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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Padrão de Resposta - Prova de Doutorado
1. Dados K, L ⊂ Rn subconjuntos do Rn defina K ∗L como sendo a união de todos os segmentos
de reta [x, y] com x ∈ K and y ∈ L.
(a) Prove que se K e L são compactos então K ∗ L também é compacto.
Solução: Verifique que o conjunto resultante é fechado e limitado.
(b) Mostre que se F ⊂ Rn é apenas fechado e a ∈ Rn então a ∗ F pode não ser fechado.
Solução: Construa um exemplo no R2 com F não limitado.
2. Prove que toda matriz real n × n é limite de uma sequência de matrizes invertı́veis n × n.
Solução: Mostre, por exemplo, que o determinante é uma função contı́nua.
3. Seja ∧ o produto vetorial em R3 . Para todo v ∈ R3 e todo caminho f : [a, b] → R3 , prove
que
Z
Z
b

b

[v ∧ f (t)]dt = v ∧
a

f (t)dt.
a

Solução: Seja P = {t0 = a, t1 , t2 , ..., tk = b} uma partição de [a, b]. Usando propriedade do
produto vetorial, a soma superior do caminho v ∧ f (t) é dada por
k
k
X
X
(ti − ti−1 )(v ∧ Mi ) =
(v ∧ (ti − ti−1 )Mi )
i=1

i=1

Fazendo a norma da partição P tender a zero, obtemos que

Rb
a

Rb
[v ∧ f (t)]dt = v ∧ a f (t)dt.
k vezes

z
}|
{
4. Sejam f1 , f2 , · · · , fk : I → R caminhos diferenciáveis e γ : Rm × · · · × Rm → Rn uma
aplicação k-linear. Prove que o caminho g : I → Rn dado por g(t) = γ(f1 (t), f2 (t), · · · , fk (t))
é um caminho diferenciável para todo t ∈ I.
m

Solução: Por definição de derivada de uma caminho, usando a k-linearidade de γ e a deferencialidade de fj , obtemos
d
γ(f1 (t), f2 (t), ..., fk (t))
dt
1
= lim [γ(f1 (t + h), f2 (t + h), ..., fk (t + h)) − γ(f1 (t), f2 (t), ..., fk (t))]
h→0 h
1
= lim [γ(f1 (t + h) − f1 (t), f2 (t + h), ..., fk (t + h))]
h→0 h
1
+ lim [γ(f1 (t), f2 (t + h) − f2 (t), ..., fk (t + h))]
h→0 h
1
+ lim [γ(f1 (t), f2 (t), f3 (t + h) − f3 (t), · · · , fk (t + h))]
h→0 h
1
+ · · · + lim [γ(f1 (t), f2 (t), · · · , fk−1 (t), fk (h + t) − fk (t))]
h→0 h
0
= γ(f1 (t), f2 (t), ..., fk (t)) + γ(f1 (t), f20 (t), ..., fk (t)) + · · · + γ(f1 (t), f2 (t), ..., fk0 (t)).
Portanto γ(f1 (t), f2 (t), ..., fk (t)) é diferenciável.
1

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5. Sejam A : R3 → R3 um operador linear auto-adjunto e f : R3 → R uma função definida por
f (x) = hA(x), xi. Mostre que os pontos crı́ticos da restrição f |S2 , são os auto-valores de A,
onde S2 é a esfera unitária do R3 centrada na origem.
Solução: É claro que S2 = ϕ−1 (1), onde ϕ : R3 → R é definida por ϕ(x) = hx, xi e, como
gradϕ(x) = 2x, 1 é valor regular de ϕ. Por sua vez, gradf (x) = 2Ax. Portanto, os pontos
crı́ticos da restrição f |S2 são as soluções x do sistema
(
Ax = λx,
hx, xi = 1,
isto é, são os autovetores do operador A que tem comprimento 1.

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