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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Prova de Seleção de Mestrado

Parte 1
Nas questões da primeira parte, responda afirmativamente ou negativamente dando uma justificativa plausı́vel.
(1) Um conjunto A é aberto se, e somente se, cumpre a seguinte condição: ”dada uma sequência (xn ) de reais
que converge para um ponto a ∈ A então existe uma subsequência ni tal que xni ∈ A.
(2) Se f : I → R é diferenciável sobre um intervalo I, então f 0 satisfaz uma propriedade de valor intermediário
sobre I.
(3) Se duas matrizes A e B têm o mesmo polinômio minimal, então A e B são semelhantes.
(4) Uma matriz cujos os autovalores reais são nulos é nilpotente.

Parte 2
Nesta parte dê respostas detalhadas. Soluções incompletas podem ter pontuação parcial ou nenhuma pontuação.
(1) Para um número natural n ∈ N, denotamos por σ(n) e τ (n) a soma de todos os números naturais divisores de
√
n. Discuta o que acontece quando
n e a quantidade desses divisores, respectivamente. Mostre que σ(n)
τ (n) ≥
a igualdade é atingida.
(2) Dados dois números positivos a1 e a2 , prove que a sequência recursiva definida por
2
an =
, para todo n ∈ N, n ≥ 3,
an−1 + an−2
converge.
(3) Mostre que a função f : [0, 1] → R definida por

0 
se x = 0
f (x) =
1
1
caso contrário,
x − x
onde [z] denota a parte inteira de z ∈ R, é integrável à Riemann.
(4) Seja A e B duas matrizes complexas n × n. Prove que se AB = BA, então eA+B = eA eB .
Sugestão: Mostre inicialmente que se f (t) = etA , então f 0 (t) = AetA , depois considere a função g(t) =
et(A+B) e−tA e−tB .

Boa Prova!