Tese

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                    Universidade Federal de Alagoas - UFAL
Instituto de Matemática - IM
Programa de Pós-Graduação em Matemática
em associação com a Universidade Federal da Bahia

JOSÉ ANDERSON DE LIMA E SILVA

Larguras Min-max baixas do Espaço
Projetivo Real RP3

Maceió-AL
2019

JOSÉ ANDERSON DE LIMA E SILVA

Larguras Min-max baixas do Espaço
Projetivo Real RP3

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Matemática da Universidade
Federal de Alagoas em Associação com a Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Doutor em Matemática.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.

Maceió-AL
Abril de 2019

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecário: Marcelino de Carvalho
S586l

Silva, José Anderson de Lima e.
Larguras min-max baixas do espaço projetivo real RP3 / José Anderson de Lima e
Silva. – 2019.
46 f.
Orientador: Márcio Henrique Batista da Silva.
Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Programa de Pós-Graduação de Doutorado em Matemática
Interinstitucional UFBA/UFAL. Maceió, 2019.
Bibliografia: f. 42-43.
Apêndice: f. 44-46.
1. Espaço projetivo real. 2. Sweepouts. 3. Widths. I. Título.
CDU: 514.764.27

À minha famı́lia

Agradecimentos
Ao nosso bom Deus, ”obrigado por tudo meu senhor”, sem ti nada seria possı́vel.
À minha amada mãe, Regina Lima por todo seu amor e cuidado, ao meu pai, José
Moreira (In Memoriam), aos meus avós, Maria Edith (In Memoriam) e Perciliano Lima
(In Memoriam).
Aos meus irmãos que tanto amo e admiro, Aleide Lima, Alexandre Lima e Adriano
Lima, aos meus sobrinhos, Guilherme, Lucas e Matheus, pela alegria que proporcionam,
à minha namorada Monica Cibele, por todo afeto, cuidado e motivação oferecidos.
A toda minha famı́lia por tudo, em especial a minha amada tia Maria Jose, meu tio
Cı́cero Moreira e minha tia Sanidayse.
Ao meu orientador Márcio Batista, por seus conselhos tão úteis academicamente e
na minha vida pessoal, pelo apoio e dedicação em todas as fases do meu Doutorado e
desenvolvimento dos resultados dessa tese, e por sua amizade. O profissionalismo que ele
possui, foi imprescindı́vel na minha formação.
Ao Prof. Fernando C. Marques, pela pergunta que motivou os resultados dessa tese,
seu incentivo, suas valiosas sugestões e pelo exemplo de inspiração profissional que é.
A Todos os Professores do IM-UFAL, em especial aos Professores Feliciano Vitório
e Marcos Petrúcio, pelo bom humor, conselhos, incentivos e contribuições para com a
Pós-Graduação. Ao Professor Hilário Alencar, pelo bom humor e contribuições para com
a Pós-Graduação.
Ao Prof. Harold Rosenberg, por discussões úteis sobre teoria min-max e ao IMPA pela
calorosa hospitalidade, ao Prof. Celso Viana, por discussões sobre um de seus artigos, ao
Prof. Rafael Montezuma, pela palestra ministrada no IM-UFAL, a qual me motivou a
estudar teoria min-max, aos Professores Abraão Mendes e José Ivan Santos, pelo incentivo
e amizade.
Agradeço aos membros da banca examinadora pela disponibilidade e atenção que

6

prestaram ao meu trabalho.
A todos os amigos de turma e sala de estudo, com destaque para os amigos Diego
Alves, Eduardo Santana, Iury Oliveira, Manuel Ceaca, Robson Santos e Sidney Donato,
Vitor Alves, por todas nossas discussões sobre temas variados. Em especial ao amigo
Moreno Bonutti, por sua amizade, incentivo e discussões.
A todos os funcionários da UFAL, em especial aos do IM e CPMAT.
À CAPES agradeço pelo suporte financeiro durante estes quatro anos.

Resumo

As hipersuperfı́cies mı́nimas aparecem como pontos crı́ticos do funcional massa, e portanto, podem ser produzidas por técnicas min-max aplicadas a certas famı́lias de correntes.
Um conjunto particular de tais famı́lias são os p-sweepouts, em que as p-widths são os
invariantes min-max associados.
Nesta tese, lidamos com o invariante min-max conhecido como a 1-width. Para essa
proposta, usamos a ideia de Marques e Neves para calcular a 1-width do espaço projetivo real RP3 , mais especificamente, usando as ideias em [12] podemos calcular a 1width usando um 1-sweepout abstrato. Além disso, apresentamos um 1-sweepout ótimo e
explı́cito. Em seguida, calculamos a segunda width do espaço projetivo real tridimensional
usando um sweepout explı́cito para obter uma cota superior ótima, e também estimamos
a 9-width.
Palavras-chave: Espaço projetivo real, sweepouts, widths.

8

Abstract
Minimal hypersurfaces appear as critical points of the mass functional, and therefore can
be produced by min-max techniques applied to certain families of currents. A particular
set of such families are p-sweepouts, where p-widths are the min-max invariant associate.
In this thesis, we deal with the min-max invariant known as 1-width. For this proposal,
we have used the Marques’ and Neves’ idea to compute the 1-width of the real projective
space RP3 , more specifically, using the ideas in [12] we are able to compute the 1-width
using a abstract 1-sweepout. Moreover, we present an explicite sharp 1-sweepout. Next,
we compute the second width of the 3-dimensional projective space using an explicite
sweepout to get a sharp upper bound, and finally we also estimate the 9-width.
Keywords: Real projective space, sweepouts, widths.

9

Sumário

Agradecimentos

6

Resumo

8

Abstract

9

INTRODUÇÃO

12

1 PRELIMINARES

14

1.1

Noções de teoria geométrica da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1

Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2

Conjuntos Retificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3

Varifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.4

Correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2

Sequências de mapas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3

p-sweepouts e p-widths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

1.3.1

Cenário Contı́nuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2

Cenário Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Resultado chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 WIDTHS DO ESPAÇO PROJETIVO REAL RP3

26

2.1

w1 (RP3 ) ≥ π 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

w1 (RP3 ) ≤ π 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1

2.3

Construção explı́cita de um sweepout ótimo . . . . . . . . . . . . . 29

Construção de um 2-sweepout ótimo do RP3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10

2.4

Sweepout Algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS

39

Bibliografia

42

Apêndice

44

11

INTRODUÇÃO
Em 1752, Lagrange desenvolveu um método de minimizar e maximizar funcionais. Poincaré aplicou este método para geodésicas em um esferóide, ver §3 de [17], e motivado por
seus estudos, ele perguntou em [17] se todas as superfı́cies de Riemann fechadas admitem
uma geodésica fechada. Assumindo que a superfı́cie não é simplesmente conexa e usando o
método de Lagrange, Cartan provou a existência de geodésicas fechadas, mas este método
falha para uma superfı́cie simplesmente conexa. Por isso, a questão de Poincaré se torna
mais interessante em uma 2-esfera e, assim, torna-se necessária uma nova abordagem. O
avanço veio com Birkhoff [3], que usou técnicas min-max no espaço de curvas contı́nuas
por partes para produzir uma geodésica fechada para qualquer métrica em uma 2-esfera.
Tais resultados motivaram o trabalho em direção à hipersuperfı́cies mı́nimas fechadas em variedades Riemannianas, impulsionando o desenvolvimento da teoria de medida
geométrica. O primeiro avanço veio na Tese de Almgren que mostrou uma ligação entre o
espaço de hipersuperfı́cies e o grupo de homologia superior de uma variedade, garantindo a
existência de um caminho não trivial de hipersuperfı́cies. Usando este caminho e o método
min-max introduzido por Almgren em [2], Pitts [16] foi capaz de provar a existência de
uma hipersuperfı́cie mı́nima fechada suave mergulhada em uma (n + 1)-variedade Riemanniana compacta com n ≤ 5. Mais tarde Schoen e Simon estenderam este resultado
para qualquer dimensão, provando a existência de uma hipersuperfı́cie mı́nima fechada
mergulhada com um conjunto singular de codimensão de Hausdorff pelo menos 7.
Com o objetivo de fornecer uma resposta a uma conjectura de Yau, que diz respeito
à existência de infinitas hipersuperfı́cies mı́nimas, Marque e Neves [14] consideraram as
famı́lias de ciclos de parâmetros mais altos, definidas similarmente a Guth [5]. Eles
também surpreenderam a comunidade matemática ao apresentarem a solução da conjectura de Willmore, essa conjectura atraiu a atenção de muitos matemáticos e influenciou a
produção cientı́fica em matemática nos últimos 50 anos. Portanto, é interessante calcular
a width associada a essas famı́lias para algumas variedades especı́ficas. Além disso, acredito que pela natureza do espaço projetivo, Fernando C. Marques perguntou se é possı́vel
apresentar uma famı́lia explı́cita de ciclos que forneça o valor exato da 1-width do espaço
projetivo real RP3 . Assim, inspirados por essas questões, trataremos nesta tese sobre o
12

cálculo de algumas widths estudadas por Guth [5] e Gromov [18], e nos concentraremos
na construção de sweepouts explı́citos por ciclos que nos fornecem cotas superiores ótimas
para a massa. Nesta linha de pesquisa, Aiex [1], estudou as k-widths da 2-esfera redonda
para k = 1, ..., 8 e Nurser [15], calculou as k-widths da 3-esfera redonda para k = 1, ..., 7
e fez estimativas para k = 9, 13.
(Definições precisas serão apresentadas no próximo capı́tulo).
Os resultados obtidos neste trabalho foram inicialmente motivados pela seguinte questão:
Pergunta (Fernando C. Marques). Qual é a 1-width do espaço projetivo real
RP ?
3

