Dissertação
A desigualdade de Michael e Simon em subvariedades do espaço euclidiano_Ranilze.pdf
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
A DESIGUALDADE DE MICHAEL E SIMON EM SUBVARIEDADES DO
ESPAÇO EUCLIDIANO
MARIA RANILZE DA SILVA
Maceió
Maio de 2017
MARIA RANILZE DA SILVA
A DESIGUALDADE DE MICHAEL E SIMON EM SUBVARIEDADES DO
ESPAÇO EUCLIDIANO
Dissertação de Mestrado na área de Geometria Diferencial, submetida à banca examinadora, designada pelo Programa de Mestrado
em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestra em Matemática.
Orientador:
Prof. Dr. Feliciano Marcı́lio Aguiar Vitório
Maceió
2017
Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale
S586d Silva, Maria Ranilze da.
A desigualdade de Michael e Simon em subvariedades do espaço
euclidiano / Maria Ranilze da Silva. - 2017.
41 f.
Orientador: Feliciano Marcílio Aguiar vitório.
Dissertação (mestrado em Matemática) - Universidade Federal de
Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2017.
Bibliografia: f. 41
1 Matemática - Estudo e ensino. 2. Desigualdade de Sobolev. 3. Funções
(Matemática) - Subharmônicas. 4. Subvariedades euclidianas. I. Título.
CDU: 514.76
A Deus
e a meus pais.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por mais essa conquista!
Aos meus irmãos Ranilson, pela forte frase que me disse num momento que eu precisava
muito, e Ranilton, por se orgulhar das minhas conquistas. Aos meus pais pelo apoio. Amo
vocês!
Ao meu orientador, Prof. Feliciano Vitório, pela dedicação e paciência e, acima de tudo,
por enxergar que eu poderia ir além e me dar a honra de trabalhar com ele.
A Karenn Melo por me ouvir sempre que precisava desabafar sobre as dificuldades do
curso e pelas palavras de encorajamento. A Ana Maria e Ewerton Roosevelt, secretários da
pós-graduação, pela atenção e conselhos dados durante o curso.
Ao Leon Lima que foi como um irmão, esteve presente em todos os momentos do curso,
tanto bons como ruins, um amigo que o mestrado me deu e vou levar pra vida toda!
Aos professores, em especial ao Prof. Isnaldo, e aos colegas Myrla, Robson, Iury, entre
outros, que se colocaram à disposição e tiveram paciência em tirar minhas dúvidas.
A todos os amigos da graduação, mestrado e doutorado que nos primeiros momentos
do mestrado tiveram a preocupação em demonstrar que estavam felizes comigo, me fazendo
acreditar que não estava sozinha; e aos que estiveram dando apoio até o último momento do
curso.
Aos avaliadores, Prof. Jorge Lira e Prof. Carlos Gonçalves que separaram um pouco do
seu tempo para dividir comigo esse momento tão importante e pelas sugestões dadas.
A CAPES pelo apoio financeiro durante todo o mestrado.
Às vezes as palavras não conseguem expressar quão grata sou a todos que, direta ou
indiretamente, contribuı́ram para a realização deste sonho, mas saibam que levarei para
sempre essa gratidão em meu peito! Obrigada!
“Agrada-te do Senhor, e ele satisfará os desejos do teu coração”.
(Salmos 37:4)
Resumo
Neste trabalho apresentaremos uma desigualdade geral de Sobolev. Estabelecida por
Michael e Simon, essa desigualdade é obtida em subvariedades generalizadas do espaço euclidiano. Um caso especial desse resultado é a desigualdade clássica de Sobolev. Provaremos
também uma desigualdade do valor médio para funções subharmônicas.
Palavras chave: Subvariedades; desigualdade de Sobolev; funções subharmônicas.
Abstract
In this work we will prove a general Sobolev inequality. Established for Michael and
Simon, this inequality is obtained on the generalized manifolds of the euclidian space. A
special case of the result is the ordinary Sobolev inequality. We proved too a mean-value
inequality for subharmonic functions.
Keywords: Submanifolds; Sobolev inequality; subharmonic functions.
Sumário
Introdução
p. 11
1 Preliminares
p. 12
1.1
Tensor Métrico e Gradiente Tangencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 12
1.2
Área da superfı́cie de uma subvariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 16
1.3
Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p. 17
1.3.1
Vetor tangente e vetor curvatura de uma curva . . . . . . . . . . . .
p. 17
1.3.2
Segunda forma fundamental, curvatura normal e curvatura média .
p. 18
2 Desigualdades de Michael e Simon
p. 22
2.1
A desigualdade de Sobolev em subvariedades do Rn . . . . . . . . . . . . .
p. 22
2.2
Uma Desigualdade do Valor Médio para Funções Subharmônicas . . . . . .
p. 33
Referências
p. 41
11
Introdução
As desigualdades de Sobolev desempenham um papel muito importante na teoria das
Equações Diferenciais Parciais. Sua forma clássica afirma que
“Dados 1 ≤ p < n e p∗ tais que p∗ =
Z
p∗
np
, existe uma constante C = Cn (p) tal que
n−p
|ϕ| dσ
1∗
Z
p
≤C
p
1/p
|∇ϕ| dσ
para toda função ϕ ∈ C 1 (Rn ) com suporte compacto.”
Em 1967, Miranda (em [6]) obteve uma desigualdade de Sobolev para gráficos mı́nimos.
No primeiro capı́tulo introduzimos alguns conceitos de geometria diferencial, mais especificamente de subvariedades do Rn , que serão utilizados no desenvolvimento deste trabalho.
No segundo capı́tulo deste trabalho apresentaremos, no teorema 2.1.1, uma desigualdade
geral de Sobolev estabelecida por Michael e Simon, essa desigualdade é obtida em subvariedades generalizadas do espaço euclidiano. Um caso especial desse resultado é a desigualdade
clássica de Sobolev.
Inspirados nesse resultado, Hoffman e Spruck em [3] provaram uma desigualdade de Sobolev e uma desigualdade isoperimétrica para subvariedades M de uma variedade riemanniana
M satisfazendo restrições geométricas envolvendo o volume de M e a curvatura seccional e o
raio de injetividade de M . Simon em [7] discute a aplicação da desigualdade geral de Sobolev
(em subvariedades do espaço euclidiano) para o problema de estimativas do gradiente limitado
para equações elı́pticas quase-lineares. Em [4], Medeiros prova uma desigualdade de Michael
e Simon em variedades ponderadas, isto é, em variedades da forma Mf = (M, g, dvf ), onde
(M, g) é uma variedade riemanniana, f : M → R é uma função suave em M , e dvf = e−f dv
é a medida ponderada, onde dv denota a medida riemanniana em (M, g).
Concluı́mos o segundo capı́tulo com a discussão de uma desigualdade do valor médio para
funções fracamente sub-harmônicas descrita no teorema 2.2.1.
12
1
Preliminares
Neste capı́tulo veremos alguns fatos da geometria diferencial, mais especificamente sobre subvariedades do Rn , que são requisitos necessários para a compreensão do resultado
principal.
1.1
Tensor Métrico e Gradiente Tangencial
Definição 1.1.1 Seja n ≥ m ≥ 1. Um conjunto M ⊂ Rn é uma subvariedade m−dimensional
de classe C 2 de Rn se dado um ponto x0 ∈ M existem conjuntos abertos D ⊂ Rm , Ω ⊂ Rm
e uma aplicação C 2
x:
D −→ Ω
t = (t1 , ..., tm ) 7−→ x(t) = (x1 (t), ..., xn (t))
tal que
x0 ∈ Ω ∩ M = x(D),
∂x
(t), i = 1, ..., m, são linearmente independentes para cada t ∈ D.
∂ti
A aplicação x é chamada uma parametrização de M em x0 e o espaço vetorial gerado por
∂x
(t), i = 1, ..., m, onde x(t0 ) = x0 , é chamado o espaço tangente Tx0 M de M em x0 .
∂ti
e tal que os vetores
Definição 1.1.2 Seja n ≥ m ≥ 1. Dada uma subvariedade m−dimensional M ⊂ Rn de
classe C 2 , a primeira forma fundamental ou tensor métrico de M é a função de valores na
matriz (gij )i,j=1,...,m definida para t ∈ D por
n
∂x(t) ∂x(t) X ∂xk (t) ∂xk (t)
gij (t) =
·
=
·
.
