PROVA_ED_29_2015_DOUTORADO.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática

Prova de Seleção de Doutorado
Data: 9 de novembro de 2015
Inı́cio: 13h e 30 min. (GMT-3)
Término:17h e 30 min.

1. Parte 1 - Julgue a veracidade das afirmações e dê uma breve
justificativa.
1- A união enumerável de conjuntos fechados de Rn é um conjunto fechado.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
2- Seja U ⊂ Rn um conjunto aberto e conexo. Se f : U → R possui derivadas
∂f
(x) = 0 para todo x ∈ U e todo v ∈ Rn ,
direcionais em todo ponto x ∈ U e
∂v
então f é constante.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
3- Sejam f, g : Rn → R funções tais que g(x) = f (x)(1 + f (x)4 ). Se g ∈ C k , k ≥ 1,
então f ∈ C k .
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
4- Todo conjunto limitado do R2 é Jordan mensurável.
( ) Verdadeiro ou ( ) Falso
2. Parte 2 - Resolva os seguintes problemas
1- Sejam f1 , f2 , . . . , fn : I → Rm caminhos diferenciáveis e ϕ : Rm × · · · Rm → Rn
uma aplicação p−linear. Mostre que o caminho g : I → Rn dado por g(t) =
p
X
ϕ(f1 (t), f2 (t), . . . , fp (t)) é diferenciável e g 0 (t) =
ϕ(f1 (t), . . . , fi0 (t), . . . , fp (t)).
i=1
2

Conclua que, se f : (−ε, ε) → Rn é um caminho diferenciável, com f (0) = In , a
matriz identidade n × n (aqui estamos identificando o espaço das matrizes n × n
2
com Rn ) e g : (−ε, ε) → R é definida por g(t) = det f (t), então g 0 (0) = trA (traço
de A), onde A = f 0 (0).
2- Seja E o espaço das matrizes n × n com entradas reais. Mostre que a aplicação
f : E → E dada por f (X) = X 3 é diferenciável e calcule sua derivada.
3- Considere a aplicação f : R3 → R4 dada por f (x, y, z) = (x2 −y 2 , xy, xz, yz). Prove
que:
(a) P2 = f (S2 ) é uma superfı́cie de dimensão 2 e suave, onde S2 é a esfera unitária
centrada na origem;
1

2

(b) P2 é uma superfı́cie compacta e não-orientável.
4- Prove que o gráfico de uma função integrável f : A → R, definida num bloco
n-dimensional, tem medida nula em Rn+1 .