Dissertação

CarllosEduardoHolanda_dissertação.pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

CARLLOS EDUARDO ALVES DE HOLANDA

FORMALISMO TERMODINÂMICO E O MODELO DE ISING

Maceió-AL
2017

CARLLOS EDUARDO ALVES DE HOLANDA

FORMALISMO TERMODINÂMICO E O MODELO DE ISING

Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Matemática
da Universidade Federal de Alagoas, como
requisito parcial para obtenção do grau de
Mestre em Matemática.
Orientador:

Prof.

ciel Martins de Oliveira

Maceió-AL
2017

Dr.

Krerley Irra-

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
H722f

Holanda, Carllos Eduardo Alves de.
Formalismo termodinâmico e o modelo de Ising / Carllos Eduardo Alves de
Holanda. – 2018.
80 f.
Orientador: Krerley Irraciel Martins de Oliveira.
Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.
Instituto de Matemática. Maceió, 2017.
Bibliografia: f. 79-80.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Entropia. 3. Ising, Modelo de. 4. Gibbs,
Estados de. 5. Formalismo termodinâmico. I. Título.

CDU: 515.12

Resumo
Estudaremos propriedades básicas de entropia métrica, entropia topológica, princı́pio variacional e estados de equilı́brio para transformações quaisquer e a extensão desses conceitos para
shifts multidimensionais de tipo finito. Também será realizado um estudo das distribuições
de Gibbs e o problema de transição de fase do Modelo de Ising.
Palavras-chave: Entropia, Modelo de Ising, Estados de Gibbs

Abstract
We study basic properties of metric entropy, topological entropy, variational principle and
states of equilibrium for any transformations and the extension of these concepts to multidimensional shifts of finite type. We also study the Gibbs distributions and the problem of
phase transitions in the Ising model.
Keywords: Entropy, Ising Model, Gibbs States

Sumário

Introdução

p. 8

1 Formalismo Termodinâmico Geral

p. 10

1.1

1.2

1.3

1.4

Entropia Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 10

1.1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 10

Entropia Topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 12

1.2.1

Definição via coberturas abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 12

1.2.2

Entropia Topológica de Bowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 16

1.2.3

Cálculo e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 21

Entropia de um Sistema Dinâmico

Pressão

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 25

1.3.1

Definição via Coberturas Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 25

1.3.2

Definição por Conjuntos Geradores e Conjuntos Separados . . . . .

p. 27

1.3.3

Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 30

Princı́pio Variacional e Estados de Equilı́brio . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 34

2 Estados de Gibbs

p. 38

2.1

Ensemble Microcanônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 38

2.2

Distribuição Canônica de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 41

3 O Modelo de Ising
3.1

Distribuição de Gibbs para Volume Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 43
p. 44

Sumário
3.2

3.3

3.4

Limite Termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 46

3.2.1

Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 47

3.2.2

Transição de Fase do ponto de vista Analı́tico . . . . . . . . . . . .

p. 55

Estados de Gibbs de Volume Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 56

3.3.1

Duas Famı́lias de Funções Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

p. 58

3.3.2

A Desigualdade FKG e Algumas Consequências . . . . . . . . . . .

p. 60

3.3.3

O Teorema de Existência de Estados de Gibbs para o Modelo de Ising p. 62

3.3.4

Diagrama de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Uma Definição de Entropia Métrica para o Modelo de Ising com Volume
Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Formalismo Termodinâmico para Ações de Zd
4.1

4.2

4.3

p. 65

p. 67
p. 69

Entropia Topológica de Ações do Grupo Aditivo Zd . . . . . . . . . . . . .

p. 69

4.1.1

Entropia Topológica de Shifts Multidimensionais . . . . . . . . . . .

p. 73

Entropia Métrica de Ações do Grupo Aditivo Zd . . . . . . . . . . . . . . .

p. 75

4.2.1

Entropia Métrica de Shifts Multidimensionais . . . . . . . . . . . .

p. 76

Unicidade de Medidas de Máxima Entropia para Shifts de Tipo Finito . . .

p. 77

Referências

p. 79

8

Introdução
A Teoria Ergódica é um ramo da Matemática que estuda Sistemas Dinâmicos com alguma
Medida Invariante. O desenvolvimento dessa teoria foi motivado por problemas de Mecânica
Estatı́stica, mais especificamente, Teoria Cinética dos Gases, desenvolvida principalmente
pelos fı́sicos L. Boltzmann, J. C. Maxwell e J. C. Gibbs no século XIX.
Nesse contexto de Teoria Ergódica, surgiu uma tentativa de descrever rigorosamente as estruturas matemáticas por trás do equilı́brio termodinâmico na teoria de mecânica estatı́stica.
Isso foi feito, sobretudo, pelo fı́sico-matemático D. Ruelle em seu trabalho pioneiro Statistical mechanics of a one-dimensional lattice gas ([Rue68]). Assim surgia a teoria moderna
do Formalismo Termodinâmico, onde o posterior desenvolvimento inclui conceitos centrais
como entropia, pressão, princı́pio variacional e estados de equilı́brio relacionados à sistemas
dinâmicos em geral.
Um dos maiores desafios é tentar compreender os fenômenos fı́sicos de transição de fase
(mudança de estado fı́sico) como, por exemplo, a passagem de água do estado sólido para
o lı́quido ou a magnetização de sólidos. Esses sistemas fı́sicos são formados por um grande
número de unidades (ou partı́culas, ou sı́tios) que interagem entre si. Para se ter uma ideia
do conceito de ”grande”em exemplos concretos, o número de moléculas de água em apenas
um litro é da ordem de 1027 .

Muito do estudo do formalismo termodinâmico envolve estados de sistemas infinitos.
Para sistemas clássicos, os estados consistem de medidas de probabilidade em um espaço
apropriado de configurações infinitas. Devido à simplicidade, no desenvolvimento da teoria
foi dada uma maior atenção à sistemas clássicos reticulados (reticulado inteiro d-dimensional
Q
Zd ). Para tais sistemas o espaço de configurações é um subconjunto Ω de x∈Zd Ωx , onde Ωx
é, por exemplo, o conjunto de possı́veis valores de spin (sistemas magnéticos) ou ”números
de ocupação”(sistemas com partı́culas de gás) para o sı́tio x. Nesse cenário, se estudam
os chamados Estados de Gibbs ou Medidas de Gibbs, que podem ser vistos, em um certo

9

sentido, como sendo limites de distribuições de probabilidade usadas para modelagem de sistemas clássicos com número finito de configurações. Através da interpretação de Dobrushin
([Dob68]), na modelagem matemática em geral, os estados de Gibbs estão conectados com a
existência de transição de fase do sistema estudado.

Um dos modelos mais estudados em mecânica estatı́stica é o Modelo de Ising. Este modelo foi desenvolvido para buscar um melhor entendimento de transição de fase em sistemas
d

magnéticos. O espaço de configurações é considerado como sendo Ω = {−1, 1}Z , ou seja,
o espaço de todas as configurações possı́veis com spin +1 ou -1 em cada sı́tio ou átomo do
reticulado d-dimensional Zd . O estudo de transição de fase para este modelo pode ser feito de
modo probabilı́stico, usando estados de Gibbs ou através do tratamento analı́tico, utilizando
uma função pressão associada.

Em espaços de configurações definidos em reticulados inteiros existe uma dinâmica natural importante: shifts ou deslocamentos multidimensionais de tipo finito. O tratamento do
formalismo termodinâmico para o caso multidimensional é geralmente realizado usando os
conceitos e resultados gerais estendidos para o caso de ações de grupo. Assim como no caso
de deslocamentos unidimensionais, nesse contexto aparecem as relações envolvendo entropia
topológica e entropia métrica através de um princı́pio variacional e também questões abordando estados de equilı́brio e medidas de máxima entropia. Estes tópicos são instrumentos
importantes da teoria de Dinâmica Simbólica.

10

1

Formalismo Termodinâmico
Geral

1.1

Entropia Métrica

Nesta seção daremos a definição formal da entropia de Kolmogorov-Sinai, por vezes
também conhecida como entropia métrica. Esta noção de entropia serviu como modelo para
o posterior desenvolvimento da entropia topológica.

1.1.1

Entropia de um Sistema Dinâmico

Definição 1.1.1. Seja (M, B, µ) um espaço de probabilidade. Uma partição é uma
famı́lia finita ou enumerável P de subconjuntos mensuráveis de M , disjuntos dois-a-dois e
cuja união é M .

Denotamos por P(x) o elemento da partição que contém o ponto x. A soma P ∨ Q de
duas partições P e Q é a partição cujos elementos são as intersecções P ∩ Q com P ∈ P e
Q ∈ Q. Mais geralmente, dada qualquer famı́lia enumerável de partições Pn , definimos

_
n

Pn =

(
\

)
Pn : Pn ∈ Pn

∀n .

n

Chamamos entropia de uma partição dada P ao número

Hµ (P) = −

X
P ∈P

µ(P ) log µ(P ).

11

Nessa definição, fazemos a convenção de que

0 log 0 = lim x log x = 0.
x→0

Para quaisquer duas partições P e Q de M , dizemos que P é menos fina que Q, e
escrevemos P ≺ Q, se todo elemento de Q está contido em algum elemento de P.
O conjunto P∨Q acima é uma partição e podemos ver que, em geral, vale que Hµ (P∨Q) ≤
Hµ (P) + Hµ (Q).

Agora seja f : M → M uma transformação mensurável preservando uma medida de
probabilidade µ. Dada uma partição P de M com entropia finita, denotamos
n

P =

n−1
_

f −i (P) para cada n ≥ 1.

i=0

Podemos observar que a sequência P n é não-decrescente, ou seja, P n ≺ P n+1 para todo
n ≥ 1. Portanto, a sequência da entropias Hµ (P n ) também é não-decrescente. Além disso,
podemos mostrar que essa sequência é subaditiva, ou seja, Hµ (P n+m ) ≤ Hµ (P n ) + Hµ (P m )
para todo m, n ≥ 1.

Chamamos de entropia de f com respeito à medida µ e à partição P o limite
1
1
hµ (f, P) = lim Hµ (P n ) = inf Hµ (P n ).
n n
n n
Por fim, podemos definir a entropia do sistema (f, µ) como sendo

hµ (f ) = sup hµ (f, P),
P

onde o supremo é tomado sobre todas as partições com entropia finita.

12

1.2

Entropia Topológica

Nesta seção serão abordados dois tipos de definição de entropia topológica, as definições
de Adler-Konheim-McAndrew ([AKM65]) e de Bowen-Dinaburg ([Din70]). Será provado que
essas duas abordagens são equivalentes quando o ambiente é um espaço métrico compacto.

1.2.1

Definição via coberturas abertas

Seja M um espaço topológico compacto. Chamamos cobertura aberta de M qualquer
famı́lia de abertos cuja união é todo o M . Por definição, toda cobertura aberta admite uma
subcobertura (isto é, uma subfamı́lia que ainda é uma cobertura) com um número finito de
elementos.

Definição 1.2.1. Para qualquer cobertura aberta α de M , N (α) denota o número de
conjuntos em uma subcobertura de cardinalidade mı́nima. Uma subcobertura de uma cobertura é mı́nima se nenhuma outra subcobertura contém menos elementos.

Sendo M compacto e α uma cobertura aberta, uma tal subcobertura minimal sempre
existe. Assim, chamamos entropia da cobertura α ao número
H(α) := log N (α)

(1.1)

Definição 1.2.2. Para quaisquer duas coberturas abertas α e β,

i) dizemos que α é menos fina que β, e escrevemos α ≺ β, se todo elemento de β está
contido em algum elemento de α.

ii) denotamos a sua soma, a cobertura dada por α ∨ β := {A ∩ B; A ∈ α, B ∈ β}.

Da mesma forma podemos definir α1 ∨ α2 ∨ ... ∨ αn , como sendo a cobertura cujos ele-

13

mentos são as intersecções A1 ∩ ... ∩ An com Aj ∈ αj para cada j.

Seja f : M → M uma transformação contı́nua. Se α é uma cobertura aberta de M então
f

−j

(α) := {f −j (A) : A ∈ α} também é uma cobertura aberta. Para cada n ≥ 1, denotamos

αn = α ∨ f −1 (α) ∨ ... ∨ f −n+1 (α).
Na seguinte proposição, resumimos algumas propriedades básicas de entropia de coberturas.

Proposição 1.2.3. Sejam α, α0 , β e β 0 coberturas abertas do espaço topológico compacto
M e f : M → M uma transformação contı́nua.

a) Se α ≺ β, então H(α) ≤ H(β).

b) H(α ∨ β) ≤ H(α) + H(β).

c) H(f −1 (α)) ≤ H(α).

d) Se f é sobrejetiva, então H(f −1 (α)) = H(α).

a): Seja {B1 , ..., BN (β) } uma subcobertura minimal de β. Uma vez que α ≺ β para cada
Bk ∈ β existe um Ak ∈ α tal que Bk ⊂ Ak . Disso, {A1 , ..., AN (β) } é uma subcobertura de α
não necessariamente minimal. Portanto, N (α) ≤ N (β) e segue que H(α) ≤ H(β).

b): Sejam {A1 , ..., AN (α) } e {B1 , ..., BN (β) } subcoberturas minimais de α e β, respectivamente. Então, {Ai ∩ Bj , i = 1, ..., N (α) e j = 1, ..., N (β)} é uma subcobertura de α ∨ β
não necessariamente minimal com no máximo N (α) · N (β) elementos. Então, N (α ∨ β) ≤
N (α).N (β). Logo, H(α ∨ β) ≤ H(α) + H(β).

14

c): Seja {A1 , ..., AN (α) } uma subcobertura minimal de α. Observe que {f −1 (A1 ), ..., f −1 (AN (α) )}
é uma subcobertura de f −1 (α) possivelmente não minimal. Logo, N (f −1 (α)) ≤ N (α) e, consequentemente, H(f −1 (α)) ≤ H(α).

d): Suponha por absurdo que {f −1 (A1 ), ..., f −1 (AN (α) )} não seja uma subcobertura minimal de f −1 (α). Então, podemos encontrar uma subcobertura minimal de f −1 (α) da forma
{f −1 (B1 ), ..., f −1 (Bm )} com Bj ∈ α para todo j = 1, ..., m e tal que m < N (α). Como f é
sobrejetiva, podemos escrever

M = f (M ) = f

m
[

!
f

−1

(Bj )

j=1

=

m
[

Bj .

j=1

Segue que {B1 , ..., Bm } é subcobertura minimal de α com m < N (α) elementos, o que é
uma contradição. Portanto, N (f −1 (α)) = N (α) e o resultado segue.
Definição 1.2.4. Uma sequência (xn )n∈N de números reais é chamada subaditiva quando
satisfaz a condição xn+m ≤ xn + xm , para todo n, m ∈ N.

Lema 1.2.5. (Fekètè). Para toda sequência subaditiva (xn )n∈N , xn ≥ 0, o limite
limn→∞ xnn sempre existe e é igual a inf n∈N xnn .

Ver [OV15].
Agora, usando a Proposição 1.2.3, observe que

H(αn+m ) = H(αn ∨ f −n (αm )) ≤ H(αn ) + H(f −n (αm )) ≤ H(αn ) + H(αm )
para todo m, n ≥ 1. Ou seja, a sequência H(αn ) é subaditiva. Consequentemente, pelo Lema
1.5,
1
1
h(f, α) := lim H(αn ) = inf H(αn )
(1.2)
n n
n n
sempre existe. Este limite é chamado de entropia de f com respeito à cobertura α. O item
a) da Proposição 1.3 implica que

15

α ≺ β ⇒ h(f, α) ≤ h(f, β).

(1.3)

Finalmente, podemos definir a entropia topológica de f como sendo

h(f ) = sup{h(f, α) : α é cobertura aberta de M.}

(1.4)

α

Em particular, se β é subcobertura de α então h(f, α) ≤ h(f, β). Dessa forma, a definição
de entropia topológica não muda se restringirmos o supremo às coberturas abertas finitas.

Agora, iremos mostrar um importante resultado: a entropia topológica é um invariante
de equivalência topológica.

Definição 1.2.6. Seja f : M → M e g : N → N transformações contı́nuas em espaços
topológicos compactos M e N . Dizemos que g é um fator topológico de f se existe uma
aplicação contı́nua sobrejetiva θ : M → N satisfazendo θ ◦ f = g ◦ θ. Quando h for invertı́vel
(homeomorfismo), dizemos que as duas transformações são topologicamente equivalentes, ou
topologicamente conjugadas, e chamamos h de uma conjugação topológica entre f e g.

Proposição 1.2.7. Se g é um fator topológico de f então h(g) ≤ h(f ). Em particular,
se f e g são topologicamente equivalentes então h(f ) = h(g).

Seja φ : M → N uma aplicação contı́nua sobrejetiva tal que φ ◦ f = g ◦ φ. Dada uma
cobertura α de N , a famı́lia

φ−1 (α) = {φ−1 (A) : A ∈ α}
é uma cobertura aberta de M . Dados quaisquer conjuntos A0 , A1 , ..., An−1 ∈ α, temos que:

−1

φ

n−1
\
j=0

.