Agora enunciaremos o primeiro resultado obtido nesta tese, o qual, responde a pergunta acima calculando o invariante min-max 1-width do espaço projetivo real RP3 .
Teorema 0.0.1 Para o espaço projetivo real, temos que w1 (RP3 ) = π 2 , e a superfı́cie que
realiza esse número é o toro de Clifford mı́nimo T 2 /{−x, x} em RP3 .
A prova consiste em usar resultados de Almgren-Pitts [16], Zhou [23], Marques-Neves
[13] e Ketover-Marques-Neves [7] para obter uma cota inferior da w1 (RP3 ), e usando as
ideias de Marques e Neves em [12] para considerar a existência do 1-sweepout abstrato
adequado, obtemos uma cota superior da w1 (RP3 ), e assim concluirmos a igualdade. Além
disso, conseguimos apresentar um 1-sweepout explı́cito.
Inspirados no sweepout explı́cito apresentado para calcular w1 (RP3 ) = π 2 fomos capazes de construir um 2-sweepout que nos permitiu melhorar o Teorema acima, obtendo
o seguinte resultado:
Teorema 0.0.2 As duas primeiras widths do espaço projetivo real de dimensão 3 são
iguais a π 2 , e a superfı́cie que realiza esse número é o toro de Clifford mı́nimo T 2 /{−x, x}
em RP3 .
Além disso, obtemos uma estimativa para a nona width do espaço projetivo real RP3 :
Teorema 0.0.3 Para o espaço projetivo real de dimensão 3, temos w9 (RP3 ) ≤ 4π.

13

Capı́tulo 1
PRELIMINARES
1.1

Noções de teoria geométrica da medida

A teoria geométrica da medida consiste principalmente na teoria dos varifolds e na teoria
das correntes. Apresentamos aqui alguns conceitos e notações que usaremos ao longo
desse trabalho. Nossas principais referências são os livros [20, Simon] e [16, Pitts]. Pelo
Teorema de Nash dada uma variedade Riemanniana (M n+1 , g) sempre podemos supor
que M n+1 é isometricamente mergulhada em um espaço euclidiano RL .

1.1.1

Medida de Hausdorff

Definição 1.1.1 Para A ⊂ M n+1 a medida de Hausdorff m-dimensional de A é:
Hm (A) = lim Hδm (A),
δ→0

onde para cada δ > 0, temos a chamada medida δ de Hausdorff
Hδm (A) = inf

∞
nX
j=1

ωm

diam Cj
2

!m

|A ⊂

∞
[

o

Cj , diam Cj ≤ δ ,

j=1

ωm é o volume da m-bola euclidiana, e {Cj }j∈N é uma cobertura de A formada por conjuntos abertos de M n+1 .

14

1.1.2

Conjuntos Retificáveis

Definição 1.1.2 Um conjunto N ⊂ M n+1 é dito m-retificável se
N ⊂ N0 ∪

[



Nj ,

j

onde Hm (N0 ) = 0 e Nj , j ≥ 1 é uma subvariedade mergulhada C 1 m-dimensional de
M n+1 .

Observação 1.1.1 (1) Na definição acima é equivalente dizer que Nj é a imagem de
alguma função Lipschitz Fj .
(2) Podemos escrever
N=

[

Mj , com Mj ⊂ Nj , j = 0, 1, 2, ...

j

(3) Uma propriedade importante dos conjuntos k-retificáveis é que eles têm uma noção
de espaço tangente Hk -q.t.p.

1.1.3

Varifolds

Aqui, faremos uma breve introdução aos varifolds em variedades Riemannianas, que são
objetos que generalizam a noção de subvariedades. Uma vantagem de trabalhar com varifolds é o não cancelamento de massa. Dado k ∈ N com k ≤ n + 1, usaremos Gk (RL ) para
denotar a Grassmanniana dos k-planos não orientados de RL , a qual podemos identificar
com RL × G(L, k), onde G(L, k)) é a coleção dos k-subespaços de RL .
Definição 1.1.3 Um varifold de dimensão k em RL é uma medida de Radon em Gk (RL ).
Denotamos por V(RL ) o conjunto de todos os k-varifolds em RL .
Pelo Teorema da Representação de Riesz [20, Teorema 4.14] podemos pensar no varifold
como um funcional linear não negativo definido em Cc (Gk (RL )), onde Cc (Gk (RL )) denota
o conjunto das funções contı́nuas de suporte compacto em Gk (RL ) tomando valores reais.
Exemplo 1.1.1 Dado um conjunto k-retificável R ⊂ RL , e uma função h : R → R+ ,
definimos um varifold por:
V (ϕ) =

Z
R

h(x)φ(x, Tx R)dHk (x)

15

∀ϕ ∈ Cc (G(RL ))

chamado varifold retificável. A função h pode ser pensada como a multiplicidade dos
pontos do varifold. Se h assume valores inteiros, isto é, h : R → Z+ dizemos que V é um
varifold inteiro.
Observação 1.1.2 Pelo exemplo acima qualquer subvariedade de dimensão k em M pode
ser considerada como um k-varifold.
Dotamos Vk (RL ) com a topologia fraca, então dizemos que uma sequência de varifolds V i
converge para o varifold V , se para cada função ϕ ∈ Cc (G(RL ))
lim

Z

i→∞

Z

i

ϕ(x, π)dV (x, π) =

ϕ(x, π)dV (x, π).

Aqui π denota um k-plano de Tx RL .
Dado um varifold qualquer V associado a ele podemos definir uma medida de Radon
kV k em RL por
kV k(ϕ) =

Z
RL

Z

ϕ(x)dkV k(x) =

RL ×G(L,k)

ϕ(x)dV (x, π).

O suporte de um varifold V é igual ao suporte de kV k que é o menor conjunto fechado
fora do qual kV k é zero.
Definição 1.1.4 (F-métrica Pitts) Definimos
F : Vk (RL ) × Vk (RL ) → [0, ∞],
F(V, W ) = sup{V (ϕ) − W (ϕ) : ϕ ∈ Cc (Gk (RL )), |ϕ| ≤ 1, Lip(ϕ) ≤ 1},
para todo par V, W de varifolds de dimensão k em RL .
Denotamos por Vk (M ) o fecho, na topologia fraca, do espaço dos varifolds retificáveis
de dimensão k em RL com suporte contido na variedade M .
Dadas uma aplicação ψ : M → M de classe C 1 e um varifold V ∈ Vk (M ) podemos
definir a imagem (o push-forward) de V por ψ, denotada por ψ# (V ), e assim podemos
definir a ”primeira variação”de um varifold.
Para um varifold V decorrente de uma subvariedade Σ, temos que ψ# (V ) é simplesmente
o varifold decorrente de ψ(Σ). Mais geralmente temos que:
Definição 1.1.5 Definimos ψ# (V ) por
ψ# (V )(φ) =

Z
G(M )

φ(y, σ)d(ψ# (V ))(y, σ) =
16

Z
G(M )

Jψ(x, π)φ(ψ(x), dψx (π))dV (x, π),

onde Jψ(x, π) é o Jacobiano de dψx quando restrita ao k-plano π, para cada elemento
(x, π) ∈ G(M ) da Grassmanniana dos k-planos não-orientados em M .
Dado um campo de vetores em M considere a variação ψt tal que ψ0 (x) = x e dtd ψt (x) =
X(ψt (x)). Dada um varifold V temos a seguinte função real
t 7−→ k(ψt )# (V )k(M ).
Assim podemos definir:
Definição 1.1.6 (Primeira variação do varifold V )
δV (X) =

d
k(ψt )# (V )k(M ).
dt t=0

Definição 1.1.7 Dizemos que um varifold V é estacionário em M se δV (X) = 0 para
todo campo X em M .
Observação 1.1.3 Varifolds decorrentes de superfı́cies mı́nimas são estacionários. Desse
modo, varifolds estacionários estendem a ideia de superfı́cies mı́nimas.