∂ti
∂tj
∂ti
∂tj
k=1
13
É fácil ver que dado x0 = x(t0 ) ∈ M a relação
g(v, w) =
m
X
gij (t0 )vi wj ,
(1.1)
i,j=1
m
X
∂x
∂x
(t0 ) e w =
(t0 ) são dois vetores arbitrários de Tx0 M, define um
wj
∂t
∂t
i
j
j=1
i=1
produto interno. Além disso, g não depende da parametrização x. Usando um abuso de
onde v =
m
X
vi
notação, também escreveremos g = det(gij ), enquanto (g ij ) = (gij )−1 denota a matriz inversa
de (gij ).
Graças a métrica g, podemos facilmente calcular a projeção ortogonal (com respeito ao
produto interno usual) de um vetor em Rn no espaço tangente Tx0 M .
Proposição 1.1.1 Seja n ≥ m ≥ 1. Dada uma subvariedade m−dimensional M ⊂ Rn de
e 0 ) = (g̃ ij (x0 ))i,j=1,...,n definida por
classe C 2 e um ponto x0 = x(t0 ) ∈ M, a matriz G(x
ij
g̃ (x0 ) =
m
X
g rs (t0 )
r,s=1
∂xi (t0 ) ∂xj (t0 )
·
∂tr
∂ts
representa a projeção ortogonal em Tx0 M na base canônica de Rn , isto é,
v,
∀v ∈ Tx0 M,
e
G(x0 ).v =
0,
∀v ∈ (T M )⊥ .
x0
Em particular, ∀x ∈ M ,
n
X
g̃ ii (x) = m,
i=1
0≤
n
X
g̃ ij (x)vi vj ≤ |v|2 ,
∀v = (v1 , ..., vn ) ∈ Rn
g̃ ij (x) = g̃ ji (x),
∀i, j = 1, ..., n.
i,j=1
Demonstração. Para todo v ∈ Tx0 M, temos que v =
n
X
i=1
e 0 ).v =
G(x
n
X
i=1
vi
∂x
.
∂ti
vi
∂x
. Assim,
∂ti
(1.2)
14
Fazendo o produto interno com
e 0 )v, ∂x
G(x
∂ts
=
∂x
, obtemos
∂ts
* m
X
∂x ∂x
vi ,
∂ti ∂ts
i=1
+
=
m
X
vi
i=1
∂x ∂x
,
∂ti ∂ts
=
m
X
vi gis .
i=1
Multiplicando por g rs , obtemos
g
rs
e 0 )v, ∂x
G(x
∂ts
=
n
X
vi gis g rs .
i=1
Somando em s,
m
X
X
m
n
X
∂x
rs
e
G(x0 )v,
g
=
vi gis g =
vi δir = vr .
∂ts
s=1
i,s=1
i=1
rs
Substituindo em (1.2), teremos
!
∂x
∂x
e 0 ).v =
e 0 )v,
G(x
g
G(x
∂ts
∂tr
r=1
s=1
m
X
∂x ∂x
g rs v,
=
∂ts ∂tr
r,s=1
n
m
X
∂x X ∂xi
rs
g
=
v,
· ei .
∂t
∂t
s
r
r,s=1
i=1
m
m
X
X
rs
Assim, na base canônica do Rn , temos
e 0 ).ej =
G(x
n X
m
X
g
rs
i=1 r,s=1
∂x
ej ,
∂ts
n X
m
X
∂xi
∂xj ∂xi
· ei =
g rs
· ei .
∂tr
∂t
∂t
s
r
i=1 r,s=1
e 0 ) é representada por
Portanto, na base canônica do Rn , a matriz G(x
ij
g̃ (x0 ) =
m
X
g rs (t0 )
r,s=1
∂xj (t0 ) ∂xi (t0 )
·
.
∂ts
∂tr
Em particular, temos
n
X
n X
m
X
m
n
X
X
∂xi (t) ∂xi (t)
∂xi (t) ∂xi (t)
rs
g (t)
g̃ (x) =
·
=
g (t)
·
∂ts
∂tr
∂ts
∂tr
r,s=1
i=1
i=1 r,s=1
i=1
ii
=
m
X
r,s=1
rs
rs
g (t).gsr (t) =
m
X
r,s=1
δrs =
m
X
r=1
δrr = m.
(1.3)
15
Observe que
Pn
i,j=1 g̃
0≤
ij
e 0 ).v com v, assim
(x)vi vj é o produto interno de G(x
n
X
e 0 ).v, vi ≤ |G(x
e 0 ).v||v| ≤ |v||v| = |v|2 .
g̃ ij (x)vi vj = hG(x
i,j=1
Agora, usando a matriz de projeção, podemos definir o gradiente tangencial como a
projeção do gradiente sobre o espaço tangente.
Proposição 1.1.2 Seja n ≥ m ≥ 1. Dados uma subvariedade m−dimensional M ⊂ Rn de
classe C 2 , um ponto x0 = x(t0 ) ∈ M, um conjunto aberto Ω ⊂ Rn , com x0 ∈ Ω, e uma função
ϕ ∈ C 1 (Ω, R). O gradiente tangencial de ϕ em x0 é definido como a projeção ortogonal de
∇ϕ em Tx0 M. E, temos
e 0 ).∇ϕ(x0 ) =
∇T ϕ(x0 ) := G(x
!
∂ϕ
∂x
g rs (t0 ) (t0 )
(t0 ).
∂t
∂t
s
r
s=1
m
m
X
X
r=1
Demonstração. Sabemos que o gradiente pode ser escrito como ∇ϕ(x0 ) =
onde {ei }i=1,...,n é a base canônica de Rn . Assim, por (1.3),
e 0 ).∇ϕ(x0 ) = G(x
e 0) ·
∇T ϕ(x0 ) = G(x
n
X
∂ϕ
k=1
=
=
=
=
n
X
∂ϕ
∂xk
k=1
n
X
∂ϕ
(x0 )
n X
m
X
g rs
i=1 r,s=1
g rs
k,i=1 r,s=1
m
X
rs ∂ϕ
r,s=1
(x0 )ek
e 0 )ek
(x0 ).G(x
∂xk
k=1
n X
m
X
g
∂xk
!
∂ts
∂xk
∂xi
(t0 )
(t0 ) · ei
∂ts
∂tr
∂ϕ
∂xk
∂xi
(x0 )
(t0 )
(t0 ) · ei
∂xk
∂ts
∂tr
(t0 )
∂x
(t0 ).
∂tr
n
X
∂ϕ
∂xk
k=1
(x0 )ek ,
16
1.2
Área da superfı́cie de uma subvariedade
Seja x : D ⊂ Rm −→ Ω uma parametrização de uma subvariedade m−dimensional
M ⊂ Rn de classe C 2 . Dado um subdomı́nio ω ⊂⊂ D suavemente limitado, a imagem de ω
em M tem área m-dimensional igual a
Z
Z
dσ =
x(ω)
√
g dt1 ...dtm .
ω
Usando a partição da unidade, podemos usar a fórmula acima para calcular a integral
sobre M de uma função que é contı́nua em uma vizinhança de M.
A seguinte propriedade elementar do elemento de área será útil na sequência.
Lema 1.2.1 Seja 1 ≤ m ≤ n. Seja M uma subvariedade m−dimensional de classe C 2 do
√
espaço euclidiano Rn e denote por dσ = g dt1 ...dtm o elemento de volume. Seja ωm a
medida de Lebesgue da bola unitária em Rm . Então, para todo x0 ∈ M ,
lim+
ρ→0
σ(Sρ (x0 ))
= ωm
ρm
onde
Sρ (x0 ) = {x ∈ M : |x − x0 | ≤ ρ}.
Demonstração. Seja x uma parametrização de M em x0 = x(t0 ). Pela fórmula de
Taylor,
x(t) = x0 +
m
X
(t − t0 )i
i=1
∂x
(t0 ) + o(|t − t0 |).
