Dissertação
Dissertação - Leon.pdf
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Universidade Federal de Alagoas
Instituto de Matemática
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Dissertação de Mestrado
A Desigualdade de Loewner com Defeito Isosistólico
Leon Cavalcante Lima
Maceió, Brasil
29 de Maio de 2017
Leon Cavalcante Lima
A Desigualdade de Loewner com Defeito Isosistólico
Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida à banca examinadora, designada pelo
Programa de Mestrado em Matemática da
Universidade Federal de Alagoas, como parte
dos requisitos necessários à obtenção do grau
de mestre em Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório
Maceió
2017
A Desigualdade de Loewner com Defeito Isosistólico
Leon Cavalcante Lima
Dissertação de Mestrado, na área de concentração de Geometria Diferencial submetida em 29 de maio de 2017 à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em
Matemática.
Aos meus irmão, amigos e a memória dos meus
pais.
Agradecimentos
- Primeiramente a Deus, pois sem Ele nada disso se tornaria possı́vel.
- Ao professor Dr. Feliciano Vitório por sua paciência, incentivo, pelos cursos ministrados
e principalmente por entender o verdadeiro significado da palavra orientação.
- Ao professor Dr. Márcio Henrique Batista pela confiança, pelo excelente curso de
Análise Funcional, ministrado no verão, e por ter me orientado durante o primeiro ano
de mestrado.
- Aos meus professores da graduação do IFAL, campus Maceió, pelo conhecimento transmitido. Em especial, aos professores M.a Regina Maria de Oliveira Brasileiro e Ms.
Arlyson Alves do Nascimento, por terem acreditado em mim desde o começo.
- A professora Dra Elisa Cañete Molero pela oportunidade de assistir alguns cursos como
ouvinte antes de entrar no mestrado e por sua carta de recomendação.
- Aos professores Dr. Isnaldo Isaac , Dr. Gregório Manoel, Dr. Marcos Petrúcio, Dra
Maria de Andrade, Dr. Luis Guillermo, Dr. Hong Minh Troung, Dr. Ali Golmakani,
Dr. Peter Petrov e ao grande mestre Francisco Vieira Barros (Chico Potiguar).
- Aos secretários da pós graduação, Ewerton Roosevelt e Ana Maria pela competência e
por todo o apoio ao londo dessa jornada.
- Aos amigos da graduação, mestrado e doutorado com os quais eu pude conviver todo
esse perı́odo do mestrado. Em especial, agradeço a Maria Ranilze da Silva e ao Ms.
Robson dos Santos por todo o companheirismo e dúvidas retiradas com muita paciência.
- A minha namorada Maria Renata, pelo incentivo, carinho, companheirismo e paciência
durante esses dois anos.
- Aos meus irmão, Laı́s, Levi, Liny, Leyr e Lara por acreditar na minha escolha; amo
todos vocês.
- Aos membros da banca, Heudson Mirandola(UFRJ) e Cı́cero Tiarlos(UFAL), por todas
as sugestões bem vindas.
- A CAPES pelo suporte financeiro durante a realização deste trabalho.
Resumo
O grande objetivo deste trabalho é estudar a desigualdade de Loewner no toro com
defeito isosistólico. A grande motivação de Loewner para ir em busca dessa desigualdade
vem justamente da desigualdade de Bonnesen a qual é um fortalecimento da desigualdade
isoperimétrica.
Palavras-chave: Desigualdade de Loewner no Toro, Variância, Sı́stole, Defeito Isosistólico,
Projeção Biaxial.
Abstract
The objective of this paper is study the Loewner’s torus inequality with isosystolic defect. Loewner’s great motivation to pursue this inequality comes precisely from Bonnesen’s
inequality to which is a strengthening of isoperimetric inequality.
Keywords: Loewner’s torus inequality, variance, systole, isosystolic defect, biaxial
projection.