!
−j

g (Aj )

=

n−1
\
j=0

−1

−j

φ (g (Aj )) =

n−1
\
j=0

f −j (φ−1 (Aj ))

16

Por definição, φ−1 (αn ) está formada pelos conjuntos do lado esquerdo desta igualdade,
enquanto que os conjuntos do lado direito constituem (φ−1 (α))n . Portanto, φ−1 (αn ) =
(φ−1 (α))n . Como φ é sobrejetiva, uma famı́lia γ ⊂ αn cobre N se, e somente se, φ−1 (γ) cobre
M . Portanto, φ((φ−1 (α))n ) = φ(φ−1 (αn )) = φ(αn ). Dessa forma, h(g, α) = h(f, φ−1 (α)).
Agora, tomando o supremo sobre todas as coberturas α de N :

h(g) = sup h(g, α) = sup h(f, φ−1 (α)) ≤ h(f ).
α

α

Isso prova a primeira parte. A segunda parte é uma consequência direta, uma vez que nesse
caso f também é fator topológico de g.

1.2.2

Entropia Topológica de Bowen

A seguir, será apresentada a definição de entropia topológica de Bowen-Dinaburg. Aqui,
M será considerado um espaço métrico não necessariamente compacto e K ⊂ M é um subconjunto compacto qualquer. Quando M for compacto, basta considerar K = M .

Definição 1.2.8. Dados  > 0 e n ∈ N, dizemos que um conjunto E ⊂ M é um
(n, ) − gerador de K, se para todo x ∈ K existe a ∈ E tal que d(f i (x), (f i (a)) <  para
todo i ∈ {0, ..., n − 1}.

Definição 1.2.9. Dados a,  > 0 e n ∈ N chamamos de bola dinâmica de centro a, comprimento n e raio  o conjunto B(a, n, ) = {x ∈ M : d(f i (x), (f i (a)) <  para i = 0, ..., n−1}.

Baseado na última definição, é facil ver que
K⊂

[

B(a, n, ).

a∈E

Note que {B(x, n, ) : x ∈ K} é uma cobertura aberta de K. Logo, por compacidade,
sempre existem conjuntos (n, )-geradores finitos. Vamos denotar por gn (f, , K) a menor
cardinalidade de um conjunto (n, )-gerador de K. Definimos

17

g(f, , K) := lim sup
n

1
log gn (f, , K).
n

(1.5)

Observe que da definição acima, se 1 < 2 então todo conjunto (n, 1 )-gerador é também
(n, 2 )-gerador. Portanto, gn (f, 1 , K) ≥ gn (f, 2 , K) para todo n ≥ 1 e, tomando o limite,
g(f, 1 , K) ≥ g(f, 2 , K). Ou seja, a função  7−→ g(f, , K) é monótona não-crescente e isso
garante, em particular, que

g(f, K) := lim g(f, , K)
→0

(1.6)

existe. Finalmente, podemos definir

g(f ) := sup{g(f, K) : K ⊂ M compacto}.

(1.7)

K

Também é possı́vel introduzir uma noção dual de conjunto gerador.

Definição 1.2.10.

Dados  > 0 e n ∈ N, dizemos que um conjunto E ⊂ K é

(n, ) − separado se dados x, y ∈ E existe j ∈ {0, ..., n − 1} tal que d(f i (x), (f i (y)) ≥ .
Em outras palavras, se x ∈ E então B(x, n, ) não contém nenhum outro ponto de E.

Denotamos por sn (f, , K) a máxima cardinalidade de um conjunto (n, )-separado. Com
isso, definimos

s(f, , K) := lim sup
n

1
log sn (f, , K).
n

(1.8)

Note que se 0 < 1 < 2 , então todo conjunto (n, 2 )-separado é também (n, 1 )-separado.
Logo, sn (f, 1 , K) ≥ sn (f, 2 , K) para todo n ≥ 1 e, passando o limite, s(f, 1 , K) ≥
s(f, 2 , K). Em particular, o limite

s(f, K) := lim s(f, , K)
→0

sempre existe. Em cima disso, podemos definir

(1.9)

18

s(f ) := sup{s(f, K) : K ⊂ M compacto}.

(1.10)

K

Observe que quando K1 ⊂ K2 , temos g(f, K1 ) ≤ g(f, K2 ) e s(f, K2 ) ≤ s(f, K1 ). Em
particular, também é verdade que:
g(f ) = g(f, M ) e s(f ) = s(f, M ) se M é compacto.

(1.11)

Lema 1.2.11. gn (f, , K) ≤ sn (f, , K) ≤ gn (f, /2, K) para todo n ≥ 1, todo  > 0 e
todo compacto K ⊂ M .

Seja E ⊂ K um conjunto (n, )-separado com cardinalidade máxima. Então, dado qualquer y ∈ K − E, temos que E ∪ {y} não é (n, )-separado. Portanto, existe x ∈ E e existe
i ∈ {0, ..., n − 1} tal que d(f i (x), f i (y)) < . Isto prova que E é um conjunto (n, )-gerador
de K e isso implica que gn (f, , K) ≤ #E = sn (f, , K). Para provar a outra desigualdade, seja E ⊂ K um conjunto (n, )-separado e seja F ⊂ M um conjunto (n, /2)-gerador
de K. A hipótese garante que, dado qualquer x ∈ E existe algum ponto y ∈ F tal que
d(f i (x), f i (y) < /2 para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Agora defina uma aplicação φ : E → F
considerando φ(x) como sendo qualquer ponto y nessas condições acima. Afirmamos que a
aplicação φ é injetiva. De fato, suponha que x, z ∈ E são tais que φ(x) = φ(z) = y. Então,

d(f i (x), f i (z)) ≤ d(f i (x), f i (y)) + d(f i (y), f i (z)) < /2 + /2 = .
para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Como E é (n, )-separado, temos que x = z. Portanto, φ é
injetiva, como foi afirmado. Segue que #E ≤ #F . Como E e F são arbitrários, isso prova
que sn (f, , K) ≤ gn (f, /2, K).
Proposição 1.2.12. g(f, K) = s(f, K) para todo compacto K ⊂ M . Consequentemente,
g(f ) = s(f ).
Pelo lema anterior, dado qualquer  > 0 e qualquer compacto K ⊂ M ,

19

1
1
log gn (f, , K) ≤ lim sup log sn (f, , K)
n
n
n
n
1
≤ lim sup log gn (f, /2, K) = g(f, , K).
n
n

g(f, , K) = lim sup

Tomando o limite  → 0, obtemos

g(f, K) = lim g(f, , K) ≤ lim s(f, , K) = s(f, K) ≤ lim g(f, /2, K) = g(f, K).
→0

→0

→0

Isso prova a primeira parte. A segunda parte é consequência imediata, uma vez que K é
compacto.
Proposição 1.2.13. Se M é espaço métrico compacto, h(f ) = g(f ) = s(f ).
Pela Proposição 1.2.12, basta mostrar que s(f ) ≤ h(f ) ≤ g(f ). Fixe  > 0 e n ≥ 1. Seja
E ⊂ M um conjunto (n, )-separado e seja α qualquer cobertura aberta de M com diâmetro
menor que . Se x e y estão no mesmo elemento de αn , então

d(f i (x), f i (y)) ≤ diam α <  para todo i = 0, 1, ..., n − 1
Em particular, cada elemento de αn contêm no máximo um elemento de E e, portanto,
#E ≤ N (αn ). Tomando E com cardinalidade maximal, concluı́mos que sn (f, , M ) ≤ N (αn )
para todo n ≥ 1. Consequentemente,

s(f, , M ) = lim sup
n

1
1
log sn (f, , M ) ≤ lim log N (αn ) = h(f, α) ≤ h(f ).
n n
n

Fazendo  → 0 obtemos que s(f ) = s(f, M ) ≤ h(f ). Em seguida, dada qualquer cobertura aberta α de M , seja  > 0 um número de Lebesgue para α, ou seja, um número positivo
tal que toda bola de raio  está contida em algum elemento de α. Seja E ⊂ M um conjunto
(n, )-gerador de M com cardinalidade minimal. Para cada x ∈ E e i = 0, 1, ..., n − 1, existe
Ax,i ∈ α tal que B(f i (x), ) está contida em Ax,i . Então

B(x, n, ) ⊂

n−1
\
i=0

f −i (Ax,i ).

20
−i
Então, a hipótese de que E é gerador implica que γ = {∩n−1
i=0 f (Ax,i ) : x ∈ E} é uma

cobertura de M . Como γ ⊂ αn , segue que N (αn ) ≤ #E = gn (f, , M ) para todo n. Portanto,

h(f, α) = lim
n

1
1
log N (αn ) ≤ lim inf log gn (f, , M )
n
n
n

≤ lim sup
n

1
log gn (f, , M ) = g(f, , M ).
n

Fazendo agora  → 0, temos que h(f, α) ≤ g(f, M ) = g(f ). Como a cobertura α é
arbitrária, segue que h(f ) ≤ g(f ).
Definimos a entropia topológica de uma transformação contı́nua f : M → M num espaço
métrico M como sendo g(f ) = s(f ). A Proposição 1.2.13 mostra que esta definição é compatı́vel com aquela dada via coberturas abertas. Uma diferença importante é que, enquanto
no caso compacto a entropia topológica depende apenas da topologia do espaço (porque h(f )
é definida apenas em termos dos abertos), no caso não compacto a entropia topológica pode
depender também da função distância em M .

Lembrando que g(f ) = g(f, M ) e s(f ) = s(f, M ), a conclusão da Proposição 1.2.13 pode
ser reescrita da seguinte maneira:

h(f ) = lim lim sup
→0

n

1
1
log gn (f, , M ) = lim lim sup log sn (f, , M ).
→0
n
n
n

Mas, ainda a partir da demonstração da proposição podemos obter uma outra igualdade
relacionada, como é mostrado a seguir.

Corolário 1.2.14. Se f : M → M é uma transformação contı́nua num espaço métrico
compacto então

h(f ) = lim lim inf
→0

n

1
1
log gn (f, , M ) = lim lim inf log sn (f, , M ).
→0
n
n
n

Da demonstração da proposição anterior, sabemos que

21

h(f, α) ≤ lim inf
n

1
log gn (f, , M )
n

sempre que  > 0 é um número de Lebesgue para a cobertura α. Fazendo  → 0 e usando
o Lema 1.2.11, concluı́mos que

h(f ) ≤ lim lim inf
→0

n

1
1
log gn (f, , M ) ≤ lim lim inf log sn (f, , M )
→0
n
n
n

Além do mais, é verdade que

lim lim inf
→0

n

1
1
log sn (f, , M ) ≤ lim lim sup log sn (f, , M ) = h(f ).
→0
n
n
n

Logo, segue o resultado.

1.2.3

Cálculo e Propriedades

As próximas proposições simplificam substancialmente o cálculo da entropia topológica
em exemplos concretos. Quando M for um espaço métrico, chamamos diâmetro de uma
cobertura aberta ao supremo dos diâmetros dos seus elementos.

Proposição 1.2.15. Suponha que M é um espaço métrico compacto. Seja (βk )k qualquer
sequência de coberturas abertas de M tal que diam βk converge pra zero. Então,

h(f ) = sup h(f, βk ) = lim h(f, βk ).
k

k

Dada qualquer cobertura aberta α, seja  > 0 um número de Lebesgue de α. Tome n ≥ 1
tal que diam βk <  para todo k ≥ n. Pela definição de número de Lebesgue, segue que
todo elemento de βk está contido em algum elemento de α. Ou seja, α ≺ βk e, portanto,
h(f, βk ) ≥ h(f, α). Pela definição (1.4), isto prova que

lim inf h(f, βk ) ≥ h(f ).
k

Também é verdade das definições que h(f ) ≥ supk h(f, βk ) ≥ lim supk h(f, βk ). Combi-

22

nando essas duas desigualdades, obtemos a conclusão da proposição.

Lema 1.2.16. Seja M um espaço métrico compacto e f : M → M uma função contı́nua,
então:

i) h(f, α) = h(f, αk ) para toda cobertura aberta α e para todo k ≥ 1.

ii) Se f é uma homeomorfismo então h(f, α) = h(f, α±k ) para todo k ≥ 1, onde α±k =
Wk−1 −j
(α).
j=0 f
(i): H((αk )n ) = H(αn+k ) ≤ H(αk ) + H(αn ). Por outro lado, como αn ≺ αn+k para todo
n ≥ 1, temos que H(αn ) ≤ H(αn+k ). Portanto,
1
1
1
1
H(αn ) ≤ H((αk )n ) ≤ H(αk ) + H(αn ).
n
n
n
n
Tomando o limite n → ∞, segue que h(f, α) = h(f, αk ), para toda cobertura aberta α e todo
k ≥ 1.

(ii): Sabemos que H((f −1 (α))n ) = H(f −1 (αn )) = H(αn ), uma vez que f é um homeomorfismo. Dessa forma, temos que h(f, α) = h(f, f −1 (α)) para toda cobertura aberta α e
todo n ≥ 1. Pela definição, vale que α±k = f −k (α2k ). Portanto, usando o item anterior,
temos que
h(f, α±k ) = h(f, f −k (α2k )) = h(f, α2k ) = h(f, α)
para todo k ≥ 1.
Corolário 1.2.17. Suponha M um espaço métrico compacto. Se β é cobertura aberta
tal que

(1) o diâmetro de β k =

Wk−1

j=0 f

−j

(β) converge pra zero quando k → ∞, ou

(2) f : M → M é um homeomorfismo e o diâmetro de β ±k =
zero quando k → ∞, então

Wk−1

j=0 f

−j

(β) converge para

23

h(f ) = h(f, β).
No caso (1), pela Proposição 1.2.15 e pelo Lema 1.2.16, temos que:

h(f ) = lim h(f, β k ) = h(f, β).
k

No caso (2), de forma análoga, temos:

h(f ) = lim h(f, β −k ) = h(f, β).
k

A seguir iremos investigar como a entropia topológica se comporta quando a transformação é uniformemente contı́nua.

Proposição 1.2.18. Se f : M → M é uma transformação uniformemente contı́nua num
espaço métrico, então h(f k ) = k.h(f ) para todo k ∈ N.
Fixe k ≥ 1 e seja K ⊂ M um conjunto compacto qualquer. Considere quaisquer n ≥ 1
e  > 0. Se um conjunto E ⊂ M é (nk, )-gerador de K para a transformação f então ele
também é (n, )-gerador de K para o iterado f k . Portanto, gn (f k , , K) ≤ gnk (f, , K). Logo,

g(f k , , K) = lim sup
n

1
1
log gn (f k , , K) ≤ lim sup log gnk (f, , K)
n
n
n

= g(f, , K) ≤ k.g(f, , K).
Fazendo  → 0 e tomando o supremo sobre K, obtemos que h(f k ) ≤ k.h(f ). A outra
desigualdade usa a hipótese de que f é uniformemente contı́nua. Tome δ > 0 tal que d(x, y) <
δ implica d(f j (x), f j (y)) <  para todo j = 0, 1, ..., k−1. Se E ⊂ M é (n, δ)-gerador de K para
f k então E é (nk, )-gerador de K para f . Portanto, gnk (f, , K) ≤ gn (f k , δ, K). Isso implica
que k.g(f, , K) ≤ g(f k , δ, K). Fazendo δ e  irem para zero, obtemos que k.g( f, K) ≤ g(f k , K)
para todo compacto K. Logo, k.h(f ) ≤ h(f k ).
Em particular, a Proposição 1.2.18 vale para toda transformação contı́nua num espaço
métrico compacto. No caso de homeomorfismos em espaços compactos, a conclusão se estende aos iterados negativos, como mostrado a seguir.

24

Proposição 1.2.19. Se M é espaço métrico compacto e f : M → M é um homeomorfismo então h(f −1 ) = h(f ). Consequentemente, h(f n ) = |n|h(f ) para todo n ∈ Z.
Seja α uma cobertura aberta de M . Para todo n ≥ 1, denotemos

n
n
α+
= α ∨ f −1 (α) ∨ ... ∨ f −n+1 (α) e α−
= α ∨ f (α) ∨ ... ∨ f n−1 (α).
n
n
n
Observe que α−
= f n−1 (α+
). Mais ainda, γ é uma subcobertura finita de α+
se, e
n
somente se, f n−1 (γ) é uma subcobertura finita de α−
. Como as duas subcoberturas tem a
n
n
). Portanto,
) = N (α−
mesma cardinalidade, segue que N (α+

1
1
n
n
h(f, α) = lim N (α+
) = lim N (α−
) = h(f −1 , α).
n n
n n
Como α é arbitrária, isto mostra que h(f ) = h(f −1 ). A segunda parte do enunciado
segue usando este fato e a Proposição 1.2.18.

Exemplo 1.2.20 (Homeomorfismo no Cı́rculo)

Seja f : S 1 → S 1 um homeomorfismo qualquer e seja α uma cobertura do cı́rculo formada
por um número finito de intervalos abertos (S 1 é compacto). Seja ∂α o conjunto formado
pelos pontos extremos desses intervalos. Para todo n ≥ 1, a cobertura αn está formada por
intervalos, cujos pontos extremos estão em

∂αn = ∂α ∪ f −1 (∂α) ∪ ... ∪ f −n+1 (∂α).
Observe que #αn ≤ #∂αn ≤ n#∂α. Com isso,
1
1
1
h(f, α) = lim H(αn ) ≤ lim inf log #αn ≤ lim inf log n = 0.
n
n
n n
n
n
Pela Proposição 1.2.15, h(f ) = limk h(f, αk ) para qualquer sequência de coberturas abertas αk com diam αk → 0. Então, considerando acima coberturas abertas por intervalos de
comprimento menor que 1/k, concluı́mos que h(f ) = 0 para todo homeomorfismo do cı́rculo.

25

1.3

Pressão

Introduziremos agora uma generalização importante do conceito de entropia topológica,
que é denominada pressão.