∂ti
(1.4)
Suponhamos, sem perda de generalidade, que a base canônica de Rm é ortonormal para o
produto interno g(t0 ), isto é, existem λ1 , ..., λm > 0 tais que gij (t0 ) = λi δij . Assim, usando
(1.4), obtemos
2
|x − x0 |
=
=
=
m
X
(t − t0 )i
i,j=1
m
X
i,j=1
m
X
∂x
∂x
(t0 )(t − t0 )j
(t0 ) + o(|t − t0 |2 )
∂ti
∂tj
gij (t0 )(t − t0 )i (t − t0 )j + o(|t − t0 |2 )
λi (t − t0 )2i + o(|t − t0 |2 ).
i=1
17
Agora, dado ε > 0, deduzimos que para ρ suficientemente pequeno, temos
(
)
m
X
t ∈ Rm :
λi (t − t0 )2i ≤ (1 − ε)ρ2
⊂ x−1 (Sρ (x0 ))
i=1
(
)
m
X
⊂
t ∈ Rm :
λi (t − t0 )2i ≤ (1 + ε)ρ2 .
i=1
√
Assim, usando a mudança de variáveis si =
σ(Sρ (x0 ))
=
lim+
ρ→0
ρm
R
Sρ (x0 )
ρm
lim+
ρ→0
R
=
{t :
lim
Pm
2
2
i=1 λi (t−t0 )i ≤ρ }
ρm
{t :
lim
ρ→0+
R
=
dσ
ρ→0+
R
=
λi (t − t0 )i , i = 1, ..., m, obtemos
lim
Pm
2
2
i=1 λi (t−t0 )i ≤ρ }
√
g dt1 ...dtm
√
λ1 ...λm dt1 ...dtm
ρm
P
ds1 ...dsm
{s : m s2 ≤ρ2 }
i=1 i
ρm
ρ→0+
= ωm .
1.3
Curvatura
1.3.1
Vetor tangente e vetor curvatura de uma curva
Uma curva regular em uma subvariedade M é uma aplicação x : I = (α, β) → M de
0
classe C 1 tal que |x (τ )| > 0, ∀ τ ∈ I. Denote por t1 (τ ), ..., tm (τ ) as coordenadas de x(τ ) em
alguma parametrização de M. Então,
0
|x (τ )|2 =
m
X
0
i,j=1
e o comprimento da curva x(τ ) é dado por
Z β
0
|x (τ )| dτ.
L=
α
0
gij ti (τ )tj (τ )
18
Agora, seja s(τ ) =
Rτ
α
0
|x (τ )| dτ . Então, sendo a curva x(τ ) regular, a aplicação s : (α, β) →
(0, L) é invertı́vel. s é chamado o parâmetro de comprimento de arco e a aplicação
(0, L) → Rn
s
7→ x(τ (s)),
onde τ (s) é a aplicação inversa de s(τ ), a parametrização da curva pelo comprimento de arco.
O vetor tangente unitário da curva é dado por
T =
dx
x0 (τ )
= 0
ds
s (τ )
e o vetor curvatura
d2 x
dT
= 2.
ds
ds
dT
2
Note que |T | = 1 ⇒ T · ds = 0, isto é, o vetor tangente unitário é ortogonal ao vetor
K=
curvatura.
1.3.2
Segunda forma fundamental, curvatura normal e curvatura
média
Dados uma subvariedade M e um ponto x0 ∈ M , o complemento ortogonal do espaço
tangente Nx0 (M ) = (Tx0 (M ))⊥ é chamado o Espaço Normal de M em x0 .
Dada uma curva regular x(s) parametrizada pelo comprimento de arco, os vetores tangente e curvatura podem ser escritos nas coordenadas de uma parametrização na forma:
m
dx X dti ∂x
=
ds
ds ∂ti
i=1
e
m
m
d2 x X d2 ti ∂x X dti dtj ∂ 2 x
=
+
.
ds2
ds2 ∂ti i,j=1 ds ds ∂ti ∂tj
i=1
Tomando um vetor normal N ∈ Nx0 M , obtemos
m
X
d2 x
∂ 2x
dti dtj
·
N
=
·
N
,
ds2
∂ti ∂tj
ds ds
i,j=1
que pode ser visto como uma forma quadrática agindo sobre o vetor T = dx
, essa forma
ds
19
quadrática é chamada a segunda forma fundamental de M com respeito ao vetor normal N e
∂x
é representada na base ∂t
de Tx0 M pela matriz
i
∂ 2x
· N.
Bij = Bij (N ) =
∂ti ∂tj
Essa matriz também pode ser expressa como
Bij = −
∂N
· τj ,
∂τi
∂x
onde τi = ∂t
. De fato,
i
n
n
n
n
X
X
∂Nk ∂xk X
∂xk
∂Nk ∂xl ∂xk X ∂Nk ∂xk
∂N ∂x
∂N
· τj =
=
(∇Nk · τi )
=
=
=
·
,
∂τi
∂τ
∂t
∂x
∂t
∂t
∂t
i ∂tj
j
l ∂ti ∂tj
i ∂tj
i
j
k=1
k=1
k,l=1
k=1
enquanto
0=
∂
∂N ∂x
∂ 2x
∂N ∂x
(N · τj ) =
·
+N ·
=
·
+ Bij ,
∂ti
∂ti ∂tj
∂tj ∂ti
∂ti ∂tj
pois N.τj = 0, o que implica que
Bij = −
∂N ∂x
∂N
·
=−
· τj .
∂ti ∂tj
∂τi
Sendo T = dx/ds, a segunda forma fundamental calculada em T, isto é,
k(N, T ) =
d2 x
·N
ds2
é chamada a curvatura normal de M na direção de T com respeito a N.
Tome uma base ortonormal de Tx0 M e seja (Bij ) a matriz da segunda forma fundamental
nesta base. Então, os autovalores ki = ki (N ), i = 1, ..., m de (Bij ) são chamados as curvaturas
principais de M com respeito ao normal N. A média aritmética deles
H(N ) =
k1 (N ) + · · · + km (N )
m
é a curvatura média de M com respeito a N. Como H(N ) é linear em N, existe um único
20
vetor H ∈ Nx0 M tal que
H(N ) = H · N.
H é chamado vetor curvatura média.
Observação 1.3.1 Não havendo problemas de confusão usaremos simplesmente ∇ϕ para
representar o gradiente tangencial de ϕ.
Proposição 1.3.1 Seja x : D ⊂ Rm −→ Ω uma parametrização de uma subvariedade
m−dimensional M ⊂ Rn de classe C 2 . Então, o vetor curvatura média de M satisfaz
H = ∆M x.
Demonstração. Vamos mostrar a igualdade nas coordenadas. Dado um campo X ∈ χ(M ),
temos que Xxi = Xhx, ei i = hX, ei i = hX, eTi i, daı́ ∇xi = eTi . Assim,
∆M xi = divM ∇xi = divM eTi
X
X
=
h∇vj eTi , vj i =
hDvj eTi , vj i
j
j
X
X
=
hDvj (ei − e⊥
hDvj e⊥
i ), vj i = −
i , vj i
j
j
X
⊥
= −
(vj he⊥
i , vj i − hei , Dvj vj i)
j
X
X
he⊥
=
he⊥
i , Dvj vj i =
i , ∇vj vj + α(vj , vj )i
j
j
X
⊥
=
he⊥
i , α(vj , vj )i = hei , Hi = hei , Hi = Hi
j
Como consequência imediata da proposição 1.3.1, obtemos o seguinte lema:
Lema 1.3.1 Seja 1 ≤ m ≤ n. Seja x : D ⊂ Rm −→ Ω uma parametrização de uma
subvariedade m−dimensional M ⊂ Rn de classe C 2 . Então, para toda ϕ ∈ Cc1 (Ω), temos
Z
(∇ϕ + Hϕ) dσ = 0.
M
21
Demonstração. Pela Proposição anterior, temos Hi = divM eTi . Multiplicando por ϕ e
integrando, obtemos
Z
Z
Z
Z
T
T
h∇ϕ, eTi i dσ
divM (ϕei ) dσ −
Hi ϕ dσ =
ϕdivM ei dσ =
M
M
ZM
ZM
T
T
hϕei , νi dσ −
h∇ϕ, ei i dσ
=
∂M
M Z
Z
h∇ϕ, ei i dσ
= −
h∇ϕ, eTi i dσ = −
M
M
22
2
Desigualdades de Michael e
Simon
Nesta capı́tulo apresentaremos a desigualdade de Sobolev em subvariedades do Rn e uma
desigualdade do valor médio para funções subharmônicas.