1.1.4

Correntes

Seja Ωkc (RL ) = {k-formas diferenciais de suporte compacto em RL }, o qual é dotado com
a topologia usual, caracterizada pelo fato de que
ωk =

α
a(k)
α dx → ω =

X
α

X

aα dxα

α

β
se existe um compacto K ⊂ RL tal que spt(aα(k) ), spt(aα ) ⊂ K, e limk→∞ Dβ a(k)
α = D aα ,
para todo α e todo multi-ı́ndices β.

Definição 1.1.8 Uma k-corrente T é um funcional linear contı́nuo no espaço Ωkc (RL ).
Denotamos por Ωk (RL ) o conjunto formado por todas as k-correntes.
Exemplo 1.1.2 Seja Σk ⊂ RL uma subvariedade orientada, com dimensão k, então
podemos considerar o funcional linear dado por
[|Σ|](ω) =

Z
Σ

ω, para toda ω ∈ Ωkc (RL ).

Assim [|Σ|] é uma k-corrente.
17

O suporte de uma corrente T , que denotamos por spt(T ), é o menor conjunto fechado
S ⊂ RL para o qual T (ω) = 0, para toda ω ∈ Ωkc (RL ) suportada fora de S, isto é, se
(spt(ω)) ∩ S = ∅, então T (ω) = 0.
Podemos definir o bordo ∂T de uma k-corrente T ∈ Ωk (RL ) como sendo a (k − 1)corrente dada por
∂T (ω) = T (dω), ω ∈ Ωk−1 (RL ),
onde d denota a derivada exterior usual de formas diferenciais.
A massa de uma corrente T , denotada por M(T ), é definida como
M(T ) = sup{T (φ) : φ ∈ Ωkc (RL ), |φ| ≤ 1},
q

onde |φ| = sup hφ(x), φ(x)i, para todo x ∈ RL . Note que superfı́cies que são intuitivamente próximas não precisam estar próximas na norma da massa M. Considere as duas

Figura 1.1: Correntes distantes na norma da massa
circunferências T e T de raios r e r + respectivamente, e com mesma orientação como na
Figura 1.1. Se  convirja para 0, esperamos intuitivamente que T converge para T . Porém
note que para qualquer  > 0, temos que M(T − T ) = M(T ) + M(T ) = 2π(r + ) + 2πr.
Assim não temos convergência na norma da massa.
Definição 1.1.9 Uma k-corrente T é chamada retificável se pode ser expressa por
T (ω) =

Z
R

hω(x), ξidHk , ω ∈ Ωkc (RL ),

onde R ⊂ RL é compacto, Hk -mensurável e k-retificável, e ξ é Hk xR-mensurável no
espaço dos k-vetores, e para Hk -q.t.p x ∈ Σ, temos ξ(x) = τ1 ∧ ... ∧ τk é simples, |ξ(x)|
é um inteiro e {τ1 , ..., τk } é uma base ortonormal do espaço tangente (aproximado) Tx R.
Denotamos o conjunto das k-correntes retificáveis por Rk .
Dada uma corrente retificável T , sempre podemos associar um varifold retificável de multiplicidade inteira, basta esquecer a orientação.

18

Definição 1.1.10 Definimos o conjunto das correntes integrais por
Ik = {T ∈ Rk : ∂T ∈ Rk−1 }.
Definição 1.1.11 A métrica flat é definida por
F(T1 , T2 ) = inf{M(P ) + M(Q) : T1 − T2 = P + ∂Q, P ∈ Ik (M ), Q ∈ Ik+1 (M )}
e
F(T ) = inf{M(P ) + M(Q) : T = P + ∂Q, P ∈ Ik (M ), Q ∈ Ik+1 (M )}
Aqui, trabalhamos com os seguintes espaços:
• O espaço Ik (M ; Z2 ) das correntes flat módulo 2 de dimensão k em RL com suporte
contido em M ;
• O espaço Zk (M ; Z2 ) dos elementos T ∈ Ik (M ; Z2 ) com ∂T = 0;
• Vk (M ) como foi dito anteriormente, é o fecho na topologia fraca, do espaço dos
varifolds retificáveis de dimensão k em RL com suporte contido na variedade M ;
• O espaço Ik (M ; Z2 ) e Zk (M ; Z2 ) são dotados com a topologia da norma flat. Além
disso, Ik (M ; M; Z2 ) e Zk (M ; M; Z2 ) são os mesmos espaços dotados da topologia
da norma da massa.
Para uma k-corrente integral T ∈ Ik (M ; Z2 ), denotamos por |T | e ||T || o varifold
integral e a medida de Radon em M associados com T , respectivamente. Dado V ∈
Vk (M ), denotamos por ||V || a medida de Radon em M associada com V . Dado um
conjunto k-retificável Σ de RL , denotamos por [Σ] o varifold k-dimensional induzido por
Σ.

1.2

Sequências de mapas discretos

Aqui, seguimos [14], [15] e [23].
Seja I m = [0, 1]m ⊂ Rm . Para cada j ∈ N, I(1, j) é o complexo celular em I 1 cujas
1-células são os intervalos [0, 3−j ], [3−j , 2 · 3−j ], . . . , [1 − 3−j , 1], e as 0-células são os pontos
[0], [3−j ], [2 · 3−j ], . . . , [1 − 3−j ], [1].

19

Usamos I(m, j) para denotar o complexo celular em I m :
I(m, j) = I(1, j) ⊗ ... ⊗ I(1, j) (m-vezes).
Para q ∈ N, q < m, α = α1 ⊗ ... ⊗ αm é uma q-célula de I(m, j) se, e somente se, para cada
P
i, αi é uma célula de I(1, j), e m
i=1 dim(αi ) = q. Às vezes é útil identificar α1 ⊗ ... ⊗ αm
com o seu suporte α1 × ... × αm ⊂ I m . Denotamos por I(m, j)q o conjunto de todas as
q-células em I(m, j).
Para X ⊂ I m , o complexo cubo X(j) é a união de todas as células de I(m, j) cujo
suporte está contido em alguma célula de X. Denotamos por X(j)q o conjunto das qcélulas em X(j). Dizemos que dois vértices x, y ∈ X(j)0 são adjacentes se pertencem a
uma célula comum em X(j)1 .
Para i, j ∈ N definimos n(i, j) : X(i)0 → X(j)0 como o elemento n(i, j)(x) ∈ X(j)0 ,
tal que
d(x, n(i, j)(x)) = inf{d(x, y); y ∈ X(j)0 },
onde a função distância d : X(i)0 → X(j)0 é definida por
j

d(x, y) = 3

m
X

|xi − yj |.

i=1

Considere uma aplicação φ : X(j)0 → Zn (M ; Z2 ). A finura de φ é definida por:
f (φ) = sup{M(φ(x) − φ(y)) : x, y vértices adjacentes em X(j)0 }.

Noções de homotopia
Definição 1.2.1 Sejam φ1 : X(k1 )0 → Zn (M ; Z2 ) e φ2 : X(k2 )0 → Zn (M ; Z2 ), dizemos
que φ1 é X-homotópica a φ2 em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δ se existem k ∈ N e uma
aplicação
ψ : I(1, k)0 × X(k)0 → Zn (M ; Z2 ),
tal que
(i) f (ψ) < δ;
(ii) se x ∈ X(k)0 , então
ψ([0], x) = φ1 (n(k, k1 )(x)) e ψ([1], x) = φ2 (n(k, k2 )(x)).

20

A teoria min-max de Almgren-Pitts lida com sequência de mapas discretos (é precisamente
o análogo de aplicações contı́nuas) em Zn (M ; M; Z2 ) com finuras tendendo para zero.
Definição 1.2.2 Uma sequência de aplicações (X, M)-homotópica em Zn (M ; M; Z2 ) é
uma sequência de aplicações S = {φi }i∈N ,
φi : X(ki )0 → Zn (M ; Z2 ),
tal que φi é X-homotópica a φi+1 em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δi e
(i) lim δi = 0;
i→∞

(ii) sup{M(φi ) : x ∈ X(ki )0 , i ∈ N} < ∞.
Definição 1.2.3 Dadas duas sequências de aplicações (X, M)-homotópicas S 1 = {φ1i }i∈N
e S 2 = {φ2i }i∈N em Zn (M ; M; Z2 ), dizemos que S 1 é homotópica a S 2 se existe uma
sequência {δi }i∈N tal que
(i) φ1i é X-homotópica a φ2i em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δi ;
(ii) lim δi = 0.
i→∞

Observação 1.2.1 A definição anterior explica o que significa duas sequências (X, M)homotópicas distintas de aplicações em Zn (M ; M; Z2 ) serem homotópicas. A relação “é
homotópica a” é uma relação de equivalência no espaço das sequências (X, M)-homotópicas
em Zn (M ; M; Z2 ) (ver Apêndice).
Como “é homotócica a” é uma relação de equivalência, chamamos a classe de equivalência de qualquer sequência de classe (X, M)-homotópica de aplicações em Zn (M ; M; Z2 ),
e denotamos o conjunto de todas as classes de equivalência por [X, Zn (M ; M; Z2 )]# .
Seja S uma sequência de aplicações (X, M)-homotópica em Zn (M ; M; Z2 ), e definimos:
L(S) = lim sup max{M(φi (x)) : x ∈ X(ki )0 }.
i→∞

Essa nos permite fazer a seguinte definição importante:
Definição 1.2.4 A width de Π ∈ [X, Zn (M ; M; Z2 )]# é definida por:
L(Π) = inf L(S).
S∈Π

21

1.3

p-sweepouts e p-widths

Aqui, seguimos [14] e [15].