1.3.1

Definição via Coberturas Abertas

Seja f : M → M uma transformação contı́nua num espaço métrico compacto M . Chamamos de potencial em M a qualquer função contı́nua φ : M → R. Para cada n ∈ N,
Pn−1
φ ◦ f i . Além disso, dado qualquer conjunto não vazio
definimos φn : M → R por φn = i=0
C ⊂ M , denotamos
φn (C) = sup{φn (x) : x ∈ C}.

(1.12)

Dada uma cobertura aberta α de M , definimos para todo n ≥ 1
Pn (f, φ, α) = inf{

X

eφn (U ) : γ é subcobertura finita de αn }.

(1.13)

U ∈γ

o logaritmo de Pn é uma sequência subaditiva. De fato, dada uma subcobertura finita γ
de αm+n , temos que

X
U ∈γ

eφm+n (U ) ≤

X

m

eφm (U ) eφn (f (U )) ≤

U ∈γ

X

eφm (U )

U ∈γ

X

eφn (V ) .

V ∈f m (γ)

Passando o ı́nfimo, temos que Pn+m (f, φ, α) ≤ Pm (f, φ, α)Pn (f, φ, α), e tomando o logaritmo segue que log Pm+n ≤ log Pm + log Pn . Portanto, usando o lema 1.2.5 (Fekètè), o
limite

P (f, φ, α) := lim
n

1
log Pn (f, φ, α)
n

(1.14)

existe.
Por fim, chamamos pressão do potencial φ relativamente a f ao limite P (f, φ) de P (f, φ, α)
quando o diâmetro de α vai para zero. A existência desse limite é garantida pelo próximo

26

lema.

Lema 1.3.1 Existe limdiam α→0 P (f, φ, α), ou seja, existe P (f, φ) ∈ [0, ∞] tal que
lim P (f, φ, αk ) = P (f, φ)
k

para toda sequência (αk )k de coberturas abertas com diam αk → 0.
Sejam (αk )k e (βk )k sequências quaisquer de coberturas abertas com diâmetros convergindo para zero. Dado qualquer  > 0 fixe δ > 0 tal que |φ(x) − φ(y)| ≤  sempre que
d(x, y) ≤ δ. Por hipótese, diam αk < δ para todo k suficientemente grande. Para k fixado,
seja ρ > 0 um número de Lebesgue para αk . Por hipótese, diam βl < ρ para todo l suficientemente grande. Pela definição de número de Lebesgue, todo B ∈ βl está contido em algum
A ∈ αk . Observe que φn (A) ≤ n + φn (B) para todo n ≥ 1, uma vez que B ∈ A e diam
αk < δ. Isto implica que

Pn (f, φ, αk ) ≤ en Pn (f, φ, βl ) para todo n ≥ 1
e portanto, P (f, φ, αk ) ≤  + P (f, φ, βl ). Tomando l → ∞ e depois k → ∞, obtemos que
lim sup P (f, φ, αk ) ≤  + lim inf P (f, φ, βl ).
l

k

Como  é arbitrário, segue que lim supk P (f, φ, αk ) ≤ lim inf l P (f, φ, βl ). Permutando
os papéis das duas sequências de coberturas, concluı́mos que os limites limk P (f, φ, αk ) e
liml P (f, φ, βl ) existem e são iguais.
A seguir, faremos algumas observações importantes das definições. Primeiramente, note
que a pressão do potencial nulo tem o mesmo valor da entropia topológica. De fato, de 1.13
temos que Pn (f, 0, α) = N (αn ) para todo n ≥ 1 e portanto, P (f, 0, α) = h(f, α) para toda
cobertura aberta α. Logo,
P (f, 0) = h(f ).
Dada qualquer constante c ∈ R, temos Pn (f, φ + c, α) = ecn Pn (f, φ, α) para todo n ≥ 1
e, portanto, P (f, φ + c, α) = P (f, φ, α) + c para toda cobertura aberta α. Logo,
P (f, φ + c) = P (f, φ) + c.

(1.15)

27

Se φ ≤ ψ, φn (C) ≤ ψn (C) para qualquer conjunto não vazio C ⊂ M . Com isso, temos
Pn (f, φ, α) ≤ Pn (f, ψ, α) para todo n ≥ 1 e, portanto, P (f, φ, α) ≤ P (f, ψ, α) para toda
cobertura aberta α. Ou seja,
φ ≤ ψ ⇒ P (f, φ) ≤ P (f, ψ).

(1.16)

Em particular, como inf φ ≤ φ ≤ sup φ, temos
h(f ) + inf φ ≤ P (f, φ) ≤ h(f ) + sup φ

(1.17)

para todo potencial φ.

Uma outra consequência interessante da definição é que a pressão é um invariante de
equivalência topológica:

Proposição 1.3.2 Sejam f : M → M e g : N → N transformações contı́nuas em espaços
métricos compactos. Se existe um homeomorfismo h : M → N tal que h ◦ f = g ◦ h então
P (g, φ) = P (f, φ ◦ h) para todo potencial φ em N .
Observe que (φ ◦ h)(f j (x)) = φ(g j (h(x))) para todo j ≥ 1 e que
(φ ◦ h)n (C) = sup{(φ ◦ h)n (x) : x ∈ C ⊂ M } =
sup{φn (y) : y ∈ h(C) ⊂ N } = φn (h(C)).
Dessa forma, obtemos Pn (f, φ ◦ h, α) = Pn (g, φ, α) para todo n ≥ 1 e portanto, P (f, φ ◦
h, α) = P (g, φ, α) para toda cobertura aberta α. Logo, fazendo o diâmetro de α ir pra zero,
temos que P (f, φ ◦ h) = P (g, φ).

1.3.2

Definição por Conjuntos Geradores e Conjuntos Separados

Nesta seção vamos apresentar duas definições alternativas da pressão em termos de conjuntos geradores e conjuntos separados. Como feito anteriormente, f : M → M é uma
transformação contı́nua num espaço métrico compacto e φ : M → R é uma função contı́nua.
Dados n ≥ 1 e  > 0, defina

28

Gn (f, φ, ) = inf{

X

eφn (x) : E é conjunto (n, )-gerador de M }

x∈E

X
Sn (f, φ, ) = sup{
eφn (x) : E é conjunto (n, )-separado em M }.
x∈E

A seguir, defina

G(f, φ, ) = lim sup
n

S(f, φ, ) = lim sup
n

1
log Gn (f, φ, )
n
1
log Sn (f, φ, ).
n

Além disso,

G(f, φ) = lim G(f, φ, ) e S(f, φ) = lim S(f, φ, ).
→0

→0

Esses dois últimos limites existem porque as funções são monótonas em relação a .
Observe que Gn (f, 0, ) = gn (f, , M ) e Sn (f, 0, ) = sn (f, , M ) para todo n ≥ 1 e todo
 > 0. Pela Proposição 1.2.6 temos que G(f, 0) = g(f ) = h(f ) e S(f, 0) = s(f ) = h(f ), onde
h(f ) é a entropia topológica. No caso geral, temos:

Proposição 1.3.3. P (f, φ) = G(f, φ) = S(f, φ) para todo potencial φ em M .
Seja n ≥ 1 e  > 0. Das definições, todo conjunto (n, )-separado maximal é (n, )gerador. Então,

Sn (f, φ, ) = sup{

X

eφn (x) : E é conjunto (n, )-separado}

x∈E

X
= sup{
eφn (x) : E é conjunto (n, )-separado maximal}
x∈E

29

≥ inf{

X

eφn (x) : E é conjunto (n, )-gerador} = Gn (f, φ, ).

x∈E

Isso implica que G(f, φ, ) ≤ S(f, φ, ). Tomando o limite  → 0, obtemos G(f, φ) ≤
S(f, φ).

Agora vamos provar que S(f, φ) ≤ P (f, φ). Sejam  > 0 e δ > 0 tais que d(x, y) ≤ δ
implica |φ(x) − φ(y)| ≤ . Seja α qualquer cobertura aberta de M com diam α < δ. Seja
E ⊂ M qualquer conjunto (n, )-separado. Dada qualquer subcobertura γ de αn , todo ponto
de E está contido em algum elemento de γ. Por outro lado, a hipótese de que E é (n, )separado implica que cada elemento de γ contém no máximo um elemento de E. Portanto,

X

eφn (x) ≤

X

eφn (U ) .

U ∈γ

x∈E

Tomando o supremo em E e o ı́nfimo em γ, obtemos que
Sn (f, φ, δ) ≤ Pn (f, φ, α).
E segue que S(f, φ, δ) ≤ P (f, φ, α). Fazendo δ → 0 (logo diam α → 0), concluı́mos que
S(f, φ) ≤ P (f, φ), como afirmado.

Por fim, provaremos que P (f, φ) ≤ G(f, φ). Sejam  e δ números positivos tais que
d(x, y) ≤ δ implica |φ(x) − φ(y)| ≤ . Seja α qualquer cobertura aberta de M com diam
α < δ. Seja ρ > 0 um número de Lebesgue de α e seja E ⊂ M um conjunto (n, ρ)-gerador
qualquer de M . Para cada x ∈ E e i = 0, 1, ..., n − 1, existe Ax,i ∈ α tal que B(f i (x), ρ) está
contida Ax,i . Denotamos,

γ(x) =

n−1
\

f −i (Ax,i ).

i=0

Note que γ(x) ∈ αn e que B(x, n, ρ) ⊂ γ(x). Logo, a hipótese de que E é (n, ρ)-gerador
implica que γ = {γ(x) : x ∈ E} é uma subcobertura de α.

30

Observe também que

φn (γ(x)) ≤ n + φn (x) para todo x ∈ E,
Uma vez que diam Ax,i < δ para todo i. Segue que

X

eφn (U ) ≤ en

U ∈γ

X

eφn (x) .

x∈E

Isso mostra que Pn (f, φ, α) ≤ en Gn (f, φ, ρ) para todo n ≥ 1 e, com isso

P (f, φ, α) ≤  + lim inf
n

1
Gn (f, φ, ρ) ≤  + G(f, φ, ρ).
n

Fazendo ρ → 0 vem que P (f, φ, α) ≤  + G(f, φ). Então, fazendo , δ e diam α ir pra
zero, obtemos P (f, φ) ≤ G(f, φ).

1.3.3

Propriedades

Nesta seção vamos generalizar para pressão alguns resultados já obtidos para entropia
topológica.

Lema 1.3.4. P (f, φ, αk ) = P (f, φ, α) para toda cobertura α e todo k ≥ 1.
Por definição, para todo n ≥ 1, temos:

Pn (f, φ, αk ) = inf{

X

eφn (U ) : γ subcobertura finita de (αk )n } e

U ∈γ

Pn+k (f, φ, α) = inf{

X

eφn+k (U ) : γ subcobertura finita de αn+k }.

U ∈γ

Sabemos que (αk )n = αn+k . Então, denotando L = sup |φ|,

e−kL Pn (f, φ, αk ) ≤ Pn+k (f, φ, α) ≤ ekL Pn (f, φ, αk )

31

para todo n ≥ 1. Passando o logaritmo, dividindo por n + k e tomando n → ∞, obtemos
que P (f, φ, αk ) = P (f, φ, α).

Lema 1.3.5. Se f é um homeomorfismo então P (f, φ, f −1 (α)) = P (f, φ, α) para toda
cobertura aberta α.
Por definição, dado qualquer n ≥ 1,

Pn (f, φ, α) = inf{

X

eφn (U ) : γ subcobertura finita de αn } e

U ∈γ

Pn (f, φ, f −1 (α)) = inf{

X

eφn (V ) : δ subcobertura finita de (f −1 (α))n }.

V ∈δ

Seja L = sup |φ|. Observe que (f −1 (α))n = f −1 (αn ) e toda subcobertura finita de f −1 (αn )
tem a forma f −1 (γ) para alguma subcobertura finita γ de αn . Além do mais,

φn (U ) − 2L ≤ φn (f −1 (U )) ≤ φn (U ) + 2L
para qualquer U ⊂ M . Disso, segue que

e−2L Pn (f, φ, α) ≤ Pn (f, φ, f −1 (α)) ≤ e2L Pn (f, φ, α)
para todo n ≥ 1. Passando o logaritmo, dividindo por n e tomando n → ∞, obtemos
P (f, φ, f −1 (α)) = P (f, φ, α).
Proposição 1.3.6 Seja f : M → M uma aplicação contı́nua num espaço métrico compacto. Seja β uma cobertura aberta de M tal que

(1) diam β k converge para zero quando k → ∞, ou

(2) f : M → M é um homeomorfismo e diam β ±k → 0 quando k → ∞.

Então P (f, φ) = P (f, φ, β) para todo potencial φ em M .

32

(1): Usando os Lemas 1.3.1 e 1.3.4, temos que P (f, φ) = limk P (f, φ, β k ) = P (f, φ, β).

(2): Por definição, α±k = f −k (α2k ). Disso, segue que P (f, φ, α±k ) = P (f, φ, α) para toda
cobertura aberta α e todo k ≥ 1. Agora, usando mais uma vez o Lema 1.3.4, temos que

P (f, φ) = lim P (f, φ, β ±k ) = P (f, φ, β).
k

Proposição 1.3.7 Seja f : M → M uma transformação contı́nua num espaço métrico
compacto e seja φ um potencial em M . Então:

(1) P (f k , φk ) = kP (f, φ) para todo k ≥ 1.

(2) Se f é um homeomorfismo então P (f −1 , φ) = P (f, φ).
(1): Seja α uma cobertura aberta qualquer de M e seja β = αk . Dado um potencial φ em
P
i
M , denote ψ = φn . Observe que β n = αkn para cada n e que ψn = φkn , onde ψn = n−1
i=0 ψ◦f .
Então,

Pn (f k , ψ, β) = inf{

X

eψn (U ) : γ ⊂ β n }

U ∈γ

X
= inf{
eφkn (U ) : γ ⊂ αkn } = Pkn (f, φ, α).
U ∈γ

Consequentemente, P (f k , ψ, β) = kP (f, ψ, α) qualquer que seja α. Fazendo diam α → 0
também implica diam β → 0 e obtemos P (f k , ψ) = kP (f, φ).

(2): Seja α uma cobertura aberta de M . Para todo n ≥ 1, denote

n
α−
= α ∨ f (α) ∨ ... ∨ f n−1 (α) e φ−
n =

n−1
X

φ ◦ f −j .

j=0
n
Note que α−
= f n−1 (αn ) e que γ é subcobertura finita de αn se, e somente se, δ = f n−1 (γ)
n
n−1
é uma subcobertura finita de α−
. Além disso, φn (U ) = φ−
(U )), qualquer que seja
n (f

33

U ⊂ M . A partir desses fatos, temos que

X
Pn (f, φ, α) = inf{
eφn (U ) : γ subcobertura finita de αn }
U ∈γ

= inf{

X

−

n
} = Pn (f −1 , φ, α)
eφn (V ) : δ subcobertura finita de α−

V ∈δ

para todo n ≥ 1. Então P (f, φ, α) = P (f −1 , φ, α) e tomando diam α → 0, vem que
P (f, φ) = P (f −1 , φ).
No que será tratado a seguir fixamos a transformação f : M → M e consideramos P (f, ·)
como função no espaço das funções contı́nuas de M em R, aqui chamado de C 0 (M, R).
Munimos esse espaço com a norma do supremo
||φ|| = sup{|φ(x)| : x ∈ M }.
Vimos pela relação (1.17) que se a entropia topológica h(f ) é infinita então a pressão é
identicamente igual a ∞. A seguir estamos considerando h(f ) finita e portanto, P (f, φ) é
finita para todo potencial.

Proposição 1.3.8. A função pressão é Lipschitz, com constante de Lipschitz igual a 1:
|P (f, φ) − P (f, ψ)| ≤ ||φ − ψ||. para quaisquer potenciais φ e ψ.
É verdade que φ ≤ ψ + ||φ − ψ||. Logo, por (1.15) e (1.16), temos que P (f, φ) ≤
P (f, ψ) + ||φ − ψ||. Trocando os papéis de φ e ψ chegamos na outra desigualdade.
Proposição 1.3.9. A função pressão é convexa:
P (f, (1 − t)φ + tψ) ≤ (1 − t)P (f, φ) + tP (f, ψ)
para quaisquer potenciais φ e ψ em M e para todo 0 ≤ t ≤ 1.
Escreva ξ = (1 − t)φ + tψ. Então ξn = (1 − t)φn + tψn para todo n ≥ 1 e portanto,
ξn (U ) ≤ (1 − t)φn (U ) + tψn (U ) para todo U ⊂ M . Usando a desigualdade de Holder,
!1−t
X
U ∈γ

eξn (U ) ≤

X
U ∈γ

eφn (U )

!t
X
U ∈γ

eψn (U )

34

para qualquer famı́lia finita γ de subconjuntos de M . Isto implica que, dada qualquer
cobertura aberta α,

Pn (f, ξ, α) ≤ Pn (f, φ, α)1−t Pn (f, ψ, α)t
para todo n ≥ 1 e portanto, P (f, ξ, α) ≤ (1−t)P (f, φ, α)+tP (f, ψ, α). Fazendo diam α → 0,
obtemos o resultado desejado.
Definição 1.3.10 Dizemos que dois potenciais φ, ψ : M → R são cohomólogos se existe
alguma função contı́nua u : M → R tal que φ = ψ + u ◦ f − u.

Proposição 1.3.11. Seja f : M → M uma transformação contı́nua num espaço topológico compacto. Se φ, ψ : M → R são potenciais cohomólogos então P (f, φ) = P (f, ψ).
Se ψ = φ + u ◦ f − u então ψn (x) = φn (x) + u(f n (x)) − u(x) para todo n ∈ N. Seja
K = sup |u|. Então |ψn (C) − φn (C)| ≤ 2K para todo conjunto C ⊂ M . Portanto, para
qualquer cobertura aberta γ,

e−2K

X
U ∈γ

eφn (U ) ≤

X
U ∈γ

eψn (U ) ≤ e2K

X

eφn (U ) .