2.1
A desigualdade de Sobolev em subvariedades do Rn
O Teorema a seguir é o resultado principal deste trabalho.
Teorema 2.1.1 (Michael e Simon) Seja 1 ≤ m ≤ n. Sejam x : D ⊂ Rm −→ Ω uma
parametrização de uma subvariedade m−dimensional M ⊂ Rn de classe C 2 e U um conjunto
aberto contido em M. Para todo p ∈ [1, m), existe uma constante C = C(m, p) > 0 tal que
para todo ϕ ∈ Cc1 (U ),
Z
p∗
p1∗
|ϕ| dσ
"Z
M
onde
|∇ϕ|p dσ
≤C
M
1/p
Z
+
|Hϕ|p dσ
1/p #
,
(2.1)
M
1
1
1
= − , H é a curvatura média de M e ∇ϕ é o gradiente tangencial.
∗
p
p m
Para demonstrar esse teorema usaremos os lemas a seguir.
Lema 2.1.1 Suponha que λ ∈ C 1 (R) é uma função não-decrescente tal que λ(t) = 0 para
t ≤ 0. Seja ϕ ∈ Cc1 (U ), ϕ ≥ 0. Seja x0 ∈ M , defina ϕx0 , ψx0 ∈ C 1 (0, +∞) por
Z
ϕx0 (ρ) =
ϕ(x)λ(ρ − r) dσ(x)
M
e
Z
[|∇T ϕ(x)| + |H|ϕ(x)]λ(ρ − r) dσ(x),
ψx0 (ρ) =
M
23
onde r = |x − x0 |. Então,
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
≤
ψx0 (ρ)
,
ρm
para todo ρ > 0.
Demonstração. Observe que no lema 1.3.1, temos a igualdade em cada coordenada,
assim tomando a função
ψ = (x − x0 )i λ(ρ − r)ϕ,
temos
Z
Z
δi [(x − x0 )i λ(ρ − r)ϕ] dσ = −
M
Hi (x − x0 )i λ(ρ − r)ϕ dσ,
M
onde δi , Hi são as componentes de ∇, H na base canônica de Rn . Somando em i, ficamos
com
Z X
n
Z
λ(ρ − r)ϕ
δi [(x − x0 )i λ(ρ − r)ϕ] dσ = −
M
M i=1
n
X
Hi (x − x0 )i dσ.
i=1
Agora, precisamos encontrar a i-ésima coordenada de ∇ψ. Temos
0
∇ψ = λ(ρ − r)ϕ∇(x − x0 )i + (x − x0 )i ϕλ (ρ − r)∇(ρ − r) + (x − x0 )i λ(ρ − r)∇ϕ.
Pela proposição 1.1.2, temos
∇(x − x0 )i =
=
m
X
g rs
r,s=1
n X
m
X
∂
∂x
(x − x0 )i
∂ts
∂tr
g
i=1 r,s=1
∇(ρ − r) =
n X
m
X
i=1 r,s=1
n X
m
X
g rs
rs ∂xi ∂xi
∂ts ∂tr
ei =
n
X
g̃ ii ei ,
i=1
∂
∂xi
(ρ − |x − x0 |)
ei
∂ts
∂tr
n
X
∂
∂xj ∂xi
=
g
(ρ − |x − x0 |)
ei
∂xj
∂ts ∂tr
i=1 r,s=1
j=1
n X
m
X
(x − x0 )j ∂xj ∂xi
rs
ei
=
g
−
|x − x0 | ∂ts ∂tr
i,j=1 r,s=1
= −
rs
n
X
(x − x0 )j
|x − x0 |
i,j=1
ji
g̃ ei = −
n
X
(x − x0 )j
i,j=1
r
g̃ ji ei
(2.2)
24
e
∇ϕ =
n
X
δi ϕ.ei .
i=1
Assim, para cada i,
n
X
(x − x0 )j
0
ii
δi ψ = λ(ρ − r)ϕ.g̃ − (x − x0 )i ϕλ (ρ − r)
j=1
r
g̃ ji + (x − x0 )i λ(ρ − r)δi ϕ
Somando em i e usando a proposição 1.1.1, temos
n
X
δi ψ = λ(ρ − r)ϕ.
i=1
n
X
0
ii
g̃ − ϕrλ (ρ − r)
i=1
+
n
X
(x − x0 )i (x − x0 )j
r
i,j=1
r
g̃ ji +
n
X
(x − x0 )i λ(ρ − r)δi ϕ
i=1
n
X
|x − x0 |2
≥ mλ(ρ − r)ϕ − ϕrλ (ρ − r)
+ λ(ρ − r)
(x − x0 )i δi ϕ
r2
i=1
0
0
= mλ(ρ − r)ϕ − ϕrλ (ρ − r) + λ(ρ − r)
n
X
(x − x0 )i δi ϕ
i=1
Substituindo na equação (2.2),
Z
λ(ρ − r)ϕ
−
M
n
X
Z
Z
M
M
i=1
Z
λ(ρ − r)
+
0
rϕλ (ρ − r) dσ +
λ(ρ − r)ϕ dσ −
Hi (x − x0 )i dσ ≥ m
M
n
X
(x − x0 )i δi ϕ dσ,
i=1
daı́,
Z
mϕx0 (ρ) −
Z
0
rϕλ (ρ − r) dσ ≤ −
λ(ρ − r)ϕ
M
M
Z
−
λ(ρ − r)
M
n
X
Hi (x − x0 )i dσ −
i=1
n
X
(x − x0 )i δi ϕ dσ
i=1
Z
= −
λ(ρ − r)ϕhH, x − x0 i dσ −
ZM
−
Z
λ(ρ − r)hx − x0 , ∇ϕi dσ
M
≤
λ(ρ − r)ϕ|hH, x − x0 i| dσ
MZ
λ(ρ − r)|hx − x0 , ∇ϕi| dσ
+
M
25
Z
Z
0
mϕx0 (ρ) −
rϕλ (ρ − r) dσ ≤
λ(ρ − r)ϕ|H||x − x0 | dσ +
M
MZ
λ(ρ − r)|x − x0 ||∇ϕ| dσ
+
Z
M
rλ(ρ − r)(|∇ϕ| + |H|ϕ) dσ.
=
M
0
Como λ(ρ − r) ≥ 0 e λ (ρ − r) ≥ 0 (pois λ(t) é não-decrescente), para r ≤ ρ, temos que
0
0
rλ(ρ − r) ≤ ρλ(ρ − r) e rλ (ρ − r) ≤ ρλ (ρ − r).
(2.3)
Para r ≥ ρ, temos λ(ρ − r) = 0, e as desigualdades (2.3) seguem trivialmente. Com isso,
obtemos
Z
Z
0
ρλ(ρ − r)(|∇ϕ| + |H|ϕ) dσ,
ρϕλ (ρ − r) dσ ≤
mϕx0 (ρ) −
M
M
isto é,
0
mϕx0 (ρ) − ρϕx0 (ρ) ≤ ρψx0 (ρ).
Logo,
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
1
=
ρ
0
mϕx0 (ρ) ρϕx0 (ρ)
−
ρm
ρm
!
1
≤
ρ
ρψx0 (ρ)
ρm
=
ψx0 (ρ)
.
ρm
Lema 2.1.2 Sejam ϕ como no Lema 2.1.1 e x0 ∈ M tal que ϕ(x0 ) ≥ 1. Defina ϕx0 , ψ x0 em
(0, +∞) por
Z
ϕx0 (ρ) =
ϕ(x) dσ(x)
Sρ (x0 )
e
Z
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)] dσ(x),
ψ x0 (ρ) =
Sρ (x0 )
R
1
−1
onde Sρ (x0 ) = {x ∈ M : |x − x0 | ≤ ρ}. Então, existe ρ tal que 0 < ρ < 2[ωm
ϕ dσ] m e
M
m
ϕx0 (4ρ) ≤ 4
−1
ωm
m1
Z
ϕ dσ
ψ x0 (ρ),
M
onde ωm denota a medida de Lebesgue da bola unitária em Rm .
