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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Gabarito/Padrão de Resposta da Prova de Seleção de Mestrado
09 de Julho de 2018

Parte 1 - Objetivas.
Q1- Considere a sequência dos números de Fibonacci {Fn } definida por
F1 = F2 = 1 e Fn+2 = Fn+1 + Fn .
Marque a alternativa verdadeira.
(a) [
] Não existe lim sup FFn+1
;
n
n→∞

(b) [
(c) [

] As sequências FFn+1
e sn =
n
e sn =
] As sequências FFn+1
n

n
X
k=1
n
X

Fk convergem;
Fk divergem;

k=1

(d) [X] A sequência FFn+1
converge e a sequência sn =
n
(e) [

diverge e a sequência sn =
] A sequência FFn+1
n

n
X
k=1
n
X

Fk diverge;
Fk converge;

k=1

Solução Q1-: A alternativa correta é (d). De fato, como Fn é uma sequência linear de segunda
ordem, podemos deduzir que
√
√
(1 + 5)n − (1 − 5)n
√
Fn =
, ∀ n ≥ 1.
2n 5
Daí,

√
Fn+1
1+ 5
lim
=
.
n→∞ Fn
2
Usando o teste da razão concluí-se que a série diverge.
Q2- Seja f : I → R de classe C ∞ , f (0) = 0, f 0 (0) = 0, e |f 00 (x)| ≤ M ∀x. Qual das seguintes
alternativas não é necessariamente verdadeira?
(a) [
] f (1) ≤ M
2 ;
(b) [X] 0 não é valor máximo nem mínimo;
(c) [
] ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que se x ∈ (−δ, δ), |f (x)| < ;
(d) [
] Se lim sn = 0, então lim f (sn ) = 0;
(e) [ ] Nenhuma das anteriores (todas são verdadeiras).
Solução Q2-: Alternativa correta: (b).
1

A alternativa a) é verdadeira. De acordo com a Fórmula de Taylor, temos que
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +

f 00 (c)x2
,
2!

onde c ∈ [0, x].

f 00 (c)
M
≤
.
2
2
A alternativa (b) não é necessáriamente verdadeira. Contra-exemplo: f (x) = x2 (mínimo) ou
f (x) = −x2 (máximo), f (x) = sen(x) − x (sela).
A alternativa (c) é verdadeira, pois é consequência da continuidade de f , decorrente de sua
diferenciabilidade.
A alternativa (d) é verdadeira, pois sendo f contínua, lim f (sn ) = f (lim sn ) = f (0) = 0.
A alternativa (e) é falsa, pois o item (b) é falso.
Logo, f (1) =

Q3- Seja sn uma sequência de números reais em um conjunto limitado S, onde lim inf sn 6= lim sup sn .
Marque a alternativa falsa.
(a) [
] lim sn não existe;
(b) [
] sn não é uma sequência de Cauchy;
(c) [
] lim inf sn < lim sup sn ;
(d) [
] Existe uma subsequência convergente de sn ;
(e) [X] sn tem uma quantidade infinita de termos dominantes (Obs.: dizemos que sn é um termo
dominante se sn > sm , ∀ m > n).
Solução Q3-: Alternativa correta: (e)
A alternativa (a) é verdadeira, pois o limite só pode existir se lim inf sn = lim sup sn .
A alternativa (b) é verdadeira, pois como o limite não existe, a sequência não pode ser de
Cauchy.
A alternativa (c) é verdadeira, pois de modo geral lim inf sn ≤ lim sup sn , e além disso o
enunciado descarta a possibilidade da igualdade.
A alternativa (d) é verdadeira, de acordo com o Teorema de Bolzano-Weierstrass, observandose que a sequência está contida em um conjunto limitado.
A alternativa (e) é falsa. Um contra-exemplo é a sequência sn = 1 − n1 para n par e sn = 0
para n ímpar.
Q4- Considere as seguintes afirmações:
I) Toda função contínua f : [a, b] → R é integrável, mas nem toda função integrável é contínua.
Z b
II) Seja f : [a, b] → R uma função integrável. Então
|f (x)|dx = 0 se, e somente se, o conjunto
a

{x ∈ [a, b]; f (x) 6= 0} tem interior vazio.
Z 1
Z 1
III) Se f : [−1, 1] → R é integrável, então
xf (x2 ) dx = 0 =
f (senx) cos x dx.
−1

−1

É correto afirmar que:
(a) [ ] Todas as afirmações são verdadeiras.
(b) [ ] Todas as afirmações são falsas.
(c) [ ] Apenas a afirmação I) é verdadeira.
(d) [ ] Apenas a afirmação II) é verdadeira.
(e) [ ] Apenas a afirmação III) é verdadeira.
Solução Q4-: QUESTÃO ANULADA, POIS NÃO CONSTA A ALTERNATIVA
CORRETA ENTRE AS OPÇÕES. PONTUAÇÃO CONCEDIDA A TODOS APLICANTES.

I) Verdadeira. Use: “Para que uma função limitada f : [a, b] → R seja integrável, é necessário
e suficiente que o conjunto dos seus pontos de descontinuidades tenha medida nula.”
Z b
|f (x)|dx = 0. Se int(A) 6=
II) Verdadeira. Seja A = {x ∈ [a, b]; f (x) 6= 0}. Suponhamos que
a

∅, então existe um intervalo fechado [a1 , b1 ] ⊂ A ⊂ [a, b] tal que |f (x)| 6= 0, para todo
x ∈ [a1 , b1 ]. Pelas propriedades de integrais,
Z b1
Z b
|f (x)|dx > 0,
|f (x)|dx ≥
0=
a

a1

o que é um absurdo.
III) Falsa. A função f (x) = x2 é integrável e

Z 1
f (sen x) cos x dx 6= 0.
−1

Parte 2 - Dissertativa.

Q5- Prove que o conjunto X = Q ∩ [a, b], com a < b é um conjunto enumerável que não tem conteúdo
nulo. Conclua que um intervalo não-degenerado [a, b] não tem conteúdo nulo.
Solução Q5-: A enumerabilidade é imediata. O ponto principal é não ter conteúdo nulo. De fato,
se c(X) = 0, então dado  < b − a existiria uma partição Q de [a, b] tal que a soma dos comprimentos
dos intervalos de P contendo pontos de X seria < . Contudo, tal soma é igual a b − a. Logo alguns
intervalos de P não conteriam pontos de X, o que é um absurdo. Como X está contido em [a, b], então
[a, b] não tem conteúdo nulo.