U ∈γ

Isso implica que dada qualquer cobertura aberta α de M ,

e−2K Pn (f, φ, α) ≤ Pn (f, ψ, α) ≤ e2K Pn (f, φ, α)
para todo n ≥ 1. Logo, P (f, φ, α) = P (f, ψ, α) para toda cobertura α e, consequentemente,
P (f, φ) = P (f, ψ).

1.4

Princı́pio Variacional e Estados de Equilı́brio

O princı́pio variacional que enunciaremos a seguir, foi provado originalmente pelo fı́scomatemático David Ruelle ([Rue69]), sendo depois estendido por Walters ([Wal75]) para o
contexto aqui apresentado.

35

Teorema 1.4.1 (Princı́pio Variacional). Seja f : M → M uma transformação contı́nua
num espaço métrico compacto e seja M(f ) o conjunto das medidas de probabilidade invariantes por f . Então, para toda função contı́nua φ : M → R,
Z
P (f, φ) = sup{hν (f ) +

φ dν : ν ∈ M(f )}.

Em particular, segue que f tem entropia topológica nula se, e somente se, hν (f ) = 0 para
toda probabilidade invariante ν.
Uma demonstração deste teorema pode ser encontrada em [OV15]. A seguir será mostrada um corolário interessante do princı́pio variacional.

Corolário 1.4.2 (Walters). Seja f : M → M uma transformação contı́nua num espaço
métrico compacto, com entropia topológica h(f ) < ∞. Seja η uma medida com sinal finita
R
em M . Então η é uma probabilidade invariante por f se, e somente se, φ dη ≤ P (f, φ)
para toda função contı́nua φ : M → R.
Diretamente do teorema, se η é uma probabilidade invariante por f , temos que
Z
Z
P (f, φ) ≥ hη (f ) + φ dη ≥ φ dη
para toda função contı́nua φ. Reciprocamente, Seja η uma medida finita com sinal tal que
R
φ dη ≤ P (f, φ) para toda φ. Considere qualquer φ ≥ 0. Para quaisquer c > 0 e  > 0,
Z
c

Z
(φ + ) dη = −

−c(φ + ) dη ≥ −P (f, −c(φ + )).

Pela relação (1.17), temos que
P (f, −c(φ + )) ≤ h(f ) + sup(−c(φ + )) = h(f ) − c inf(φ + ).
R
Portanto, c (φ + ) dη ≥ −h(f ) + c inf(φ + ). Quando c > 0 é suficientemente grande o
R
lado direito desta desigualdade é positivo. Logo (φ + ) dη > 0. Como  > 0 é arbitrário,
R
isto implica que φ dη ≥ 0 para todo potencial φ ≥ 0. Logo, η é uma medida positiva. O
próximo passo é mostrar que η é uma probabilidade, ou seja, η(M ) = 1. Por hipótese,

36

Z
c dη ≤ P (f, c) = h(f ) + c
para todo c ∈ R. Para c > 0 isto implica que η(M ) ≤ 1 + h(fc ) . Passando o limite quando
c → +∞ obtemos que η(M ) ≤ 1. De forma análoga, considerando c < 0 e passando o limite
quando c → −∞, vem que η(M ) ≥ 1. Portanto, η é uma probabilidade, como afirmado.
Resta provar que η é invariante por f . Por hipótese, dado c ∈ R e qualquer potencial φ,
Z
c (φ ◦ f − φ) dη ≤ P (f, c(φ ◦ f − φ)).
Pela Proposição 1.3.11, a expressão no lado direito é igual a P (f, 0) = h(f ). Para c > 0,
isto implica
Z

h(f )
(φ ◦ f − φ) dη ≤
c
R
e passando o limite quando c → +∞, seque que (φ ◦ f − φ) dη ≤ 0. O mesmo argumento
R
R
R
aplicado a −φ dá que (φ ◦ f − φ) dη ≥ 0. Logo, φ ◦ f dη = φ dη para todo potencial φ.
Segue que η preserva medida.
Seja f : M → M uma transformação contı́nua num espaço métrico compacto. Uma
medida invariante de probabilidade µ é dita um estado de equilı́brio para um potencial φ :
M → R, se ela realiza o supremo no princı́pio variacional, ou seja, se
Z
hµ (f ) +

Z
φ dµ = P (f, φ) = sup{hν (f ) +

φ dν : ν ∈ M(f )}.

No caso particular de φ = 0 também dizemos que µ é uma medida de máxima entropia.

Exemplo 1.4.3. Se f : M → M tem entropia topológica nula, toda probabilidade
invariante µ é medida de máxima entropia, já que hµ (f ) = 0 = h(f ). Para um potencial
qualquer φ : M → R,
Z
P (f, φ) = sup{

φ dν : ν ∈ M(f )}.

Portanto, ν é estado de equilı́brio se, e somente se, ν maximiza a integral de φ.

37

Com esta seção, concluı́mos nesse trabalho a primeira parte referente à conceitos básicos
de formalismo termodinâmico tratado em teoria ergódica. No restante do texto, alguns
resultados daqui serão usados no estudo formal de mecânica estatı́stica ou dinâmica simbólica.

38

2

Estados de Gibbs

Para efeitos de modelagem matemática, é conveniente supor que o conjunto M das unidades que formam um sistema é infinito. Os exemplos mais estudados são os reticulados Zd .
Tais modelos são comumente chamados de cristais reticulados. Além disso, é usual supor
que cada unidade x ∈ M admite um conjunto finito de Ωx de valores possı́veis. Por exemplo,
Ωx = {−1, 1} no caso de sistemas de spin e Ωx = {0, 1} no caso de gases de rede.

O espaço de configurações do sistema é um subconjunto Ω do produto

Q

x∈M Ωx e um

estado do sistema é uma medida de probabilidade em Ω. Um estado de equilı́brio, nesse caso,
descreve uma configuração macroscópica do sistema que pode ser fisicamente observada e
uma transição de fases corresponde à coexistência de mais de um estado de equilı́brio.

Pelo Princı́pio Variacional da Mecânica Estatı́stica, que remonta à lei da mı́nima ação,
estados de equilı́brio são caracterizados por minimizarem uma certa grandeza fundamental,
tal como, a energia livre de Gibbs ou a pressão. Prova-se que sob certas hipóteses adequadas
os estados de equilı́brio são medidas de um certo tipo, chamadas estados de Gibbs, como
pode ser visto em [Bow75].

2.1

Ensemble Microcanônico

Nesta seção será feito um tratamento matemático como introdução para se obter a distribuição de Gibbs. Serão introduzidos os conceitos centrais de mecânica estatı́stica do equilı́brio
que serão válidos para sistemas em geral.

No que será desenvolvido a seguir, consideramos um conjunto Ω (inicialmente finito)

39

de microestados do sistema. Além disso, também trabalharemos com o conceito de uma
interação entre os constituintes microscópicos ω do sistema, dada na forma de energia H(ω).
A função assim dada, H : Ω → R, é chamada Hamiltoniano do sistema.
Denotamos por M(Ω) o conjunto de distribuições de probabilidade em Ω. Como estamos
assumindo Ω finito, qualquer medida de probabilidade µ ∈ M(Ω) é inteiramente caracterizada pela coleção (µ({ω}))ω∈Ω de probabilidades associadas à cada microestado ω. Para
P
simplificar a escrita, usaremos µ({ω}) = µ(ω). Por definição, µ(ω) ≥ 0 e ω∈Ω µ(ω) = 1.

Denotaremos por ΩN,Λ o conjunto de todos os macroestados descrevendo um sistema
com N elementos localizados numa região Λ de volume |Λ| = V . Neste contexto, o volume é
igual a cardinalidade. Seja o conjunto ΩN,Λ,U := {ω ∈ ΩN,Λ ; H(ω) = U }. Como essas são as
únicas informações que temos do sistema, é natural assumirmos que todas as configurações
ω ∈ ΩN,Λ,U são equivalentemente prováveis, ou seja, o sistema tem distribuição uniforme.
Com isso podemos definir o seguinte:

Definição 2.1.1. A distribuição microcanônica ou Ensemble microcanônico (com energia
mic
U ), νN,Λ,U
, associada a um sistema com N partı́culas localizadas em um volume Λ, é a

distribuição de probabilidade uniforme dada por:

mic
νN,Λ,U
(ω) =

1
|ΩN,Λ,U |

se H(ω) = U e

mic
(ω) = 0 caso contrário.
νN,Λ,U

Mesmo essa distribuição sendo natural e fácil de definir, pode ser muito complicado
trabalhar com configurações em um certo nı́vel de energia fixado devido à problemas de combinatória, mesmo nos casos mais simples.

Baseado nesse problema, o que buscaremos agora é uma distribuição de probabilidade
P
tal que a esperança seja um valor fixo U , ou seja, < H >µ := ω∈ΩN,Λ µ(ω)H(ω) = U .
Uma maneira conveniente de medir a imprevisibilidade de uma distribuição de proba-

40

bilidade µ é através da entropia métrica, definida na primeira seção do capı́tulo passado.
Adequando aquela definição para este caso onde Ω é um conjunto finito, a entropia pode ser
dada por

S(µ) = −

X

µ(ω) log µ(ω),

ω∈Ω

onde µ ∈ M(Ω) e cada {ω} é um elemento de partição. Como toda partição dada pode ser
reduzida à reunião dos átomos {ω}, esta entropia não depende da partição tomada e pode
ser vista apenas como função da medida µ.

Proposição 2.1.2. A entropia de uma medida S : M(Ω) → R é uma função côncava.
Sabemos que a função g(x) = −x log x é côncava, ou seja, para todo x, y e α ∈ [0, 1],
temos

g(αx + (1 − α)y) ≥ αg(x) + (1 − α)g(y).
Com isso, podemos escrever,

S(αµ + (1 − α)ν) =

X

−(αµ(ω) + (1 − α)ν(ω)) log(αµ(ω) + (1 − α)ν(ω))

ω∈Ω

≥

X

−αµ(ω) log µ(ω) +

ω∈Ω

X

−(1 − α)ν(ω) log ν(ω) = αS(µ) + (1 − α)S(ν).

ω∈Ω

1
Proposição 2.1.3. A distribuição uniforme em Ω, ν(ω) = |Ω|
, é a única distribuição de

probabilidade onde a entropia atinge o seu máximo.
Considere a função côncava g(x) = −x log x. Usando a desigualdade de Jensen (ver
[OV15]), temos que

S(µ) = |Ω|

X 1
ω∈Ω

|Ω|

g(µ(ω)) ≤ |Ω|g

X 1
ω∈Ω

|Ω|

!
µ(ω)


= |Ω|g

1
|Ω|



41

= |Ω|

X
1
log |Ω| =
ν(ω) log ν(ω) = S(ν).
|Ω|
ω∈Ω

Como µ é arbitrária, segue que a entropia atinge o máximo em ν. Ainda mais, a igualdade
1
ocorre se, e somente se, µ é constante, isto é, µ = |Ω|
= ν.

De acordo com as duas proposições anteriores, a entropia de uma medida é côncava e
atinge seu máximo na distribuição uniforme. Em cima disso, a entropia é um bom parâmetro
para medir o quão distante uma medida está de ser uniforme. De fato, pode-se mostrar que
a entropia é a única função contı́nua, a menos de uma constante, que satisfaz essa propriedade. Dessa forma, podemos usar a função entropia para selecionar, entre todas as possı́veis
distribuições em um determinado conjunto, qual aquela considerada ”mais uniforme”.

2.2

Distribuição Canônica de Gibbs

Queremos descobrir qual a distribuição de probabilidade µ ∈ M(ΩN,Λ ) que maximiza a
função S com a restrição de que < H >µ = U , onde U é um valor de energia fixado para o
sistema. De acordo como o nosso caso, isto é a mesma coisa que encontrar o valor de µ(ω)
para todo ω ∈ ΩN,Λ , no seguinte problema:

Maximizar S(µ) quando

X

µ(ω) = 1 e

X

µ(ω)H(ω) = U.

ω∈ΩN,Λ

ω∈ΩN,Λ

Mas isso é equivalente a

Minimizar

X

µ(ω) log µ(ω) quando

ω∈ΩN,Λ

X
ω∈ΩN,Λ

µ(ω) = 1 e

X

µ(ω)H(ω) = U.

ω∈ΩN,Λ

Para este problema possuir solução, U ∈ [Umin , Umax ], onde Umin = inf ω H(ω) e Umax =
supω H(ω). Problemas deste tipo são resolvidos usando o método de multiplicadores de
Lagrange.
Uma vez que temos duas restrições, vamos introduzir dois multiplicadores, β e λ, e definir a
seguinte função de Lagrange:

42

L(µ) :=

X

µ(ω) log µ(ω) + λ

ω∈ΩN,Λ

X

X

µ(ω) + β

ω∈ΩN,Λ

µ(ω)H(ω).

ω∈ΩN,Λ

Derivando L com relação à µ(ω), ω ∈ ΩN,Λ , a relação ∇L = 0 corresponde a

∇L =

∂L
= log µ(ω) + 1 + λ + βH(ω) = 0.
∂µ(ω)

∀ω ∈ ΩN,Λ . A solução da equação acima é da forma µ(ω) = e−βH(ω)−λ−1 . A primeira restrição
P
implica que e1+λ = ω∈ΩN,Λ e−βH(ω) , ou seja

µ(ω) = µβ (ω) := P
onde o parâmetro β é tal que

e−βH(ω)
−βH(ξ)
ξ∈ΩN,Λ e

P

ω∈ΩN,Λ µβ (ω)H(ω) = U , satisfazendo assim a segunda res-

trição.

Uma outra forma de derivar a distribuição de Gibbs é através da introdução da energia
livre de Gibbs que é definida como:

G(µ) :=< H >µ −κT S(µ),
onde κ é chamada constante de Boltzmann e T é uma temperatura absoluta fixada. Nesse
caso, maximizar a entropia S(µ) é o mesmo que minimizar a energia de Gibbs G(µ).

Resumindo o que foi feito, podemos definir o seguinte:

Definição 2.1.4. A distribuição canônica de Gibbs com parâmetro β associada a um
sistema com N partı́culas localizadas em um volume Λ é a distribuição de probabilidade em
ΩN,Λ definida por

µN,Λ,β (ω) :=
onde ZN,Λ,β :=

P

ξ∈ΩN,Λ e

−βH(ξ)

e−βH(ω)
ZN,Λ,β

é chamada de função partição canônica

43

3

O Modelo de Ising

O Modelo de Ising foi introduzido por Wilhelm Lenz em 1920 numa tentativa de se obter
uma compreensão de transição de fase em sistemas magnéticos. O nome do modelo é devido
à Ernst Ising que o desenvolveu no caso unidimensional juntamente com seu orientador, Lenz,
na sua tese de 1925.
No inı́cio do século XX havia uma grande discussão em fı́sica teórica se era possı́vel descrever o fenômeno de transição de fase usando apenas mecânica estatı́stica, ainda uma teoria
muito jovem naquela ocasião. Essa questão foi resolvida justamente com o surgimento do
modelo de Ising, onde foi possı́vel descrever e provar a existência de transição de fase em
alguns modelos magnéticos. Esta prova foi realizada num famoso artigo de Rudolph Peierls
chamado On Ising?s ferromagnet model de 1936.

A simplicidade e riqueza do comportamento descrito pelo modelo de Ising o tornou preferido para se testar novas ideias e métodos em mecânica estatı́stica geral. Atualmente é,
sem dúvida, o modelo mais famoso da área e tem sido assunto de milhares de artigos de
pesquisa. Além disso, através de inúmeras interpretações fı́sicas e de outras áreas correlatas,
o modelo tem sido usado para descrever o comportamento qualitativo, e muitas vezes até
quantitativo, de uma grande variedade de situações. Como será estudado daqui pra frente,
o modelo é desenvolvido para se estudar uma grande quantidade de partı́culas ou átomos
com spin situados num reticulado inteiro, uma aproximação simplificada para modelagem de
ferromagnetismo.

44

3.1

Distribuição de Gibbs para Volume Finito

Nesta seção, vamos definir o modelo de Ising de forma precisa no reticulado Zd e estudar
algumas de suas propriedades. Isso será feito usando a distribuição de Gibbs que foi estabelecida no capı́tulo passado.

Volumes Finitos com Condição de Fronteira Livre

Seja Λ ⊂ Zd um subconjunto de volume finito. Definimos o espaço de configurações
como sendo ΩΛ := {−1, 1}Λ , ou seja, toda configuração ω ∈ ΩΛ é da forma ω = (ωi )i∈Λ com
ωi = ±1. A variável aleatória básica associada ao modelo é o spin no vértice i ∈ Λ que é
dada por σi : ΩΛ → {−1, 1}, onde σi (ω) = ωi .

Sabemos que o reticulado Zd é o conjunto dos pontos, átomos ou vértices i = (i1 , ..., id ),
com cada ik ∈ Z. Podemos definir no reticulado uma norma dada por
||i|| =

d
X

|ik | para todo i ∈ Zd .

k=1

Com essa norma, introduzimos uma distância e dizemos que dois vértices i e j são vizinhos próximos, e denotamos por i ≈ j, quando ||i − j|| = 1. Baseado nisso, definimos o
conjunto dos vértices que são vizinhos próximos como sendo EΛ := {{i, j} ⊂ Λ; i ≈ j}.