Demonstração. Sejam ϕx0 , ψx0 como no Lema 2.1.1, então
d ϕx0 (ρ)
ψx (ρ)
−
≤ 0m .
m
dρ
ρ
ρ
(2.4)
26
R
1
−1
Seja ρ0 = 2[ωm
ϕ dσ] m > 0. Assuma que t ∈ (0, ρ0 ). Integrando (2.4) no intervalo (t, ρ0 ),
M
obtemos
−m
t
ϕx0 (t) − ρ−m
0 ϕx0 (ρ0 ) ≤
Z ρ0
ρ−m ψx0 (ρ)dρ
t
Daı́,
−m
t
ϕx0 (t) ≤
ρ−m
0 ϕx0 (ρ0 ) +
Z ρ0
ρ−m ψx0 (ρ)dρ
(2.5)
0
Agora, seja ε ∈ (0, t) e suponha que a função λ que aparece na definição de ϕx0 , ψx0 é tal que
λ(t) = 1, ∀ t ≥ ε. Então,
Z
Z
ϕx0 (t) =
ϕ(x)λ(t − r) dσ =
ϕ(x)λ(t − r) dσ
M
M ∩St (x0 )
Z
Z
ϕ(x)λ(t − r) dσ
ϕ(x)λ(t − r) dσ +
=
M ∩(St (x0 )\St−ε (x0 ))
M ∩St−ε (x0 )
Z
Z
ϕ(x)λ(t − r) dσ
ϕ(x) dσ +
=
M ∩(St (x0 )\St−ε (x0 ))
M ∩St−ε (x0 )
Z
≥
ϕ(x) dσ = ϕx0 (t − ε),
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
M ∩St−ε (x0 )
Z
Z
ϕx0 (ρ0 ) =
ϕ(x) dσ +
M ∩Sρ0 −ε (x0 )
ϕ(x)λ(ρ0 − r) dσ
(2.10)
ϕ(x) dσ
(2.11)
M ∩(Sρ0 (x0 )\Sρ0 −ε (x0 ))
Z
Z
≤
ϕ(x) dσ +
M ∩Sρ0 −ε (x0 )
M ∩(Sρ0 (x0 )\Sρ0 −ε (x0 ))
Z
=
M ∩Sρ0 (x0 )
ϕ(x) dσ = ϕx0 (ρ0 )
(2.12)
e
Z
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)]λ(ρ − r) dσ
ψx0 (ρ) =
ZM
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)]λ(ρ − r) dσ
=
M ∩Sρ (x0 )
Z
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)] dσ
=
M ∩Sρ−ε (x0 )
Z
+
Z
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)]λ(ρ − r) dσ
Z
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)] dσ +
M ∩(Sρ (x0 )\Sρ−ε (x0 ))
≤
M ∩Sρ−ε (x0 )
M ∩(Sρ (x0 )\Sρ−ε (x0 ))
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)] dσ
27
Z
ψx0 (ρ) ≤
M ∩Sρ (x0 )
[|∇ϕ(x)| + |H|ϕ(x)] dσ = ψ x0 (ρ).
Substituindo essas estimativas em (2.5), obtemos
−m
t
ϕx0 (t − ε) ≤ ρ−m
0 ϕx0 (ρ0 ) +
Z ρ0
ρ−m ψ x0 (ρ)dρ.
0
Como t < ρ0 e ε ∈ (0, t) são arbitrários, segue que
sup t
−m
t∈(0,ρ0 )
ϕx0 (t) ≤ ρ−m
0 ϕx0 (ρ0 ) +
Z ρ0
ρ−m ψ x0 (ρ)dρ.
(2.13)
0
Suponha, ao contrário do estabelecido no lema, que ψ x0 (ρ) < 2.4−m ρ−1
0 ϕx0 (4ρ), ∀ ρ ∈ (0, ρ0 ).
Então,
Z ρ0
ρ
−m
ψ x0 (ρ)dρ ≤
0
=
≤
≤
≤
2.4−m ρ−1
0
Z ρ0
ρ−m ϕx0 (4ρ) dρ
Z 4ρ0 0
1 −1
ρ0
t−m ϕx0 (t) dt
2
0
Z
Z +∞
ρ0
1 −1
−m
−m
ρ
t ϕx0 (t) dt +
t ϕx0 (t) dt
2 0
0
ρ0
Z ρ0
Z
Z +∞
1 −1
−m
−m
t ϕx0 (t) dt +
ρ
ϕ dσ
t dt
2 0
0
M
ρ0
#
"
Z
1 −1
1
−m
1−m
ϕ dσ .
ρ
ρ0 sup t ϕx0 (t) +
ρ
2 0
m−1 0
t∈(0,ρ0 )
M
Segue de (2.13),
Z
1
1
−m
−m
−m
sup t ϕx0 (t) ≤ ρ0 ϕx0 (ρ0 ) +
ρ
ϕ dσ
2 t∈(0,ρ0 )
2(m − 1) 0
M
Z
1
−m
≤ ρ0
1+
ϕ dσ.
2(1 − m)
M
Substituindo ρ0 ,
−m
sup t
t∈(0,ρ0 )
1−m
ϕx0 (t) ≤ 2
ωm 1 +
1
2(m − 1)
Usando o Lema 1.2.1 e a suposição ϕ(x0 ) ≥ 1, obtemos
Z
1
σ(Sρ (x0 ))
sup m
ϕ dσ < lim+
,
ρ→0
ρm
t∈(0,ρ) t
St (x0 )
< ωm .
28
que é uma contradição.
Demonstração. (Teorema 2.1.1) Suponha, inicialmente, que p = 1 e, sem perda de
generalidade, ϕ ≥ 0. Usando um argumento de cobertura e o Lema 2.1.2, provaremos que
1/m Z
Z
−1
ωm
ϕ dσ
.
(|∇ϕ| + |H|ϕ) dσ.
σ({x ∈ M : ϕ(x) ≥ 1}) ≤ 4
m
M
(2.14)
M
Suponha que A = {x ∈ M : ϕ(x) ≥ 1} =
6 ∅. Para cada x ∈ A, sejam ϕx (ρ) e ψ x (ρ), como
R
1/m
−1
no Lema 2.1.2, e J = ωm
ϕ dσ
.
M
Sejam ρi = 4.2−i J, i = 1, 2, ... e
1
m
Ai = x ∈ A : ϕx (4ρ) ≤ 4 Jψ x (ρ), para algum ρ ∈
ρi , ρi .
2
S
Segue do Lema 2.1.2 que A = ∞
i=1 Ai .
Defina indutivamente a sequência F0 , F1 , ... de subconjuntos de A como a seguir:
i) F0 = ∅
ii) Seja k ≥ 1 e suponha que F0 , ..., Fk−1 estão bem definidos. Seja
Bk = Ak \
k−1
[
[
S2ρi (x).
i=0 x∈Fi
Se Bk = ∅, então Fk = ∅. Se Bk 6= ∅, então escolha Fk um subconjunto finito de Bk tal
S
que Bk ⊂ x∈Fk S2ρk (x) e os conjuntos Sρk (x), com x ∈ Fk , são dois a dois disjuntos.
Então, valem as seguintes propriedades:
(a) Fi ⊂ Ai , para i = 1, 2, ..., pois Fi ⊂ Bi ⊂ Ai ;
S S
(b) A ⊂ +∞
i=1
x∈Fi S2ρi (x), pois se x ∈ A, então x ∈ Ak , para algum k, assim x ∈
Sk−1 S
S
S
(x)
ou
x
∈
B
⊂
2ρ
k
i
i=0
x∈Fi
x∈Fk S2ρk (x); e
(c) os conjuntos da coleção enumerável Sρi (x), x ∈ Fi , i = 1, 2, ..., são disjuntos.
Por (a), temos, para cada x ∈ Fi ,
ϕx (4ρ) ≤ 4m Jψ x (ρ),
(2.15)
29
para algum ρ ∈
1
ρ , ρ . Como 2ρi ≤ 4ρ e ρ ≤ ρi , temos que
2 i i
Z
Z
ϕ dσ ≤
ϕx (2ρi ) =
ϕ dσ = ϕx (4ρ),
S4ρ (x)
S2ρi (x)
Z
Z
(|∇ϕ| + |Hϕ|) dσ ≤
ψ x (ρ) =
Sρ (x)
(|∇ϕ| + |Hϕ|) dσ = ψ x (ρi )
Sρi (x)
e segue de (2.15) que
ϕx (2ρi ) ≤ 4m Jψ x (ρi ), para cada x ∈ Fi .
