CÓDIGO: MAT 107

DISCIPLINA: Equações Diferenciais Ordinárias

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 créditos

CARGA HORÁRIA:

• Teórica (por semana): 4
• Prática (por semana): 2
• Total: 90 horas

EMENTA:

Teorema de Existência e Unicidade. Dependência diferenciável das condições iniciais. Equações lineares. Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares no plano. Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos. Equações lineares não homogêneas. Equações com coeficientes periódicos. Os Teoremas de Sturm. O problema da corda vibrante. Estabilidade de Lyapounov. Funções de Lyapounov. Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do Teorema de Linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma. Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixson. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

PROGRAMA:

1. Teorema de Existência e Unicidade: problema de Cauchy, exemplos, teorema de Picard e de Peano, soluções maximais e sistemas;
2. Dependência diferenciável das condições iniciais: continuidade e diferenciabildiade;
3. Equações lineares: Exponencial de matrizes. Classificação dos campos lineares no plano. Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos;
4. Equações lineares não homogêneas e Equações com coeficientes periódicos;
5. Os Teoremas de Sturm: o problema de Sturm-Liouville, existência de auto-valores, o problema da corda vibrante, expansão em series de auto-funções;
6. Estabilidade de Lyapounov, Funções de Lyapounov e critério de Lyapounov;
7. Teoria qualitativa: Pontos fixos hiperbólicos. Enunciado do Teorema de Linearização de Grobman-Hartman. Fluxo associado a uma equação autônoma;
8. Poincaré-Bendixson: Conjuntos limites. Campos gradientes. Campos Hamiltonianos. Campos no plano: órbitas periódicas e Teorema de Poincaré-Bendixson. Órbitas periódicas hiperbólicas. Equação de Van der Pol.

BIBLIOGRAFIA:

1. ARNOLD, V. - Ordinary Differential Equations. MIT Press, Massachusetts, 1978.
2. HIRSCH, M. & SMALE, S. - Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974.
3. PONTRYAGIN, L.S. - Ordinary Differential Equations. Reading, Addison-Wesley, Massachusetts, 1969.
4. SOTOMAYOR, J. - Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1979.