Para cada configuração ω ∈ ΩΛ associamos a sua energia com condição de fronteira livre
dada pelo Hamiltoniano

∅
HΛ,β,h
(ω) := −β

X

σi (ω)σj (ω) − h

{i,j}∈EΛ

X

σi (ω),

i∈Λ

onde β ∈ (0, ∞) é o inverso da temperatura e h ∈ R é o campo magnético. O sı́mbolo ∅
indica que esse modelo é com fronteira livre, o que significa que spins no interior de Λ não
interagem com spins localizados no exterior de Λ.

45

Definição 3.1.1. A distribuição de Gibbs do Modelo de Ising em Λ com condição livre
de fronteira e parâmetros β e h, é a distribuição em ΩΛ definida por
µ∅Λ,β,h (ω) =

1
∅
ZΛ,β,h


∅
(ω) ,
exp −HΛ,β,h

onde
∅
:=
ZΛ,β,h

X


∅
exp −HΛ,β,h
(ω)

ω∈ΩΛ

é chamada de função partição com condição livre de fronteira em ΩΛ .

Volume Finito com Condições de Fronteira

Será útil considerar o modelo de Ising em todo o reticulado Zd mas com configurações
que são fixadas fora de um subconjunto finito Λ.

d

Vamos considerar então configurações no espaço Ω := {−1, 1}Z . Fixando um subconjunto finito Λ ⊂ Zd e uma configuração η ∈ Ω, definimos o espaço de configuração em Λ com
condição de fronteira η, o conjunto
ΩηΛ := {ω ∈ Ω : ωi = ηi ∀i ∈
/ Λ}.
A energia de uma configuração ω ∈ ΩηΛ é dada por
X

η
HΛ,β,h
(ω) := −β

σi (ω)σj (ω) − h

b
{i,j}∈EΛ

X

σi (ω),

i∈Λ

onde consideramos EΛb := {{i, j} ⊂ Zd : {i, j} ∩ Λ 6= ∅, i ≈ j}. Observe que EΛb difere de
EΛ por conter também os vértices localizados fora de Λ e que ainda são vizinhos próximos.

Definição 3.1.2. A distribuição de Gibbs do Modelo de Ising em Λ com condição de
fronteira η e parâmetros β e h, é a distribuição em ΩηΛ definida por
µηΛ,β,h (ω) =

1

exp
η
ZΛ,β,h


η
−HΛ,β,h
(ω) ,

46

onde
η
ZΛ,β,h
:=

X


η
exp −HΛ,β,h
(ω)

ω∈ΩΛ

é chamada de função partição com condição de fronteira η.

Nesse cenário, duas condições de fronteira tem um papel importante: A condição de
/ Λ e a condição de fronteira negativa η − ,
fronteira positiva η + , onde ηi+ := +1 para todo i ∈
onde ηi− := −1 para todo i ∈
/ Λ. As distribuições de Gibbs correspondentes são denotadas
−
por µ+
Λ,β,h e µΛ,β,h . Similarmente também denotaremos os respectivos espaços de configuração
−
por Ω+
Λ e ΩΛ .

3.2

Limite Termodinâmico

Geralmente, em Mecânica Estatı́stica se estuda sistemas com uma quantidade muito alta
de partı́culas, sı́tios ou vértices. Além disso, em probabilidade e teoria ergódica é natural
aparecerem definições e propriedades utilizando eventos e exemplos infinitos, como a lei dos
grandes números e o teorema ergódico. Devido a isso, é conveniente ter alguma noção de
distribuição de Gibbs para o modelo de Ising em todo o reticulado Zd .

A teoria descrevendo medidas de Gibbs em espaços gerais e em reticulados é bem extensa e profunda e existem maneiras diferentes de abordagem. Nesse trabalho, usaremos um
procedimento de aproximação de um sistema infinito através de uma sequência crescente de
conjuntos. Este tipo de abordagem, fundamental para a descrição de propriedades termodinâmicas e de transição de fase, é conhecido como limite termodinâmico.

Para definirmos o Modelo de Ising em todo o reticulado Zd , o limite termodinâmico será
realizado através de sequências de subconjuntos finitos Λn ⊂ Zd , que convergem pra Zd ,
denotado por Λn ↑ Zd , no sentido que

1) Λn é crescente: Λn ⊂ Λn+1 para todo n.

47

2)

S

d
n≥1 Λn = Z .

Além disso, para se ter um controle sobre a forma como os subconjuntos estão crescendo é
necessário impor alguma restrição para suas fronteiras, um tipo de regularidade da sequência
de subconjuntos. Baseado nisso, dizemos que uma sequência de subconjuntos Λn ↑ Zd ,
converge para Zd no sentido de van Hove, que será denotado por Λn ⇑ Zd , se, e somente se,
|∂Λn |
= 0,
n→∞ |Λn |
lim

onde ∂Λ := {i ∈ Λ : ∃j ∈
/ Λ, i ≈ j}, ou seja, o conjunto dos pontos da fronteira que
ainda pertencem ao subconjunto Λ. A sequência mais simples que satisfaz essa condição é a
sequência de hipercubos B(n) := {−n, ..., n}d .

3.2.1

Pressão

A função partição definida acima tem um importante papel no desenvolvimento da teoria,
em particular na definição do conceito de pressão.
Definição 3.2.1. A pressão em Λ ⊂ Zd , com condição de fronteira #, é definida por:
ψΛ# (β, h) :=

1
#
log ZΛ,β,h
.
|Λ|

As duas proposições seguintes nos dão propriedades úteis da pressão em subconjuntos
finitos do reticulado.

Proposição 3.2.2. Para todo Λ, β ≥ 0 e h ∈ R, vale que:

i) ψΛ∅ (β, h) = ψΛ∅ (β, −h)

ii) ψΛ+ (β, h) = ψΛ− (β, −h).
i): Usando a expressão da energia podemos escrever que
∅
HΛ,β,h
(ω) = −β

X
i≈j

σi σj − h

X
i∈Λ

σi = −β

X
X
∅
(−σi )(−σj ) − (−h)
(−σi ) = HΛ,β,−h
(−ω).
i≈j

i∈Λ

48

Disso, segue que

ψΛ∅ (β, h) =

X
X


1
1
∅
∅
log
exp −HΛ,β,h
(ω) =
log
exp −HΛ,β,−h
(−ω) = ψΛ∅ (β, −h).
|Λ|
|Λ|
ω∈Ω
ω∈Ω
Λ

Λ

ii): Como no item passado, vamos escrever a expressão da energia:

X

+
HΛ,β,h
(ω) = −β

i≈j;i,j∈Λ

= −β

X

(−σi )(−σj ) − β

i≈j;i,j∈Λ

X

σi σj − β

X

(σi = +1)σj − h

X

σi =

i∈Λ

i≈j;i∈Λ,j∈Λ
/

(σi = −1)(−σj ) − (−h)

X

−
(−σi ) = HΛ,β,−h
(−ω).

i∈Λ

i≈j;i∈Λ,j∈Λ
/

Como na expressão da pressão há o somatório sobre todas as configurações possı́veis, segue
o resultado da mesma forma como no item anterior. O seguinte lema será útil na demonstração da próxima proposição.

Lema 3.2.3.(Desigualdade de Hölder) Para todos (x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn ) ∈ Rn e todos
p, q > 1 tais que p1 + 1q = 1, temos que
n
X
k=1

|xk yk | ≤

n
X

!1/p
|xk |p

k=1

n
X

!1/q
|yk |q

k=1

Ver [OV15]
Proposição 3.2.4. Para cada tipo de condição de fronteira #, a aplicação (β, h) 7−→
ψΛ# (β, h) é convexa.

Vamos considerar o caso ψΛη (β, h). Seja α ∈ [0, 1]. Observe que HΛ,β,h (ω) é uma função
afim de β e h. Usando o Lema 3.2.3, podemos ver que

η
ZΛ;αβ
=
1 +(1−α)β2 ;αh1 +(1−α)h2

X
ω∈ΩηΛ

e−αHΛ,β1 ,h1 (ω)−(1−α)HΛ,β2 ,h2 (ω)

49

=

X

e−αHΛ,β1 ,h1 (ω) e−(1−α)HΛ,β2 ,h2 (ω)

ω∈ΩηΛ

α 


≤

X

e−αHΛ,β1 ,h1 (ω)

1/α

1−α
X

 

ω∈ΩηΛ

e−(1−α)HΛ,β2 ,h2 (ω)

1/(1−α)



ω∈ΩηΛ

=

1−α

α 


X

e−HΛ,β1 ,h1 (ω)  

X

e−HΛ,β2 ,h2 (ω) 

.

ω∈ΩηΛ

ω∈ΩηΛ

Ou seja, obtemos que
η
η
ZΛ;αβ
≤ ZΛ;β
1 ;h1
1 +(1−α)β2 ;αh1 +(1−α)h2

α

η
ZΛ;β
2 ;h2

1−α

Passsando o logaritmo em ambos os lados e dividindo pelo volume |Λ|, vemos que
ψΛη (αβ1 + (1 − α)β2 , αh1 + (1 − α)h2 ) ≤ αψΛη (β1 , h1 ) + (1 − α)ψΛη (β2 , h2 ).
Teorema 3.2.5. No limite termodinâmico, a pressão

ψ(β, h) := lim ψΛ# (β, h)
Λ⇑Zd

é bem definida e independente da sequência de subconjuntos Λ ⇑ Zd e do tipo de condição de
fronteira. Além disso, ψ é convexa e é par em relação ao parâmetro h.
Começaremos a prova mostrando a convergência no caso de condição de fronteira livre.
A prova será feita em dois passos. Primeiro vamos mostrar a existência do limite
∅
lim ψD
(β, h)
n

n→∞

onde Dn := {1, 2, 3, ..., 2n }d . Depois disso, vamos estender a existência do limite para qualquer tipo de sequência Λn ⇑ Zd .

Vamos agora analisar a proximidade entre a pressão associada à caixa Dn+1 e a associada
à Dn . De fato, podemos dividir a caixa Dn+1 em 2d sub-caixas disjuntas que são translações
(1)

(2d )

de Dn : Dn , ..., Dn . Com isso, a energia de Dn+1 pode ser escrita como:

50

d

∅
HD
=
n+1

2
X

H∅ (i) + Rn
Dn

i=1

onde Rn representa a energia de interação entre pares de spins que pertencem a diferentes sub-caixas. Observe que cada face de Dn+1 contém (2n+1 )d−1 . Dessa forma, temos
−βd(2n+1 )d−1 ≤ Rn (ω) ≤ βd(2n+1 )d−1 . Agora, considerando ω (i) como configurações restritas
a ΩDn(i) para todo i, podemos encontrar uma cota superior para a função partição
d

∅
(ω) ≤
−HD
n+1

2
X

−H∅ (i) (ω (i) ) + βd2(n+1)(d−1)
Dn

i=1
d

∅
−HD

e

n+1

(ω)

2
Y
−H∅ (i) (ω (i) )
(n+1)(d−1)
≤
e Dn
eβd2
i=1


∅
−HD
(ω)
n+1

X

e

≤

X


2d
Y
−H∅ (i) (ω (i) )
 eβd2(n+1)(d−1)
e Dn

ω∈ΩDn+1 i=1

ω∈ΩDn+1

d

(n+1)(d−1)
∅
ZD
≤ eβd2
n+1

X

2
Y
−H∅ (i) (ω (i) )
e Dn
.

ω∈ΩDn+1 i=1

Agora dividindo a soma de ω ∈ ΩDn+1 para 2d somas de configurações ω (i) ∈ ΩDn(i) , temos
que
d

X

d

2
2
Y
Y
−H∅ (i) (ω (i) )
D
n
e
=

ω∈ΩDn+1 i=1

e

Dn

i=1 ω (i) ∈Ω

(i)
Dn

d

=

−H∅ (i) (ω (i) )

X

2
Y
i=1

d

Z ∅ (i) =
Dn

2
Y

∅
∅
ZD
= ZD
n
n

2d

.

i=1

∅
Onde estamos usando o fato de que Z ∅ (i) = ZD
para todo i.
n
Dn

De forma análoga, obtém-se

uma cota inferior para a função partição e chegamos a

(n+1)(d−1)

e−βd2

∅
ZD
n

2d

(n+1)(d−1)

∅
≤ ZD
≤ e−βd2
n+1

∅
ZD
n

2d

.

51

Passando o logaritmo e dividindo por |Dn+1 |, temos
∅

∅
∅
log ZDn+1
log ZD
log ZD
βd2(n+1)(d−1)
−βd2(n+1)(d−1)
n
n
+ 2d
≤
≤
+ 2d
|Dn+1 |
|Dn+1 |
|Dn+1 |
|Dn+1 |
|Dn+1 |

Como |Dn | = 2dn , chegamos a
∅

∅
∅
log ZDn+1
βd2(n+1)(d−1) log ZD
−βd2(n+1)(d−1) log ZD
n
n
≤
≤
+
+
2d(n+1)
|Dn |
|Dn+1 |
2d(n+1)
|Dn |

∅
∅
| ≤ βd2−(n+1) .
|ψD
− ψD
n
n+1

Isso implica que para m ≥ n
m
X

∅
∅
|ψD
− ψD
| ≤ βd
m
n

2−k = βd(2−n − 2−m ),

k=n+1
∅
∅
ou seja, ψD
é uma sequência de Cauchy e portanto, é convergente. Logo, limn→∞ ψD
existe
n
n

e vamos denota-lo por ψ.

Agora considere uma sequência qualquer Λn ⇑ Zd . Fixe um inteiro k e considere uma
(1)

(2)

partição de Zd formada por translações de elementos Dk disjuntos: {Dk , Dk , ...}. Para
(i)

cada n considere uma cobertura minimal de Λn por elementos Dk da partição e considere
(j)

[Λn ] := ∪j Dk . Agora vamos usar a seguinte desigualdade

∅
∅
∅
∅
| + |ψ[Λ
− ψD
| + |ψD
− ψ|.
|ψΛ∅ n − ψ| ≤ |ψΛ∅ n − ψ[Λ
k
k
n]
n]
∅
Como ψD
→ ψ quando k → ∞, dado  > 0, existe k0 = k0 (, β, h) (dependendo de , β
k
∅
e h) tal que |ψD
− ψ| < /3 para todo k ≥ k0 .
k

∅
Agora vamos calcular ψ[Λ
escrevendo
n]

∅
H[Λ
=
n]

X
j

H∅ (j) + Wn ,
Dk

52
n ]|
n ]|
βd(2k )d−1 = βd2−k |[Λn ]|. Observe que Q := |[Λ
é a quantidade de
onde |Wn | ≤ |[Λ
|Dk |
|Dk |

elementos Dk que formam [Λn ] para cada n. Com isso, temos que


X

∅
=
Z[Λ
n]


Q
∅
(i) )
X
Y
−H
(ω
∅
(i)
 eβd2−k |[Λn ]|
e−H[Λn ] (ω) ≤ 
e Dk
ω∈Ω[Λn ] i=1

ω∈Ω[Λn ]

Dividindo a soma de ω ∈ Ω[Λn ] em Q somas de configurações ω (i) ∈ ΩD(i) , obtemos que
k

Q
Q
Q
Y
X −H∅ (i) (ω(i) ) Y
X Y
−H∅ (i) (ω (i) )
Q
∅
D
D
k
k
Z ∅ (i) = ZD
e
=
e
=
k
i=1 ω

ω∈Ω[Λn ] i=1

D

i=1

(i)
k

Dk

Dessas duas últimas expressões, obtemos que

∅
Z[Λ
≤ eβd2
n]

−k |[Λ

n ]|

∅
ZD
k

|[Λn ]|/|Dk |

.

∅
Procedendo da mesma forma, encontramos também a cota inferior de Z[Λ
e chegamos a
n]

−k |[Λ

e−βd2

∅
ZD
k

n ]|

|[Λn ]|/|Dk |

−k |[Λ

∅
≤ Z[Λ
≤ eβd2
n]

n ]|

∅
ZD
k

|[Λn ]|/|Dk |

.

Tomando o logaritmo na desigualdade e depois dividindo por |[Λn ]|, temos que

−k

−βd2

∅
∅
∅
log Z[Λ
log ZD
log ZD
n]
−k
k
k
≤
≤ βd2 +
+
|Dk |
|[Λn ]|
|Dk |

e isso implica que

∅
∅
|ψ[Λ
− ψD
| ≤ βd2−k
k
n]

para todo n e todo k. Com isso, existe k1 = k1 (, β, h) tal que

∅
∅
|ψ[Λ
− ψD
| < /3
k
n]

para todo k ≥ k1 . Seja k2 := max{k0 , k1 } e considere ∆n := [Λn ] − Λn . Podemos ver que

∅
|HΛ∅ n − H[Λ
| ≤ (2dβ + |h|)|∆n |
n]

53

. Disso, obtemos que

∅
=
Z[Λ
n]

X
ω∈Ω[Λn ]

∅

e−H[Λn ] (ω) ≤

X
ω∈ΩΛn

∅

X

e−HΛn (ω)

e(2βd+|h|)|∆n |

ω 0 ∈Ω∆n

= ZΛ∅ n 2|∆n | e(2dβ+|h|)|∆n | = ZΛ∅ n e|∆n | log 2 e(2dβ+|h|)|∆n |

= ZΛ∅ n e(2dβ+|h|+log 2)|∆n | .
∅
De forma similar, encontramos a cota inferior para Z[Λ
e podemos escrever
n]

∅
| log ZΛ∅ n − log Z[Λ
| ≤ |∆n |(2dβ + |h| + log 2) ≤ |∂ in Λn ||Dk |(2dβ + |h| + log 2),
n]

pois |∆n | tem no máximo |∂ in Λn ||Dk | vértices (pois cada elemento da fronteira deve estar
contido em pelo menos um Dk ), onde ∂ in Λn são os vértices de Λn que estão na fronteira e
ainda estão no interior de Λn . Observe que

1≤

|∆n | + |Λn |
|∂ in Λn ||Dk |
|[Λn ]|
=
≤1+
,
|Λn |
|Λn |
|Λn |

n ]|
e com isso limn→∞ |[Λ
= 1 usando que Λn converge pra Zd no sentido de Van Hove. Agora,
|Λn |

podemos escrever a estimativa


∅
log Z[Λ
log ZΛ∅ n
1
|Λn |
n]
∅
∅
∅
∅
|ψ[Λn ] − ψΛn | ≤ |
−
|=
| log ZΛn − log Z[Λn ]
|
|Λn |
|[Λn ]|
|Λn |
|[Λn ]|



|Λn |
1 
1
∅
∅
∅
∅
≤
| log ZΛn − log Z[Λn ] | +
| log Z[Λn ] − log Z[Λn ]
|
|Λn |
|Λn |
|[Λn ]|


∅

log Z[Λ
1 
|[Λn ]|
n]
∅
∅
=
| log ZΛn − log Z[Λn ] | + | 1 −
||
|.
|Λn |
|Λn |
|Λn |

54

!