(2.16)
Somando sobre todo x ∈ Fi , i = 1, 2, ..., usando as propriedades (b) e (c) e (2.16), obtemos
σ(M1 ) ≤
∞
X
σ(S2ρi (x)) ≤
ϕ dσ
(2.17)
(|∇ϕ| + |Hϕ|) dσ
(2.18)
i=1
≤ 4m J
≤ 4m J
∞ Z
X
i=1
∞ Z
X
S2ρi (x)
Sρi (x)
Zi=1
(|∇ϕ| + |Hϕ|) dσ,
(2.19)
M
onde M1 = {x ∈ M : ϕ(x) ≥ 1}, o que demonstra (2.14).
Agora, sejam α, ε > 0 constantes arbitrárias e λ ∈ C 1 (R) uma função não-decrescente
tal que λ(t) = 0 para t ≤ −ε e λ(t) = 1 para t ≥ 0. Tomando λ(ϕ − α) no lugar de
ϕ, temos que λ(ϕ − α) = 1 (ou ≥ 1) quando ϕ − α ≥ 0, isto é, ϕ(x) ≥ α, ou seja,
x ∈ Mα = {x ∈ M : ϕ(x) ≥ α}. Substituindo em (2.19), obtemos
m
σ(Mα ) ≤ 4
−1
ωm
1/m Z
.
[|∇(λ(ϕ − α))| + |H|λ(ϕ − α)] dσ (2.20)
λ(ϕ − α) dσ
Z
−1/m
= 4m ωm
M
M
Z
1/m Z
M
0
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσ.(2.21)
λ(ϕ − α) dσ
M
Multiplicando ambos os lados de (2.21) por α1/(m−1) , usando que 0 ≤ λ(t) ≤ 1, ∀ t, e que
λ(ϕ − α) = 0 para ϕ − α ≤ −ε (α ≥ ϕ + ε), temos
30
α
1/(m−1)
m
1/(m−1)
−1/m
ωm
1/m
Z
σ(Mα ) ≤ 4 α
λ(ϕ − α) dσ
×
M
Z
0
×
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσ.
M
m
1/(m−1)
−1/m
ωm
1/m
Z
= 4 α
λ(ϕ − α) dσ
×
Mα−ε
Z
0
×
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσ.
M
m
≤ 4
−1/m
ωm
Z
α
m/(m−1)
1/m
×
dσ
Mα−ε
Z
0
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσ,
×
M
isto é,
α
1/(m−1)
m
σ(Mα ) ≤ 4
−1/m
ωm
Z
m/(m−1)
(ϕ + ε)
1/m Z
0
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσ.
dσ
M
M
Integrando a desigualdade em (0, +∞) com relação a α e usando que
Z +∞
+∞
0
λ (ϕ − α) dα = −λ(ϕ − α)
0
e
Z +∞
+∞
λ(ϕ − α) dα = αλ(ϕ − α)
0
0
Z +∞
αλ (ϕ − α) dα =
0
0
≤ (ϕ + ε)
0
αλ (ϕ − α) dα
0
+∞
0
λ (ϕ − α) dα = (ϕ + ε)(−λ(ϕ − α))
0
obtemos
Z +∞
+
Z +∞
≤ ϕ + ε,
= λ(ϕ) ≤ 1
0
= (ϕ + ε)λ(ϕ)
0
31
Z +∞
α
1/(m−1)
m
σ(Mα ) dα ≤ 4
−1/m
ωm
Z
(ϕ + ε)
0
1/m
m/(m−1)
×
dσ
M
Z +∞ Z
0
[λ (ϕ − α)|∇ϕ| + |H|λ(ϕ − α)] dσdα
×
0
m
M
−1/m
ωm
Z
1/m
m/(m−1)
×
Z +∞
Z +∞
Z
0
|∇ϕ|
λ (ϕ − α)dα + |H|
λ(ϕ − α)dα dσ
×
= 4
(ϕ + ε)
dσ
M
M
0
−1/m
≤ 4m ωm
Z
0
(ϕ + ε)m/(m−1) dσ
1/m Z
[|∇ϕ| + |H|(ϕ + ε)] dσ.
M
M
Pela fórmula da coarea,
Z +∞
Z +∞
Z
1/(m−1)
1/(m−1)
α
σ(Mα ) dα =
α
0
|∇ϕ| dσ dα
{ϕ≥α}
0
Z +∞ Z
α1/(m−1) |∇ϕ| dσ dα
=
{ϕ≥α}
0
Z +∞ Z ∞ Z
α1/(m−1) dτ dα
=
−∞
0
{ϕ=α}
Z ∞Z
m−1
αm/(m−1) dτ
m
−∞ {ϕ=α}
Z
m−1
ϕm/(m−1) dσ,
=
m
M
=
Fazendo ε → 0, obtemos
m−1
m
Z
ϕ
m/(m−1)
m
dσ ≤ 4
Z
−1/m
ωm
m/(m−1)
ϕ
1/m Z
[|∇ϕ| + |H|ϕ] dσ.
dσ
M
M
M
Daı́,
Z
m/(m−1)
ϕ
1− m1
m
≤4
dσ
−1/m
ωm
M
Logo,
Z
1∗
1/1∗
ϕ dσ
m
m−1
Z
[|∇ϕ| + |H|ϕ] dσ.
M
Z
≤C
[|∇ϕ| + |H|ϕ] dσ.
M
M
Para o caso p ∈ (1, m), tome ψ = ϕα , vale que
Z
α 1∗
|ϕ | dσ
M
11∗
Z
≤C
M
(|∇(ϕα )| + |Hϕα |)dσ.
32
Temos que ∇(ϕα ) = αϕα−1 ∇ϕ. Assim,
Z
11∗
α 1∗
Z
α−1
≤ Cα
|ϕ | dσ
|∇ϕ||ϕ
Z
M
M
|Hϕ||ϕα−1 |dσ.
| dσ + C
M
Tome α = p∗ /1∗ , com p ∈ (1, m), então α = pm−p
> 1. Usando a desigualdade de Hölder,
m−p
Z
1/1∗
α 1∗
|ϕ | dσ
Z
α−1
≤ Cα
|∇ϕ||ϕ
M
Z
| dσ +
|Hϕ||ϕ
M
α−1
|dσ
M
Z
1/p Z
p
≤ Cα
(α−1)q
|∇ϕ| dσ
1/q
|ϕ|
M
+
M
Z
1/p Z
p
(α−1)q
1/q
|ϕ|
M
"
1/p #
Z
1/q Z
1/p Z
|ϕ|(α−1)q
|Hϕ|p dσ
,
= Cα
|∇ϕ|p dσ
+
|Hϕ| dσ
+ Cα
M
M
onde
M
M
1 1
+ = 1. Observe que
p q
1
1
1 1
1
−
=
−
=
1∗ p∗
1 p
q
e
∗
p
1
1
∗
(α − 1)q =
−1 q =p
− ∗ q = p∗ .
∗
∗
1
1
p
Daı́,
Z
p∗
11∗
Z
1/q "Z
|ϕ|
≤ Cα
|ϕ| dσ
p∗
|∇ϕ| dσ
M
M
1/p
p
Z
p
1/p #
|Hϕ| dσ
+
,
M
M
o que implica
Z
p∗
11∗ − 1q
"Z
|∇ϕ|p dσ
≤ Cα
|ϕ| dσ
1/p
Z
M
M
|Hϕ|p dσ
+
1/p #
.
M
Portanto,
Z
p∗
|ϕ| dσ
1/p∗
"Z
≤ C(m, p)
M
como querı́amos demonstrar.
M
|∇ϕ|p dσ
1/p
Z
+
M
|Hϕ|p dσ
1/p #
,
33
2.2
Uma Desigualdade do Valor Médio para Funções
Subharmônicas
Para cada função h ∈ C 2 (U ), ∆h é definido por
n
X
∂h
∂ 2h
(x) +
Hi (x)
(x)
∆h(x) =
g̃ (x)
∂x
∂x
∂x
i
j
j
j=1
i,j=1
n
X
ij
(2.22)
para x ∈ M .