1.3.1

Cenário Contı́nuo

p-sweepouts and p-widths
Neste seção, relembramos o que significa uma aplicação ser um p-sweepout de RP3 e
também recordamos uma p-width de RP3 , que denotamos por wp (RP3 ).
Seja X um subcomplexo cúbico de I m = [0, 1]m , para algum m. Seja FRP3 o isomorfismo de Almgren para RP3 , isto é, a aplicação
FRP3 : π1 (Z2 (RP3 ; Z2 )) → H3 (RP3 ; Z2 ) = Z2 .
Uma vez que H 1 (Z2 (RP3 ; Z2 ); Z2 ) = Z2 denotamos seu gerador por λ̄ e λ̄p denota o
produto cup [6] de λ̄ com ele mesmo p vezes.
Definição 1.3.1 Uma aplicação contı́nua na topologia flat Φ : X → Z2 (RP3 ; Z2 ) é chamada um p-sweepout se λ = Φ∗ (λ) ∈ H 1 (X; Z2 ) temos que λp = λ ^ · · · ^ λ é não nulo
em H p (X; Z2 ).
Equivalentemente, Φ é um p-sweepout se existe λ ∈ H 1 (X; Z2 ) tal que:
(i) λp = λ ^ · · · ^ λ é não nulo em H p (X; Z2 );
(ii) Para todo caminho γ : S 1 → X, temos λ(γ) 6= 0 se, e somente se, Φ ◦ γ : S 1 →
Z2 (RP3 ; Z2 ) é um sweepout. Isto é,

λ(γ) =



1

se Φ ◦ γ é um sweepout, i.e. (FRP3 (γ) = RP3 )


0

se Φ ◦ γ não é um sweepout, i.é. (FRP3 (γ) = 0)

,

onde FRP3 é o isomorfismo de Almgren para RP3 .
Observação 1.3.1 (1) Se uma aplicação Φ é um p-sweepout, então ela também é um
q-sweepout para todo q < p.

(2) Uma aplicação Φ1 contı́nua na topologia flat, que é homotópica a um p-sweepout Φ2
é também um p-sweepout.
22

Definimos
Pp = {Φ : X → Z2 (RP3 ; Z2 ) : Φ é um p-sweepout e lim m(Φ, r) = 0},
r→0

onde m(Φ, r) = sup{M(Φ(x)xBr (p)) : x ∈ dmm(Φ), p ∈ RP3 } (concentração de massa
de Φ em bolas de raio r).
Como em Marques e Neves [14], definimos
Definição 1.3.2 A p-width de RP3 é
wp (RP3 ) = inf sup{M(Φ(x)) : x ∈ dmn(Φ)},
Φ∈Pp

onde dmn(Φ) é o domı́nio de Φ.
Observação 1.3.2 Pela Observação 1.3.1, temos wp (RP3 ) ≤ wp+1 (RP3 ) para cada
p ∈ N.

1.3.2

Cenário Discreto

Apresentaremos agora dois importantes resultados que nos permitem ir e voltar entre as
configurações contı́nua e discreta. O primeiro deles tem o propósito de construir uma
sequência de aplicações (X, M)-homotópica a partir de uma aplicação contı́nua na topologia flat sem concentração de massa:
Teorema 1.3.1 (Do contı́nuo para o discreto) Seja Φ : X → Z2 (RP3 ; Z2 ) uma aplicação
contı́nua na topologia flat sem concentração de massa. Então existe uma sequência de
aplicações
φi : X(ki )0 → Z2 (RP3 ; Z2 ),
com ki < ki+1 , e uma sequência de números positivos {δi }i∈N com δi → 0 tal que
(i) S = {φi }i∈N é uma sequência de aplicações (X, M)-homotópica em Z2 (M ; M; Z2 )
com finura f (φi ) < δi ;
(ii) sup{F(φ(x) − Φ(x)) : x ∈ X(ki )0 } ≤ δi ;
(iii) sup{M(φi (x)) : x ∈ X(ki )0 } ≤ sup{M(Φ(x)) : x ∈ X} + δi .
O objetivo do próximo resultado é construir uma aplicação contı́nua na norma da
massa a partir de uma aplicação discreta com finura pequena.
23

Teorema 1.3.2 (Do discreto para o contı́nuo) Existem constantes positivas C0 =
C0 (RP3 , m) e δ0 = δ0 (RP3 ) tal que, se Y é um subcomplexo cúbico de I(m, k) e φ : Y0 →
Z2 (M 3 ; Z2 ) tem finura f (φ) < δ0 , então existe uma aplicação
Φ : Y → Z2 (M 3 ; M; Z2 ),
que é contı́nua na norma da massa e satisfaz:
(i) Φ(x) = φ(x) para todo x ∈ Y0 ;
(ii) se α é alguma j-célula em Yj , então Φ restrita a α depende apenas dos valores de φ
assumidos nos vértices de α;
(iii) sup{M(Φ(x) − Φ(y)) : x, y em uma célula comum de Y } ≤ C0 f (φ).
A aplicação Φ dada pelo Teorema 1.3.2 é conhecida na literatura como extensão de Almgren de φ.
Observação 1.3.3 Apontamos algumas consequências:
(1) O resultado anterior nos permite obter uma aplicação contı́nua na norma de massa
a partir de uma aplicação discreta com finura pequena;
(2) Sejam S 1 = {φ1i }i∈N e S 2 = {φ2i }i∈N em Π, então as extensões de Almgren Φ1i , Φ2i de
φ1i , φ2i , respectivamente, são homotópicas entre si na topologia flat para i suficientemente grande, ver [14, Proposição 3.11], e assim a extensão de Almgren preserva
as classes de homotopia.
Definição 1.3.3 Seja Π ∈ [X, Z2 (M 3 ; M; Z2 )]# . Π é dita uma classe de p-sweepouts
(discreto) se para qualquer S = {φi }i∈N ∈ Π, a extensão de Almgren Φi : X → Z2 (M 3 ; M; Z2 )
de φi é um p-sweepout para i suficientemente grande.
Lema 1.3.1 Seja Dp o conjunto de todas as classes de p-sweepouts Π ∈ [X, Z2 (M 3 ; M; Z2 )]# ,
onde X é um subcomplexo cúbico qualquer p-admissı́vel. Então
wp (M 3 ) = inf L(Π).
Π∈Dp

Demonstração Ver [[14], Lema 4.7].

24

1.4

Resultado chave

Proferimos agora, o célebre resultado devido a [Almgren-Pitts] sobre a existência de
superfı́cie mı́nimas e suas caracterı́sticas analı́ticas e topológicas [Marque-Neves, Zhou,
Ketover-Marques-Nenes].
Teorema 1.4.1 ([16], [23], [12], [7]) Seja Π ∈ [X, Z2 (M 3 ; M; Z2 )]# . Então existe uma
superfı́cie mı́nima suave fechada Σ satisfazendo:
(i) Σ é orientável e mergulhada;
(ii) L (Π) = |Σ|.
Além disso, se a curvatura de Ricci é positiva, então Σ tem apenas uma componente
conexa, tem multiplicidade 1 e seu ı́ndice de estabilidade é 1.

25

Capı́tulo 2
WIDTHS DO ESPAÇO
PROJETIVO REAL RP3
2.1

w1(RP3) ≥ π 2
h



Usando o Teorema 1.4.1 , se Π ∈ [0, 1], Z2 RP3 ; M; Z2
Σ, mı́nima, fechada, orientável e mergulhada tal que

 i#

, então existe uma superfı́cie

|Σ| = L (Π) ,
assim, pelo Teorema 3 [19]
L(Π) = |Σ| =

Z

1dA ≥ π 2 .