Sumário
Introdução
p. 7
1 Preliminares
p. 10
1.1
Esperança e Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 10
1.2
Teorema da Uniformização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 11
2 A Desigualdade de Loewner com Defeito Isosistólico
p. 13
2.1
Variância, o Primeiro Mı́nimo Sucessivo e a Constante de Hermite . . . . .
p. 13
2.2
Os Inteiros de Eisenstein e o Domı́nio Fundamental Padrão . . . . . . . . .
p. 14
2.3
A Desigualdade de Loewner no Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 16
2.4
Primeira Forma Fundamental e Superfı́cies de Revolução . . . . . . . . . .
p. 18
2.5
Um Segundo Defeito Isosistólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 20
2.6
A Projeção Biaxial e o Segundo Defeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 22
Referências
p. 26
7
Introdução
O grande objetivo deste trabalho é estudar a desigualdade de Loewner no toro com
defeito isosistólico. A grande motivação de Loewner para ir à busca dessa desigualdade vem
justamente da desigualdade de Bonnesen
L2 − 4πA ≥ π 2 (R − r)2 ,
(1)
onde A é a área da região limitada por uma curva de Jordan fechada de comprimento L no
plano, R é o raio da circunferência circunscrita na região limitada e r é o raio da circunferência
inscrita. O termo do lado direito da desigualdade (1) é tradicionalmente referido como o
defeito isoperimétrico. A desigualdade de Bonnesen é um fortalecimento da desigualdade
isoperimétrica
L2 − 4πA ≥ 0.
Neste trabalho, iremos apresentar um fortalecimento da desigualdade de Loewner
√
3
(sys (g))2 ≥ 0,
area (g) −
2
2
onde sys (g) é a sı́stole do toro (T , g), isto é, o menor comprimento de uma curva não
homotópica a zero no toro (T2 , g).
Figura 1: Sı́stole
8
No capı́tulo 1 introduzimos alguns conceitos que serão utilizados ao longo de todo o
trabalho, tais como o conceito de esperança de uma função e o conceito de variância de uma
função. Também neste capı́tulo falaremos do teorema da uniformização, que é de importância
vital para o nosso estudo.
Na seção 2.1, capı́tulo 2, iniciamos com dois conceitos fundamentais para a prova da
desigualdade de Loewner. O primeiro é a definição do primeiro mı́nimo sucessivo, λ1 (L, k k),
de um reticulado de posto máximo L contido em um espaço de Banach de dimensão finita
(B, k k). O primeiro mı́nimo sucessivo é o menor comprimento dos elementos não nulos de
L, ou seja,
λ1 (L, k k) = inf {kvk ; v ∈ L − {0}} .
Também nesta seção definimos a constante de Hermite, γb pela seguinte relação
√
γb = sup
(
λ1 (L)
)
b
,
1 ;L ⊆ R ,k k
(vol (Rb /L)) b
onde o supremo é calculado sobre todos os reticulados L em Rb com norma euclidiana k k.
Iniciaremos a seção 2.2 definindo o reticulado dos inteiros de Eisenstein como sendo o
reticulado, em C, gerado pelos elementos 1 e a raiz sexta primitiva da unidade. Feito isto,
definimos os inteiros de Eisenstein como sendo o conjunto dos vértices da malha obtida
através da seguinte construção: Primeiro construı́mos um triângulo equilátero em C cujos
√
vértices são 0, 1 e 21 + i 23 , depois refletimos esse triângulo para todos os lados formando uma
malha (ver Figura 2.1). Finalizamos essa seção provando o Lema 2.2.1, o qual afirma que,
se b = 2, então a constante de Hermite é γ2 = √23 .
Na seção 2.3 provaremos, Teorema 2.3.1, que cada métrica g no toro satisfaz a seguinte
desigualdade
area (g) − σ 2 (sys (g))2 ≥ V ar (f ) ,
onde f é o fator conforme da métrica g com respeito a métrica plana de área unitária g0 .
√
Com esse teorema, e através da relação σ 2 ≥ 23 , obtemos um fortalecimento da desigualdade
de Loewner para o toro, que é conhecida como a desigualdade com defeito isosistólico:
9
√
3
(sys (g))2 ≥ V ar (f ) .
area (g) −
2
Já na seção 2.5 trataremos de um segundo defeito isosistólico. Provaremos aqui a seguinte
desigualdade
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
1
|f0 |21 ,
4
onde f0 = f − m e m é o valor da esperança de f .
Por fim falaremos na seção 2.6 da projeção biaxial e o segundo defeito. Mais precisamente,
consideramos um fator conforme arbitrário f > 0 em R2 /Z2 e decompomos f na soma
f (x, y) = E (f ) + gf (x) + hf (y) + kf (x, y) ,
de modo que as funções gf e hf tenham média zero, e kf tenha média zero ao longo de cada
intervalo unitário horizontal ou vertical. A projeção biaxial PBA (f ) é definida pela seguinte
relação
PBA (f ) = gf (x) + hf (y) .
