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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Prova de Doutorado
1. Prove que duas normas quaisquer no espaço Rn são equivalentes.
Solução: Mostre que toda norma em Rn é equivalente à norma da soma.
2. Sejam X ⊂ Y ⊂ X em Rn . Se X é conexo, então Y também é conexo.
Solução: Como todo ponto de Y é aderente a X, para todo conjunto não-vazio A, aberto
em Y , tem-se A ∩ X 6= 0. Com este fato prove que Y só admite cisão trivial.
3. Seja A ⊂ Rn um conjunto convexo. Prove que a função f : Rn → R definida por f (x) =
d(x, A) é convexa.
(obs.: d(x, A) denota a distância de x à A)
Solução: Para x, y ∈ Rn e t ∈ [0, 1], sejam x, y ∈ A tais que d(x, A) = |x − x| e d(y, A) =
|y − y|. Então (1 − t)x + ty ∈ A, pois o fecho de um conjunto convexo é convexo. Como
d(x, A) = d(x, A), tem-se
f ((1 − t)x + ty) = d((1 − t)x + ty, A) ≤ |(1 − t)x + ty, (1 − t)x + ty|
= |(1 − t)(x − x) + t(y − y)| ≤ (1 − t)|x − x| + t|y − y| = (1 − t)f (x) + tf (y).

4. Sejam F ⊂ Rm um subconjunto fechado e f : F → F uma aplicação tal que
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|, ∀ x, y ∈ F,
onde 0 ≤ c < 1. Prove que f tem um único ponto fixo.
Solução: Considere qualquer ponto x0 ∈ F , afirmamos que a sequência definida por
xk+1 = f (xk ) onde k = 0, 1, 2, ...

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converge para um ponto a ∈ F , que é o único ponto fixo de f . Com efeito, usando que
|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| e c ≤ c < 1, mostre que (xk ) é uma sequência de Cauchy, logo
convergente para um ponto a ∈ F , pois F é fechado. Como f é contínua, fazendo k → ∞ na
Eq. (1), obtemos que f (a) = a, mostrando assim a existência de um ponto fixo. Em relação
a unicidade, suponha que f tenha um outro ponto fixo, ou seja, f (b) = b. Assim, teríamos
que
|f (b) − f (a)| = |b − a| ≤ c|b − a|.
Um absurdo, desde que 0 ≤ c < 1. Consequentemente, f tem um único ponto fixo.
5. Sejam p(X) e q(X) polinômios em n variáveis (x1 , . . . , xn ) de grau menor ou igual a s − 1.
Assuma que existem números a > 0 e C > 0 tal que
|p(X) − q(X)| ≤ C|X|s ,
para todo X tal que |X| ≤ a. Mostre que p = q. Deduza que o polinômio da fórmula de
Taylor é unicamente determinado.
Solução: Com essa desigualdade é possível mostrar que todas as derivadas de ordem menor
que s na origem são iguais e usando isso deduz-se a igualdade dos polinômios.
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