Σ

Portanto, temos que L(Π) ≥ π 2 para cada Π ∈ D1 , e assim
w1 (RP3 ) = inf L(Π) ≥ π 2 .
Π∈D1

2.2

w1(RP3) ≤ π 2

Primeiro, usando argumentos devido a Marques e Neves [12], (ver também Zhou [23]) que
passamos a descrever agora, vamos garantir a existência de um sweepout adequado para
nosso propósito.
Seja Σ ⊂ RP3 o toro de Clifford mı́nimo mergulhado. Primeiramente, se A : S 3 → S 3

26

é dada por A(x) = −x, então
!

1
1
A √ (cos θ, sin θ, cos ϕ, sin ϕ) = √ (− cos θ, − sin θ, − cos ϕ, − sin ϕ),
2
2
e
1
− √ cos θ
2

!2

1
+ − √ sin θ
2

!2

1
1
= = − √ cos ϕ
2
2

!2

1
+ − √ sin ϕ
2

!2

,

onde 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ ϕ < 2π. Assim, Σ é induzida em RP3 por uma superfı́cie antie
podalmente simétrica Σ(o
toro de Clifford) de gênero impar em S 3 , então Σ é orientável
(ver Ros [19]).
Portanto, por [[22], Proposição 4.3.5] Σ divide RP3 em dois pedaços de mesmo volume,
ou seja, RP3 \ Σ = M1 ∪ M2 é a união disjunta de duas componentes conexas M1 e M2
de mesmo volume, onde Σ = ∂M1 = ∂M2 . Sejam N o normal unitário apontando para
dentro de M1 , λ o primeiro autovalor do operador de Jacobi L e u ∈ C ∞ (Σ) sua autofunção
correspondente. λ tem multiplicidade um e assim podemos escolher u > 0 em Σ. Visto
que Ric > 0, observamos que Σ não pode ser estável. De fato, escolhendo f = 1 na
desigualdade de estabilidade obtemos que
0=

Z

Z

|∇f |2 dΣ ≥

(Ric(N, N ) + |A|2 ))f 2 dΣ > 0,

Σ

Σ

o que é uma contradição. Portanto Σ é instável, e assim λ < 0.
Considere a folheação local,
Σt = {expx (tu(x)N (x)); x ∈ Σ}, para t ∈ [−, ].
Para  > 0 suficientemente pequeno temos:
• Uma vez que u > 0, Σt está contida em M1 (em M2 ) para todo 0 < t <  (para todo
− < t < 0),
• Pela fórmula da primeira variação, obtemos
Z
Z
d
~
~
|Σt | = − huN, Hidµ
= − uhN, Hidµ
dt t=0
Σ
Σ

=−

Z

uHdµ = 0,

Σ

onde H ≡ 0 é a curvatura média de Σ, e pela fórmula da segunda variação temos
Z
Z
d2
|Σ
|
=
−
uLudµ
=
−
u(−λu)dµ
t
dt2 t=0
Σ
Σ

=λ

Z

u2 dµ < 0.

Σ

27

Donde, |Σt | < |Σ| para todo 0 < |t| < .

• Uma vez que u > 0, e pelo [[4], Teorema 3.2], temos que
∂
~ t ), N i = Lu = −λu > 0,
hH(Σ
∂t t=0
~ t ) denota o vetor curvatura média de Σt . Portanto H(Σt ) > 0 para 0 < t < 
onde H(Σ
com respeito ao normal N para  suficientemente pequeno.
Seja N1 = M1 \ {Σt }0≤t≤ para um  > 0 pequeno, que é a região cujo bordo é
Σ . Analogamente, temos N2 tal que ∂N2 = Σ− para um  pequeno. Assim veremos que
podemos estender a folheação {Σt } para N1 e N2 . De fato, por [[22], Afirmação 1] podemos
e }
e
e
considerar um sweepout {Σ
t t∈[−1,1] tal que Σt = Σt para t pequeno. Assim {Σt }t∈[,1] é
e homotopicamente
um sweepout de (N1 , ∂N1 ). Considere a menor famı́lia de sweepouts Λ
e }
e
fechada que contém {Σ
t t∈[,1] . Se a width verifica W (N1 , ∂N1 , Λ) > |∂N1 |, podemos
aplicar [[22], Teorema 4.2.7], porque H(∂N1 ) = H(Σ ) > 0, e assim concluı́mos que existe
e mı́nima e mergulhada no interior de N , e assim disjunta de
uma superfı́cie não trivial Σ
1
e ≤ |∂N |, dessa
Σ, o que contradiz a propriedade de Frankel. Portanto, W (N1 , ∂N1 , Λ)
1
e
e
e
forma podemos encontrar {Σt } ∈ Λ, de modo que max |Σt | seja muito perto de |∂N1 |.
≤t≤1

e0}
Como ∂N1 = Σ , e |Σ | < |Σ| podemos tomar um sweepout {Σ
t t∈[,1] com
e 0 | < |Σ|.
max |Σ
t

≤t≤1

e 00 } de N com a mesma propriedade.
Da mesma forma, podemos obter um sweepout {Σ
2
t
0
00
e
e
e
Juntando {Σt }, {Σt } e {Σt }t∈[−,] de maneira adequada, ver [22], temos a extensão desejada. Assim, construı́mos um 1-sweepout Φ tal que

sup{M(Φ(x)) : x ∈ dmn(Φ)} ≤ |Σ|
e, por [[19], Teorema 3]
sup{M(Φ(x)) : x ∈ dmn(Φ)} ≤ |Σ| = π 2 .
Daı́ segue que
w1 (RP3 ) ≤ sup{M(Φ(x)) : x ∈ dmn(Φ)} ≤ |Σ| = π 2 ,
e temos o resultado desejado.

28

2.2.1

Construção explı́cita de um sweepout ótimo

Nesta seção apresentaremos um sweepout ótimo explı́cito para obter uma cota superior da
1-width e para tanto usamos fortemente que o ambiente em que trabalhamos é o espaço
projetivo real 3-dimensional.
√
Seja Σt = S 1 (t) × S 1 ( 1 − t2 ), t ∈ [0, 1], a superfı́cie de Clifford da esfera S 3 . Note
que
√
Σt = S 1 (t) × S 1 ( 1 − t2 )
√
√
= {(t cos θ, t sin θ, 1 − t2 cos φ, 1 − t2 sin φ) : θ, φ ∈ [0, 2π)}.
Assim, dado t ∈ [0, 1], se x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Σt , então existem θ, φ ∈ [0, 2π) tais que
√
√
x1 = t cos θ, x2 = t sin θ, x3 = 1 − t2 φ e x4 = 1 − t2 sin φ. E assim, −x1 = −t cos θ,
√
√
−x2 = −t sin θ, −x3 = − 1 − t2 φ e −x4 = − 1 − t2 sin φ. Note que
√
(−x1 )2 + (−x2 )2 = t2 e (−x3 )2 + (−x4 )2 = ( 1 − t2 )2 ,
donde −x ∈ Σt . Portanto, Σt é invariante sob a aplicação antı́poda.
Uma vez que Σt é invariante sob aplicação antı́poda, temos que a mesma induz uma
superfı́cie mergulhada Σt /{±} no espaço projetivo real RP3 = S 3 /{±}, e além disso
área(Σt /{±}) =

1
área(Σt ).
2

(2.1)

Agora vamos calcular a área de Σt /{±}. A aplicação
xt (θ, φ) = (t cos θ, t sin θ,

√

√
1 − t2 cos φ, 1 − t2 sin φ)

onde 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ < 2π é uma parametrização de Σt .
De (2.2), temos
∂xt
(θ, φ) = (−t sin θ, t cos θ, 0, 0)
∂θ
e

√
√
∂xt
(θ, φ) = (0, 0, − 1 − t2 sin φ, 1 − t2 cos φ),
∂φ

e obtemos que
(gij ) =

t2
0
,
0 1 − t2

29

(2.2)

cujo determinante é t2 (1 − t2 ). Consequentemente
área(Σt ) =

Z

q

x−1
t (Σt )

t2 (1 − t2 )dθdφ

Z
√
= t 1 − t2 −1
1dθdφ
xt (Σt )
√
= 4π 2 t 1 − t2 .

(2.3)

Considere a função h : [0, 1] ⊂ R → R dada por h(t) = área(Σt ). Assim sendo, por (2.3)
temos
√
t2
h0 (t) = 4π 2 1 − t2 − 4π 2 √
1 − t2
2
2
2 2
4π (1 − t ) − 4π t
√
=
1 − t2
2
4π − 8π 2 t2
,
= √
1 − t2

(2.4)

e
√
t
h (t) = −16π t 1 − t2 + (4π 2 − 8π 2 t2 ) √
1 − t2
−12π 2 t + 8π 2 t3
√
=
(1 − t2 ) 1 − t2
−12π 2 t + 8π 2 t
√
≤
,
(1 − t2 ) 1 − t2
00

2

!

