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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática

Prova de Seleção - Doutorado em Matemática/ IM-UFAL 2017

Parte 1
Nas questões da primeira parte, responda afirmativamente ou negativamente dando uma justificativa plausı́vel.
(1) Todo aberto conexo é conexo por caminhos.
(a)
(2) Dada uma função diferenciável f : [a, b] → Rn , existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = f (b)−f
.
b−a
(3) Dadas funções contı́nuas f, g : A → Rn , o conjunto A = {x ∈ Rn ; f (x) = g(x)} é fechado.
(4) O limite uniforme de funções contı́nuas fn : A → Rn é uma função contı́nua.

Parte 2
(1) Prove que se f : A → Rn é diferenciável e f (p) é ponto de máximo local de f , então f 0 (p) = 0.
√
(2) Seja f : R2 → R2 definida por f (x, y) = 3 xy.
∂f
(a) Prove que ∂f
∂x (0, 0) = ∂y (0, 0) = 0.
(b) Prove que f é contı́nua em (0, 0).
(c) Decida se f é diferenciável em (0, 0), justificando sua resposta.
(3) Prove que existe  > 0, tal que se A é uma matriz n × n com coeficientes reais tal que kA − Ik < , então
existe uma matriz n × n com coeficientes reais tal que B tal que B 2 = A.
(4) Enuncie precisamente os teoremas da função implı́cita e inversa em Rn e dê uma aplicação desses teoremas.

Boa Prova!