E a segunda desigualdade é dada pelo
Teorema 2.6.1. Na classe conforme da unidade quadrada do toro, a métrica f 2 ds2
definida pelo fator conforme f (x, y) > 0, satisfaz a seguinte versão da desigualdade de
Loewner no toro com o segundo defeito:
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
1
|PBA (f )|21 .
16
Se f depende somente de uma das variáveis, então a desigualdade pode ser fortalecida por:
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
1
|PBA (f )|21 .
4
10
1
Preliminares
1.1
Esperança e Variância
Dada uma variável aleatória f definimos a esperança de f pondo
Z
f µ,
Eµ (f ) =
D
onde µ é a medida de probabilidade.
A variância de f é definida em termos da esperança pela relação
V ar (f ) = Eµ (f − m)2 ,
onde m = Eµ (f ) é a esperança de f .
Uma vez que
E (f − m)2
= E f 2 − 2mf + m2
= E f 2 − 2mE (f ) + m2
= E f 2 − 2m2 + m2
= E f 2 − (E (f ))2
podemos escrever
V ar (f ) = E f 2 − (E (f ))2
(1.1)
11
1.2
Teorema da Uniformização
Iremos, agora, apresentar um teorema muito importante na demonstração da desigualdade de Loewner.
Diremos que um grupo G opera em um conjunto M se existe uma aplicação
G × M −→ M
(g, x) 7−→ gx
tal que
ex = x e (g1 g2 ) x = g1 (g2 x)
onde e = identidade de G, x ∈ M e g1 , g2 ∈ G. A órbita de um ponto x ∈ M é o conjunto
Gx = {gx; g ∈ G} .
O conjunto de todas as órbitas é indicado por M/G; existe uma projeção natural π : M −→
M/G dada por π (x) = Gx. Quando M tem alguma estrutura adicional, é conveniente
considerar G como um grupo de isomorfismos da estrutura considerada.
Se M é um espaço topológico, dizemos que um grupo G opera de modo propriamente
descontı́nuo se todo x ∈ M possui uma vizinhança U tal que g (U ) ∩ U = ∅, para todo
g ∈ G, g 6= e. Neste caso, a projeção π : M −→ M/G é uma aplicação de recobrimento
regular e G é o grupo das transformações de recobrimento.
Figura 2: Ação Descontı́nua
12
Considere agora uma variedade Riemannian M e seja Γ um subgrupo do grupo das
isometrias de M que opera de modo propriamente descontı́nuo. Sabemos que M/Γ tem
uma estrutura de variedade diferenciável na qual π : M −→ M/Γ é um difeomorfismo
local. Podemos, além disto, dar a M/Γ uma métrica Riemmaniana de modo que π seja
−1
−1
uma isometria local basta definir hu, viq = hdπ (u) , dπ (v)iπ−1 (q) . Essa métrica será
chamada a métrica em M/Γ induzida pelo recobrimento π. Observe que M/Γ é completa se,
e somente se, M é completa e que M/Γ tem curvatura constante se, e somente se, M tem
curvatura constante. Tomando M = Rn , concluı́mos que Rn /Γ é uma variedade completa de
curvatura constante K = 0.
Teorema 1.2.1. Seja M uma variedade Riemanniana completa com curvatura seccional
constante K = 0. Então M é isométrica a Rn /Γ, onde Γ é o subgrupo do grupo das isometrias
de Rn que opera de modo propriamente descontı́nuo em Rn , e a métrica de Rn /Γ é a induzida
pelo recobrimento π : Rn → Rn /Γ.
Demonstração. Considere o recobrimento universal p : Rn → M , e tome em Rn a métrica
do recobrimento, isto é, a métrica tal que p seja uma isometria local. Seja Γ o grupo das
transformações de recobrimento de p. Então Γ é um subgrupo do grupo das isometrias de Rn
e opera de maneira propriamente descontı́nua em Rn . Dessa forma, podemos introduzir em
Rn /Γ a métrica Riemanniana induzida por π : Rn → Rn /Γ. Uma vez que o recobrimento p é
regular, temos que se x̃, ỹ ∈ Rn então p (x̃) = p (ỹ) se, e somente se, Γx̃ = Γỹ o que ocorre se,
e somente se, π (x̃) = π (ỹ). As classes de equivalências dadas por p e π em Rn são, portanto,
as mesmas, o que induz uma bijeção ξ : M → Rn /Γ tal que π = ξ ◦ p.