1
(1 − t2 )

(2.5)

t3 ≤ t se t ∈ [0, 1]. Por (2.4), concluı́mos que √12 é ponto crı́tico de h, e de (2.5), temos
h00 (t) < 0 para todo t ∈ (0, 1] que diz que h é côncava para baixo.
Deste modo, como a área de Σ √1 é 2π 2 , temos que
2

área(Σt ) ≤ 2π 2 ,

(2.6)

área(Σt /{±}) ≤ π 2 .

(2.7)

e por (2.1), temos

Seja Σ ⊂ S 3 o toro de Clifford. Definimos a famı́lia canônica {Σt }t∈[0,1] de Σ por:
√
Σt = S 1 (t) × S 1 ( 1 − t2 ).

(2.8)

Afirmação 2.2.1 A famı́lia {Σt /{±}}t∈[0,1] definida usando (2.8) é um sweepout de RP3 .

30

Seja x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ S 3 , então x21 + x22 ∈ [0, 1] e
x23 + x24 = 1 − (x21 + x22 ).

(2.9)

Note que existe θ̄ ∈ [0, π/2] tal que
|x1 | =

q

x21 + x22 cos θ̄, |x2 | =
q

e escolhendo θ ∈ [0, 2π) tal que x21 + x22 cos θ e
de x1 e x2 respectivamente, podemos escrever

q

q

x21 + x22 sin θ̄,

x21 + x22 sin θ tenham os mesmos sinais

q

x21 + x22 cos θ, x2 =

q

q

x23 + x24 cos φ̄,

|x4 | =

q

1 − (x21 + x22 ) cos φ̄, |x4 | =

q

x1 =

x21 + x22 sin θ.

Também existe φ̄ tal que
|x3 | =

x23 + x24 sin φ̄,

e assim, por (2.9), temos
|x3 | =

q

1 − (x21 + x22 ) sin φ̄,

q

q

e escolhendo φ ∈ [0, 2π) tal que 1 − (x21 + x22 ) cos φ e 1 − (x21 + x22 ) sin φ tenham os
mesmos sinais de x3 e x4 respectivamente, podemos escrever
x3 =

q

x21 + x22 cos θ,

q

1 − (x21 + x22 ) cos φ, x4 =

q

1 − (x21 + x22 ) sin φ.

Portanto,
x=

q

x21 + x22 sin θ,
r

1−
e assim x ∈ Σ√ 2

x1 +x22

q

x21 + x22

2

r

cos φ, 1 −

q

x21 + x22

2

!

sin φ ,

 , e isso garante a afirmação.

Considere a função f : RP3 → [−1, 1] ⊂ R dada por
f ([x]) = x21 + x22 − (x23 + x24 ).
Esta função é bem definida independentemente do representante que escolhemos x ou −x
de [x].
Notamos que o conjunto aberto {[x] ∈ RP3 ; f ([x]) < 2t2 − 1} tem perı́metro finito
31

para todo t, pois sua fronteira é o conjunto Σt /{±} o qual é uma superfı́cie suave.
Desta forma temos um elemento bem definido no conjunto das correntes
f −1 (2t2 − 1) = {[x] ∈ RP3 : f ([x]) = 2t2 − 1}
= ∂{[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2 − 1} ∈ Z2 (RP3 ; Z2 ).
Considere a aplicação Φ1 : [0, 1] → Z2 (RP3 ; Z2 ) dada por
Φ1 (t) = Σt /{±}.

(2.10)

Por (2.7), temos
M(Φ1 (t)) ≤ π 2 .
Agora veremos que Φ1 é um 1-sweepout. Primeiramente, devemos verificar a continuidade na topologia flat. Para verificar isso seja {tj }j∈N uma sequência em [0, 1] que
converge para t ∈ [0, 1]. Afirmamos, que

lim F(Φ1 (t) − Φ1 (tj )) = 0.

j→∞

De fato,
F(Φ1 (t) − Φ1 (tj ))




≤ M {[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2 − 1}∆{[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2j − 1} ,
onde X∆Y = (X \ Y ) ∪ (Y \ X) denota a diferença simétrica entre os conjuntos X e
Y . Uma vez que tj converge para t, então para qualquer α > 0 fixo e j suficientemente
grande, temos que
{[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2 − 1}∆{[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2j − 1} ⊂ (Σt ) ,
onde (A) denota a vizinha tubular de A com raio . Visto que V ol(A) tende a zero
quanto  vai a zero, concluı́mos que




lim M {[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2 − 1}∆{[x] ∈ RP3 : f ([x]) < 2t2j − 1} = 0,

α→0

e segue a continuidade.
Observamos que Φ1 não possui concentração de massa, pois
!

H2 (Σt /{±} ∩ Br ([x]))
· w2 r2 = 0,
lim M(Φ1 (t)xBr ([x])) = lim
r→0
r→0
w2 r2
32

pois a superfı́cie em questão é suave com densidade limitada independente do ponto.
Por fim, para satisfazer a definição de 1-sweepout, observamos que Φ1 pode ser definido
em RP1 . Com efeito, uma vez que
Φ1 (0) = 0 and Φ1 (1) = 0,
podemos identificar os extremos do intervalo [0, 1] e assim obtemos uma identificação de
[0, 1] com RP1 como desejado. O gerador λ ∈ H 1 (RP1 ; Z2 ) satisfaz λ 6= 0 para todo
caminho não trivial γ : S 1 → RP1 , o que é único a menos de reparametrização. Assim,
pela Afirmação 2.2.1, temos que
FRP3 ([Φ1 ◦ γ]) = FRP3 ([Φ1 ]) = RP3 ,
onde FRP3 denota o isomorfismo de Almgren para RP3 e daı́ concluı́mos que Φ1 é 1sweepout e logo obtemos a estimativa para a 1-width desejada.

2.3

Construção de um 2-sweepout ótimo do RP3

Aqui, construı́mos um 2-sweepout que fornece uma cota superior para a 2-width do espaço
projetivo real RP3 .
Teorema 2.3.1 A 2-width do espaço projetivo real RP3 é π 2 e a superfı́cie que realiza
esse número é o Toro de Clifford mı́nimo T 2 /{−x, x} em RP3 .
Primeiro, vamos introduzir algumas notações e resultados. Seja Σ = T 2 o toro de Clifford
em S 3 . Considere Rθ14 : S 3 → S 3 a rotação ao redor do yz-plano em R4 dada por:


cos θ


 0
Rθ14 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 

 0

sin θ

0
1
0
0



Seja A e A∗ as componentes conexas de S 3 \ Σ = A ∪ A∗ .
Defina
Aθ = Rθ14 (A)
Note que,

e Σθ = Rθ14 (Σ) = ∂Aθ .

√
√
1
1
(1/
2
)
×
S
(1/
2 ),
Σθ = Rθ14 (Σ) = Sue
e
v
2
3
33



0 − sin θ   x1 


  x2 
0
0

.


  x3 
1
0


0 cos θ
x4

também é um 2-toro, onde u = (cos θ, 0, 0, sin θ), v = (− sin θ, 0, 0, cos θ) e denotamos por
1
Sab
(t) a circunferência de raio t e centro na origem do 2-plano gerado por a e b. Associado
a esse conjunto, considere a famı́lia para (θ, r) que é dada por:
1
Σ(θ,r) = Sue
(cos r) × Se13 v (| sin r|) = Rθ14 (Σr ),
2

onde Σr foi dada em (2.8) para t = cos r. Uma vez que, para cada r, Σr é antipodalmente
simétrica e Rθ14 é um operador linear, então Σ(θ,r) é antipodalmente simétrica.
Assim, somos levados a considerar 2-famı́lia canônica em RP3 por
Σ(θ,r) /{±}.
Note que, para cada (θ, r) o conjunto Σ(θ,r) /{±} é retificável e sem bordo, e assim induz
um ciclo em Z2 (RP3 ; Z2 ) por (π ◦ Rθ )# [Σr ], onde π é o recobrimento de S 3 para RP3 . Por
simplicidade vamos identificar o ciclo com o seu conjunto associado. Dessa forma, temos
a aplicação Φ2 : [0, π] × [− π2 , π2 ] → Z2 (RP3 ; Z2 ) definida por:
Φ2 (θ, r) = Σ(θ,r) /{±}.