∅

log Z[Λ
|[Λn ]|
|[Λn ]|
1 
n]
∅
∅
| log ZΛn − log Z[Λn ] | + | 1 −
| |
|
=
|Λn |
|Λn |
|[Λn ]|
|Λn |


|∂ in Λn ||Dk |(2dβ + |h| + log 2)
|[Λn ]| |[Λn ]|  ∅ 
≤
+| 1−
|
ψ[Λn ]
|Λn |
|Λn |
|Λn |
∅
∅
Usando o fato de que ψ[Λ
é limitada, quando tomamos n → ∞ temos que |ψ[Λ
−ψΛ∅ n | →
n]
n]

0 e então

∅
− ψΛ∅ n | < /3
|ψ[Λ
n]

para todo n suficientemente grande.

Combinando as três estimativas, obtemos |ψΛ∅ n − ψ| <  para todo n suficientemente
grande e todo k ≥ k2 . Isso prova a existência do limite.

Agora, vamos provar a independência da condição de fronteira. Escrevendo a expressão
da energia para cada Λn , podemos ver que

|HΛ∅ n − HΛη n | ≤ 2dβ|∂ in Λn |.
Dessa forma, obtemos

in

in

e−2dβ|∂ Λn | ZΛ∅ n ≤ ZΛη n ≤ e2dβ|∂ Λn | ZΛ∅ n .
Passando o logaritmo e dividindo por |Λn | chegamos a
log ZΛη n
|∂ in Λn | log ZΛ∅ n
|∂ in Λn | log ZΛ∅ n
−2dβ
+
≤
≤ 2dβ
+
.
|Λn |
|Λn |
|Λn |
|Λn |
|Λn |
Passando o limite n → ∞ e usando que Λn é uma sequência de Van Hove, temos que

lim ψΛη n = lim ψΛ∅ n = ψ.

Λn ⇑Zd

Λn ⇑Zd

e segue que o limite não depende da condição de fronteira.

55

Para mostrarmos que ψ é convexa vamos usar a que ψΛη n (β, h) é convexa para todo n
pela Proposição 3.2.4. Considerando α ∈ [0, 1] escrevemos

ψΛη n (αβ1 + (1 − α)β2 , αh1 + (1 − α)h2 ) ≤ αψΛη n (β1 , h1 ) + (1 − α)ψΛη n (β2 , h2 )
e tomando o limite, segue a convexidade de ψ:

ψ(αβ1 + (1 − α)β2 , αh1 + (1 − α)h2 ) ≤ αψ(β1 , h1 ) + (1 − α)ψ(β2 , h2 ).

Por fim, falta mostrar que ψ é par com relação ao parâmetro h. De fato, pela Proposição
3.2.2, ψΛ∅ n (β, h) = ψΛ∅ n (β, −h) para todo n. E tomando o limite dos dois lados, segue que
ψ(β, h) = ψ(β, −h).

3.2.2

Transição de Fase do ponto de vista Analı́tico

Uma outra quantidade que tem um papel importante no estudo do modelo de Ising é a
densidade de magnetização que é definida como sendo a variável aleatória

mΛ :=
onde MΛ =

1
MΛ ,
|Λ|

P

i∈Λ σi é chamado de magnetização total.

Seguindo a notação recorrente em

mecânica estatı́stica, nesse capı́tulo a esperança de uma função f em relação a uma distribuição de probabilidade µ será denotada por hf iµ . Ou seja, a esperança de f sobre µ#
Λ,β,h é
dada por:

X

hf i#
Λ,β,h :=

f (ω)µ#
Λ,β,h (ω).

ω∈Ω#
Λ

Também definimos, para todo Λ ⊂ Zd ,

#
m#
Λ (β, h) := hmΛ iΛ,β,h .

56

Vamos agora motivar uma caracterização de transição de fase para o modelo de Ising.
Como pode ser verificado rapidamente,
∂ψΛ# (β, h)
#
mΛ (β, h) =
.
∂h

(3.1)

Uma questão que agora surge é se a equação (3.1) ainda é válida no limite termodinâmico. Existem dois problemas nesse sentido: por um lado, verificar a existência do
limite limΛ⇑Zd

#
∂ψΛ
(β,h)
∂h

e se esse limite depende da condição de fronteira tomada; por outro

lado, tem também o problema de trocar o limite termodinâmico e a derivada com respeito
a h. Estes problemas estão ligados com a diferenciabilidade da função pressão com respeito
a h. Usando a convexidade da pressão no limite termodinâmico, temos que as derivadas
laterais de h −→ ψ(β, h) existem em todos os pontos ([FV16]). E é óbvio que a pressão vai
∂ψ
∂ψ
ser diferenciável com respeito a h se as derivadas laterais ∂h
− e ∂h+ coincidem. Com isso, é

natural introduzir, para cada β ≥ 0, o conjunto

Bβ = {h ∈ R : ψ(β, .) é não diferenciável}.
Baseado nessa discussão acima, a média da densidade de magnetização é descontı́nua
precisamente nos pontos onde a pressão é não diferenciável em h. Isto nos leva ao seguinte:

Definição 3.2.6. A pressão exibe transição de fase em (β, h) se h −→ ψ(β, h) não é
diferenciável nesse ponto.

Uma outra definição de transição de fase será tratada na próxima seção.

3.3

Estados de Gibbs de Volume Infinito

A ideia desta seção é estudar o comportamento das distribuições µ#
Λn ,β,h quando n → ∞,
ou seja, estudar o que acontece com as distribuições no limite termodinâmico. Uma ma
neira de fazer isso é considerando pontos de acumulação de sequências do tipo µηΛnn ,β,h n≥1 .

57

Isso pode ser feito usando uma noção de convergência no espaço de probabilidades ou distribuições. No que será feito a seguir vamos usar uma maneira menos abstrata: Um estado
(de volume infinito) será identificado com um valor médio de funções locais, isto é, valores
observáveis que dependem apenas de um número finito de spins.

Definição 3.3.1. Uma função f : Ω → R é local se existe ∆ ⊂ Zd tal que f (ω) = f (ω 0 )
quando ω e ω 0 coincidem em ∆. O menor conjunto ∆ é chamado suporte de f e é denotado
por supp(f ).

No que segue, sempre que existir ∆ ⊃ supp(f ), então para cada ω 0 ∈ Ω∆ , f (ω 0 ) é definido
0

como o valor de f em qualquer configuração ω de Ω tal que ωi = ωi para todo i ∈ ∆.

Definição 3.3.2. Um estado de volume infinito (ou simplesmente um estado) é uma
aplicação associando cada função local f a um número real hf i e satisfazendo o seguinte:

1) h1i = 1.

2) Se f ≥ 0, então hf i ≥ 0.

3) Para todo λ ∈ R, hf + λgi = hf i + λhgi.

Definição 3.3.3. Sejam Λn ↑ Zd e (#n )n≥1 uma sequência de condições de fronteira.
n
Dizemos que a sequência de distribuições de Gibbs (µ#
Λn ,β,h )n≥1 converge para o estado h.i se,
n
e somente se, hf i = limn→∞ hf i#
Λn ,β,h para toda função local f . O estado h.i é chamado de

estado de Gibbs em (β, h).

Esta última definição é natural do ponto de vista do limite termodinâmico, pois afirma
formalmente que quantidades locais de um sistema com um número grande de sı́tios é bem
aproximado por uma correspondente quantidade tomada no sistema infinito.

58

Uma vez que os estados são definidos no reticulado inteiro (Zd ) é natural saber quais
estados são invariantes por translação. Uma translação por j ∈ Zd , θj : Zd → Zd é definida
por
θj (i) := i + j.

De forma natural, as translações também agem nas configurações: Se ω ∈ Ω então θi (ω)
é definido por

θi (ωj ) := ωi−j .
Definição 3.3.4. Um estado h.i é invariante por translações se hf ◦ θj i = hf i. Para
toda função local f e para todo j ∈ Zd .

Uma questão central que surge agora é: podemos construir estados de Gibbs para o modelo de Ising com parâmetros β e h? A partir daqui, vamos introduzir algumas ferramentas
para se obter uma resposta pra essa questão. O resultado maior nesse sentido será através
de um teorema que mostra que as condições de fronteira η + e η − podem ser usadas para a
construção de dois estados de Gibbs que serão muito importantes para se estudar fenômenos
de transição de fase.

3.3.1

Duas Famı́lias de Funções Locais

Vamos introduzir nessa seção duas famı́lias de funções locais que serão utilizadas como
auxiliares para se demonstrar a existência dos estados de Gibbs. Para todo A ⊂ Zd , defina

σA :=

Y

σj

(3.2)

(1 + σj ).

(3.3)

j∈A

nA :=

Y1
j∈A

2

59

Como é fácil ver, os valores que σA e nA assumem dependem apenas dos vértices das
configurações no interior de A. Portanto, essas funções são locais.

Lema 3.3.5. Seja f uma função local. Existem coeficientes reais (fA0 )A⊂supp(f ) e (fA00 )A⊂supp(f )
tais que as seguintes igualdades valem:

X

f=

fA0 σA e f =

A⊂supp(f )

X

fA00 nA .

A⊂supp(f )

Para provar a primeira identidade vamos usar a seguinte expressão que será provada
adiante:
2−|B|

X

σA (ω 0 )σA (ω) = 1{ωi =ωi0 ;∀i∈B} .

(3.4)

A⊂B

Usando que f é uma função local e em seguida (3.3) com B = supp(f ) segue que
f (ω) =

X

f (ω 0 )1{ωi =ωi0 ;∀i∈supp(f )}

ω 0 ∈Ωsupp(f )


X

=



f (ω 0 ) 2−|supp(f )|

ω 0 ∈Ωsupp(f )

X


X

2−|supp(f )|

A⊂supp(f )

σA (ω 0 )σA (ω)

A⊂supp(f )


=

X

f (ω 0 )σA (ω 0 ) σA (ω) =

ωi0 ∈Ωsupp(f )

X

fA0 σA (ω)

A⊂supp(f )

e a primeira identidade está provada. A segunda identidade segue da primeira e o fato de
Q
que σA = j∈A (2nj − 1) onde nj = 21 (1 + σj ).
Agora para concluir a prova do lema vamos mostrar 3.4. Assumindo que ωi = ωi0 para
Q
todo i ∈ B, temos σA (ω 0 )σA (ω) = i∈A ωi0 ωi = 1 uma vez que ωi0 ωi = ωi2 = 1, para todo
P
i ∈ A ⊂ B. Com isso, A⊂B σA (ω 0 )σA (ω) = 2|B| e a expressão 3.3 é verdadeira.
Quando existe i ∈ B tal que ωi0 6= ωi ou seja, (ωi0 ωi = −1), temos
X
A⊂B

σA (ω 0 )σA (ω) =

X

(σA (ω 0 )σA (ω) + σA∪{i} (ω 0 )σA∪{i} (ω))

A⊂B−{i}

60

X

=

(σA (ω 0 )σA (ω) + σA (ω 0 )σA (ω)ωi0 ωi )

A⊂B−{i}

=

X

(σA (ω 0 )σA (ω))(1 − ωi0 ωi ) = 0.

A⊂B−{i}

3.3.2

A Desigualdade FKG e Algumas Consequências

A desigualdade FKG (devido a Fortuin, Kasteleyn e Ginibre) em [FKG71] é uma das
mais importantes ferramentas no estudo do modelo de Ising. Ela será crucial para a cons−
trução dos estados de Gibbs h.i+
β,h e h.iβ,h que faremos a seguir.

A ordem total do conjunto {−1, 1} induz uma ordem parcial no conjunto Ω: ω ≤ ω 0 se
e somente se ωi ≤ ωi0 para todo i ∈ Zd . Baseado nisso, dizemos que uma função f : Ω → R
é não-decrescente se e somente se f (ω) ≤ f (ω 0 ) para todo ω ≤ ω 0 . Observe que para todo
A ⊂ Zd e todo i ∈ Zd é fácil ver que as funções σi , ni e nA são não-decrescentes.

Lema 3.3.6. (Desigualdade FKG) Sejam β ≥ 0 e h ∈ R. Sejam Λ ⊂ Zd e # alguma
condição de fronteira. Então, para qualquer par de funções não-decrescentes f e g vale que,
#
#
hf gi#
Λ,β,h ≥ hf iΛ,β,h hgiΛ,β,h .

Ver [FV16].
Lema 3.3.7. Sejam f uma função não-decrescente e Λ1 ⊂ Λ2 ⊂ Zd . Então, para
quaisquer β ≥ 0 e h ∈ R,
+
hf i+
Λ1 ,β,h ≥ hf iΛ2 ,β,h .

O mesmo é verdade para funções não-crescentes e condição de fronteira negativa.
Vamos usar a seguinte propriedade que será mostrada em seguida:

0

µηΛ,β,h (.|σi = ωi0 ∀i ∈ Λ − ∆) = µω∆,β,h (.).
Por 3.4, temos que

(3.5)

61

+
hf i+
Λ1 ,β,h = hf | σi = 1, ∀i ∈ Λ2 − Λ1 iΛ2 ,β,h .

Sendo a função indicadora 1{σi =1 ∀i∈Λ2 −Λ1 } uma função não-decrescente, podemos usar a
desigualdade de FKG para obter

hf i+
Λ1 ,β,h =

hf 1{σi =1 ∀i∈Λ2 −Λ1 } i+
Λ2 ,β,h
h1{σi =1 ∀i∈Λ2 −Λ1 } i+
Λ2 ,β,h

≥

+
hf i+
Λ2 ,β,h h1{σi =1 ∀i∈Λ2 −Λ1 } iΛ2 ,β,h

h1{σi =1 ∀i∈Λ2 −Λ1 } i+
Λ2 ,β,h

= hf i+
Λ2 ,β,h .

Agora, vamos mostrar a identidade (3.5). Para simplificar a notação, vamos supor h = 0.
Pela definição da distribuição de Gibbs, temos que o numerador de µηΛ,β,0 (ω|σi = ωi0 ∀i ∈
Λ − ∆) é formado por

exp β


X

σi (ω)σj (ω)

b
{i,j}∈EΛ


= exp β


X




X

σi (ω)σj (ω) exp β

b
{i,j}∈E∆

σi (ω)σj (ω) .

b ;{i,j}∩∆=∅
{i,j}∈EΛ

Dividindo a última expressão pela função partição com relação à distribuição µηΛ,β,0 (ω|σi =
ωi0 ∀i ∈ Λ − ∆), obtemos que

µηΛ,β,0 (ω|σi = ωi0 ∀i ∈ Λ − ∆) =

 P

 P

exp β {i,j}∈E b σi (ω)σj (ω) exp β {i,j}∈E b ;{i,j}∩∆=∅ σi (ω)σj (ω)
 P ∆

 PΛ

= P
exp
β
σ
(ω)σ
(ω)
exp
β
σ
(ω)σ
(ω)
.
b
b
i
j
j
ω∈Ω∆
{i,j}∈E
{i,j}∈E ;{i,j}∩∆=∅ i
∆

=

Λ

 P

exp β {i,j}∈E b σi (ω)σj (ω)
∆

ω0
Z∆,β,0

0

= µω∆,β,0 (ω).

Observe que o somatório da função partição é tomado apenas com relação a ∆ pois este
é o único conjunto que contribui para a geração de novas configurações, uma vez que fora de

62

∆ os spins são fixos iguais a ω 0 .
Lema 3.3.8. Seja f uma função qualquer não-decrescente. Então, para todo β ≥ 0 e
h ∈ R,

hf iηΛ,β,h ≤ hf i+
Λ,β,h
para toda condição de fronteira η ∈ Ω e todo Λ ⊂ Zd .
 P

Seja I(ω) = exp β i∈Λ,j ∈Λ;i≈j
σ
(ω)(1
−
σ
(ω))
. Quando η = +, temos σj = 1 para
i
j
/
todo j e com isso I(ω) = 1. Disso, podemos escrever que

X

e−HΛ,β,h (ω) =

ω∈Ω+
Λ

X

e−HΛ,β,h (ω) I(ω).

ω∈ΩηΛ

Sendo f não-decrescente e não necessariamente local, obtemos que

X

e−HΛ,β,h (ω) f (ω) ≥

X

e−HΛ,β,h (ω) I(ω)f (ω).