Figura 3: Composição de Isometrias
Como π e p são isometrias locais, ξ também o é, e, sendo uma bijeção, é uma isometria
de M sobre Rn /Γ.
13
2
A Desigualdade de Loewner com
Defeito Isosistólico
2.1
Variância, o Primeiro Mı́nimo Sucessivo e a Constante de Hermite
A prova da desigualdade com defeito isosistólico é uma fórmula familiar para a variância
de uma variável aleatória em termos da esperança. Vimos em (1.1) que
V ar (f ) = Eµ (f − m)2 = Eµ f 2 − (Eµ (f ))2 ,
(2.1)
onde f é a variável aleatória, µ é a medida de probabilidade e m = Eµ (f ) é a esperança.
Consideramos agora a métrica plana g0 de área unitária no 2−toro T2 , a métrica conforme
g = f 2 g0 para um plano, com fator conforme f (x, y) > 0, e a nova medida f 2 µ. Então nós
temos que
Eµ f
2
Z
=
f 2 µ = area (g) .
T2
Da equação (2.1) temos que
area (g) − (Eµ (f ))2 = V ar (f ) .
(2.2)
Seja B um espaço vetorial de Banach com dimensão finita, ou seja, um espaço vetorial
com norma k k. Seja L ⊂ (B, k k) um reticulado de posto máximo, isto é, satisfazendo a
igualdade posto (L) = dim (B).
Definição 2.1.1. O primeiro mı́nimo sucessivo de L, denotado por λ1 (L, k k), é o menor
14
comprimento dos elementos não nulos de L. Em outras palavras
λ1 (L, k k) = inf {kvk ; v ∈ L − {0}} .
(2.3)
Definição 2.1.2. Seja b ∈ N. A constante de Hermite γb é definida pela seguinte fórmula
√
γb = sup
(
λ1 (L)
)
,
1 ;L ⊆ R ,k k
b
(2.4)
(vol (Rb /L)) b
onde o supremo é calculado sobre todos os reticulados L em Rb com a norma Euclidiana k k.
Quando o supremo é realizado em L0 dizemos que L0 é um reticulado crı́tico.
2.2
Os Inteiros de Eisenstein e o Domı́nio Fundamental
Padrão
Definição 2.2.1. O reticulado dos inteiros de Eisenstein é o reticulado em C gerado pelos
elementos 1 e a raiz sexta primitiva da unidade.
Para visualizar esse reticulado, iniciamos com um triângulo equilátero em C cujos vértices
√
são 0, 1 e 12 + i 23 , e construı́mos uma espécie de malha em todo o plano refletido o triângulo
para todos os lados.
Figura 4: Malha dos Inteiros de Eisenstein
Os inteiros de Eisenstein são, por definição, o conjunto dos vértices da malha acima.
15
2
Lema 2.2.1. Quando b = 2 a constante de Hermite assume o seguinte valor: γ2 = √ .
3
Demonstração. Considere a malha L ⊂ R2 . Sabemos que L é homotético a uma malha
gerada pelo par
{τ, 1} ,
onde τ encontra-se no feixo do domı́nio fundamental padrão
D=
1
z ∈ C; |z| > 1, |Re (z)| < , Im (z) > 0 ,
2
por uma ação do grupo P SL (2, Z) na metade superior do plano de C.
Figura 5: Domı́nio Fundamental Padrão
√
Observe que a parte imaginária satisfaz a desigualdade Im (z) ≥ 23 , umas vez que
s
√
2
p
3
1
2
2
2
+y ≥ x +y ≥1⇒y ≥
,
2
2
π
2π
e a igualdade é possı́vel em dois casos: quando τ1 = ei 3 ou τ2 = ei 3 .
Finalmente, nós calculamos a área do paralelogramo em C gerado por τ e 1.
(2.5)
16
Figura 6: Paralelogramo Gerado por 1 e τ
Uma vez que o paralelogramo tem base b = 1 e altura h = Im (z) temos que area (C/L) =
Im (z), daı́
√
area (C/L)
3
= Im (z) ≥
2
2
λ1 (L)
2
de onde concluı́mos a igualdade γ2 = √ .