(2.11)

Além disso, denotamos por A(θ,r) e A∗(θ,r) as componentes conexas disjuntas de S 3 \Σ(θ,r) =
A(θ,r) ∪ A∗(θ,r) .
Agora, vamos trabalhar para provar que Φ2 é um 2-sweepout.
Lema 2.3.1 A função Φ2 é contı́nua na topologia flat.
Demonstração Nesta demonstração seguiremos os argumentos em [13, Proposição 5.3].
Seja {(θj , rj )}t∈N uma sequência convergindo para (θ, r) em [0, π] × [−π/2, π/2]. Vamos
verificar que
lim vol(A(θj ,rj ) ∆A(θ,r) ) = 0.

j→∞

De fato, se y ∈ Σθ , então y = Rθ14 (x) para algum x ∈ Σ. Defina
xr = (x1 cos r, x2 cos r, x3 | sin r|, x4 | sin r|),
onde x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) e r ∈ [−π/2, π/2].
Seja Fθ : Σθ × R → S 3 a aplicação definida por
Fθ (y, r) = Rθ14 (xr ).
34

Uma vez que Rθ14 é uma bijeção e qualquer ponto em S 3 é igual a xr para algum x ∈ Σ e
r ∈ R, concluı́mos que Fθ é sobrejetiva. Em particular,








A(θ,r) \ (A(θ,s) ⊂ Fθ Σθ × [s, r)

para s ≤ r.

(2.12)

Seja δ > 0 e considere η > 0 tal que




vol Fθ (Σθ , [r − η, r + η]) ≤ δ.

A sequência de superfı́cies Σθj converge suavemente para Σθ , se θj tende para θ. Isso,
junto com a desigualdade triangular e o fato de que rj tende para r ∈ [−π/2, π/2],
podemos escolher j0 tal que
A(θ,r−η) ⊂ A(θj ,rj ) ⊂ A(θ,r+η) para todo j ≥ j0 .
Assim, para j ≥ j0 , temos
A(θj ,rj ) ∆A(θ,r) = (A(θj ,rj ) \ A(θ,r) ) ∪ (A(θ,r) \ A(θj ,rj ) ) ⊂ (A(θ,r+η) \ A(θ,r−η) ).
De (2.12) temos


(A(θ,r+η) \ A(θ,r−η) ) ⊂ Fθ Σθ × [r − η, r + η]



e assim
vol(A(θj ,rj ) ∆A(θ,t) ) ≤ δ para cada j ≥ j0 .
Donde,
lim F (Φ2 (θj , rj ) − Φ2 (θ, r)) = lim F((Rθ14j )# [Σrj ] − (Rθ14 )# [Σr ])

j→∞

j→∞

≤ lim M(A(θj ,rj ) ∆A(θ,r) ) = lim vol(A(θj ,rj ) ∆A(θ,r) ) = 0,
j→∞

j→∞

e o resultado segue.
O próximo resultado trata da concentração de massa.
Lema 2.3.2 A função Φ2 não tem concentração de massa.
Demonstração Uma vez que Σ(θ,r) /{±} é (π ◦ Rθ14 )# [Σr ], a aplicação π não aumenta a
massa e Rθ14 é uma isometria em S 3 , obtemos
M(Σ(θ,r) xB(p, )) ≤ M((Rθ14 )# [Σr ]x(B(p, ) ∪ B(−p, )))
≤ M(Σr xB(((Rθ14 )−1 p, )) + M(Σr xB(((Rθ14 )−1 (−p), )).

35

Sabemos que {Σr }r∈[−π/2,π/2] não tem concentração de massa e então Φ2 também não tem
concentração de massa, e portanto concluı́mos a prova do lema.
Para concluir que Φ2 é um 2-sweepout, resta mostrar que é possı́vel identificar o
domı́nio de Φ2 com RP2 e que o gerador de H 1 (RP2 , Z2 ) detecta caminhos γ em RP2 se,
e somente se, Φ2 ◦ γ é um sweepout de RP3 .
Para identificar os conjuntos, primeiro note que Φ2 (θ, π/2) e Φ2 (θ, −π/2) são ciclos
nulos em Z2 (RP3 ; Z2 ) para todo θ ∈ [0, π], assim podemos imaginar o domı́nio de Φ2
2
como uma aplicação de B . Além disso, Φ2 (0, r) = Φ2 (π, −r) onde r ∈ [−π/2, π/2] e isso
nos assegura que Φ2 (P ) = Φ2 (Q) para todo P, Q ∈ ∂([0, π] × [−π/2, π/2]) tal que P e Q
são antipodalmente simétricos em relação ao ponto ( π2 , 0), e assim obtemos uma aplicação
Φ2 : RP2 → Z2 (RP3 ; Z2 ).
Finalmente, como π1 (RP2 ) ' Z2 , os caminhos não triviais em RP2 são homotópicos,
e uma aplicação homotópica a um sweepout também é um sweepout, precisamos apenas
verificar para um caminho não trivial em RP2 que Φ2 ◦ γ é um sweepout. Para isso,
considere a curva γ : S 1 → RP2 que surge de θ0 = 0, então

Φ2 ◦ γ : S 1 → Z2 (RP3 ; Z2 ), r → S 1 (cos r) × S 1 (| sin r|)
é um sweepout de RP3 .
Demonstração do Teorema 2.3.1. O Teorema 0.0.1 nos dá que w1 (RP3 ) = π 2
e da Observação 1.3.1 temos que w1 (RP3 ) ≤ w2 (RP3 ) e assim usando o 2-sweepout Φ2
construı́do acima, obtemos que
π 2 = w1 (RP3 ) ≤ w2 (RP3 ) ≤ max2 M(Φ2 (x)) ≤ π 2 .
x∈RP

Portanto,
w2 (RP3 ) = π 2 ,
e concluı́mos a prova do Teorema 2.3.1.

2.4

Sweepout Algébrico

Nesta seção vamos construir um 9-sweepout para o espaço projetivo real RP3 , e por
conseguinte obter uma cota superior da w9 (RP3 ). Os cálculos aqui são inspirados no §6
de [5].

36

Considere o espaço vetorial:
F = span{1, x21 − x22 + x23 − x24 , x21 − x23 + x22 − x24 , x21 − x22 + x24 − x23 ,
x1 x2 , x1 x3 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 },
que tem dimensão 10 e é formado por esféricos harmônicos de grau par. Uma vez que F é
um espaço vetorial real, podemos projetivizá-lo da seguinte maneira. Defina uma relação
de equivalência em F do seguinte modo:
φ ∼ ψ ⇔ φ = λψ, para algum λ ∈ R∗ .
Portanto, temos uma bijeção entre F/ ∼ e RP9 . Por outro lado, como qualquer função φ
em F satisfaz φ(−x) = φ(x), então induz uma função em RP3 e vamos denotar tal função
com a mesma letra.
Em seguida, observe que o conjunto de nı́vel [φ = 0] = {x ∈ S 3 : φ(x) = 0} é antipodalmente simétrico e invariante pela relação de equivalência em F, e assim podemos
associar para cada [φ] em F/ ∼ o subconjunto {φ = 0} = [φ = 0]/{±} em RP3 . Além
disso, notamos que cada um desses conjuntos é retificável e não tem bordo. Consequentemente, define um ciclo em Z2 (RP3 ; Z2 ).
Estabelecida essa notação, definimos uma aplicação Φ9 : (F/ ∼) ' RP9 → Z2 (RP3 ; Z2 )
dada por:
Φ9 ([φ]) = ∂[{x ∈ RP3 : φ < 0}],
onde escrevemos [R] para denotar a corrente módulo 2 associada ao conjunto retificável
R. Note que spt(Φ9 ([φ])) ⊂ {x ∈ RP3 : φ = 0}.
Afirmação 2.4.1 A aplicação Φ9 satisfaz a condição de ser um 9-sweepout e M(Φ9 ) ≤
4π.
Usando o conceito de cones ao longo de um conjunto Y , notação C(Y ), temos ∂[[φ < 0]] =
C(∂[{φ < 0}]) ∩ S 3 . Assim, M(∂[[φ < 0]]) = 2M(∂[{φ < 0}]). Utilizando os resultados
de Santaló [10],[9],[8] e seguindo as ideias de Nurser[15], obtemos que M(Φ̃9 (θ)) ≤ 8π,
onde Φ̃9 (φ) := ∂[[x ∈ S 3 : φ < 0]]. Portanto, M(Φ9 (φ)) ≤ 4π.
Observamos agora a continuidade de Φ9 . Pela identificação (F/ ∼) ' RP9 podemos
identificar [φ] com θ ∈ RP9 . Sejam θi , θ ∈ RP9 . Como
F(Φ9 (θi ) − Φ9 (θ)) ≤ F(Φ̃9 (θi ) − Φ̃9 (θ)),
e por [15], sabemos que Φ̃9 é a restrição de um 13-sweepout ao espaço gerado pelos
37

harmônicos esféricos de grau 2, e logo é contı́nuo. Assim Φ9 é um 9-sweepout.
Usanto o mesmo argumento anterior, sabemos que Φ̃9 não tem concentração de massa.
Para r > 0 pequeno, temos
M(Φ9 (θ)xBr ([p])) ≤ M(Φ̃9 (θ)x(B̃r (p) ∪ B̃r (−p)))
≤ M(Φ̃9 (θ)x(B̃r (p))) + M(Φ̃9 (θ)x(B̃r (−p))),
onde Br ([p]) e B̃r (p) denotam as bolas em RP3 e S 3 respectivamente. Logo, Φ9 não tem
concentração de massa, e a afirmação segue.
Portanto, temos que Φ9 ∈ P9 , e consequentemente w9 (RP3 ) ≤ 4π.

