Padrao resposta Doutorado.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Padrão de Resposta - Doutorado

Q1- Mostre que o conjunto das matrizes invertíveis de ordem n × n é aberto e denso no conjunto das
matrizes de ordem n × n.
solução (Assunto: Topologia dos espaços euclidianos):
É conhecido que o determinante é uma função contínua e o conjunto G das matrizes invertíveis é
igual a det−1 (R \ {0}) e logo é aberto. Dada uma matriz A qualquer, podemos aproximá-la por
A + n1 I para n muito grande e estas estão em G.
Q2- Seja f : Rn → Rk diferenciável. Usando a definição, verifique que F (x) = (x, f (x)) é diferenciável.
solução (Assunto: diferenciabilidade):
Usando derivada direcional, temos que ∂F
∂v = (v, df (p) · v). Usando tal expressão na definição
de diferenciabilidade concluí - se a questão.
Q3- Seja K ⊂ Rn um conjunto compacto e conexo. Seja f : K → R contínua.
(a) Mostre que o conjunto graf(f ) := {(x, f (x)); x ∈ K} é conexo e compacto.
(b) Seja p ∈ R um ponto que pertence a imagem de f . Prove que f −1 (p) não é homeomorfo a
R.
solução (Assunto: Continuidade e topologia):
(a) Defina ϕ : K → Rn × R dada por ϕ(x) = (x, f (x)). Note que ϕ é contínua e como ϕ(K) =
graf(f ), segue graf(f ) é conexo e compacto.
(b) Seja p ∈ Im(f ). Como {p} é um conjunto fechado e f é uma função contínua, concluímos
que f −1 (p) é um conjunto fechado, que contido num compacto, é também compacto. Se existisse
homeomorfismo entre f −1 (p) e R, então R seria compacto
Q4- Obtenha o polinômio de Taylor de grau 2 para função f (x, y) = x sen(y) em torno da origem.
solução (Assunto: Fórmula de Taylor):
Após o cálculo das derivadas de ordem menor ou igual a dois na origem, deduzimos que o polinômio solicitado é p2 (x, y) = xy.
Q5- Seja f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 2 definida em R2 .
(a) Mostre que f admite pontos de máximo e mínimo quando restrita à elipse de equação
x2 + 2y 2 = 1;
(b) Determine os pontos de mínimo e máximo.
solução (Assunto: Continuidade e Multiplicador de Lagrange):
(a) f é contínua e a elipse é um subconjunto compacto do plano. Basta usar o Teorema de
Weierstress;
(b) Usando multiplicador de Lagrange obtemos:

 

Máximo: √13 , − √13 e − √13 , − √13

 

Mínimo: √26 , √16 e − √26 , − √16
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