CÓDIGO: MAT 108

DISCIPLINA: Equações Diferenciais Parciais

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Equações Diferenciais Parciais (EDP): Definições e notações. Classificação das EDP. Equações de primeira ordem: Equações quase-lineares. Problema de Cauchy. Superfícies características. Problema de Cauchy para uma EDP de primeira ordem em duas variáveis. Equações de ordem m: Teoria local de existência. O teorema de Cauchy-Kowalevski. O Teorema de Unicidade de Holgreem. Separação de Variáveis: O problema de condução de calor em uma barra. O problema da corda vibrante com extremos fixos. O problema de Dirichlet no disco. Séries de Fourier: Definição. Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval. Decaimento dos coeficientes de Fourier. Critérios de convergência pontual. Convoluções. Identidades Aproximadas. Os núcleos de Dirichlet e Féjer. Convergência em L2. Equações Elípticas: Equação de Laplace em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Propriedades básicas das funções harmônicas. Princípios do Máximo e Unicidade. Estimativas de energia. Os problemas de Dirichlet num semi-espaço e numa bola. Regularidade das soluções. Função de Green. O método de Perron. Equações Parabólicas: Equação do Calor em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Problema Cauchy. Princípio do máximo. A equação não-homogênea. Unicidade e regularidade das soluções. Estimativas de energia. Equações hiperbólicas: Equação da Onda em espaços n-dimensionais. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade das soluções. O método das médias esféricas para n-ímpar. O método de abaixamento de Hadamard para n-par. Perda de Regularidade em dimensão n>1. Equação não-homogênea. Princípio de Duhamel e decaimento da solução. Transformada de Fourier: O operador Trasformada de Fourier em L1. O espaço de Schwartz e propriedades da Transformada. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Plancherel. Distribuições Temperadas. Aplicações às EDP.

PROGRAMA:

1. Equações Diferenciais Parciais (EDP): Definições e notações. Classificação das EDP;
2. Equações de primeira ordem: Equações quase-lineares. Problema de Cauchy. Superfícies características. Problema de Cauchy para uma EDP de primeira ordem em duas variáveis;
3. Equações de ordem m: Teoria local de existência. O teorema de Cauchy-Kowalevski. O Teorema de Unicidade de Holgreem;
4. Separação de Variáveis: O problema de condução de calor em uma barra. O problema da corda vibrante com extremos fixos. O problema de Dirichlet no disco;
5. Séries de Fourier: Definição. Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval. Decaimento dos coeficientes de Fourier. Critérios de convergência pontual. Convoluções. Identidades Aproximadas. Os núcleos de Dirichlet e Féjer. Convergência em L2;
6. Equações Elípticas: Equação de Laplace em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Propriedades básicas das funções harmônicas. Princípios do Máximo e Unicidade. Estimativas de energia. Os problemas de Dirichlet num semi-espaço e numa bola. Regularidade das soluções. Função de Green. O método de Perron.
7. Equações Parabólicas: Equação do Calor em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Problema Cauchy. Princípio do máximo. A equação não-homogênea. Unicidade e regularidade das soluções. Estimativas de energia;
8. Equações hiperbólicas: Equação da Onda em espaços n-dimensionais. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade das soluções. O método das médias esféricas para n-ímpar. O método de abaixamento de Hadamard para n-par. Perda de Regularidade em dimensão n>1. Equação não-homogênea. Princípio de Duhamel e decaimento da solução;
9. Transformada de Fourier: O operador Trasformada de Fourier em L1. O espaço de Schwartz e propriedades da Transformada. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Plancherel. Distribuições Temperadas. Aplicações às EDP.

BIBLIOGRAFIA:

1. EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.
2. FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4ª Edição, Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1997.
3. FOLLAND, G.B.- Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton University Press, 1995.
4. IÓRIO JR, R.J. & IÓRIO, V.M. - Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1988.
5. JOHN, F. -Partial Differential Equations, 4th edition, Springer-Verlag, New York, 1982.
6. PETROVSKY, I.G. - Lectures on Partial Differential Equations, Dover Publications, Inc., New York, 1991.