Mestrado_UFAL_2016_2.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Mestrado
Data: 20 de junho de 2016
Inı́cio: 08 horas
Término: 12 horas

1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1
pertence ao conjunto de Cantor K.
4
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso

1- O número

2- Sejam V um espaço vetorial e W ⊂ V um subespaço vetorial. Sempre existe uma
transformação linear T : V → V tal que T (V ) = W .
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
3- Todo conjunto de conteúdo nulo é enumerável.
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

4- No conjunto C 0 [0, π], conjunto das funções contı́nuas no intervalo [0, π], as funções
f (x) = x, g(x) = sen x e h(x) = cos x são linearmente dependentes.
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Seja f : R → R contı́nua. Prove que são equivalentes:
(a)

lim |f (x)| = lim |f (x)| = +∞;

x→+∞

x→−∞

(b) Se |xn | → +∞, então |f (xn )| → +∞;
(c) Se K é compacto, então f −1 (K) é compacto.
2- Sejam V e W espaços vetoriais complexos de dimensão finita e T : V → W uma
transformação linear. Defina a aplicação S : W 0 → V 0 por S(f ) = f ◦ T , onde
V 0 indica o conjunto dos funcionais lineares sobre V e ◦ significa composição.
Prove que existem bases dos espaços vetoriais V, W, V 0 e W 0 tal que a matriz que
representa S é a transposta da matriz que representa T , nas respectivas bases.
3- Toda função g : (−2, 2) → R duas vezes diferenciável na origem e tal que g(0) =
g(x)
g 0 (0) = g 00 (0) = 0 satisfaz lim 2 = 0.
x→0 x
4- Sejam V um espaço vetorial complexo e com produto interno e T : V → V um
operador linear. Assuma que hT u, ui = 0 para todo u ∈ V . Prove que T é
identicamente nulo.

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