5.Padrão_DoutoradoUFAL2019.0.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Padrão de Resposta da Prova de Seleção de Doutorado

Q1- Seja f : Rn → Rm uma função contínua em a ∈ Rn . Prove que se f (a) não pertence à bola
fechada B[b; r] ⊂ Rm , então existe δ > 0 tal que f (x) não pertence a B[b; r] para todo x ∈ Rn
satisfazendo |x − a| < δ.
Solução: Como f (a) 6∈ B[b; r], temos que |f (a) − b| > r, ou seja, |f (a) − b| − r > 0. Como f é
contínua em a, existe δ > 0 tal que |f (x) − f (a)| < |f (a) − b| − r para todo x ∈ Rn satisfazendo
|x − a| < δ. Segue da Desigualdade Triangular que
|f (x) − b| = |f (x) − f (a) + f (a) − b|
≥

|f (a) − b| − |f (x) − f (a)|

>

r

n

para todo x ∈ R satisfazendo |x − a| < δ.
Q2- Suponha que f : Rn → R é uma função diferenciável tal que f (x/2) = f (x)/2 para todo x ∈ Rn .
Prove que f é um funcional linear.
Solução: Como f (x/2) = f (x)/2 para todo x ∈ Rn , temos que f (0) = f (0/2) = f (0)/2, ou
seja, f (0) = 0. Por outro lado, segue diretamente da hipótese que
 x  f (x)
f k = k
2
2
para todo k ∈ N. Portanto, como f é diferenciável, nós temos

f 2xk
f (tx)
0
= lim
f (0) · x = lim
= lim f (x) = f (x).
1
t→0
k→∞
k→∞
t
2k
Isto prova que f = f 0 (0), que é um funcional linear.
Q3- Considere a seguinte função f : R2 → R definida por
( 3 2
x y
se (x, y) 6= (0, 0)
x4 +y 4 ,
f (x, y) =
0,
se (x, y) = (0, 0),
2
a) Mostre que existe ∂f
∂v (0, 0) para todo v ∈ R .
∂f
b) A igualdade h∇f (0, 0), vi = ∂v (0, 0) é sempre válida?
c) A função f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.

Solução:
a) Seja v = (a, b) 6= (0, 0). Por um cálculo direto temos:
 f (ta, tb) − f (0, 0) 
∂f
a3 b2
(0, 0) = lim
= 4
.
t→0
∂v
t
a + b4
3 2

a b
Logo ∂f
∂v (0, 0) existe, pois o limite existe e é igual a a4 +b4 .
b) Isto não é verdade. De fato, ∇f (0, 0) = (0, 0), porém ∂f
∂v (0, 0) pode não ser nulo.
c) Não, pois se fosse verdade, h∇f (0, 0), vi seria igual a ∂f
∂v (0, 0).
1

Q4- Seja f : Rm → Rn uma função que satisfaz
|f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2
para quaisquer x, y ∈ Rm . Mostre que f é constante.
Solução: Basta observar que f é diferenciável e que df (x) = 0 para todo x ∈ Rm . Então
vemos que,
f (x + h) = f (x) + O(h) + r(h),
onde O é a aplicação linear nula e
kf (x + h) − f (y) − O(h)k
kr(h)k
khk2
= lim
≤ lim sup
= 0.
h→0
h→0 khk
khk
khk
h→0
lim

m
Logo limh→0 kr(h)k
é convexo, segue
khk = 0. Desta forma f é diferenciável e df (x) = 0. Como R
que f é uma função constante.

Q5- Sejam U ⊂ R2 um aberto do R2 e , a(x, y) e b(x, y) funções positivas em U ∪ ∂U , onde ∂U denota
a fronteira de U . Deste modo a forma quadrática definida pela matriz


a 0
A=
0 b
é positiva definida para todo ponto (x, y). Para uma função de classe C 2 , v, definida em U ∪ ∂U
defina o operador L por
∂2v
∂2v
Lv = a 2 + b 2 ,
∂x
∂y
com esta condição de positividade definida L é dito elíptico. Uma função v é dita estritamente
subharmônica relativa a L se Lv > 0. Mostre que uma função estritamente subharmônica não
pode ter um ponto de máximo em U .
2

2

∂ v
∂ v
Solução: Em um ponto de máximo no interior teríamos ∂x
2 ≤ 0 e ∂y 2 ≤ 0. Como a e b são
não-negativos, então Lv neste ponto de máximo é nào positivo, o que contradiz a hipótese de
Lv > 0.