo  > 0 dado,
existe uma cobertura
P enumerável X ⊂ Ik de X por intervalos abertos Ik cuja soma dos
comprimentos é
|Ik | < .
Suponha que X = {x ∈ [a, b]; f (x) ≥ α} tem medida nula qualquer que seja α > 0. Seja,
Xn = {x ∈ [a, b]; f (x) ≥

1
}.
n

Por hipótese, Xn tem medida nula, para todo n ∈ N. Logo,

∞
[
n=1

isso é absurdo, pois
[a, b] =

∞
[
n=1

e [a, b] não tem medida nula.

2

Xn

Xn tem medida nula. Mas