PROVA_ED_29_2015_MESTRADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Mestrado
Data: 9 de novembro de 2015
Inı́cio: 8h e 30 min. (GMT-3)
Término:12h e 30 min.

1. Parte 1 - Julgue a veracidade de afirmações, com breve justificativa.
1- Toda função convexa e limitada num intervalo da forma (a, +∞) é constante.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
2- Se A, B : E → E são operadores lineares de mesmo posto r, então o produto BA
tem posto r.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
3- Uma matriz 3 × 3 que tem dois autovalores distintos é triangularizável.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
4- Seja X = Q ∩ [1, 2]. O conteúdo de X é não nulo.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Seja
s

r
1+

an =

1+

|

q
√
1 + ··· + 1.
{z
}

n raizes

Calcule limn→∞ an .
2- Mostre que cada uma das equações
sen(cos(x)) = x

e

cos(sen x) = x

tem exatamente uma raiz em [0, π/2]. Além disso, se x1 e x2 são as raı́zes da
primeira e da segunda equação, respectivamente, então x1 < x2 .
3- No espaço vetorial das funções contı́nuas f : [−1, 1] → R, sejam F, G ⊂ E os
espaços vetoriais formados pelas funções pares e pelasR funções ı́mpares, respecti1
vamente. Relativamente ao produto interno hf, gi = −1 f (x)g(x)dx, mostre que
G é o complemento ortogonal de F .
4- Quais são os autovetores do operador derivação D : C ∞ (R) → C ∞ (R), D(f ) = f 0 ?
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