38

Capı́tulo 3
CONCLUSÃO E TRABALHOS
FUTUROS
Ao longo deste trabalho provamos o seguinte teorema:
Teorema 3.0.1 Para as p-widths do espaço projetivo real RP3 temos que:
• w1 (RP3 ) = w2 (RP3 ) = π 2 ;
• w9 ≤ 4π,
e a superfı́cie que realiza o número π 2 é o Toro de Clifford mı́nimo T 2 /{−x, x} em RP3 .
Acreditamos que é possı́vel obter
w1 (RP3 ) = w2 (RP3 ) = w3 (RP3 ) = π 2 , w4 (RP3 ) > π 2
e
w9 (RP3 ) < 4π.
Alguns resultados em andamento:

Motivados na construção do 2-sweepout deste trabalho e na aplicação apresentada por
Luna [11], apresentamos o seguinte resultado:
Teorema 3.0.2 Para as p-widths do espaço projetivo real RPn , n = 4, 5, 6, 7 temos:

39

√
(ii) w1 (RP4 ) = w2 (RP4 ) = 8π 2 /3 3;
(iii) w1 (RP5 ) = w2 (RP5 ) = 2π 2 ;
√
√
(iv) w1 (RP6 ) = w2 (RP6 ) = 24 3π 3 /25 5;
(v) w1 (RP7 ) = w2 (RP7 ) = π 4 /4,

e as hipersuperfı́cies que realizam esses números são hipersuperfı́cies de Clifford mı́nimas
em RPn , n = 4, 5, 6, 7, respectivamente.
Além disso, considere a 3-esfera em C2 , isto é,
S 3 = {(z, w) ∈ C2 | |z|2 + |w|2 = 1}.

(3.1)

Fixe p, q inteiros, tais que 1 ≤ q < p e mdc(p, q) = 1. Seja Zp o grupo Z/pZ agindo em
S 3 por:
m ∈ Zp 7→ m · (z, w) = (e

2πiqm
p

2πim

z, e p w).

(3.2)

Ressaltamos que o grupo Zp opera livremente e propriamente descontı́nuo em S 3 .
Definição 3.0.1 O espaço órbita S 3 /Zp é uma 3-variedade fechada chamada espaço de
Lenticulares, e é denotado por L(p, q).
Observação 3.0.1 Fixe os inteiros p = 3 e q = 1, 2. Do Teorema 1.4.1 , se Π ∈
[[0, 1], Z2 (L(p, q); M; Z2 )]# existe uma superfı́cie mı́nima fechada mergulhada orientada
Σ de ı́ndice 1 tal que
|Σ| = L (Π) ,
e assim, pelo Teorema 1.2 [21]
L(Π) = |Σ| =

2π 2
.
3

Pela definição discreta da 1-width, temos que
w1 (L(p, q)) = inf L(Π).
Π∈D1

Portanto,
w1 (L(p, q)) ≥
onde p = 3 e q = 1, 2.
40

2π 2
,
3

Motivados pelo cálculo no caso projetivo e na Observação 3.0.1, somos levados a calcular
a 1-width dos espaços de Lenticulares. O resultado é o seguinte:
2

Teorema 3.0.3 A 1-width dos espaços de Lenticulares é igual a 2πp e a superfı́cie que
realiza esse número é o toro de Clifford mı́nimo T 2 /Zp .
Demonstração Um pequeno resumo da prova é o seguinte: usaremos a notação discreta
de 1-sweepout junto com as ferramentas poderosas da teoria Min-max de Almgren-Pitts,
para fornecer uma cota inferior para a 1-width, além disso, apresentaremos um 1-sweepout
ótimo para obter a cota superior desejada, portanto concluı́mos o cálculo.

41

Referências Bibliográficas
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42

[12] Fernando C. Marques and André Neves, Rigidity of min-max minimal spheres in
three-manifolds, Duke Math. J. 161 (2012), no. 14, 2725–2752. MR 2993139
[13] Fernando C Marques and André Neves, Min-max theory and the Willmore conjecture,
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[23]

, Min–max hypersurface in manifold of positive Ricci curvature, Journal of
Differential Geometry 105 (2017), no. 2, 291–343.

43

Apêndice
Homotopia é uma relação de equivalência
Seja S 1 = {φ1i }i∈N , S 2 = {φ2i }i∈N e S 3 = {φ3i }i∈N sequências (X, M)-homotópicas de
aplicações em Zn (M ; M; Z2 )
(i) Primeiro vamos ver que φ1i : X(ki1 )0 → Zn (M ; Z2 ) é X-homotópica a si mesma com
finura δi tendendo para zero. De fato, note que n(ki1 , ki1 ) = id, e seja δi a finura da
X-homotópia entre φ1i e φ1i+1 , assim lim δi = 0. Tomamos ψ : I(1, ki1 )0 × X(ki1 )0 →
i→∞
Zn (M ; Z2 ) definida por
ψ([j], x) = φ1i (id(x)),
e assim, temos
• f (ψ) < δi ;
• ψ([0], x) = φ1i (Id(x)) e ψ([1], x) = φ1i (Id(x)).
Portanto, S 1 é homotı́pica a S 1 .
(ii) Assumimos que S 1 é homotópica a S 2 , e mostraremos que S 2 é homotópica a S 1 .
Sabemos que existe k ∈ N e uma aplicação
ψ : I(1, k)0 × X(k)0 → Zn (M ; Z2 ), ([j], x) 7→ ψ([j], x),
tal que
• f (ψ) < δi ;
• se x ∈ X(k)0 .
Então,
ψ([0], x) = φ1i (n(k, ki1 )(x)) and ψ([1], x) = φ2i (n(k, ki2 )(x)).
Fazendo
ψ : I(1, k)0 × X(k)0 → Zn (M ; Z2 ), ([j], x) 7→ ψ([1 − j], x),
obtemos
ψ([0], x) = ψ([1], x) = φ2i (n(k, ki2 )(x))
e
ψ([1], x) = ψ([0], x) = φ1i (n(k, ki1 )(x)).

44

Também temos f (ψ) < δi (definição de ψ). Consequentemente φ2i é X-homotópica
a φ1i em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δi . Portanto, S 2 é homotópica a S 1 .
(iii) Para concluir, vamos verificar a transitividade. Suponha que S 1 é homotópica a S 2
e S 2 é homotópica a S 3 , então vamos mostrar que S 1 é homotópica a S 3 . Temos
que
• φ1i é X-homotópica a φ2i em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δi ;
• lim δi = 0;
i→∞

• φ2i é X-homotópica a φ3i em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δei ;
• lim δei = 0.
i→∞

Assim, existem k ∈ N e uma aplicação
ψ : I(1, k)0 × X(k)0 → Zn (M ; Z2 )
tal que
• f (ψ) < δi ;
• ψ([0], x) = φ1i (n(k, ki1 )) e ψ([1], x) = φ2i (n(k, ki2 )).
Também existem ke ∈ N e uma aplicação
e × X(k)
e → Z (M ; Z )
ψe : I(1, k)
0
0
n
2

tal que
e < δe ;
• f (ψ)
i
e
e
• ψ([0],
x) = φ2i (n(k, ki2 )) e ψ([1],
x) = φ3i (n(k, ki3 )).

e
e considere
Tomando δ i = max{δ, δei }, então lim δ i = 0. Também tomamos k = k+1
i→∞
a aplicação
ψ : I(1, k)0 × X(k)0 → Zn (M ; Z2 )

dada por

ψ([j], x) =




ψ([3 · j], x)




if j ∈ I(1, k)0 ∩ [0, 1/3],

2

φi (x)




ψ([3j
e
− 2], x)
45

if j ∈ I(1, k)0 ∩ [1/3, 2/3],
if j ∈ I(1, k)0 ∩ [2/3, 1].

Note que

• ψ([0], x) = ψ([3 · 0], x) = ψ([0], x) = φ1i (x);

• ψ([1/3], x) = ψ([3 · 1/3], x) = ψ([1], x) = φ2i (x);

e
e
• ψ([2/3], x) = ψ([3
· 2/3 − 2], x) = ψ([0],
x) = φ2i (x);

e
e
· 1 − 2], x) = ψ([1],
x) = φ3i (x).
• ψ([1], x) = ψ([3

Portanto φ1i é X-homotópica a φ3i em Zn (M ; M; Z2 ) com finura δ i , e como lim δ i = 0
i→∞
segue que S 1 é homotópica a S 3 .
Por (i), (ii) e (iii) “é homotópica a” é uma relação de equivalência.

46