Prova - doutorado
Doutorado_UFAL_UFBA_2016_2.pdf
Documento PDF (103.7KB)
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Prova de Seleção de Doutorado
Data: 20 de junho de 2016
Inı́cio: 9 horas
-
Término: 12 horas
1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1- Um ponto crı́tico não degenerado de uma função f : Rn → R de classe C 2 é sempre
um ponto isolado.
( ) Verdadeiro
ou
( ) Falso
2- Dado r ∈ (0, 1), a função f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = xr é Lipschitziana.
( ) Verdadeiro
ou
( ) Falso
3- Sejam f, g : ZA → R funções
Z integráveis definidas em um conjunto J−mensurável
A ⊂ Rn . Se
g(x)dx, então f (x) > g(x) para todo x ∈ A.
f (x)dx >
A
( ) Verdadeiro
A
ou
( ) Falso
4- Sejam a um ponto de acumulação de X ⊂ Rn e f : X → R uma função real.
Se L = lim f (x) é um número positivo, então existe δ > 0 tal que x ∈ X e
x→a
0 < |x − a| < δ implicam f (x) > 0.
( ) Verdadeiro
ou
( ) Falso
2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Seja I ⊂ R um intervalo aberto e seja f : I → Rn um caminho diferenciável tal
que f (t) 6= 0 e f 0 (t) = λ(t)f (t) para todo t ∈ I. Prove que a imagem f (I) está
contida numa reta que passa pela origem.
2- Sejam L(Rm ; Rn ) o espaço das transformações lineares de Rm em Rn , e A : U →
L(Rm ; Rn ) diferenciável no aberto U ⊂ Rp . Defina f : U × Rm → Rn por f (x, v) =
A(x) · v. Prove que f é diferenciável e que f 0 (x, v) · (h, k) = (A0 (x) · h) · k + A(x) · k.
3- Seja f : U → Rm de classe C 1 no aberto U ⊂ Rm . Se, no ponto a ∈ U, a derivada
f 0 (a) : Rm → Rm é um isomorfismo, prove que
volume(f (B(a; r))
= | det f 0 (a)|,
r→0 volume(B(a; r))
lim
onde B(a; r) é a bola de centro a e raio r.
1
2
4- Sejam U ⊂ Rn um conjunto aberto, g : U → Rm e f : U → Rn aplicações de classe
C k , k ≥ 1, sendo V = f (U ) um aberto do Rn . Defina F : U × Rm → V × Rm por
F (x, y) = (f (x), y + g(x)).
Prove que F é um difeomorfismo de classe C k se, e somente se, f é um difeomorfismo de classe C k .