3
2.3
A Desigualdade de Loewner no Toro
Agora, iremos demonstrar a desigualdade de Loewner no toro com a métrica g = f 2 g0 ,
utilizando para isto a fórmula para a variância.
Considere a parte imaginária Im (τ ) e o conjunto
σ 2 := Im (τ ) > 0.
√
Do domı́nio fundamental segue-se que σ 2 ≥ 23 , onde a igualdade ocorre se, e somente se, τ
é a raiz cúbica ou raiz sexta da unidade. Desde que g0 é assumido com área unitária, a base
do grupo das transformações de recobrimento pode ser formada por
−1
σ τ, σ −1 ,
17
onde Im (σ −1 τ ) = σ. Feitas as observações temos o
Teorema 2.3.1. Cada métrica g no toro satisfaz a desigualdade
area (g) − σ 2 sys (g)2 ≥ V ar (f ) ,
(2.6)
onde f é o fator conforme da métrica g com respeito a métrica plana de área unitária g0 .
Demonstração. Com as observações vistas acima, vemos que o toro plano é formado por um
feixe de geodésicas fechadas horizontais, denotadas por γy = γy (x), cada uma de comprimento
σ −1 , onde a largura do feixe é igual a σ, ou seja, o parâmetro y varia no intervalo [0, σ], com
γσ = γ0 .
Figura 7: Toro
Pelo Teorema de Fubini, nós obtemos
Z σ
Z
Eµ (f ) =
!
f (x) dx dy
0
γy
Z σ
=
length (γy ) dy
0
≥ σsys (g) .
Substituindo esse resultado em (2.2) obtemos a desigualdade
area (g) − σ 2 sys (g)2 ≥ V ar (f ) ,
onde f é o fator conforme da métrica g com respeito a métrica da unidade de área g0 .
18
√
Uma vez que σ 2 ≥ 23 , nós obtemos que, em particular, uma fortalecimento da desigualdade de Loewner para o toro que é conhecida como desigualdade com defeito isosistólico:
√
area (g) −
3
sys (g)2 ≥ V ar (f ) ,
2
(2.7)
que foi relatada na introdução.
Corolário 2.3.1. Se τ é um imaginário puro, então a métrica g = f 2 g0 satisfaz a desigualdade
area (g) − sys (g)2 ≥ V ar (f ) .
Demonstração. Observe que se τ é um imaginário puro, então σ ≥ 1 e a desigualdade segue
de (2.6)
2.4
Primeira Forma Fundamental e Superfı́cies de Revolução
Nesta seção estamos interessados nas superfı́cies de revolução e na construção de coordenadas isotérmicas em tal superfı́cie. Sabemos que a primeira forma fundamental de uma
superfı́cie parametrizada regular x = (u1 , u2 ) em R3 é uma forma bilinear no plano tangente definido pela restrição do produto interno ambiente h·, ·i. Agora, com respeito a base
∂x
{x1 , x2 }, onde xi = ∂u
i , a primeira forma fundamental é dada por uma matriz (gij )2×2 , onde
gij = hxi , xj i são os coeficientes métricos.
No caso especial de uma superfı́cies de revolução, é comum utilizar a notação u1 = θ e
u2 = ϕ. Para construir uma superfı́cie de revolução tomamos inicialmente uma curva C no
plano xz, parametrizada por uma par de funções x = f (ϕ) e y = g (ϕ), onde podemos supor
que f (ϕ) > 0. A superfı́cie de revolução em torno do eixo z definida por C é o conjunto
S ⊂ R3 obtido ao girarmos a curva C em torno do eixo z.
Uma parametrização para essa superfı́cie é dada por:
x (f (ϕ) cos θ, f (ϕ) sen θ, g (ϕ)) .
19
Daı́, nós obtemos a primeira forma fundamental
(gij ) =
f2
0
0
df
dϕ
2
+
dg
dϕ
(2.8)
2
Figura 8: Uma superfı́cie de revolução
Lema 2.4.1. Para uma superfı́cie de revolução obtida de uma parametrização de velocidade
unitária da curva de geração (f (ϕ) , g (ϕ)), temos que a matriz da primeira forma fundamental e dada por:
(gij ) =
f2 0
0
!
