PROVA_ED_54_2015_DOUTORADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Doutorado
Data: 22 de fevereiro de 2016
Inı́cio: 14 horas
Término: 18 horas

1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1- O conjunto Sn = {x ∈ Rn+1 : |x| = 1} é conexo.
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

2- Seja f : R2 → R uma função que possui todas as derivadas direcionais no ponto
p = (0, 0). Então f é diferenciável em p.
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

3- Seja F o conjunto das funções f : R2 → R de classe C ∞ que possuem ao menos
um ponto crı́tico não-degenerado. Existe f ∈ F tal que as curvas de nı́vel em
uma vizinhança U de um dos seus pontos crı́ticos são ou retas verticais ou retas
horizontais.
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

4- O conjunto B = {x ∈ Rn : |x| ≤ 1} é J-mensurável ( mensurável segundo Jordan).
( ) Verdadeiro

ou

( ) Falso

2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
2

1- Seja U = GL(Rn ) ⊂ Rn o conjunto das matrizes n × n invertı́veis. Considere a
2
aplicação f : U → Rn definida por f (X) = X −1 . Prove que f é diferenciável e
calcule f 0 (A) · V .
2

2- Seja S ⊂ Rn o conjunto das matrizes n×n e posto n−1. Prove que S é localmente
o gráfico de uma função de classe C ∞ (em particular S é uma hipersuperfı́cie). Em
seguida considere P a matriz n × n cujos elementos são todos nulos, exceto os n − 1
primeiros da diagonal, os quais são iguais a 1. Determine TP S.


x2 y 2 z 2
3- Sejam 0 < a < b < c números reais e E = (x, y, z); 2 + 2 + 2 = 1 um
a
b
c
elipsóide em R3 . Determine um atlas para E. Tal atlas é coerente? Justifique.
4- Dê exemplo de um conjunto de medida nula que não é J-mensurável. Em seguida,
assumindo que X ⊂ Rn é J-mensurável, prove que vol.X = 0 se, e só se, interior
de X é vazio.

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