Definição 2.2.1 Uma função real χ em M é chamada fracamente subharmônica se é σintegrável em M e
Z
χ(x)∆h(x)dσ(x) ≥ 0
(2.23)
M
pra cada função não-negativa h ∈ C02 (U ).
Observação 2.2.1 Toda função subharmônica é fracamente subharmônica. De fato, sejam
u ∈ C 2 uma função subharmônica, isto é, ∆u ≥ 0, e h ∈ C02 (U ) uma função não-negativa.
Temos
Z
Z
Z
div(h∇u)dσ −
h∆u dσ =
M
ZM
h∇h, ∇uidσ
ZM
h∇h, ∇uidσ
hh∇u, νidσ −
=
M
∂M
Z
= −
h∇h, ∇uidσ,
M
da mesma forma
Z
Z
Z
div(u∇h)dσ −
u∆h dσ =
M
MZ
= −
h∇u, ∇hidσ
M
h∇u, ∇hidσ,
M
logo,
Z
Z
h∆u dσ ≥ 0,
u∆h dσ =
M
M
isto é, u é subharmônica.
O lema seguinte será usado na demonstração do resultado principal desta seção.
34
Lema 2.2.1 Sejam λ ∈ C 2 (R) uma função não-decrescente tal que λ(t) = 0 quando t ≤ 0,
e χ uma função não-negativa fracamente subharmônica em M. Para cada x0 ∈ M , definimos
ϕx0 , ψx0 por
Z
χ(x)λ(ρ − r) dσ(x)
ϕx0 (ρ) =
M
e
Z
χ(x)|H(x)|λ(ρ − r) dσ(x),
ψx0 (ρ) =
M
onde r = |x − x0 |. Então,
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
≤ρ
−m−1
Z ρ
tψx0 0 (t) dt
0
para cada ρ ∈ (0, d), onde d = dist(x0 , ∂U ).
Demonstração. Seja γ definida em R por
Z ∞
γ(s) =
tλ(ρ − t) dt.
s
0
00
0
Como γ (r) = rλ(ρ − r) e γ (r) = λ(ρ − r) + rλ (ρ − r), segue que γ(r), onde r = |x − x0 |,
é C 2 (U ). Quando s ≥ ρ, temos γ(s) = 0, isto é, se ρ < d, então γ tem suporte compacto em
U. Assim, quando ρ < d, podemos calcular ∆γ(r) usando (2.22). Temos
∂
∂r
(x − x0 )j
0
= −λ(ρ − r)(x − x0 )j
(γ(r)) = γ (r) ·
= −rλ(ρ − r)
∂xj
∂xj
r
e
∂ 2 (γ(r))
∂
∂
∂
=
(γ(r)) = −
(λ(ρ − r)(x − x0 )j )
∂xi xj
∂xi ∂xj
∂xi
∂
∂
= − (x − x0 )j ·
(λ(ρ − r)) + λ(ρ − r) ·
(x − x0 )j
∂xi
∂xi
∂r
0
= − −(x − x0 )j · λ (ρ − r)
+ λ(ρ − r)δij
∂xi
(x − x0 )i
0
= λ (ρ − r)(x − x0 )j ·
− λ(ρ − r)δij ,
r
35
logo,
n
X
(x − x0 )i
0
− λ(ρ − r)δij −
∆(γ(r)) =
λ (ρ − r)(x − x0 )j ·
g̃
r
i,j=1
−
ij
n
X
Hj λ(ρ − r)(x − x0 )j
j=1
0
= rλ (ρ − r)
−λ(ρ − r)
n
X
g̃
ij (x − x0 )i (x − x0 )j
r
i,j=1
n
X
r
− λ(ρ − r)
n
X
g̃ ii −
i=1
(x − x0 )j Hj .
j=1
Usando a Proposição 1.1.1, obtemos
0
∆(γ(r)) ≤ rλ (ρ − r) − mλ(ρ − r) + λ(ρ − r)h−H, x − x0 i
0
≤ rλ (ρ − r) − mλ(ρ − r) + λ(ρ − r)|H|r.
Por (2.23),
Z
0 ≤
χ ∆(γ(r))dσ
ZM
≤
0
χ (rλ (ρ − r) − mλ(ρ − r) + λ(ρ − r)|H|r) dσ,
M
o que nos dá
Z
Z
χ |H|rλ(ρ − r) dσ,
χ rλ (ρ − r) dσ ≤
χ λ(ρ − r) dσ −
m
Z
0
M
M
M
isto é,
Z
mϕx0 (ρ) −
Z
0
χ rλ (ρ − r) dσ ≤
M
χ |H|rλ(ρ − r) dσ.
(2.24)
M
0
Observe que derivando λ (com relação a ρ), temos que λ (ρ − r) ≥ 0 (pois λ é não
decrescente). Assim, para r < ρ, temos
0
0
rλ (ρ − r) ≤ ρλ (ρ − r),
para r ≥ ρ, (2.25) segue trivialmente.
(2.25)
36
Com isso,
Z
Z
0
0
χ rλ (ρ − r) dσ ≤ ρ
χ λ (ρ − r) dσ
M
Z
d
χλ(ρ − r) dσ
= ρ·
dρ
M
M
0
= ρϕx0 (ρ)
e
Z
Z ρ
Z
χ |H|rλ(ρ − r) dσ =
M
Z0 ρ
ZM
0
rλ (t − r) dt dσ
χ |H|
0
χ |H|
tλ (t − r) dt dσ
M
0
Z ρ Z
0
=
t
χ |H|λ (t − r) dσ dt
Z0 ρ M
0
=
tψx0 (t).
≤
0
Consequentemente, (2.24) nos dá
Z ρ
0
mϕx0 (ρ) − ρϕx0 (ρ) ≤
0
tψx0 (t) dt,
0
e obtemos
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
0
= −
ρm ϕx0 (ρ) − ϕx0 (ρ)mρm−1
ρ2m
0
ρm−1 (mϕx0 (ρ) − ρϕx0 (ρ))
=
ρ2m
Z ρ
0
≤ ρ−m−1
tψx0 (t) dt.
0
Corolário 2.2.1 Se as hipóteses do Lema 2.2.1 são satisfeitas, então
d ϕx0 (ρ)
ψx0 (ρ)
−
≤
,
dρ
ρm
ρm
para cada ρ ∈ (0, d).
!
37
De fato,
Z ρ
Z ρ
0
0
tψx0 (t) dt ≤ ρ
ψx0 (t) dt = ρψx0 (ρ),
0
0
daı́,
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
≤ρ
−m−1
Z ρ
0
tψx0 (t) dt ≤ ρ−m ψx0 (ρ).
0
Observe que se existe uma constante Λ tal que |H| ≤ Λ em M, então ψx0 (ρ) ≤ Λϕx0 (ρ)
e, segue do Corolário 2.2.1, que
d
−
dρ
ϕx0 (ρ)
ρm
≤Λ
ϕx0 (ρ)
.
ρm
Integrando no intervalo [t, ρ], onde t ∈ (0, ρ), obtemos
− log
ϕx0 (ρ)
ρm
+ log
ϕx0 (t)
tm
≤ Λρ − Λt ≤ Λρ,
como a exponencial é crescente,
ϕx0 (ρ)
ρm
−1
·
ϕx0 (t)
≤ eΛρ ,
m
t
isto é,
ϕx0 (t)
Λρ ϕx0 (ρ)
≤
e
·
,
tm
ρm
daı́,
ϕx0 (t)
ϕx (ρ)
≤ eΛρ · 0m ,
m
t
ρ
t∈(0,ρ)
sup
para todo ρ ∈ (0, d). Escolhendo λ tal que λ(t) = 1, quando t ≥ ε, e fazendo ε → 0+ , segue
que
Λρ
χ(x0 ) ≤ e
−1 −m
ρ0
ωm
Z
χ dσ,
Sρ0 (x0 )
pela expansão da série de Taylor,
Z
(Λρ)m
Λρ (Λρ)2
−1 −m
+
+ ··· +
+ . . . ωm ρ
χ(x) dσ(x).
χ(x0 ) ≤ 1 +
1!