ω∈ΩηΛ

ω∈Ω+
Λ

Isso implica que
e−HΛ,β,h (ω) f (ω)
ω∈Ω+
Λ

P
hf i+
Λ,β,h =

P

e−HΛ,β,h (ω)
ω∈Ω+
Λ

P
≥

ω∈Ωη e

−HΛ,β,h (ω)

P Λ

f (ω)I(ω)

−HΛ,β,h (ω) I(ω)
ω∈ΩηΛ e

hIf iηΛ,β,h
hIiηΛ,β,h hf iηΛ,β,h
≥
= hf iηΛ,β,h ,
η
η
hIiΛ,β,h
hIiΛ,β,h
onde usamos FKG (I é uma função não-decrescente) para obter a última desigualdade na
expressão acima.

3.3.3

O Teorema de Existência de Estados de Gibbs para o Modelo
de Ising

Agora estamos em condição de enunciar e demonstrar o principal resultado deste capı́tulo.

Teorema 3.3.9. Sejam β ≥ 0 e h ∈ R e seja a sequência Λn ↑ Zd . As distribuições de

63

Gibbs de volume finito com condições de fronteira + e - convergem para estados de Gibbs de
volume infinito:

−
+
−
lim h.i+
Λn ,β,h = h.i e lim h.iΛn ,β,h = h.i .

n→∞

n→∞

Além disso, os estados h.i+ e h.i− não dependem da sequência (Λn )n≥1 e são invariantes por
translações.
Inicialmente vamos considerar a condição de fronteira positiva (η + ). Pelo Lema 3.3.5,
P
dada uma função local f existem constantes fA00 tais que f = A⊂supp(f ) fA00 nA . Com isso,
X

hf i+
Λn ,β,h = h

fA00 nA i+
Λn ,β,h =

A⊂supp(f )

X

fA00 hnA i+
Λn ,β,h .

(3.6)

A⊂supp(f )

Sabendo que nA é não-decrescente e usando o Lema 3.3.7, podemos obter que hnA i+
Λn ,β,h ≥
hnA i+
Λn+1 ,β,h para todo n ≥ 1, uma vez que Λn ⊂ Λn+1 para todo n. Agora observe também
que 1 + σj é não-decrescente e não-negativa para cada j e então podemos usar a desigualdade
de FKG (Lema 3.3.6) para obter que

hnA i+
Λn ,β,h = h

Y1

2
j∈A

(1 + σj )i+
Λn ,β,h ≥

Y1
2
j∈A

h1 + σj i+
Λn ,β,h ≥ 0

para todo n ≥ 1. Ou seja, hnA i+
Λn ,β,h é uma sequência monótona limitada e com isso, converge
quando n → ∞. Consequentemente, hf i+
Λn ,β,h também é convergente por (3.5). Vamos
+
denotar esse limite por limn→∞ hf i+
Λn ,β,h := hf iβ,h . De fato, este limite é um estado de Gibbs

de volume infinito porque

+
h1i+
β,h = lim h1iΛn ,β,h = 1;
n→∞

+
hf i+
β,h = lim hf iΛn ,β,h ≥ 0 quando f ≥ 0;
n→∞

+
+
+
+
+
hf + λgi+
β,h = lim hf + λgiΛn ,β,h = lim hf iΛn ,β,h + λ lim hgiΛn ,β,h = hf iβ,h + λhgiβ,h .
n→∞

n→∞

n→∞

64

Agora, vamos mostrar que esse limite não depende da sequência Λn ↑ Zd . Sejam Λ1n ↑ Zd
+,2
e Λ2n ↑ Zd duas sequências e seus respectivos limites h.i+,1
β,h e h.iβ,h . Queremos mostrar que
+,2
estes limites são iguais, ou seja, hf i+,1
β,h = hf iβ,h para toda função local f .

Seja a nova sequência (∆n )n≥1 definida de maneira que ∆2k−1 ⊂ {Λ1n : n ≥ 1}, ∆2k ⊂
{Λ2n : n ≥ 1} e ∆k+1 6⊂ ∆k . Com isso, observe que ∆n ↑ Zd e pelo resultado anterior,
limk→∞ hf i+
∆k ,β,h existe para toda função local f .





+
Como hf i+
é
uma
subsequência
de
hf
i
e hf i+
1
∆2k−1 ,β,h
∆2k ,β,h k≥1 é uma
Λn ,β,h
k≥1
n≥1


+
subsequência de hf iΛ2n ,β,h
, temos que
n≥1

+,1
+
+
lim hf i+
∆2k−1 ,β,h = lim hf i∆k ,β,h = lim hf iΛ1n ,β,h = hf iβ,h ;

k→∞

n→∞

k→∞

+,2
+
+
lim hf i+
∆2k ,β,h = lim hf i∆k ,β,h = lim hf iΛ2n ,β,h = hf iβ,h ;

k→∞

n→∞

k→∞

+,2
Portanto, hf i+,1
β,h = hf iβ,h para toda função local f .

Por fim, vamos mostrar a invariância por translações. Seja f uma função local qualquer.
Para todo j ∈ Zd , f ◦ θj também é uma função local e θ−j (Λn ) := Λn − j ↑ Zd . Com isso
temos

+
hf i+
Λn ,β,h → hf iβ,h

e

+
hf ◦ θj i+
θ−j (Λn ),β,h → hf ◦ θj iβ,h .

Agora observe que por definição e usando a substituição ω 0 = θj (ω), temos

hf ◦ θj i+
θ−j (Λn ),β,h =

X

f (θj (ω))µ+
θ−j (Λn ),β,h (ω)

ω∈Ωθ−j (Λn )

=

X

+
0
f (ω 0 )µ+
Λn ,β,h (ω ) = hf iΛn ,β,h .

ω 0 ∈ΩΛn
+
Portanto, passando o limite n → ∞ obtemos hf i+
β,h = hf ◦ θj iβ,h e portanto, o estado é

invariante por translações. Com isso, provamos o teorema para o caso de fronteira positiva.
Por fim, vamos mostrar a existência do limite para condição de fronteira negativa. Usando
o Lema 3.3.5, temos que

65

hf i−
Λn ,β,h =

X

fA00 hnA i−
Λn ,β,h .

(3.7)

A⊂supp(f )

Usando o Lema 3.3.7 (sabendo que −nA é não-crescente e não positiva) e o Lema 3.3.8,
temos que

−
−
+
0 ≤ hnA i−
Λ1 ,β,h ≤ hnA iΛ2 ,β,h ≤ ... ≤ hnA iΛn ,β,h ≤ hnA iΛn ,β,h .
+
Sabemos que hnA i+
Λn ,β,h → hnA iβ,h e como toda sequência convergente é limitada, existe

−
L ∈ R tal que hnA i+
≤
L
para
todo
n
≥
1.
Dessa
forma,
hn
i
A
Λn ,β,h
Λn ,β,h n≥1 é uma sequência
−
monótona limitada e, portanto, convergente. Com isso, por 3.6, limn→∞ hf i−
Λn ,β,h = hf iβ,h .

A prova que o limite não depende da sequência Λn ↑ Zd e da invariância por translações é
exatamente a mesma do caso com fronteira positiva, apenas troca-se ”+” por ”−”na escrita.

3.3.4

Diagrama de Fase

−
Observe que o teorema não afirma que os estados h.i+
β,h e h.iβ,h são diferentes ou iguais.

Determinar o conjunto de parâmetros β e h onde os estados de Gibbs são diferentes tem um
papel central no estudo do modelo de Ising. Ou seja, estamos interessados em determinar se
esses dois tipos de estados de Gibbs são os mesmos ou se existem valores de temperatura β e
campo magnético h para os quais a condição de fronteira influencia o limite termodinâmico,
levando a múltiplos estados de Gibbs.

A resposta para esta pergunta depende da dimensão d e dos parâmetros β e h.

Definição 3.3.10. Se pelo menos dois estados de Gibbs distintos podem ser construı́dos
a partir de um par (β, h), nós dizemos que existe uma transição de fase em (β, h).
Agora nós estamos em condição de estabelecer o diagrama de fase do modelo de Ising, ou
seja, um resultado que revele quais as condições e relações entre dimensão d e os parâmetros
β e h definindo as transições de fase.

66

Teorema 3.3.11. (Diagrama de Fase)

1) Para qualquer d ≥ 1, quando h 6= 0, existe um único estado de Gibbs para todo os
valores de β ≥ 0.

2) Para d = 1, existe um único estado de Gibbs para todos os valores de β ≥ 0 e h ∈ R.

3) Quando h = 0 e d ≥ 2, existe βc = β(d) ∈ (0, ∞) tal que:

a) Quando β < βc , o estado de Gibbs em (β, 0) é único.

−
b) Quando β > βc , uma transição de fase ocorre em (β, 0), ou seja, h.i+
β,0 6= h.iβ,0 .

O resultado acima foi enunciado aqui para evidenciar a existência de transição de fase
baseada nos estados de Gibbs obtidos pelo Teorema 3.3.9. Este Teorema apresenta uma
demonstração relativamente extensa e sua prova completa pode ser encontrada em [FV16].

Nesse capı́tulo foram mostradas duas definições de transição de fase para o modelo de
Ising: Por um lado, através da diferenciabilidade da função pressão ψ(β, h) e por outro lado,
através da possibilidade de construção de estados de Gibbs h.iβ,h . Seria razoável se questionar
se estas duas abordagens tem alguma relação. De fato, há uma equivalência entre essas duas
definições de transição de fase:

Proposição 3.3.12. h −→ ψ(β, h) é diferenciável em h se, e somente se, existe um
único estado de Gibbs em (β, h).
Ver [FV16], página 108.

67

3.4

Uma Definição de Entropia Métrica para o Modelo
de Ising com Volume Finito

Sejam Λ ⊂ Zd um subconjunto de volume finito e η uma condição de fronteira. O espaço
ΩηΛ = {−1, 1}Λ tem exatamente 2|Λ| elementos, ou seja, também é um conjunto finito. Como
já vimos, a entropia de um conjunto finito Ω com respeito a uma distribuição µ pode ser
P
definida como S(µ) = − ω∈Ω µ(ω) log(µ(ω)). Usando esta expressão para o espaço ΩηΛ com
a distribuição de Gibbs µηΛ,β,h obtemos S(µηΛ,β,h ). Em cima disso, temos que

S(µηΛ,β,h ) := −

X

µηΛ,β,h (ω) log(µηΛ,β,h (ω))

ω∈ΩηΛ
η
e−HΛ,β,h (ω)
η
)
=−
µΛ,β,h (ω) log(
η
ZΛ,β,h
η
ω∈Ω

X

Λ

=

X

η
η
η
η
µηΛ,β,h (ω)HΛ,β,h
(ω) + log(ZΛ,β,h
) = hHΛ,β,h
iηΛ,β,h + log(ZΛ,β,h
).

ω∈ΩηΛ

Ou seja,
η
S(µηΛ,β,h )
HΛ,β,h
=h
iη
+ ψΛη (β, h).
|Λ|
|Λ| Λ,β,h
Fazendo uma analogia dessa última expressão com o princı́pio variacional num estado de

equilı́brio (que nesse caso seria a distribuição de Gibbs), o número

S(µηΛ,β,h )
faria o papel de
|Λ|

entropia métrica e a pressão do modelo ψΛη (β, h) seria a pressão topológica com o corresponη
−HΛ,β,h
. Devido a motivação dessa analogia, vamos definir a entropia
|Λ|
S(µηΛ,β,h )
do Modelo de Ising com volume finito e condição de fronteira η pelo número hηΛ,β,h := |Λ|
.

dente potencial dado por

De acordo com essa definição, temos que
η
η
HΛ,β,h
HΛ,β,h
η
η
η
|hΛ,β,h | = |h
iΛ,β,h + ψΛ (β, h)| ≤ |h
iηΛ,β,h | + |ψΛη (β, h)|

|Λ|

η
|HΛ,β,h
| η
≤h
i
+ |ψΛη (β, h)| ≤ sup
|Λ| Λ,β,h
ω∈ΩηΛ

|Λ|



η
|HΛ,β,h
(ω)|
|Λ|



+ |ψΛη (β, h)|

68

≤

(2βd + |h|)(|Λ|) log(2|Λ| e(2βd+|h|)|Λ| )
+
= log 2 + 4βd + 2|h|.
|Λ|
|Λ|

Ou seja, para todo β ≥ 0, h ∈ R e Λ ⊂ Zd , a entropia é uma função limitada e vale que

|hηΛ,β,h | ≤ log 2 + 4βd + 2|h|.
Observe que hηΛ,0,0 = ψΛη (0, 0) e nesse caso, para todo Λ ⊂ Zd , temos que hηΛ,0,0 = log 2 =
ψ(0, 0).
Essa noção de entropia definida acima, é válida para o caso de volumes finitos. Nesse contexto, seria razoável definir a entropia do modelo para todo o reticulado Zd como h(β, h) :=
limn→∞

S(µηΛn ,β,h )
.
|Λn |

Uma vez que limΛn ⇑Zd ψΛη n = ψ, para que h(β, h) esteja bem definido é

necessário e suficiente mostrar que limn→∞ h

η
HΛ
n ,β,h η
iΛ,β,h existe.
|Λn |

Observe que dessa maneira,

a entropia seria apenas função dos parâmetros β e h e não terı́amos explicitamente qual
a medida µβ,h que apareceria como limite termodinâmico de µηΛn ,β,h . A entropia métrica e
topológica para dimensões superiores, considerando o reticulado d-dimensional, pode ser desenvolvida de maneira geral estendendo as noções de entropia mostradas no cápitulo 1. Isso
será feito no próximo capı́tulo, no contexto de shifts e subshifts multidimensionais. Neste
cenário geral, será mostrado que em certo sentido a entropia topológica relacionada ao modelo de Ising é igual a log 2.

69

4

Formalismo Termodinâmico para
Ações de Zd

Nesse cápitulo, vamos usar as técnicas e ideias do Formalismo Termodinâmico geral, realizadas no primeiro capı́tulo, para se obter alguns resultados envolvendo ações no reticulado Zd
e, mais particularmente, deslocamentos ou shifts de dimensão finita qualquer d ≥ 1. Seja G o
grupo aditivo Zd . Uma ação de G num conjunto qualquer M é uma aplicação T : G×M → M
tal que T e (x) = x e T a (T b (x)) = T a+b (x) para todos a, b ∈ G e para todo x ∈ M , onde e
é o elemento neutro de G, ou seja, e = (0, 0..., 0) ∈ Zd . É conveniente escrever G como
S
d
reunião de certos conjuntos finitos: G = ∞
n=0 Λn , onde Λn = {−n, ..., −1, 0, 1, ..., n} para
todo n ≥ 1. Em particular, Λ0 = {0}d = {e}. Da mesma forma como feito anteriormente no
texto, |Λ| = cardinalidade de Λ.

4.1

Entropia Topológica de Ações do Grupo Aditivo Zd

Consideramos G = Zd com a topologia discreta. Seja M um subconjunto compacto de
um espaço topológico e seja T : G × M → M uma ação contı́nua de G sobre M . Vamos
definir a entropia topológica de T usando a ideia de definição via coberturas abertas, realizada na Seção 1.2.1. Dada uma cobertura aberta α de M temos que N (α) := min{|γ| :
γ é subcobertura de α} e foi definido o número H(α) := log N (α) (logaritmo na base e) como
a entropia da partição α.

Para cada a ∈ G e cada cobertura aberta α de M , T −a (α) := {T −a (A) : A ∈ α}
é uma outra cobertura aberta de M . Então, para cada conjunto finito Λ ⊂ G, podeW
mos definir αΛ := a∈Λ T −a (α), ou seja, enumerando os vértices de Λ, podemos escrever
αΛ = α ∨ T −a1 (α) ∨ ... ∨ T −a|Λ|−1 (α).

70

Proposição 4.1.1. Sejam α1 , α2 coberturas abertas do espaço topológico M e T :
G × M → M uma ação contı́nua de G sobre M .

a) H(α1 ∨ α2 ) ≤ H(α1 ) + H(α2 ).

b) Se α1 ≺ α2 , então, H(α1 ) ≤ H(α2 ).

c) H(T −a (α1 )) ≤ H(α1 ), para todo a ∈ G.

d) H(α1Λ ) ≤ |Λ|H(α1 ), para todo Λ ⊂ G.

Os itens a) e b) seguem diretamente da Proposição 1.2.3.

c): Seja {A1 , ..., AN (α1 ) } uma subcobertura minimal de α1 . Com isso,
{T −a (A1 ), ..., T −a (AN (α1 ) )} é subcobertura de T −a (α1 ), não necessariamente minimal. Disso,
N (T −a (α1 )) ≤ N (α1 ) e portanto, H(T −a (α1 )) ≤ H(α1 ).

d): Pelos itens anteriores,
H(α1Λ ) = H(α ∨ T −a1 (α1 ) ∨ ... ∨ T −a|Λ|−1 (α1 ))
≤ H(α1 ) + H(T −a1 (α1 )) + ... + H(T −a|Λ|−1 (α1 ))
≤ H(α1 ) + H(α1 ) + ... + H(α1 ) = |Λ|H(α1 ).

Λ

)
≤ H(α), para todo Λ ⊂ G. Assim, definimos a entropia
Com a Proposição 4.1.1, H(α
|Λ|

de T com relação à cobertura α:
1
H(αΛn )
n→∞ |Λn |

h(T, α) := lim

(4.1)

71

Por fim, definimos a entropia da ação T como sendo o número

h(T ) := sup{h(T, α) : α é uma cobertura aberta de M }.