.
1
Demonstração. Uma vez que a parametrização tem velocidade unitária temos que
2
dg
= 1, daı́ usando (2.8) temos o resultado desejado.
dϕ
df
dϕ
2
+
O lema abaixo expressa a métrica de uma superfı́cie de revolução em coordenadas isotérmicas.
Lema 2.4.2. Seja (f (ϕ) , g (ϕ)) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco que
gera uma superfı́cie de revolução, com f (ϕ) > 0. Então, a mudança de variável
Z
dϕ
ψ=
f (ϕ)
produz uma nova parametrização, em termos das variáveis θ, ψ, com relação a qual a primeira
forma fundamental é dada pela matriz escalar (gij ) = (f 2 δij ).
Demonstração. Considere ϕ = ϕ (ψ), daı́ pela regra da cadeia temos que
df
df dϕ
=
.
dψ
dϕ dψ
(2.9)
20
Utiziando a primeira forma fundamental (2.8) e impondo a condição g11 = g22 obtemos a
seguinte equação
df
dϕ
2
df dϕ
dϕ dψ
2
2
2
f =
+
dg
dϕ
2
,
onde, por (2.9) obtemos
2
f =
+
dg dϕ
dϕ dψ
2
,
ou seja,
2
f =
df
dϕ
+
dg
dϕ
2 !
dϕ
dψ
2
.
(2.10)
Como a curva é parametrizada pelo comprimento de arco a equação (2.10) se reduz a
R
dϕ
f = dψ
ou ψ = fdϕ
. Substituindo ϕ por ψ, obtemos uma parametrização da superfı́cie de
(ϕ)
revolução em coordenadas (θ, ψ), tal que (2.8) se torna a matriz escalar (gij ) = (f 2 δij ).
Corolário 2.4.1. Considere um toro de revolução em R3 formado pela rotação de uma curva
de Jordan C com parametrização (f (ϕ) , g (ϕ)) de velocidade unitária, onde ϕ ∈ [0, L], e L
é o comprimento total da curva fechada. Então, o toro é equivalente em conformidade a um
toro plano definido por um reticulado retangular
aZ ⊕ bZ,
onde a = 2π e b =
2.5
R L dϕ
0 f (ϕ)
.
Um Segundo Defeito Isosistólico
Utilizando a notação da seção 2.2 iremos assumir, por simplicidade, que τ = i.
Lema 2.5.1. Seja h uma função contı́nua com média zero no intervalo [0, 1]. Em termos da
norma de L1 , temos a seguinte limitação:
21
Z 1
(h − minh ) ≥
0
1
|h| .
2 1
Demonstração. Considere P ⊂ [0, 1] como o conjunto onde a função h é positiva. Dessa
forma, temos que
Z
|h|1 =
Z
|h| = 2
h.
P
Uma vez que a função h tem média zero em [0, 1], temos que minh ≤ 0, daı́
Z 1
Z
Z
(h − minh ) ≥
(h − minh ) ≥
P
P
0
h=
1
|h| ,
2 1
como querı́amos demonstrar.
Considere o toro (R2 /Z2 , ds2 ) , onde ds2 = dx2 + dy 2 , coberto pelo plano (x, y).
Teorema 2.5.1. Se o fator conforme f para uma métrica g = f 2 ds2 em R2 /Z2 somente
depende de uma das duas variáveis, então g satisfaz a seguinte desigualdade:
2
1
area (g) − V ar (f ) ≥ sys (g) + |f0 |1 ,
2
(2.11)
onde f0 = f − m e m é o valor da esperança de f .
Demonstração. Suponha, sem perda de generalidade, que f depende somente de y. Seja y0
o ponto onde o mı́nimo de f = f (y) é atingido. Temos que
Z 1
Z 1
f (x, y0 ) dx =
0
minf dx = minf
0
Tal intervalo parametriza um laço não homotópico a zero no toro e nós obtemos
sys (g) = minf .
22
Pelo Lema 2.5.1, para f0 = f − E (f ), onde f é o fator conforme, temos que
Z 1
Z 1
(f0 − minf0 ) ≥
(f − minf ) =
E (f ) − sys (g) =
0
0
1
|f0 |1
2
(2.12)
Daı́
2
1
(E (f )) ≥ sys (g) + |f0 |1
2
2
Uma vez que area (g) − (E (f ))2 = V ar (f ) segue
2
1
area (g) − V ar (f ) ≥ sys (g) + |f0 |1 .