2!
m!
Sρ (x0 )
O teorema a seguir mostra que esse resultado pode ser melhorado.
Teorema 2.2.1 Seja χ uma função não-negativa fracamente subharmônica em M e suponha
que existe uma constante Λ tal que |H(x)| ≤ Λ, ∀ x ∈ M . Para cada x0 ∈ M , seja d(x0 ) =
38
d(x0 , ∂U ). Então, para quase todo x0 ∈ M e todo ρ ∈ (0, d(x0 )), temos
Z
(Λρ)m −1 −m
Λρ (Λρ)2
χ(x) dσ(x).
+
+ ··· +
ωm ρ
χ(x0 ) ≤ 1 +
1!
2!
m!
Sρ (x0 )
Demonstração. Sejam ϕx0 , ψx0 como no Lema 2.2.1. Desde que |H(x)| ≤ Λ, temos
0
0
ψx0 (ρ) ≤ Λϕx0 (ρ) e, pelo Lema 2.2.1,
Z ρ
d ϕx0 (ρ)
0
−m−1
−
tϕx0 (t) dt,
≤ Λρ
m
dρ
ρ
0
(2.26)
para cada ρ ∈ (0, d(x0 )). Sejam ρ0 ∈ (0, d(x0 )) e, para 0 ≤ s ≤ m,
Z ρ0 Z ρ
0
Ts =
tϕx0 (t) dt ρ−s−1 dρ.
0
0
Integrando (2.26) no intervalo (t, ρ0 ), com 0 < t < ρ0 , obtemos
Z ρ0 Z ρ
ϕx0 (t) ϕx0 (ρ0 )
0
−
≤ Λ
tϕx0 (t) dt ρ−m−1 dρ
tm
ρm
0
Zt ρ0 Z0 ρ
0
≤ Λ
tϕx0 (t) dt ρ−m−1 dρ = ΛTm ,
0
0
ou seja,
ϕx0 (t)
ϕx (ρ0 )
≤ 0 m + ΛTm .
m
t
ρ0
Usando integração por partes, temos
Z ρ0
Z ρ
0
−s−1
Ts =
ρ
tϕx0 (t) dt dρ
0
ρ0
Z ρ
= −s ρ
0
−s−1 ρ−s
0
Z ρ0
−
tϕx0 (t) dt
0
0
Z ρ0
0
−1
Z ρ0
0
(−s−1 ρ−s .ρϕx0 (ρ)) dρ
(2.29)
0
tϕx0 (t) dt + s
−1
Z ρ0
0
≤ s
(2.28)
0
−1 −s
=
(2.27)
0
ρ1−s ϕx0 (ρ) dρ
(2.30)
0
0
ρ1−s ϕx0 (ρ) dρ
(2.31)
0
"
ρ0
= s−1 ρ1−s ϕx0 (ρ)
−
0
=
Z ρ0
#
(1 − s)ρ−s ϕx0 (ρ) dρ
(2.32)
0
−1
s−1 ρ1−s
0 ϕx0 (ρ0 ) + s (s − 1)
Z ρ0
0
ρ−s ϕx0 (ρ) dρ.
(2.33)
39
Agora, podemos escrever
Z ρ0
Z ρ0
−s
ρm−s (ρ−m, ϕx0 (ρ)) dρ
ρ ϕx0 (ρ) dρ =
0
0
daı́, usando integração por partes e a equação (2.26), obtemos
Z ρ0
Z ρ0
−s
ρm−s (ρ−m, ϕx0 (ρ)) dρ
ρ ϕx0 (ρ) dρ =
0
0
0
ρm−s+1
ϕx0 (ρ)
dρ
m−s+1
ρm
0
#
ρ0
Z ρ
Z ρ0
0
ρ−s Λ
tϕx0 (t) dtdρ
ρ1−s ϕx0 (ρ) +
ρm−s+1
=
.ρ−m ϕx0 (ρ) −
m−s+1
"
≤ (m − s + 1)−1
Z ρ0
0
= (m − s + 1)
−1
= (m − s + 1)
−1
ρ1−s
0 ϕx0 (ρ0 ) + Λ
0
0
Z ρ 0 Z ρ
0
1−s
[ρ0 ϕx0 (ρ0 ) + ΛTs−1 ].
−s
tϕx0 (t) dt ρ dρ
0
0
Substituindo em (2.33), teremos
−1
−1 1−s
Ts ≤ s−1 ρ1−s
0 ϕx0 (ρ0 ) + s (s − 1)(m − s + 1) [ρ0 ϕx0 (ρ0 ) + ΛTs−1 ]
s−1
s−1
· ΛTs−1
+
= s−1 ρ1−s
0 ϕx0 (ρ0 ) 1 +
m−s+1
s(m − s + 1)
m
s−1
=
ρ01−s ϕx0 (ρ0 ) +
· ΛTs−1
s(m − s + 1)
s(m − s + 1)
para 1 ≤ s ≤ m. Combinando (2.36), para s = 1, 2, ..., m, com (2.27), obtemos
ϕx0 (t)
Λρ0 (Λρ0 )
(Λρ0 )m ϕx0 (ρ0 )
≤ 1+
+
+ ... +
.
tm
1!
2!
m!
ρm
0
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Agora, seja ε ∈ (0, t) e escolha λ tal que λ(t) = 1 quando t ≥ 0. A equação (2.37), usando
(2.9) e (2.12), com χ no lugar de ϕ, nos dá
Z
Z
Λρ0
(Λρ0 )m −m
−m
χ dσ ≤ 1 +
+ ... +
ρ0
χ dσ.
t
1!
m!
Sρ0 (x0 )
St−ε (x0 )
Como t ∈ (0, ρ0 ) e ε ∈ (0, t), segue que
Z
Z
Λρ0
(Λρ0 )m −m
−m
sup t
χ dσ ≤ 1 +
+ ... +
ρ0
χ dσ,
1!
m!
t∈(0,ρ0 )
St (x0 )
Sρ0 (x0 )
40
o que implica
Z
(Λρ0 )m −m
Λρ0
+ ... +
ρ0
χ dσ,
dσ ≤ 1 +
1!
m!
Sρ0 (x0 )
St (x0 )
Z
−m
sup max {χ(x)}t
t∈(0,ρ0 ) St (x0 )
ou ainda
−m
lim max {χ(x)}t
t→0 St (x0 )
Z
Λρ0
(Λρ0 )m −m
dσ ≤ 1 +
+ ... +
ρ0
χ dσ.
1!
m!
St (x0 )
Sρ0 (x0 )
Z
Assim, pelo Lema 1.2.1,
Z
(Λρ0 )m −m
Λρ0
+ ... +
ρ0
χ dσ,
χ(x0 )ωm ≤ 1 +
1!
m!
Sρ0 (x0 )
isto é,
Z
Λρ0
(Λρ0 )m −1 −m
χ(x0 ) ≤ 1 +
χ dσ.
+ ... +
ωm ρ0
1!
m!
Sρ0 (x0 )
Pela observação 2.2.1, esse resultado também é válido para funções subharmônicas nãonegativas.
41
Referências
1 Dupaigne, L., Stable solutions of elliptic partial differential equations, Monographs and
Surveys in Pure and Applied Mathemathics, Chapman e Hall, 143.
2 Evans, L. C., Partial diferential equations, Graduate Studies in Mathematics - vol 19,
Departament of Mathematics, University of California, Berkeley.
3 Hoffman, D., Spruck, J, Sobolev and Isoperimetric Inequalities for Riemannian
Submanifolds, Comm. Pure Appl. Math., vol. XXVII (1974) 715-727.
4 Medeiros, A.A., The weighted Sobolev and meam value inequalities, American
Mathematical Society, vol. 143, number 3, 2015, 1229-1239.
5 Michael, J.H., Simon, L.M., Sobolev and mean-value inequalities on generalized
submanifolds of Rn , Comm. Pure Appl. Math. 26 (1973) 361-379.
6 Miranda, M., Disuguaglianze di Sobolev sulle ipersuperfici minimali, Rend. Sem. Mat.
Univ.Padova, 38, 1967.
7 Simon, L. M., Interior gradient bounds for non-uniformly elliptic partial differential
equations of divergence form - Thesis, University of Adelaide, 1971.
