Matemática

MAT 110 - Geometria Diferencial

CÓDIGO: MAT 110

DISCIPLINA: Geometria Diferencial

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

  • Teórica (por semana): 4
  • Prática (por semana): 2
  • Total: 90 horas

EMENTA:

Curvas: curvas parametrizadas, curvas regulares, comprimento de arco, produto vetorial em R3, teoria local das curvas parametrizadas pelo comprimento de arco, forma canônica local. Superfícies Regulares: imagens inversas de valores regulares, mudança de parâmetros, funções diferenciáveis sobre superfícies, plano tangente, diferencial de uma aplicação, primeira forma fundamental, área, orientação de superfícies, superfícies compactas orientáveis, definição geométrica de área. Geometria da Aplicação de Gauss: definição da aplicação de Gauss, a aplicação de Gauss em coordenadas locais, campos de vetores, superfícies regradas e superfícies mínimas. Geometria Intrínseca das Superfícies: isometrias, aplicações conformes, o teorema de Gauss e as equações de compatibilidade, transporte paralelo, geodésicas, o teorema de Gauss-Bonnet e suas aplicações, aplicação exponencial, coordenadas polares geodésicas. Outros tópicos.

PROGRAMA:

  1. Curvas: curvas parametrizadas, curvas regulares, comprimento de arco, produto vetorial em R3, teoria local das curvas parametrizadas pelo comprimento de arco, forma canônica local;
  2. Superfícies Regulares: imagens inversas de valores regulares, mudança de parâmetros, funções diferenciáveis sobre superfícies, plano tangente, diferencial de uma aplicação, primeira forma fundamental, área, orientação de superfícies, superfícies compactas orientáveis, definição geométrica de área;
  3. Geometria da Aplicação de Gauss: definição da aplicação de Gauss, a aplicação de Gauss em coordenadas locais, campos de vetores, superfícies regradas e superfícies mínimas;
  4. Geometria Intrínseca das Superfícies: isometrias, aplicações conformes, o teorema de Gauss e as equações de compatibilidade, transporte paralelo, geodésicas, o teorema de Gauss-Bonnet e suas aplicações, aplicação exponencial, coordenadas polares geodésicas. Outros tópicos.

BIBLIOGRAFIA:

  1. ARAÚJO, P.V. - Geometria Diferencial. Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 1998.
  2. DO CARMO, M.P. – Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Segunda Edição, Coleção Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2005.
  3. KLINGENBERG, W. - A Course in Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics; 51. Springer-Verlag, New York, 1972.
  4. KÜHNEL, W. – Differential Geometry: Curves – Surfaces- Manifolds. Student Mathematical Library, vol. 16, American Mathematical Society Providence, 2002.
  5. MONTIEL, S. & ROS, A. – Curves and Surfaces. Graduate Studies in Mathematics, vol. 69, American Mathematical Society, Providence, 2005.
  6. O'NEILL, B. - Elementary Differential Geometry. 2nd Edition, Academic Press, New York, 1997.