2
A desigualdade (2.11) lembra a desigualdade de Loewner no toro. Podemos reescrever
essa desigualdade do seguinte modo:
1
|f0 |21 ,
4
daı́, em particular, obtemos uma desigualdade onde o segundo membro não depende da
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) + sys (g) |f0 |1 +
sı́stole:
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
2.6
1
|f0 |21 .
4
A Projeção Biaxial e o Segundo Defeito
Agora, iremos considerar um fator conforme arbitrário f > 0 em R2 /Z2 . Podemos
decompor f na soma
f (x, y) = E (f ) + gf (x) + hf (y) + kf (x, y) ,
de modo que as funções gf e hf tenham média zero, e kf tenha média zero ao longo de cada
intervalo unitário horizontal ou vertical. Assim, definimos a projeção biaxial PBA (f ) pela
seguinte relação
23
PBA (f ) = gf (x) + hf (y) .
Teorema 2.6.1. Na classe conforme da unidade quadrada do toro, a métrica f 2 ds2 definida
pelo fator conforme f (x, y) > 0, satisfaz a seguinte versão da desigualdade de Loewner no
toro com o segundo defeito:
1
|PBA (f )|21 .
16
Se f depende somente de uma das variáveis, então a desigualdade pode ser fortalecida por:
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
area (g) − (sys (g))2 ≥ V ar (f ) +
1
|PBA (f )|21 .
4
Demonstração. Uma vez que PBA (f ) = gf (x) + hf (y) temos, pela desigualdade triângular
que
|PBA (f )|1 ≤ |gf (x)|1 + |hf (y)|1 .
Devido à simetria dos dois eixos coordenados, podemos assumir, sem perda de generalidade, que
|hf (y)|1 ≥
1
|PBA (f )|1 .
2
Agora, definimos a função f pondo
f (y) = E (f ) + hf (y) .
Uma vez que
Z 1
E (f ) + hf (y) =
(E (f ) + hf (y)) dx
0
Z 1
(f (x, y) − gf (x) − kf (x, y)) dx
=
0
Z 1
=
f (x, y) dx
0
(2.13)
24
podemos escrever
Z 1
f (x, y) dx
f (y) =
0
Como f é a média de uma função positiva temos que f > 0.
Note que
Z 1
f (x, y) dx − E (f ) = hf .
f0 = f − E f =
0
Uma vez que f0 tem média zero podemos aplicar o Lema 2.5.1 a f0 obtendo
Z
Z
1
f0 − minf0 ≥ f0 1
2
f − minf =
Como f0 = hf , temos de (2.13) que
Z
1
1
1
f − minf ≥ f0 1 = |hf |1 ≥ |PBA (f )|1 .
2
2
4
2
Agora iremos fazer uma comparação entre as métricas f ds2 e f 2 ds2 . Considere y0 o
ponto onde a função f atinge o seu mı́nimo. Então,
Z 1
2
2
sys f ds = minf =
f (x, y0 ) dx ≥ sys f 2 ds2 .
(2.14)
0
2
De (2.12) aplicado a métrica f ds2 temos que
2 1
E (f ) = E f ≥ sys f ds2 + f0 1 .
2
Assim, usando (2.14) e (2.15) em (2.2) temos
(2.15)
25
area f 2 ds2 − V ar (f ) = (E (f ))2
2
2 1
2
≥
sys f ds + |PBA (f )|1
4
2
1
2
2
≥
sys f ds + |PBA (f )|1 .
4
26
Referências
1 Horowitz, C., Katz, M., Katz, K.: Loewner’s Torus Inequality with Isosystolic Defect.
2 Berger, M.: Lectures on Geodesics Riemannian Geometry, Spriger, 2003.
3 DeGroot, M., Shervish, M.: Probability and Statistics, Pearson, 2002.
4 Do Carmo, M. P. Geometria Diferencial das Curvas e Superfı́cies. 2a ed. Rio de Janeiro:
Textos Universitários, SBM, 2005-2006.
5 Do Carmo, M. P. Geometria Riemanniana, 3a ed., Projeto Euclides, IMPA, Rio de
Janeiro, 2005.
