DoutoradoUFAL2017_1.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção para o Doutorado
Data: 03 de março de 2017.

Inı́cio: 9 horas.

Término: 13 horas

1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1- Seja f : Rn → R uma função diferenciável. Se a ∈ R é um valor regular de f ,
então f −1 (a) é uma hipersuperfı́cie orientável.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
Verdadeiro, usando o Teorema da função implicita observe que f −1 (a) é localmente um gráfico e que o gradiente de f é um campo de vetores contı́nuo normal
à f −1 (a).
2- O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; x2 − y 2 = 1} é um conjunto desconexo.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
Verdadeiro. Basta notar que o conjunto é uma hipérbole equilátera.
3- O espaço euclidiano Rn é separável, ou seja, possui um subconjunto enumerável e
denso.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
Verdadeiro. Tome o subconjunto formado pelos pontos com coordenadas racionais.
4- Dado n ≥ 3, o conjunto Rn \ {0} é homeomorfo a Rn .
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
Falso, pois Rn é contrátil e Rn \ {0} não é.

2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Seja f : [a, b] → R uma função contı́nua que é duas vezes diferenciável em (a, b) e
tal que para todo x ∈ (a, b) tem-se f 00 (x) = αf (x), para alguma constante α > 0.
Prove que
|f (x)| ≤ max{|f (a)|, |f (b)|},

para todo x ∈ [a, b].

O candidato deve estudar propriedades de convexidade de f para obter o resultado desejado, utilizando funções auxiliares como g(x) = f (x)2 , se necessário.
2- Seja H : Rn → Rn uma aplicação linear invertı́vel. Mostre que existe c > 0 tal que
|H(x)| ≥ c|x|, para todo x ∈ Rn .
O candidato deverá usar as propriedades da norma em relação à composição de
transformações lineares para concluir que c pode ser tomado maior que 1/kHk.
1

2

3- Seja U ⊂ Rm um conjunto convexo. Dada f : U → Rn diferenciável, mostre que
|f 0 (x)| ≤ c para todo x ∈ U se, e somente se, f é Lipschitz.
O candidato deve usar corretamente o Teorema do Valor Médio para uma implicação e a propriedade de Lipschitz junto com a definição de derivada para a
outra implicação.
4- Determine os pontos crı́ticos da função f : R2m → R, f (x, y) = hx, yi, restrita à
esfera unitária |x|2 + |y|2 = 1.
O candidato deve derivar corretamente e obter o gradiente de f em um ponto
genérico (x, y), utilizar a expressão g(x, y) = |x|2 + |y|2 para definir a superfı́cie
de modo implı́cito, observando que 1 é valor regular de g, aplicar o teorema dos
multiplicadores de Lagrange para concluir que os pontos crı́ticos são da forma
(x, x) ou (x, −x) onde |x|2 = 1/2.