(4.2)

α

A definição acima, só faz sentido se o limite (4.1) existir.

Lema 4.1.2 O limite (4.1) existe.
Observe que quando n ≥ m, temos αΛm ≺ αΛn e pela Proposição 4.1.1, vale que
d

N (αΛm ) ≤ N (αΛn ). Além disso, como |Λnk | ≤ k d |Λn |, afirmamos que N (αΛnk ) ≤ N (αΛn )k ,
Sq−1
para todo inteiro k ≥ 1. De fato, podemos considerar Λn1 = Λn e Λnq = Λnk −( i=1
Λni ) para
W
−a
Λnk
q ≥ 2, sendo todos translações de Λn . Disso, temos que N (α ) = N (( a∈Λn T (α)) ∨ ... ∨
1
W
d
( a∈Λnq )T −a (α)) ≤ N (αΛn )N (αΛn )...N (αΛn ) ≤ (N (αΛn ))k , como querı́amos.

Agora seja m um inteiro positivo fixado. Dado n ≥ m, existe um k inteiro positivo tal
que mk ≤ n ≤ m(k + 1). Temos que |Λn | ≥ |Λmk | e vale que
|Λmk |
=
|Λm |k d



2mk + 1
2mk + k

d


>

2m
2m + 1

d
.

d

Sabemos que N (αΛn ) ≤ N (αΛm(k+1) ) ≤ (N (αΛm ))(k+1) e passando o logaritmo, obtemos
que

H(αΛn ) ≤ H(αΛm(k+1) ) ≤ (k + 1)d H(αΛm )
. Com isso, podemos escrever que
H(αΛn )
(k + 1)d H(αΛm )
(k + 1)d H(αΛm )
≤
≤
|Λn |
|Λmk |
k d |Λm |
.



2m + 1
2m

d

72

Quando n → ∞, temos k → ∞ e obtemos
H(αΛn )
H(αΛm )
lim sup
≤
|Λn |
|Λm |
n→∞



2m + 1
2m

d

para todo m inteiro positivo. Com isso, obtemos que
H(αΛn )
H(αΛm )
≤ lim inf
lim sup
m→∞
|Λn |
|Λm |
n→∞



2m + 1
2m

d

H(αΛm )
= lim inf
m→∞
|Λm |

Λn

)
e segue que o limite limn→∞ H(α
existe.
|Λn |

Lema 4.1.3. Para cada m e para toda cobertura aberta α, temos h(T, αΛm ) = h(T, α).
É fácil ver que se α1 ≺ α2 , então α1Λn ≺ α2Λn e pela Proposição 4.1.1, segue que H(α1Λn ) ≤
H(α2Λn ) para todo n ≥ 1. Dividindo ambos os lados da desigualdade e fazendo n → ∞,
obtemos que h(T, α1 ) ≤ h(T, α2 ). Observe que α ≺ αΛm e, pelo o que acabamos de provar,
segue que h(T, α) ≤ h(T, αΛm ). Agora, basta provar que h(T, α) ≥ h(T, αΛm ) para todo
m. Podemos ver que para todo n ≥ 1, Λm+n = Λn + Λm . Com isso, αΛm+n ⊂ (αΛm )Λn
e segue que (αΛm )Λn ≺ αΛm+n . Mais uma vez usando a proposição 4.1.1, obtemos que
H((αΛm )Λn ) ≤ H(αΛm+n ). Daı́, podemos escrever que
H((αΛm )Λn )
H(αΛm+n )
H(αΛm+n ) |Λm+n |
≤
=
.
|Λn |
|Λn |
|Λm+n | |Λn |
m+n |
Passando o limite quando n → ∞ e sabendo que limn→∞ |Λ|Λ
= 1, obtemos h(T, αΛm ) ≤
n|

h(T, α) para todo m.
Dizemos que uma cobertura aberta α1 de M é geradora topológica se para toda cobertura
aberta α2 de M existe m tal que α2 ≺ α1Λm . O lema a seguir afirma que podemos usar uma
geradora topológica para computar o valor de h(T ).

Lema 4.1.4. Se α1 é uma cobertura geradora topológica, então h(T ) = h(T, α1 ).
Seja α2 uma cobertura aberta de M . Uma vez que α1 é geradora topológica, existe m
tal que α2 ≺ α1Λm . Disso, h(T, α2 ) ≤ h(T, α1Λm ). Pelo Lema 4.1.3, temos que h(T, α1Λm ) =
h(T, α1 ) e com isso, h(T, α2 ) ≤ h(T, α1 ). Como α2 é uma cobertura aberta arbitrária, segue
que h(T ) = supα h(T, α) = h(T, α1 ).

73

4.1.1

Entropia Topológica de Shifts Multidimensionais

Vamos determinar a entropia topológica de shifts e subshifts multidimensionais usando
a definições da seção anterior. Da mesma forma de antes, G = Zd , onde d é um inteiro
positivo. Seja A um conjunto não-vazio finito (ou um alfabeto finito) com a topologia discreta. Consideramos AG com a topologia produto, fazendo de AG um espaço compacto (pelo
Teorema de Tychonoff). Por exemplo, para o Modelo de Ising, A = {−1, 1}. Para cada
conjunto finito Λ ⊂ G e cada x ∈ AG , x|Λ é a restrição de x a Λ e para cada subconjunto
X ⊂ AG , escrevemos X|Λ := {x|Λ; x ∈ X}. Com isso, AΛ := {x|Λ : x ∈ AG }. Para cada
a ∈ AΛ , escrevemos [a] = {x ∈ AG ; x|Λ = a}. Observe que [a] é um conjunto não-vazio,
aberto e fechado na topologia produto e {[a]; a ∈ AΛ } é uma coleção de conjuntos disjuntos
Λn
dois-a-dois e que cobrem AG . Observe ainda que {[a] : a ∈ ∪∞
n=0 A } é a base da topologia

produto de AG .
Um shift multidimensional de G sobre AG é a ação σ : G × AG → AG dada por
σ b (xa ) = xa+b , para todo a, b ∈ G e x ∈ AG . Nesse contexto, o par (AG , σ) é chamado
full shift. A cobertura aberta canônica de AG é α = {[a]; a ∈ AΛ0 } = {[a] : a0 ∈ A}, onde
Λ0 = {0}d . Para cada conjunto finito Λ ⊂ G, temos que αΛ = {[a]; a ∈ AΛ }. Baseado nisso,
podemos calcular a entropia topológica do full shift.

Lema 4.1.5. A cobertura aberta canônica α = {[a] : a0 ∈ A} é uma cobertura geradora
topológica de AG .
seja γ uma cobertura aberta de AG . Uma vez que AG é compacto, γ admite uma
subcobertura finita γ 0 , ou seja, γ 0 = ∪qj=1 Bj . Os conjuntos dessa cobertura são da forma
Bj = {x ∈ AG : X|Cj = a}, onde Cj é um subconjunto qualquer de Zd . Seja m suficientemente grande para que Cj ⊂ Λm para todo j = 1, 2, ..., q. Com isso, para todo
U = {x ∈ AG : x|Λm = a} ∈ αΛm , temos U ⊂ Bj ∈ γ. De fato, γ ≺ αΛm e portanto α é
geradora topológica de AG .
Proposição 4.1.6. h(σ) = log |A|.
Pelo Lema 4.1.5, α é uma cobertura geradora topológica de AG . Para todo n ≥ 1,
N (αΛn ) = |αΛn | = |A||Λn | . Disso, H(αΛn ) = log N (αΛn ) = |Λn | log |A|, para todo n ≥ 1.
Λn

)
Logo, h(σ, α) = limn→∞ H(α
= log |A| e portanto, pelo Lema 4.1.3, segue que h(σ) =
|Λn |

74

h(σ, α) = log |A|.
Um conjunto X ⊂ AG é invariante pelo shift se σ b (x) ∈ X para todo b ∈ G e todo x ∈ X.
Um conjunto X ⊂ AG fechado e invariante pelo shift é chamado de subshift. Agora, estamos
olhando para o sistema (X, σ|G×X ), ou seja, para o full shift agindo no conjunto X. Também
é possı́vel obter a entropia h(X) do subshift X, como mostrado na próxima proposição.

Proposição 4.1.7. h(X) := h(σ|G×X ) = limn→∞

log |X|Λn |
.
|Λn |

Observe que para todo n ≥ 1, αΛn = {[a] : a ∈ X|Λn } é uma cobertura aberta disjunta de X. Com isso, N (αΛn ) = |X|Λn | para todo n ≥ 1. Como α é uma cobertura
Λn )

geradora topológica, pelo Lema 4.1.3, temos que h(X) = h(σ|G×X , α) = limn→∞ log N|Λ(α
n|
limn→∞

=

log |X|Λn |
.
|Λn |

No caso do Modelo de Ising que estudamos no capı́tulo 3, temos A = {−1, 1} com o
shift de dimensão d. Dessa forma, pela Proposição 4.1.6, temos que a entropia topológica do
fullshift no modelo de Ising é log 2.

Exemplo: Hard Square.

Seja A = {1, ..., k} um alfabeto finito e seja B = (Bi,j ) uma matriz quadrada de dimensão
k, cujos coeficientes tomam apenas os valores 0 ou 1 e tal que nenhuma linha ou coluna é
identicamente nula. A esse tipo de matriz chamamos de matriz de transição. Considere o
subconjunto ΣB ⊂ AZ das sequências que são B-admissı́veis, ou seja, tais que Bxn ,xn+1 = 1
para todo n ∈ Z. Observe que ΣB é invariante pelo shift σ : AZ → AZ . Note também que
ΣB é fechado em AZ e, portanto, ΣB é um compacto. Denotamos por σB : ΣB → ΣB o
subshift bilateral de tipo finito associado à matriz de transição B. É útil associar à matriz de
transição A um grafo GB := {(a, b) ∈ B × B : Ba,b = 1}, ou seja, GB é o grafo cujos vértices
são os pontos de A e, dessa forma, Bi,j = 1 quando há um aresta de i para j e Bi,j = 0 caso
contrário. Um resultado conhecido nesse contexto é o seguinte:

Proposição 4.1.8. A entropia topológica de um subshift bilateral de tipo finito σB :

75

ΣB → ΣB é dada por h(σB ) = log λB , onde λB é o maior autovalor da matriz de transição
B.
Ver [OV15], página 316.
O Golden Mean Shift ou Hard Square de dimensão 1 é um subshift em {0, 1}Z consistindo
de todas as sequências bilaterais que não contêm 1 seguido de 1, ou seja, não é permitido
que se apareça o padrão {11}. Podemos verificar que a sua matriz de transição é dada por
"
B=

1 1

#
.

1 0
√

O maior autovalor dessa matriz é o número de ouro, dada por λB = 1+2 5 . Portanto, sua
√

entropia topológica é h(σB ) = log 1+2 5 .

Agora, considere o modelo de Ising de dimensão 2. Seja o conjunto de todas as configurações no reticulado inteiro tal que não seja permitido que se apareça dois spins σ = −1
consecutivos em nenhuma das direções. Qual seria a entropia topológica desse subshift? Este
exemplo é equivalente ao exemplo do hard-square de dimensão 2.

2

O hard square de dimensão 2, é o subconjunto do reticulado {0, 1}Z onde não é permitido que se tenha 1 em vértices consecutivos em nenhuma das direções. Mesmo sendo
um exemplo bastante simples (alfabeto com apenas dois sı́mbolos e dimensão d =2) não se
sabe exatamente qual é sua entropia topológica ([Pav10]). Esse assunto é bastante estudado
e tenta-se aproximar e caracterizar números que são entropia topológica de algum subshift
multidimensional como é visto em [HM10].

4.2

Entropia Métrica de Ações do Grupo Aditivo Zd

Seja (M, µ) um espaço de probabilidade. Dizemos que a ação T : G × M → M preserva a
medida µ quando µ(T −a (P )) = µ(P ), para cada a ∈ G e para todo subconjunto mensurável
P ⊂ M . Já vimos no capı́tulo 1 que dada uma partição P de M , a sua entropia é dada
P
por Hµ (P) = − P ∈P µ(P ) log µ(P ). Além disso, para quaisquer partições P e Q vale que

76

Hµ (P ∨ Q) ≤ Hµ (P) + Hµ (Q). Agora, para cada a ∈ G e para cada partição P de M ,
P a := T −a (P) := {T −a (P ); P ∈ P} é uma nova partição de M . Disso, dado qualquer
W
Λ ⊂ G, podemos definir a partição P Λ = a∈Λ P a . Como T preserva a medida µ, temos que
Hµ (T −a (P)) = Hµ (P) para toda partição P e todo a ∈ G. Em cima disso,

Hµ (P Λ ) = Hµ (

_

P a ) = Hµ (P ∨ T −a1 (P) ∨ ... ∨ T −a|Λ|−1 (P))

a∈Λ

≤ Hµ (P) + Hµ (T −a1 (P)) + ... + Hµ (T −a|Λ|−1 (P)) ≤ |Λ|Hµ (P).
Com isso, definimos a entropia de T com relação à medida µ e à partição P por
Hµ (P Λn )
hµ (T, P) := lim
.
n→∞
|Λn |

(4.3)

E por fim, definimos a entropia de T com relação à medida µ como sendo o número
hµ (T ) := sup{hµ (T, P); P é partição mensurável de M }.

(4.4)

P

Para que a entropia métrica esteja bem definida, o limite (4.3) deve existir.

Lema 4.2.1. O limite (4.3) existe. A demonstração é idêntica à realizada para o Lema
4.1.2. Basta apenas notar que Hµ (P Λm ) ≤ Hµ (P Λn ) para todo m ≤ n e que Hµ (P Λnk ) ≤
k d Hµ (P Λn ) para todo k ≥ 1.

4.2.1

Entropia Métrica de Shifts Multidimensionais

Sejam d um inteiro positivo, G = Zd , A um alfabeto finito e X ⊂ AG um subshift. Uma
medida µ em X é invariante pelo shift σ : G×AG → AG quando µ(σ −a (P )) = µ(P ) para todo
boreliano P ⊂ X e todo a ∈ G. Um conjunto P ⊂ X é invariante quando σ −a (P ) ⊂ P para
todo a ∈ G. O sistema X, σ, µ é chamado de ergódico se para todo subconjunto invariante
mensurável P ⊂ X temos que µ(P ) = 0 ou µ(P ) = 1. Nesses caso, escrevemos

hµ (X, P) := hµ (σ|G×X , P)

77

e, consequentemente,

hµ (X) := sup hµ (X, P).
P

Como foi feito para o caso de entropia topológica, pode se mostrar que hµ (X) = hµ (X, P),
onde P é a partição mensurável canônica de X, dada por P = {[a] ∩ X; a ∈ A} (ver [Sim17]).

Nesse contexto de shifts multidimensionais também há um Princı́pio Variacional conectando a entropia topológica e entropia métrica.

Teorema 4.2.2. (Princı́pio Variacional para Shifts Multidimensionais). Para qualquer
subshift X ⊂ AG temos que h(X) = supµ hµ (X), onde o supremo é tomado sobre o conjunto
das medidas de probabilidade invariantes e ergódicas em X.
Ver [Mis76].
Uma pergunta que surge naturalmente: quantas medidas de entropia máxima podem
existir para um subshift? Veremos a seguir que a resposta para essa pergunta depende da
dimensão do shift.

4.3

Unicidade de Medidas de Máxima Entropia para
Shifts de Tipo Finito

Pelo seguinte resultado temos que em dimensão 1 há apenas uma única medida que maximiza a entropia métrica.

Teorema 4.3.1 Sejam A = {1, 2, ..., k − 1} um alfabeto finito, Σ = AZ e σ : Σ → Σ o
fullshift bilateral. Então σ tem uma única medida com máxima entropia.
Sabemos que h(σ) = log k. Suponha hµ (σ) = log k. Seja P = {P0 , ..., Pk−1 } uma partição
geradora (Pj = {(xn )n≥1 : x0 = j}). Então

78

n−1
_
1
1
log k = hµ (σ) ≤ Hµ (
σ −j (P)) ≤ n.Hµ (P) = log k.
n
n
j=0
W
Wn−1 −j
−j
n
Disso, temos que Hµ ( n−1
j=0 σ (P)) = log k , o que implica que cada membro de ( j=0 σ (P))

tem medida k1 . Portanto, µ é a medida de Bernoulli uniforme com µ(Pj ) = k1 para todo j.
Teorema 4.3.2 Seja σ : ΣB → ΣB um subshift de tipo finito unidimensional bilateral
associado à uma matriz de transição irredutı́vel B. Então existe uma única medida de máxima
entropia.
Ver [Wa82].
A unicidade não é garantida para qualquer subshift de dimensão d ≥ 2. Para justificar
essa afirmação, vamos introduzir um dos exemplos de não unicidade devido à Robert Burton
e Jeffrey Steif em [BS94].

Exemplo (Modelo de Ising generalizado). Seja L um inteiro positivo e seja o conjunto de sı́mbolos dado por A = {−L, −L + 1, ..., −1, 0, 1, ..., L − 1, L}. Considere o fullshift
d

d

como AZ e defina o subshift X ⊂ AZ como o conjunto de todas configurações que não
apresentam dois spins de mesmo sinal como vizinhos próximos, a não ser que sejam o +1 e
-1. Observe que este exemplo se reduz ao Modelo de Ising quando L = 1.

Teorema 4.3.3 (Burton, Steiff, 1994) Considere o subshift X do exemplo acima e seja
d ≥ 2. Se L > 4e28d , então existem exatamente duas medidas ergódicas de máxima entropia.
Ver [BS94].

79

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